Как составить простую дробь

Дроби — коротко о главном

Определения:

Простая дробь (обыкновенная дробь) – запись рационального числа в виде отношения двух чисел (displaystylefrac{a}{b}).

Делимое (displaystyle a) – числитель дроби, а делитель (displaystyle b) – знаменатель дроби.

Правильная дробь – дробь, у которой числитель меньше знаменателя.

Например: (displaystylefrac{2}{5}), (displaystylefrac{1}{7}) и так далее.

Неправильная дробь –дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю.

Например: (displaystylefrac{9}{5}), (displaystylefrac{13}{2}) и так далее.

Смешанная дробь – дробь, записанная в виде целого числа и правильной дроби и понимается как сумма этого числа и дроби.

Например: (displaystyle2frac{2}{5})( displaystyle  displaystyle=frac{2cdot 5}{5}+frac{2}{5}=frac{10}{5}+frac{2}{5}=frac{12}{5}).

Десятичная дробь – обыкновенная дробь со знаменателем (displaystyle10), (displaystyle100), (displaystyle1000) и так далее, (т.е. (displaystyle{{10}^{n}}), где (displaystyle n) — натуральное число).

Например: (displaystylefrac{9}{100}) в виде десятичной дроби записывается как (displaystyle0,09),

(displaystylefrac{225}{1000}) записывается как (displaystyle0,225).

Основное свойство дроби: 

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, дробь не изменится, несмотря на то, что выглядеть она будет по-другому.

Например: (displaystylefrac{1}{5}=frac{1cdot 2}{5cdot 2}=frac{2}{10}).

Действия с дробями:

Сложение/вычитание дробей

• две дроби с одинаковыми знаменателями: складываем/вычитаем их числители, а знаменатель оставляем без изменений: (displaystylefrac{a}{c}+frac{b}{c}=frac{a+b}{c})
• две обыкновенные дроби с разными знаменателями:
  • приводим дроби к наименьшему общему знаменателю;
  • складываем/вычитаем числители дробей, а знаменатель оставляем без изменений;
  • сокращаем полученную дробь
• две смешанные дроби с разными знаменателями:
  • приводим дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю;
  • по-отдельности складываем/вычитаем целые части и дробные части;
  • если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, выделяем целую часть из этой дроби и прибавляем ее к полученной целой части / если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, превращаем ее в неправильную дробь, уменьшив на единицу, целую часть;
  • сокращаем полученную дробь.

Умножение дробей

• умножение дроби на натуральное число: числитель умножаем на число, а знаменатель оставляем неизменным
• умножение двух обыкновенных дробей:
  • перемножаем числители и знаменатели дробей;
  • сокращаем полученную дробь
• умножение двух смешанных чисел:
  • преобразовываем смешанные дроби в неправильные;
  • перемножаем числители и знаменатели дробей;
  • сокращаем полученную дробь;
  • если получилась неправильная дробь преобразовываем ее в смешанную.

Деление дробей

• деление дроби на натуральное число: знаменатель дроби умножаем на число, а числитель оставляем неизменным
• деление натурального числа на дробь: число умножаем на дробь обратную данной
• деление обыкновенных дробей: умножаем первую обыкновенную дробь на дробь, обратную второй
• деление двух смешанных чисел:
  • преобразовываем смешанные дроби в неправильные;
  • умножаем первую дробь на дробь, обратную второй; (3) сокращаем полученную дробь; (4) если получилась неправильная дробь преобразовываем ее в смешанную.

Сокращение дроби

Чтобы сократить дробь (displaystylefrac{a}{b}) нужно найти наибольший общий делитель ее числителя и знаменателя. Если наибольший общий делитель равен (displaystyle1), то дробь сократить нельзя.

Например: (displaystylefrac{5}{15}=frac{5:5}{15:5}=frac{1}{3}).

Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю

• найдите наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей (наименьший общий знаменатель);
• разделите наименьший общий знаменатель на знаменатели данных дробей, т. е. найдите для каждой дроби дополнительный множитель;
• умножьте числитель и знаменатели каждой дроби на ее дополнительный множитель.

Например: (displaystylefrac{1}{3}) и (displaystylefrac{3}{4}). Наименьший общий знаменатель — (displaystyle12).

Дополнительный множитель первой дроби — (displaystyle12:3=4), дополнительный множитель второй дроби — (displaystyle12:4=3).

Следовательно: для первой дроби: (displaystylefrac{1cdot 4}{3cdot 4}=frac{4}{12}), для второй дроби: (displaystylefrac{3cdot 3}{4cdot 3}=frac{9}{12}).

Преобразования неправильной дроби в смешанную дробь

• поделите числитель дроби на ее знаменатель;
• остаток от деления запишите в числитель, знаменатель оставьте прежним;
• результат от деления запишите в качестве целой части.

Например: (displaystylefrac{17}{4}) = (displaystyle4frac{1}{4}).

Сравнение дробей:

• две дроби с одинаковыми знаменателями: больше та дробь, числитель которой больше
• две дроби с одинаковыми числителями: больше та дробь, знаменатель которой меньше
• две обыкновенные дроби: после приведения дробей к общему знаменателю, больше та дробь, числитель которой больше

Простые дроби

В данном случае от целого куска в сторонке отделенная одна доля, одна из четырех, одна четвертая.

Это простая дробь. 

Простые дроби принято записывать одним из следующих способов: (displaystyle frac{1}{4}), (displaystyle {1}/{4};.)

Ты не поверишь, все эти записи означают одно и то же – одна четвертая. А что останется если забрать эту (displaystyle 1/4?) Было (displaystyle 4) из (displaystyle 4), или (displaystyle 4/4), забрали (displaystyle 1/4).

Верно, останется (displaystyle 3) дольки, (displaystyle 3) из (displaystyle 4). Запишем, как полагается, (displaystyle 3/4).

Можно даже вот так: (displaystyle 4/4-1/4=3/4)

То, что находится выше черты – это числитель (ну или слева от черты в такой записи как тут), то, что ниже – знаменатель.

Можно запомнить так: Ч – чердак. Числитель сверху 🙂

Примеры простых дробей: (displaystyle 1/5,text{ }2/4,text{ }3/10,text{ }17/3.)

Правильные и неправильные простые дроби

В этом ряду все дроби правильные, в них числитель меньше знаменателя. Кроме одной. Да-да, ты не ошибся, бывает и такое, что числитель больше знаменателя, как в этой дроби, например: (displaystyle 17/3).

Если числитель больше знаменателя, то дробь называется неправильной. 

Вне зависимости от того правильная дробь или неправильная, она будет простой.

Давай остановимся на неправильной дроби (displaystyle 17/3). Что же это она неправильная?

Вспоминай пример с пирогом, там была (displaystyle 1/4) – одна часть из четырех, а тут что получается? (displaystyle 17) частей из (displaystyle 3)?

Бред какой-то! У нас в знаменателе число, которое означает, что весь пирог состоит из стольки частей! Берем (displaystyle 4) части и поучаем целый ровненький пирог. Но числитель говорит, что на данный момент у нас есть лишь одна из этих частей.

А (displaystyle 17/3)?

Что же, у нас есть (displaystyle 17) частей, а для целого пирога в данном случае надо (displaystyle 3) части. Ну так давай соберем из кусочков целые пироги и отдельно их поставим.

Как узнать сколько пирогов мы можем получить из (displaystyle 17) частей? Верно, надо на (displaystyle 3) как раз и поделить.

Если попробовать составить (displaystyle 6) пирогов, т.е. (displaystyle 3cdot 6=18), надо (displaystyle 18) частей. Не хватает. А (displaystyle 3cdot 5=15), о, хватило! Получается (displaystyle 5) целых пирогов собрали, положили в сторону. Осталось (displaystyle 17-3cdot 5=2,2), ( displaystyle  2) куска.

А для целого пирога надо ( displaystyle  3) части. В итоге у нас ( displaystyle  5) целых и ( displaystyle  2/3) (две третьих) пирога.

Много места занимает такое обозначение. А что если убрать лишние слова и оставить только ( displaystyle  5frac{2}{3}) (пять целых и две третьих).

Смешанная дробь

То, что у нас получилось (( displaystyle  5frac{2}{3})), называют смешанная дробь – дробь, записанная в виде целого числа и правильной дроби и понимается как сумма этого числа и дроби.

То, что между ( displaystyle  5) пирогами и ( displaystyle  2/3) пирога нет никакого знака не говорит о том, что там знак умножения, как если бы мы писали ( displaystyle  2x)!!!

Запомни, между целой и дробной частями можно поставить знак плюс, вот так: ( displaystyle  5frac{2}{3}=5+frac{2}{3}).

Так же можно проделать и обратное действие, т.е. преобразование из смешанной дроби в неправильную дробь.

Ты же знаешь, как это сделать?

Преобразование из смешанной дроби в неправильную дробь.

Конечно, нужно умножить знаменатель дроби (в случае с , (displaystyle5frac{2}{3}) знаменатель равен ( displaystyle  3)), умножить знаменатель…, верно, на (displaystyle5) и прибавить нецелую часть, а именно – ( displaystyle  2) .

В результате получим исходное ( displaystyle  17/3).

Сложение дробей

Самый простой вариант, когда дроби, которые надо сложить, имеют одинаковый знаменатель. 

Ты же еще не забыл, что это такое, правда?

Например, ( displaystyle  2/5+1/5). Вспомнив пример с кусочками пирога, думаю, ты без проблем догадаешься, что если складывать равные дольки одного пирога, то знаменатель меняться не будет, а складываются лишь числители.

Сложение будет выглядеть следующим образом: ( displaystyle  frac{2}{5}+frac{1}{5}=frac{2+1}{5}=frac{3}{5}). Не сложно догадаться и как складывать смешанные дроби.

Отдельно складываются целые и дробные части:

( displaystyle  2frac{2}{3}+4frac{1}{3}=6frac{2+1}{3}=6frac{3}{3}=7).

А что, если знаменатели у дробей разные, а? Например, ( displaystyle  2/3+1/2).

И тут ты сразу вспоминаешь, что мы проходили приведение дробей к общему знаменателю, и, наконец, становится понятно, зачем это было учить!

В данном примере общим знаменателем будет число ( displaystyle  6), как наименьшее общее кратное чисел ( displaystyle  2) и ( displaystyle  3). ( displaystyle  frac{2}{3}+frac{1}{2}=frac{4}{6}+frac{3}{6}=frac{7}{6}=1frac{1}{6}).

Поскольку ты теперь умеешь приводить неправильную дробь к смешанной дроби, то открою тебе секрет, что это является не просто хорошим тоном, но и обязательным действием при упрощении выражений, после получения ответа избавиться от неправильных дробей.

С десятичными дробями все еще проще. 

Сложение делается, как и с обычными числами, только не забывай про запятую. Вот тебе пример: (displaystyle15,2+2,91).

Я предлагаю решать так: удобнее всего вычитать в столбик, расположив одну дробь под другой, но при этом запятая должна стоять строго под запятой вне зависимости от количества знаков до и после нее.

Как ты видишь, у второй дроби после запятой было на один знак больше. Для достижения одинакового количества знаков, я добавил еще один ноль в конце первой дроби.

Невероятно, но после последнего знака после запятой ты можешь добавить сколько угодно нулей, и это не изменит смысла дроби!

Вычитание дробей

Вычитание дробей практически ни чем не отличается от сложения, ну разве что знаком. А так, вычитается знаменатель из знаменателя, при сохранении общего числителя неизменным, а в случае если знаменатели разные, дроби приводятся к общему знаменателю.

Но куда же без специфики, тут она тоже присутствует.

Если ты вычитаешь одну смешанную дробь из другой, то в случае, если дробная часть уменьшаемой дроби меньше, чем у той, которую ты вычитаешь, то нужно уменьшить целую часть дроби на один и перенести в дробную часть, и вычитать из целой части целую, а из дробной дробную.

Что-нибудь понятно хоть чуточку? – Ладно, смотри пример, сейчас разберешься!

( displaystyle  4frac{1}{3}-2frac{2}{3}=3frac{4}{3}-2frac{2}{3}=1frac{2}{3}) – как ты видишь, в дробной части, тут из ( displaystyle  1/3) вычитается ( displaystyle  2/3).

Но, очевидно, что, не привлекая «кусочки» от целого пирога, вычитание совершить нельзя. Для этого один пирог режут на куски и добавляют их к дробной части.

Получается, что уже из ( displaystyle  4/3) вычитают ( displaystyle  2/3), а тут уж нет проблем.

А с десятичными дробями все то же самое, что и было при сложении.

Вот тебе пример:

Есть вопросы по нему? Думаю, все логично и понятно, если нет, то еще раз посмотри, как делали сложение.

Умножение дробей

Умножать дробь на число — элементарно! ( displaystyle  4cdot frac{2}{3} ) — вот пример, это произведение четырех и ( displaystyle  2/3), не путай с ( displaystyle  4frac{2}{3}) — это четыре целых, две третьих!!! Ну, так вот, ( displaystyle  4cdot frac{2}{3} =frac{4cdot 2}{3}=frac{8}{3}=2frac{2}{3}).

Просто умножаешь число на числитель, а знаменатель не трогаешь!

Умножение смешанной дроби на число: ( displaystyle  4cdot 2frac{2}{5}) . Умножаешь и целую, и дробную части на ( displaystyle  4). Вот как это выглядит: ( displaystyle  4cdot 3frac{2}{5}=12frac{8}{5}=13frac{3}{5}).

Все сложнее при умножении дроби на дробь. 

Алгоритм умножения дроби на дробь

1. Если дробь смешанная, привести ее к виду обыкновенной неправильной дроби;
2. Перемножить числители дробей, перемножить знаменатели дробей;
3. Записать результат умножения числителей в числитель, а знаменателей, в знаменатель.

Заметь, что для умножения дробей с разными знаменателями не нужно приводить их к общему знаменателю!

Вот как все делается: ( displaystyle  3frac{2}{5}cdot 2frac{1}{3}=frac{17}{5}cdot frac{7}{3}=frac{119}{15}=7frac{14}{15}).

Умножение десятичных дробей на число или на десятичную дробь делается просто в столбик, и без запятых. Главное не забыть что?

Правильно, после умножения поставить запятую, отсчитав справа столько знаков, сколько было в сумме у двух множителей до умножения.

Например: ( displaystyle  17,3cdot 5,1=88,23). В множителях было в сумме два знака справа от запятой, можно просто перемножить ( displaystyle  173) и ( displaystyle  51), а потом к результату дописать запятую, отсчитав два знака справа.

Простые дроби

При делении 48 на 5 частное будет равно 9, а остаток 3.