Как составить сумму геометрической прогрессии

запиши периодическую дробь (0,(8)) обыкновенной дробью.

Решение.

Достаточно очевидно, что (0,(8)=0,8+0,08+0,008+…)  Слагаемые в правой части равенства образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, первый член которой равен (0,8), знаменатель равен (0,1). Найдём сумму по  формуле:

S=b11−q=0,81−0,1

.

Осталось выполнить нужные действия с десятичными дробями:

0,81−0,1=0,80,9=89

.

Таким образом, бесконечная периодическая десятичная дробь (0,(8)) обращается в обыкновенную дробь (8/9).

Ответ: (0,(8)=8/9).

Источник

Геометрическая прогрессия

  1. Понятие геометрической прогрессии
  2. Формула n-го члена геометрической прогрессии
  3. Свойства геометрической прогрессии
  4. Сумма первых n членов геометрической прогрессии
  5. Примеры

п.1. Понятие геометрической прогрессии

Геометрической прогрессией называют числовую последовательность, каждый член которой bn, начиная со второго, равен произведению предыдущего члена bn-1 и некоторого постоянного числа q: $$ mathrm{ b_n=b_{n-1}q, ninmathbb{N}, n ge 2, qne 0, qne 1, b_1ne 0 } $$ Число q называют знаменателем геометрической прогрессии.

Например:
1. Последовательность 1, 3, 9, 27, … является геометрической прогрессией с b1 = 1, q = 3.

2. Последовательность (mathrm{9, -3, 1, -frac13, frac19,…}) является геометрической прогрессией с b1 = 9, (mathrm{q=-frac13}).

п.2. Формула n-го члена геометрической прогрессии

По определению геометрической прогрессии мы получаем рекуррентную формулу для n-го члена: bn = bn-1q. Из неё можно вывести аналитическую формулу:

b2 = b1q,   b3 = b2q = (b1q)q = b1q2,   b4 = b3q = (b1q2)q = b1q3,…

Получаем:

bn = b1qn-1

Например:
Найдём b5, если известно, что (mathrm{b_1=frac12, q=2}).
По формуле n-го члена получаем: (mathrm{b_5=b_1q^4=frac12cdot 2^4=2^3=8})

п.3. Свойства геометрической прогрессии

Свойство 1. Экспоненциальный рост/падение

Геометрическая прогрессия с положительными первым членом и знаменателем b1 > 0, q > 0 является показательной функцией вида f(n) = kqn: $$ mathrm{ b_n=frac{b_1}{q}q^n } $$

Свойство 1

Свойство 1

При b1 > 0, q > 1 прогрессия экпоненциально растёт

При b1 > 0, 0 < q < 1 прогрессия экпоненциально падает

Свойство 2. Признак геометрической прогрессии

Для того чтобы числовая последовательность была геометрической прогрессией необходимо и достаточно, чтобы каждый её член, начиная со второго, был средним геометрическим предыдущего и последующего членов: $$ mathrm{ left{b_nright} — text{геометрическая прогрессия} Leftrightarrow b_n=sqrt{b_{n-1}b_{n+1}}, ninmathbb{N}, n geq 2 } $$ Следствие: аждый член прогрессии является средним геометрическим двух равноудалённых от него членов: $$ mathrm{ b_n=sqrt{b_{n-k}b_{n+k}}, ninmathbb{N}, kinmathbb{N}, n geq k+1 } $$

Например:
Найдём b9, если известно, что (mathrm{b_7=frac{1}{16}, b_{11}=4})
По следствию из признака геометрической прогрессии: (mathrm{b_9=sqrt{b_7b_{11}}=sqrt{frac{1}{16}cdot 4}=frac12})

Свойство 3. Равенство сумм индексов

Если {bn} – геометрическая прогрессия, то из равенства сумм индексов следует равенство произведений членов: $$ mathrm{ m+k=p+q Rightarrow b_mb_k=b_pb_q } $$ Следствие: произведение членов, равноудалённых от концов прогрессии, является постоянной величиной: $$ mathrm{ b_1b_n = b_2b_{n-1}=b_3b_{n-2}=… } $$

Например:
Найдём b6, если известно, что b2 = 5, b4 = 10, b8 = 40
По равенству сумм индексов b2b8 = b4b6
Откуда (mathrm{b_6=frac{b_2b_8}{b_4}=frac{5cdot 40}{10}=20})

п.4. Сумма первых n членов геометрической прогрессии

Сумма первых n членов геометрической прогрессии равна $$mathrm{ S_n=frac{b_nq-b_1}{q-1}, qne 1} $$

Если учесть, что bn = b1qn-1, получаем ещё одну формулу для суммы: $$mathrm{ S_n=b_1frac{q^n-1}{q-1}, qne 1} $$

Например:
Найдём сумму первых 10 степеней двойки: 2 + 22 + 23 + … + 210
В этом случае b1 = 2, q = 2, n = 10
Получаем: (mathrm{ S_{10}=2cdot frac{2^{10}-1}{2-1}=2cdot (1024-1)=2046})

п.5. Примеры

Пример 1. Найдите знаменатель геометрической прогрессии и сумму первых 10 членов, если:
а) b5 = 9, b8 = 243
Найдём отношение $$ mathrm{ frac{b_8}{b_5}=frac{b_1cdot q^7}{b_1cdot q^4}=q^3, frac{b_8}{b_5}=frac{243}{9}=27=3^3, q^3=3^3Rightarrow q = 3 } $$ Найдём 1-й член: $$ mathrm{ b_1=frac{b_5}{q^4}=frac{9}{3^4}=frac{3^2}{3^4}=frac{1}{3^2}=frac19 } $$ Сумма: $$ mathrm{ S_{10}=b_1frac{q^{10}-1}{q-1}=frac{3^{10}-1}{9cdot 2}=frac{29524}{9}=3280frac49 } $$ Ответ: q = 3, S10 = (mathrm{3280frac49})

б) b1 = 3, bn = 96, Sn = 189
По формуле суммы: $$ mathrm{ S_{n}=frac{b_nq-b_1}{q-1}Rightarrow 189 =frac{96q-3}{q-1}Rightarrow 189(q-1)=96q-3Rightarrow 93q=186Rightarrow q = 2 } $$ Сумма: $$ mathrm{ S_{10}=b_1frac{q^{10}-1}{q-1}=3cdot frac{2^{10}-1}{2-1}=3cdot 1023=3069 } $$ Ответ: q = 2, S10 = 3069

Пример 2. Между числами (mathrm{40frac12 text{и} 5frac13}) вставьте такие четыре числа, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию.
По условию (mathrm{b_1=40frac12, b_6=5frac13}) $$ mathrm{ frac{b_6}{b_1}=q^5, frac{b_6}{b_1}=5frac13 : 40frac12=frac{16}{3} : frac{81}{2}=frac{16}{3} cdot frac{2}{81}=frac{32}{243}=frac{2^5}{3^5}=left(frac23right)^5 } $$ Знаменатель (mathrm{q=frac23})
Находим промежуточные члены прогрессии: begin{gather*} mathrm{ b_2=b_1q=40frac12cdotfrac23=frac{81}{2}cdot frac23=27, b_3=b_2q=27cdotfrac23=18, }\ mathrm{ b_4=b_3q=18cdotfrac23=12, b_5=b_4q=12cdotfrac23=8 } end{gather*} Ответ: 27, 18, 12 и 8

Пример 3. Найдите первый и последний члены геометрической прогрессии, если: $$ left{ begin{array}{ l } mathrm{b_4-b_2=0,6} & \ mathrm{b_5-b_3=1,2} & \ mathrm{S_n=12,7} & end{array}right. $$ Заметим, что b4=b2q2,   b5=b3q2. Для первых двух уравнений получаем: $$ left{ begin{array}{ l } mathrm{b_2q^2-b_2=0,6} & \ mathrm{b_3q^2-b-3=1,2} & end{array}right. Rightarrow left{ begin{array}{ l } mathrm{b_2(q^2-1)=0,6} & \ mathrm{b_3(q^2-1)=1,2} & end{array}right. $$ Делим второе уравнение на первое: $$ mathrm{ frac{b_3(q^2-1)}{b_2(q^2-1)}=frac{1,2}{0,6}Rightarrowfrac{b_3}{b_2}=q=2 } $$ Подставляем найденное значение знаменателя прогрессии в первое уравнение: $$ mathrm{ b_2(2^2-1)=0,6 Rightarrow b_2=frac{0,6}{3}=0,2 Rightarrow b_1=frac{b_2}{q}=frac{0,2}{2}=0,1 } $$ Для третьего уравнения можем записать: begin{gather*} mathrm{ S_n=b_1frac{q^n-1}{q-1}=0,1cdotfrac{2^n-1}{2-1}=frac{2^n-1}{10}=12,7 Rightarrow 2^n-1=127 Rightarrow }\ mathrm{ Rightarrow 2^n=128=2^7 Rightarrow n=7 } end{gather*} 7-й член b7 = b1q6 = 0,1 · 26 = 6,4
Ответ: b1 = 0,1;   b7 = 6,4

Пример 4. В геометрической прогрессии, все члены которой положительны, сумма первого и второго членов равна 48, а сумма третьего и четвёртого членов равна 12. Найдите значение n, при котором Sn = 63. $$ text{По условию} left{ begin{array}{ l } mathrm{b_1+b_2=48} & \ mathrm{b_3+b_4=12} & \ mathrm{S_n=63} & end{array}right. $$ Заметим, что b3 = b1q2,   b_4=b_2q2. Второе уравнение можно переписать в виде: $$ mathrm{ b_3+b_4=b_1q^2+b2q^2=underbrace{(b_1+b_2)}_{=48} q^2=12 Rightarrow q^2=frac{12}{48}=frac14 Rightarrow q=frac12 } $$ Берём положительное значение q, т.к. по условию все члены положительны.
Из первого уравнения $$ mathrm{ b_1+b_2=b_1(1+q)=48 Rightarrow b_1=frac{48}{1+frac12}=48cdotfrac23=32 } $$ Для третьего уравнения можем записать: begin{gather*} mathrm{ S_n=b_1frac{q^n-1}{q-1}=b_1frac{1-q^n}{1-q}=32cdotfrac{1-frac{1}{2^n}}{1-frac12}=64left(1-frac{1}{2^n}right)=63 }\ mathrm{ 64-frac{64}{2^n}=63 Rightarrow 1=frac{2^6}{2^n} Rightarrow n=6 } end{gather*} Ответ: 6

Пример 5. Бактерия, попав в организм, делится надвое каждые 20 мин. Сколько бактерий будет в организме через сутки?
Сутки – это 24 · 60 = 1440 мин, или n = 1440 : 20 = 72 цикла деления.
По условию необходимо найти

N = N0 · 2n,   где N0 = 1
N = 272 = 4 722 366 482 869 645 213 696 ≈ 4,7 · 1021

Ответ: 4,7 · 1021 бактерий

Источник

        Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии ни по виду, ни по смыслу, ничуть не сложнее аналогичной формулы для арифметической прогрессии. Почитайте, кстати, кто забыл.)

        Для геометрической прогрессии формула суммы выглядит вот так:

        Смысл формулы суммы тот же самый: она позволяет быстро подсчитывать результат сложения всех членов геометрической прогрессии с первого по последний. Если таких членов мало, то можно и на бумажке всё сложить да посчитать — не проблема. А вот если членов много и (или) числа большие, то сложение в столбик уже напрягает. Тогда только формула, да…

        Буковки в формуле:

        Sn — сумма членов геометрической прогрессии с первого по последний. Причём, опять же, обращаю ваше внимание, что складываются именно все члены подряд, без пропусков! И именно с первого.

        b1 — первый член прогрессии. Здесь всё ясно, никаких фокусов.

        q — знаменатель прогрессии. Тоже всё знакомо, ничего хитрого.

        n — номер последнего члена. Совпадает с количеством складываемых членов.

        На вид всё просто, а вот на практике с записью формулы случаются проблемы. И если с первым членом b1 у народа обычно всё в порядке, его всегда в числитель дроби пишут, то многочисленные разности единички и знаменателя q постоянно путаются в голове. Гораздо чаще, чем хотелось бы… Где и что сидит? 1-q или q-1? (1-qn) или же (1-q)n ? Что сидит в числителе, а что в знаменателе? Это первая (и основная) причина путаницы, а вот вторая.

        Дело всё в том, что во многих учебниках формулу суммы частенько пишут немного по-другому. Вот так:

        Нашли отличия? Да! И в числителе и в знаменателе единичка и знаменатель поменялись местами.) Но общая суть формулы осталась прежней! Основное свойство дроби помните? Если числитель и знаменатель дроби помножить на одно и то же число, значение дроби не изменится.)

        Так и здесь. Если числитель и знаменатель дроби в основной формуле суммы помножить на (-1), то получим вспомогательную формулу:

        

        И что же правильно? Всё правильно! И тот и другой варианты записи формулы вполне себе рабочие и имеют право на жизнь. Вот и теряется народ…

        Так как же всё-таки запомнить формулу суммы так, чтобы никогда не путаться? Легко! Вот вам краткий алгоритм для запоминания.

        На первом этапе определяемся с порядком вычитания — от единички знаменатель отнимать будем (1-q) или же наоборот (q-1). Причём важно: порядок вычитания мы выбираем сами! Как хотим.) Я всё же выберу первый вариант (1-q). Он чуть более предпочтителен для работы с суммой, чем второй. Почему? Об этом в следующем уроке будет.

        На втором этапе рисуем черту дроби. И в числитель и в знаменатель пишем разность единички и знаменателя в выбранном порядке! Как сами выбрали, так и пишем. Одинаково и в числитель и в знаменатель! Вот так:

        

        На третьем этапе ещё раз смотрим на формулу. И соображаем, что числитель отличается от знаменателя одной лишь маленькой буковкой –  степенью n у знаменателя прогрессии.

        Пишем:

        

        Обращаю ваше внимание, что в степень n возводим не всю разность 1-q целиком, а только знаменатель прогрессии! И именно в числителе. Это важно.

        А дальше осталось умножить полученную дробь на первый член (b1). Из действий с дробями вспоминаем, что при умножении дроби на число оно (число) идёт наверх, в числитель. Поэтому при умножении заключаем числитель дроби в скобочки и получаем то что нам нужно:

        

        Вот такой простой и безотказный приёмчик. Имеет смысл запомнить эту цепочку. Тогда путаницы и ошибок будет на порядок меньше. Проверено. Помогает.)

        Прошу заметить, приведённая цепочка — это всего лишь приём для запоминания формулы, а ни в коем случае не вывод! Выводится эта формула весьма хитро и нетривиально. Но нам ведь не столько вывести саму формулу важно, сколько потренироваться с ней работать, правда?

Решение заданий на формулу суммы.

        Прежде всего, ценная информация:

        Основная проблема в заданиях на сумму геометрической прогрессии заключается в правильном определении элементов формулы.

        Я не просто так выделяю эти слова. Ибо эти самые элементы составители задач шифруют с безграничной фантазией. Самое главное здесь — не пугаться и не бояться. Что нужно, чтобы не пугаться и не бояться?

        1. Разбираться в базовой терминологии. А именно — чётко понимать суть каждого элемента формулы и всей геометрической прогрессии в целом. Об этом можно почитать, посетив первый урок.

        2. Знать наизусть формулу n-го члена. Но не просто знать, а уметь грамотно применять на практике. А также уметь работать с её разновидностями — с видоизменёнными и рекуррентными формулами n-го члена. Об этом – во втором уроке.

        Начнём с первой задачки на основе варианта ОГЭ.

        1. Дана геометрическая прогрессия, знаменатель которой равен -2, а первый член равен -3/4. Найдите сумму первых шести её членов.

        Хорошая задачка. Простая. Все исходные данные для применения формулы уже есть. Даны прямым текстом.

        Первый член? Пожалуйста!

        b1 = -3/4

        Знаменатель прогрессии? Вот он!

        q = -2

        А где взять номер последнего члена? Да всё там же. В условии.) Нас спрашивают про сумму первых шести членов. Стало быть, номер последнего члена — шестёрка:

        n = 6

        Ещё раз напоминаю, что номер последнего члена всегда совпадает с количеством складываемых членов.

        Вот и подставляем все исходные данные в формулу. Подставляем со всеми знаками и скобочками, не стесняемся!)

        И аккуратно считаем:

        

        Вот так.

        В принципе, ответ уже готов. Если вы просто решаете задачку в классе или дома, то ответ можно так и оставить, в виде обыкновенной дроби. Но если вам нужно записывать ответ в бланк ЕГЭ или ОГЭ то обыкновенную дробь всяко надо перевести в десятичную. Переводим и получаем:

        63/4 = 63:4 = 15,75

        Ответ: 15,75

        Казалось бы, простенькая задачка, но простора для глупых ошибок хватает, да.) Особенно — в знаках. Будьте предельно внимательны при подстановке исходных данных в формулу! Этот пример, с кучей минусов, я специально так подобрал. Иначе задание было бы совсем примитивным…

        Ещё один тип популярных задачек:

        2. Геометрическая прогрессия задана условием:

        b1 = -7,

        bn+1 = 3bn

        Найдите сумму первых пяти её членов.

        Узнали? Да! Та самая рекуррентная формула, от вида которой у многих мурашки по коже… А зря.) Что это за зверь и с чем его едят, подробненько изложено в предыдущем уроке. Кстати, в том уроке детально разобрана задачка именно с нашей формулой, с точно такими же условиями. Совпадение.)

        А здесь я буду краток.

        Прямо по смыслу рекуррентной формулы считаем второй член прогрессии через первый:

        b2 = 3b1 = 3·(-7) = -21

        Делим второй член на первый и получаем знаменатель прогрессии:

        q = -21/(-7) = 3

        Всё! Есть первый член, есть знаменатель. Записываем формулу суммы и считаем сумму пяти членов:

        

        Ответ: -847

        А теперь задачка в виде краткой шифровки.

        3. Найдите сумму всех натуральных степеней двойки, не превосходящих 1000.

        Оп-па! Привычная нам прогрессия блистательно отсутствует: ни первого члена тебе нет, ни последнего… Что делать?

        Да всё то же самое! Головой думать, да… Голова нужна не только, чтоб шапку носить.)

        Вот и скачиваем из условия задачи всю нужную нам информацию. Что такое натуральные степени — знаем? Правильно! Это степени с целыми и положительными показателями. Т.е. 1, 2, 3 и так далее… И какая такая натуральная степень двойки будет первой? Очевидно, что 21.

        Т.е. b1 = 21 = 2.

        Можно уже записать прогрессию по условию задачки:

        21; 22; 23; 24; 25; …

        Будет ли она геометрической? Конечно! Каждый член больше предыдущего строго вдвое. В два раза! Вот уже и знаменатель прогрессии расшифровали незаметно для себя.) Записываем:

        q = 2

        Осталось лишь сообразить, чему будет равен номер последнего члена n. Из условия задачи видно, что наша прогрессия не простирается вправо на бесконечность. Там чётко сказано: «не превосходящих 1000». Что значит «не превосходящих»? Это значит, меньше или равно — вот! Последний член прогрессии должен быть как можно ближе к тысяче, но не больше её. Меньше — пожалуйста! Ровно тысяча — тоже. А вот больше — уже никак нет.

        И как же найти последний такой член?

        Очень просто! Берём и последовательно возводим двойку в квадрат, куб, четвёртую степень, пятую и т.д.

        И смотрим:

        «Так, 28 = 256… мало… 29 = 512, уже ближе, но всё равно маловато… Может, можно ещё возвести? 210 = 1024… Стоп! Уже много! 1024 — уже больше 1000… Стало быть, последний член прогрессии — это два в девятой степени.»

        Верные мысли! Девятый член нас полностью устраивает. А вот десятый — уже нет: он больше тысячи. Всего на 24, но — больше. Против математики не попрёшь…

        Стало быть,

        n = 9

        Sn = S9

        Всё! Вся ценная информация из условия скачана, осталось лишь записать формулу суммы да посчитать:

        

        Ответ: 1022

        То были простые задачки. Для понимания общей сути и принципа применения формулы. А теперь задачка куда более серьёзная. Подтяните брюки и устраивайтесь поудобнее.)

        4. Сумма первых трёх членов геометрической прогрессии равна 26, а сумма следующих трёх членов равна 702. Найдите сумму первых пяти членов.

        Что, страшно? Боимся, но решаем!

        Перво-наперво, что всегда следует делать в таких задачах — это сразу выписывать общую формулу суммы:

        А теперь читаем условие задачи ещё раз и снова начинаем въедливо и настойчиво искать и скачивать любую полезную информацию, любую мелочь, которая может служить зацепкой для применения формулы.

        Читаем первое предложение. И сразу же натыкаемся на слова: «Сумма первых трёх членов геометрической прогрессии равна 26…»

        Стоп! Это ценно. Можно записать:

        S3 = 26

        Или, через общую формулу для n=3:

        

        Поможет нам это уравнение или нет — непонятно. Ни первого члена нет, ни знаменателя… Но что-то же делать всё равно надо, верно?) Ничего страшного, условие задачи ещё не окончено.

        Читаем дальше: «…а сумма следующих трёх членов равна 702.»

        Так, это тоже важно! Что такое сумма следующих трёх членов? Это значит, сумма членов с четвёртого по шестой, вот! Ну, раз уж первая сумма была с первого члена по третий…

        Пишем:

        S4-6 = 702

        Хотелось бы это равенство также расписать через общую формулу, но… вынужден вас горько разочаровать.

        Напоминаю, что общая формула суммы работает всегда строго с первого члена. А здесь суммирование начинается с четвёртого члена. Облом… Придётся головой думать и как-то выкручиваться, да.)

        Самое элегантное решение здесь следующее. Разобьём нашу прогрессию на две части. Первая часть будет с первого члена по третий. Вторая часть — четвёртого члена по шестой. Ясное дело, что если мы возьмём сумму членов первой части S1-3 да сложим её с суммой членов второй части S4-6, то получим… получим… Да! Получим сумму членов с первого по шестой!

        Записываем:

        S1-3 + S4-6 = S1-6

        Обе суммы слева нам известны по условию. Это 26 и 702, если вы помните. Складываем и получаем:

        S1-6 = 702+26

        S1-6 = 728

        Вот и отлично. Теперь сумма считается как и положено — с первого члена. Т.е. к этому равенству уже применима стандартная формула суммы для n=6. Приступаем?)

        

        Вот и второе уравнение в кармане!) Так как оба уравнения относятся к одной и той же прогрессии и должны выполняться одновременно, то самое разумное — собрать их в систему. Вот так:

        

        Всё! Работа с собственно прогрессией закончена. Дальше — обычная алгебра. Решение систем — это уже её родная стихия.

        Начнём-с?

        Хм… не начинается… Ужас какой-то! Дроби, знаменатель q вообще аж в шестой степени. Не простейшая система, ох, не простейшая…

        Что ж, пришло время поразмышлять синим цветом:

        «Так-с… Влёт не решается, это ясно. Но, тем не менее, какой бы страшной на вид система ни казалась, всегда надо стараться начинать с самого простого и привычного. А именно — прикинуть, а можно ли в каком-то из уравнений выразить одну из переменных через другую? Удобное при этом выражение получится или не очень — дело другое. Главное — выразить! Хоть как-то… Дальше видно будет…»

        В данном случае такая возможность есть. Выпишем, например, первое уравнение:

        

        Понятное дело, что пробовать выражать из него q через b1 весьма затруднительно: знаменатель — он сидит под кубом в числителе, да ещё и тусуется в знаменателе. Нехорошо… Зато b1 выступает простым множителем в числителе дроби и больше нигде не сидит! Стало быть, выражать наоборот — b1 через q — одно удовольствие.) Если с блеском владеть тождественными преобразованиями уравнений, и уметь выражать переменную из формулы, конечно…

        Вот и «очищаем» b1 от всего постороннего: домножаем всё уравнение на знаменатель 1-q и делим на скобку (1-q3). Всё как при работе с обычным произведением. Получим следующее:

        

        Вот и всё. Слева — только b1, а справа — что уж получилось… Дальше дело привычное. Подставляем это добро в нижнее уравнение. По правилам действий с дробями и дробными выражениями, разумеется:

        

        Несмотря на грозный вид нижнего уравнения, оно совсем-совсем простое! Для тех, кто на «ты» с алгеброй седьмого класса, разумеется.) Не верите? Хорошо, убеждаемся лично.)

        Выпишем отдельно этого монстра и поработаем:

        

        Применяем базовый принцип всей математики:

        Не знаешь, что нужно — делай что можно!

        Во-первых, можно заметить, что число 728 прекрасно делится на 26! Получится 28. Стало быть, обе части можно сократить на 26. Слева останется произведение дробей, а справа — число 28. Это уже кое-что…)

        Поработаем теперь с дробями. А там что можно увидеть? Разность квад… Да! Ну, конечно.) Разложим по формуле разности квадратов самую злую скобку, с шестой степенью:

        1-q6 = 12-(q3)2 = (1-q3)(1+q3)

        Вот так. Разлагать скобки дальше по формулам разности и суммы кубов никакой необходимости нет. Всё нехорошее и так прекрасно сокращается:

        

        Отлично! Наше злое уравнение превращается в совсем простенькое:

        1+q3 = 28

        Дорешиваем элементарщину и получаем q=3. Есть! Полдела сделано.)

        Имейте в виду, что подобные разложения по формулам сокращённого умножения очень популярны при работе с суммой геометрической прогрессии! Очень! Именно они позволяют максимально эффективно упрощать страшные дробные выражения, превращая их в белые и пушистые.)

        Подставляем теперь тройку вместо q в общее выражение для b1 и считаем первый член:

        

        Прекрасно! Первый член есть, знаменатель — тоже. Остался последний штрих — расписать формулу суммы пяти членов, подставить числа да аккуратно посчитать:

        

        Ответ: 242

        Разумеется, разбирать так детально одну задачу смысла особого нету. Не попадётся она. Но самое главное в процессе такого разбора конкретной задачи – показать, как нужно видеть цель и куда именно надо стремиться при решении запутанных примеров. Идея ясна?)

        Подытожим урок:

        1. При решении любой задачи на сумму геометрической прогрессии первым делом выписываем общую формулу суммы

        и формулу n-го члена

        Очень часто совместное применение этих двух формул подсказывает дальнейшую дорогу к ответу.

        2. В сложных задачах при работе с формулой суммы применяем разложение на множители по формулам разности квадратов и (или) разности кубов. Основная цель — максимально упростить получающееся уравнение или систему уравнений. Используем эти формулы себе во благо! Помогает.)

        Ну что, пора поработать самостоятельно, как вы считаете?)

        Решить следующие задачи:

        5. Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии:

        -256; 128; -64; …

        Найдите сумму первых семи её членов.

        6. Геометрическая прогрессия задана условием bn = 164∙2—n. Найдите сумму первых четырёх её членов.

        Узнали? Всё верно, это формула n-го члена для конкретной прогрессии. Предыдущий урок вам в помощь! Ну и элементарный смысл геометрической прогрессии, разумеется.) Что? Минус в показателе смущает? Ну, это вопрос не к прогрессиям… К степеням, к степеням, товарищи!)

        Следующая задачка более творческая. Старинная, между прочим!)

        7. Некто продал лошадь за 1000 руб 15 коп. Но покупатель, приобретя лошадь, раздумал ее покупать и возвратил продавцу, говоря:

        — Нет мне расчета, покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит!

        Тогда продавец предложил другие условия:

        — Если по-твоему цена лошади высока, то купи только её подковные гвозди, лошадь же получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 6. За первый гвоздь дай мне всего 1 коп., за второй — 2 коп., за третий — 4 коп. и т.д.

        Покупатель, соблазненный низкой ценой и желая даром получить лошадь, принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придется уплатить не более 100 руб.

        На сколько рублей покупатель проторговался?

        И это решили? Молодца! Хорошо, вот вам ещё парочка задачек покруче.)

        8. Второй член возрастающей геометрической прогрессии составляет 4% от четвёртого члена, а сумма первых пяти членов равна 1562. Найдите первый член прогрессии.

        9. Сумма второго и шестого членов геометрической прогрессии равна 34, а сумма третьего и седьмого членов равна 68. Найдите сумму первых 10 членов прогрессии.

        Ответы (в беспорядке): 2; 166772; 1023; 153,75; -172.

        И это решили? Респект! Значит, задачи на сумму геометрической прогрессии — не ваша головная боль. Можно смело двигать на следующий, последний уровень. Под названием бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Специфическая и очень интересная штука, между прочим!)

Источник
  1. Что такое геометрическая прогрессия?
  2. Формулы и свойства геометрической прогрессии
  3. Калькуляторы геометрической прогрессии
  4. Примеры решения заданий с геометрической прогрессией

    5. Ученикам может показаться, что изучение геометрической прогрессии – это нечто абстрактное и оторванное от жизни. На самом деле множество экономических процессов построены именно на основе геометрической прогрессии.

    Например, если вы положите деньги на банковский депозит и захотите посчитать сколько процентов заработаете за три года, самым удобным способом провести вычисления будет именно через формулу геометрической прогрессии. Этот инструмент также применяется в проектировании, архитектуре и строительстве.

    В этом тексте вы сможете узнать базовую информацию о формулах и свойства геометрической прогрессии, а также понять принцип, по которому она действует.

    Что такое геометрическая прогрессия?

    3, 12, 48, 192, 768, 3072 – это пример геометрической прогрессии. Все эти объединенные единым общим множителем. В теории геометрической прогрессии он называется знаменателем и обозначается как q. В этом случае q = 4. Чтобы создать геометрическую прогрессию, нам нужно сначала три умножить на четыре, затем 12 – снова на 4, потом 48 на 4 и так далее.

    Читайте также: Плюсы и минусы образования за рубежом

    Определение геометрической прогрессии

    Геометрическая прогрессия – это прежде всего последовательность чисел. Каждый пункт этой последовательности, начиная со второго, равен предыдущему числу, умноженному на одинаковый множитель.

     геометрическая прогрессия

    Устойчивое число множитель, которое собственно и образует последовательность под названием геометрическая прогрессия, называется знаменателем прогрессии и обозначается, как мы уже отметили выше, буквой q.

    Члены прогрессии обозначаются как , где под индикатором n имеется в виду порядковый номер члена в прогрессии. Соответственно, первый член прогрессии (в нашем первом примере равен 3 – это b1, а второй (12) – это b2.

    Предполагается, что ни первый член, ни знаменатель прогрессии не равен нулю.

    Свойства геометрической прогрессии

    Геометрическая прогрессия становится удобным инструментом вычислений, когда вы понимаете, что с помощью ее свойств и связанных с ней формул можно легко вычислить, чему равно 

    геометрическая прогрессия

    геометрическая прогрессия

    И действительно – если попробуем вручную умножать каждое число ряда на 4, в конце концов восьмым числом этой геометрической прогрессии станет 49152.

    После усвоения главного принципа, лежащего в основе геометрической прогрессии, можем закрепить знания, проверив на практике первый пример с банковским депозитом. 

     геометрическая прогрессия

    Допустим, вы кладете на свой счет $ 100 под 6% годовых, и хотите узнать, какую сумму получите за 3 года. В таком случае вы будете использовать в своих расчетах геометрическую прогрессию, ведь ежегодно вы будете умножать все большую сумму на один и тот же множитель (в данном примере он равен 6%, то есть – 1,06)

    Чтобы вычислить сумму вклада в момент завершения действия депозита, используем уже знакомую формулу для нахождения значения любого члена прогрессии: 

    геометрическая прогрессия

    геометрическая прогрессия

    В чем разница между геометрической и арифметической прогрессией?

    В геометрической прогрессии члены прогрессии умножаются на постоянное число, тогда как арифметическая прогрессия воплощает последовательность чисел, в которой к каждому предыдущему члена добавляется одно и то же постоянное число.

     геометрическая прогрессия

    Представим это на примерах.

    Предположим, что знаменатель (q) в случае геометрической прогрессии составит 3 и так же в арифметической прогрессии устойчивое слагаемое будет равно 3. И стартовый член прогрессии в обоих случаях также составит одно и то же число – 4.

    Арифметическая прогрессия тогда будет выглядеть как последовательность 4, 7 (= 4 + 3), 10 (= 7 + 3) .., 13 .., 16 .., 19 …

    А геометрическая прогрессия – как последовательность 4, 12 (= 4 * 3), 36 (= 12 * 3), 108 .., 324 …

    Читайте также: Учимся играя. Что такое геймификация

     

    Формулы и свойства геометрической прогрессии

    Свойства членов геометрической прогрессии – это формулы, упрощающие расчеты. Вот некоторые из них:

    Чтобы найти знаменатель геометрической прогрессии, следует использовать следующую формулу: Формула - знаменатель прогрессии равен

    Произведение членов, равноудаленных от краев геометрической прогрессии, то есть, соседних, всегда является постоянной величиной, то есть:

    С формулой расчета любого члена геометрической прогрессии мы уже знакомы. Она выглядит так:

    А формула нахождения суммы п первых членов геометрической прогрессии выглядит так:

    Любой член геометрической прогрессии, начиная со второго, будет равняться среднему арифметическому соседних с ним членов, то есть при , 

    Калькуляторы геометрической прогрессии

    В сети есть множество калькуляторов как арифметической, так и геометрической прогрессии. Некоторые из них могут не только посчитать сумму прогрессии или найти знаменатель, но и отразить пошаговое решение того или иного примера. Пользуясь ими вы не только найдете ответ, но и сможете понять принцип действий и запомнить некоторые из формул.

    Однако если вы переживаете сложности с пониманием геометрической прогрессии, эффективным решением может быть работа с репетитором по алгебре. На сайте БУКИ вы можете найти репетитора по любому предмету.

    Что касается онлайн-калькуляторов прогрессии, то в Keisan Online Calculator вы можете вычислить или сумму геометрической прогрессии, а также значение любого ее члена с пошаговым решением вашего примера. А в Geometric Sequence Calculator вы сможете вычислить любой составляющая прогрессии: и знаменатель геометрической прогрессии (q), и сумму бесконечный прогрессии (Sn), и сумму первых членов (Sn).

    Примеры решения заданий с геометрической прогрессией

    геометрическая прогрессия

    1. Вычислим знаменатель геометрической прогрессии, если b1=5,5; b2=11.

    Решение: 

    Вычислим знаменатель прогрессии, поделив друг на друга соседние члены:

    q = b2/b1 = 11/5,5 = 2.

    Ответ: 

    Знаменатель прогрессии (q) равен 2.

    геометрическая прогрессия

    1. Вычислим знаменатель геометрической прогрессии, если b1=0,3; b2= -30.

    Решение:

    Вычислим знаментель прогрессии, поделив друг на друга соседние члены: 

    q = b2/b1= -30/0,3= -100.

    Ответ:

    Знаменатель прогрессии (q) равен -100.


    Читайте также: Самые популярные специальности в мире: выбор студентов 2021

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как найти номер монти
  • Сталкер как найти пушку долговца
  • Как найти схему вышивания крестиком
  • Как можно найти ctg
  • Могила аллилуевой как найти