Как составить разностное уравнение

Решения разностных уравнений

Разностные уравнения для чайников

На этой странице мы рассмотрим примеры решения типовых задач, встречающихся в курсе дифференциальных и разностных уравнений, а именно нахождение общего или частного решения линейного разностного уравнения с постоянными коэффициентами. Чаще всего в контрольных встречаются уравнения второго или третьего порядка:

$$
a_0 y(x) + a_1 y(x+1) + a_2 y(x+2)=f(x), \ a_0 y(x) + a_1 y(x+1) + a_2 y(x+2)+ a_3 y(x+3)=f(x).
$$

Здесь $a_i$ — постоянные коэффициенты, $f(x)$ — правая часть (неоднородность уравнения), $y(x)$ — искомая неизвестная функция.

Решение разностных уравнений практически полностью аналогично решению линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (см. тут примеры): ищется решение однородного уравнения через составление характеристического уравнения, и частное решение неоднородного уравнения по виду правой части.

Примеры решений разностных уравнений

Задача 1. Решить разностное уравнение: $y(x+2)-4y(x+1)+4y(x)=2^x$

Задача 2. Найти общее решение линейного разностного неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

$$ y(i+2)-4y(i+1)-12y(i)=6cdot 6^i.$$

Задача 3. Решить разностное уравнение третьего порядка

$$ y(x+3)-16y(x+2)+83y(x+1)-140y(x)=0, quad y(0)=3, y(1)=18, y(2)=120. $$

Задача 4. Найти частное решение однородного разностного уравнения:

$$ y(x+3)-6y(x+2)+11y(x+1)-6y(x)=0, quad y(0)=0, y(1)=2, y(2)=8. $$

Помощь с разностными уравнениями

Если вам нужна помощь с решением задач и контрольных по дифференциальным и разностным уравнениям (и другим разделам математического анализа), обращайтесь в МатБюро. Стоимость подробной консультации от 100 рублей, оформление производится в Word, срок от 1 дня.

Дополнительная информация

• Задачи по дифференциальным уравнениям с решениями
• Онлайн-помощь на контрольной
• Почему МатБюро?

Содержание:

1. Разностные уравнения
2. Разностные уравнения первого порядка с постоянными коэффициентами
3. Разностные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Разностные уравнения

Понятие разницы и разностного уравнения

Если для значений переменной x₁, x₂, x₃, …  функция f (x) принимает значения  f (x₁), f (x₂), f (x₃) … , то приращения функции составляют f (x₂) – f (x₁),  f (x₃) – f (x₂), …  

Приращение функции при переходе от значения  x_i  к значению x_i+1   будем обозначать:   В частности можно взять в качестве значения независимых переменных  x  и  x + 1 . Разность  Δf (x) = f (x + 1) — f (x)  называется первой разностью или разностью первого порядка. Она может рассматриваться в свою очередь как функция от x, а потому и для нее можно определить разницу:

Введем обозначения ΔΔf (x) = Δ² f (x), тогда  Δ² f (x) = f (x + 2) — 2 f (x + 1) + f (x)  и называется разностью второго порядка.

Аналогично можно найти разности третьего, четвертого и т. д. порядков.

Определим разности некоторых важнейших функций.

1) Если f (x) = С, где С — постоянная величина, то
Δf (x) = f (x + 1) – f (x) = С – С = 0.

Понятно, что и все разности следующих порядков будут также равняться нулю.

2) Если f (x) = ax + b, то
Δf = Δf (x + 1) — f (x) = a (x + 1) + b — ax — b = a.

Разница первого порядка линейной функции равна постоянной, а все остальные будут равны нулю.

3) Если f (x) = ax² + bx + c, то

Поскольку разница первого порядка является линейной функцией, то разница второго порядка — постоянная, а все последующие разности равны нулю.

4) Если f (x) = a^x, то

В экономических исследованиях часто встречаются задачи, в которых время t является независимой переменной, а зависимая переменная определяется для времени t, t + 1, t + 2 и т. д.

Обозначим y_t — значение функции y в момент времени t;  y_t+1 — значение функции в момент, сдвинутый на одну единицу, например, на следующий час, на следующую неделю и т. д., y_t+2 — значение функции y в момент, сдвинутый на две единицы и т. д.

Очевидно, что

Откуда:

За разность второго порядка, имеем   или  
поэтому   

Аналогично можно доказать, что

Итак, любую функцию

можно представить в виде:                                    (7.50)
и наоборот.

Определение. Уравнение
                                                                                          (7.51)
называется разностным уравнением n-го порядка.

Решить разностное уравнение n-го порядка — это значит найти такую ​​функцию y_t, которая превращает уравнение (7.50) или (7.51) в тождество.

Решение, в котором есть произвольная постоянная, называется общим; решение, в котором постоянная отсутствует, называется частным.

Определение. Уравнение
                                                               (7.52)
где  a₀, a₁, …, a_n — постоянные числа, называется неоднородным разностным
уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами.

Если в уравнении (7.52) f (t) = 0, то уравнение называется однородным разностным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами:
                                                     (7.53)

Уравнение    есть однородное разностное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами a и b, а уравнение  — неоднородное разностное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами a, b, c.

ТЕОРЕМА 1. Если решениями однородного разностного уравнения (7.53) является y₁ (t) и y₂ (t), то его решением будет также функция  y₁ (t) + y₂ (t).

ТЕОРЕМА 2. Если y (t) является решением однородного разностного уравнения (7.53), то его решением будет также функция Ay (t), где А — произвольная постоянная.

ТЕОРЕМА 3. Если y (t) — частное решение неоднородного уравнения (7.52) и y (t, A₁, A₂, …, A_n) — общее решение однородного уравнения (7.53), то общим решением неоднородного разностного уравнения будет функция: y (t) + y (t, A₁, A₂, …, A_n). 

Эти теоремы схожи с теоремами для дифференциальных уравнений, которые были приведены нами в предыдущем разделе.

Разностные уравнения первого порядка с постоянными коэффициентами

Рассмотрим неоднородное разностное уравнение
                                                                                         (7.54)

Соответствующее ему однородное уравнение будет:
                                                                                                  (7.55)

Возьмем функцию и убедимся, что она будет решением уравнения (7.55). Поскольку ,  тогда .  Подставим  y_t и y_t-1  в уравнение (7.55):
Итак,   является решением уравнения (7.55).

По теореме (2) общее решение однородного разностного уравнения (7.55) является функция   , где А — произвольная постоянная.

Пусть — частное решение неоднородного разностного уравнения (7.54). По теореме (3) общим решением неоднородного разностного уравнения (7.54) будет функция

Частное решение найти нетрудно, если f (t) = α, где α — некоторая постоянная. На самом деле, если где u — постоянная. Подставим в уравнение (7.54), имеем: u — au = α, откуда  
Итак, общее решение уравнения (7.54) запишем в виде:  .

Разностные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Пусть задано неоднородное разностное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:
                                                                               (7.56)
и соответствующее ему однородное уравнение
                                                                                      (7.57)

Убедимся, что функция   будет решением уравнения (7.58). Подставим в уравнение (7.57) (λ ≠ 0), получим   Поскольку λ ≠ 0, то поделим на λ^t-2, имеем       λ² + aλ + b = 0                                                                                            (7.58)

Это уравнение называется характеристическим уравнением для уравнения (7.57).

Здесь могут иметь место следующие три случая:

1. D = a² – 4b > 0, тогда уравнение (7.58) будет иметь два действительных различных корня.
Общее решение уравнения (7.57) запишется в виде:

а общее решение неоднородного уравнения (7.56) запишется так:

2. D = a² – 4b = 0, тогда    и      и   

В этом случае однородное уравнение (7.57) примет вид:
                                                                        (7.59)
Тогда

Легко убедиться, что решением уравнения (7.59) является также функция
Поэтому общим решением уравнения (7.59) является функция  а общим решением неоднородного уравнения (7.56) функция

3. D = a² – 4b < 0, тогда характеристическое уравнение (7.58) имеет два комплексных сопряженных корня:

Обозначим тогда общим решением однородного уравнения (7.57) будет функция   а неоднородного уравнения (7.56) — функция

Пример 1. Решить разностное уравнение:

Решение. Запишем соответствующее ему однородное уравнение:

Характеристическое уравнение  λ² – 5λ + 6 = 0  будет иметь действительные разные корни (D = 25 – 24 = 1 > 0),  λ1 =2,  λ2 = 3.
Общим решением однородного уравнения является функция

Далее положим, что y_t = y — частное решение неоднородного уравнения, тогда

Таким образом, общим решением неоднородного уравнения является функция  Постоянные  A₁ и A₂ определим из начальных условий: y₀ = 5, y₁ = 9. Тогда для t = 0 и t = 1 соответственно будем иметь:

Решим эту систему уравнений относительно A₁ и A₂:

Откуда  

Итак,  —  общее решение заданного в условии разностного уравнения.

Примеры применения разностных уравнений в экономических задачах

Пример 1. Пусть некоторая сумма средств выдается под сложный процент p, то к концу t-го года ее размер будет составлять:
   Это однородное разностное уравнение первого порядка. Его решением будет функция   ,  где A — некоторая постоянная, которую можно найти из начальных условий.

Если положить y₀ = F , то A = F, откуда  

Это известная формула величины фонда F, который выдается под сложный процент.

Пример 2. Пусть величина предложения сельскохозяйственной продукции в t-м году есть функция цены прошлого года    а спрос на эту продукцию есть функция цены в этом году. Следовательно, спрос:   а предложение 

Цена равновесия для данной продукции определяется равенством:
 а это разностное уравнение первого порядка.

Положим, что функция спроса определяется формулой   а функция предложения — формулой

Цена равновесия запишется:  то есть  Решением этого уравнения является функция    Постоянная A определяется из начальных условий, для t = 0 цена составляет p₀.

Тогда p₀ = A  и решением уравнения является функция  
Если начальная цена p₀ = 0, то p_t = 0 для всех значений t.

Следовательно, цена не подлежит изменению.

Вообще говоря, функция предложения — возрастающая, а потому b > 0; а функция спроса — убывающая, и поэтому a < 0. Откуда  Знак выражения зависит от номера года t, следовательно, цена колеблется.

Здесь имеют место три случая:

1) Если    то    и соответственно
Тогда говорят, что колебания цены сдерживается.

2) Если   то последовательные колебания цены составляют 
В этом случае говорят, что колебания цены периодические.

3) Если  то   и   p_t  бесконечно растет.
Говорят, что колебания цены растет.

В
общем случае линейное разностное
уравнение порядка M
с постоянными коэффициентами имеет вид

,
(8.16)

где
описывают конкретную систему, причем.

8.2.3.1. Решение разностных уравнений методом прямой подстановки

Уравнение
(8.16) записано в виде, удобном для решения
методом прямой
подстановки.
Имея набор начальных условий (например,

дляi=-1,
-2, …, —M)
и входную последовательность
по формуле (8.16)т можно непосредственно
вычислить выходную последовательностьдля.

Пример.

Дана
последовательность

Разностное
уравнение имеет вид

(8.17)

с
начальными условиями.

Данное
уравнение можно решить подстановкой,
что дает:

8.2.3.2. Решение разностных уравнений в
явном виде

Хотя
решение разностного уравнения
подстановкой
и целесообразно
в некоторых случаях, значительно полезнее
получить решения в явном
виде.

Основная
идея сводится к получению двух решений
разностного уравнения: однородного
и частного.

Однородное
уравнение получается путем подстановки
нулей вместо всех членов, содержащих
элементы входной последовательности
и определение отклика при нулевой
входной последовательности.

Частное
решение
получается из подбора вида последовательности
навыходе
при заданной входной
последовательности
.
Для определения произвольных постоянных
однородного решения используются
начальные условия.

Пример.

Решить
уравнение (8.17) этим методом.

Однородное
уравнение имеет вид

(8.18)

Известно,
что характеристическими
решениями однородных уравнений,
соответствующих линейным разностным
уравнениям с постоянными коэффициентами,
является решение вида
.
Поэтому, подставляя вместов (8.18),получим

Отсюда
однородное решение имеет вид

.
(8.19)

Частное
решение, соответствующее входной
последовательности
,
попробуем найти в виде

.
(8.20)

Из
уравнения (8.16) получаем

.

Поскольку
коэффициенты при равных степенях
в левой и правой частях уравнения должны
совпадать, то из получаемой системы
(трех уравнений) находим три искомых
коэффициента:.

Таким
образом, общее решение имеет вид:

,
(8.21)

В этом выражении
коэффициент
находится из начального условия.

Тогда
из (8.21) получим

(8.22)

Проверка
решения (8.22) при
показывает полное совпадение с приведенным
выше прямым решением.

Преимущество
решения (8.22) заключается в том, что оно
позволяет весьма просто определить
для любого конкретного.

8.2.3.3. Схемы реализации цифровых систем

Важное
значение разностных уравнений состоит
в том, что они непосредственно определяют
способ
построения цифровой системы.

Так,
разностное уравнение первого
порядка
самого общего вида

(8.23)

можно
реализовать с помощью схемы

Блок
“задержки” осуществляет задержку
сигнала на один отсчет.

Разностное
уравнение второго
порядка самого общего вида

(8.24)

может
быть реализовано при помощи схемы,
приведенной на рисунке 8.4.

Системы
первого и второго порядка могут быть
использованы при реализации систем
более высокого поряджка, т.к. последние
могут быть представлены в виде
последовательного или параллельного
соединения систем первого и второго
порядка.

8.2.4. Z – преобразование

Одним
из методов представления последовательностей
является Z-преобразование.

Для
последовательности
,
заданной при всех,Z-преобразование
определяется следующим степенным
рядом

.
(8.25)

где

— комплексная переменная.

8.2.4. 1. Последовательности конечной
длины

Если
отлична от нуля только в интервале,
где—конечны, то
сходится в— плоскости везде, за исключением, может
быть, точкиили.

Линейную
систему с постоянными параметрами,
импульсная характеристика которой
является последовательностью конечной
длины, называют системой с конечной
импульсной характеристикой, или, что
то же самое, КИХ-фильтром.

Типичная
импульсная характеристикаконечной длины изображена на рисунке
8.5.

Системой
(фильтром) с бесконечной импульсной
характеристикой (БИХ) называется
система (фильтр), длина импульсной
характеристики которой не ограничена
слева
или справаили с обеих сторон.

8.2.4. 2. Примеры Z-преобразования.

1. Найти
   Z-преобразование
   единичного импульса.

Решение.

Так
как
при любых,
кроме,
при котором,
то согласно (8.25) имеем

.
(8.26)

1. Найти
   Z-преобразование
   единичного
   скачка.

Так
как
везде, кроме,
где,
то из (8.25) получим

.
(8.27)

Бесконечный
ряд сходится при
,
т.к.имеет единственную особую точку.

(Примечание.
Результат (8.27) вытекает из формулы суммы
геометрической прогрессии

).

1. Найти
   Z-преобразование
   комплексной
   экспоненты.

.
(8.28)

сходится при
,
т.к. единственной особой точкой является.

1. Найти
   Z-преобразование
   простой экспоненциальной
   последовательности.

В
этом случае
приипри.

Тогда
согласно (8.25) получаем

.
(8.29)

сходится при
,
т.к. единственной особой точкой является.

8.2.4. 3. Свойства Z
– преобразования

Линейность.

Z
– преобразование линейно.

Пусть

— z
– преобразования
последовательностей
.

Тогда
справедливо

.
(8.30)

Задержка.

Если
,

то

. (8.31)

Это
свойство полезно при переходе от
представления линейной системы с
постоянными переменными к представлению
ее z
– преобразованием
и наоборот.

Пример.

Пусть
имеется разностное уравнение

.

Представим
его в виде z
– преобразования

или

,

где

Свертка
последовательностей

Пусть

входные и выходные последовательности
дискретной линейной системы с постоянными
параметрами,— импульсная характеристика системы,— их соответствующиеz
– преобразования.

Тогда
имеет место

,
(8.32)

или

Как
следует из рассмотрения (8.32), операция
свертки последовательностей сводится
к перемножению их z
– преобразований.

8.2.4.4. Решение разностных уравнений
с применением одностороннего z
– преобразования

Разностные
уравнения обычно определены при
и имеют набор начальных условий.

Разностное
уравнение первого
порядка

,
(8.33)

начальное
условие
.

Пусть
на вход поступает последовательность

.

Чтобы
найти одностороннее z
– преобразование, умножим обе части
равенства (8.33) на
и просуммируем отдо

.

Из
свойства задержки

.

Отсюда

.

Поскольку

,

то

.

Разложив
второе слагаемое на простые дроби,
получим

.

Обратное
z
– преобразование дает последовательность
– решение разностного уравнения

Соседние файлы в папке НОВИКОВ_2013-14

• #
• #
• #
• #
• #
• #

Категория: Цифровая обработка сигналов

1.3. Составление и решение разностных уравнений

Разности решетчатых функций аналогичны производным непрерывных функций [68]. Первая разность, или разность 1-го порядка, определяется как разность между предыдущей и последующей ординатами решетчатой функции

(1.26)

Разность 2-го порядка определяется следующим выражением:

(1.27)

Согласно (1.26), имеем следовательно,

(1.28)

Выражение разности 3-го порядка имеет следующий вид

(1.29)

Разность k-го порядка определяется по алгоритму, представленному математическим выражением

(1.30)

Пример 1.1. Решетчатая функция характеризуется выражением f[n] = an2. Определить разность этой функции.

Решение. Первая разность

и вторая разность

Уравнение, связывающее решетчатую функцию и ее разности с аргументом n, называется разностным уравнением, или уравнением в конечных разностях.

В общем виде неоднородное линейное разностное уравнение с постоянными коэффициентами m-го порядка можно записать в виде:

(1.31)

где y[n] – искомая функция (реакция); f[n] – заданная функция (возмущение). При f[n] = 0 уравнение (1.31) будет однородным.

Если в разностном уравнении (1.31) разности заменить решетчатыми функциями по формуле (1.30), то получим другой вид разностного уравнения:

(1.32)

Нетрудно установить связь между коэффициентами ak и bk. Например, если дано уравнение

то, подставляя в него значение из (1.26), (1.27), (1.28), получим

отсюда .

Разностное уравнение, записанное в формуле (1.32), можно рассматривать как рекуррентную формулу, позволяющую последовательно вычислять значения y[m], y[m + 1], y[m + 2], … , если известны y[0], y[1], y[2], …, y[m – 1]. В этом заключается одно из отличий разностных уравнений от дифференциальных. Другое отличие состоит в том, что порядок разностного уравнения может не совпадать с наивысшим порядком разности.

Для разностного уравнения m-го порядка задаются начальные значения решетчатой функции: либо y[0] и Δky[0] (при k = 1, 2,…, m – 1), если уравнение имеет вид (1.31), либо y[0], y[1], y[2], …, y[m – 1], если уравнение имеет вид (1.32).

Пример 1.2. Дано разностное уравнение

Определить другой вид (1.32) разностного уравнения.

Решение. Заменим разности соответствующими значениями решетчатой функции. В результате выполненной операции получим

или y[n + 3] + y[n + 2] = 0. После замены n1 = n + 2 это уравнение принимает вид y[n1 + 1] + y[n1] = 0, то есть переходит в однородное разностное уравнение 1-го порядка.

Пример 1.3. Составим временное разностное уравнение для конденсаторного счетчика импульсов (рис. 1.9, а) при uc(0) = 0. На рис. 1.9, б изображена времяимпульсная диаграмма, поясняющая работу счетчика импульсов. Входным напряжением счетчика является импульсный сигнал, представляющий собой последовательность прямоугольных импульсов с амплитудой Um, длительностью τ и периодом следования T. В интервале времени, когда на вход счетчика поступает импульс, происходит заряд конденсатора до некоторого напряжения, которое после окончания действия этого импульса сохраняется до прихода
следующего импульса.

а б

Рис. 1.9. Конденсаторный счетчик импульсов
и его времяимпульсная диаграмма

Решение. В качестве решетчатой функции рассмотрим значения напряжения на конденсаторе в конце периода, которые соответствуют напряжениям при срезах импульсов сигнала uвх(t). Предположим, что в начале n-го интервала напряжение на конденсаторе было равно uc(n). Для удобства анализа введем переменную интервала t, которая изменяется в пределах от нуля до T, а в данном примере она фактически не превышает величины τ.

В интервале действия импульса напряжение на конденсаторе определяется выражением [1]

(1.33)

где A – коэффициент свободной составляющей uc[t], который определяется из начальных условий; Um – принужденная составляющая uc[t], которая равна амплитуде импульса.

Напряжение на конденсаторе в конце n-го интервала равно

(1.34)

или

(1.35)

где

Определим из начальных условий коэффициент свободной составляющей A, подставив в уравнение (1.34) значения t = 0 и uc[n + 1] = uc[n]:

(1.36)

откуда

(1.37)

Затем подставив выражение (1.37) в уравнение (1.35), получим рекуррентную формулу для вычисления напряжения на конденсаторе

(1.38)

Отсюда при начальном условии uc[0] = 0, получим

или

(1.39)

Последнее выражение (1.39) представляет собой сумму членов геометрической прогрессии. Следовательно,

(1.40)

Подставляя сюда значение p, получим выражение для напряжения на конденсаторе в начале n-го интервала

(1.41)

Необходимо обратить внимание на то, что в решении (1.41) отсутствует величина периода T, что связано с принципом действия счетчика импульсов, так как в нем происходит только заряд конденсатора в течение времени τ.