Задачи с процентами часто попадаются в экзаменационных заданиях. Многих они сбивают с толку – как разобраться с условием и как это решить? И совершенно зря, потому что с задачами на проценты каждый часто встречается в обычной жизни.
Пока такие задачки остаются оторванными от реальности строчками в учебнике, их бывает сложно понять и тем более решить. Чтобы стало понятнее, мы вам сейчас покажем примеры из обычной жизни, где вам могут встретиться проценты. А еще просто и доступно объясним, как решать задачи на проценты. И все у вас станет на свои места.
Задачи про проценты вокруг нас
Давайте оглядимся по сторонам: значения в процентах указаны на упаковках с любыми продуктами. Значок процента «%» смотрит на нас с рекламных плакатов скидок и распродаж. В новостях проценты сразу бросаются в глаза, когда речь идет о повышении цен на товары или коммунальные услуги. Разве вы сможете расшифровать все эти послания, если не научитесь решать задачи с процентами? Но вы, конечно, научитесь – мы в вас верим.
А вот такая ситуация: вы купили что-нибудь через интернет и получили извещение от ближайшего почтового отделения. Или сами собираетесь послать подарок другу в другой город. Вам обязательно надо уметь разбираться с процентами, чтобы узнать, сколько денег почта захочет получить за свои услуги по пересылке.
Или возьмем банковские кредиты и ипотеку. Банки в договорах всегда пишут мелкими буквами всякие вещи, которые полезно понимать. Например, какой процент по кредиту придется заплатить банку кроме тех денег, которые вы у него «одолжили» и обязаны вернуть.
А самый близкий школьникам пример связан с ЕГЭ. Каждый год после экзаменов публикуют официальную статистику. В которой немало задействованы и проценты. И эти проценты имеют прямое отношение к будущим выпускникам. Например, процент ребят, сдавших экзамен по математике на «хорошо» и «отлично» косвенно говорит о том, сколько абитуриентов с высокими баллами могли подать документы в вузы на технические специальности. А еще на программирование, прикладную математику и т.п. Чем их больше, тем выше конкурс. Если сравнивать их результаты со своими оценками, можно прикинуть собственные шансы на поступление.
Что такое процент?
Самое очевидное определение: процент – это десятичная дробь. В жизни редко что-то можно сравнивать целиком, чаще приходится сравнивать разные части чего-то целого. Поэтому мы используем такие понятия, как половина (1/2), треть (1/3), четверть (1/4). Ну да, все так привыкли к слову «четверть» в школе, что забывают о его формальном значении – «четвертая часть учебного года». Сравнивать сотые доли удобнее всего – так появился процент (1/100): pro centum – «за сто» на латыни.
Все задачи по математике на проценты вертятся вокруг сравнения частей одного целого, определения, какую долю составляет часть от целого, нахождения целого исходя из величины его части и т.п.
Проценты можно записать со знакомым всем значком процента: 1%. Можно представить в виде десятичной дроби (или натурального числа). Для этого нужно разделить на 100: 0,01. Можно наоборот: выразить число в процентах. Тогда его следует умножить на 100%.
Типы задач на проценты
Раз мы уже договорились, что задачи на проценты – это задачи на дроби, такой тактики будем придерживаться и дальше.
Тип 1: Находим процент (дробь) от числа.
- Задача. За месяц на предприятии изготовили 500 приборов. 20% изготовленных приборов не смогли пройти контроль качества. Сколько приборов не прошло контроль качества?
- Решение. Нужно найти 20% от общего количества изготовленных приборов (500). 20% = 0,2. 500 * 0,2 = 100. 100 из общего количества изготовленных приборов контроль не прошло.
Тип 2: Находим число по его проценту (дроби).
- Задача. Готовясь к экзамену, школьник решил 38 задач из пособия для самоподготовки. Что составляет 23% числа всех задач в пособии. Сколько всего задач собрано в этом пособии для самоподготовки?
- Решение. Мы не знаем, сколько всего задача в пособии. Но зато нам известно, что 38 задач составляют 25% от общего их количества. Запишем 23% в виде дроби: 0,23. Далее нам следует известную нам часть целого разделить на ту долю, которую она составляет от всего целого: 38/0,25 = 38 * 100/25 = 152. Именно 152 задачи включили в этот сборник.
Тип 3: Находим процентное отношение двух чисел (часть от целого числа).
- Задача. В классе 30 учеников. 14 из них – девочки. Сколько процентов девочек в классе?
- Решение. Чтобы узнать, какой процент составляет одно число от другого, нужно то число, которое требуется найти, разделить на общее количество и умножить на 100%. Значит, 14/30*100% = 7/15*100% = 7*100%/15 = 47%.
Тип 4: Увеличиваем число на процент.
- Задача. На прошлогоднем экзамене по математике 140 старшеклассников получили пятерки. В этом году число отличников выросло на 15%. Сколько человек получили пятерки за экзамен по математике в этом году?
- Решение. Если некое число а увеличено на х%, то оно увеличилось в (1 + х /100) раз. Откуда а * (1 + х /100). Подставим в эту формулу данные нам по условию задачи цифры и получим ответ: 140 * (1 + 15/100) = 161.
Тип 5: Уменьшаем число на процент.
- Задача. Год назад школу закончили 100 ребят. А в это году выпускников на 25 меньше. Сколько выпускников в этом году?
- Решение. Если число а уменьшено на х% и при этом 0 ≤ х ≤ 100, то число уменьшено в (1 – х/100) раз. И нужное нам число находим по формуле а * (1 – х/100). Подставляем цифры из условия задачи и получаем ответ: 100 * (1 – 25/100) = 75.
Тип 6: Задачи на простые проценты.
- Задача. Родители взяли в банке кредит 5000 рублей сроком на год под 15% ежемесячно. Сколько денег они заплатят банку через год?
- Решение. Простые проценты называются так, потому что они начисляются многократно, но всякий раз к исходной сумме. Если обозначить исходную сумму как а, сумму, которая наращивается, как S, процентную ставку как х% и количество периодов начисления процента как у, то формулу можно записать так: S = а * (1 + у * х/100). Теперь подставим сюда цифры из условия задачи и узнаем, сколько денег родители заплатят банку: S = 5000 * (1 + 12 * 15/100) = 14000.
Тип 7: Задачи на сложные проценты.
- Задача. На этот раз сумма кредита 25000 рублей, взятых под те же 15% сроком на 3 месяца. Снова надо узнать, сколько денег придется заплатить банку по истечении срока кредита.
- Решение. Сложные проценты отличаются от простых тем, что процент много раз начисляется не к исходной сумме, а к сумме с уже начисленными раньше процентами. Пускай снова S – наращиваемая сумма, а – исходная, х% — процентная ставка, у – количество периодов начисления процента. В этом случае формула принимает вид: S = а * (1 + х/100)у. Подставляем цифры из условия: S = 25000 * (1 + 15/100)3 = 38021,875 – искомая сумма.
Кстати, простые задачи на проценты можно очень легко решать с помощью пропорции. Этот метод наглядный и дает такой же результат, так что выбирать можно каждому тот способ решения, который кажется проще. Давайте решим задачу №3 про класс и процент девочек в нем, составив пропорцию.
- Решение. Обозначим искомый процент девочек в классе как х, общее количество учеников примем за 100%. Пропорция выглядит так:
30 – 100%
14 – х%
Перемножим крест накрест левую и правую части пропорции и получим, что 30* х = 14 * 100 («30 относится к х также, как 14 относится к 100»). Откуда найти х уже совсем несложно: х = 14 * 100/30 = 47%.
Задачи на проценты с решением
Давайте решим несколько задач для подготовки к ЕГЭ. Как вы сами видите, решать их совсем несложно. Сейчас просто закрепим материал.
Задача 1. После открытия торгов на бирже в понедельник акции некой компании выросли в цене на неизвестное количество процентов. А во вторник на то же самое количество процентов упали в цене. В итоге они подешевели на 4% по отношению к своей первоначальной стоимости в понедельник. На какой процент акции этой компании поднимались в цене в понедельник?
Решение. Пускай первоначальная стоимость акций это 1. В понедельник акции дорожают на х * 100%. Их стоимость в это время: 1 + х * 1. Во вторник акции дешевеют на х * 100%. Их стоимость после этого: 1 + х – х * (1 + х). После чего они стали дешевле на 4%, т.е. стали стоить 0,96.
Отсюда 1 + х – х * (1 + х) = 0,96 ↔1 – х2 = 0,96 ↔ х2 = 0,04 ↔ х = 0,2. Т.е. в понедельник акции компании дорожали на 20%.
Задача 2. Четыре пары брюк дешевле одного пальто на 8%. Подсчитайте, на сколько процентов пять пар брюк стоят дороже, чем одно пальто.
Решение. Исходя из условия задачи, стоимость четырех пар брюк – это 92% от стоимости пальто. Легко подсчитать, что стоимость одной пары брюк – это 23% стоимости пальто (92/4 = 23). Теперь умножим стоимость одной пары брюк на пять и узнаем, что пять пар брюк обойдутся в 115% стоимости пальто (23 * 5 = 115). Т.е. пять пар брюк на 15% дороже, чем одно пальто.
Задача 3. Семья состоит из трех человек: муж, жена и дочь-студентка. Если зарплата мужа вырастет в два раза, общий доход семьи возрастет на 67%. Если дочери в три раза урежут стипендию, общий доход этой семьи уменьшится на 4%. Надо вычислить, какой процент в общий доход семьи приносит заработок жены.
Решение. Из условия следует, что общий доход семьи находится в прямой зависимости от доходов мужа. Не так важно, насколько ему поднимут зарплату. В любом случае общий доход семьи вырастет на 67%. Значит, зарплата мужа составляет как раз эти 67% от общего дохода. Если стипендия дочери уменьшится в три раза (т.е. на 1/3), останется 2/3 – это и есть 4%, на которые уменьшился бы семейных доход. Можно составить простую пропорцию и выяснить, что раз 2/3 стипендии – это 4% дохода, то вся стипендия – это 6%. А теперь отнимем от всего дохода вклад мужа и дочери и узнаем, какой процент составляет заработок жены в общем доходе семьи: 100% – 67% – 6% = 27%.
Задача 4. В емкости находится 5 литров водного раствора с концентраций вещества, равной 12%. В емкость добавили еще 7 литров воды. Раствор какой концентрации (с каким процентным содержанием вещества) получился после этого?
Решение. Опишем концентрацию вещества в растворе такой формулой: С = Vвещества/ Vраствора * 100%. Изначально в растворе содержится 0,12 * 5 = 0,6 литра вещества. Когда были добавлены 7 литров воды, объем раствора в емкости увеличился. Но концентрация вещества понизилась (его объем остался неизменным). Подставим все известные нам цифры в формулу и получим ответ: 0,6/5 + 7 *100% = 0,6 /12 * 100% = 5%.
Задача 5. В свежих абрикосах 90% влаги, а в кураге, которая из них получается, только 5%. Сколько килограммов абрикосов нужно, чтобы получить 20 килограммов кураги?
Решение. Исходя из условия, в абрикосах 10% питательного вещества, а в кураге оно содержится в концентрированном виде – 95%. Поэтому в 20 килограммах кураги 20 * 0,95 = 19 кг питательного вещества. На вопрос задачи мы ответим, если разделим одинаковое количество питательного вещества, которое содержится в разных объемах свежих абрикосов и кураги, на его процентное содержание в абрикосах. Чтобы получить 20 килограммов кураги, нужно взять 19/0,1 = 190 килограммов свежих абрикосов.
Заключение
Сами видите, решать задачи на проценты не так уж сложно. Если усвоить основные правила и подключить воображение, вы сможете щелкать такие задачки как орешки.
Вы даже можете составить задачу на проценты сами по нашим образцам. Кстати, будет очень хорошо, если вы так и поступите. Можете оставить нам свои задачи в комментариях – пускай другие наши читатели решат ваши задачи. А вы сможете решить те, что придумают они. Чтобы задач для подготовки к экзаменам получилось больше, расскажите про эту статью своим друзьям в социальных сетях.
Вот увидите, задачи на проценты вам придется решать еще много раз даже после того, как вы закончите школу. Они встречаются в физике, химии, биологии. Да и в повседневной жизни умение решать их может не раз пригодится. Не бойтесь сложных задач – мы всегда поможем вам найти к ним ключ.
© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Продолжаем изучать элементарные задачи по математике. Данный урок посвящен задачам на проценты. Мы рассмотрим несколько задач, а также затронем те моменты, которые не упоминали ранее при изучении процентов, посчитав что на первых порах они создают трудности для обучения.
Большинство задач на проценты сводятся к тому, чтобы найти процент от числá, найти число по проценту, выразить в процентах какую-либо часть, либо выразить в процентном соотношении взаимосвязь между несколькими объектами, числами, величинами.
Способы нахождения процента
Процент можно находить различными способами. Самый популярный способ — разделить число на 100 и умножить полученный результат на искомое количество процентов.
Например, чтобы найти 60% от 200 рублей, нужно сначала эти 200 рублей разделить на сто равных частей:
200 руб : 100 = 2 руб.
Когда мы делим число на 100, мы тем самым находим один процент от этого числа. Так, разделив 200 рублей на 100 частей, мы автоматически нашли 1% от двухсот рублей, то есть узнали сколько рублей прихóдится на одну часть. Как видно из примера, на одну часть (на один процент) приходится 2 рубля.
1% от 200 рублей — 2 рубля
Зная сколько рублей приходится на одну часть (на 1%), можно узнать сколько рублей приходится на две части, на три, на четыре, на пять и т.д. То есть можно найти любое количество процентов. Для этого достаточно умножить эти 2 рубля на искомое количество частей (процентов). Давайте найдём шестьдесят частей (60%)
2 руб × 60 = 120 руб.
Найдём 5%
2 руб × 5 = 10 руб.
Найдем 90%
2 руб × 90 = 180 руб.
Найдем 100%
2 руб × 100 = 200 руб.
100% это все сто частей и они составляют все 200 рублей.
Второй способ заключается в том, чтобы представить проценты в виде обыкновенной дроби и найти эту дробь от того числа, откуда требуется найти процент.
Например, найдем те же 60% от 200 рублей. Сначала предстáвим 60% в виде обыкновенной дроби. 60% это шестьдесят частей из ста, то есть шестьдесят сотых:
Теперь задание можно понимать как «найти от 200 рублей«. Это нахождение дроби от числа, которое мы изучали ранее. Напомним, что для нахождения дроби от числа, нужно это число разделить на знаменатель дроби и полученный результат умножить на числитель дроби
200 : 100 = 2
2 × 60 = 120
Либо умножить число на дробь (быстрый способ нахождения дроби от числа):
Третий способ заключается в том, чтобы представить процент в виде десятичной дроби и умножить число на эту десятичную дробь.
Например, найдем те же 60% от 200 рублей. Для начала представляем 60% в виде дроби. 60% процентов это шестьдесят частей из ста
Выполним деление в этой дроби. Перенесем запятую в числе 60 на две цифры влево:
Теперь находим 0,60 от 200 рублей. Для нахождения десятичной дроби от числа, нужно это число умножить на десятичную дробь:
200 × 0,60 = 120 руб.
Приведенный способ нахождения процента является наиболее удобным, особенно если человек привык пользоваться калькулятором. Этот способ позволяет найти процент в одно действие.
Как правило выразить процент в десятичной дроби не составляет особого труда. Достаточно приписать «ноль целых» перед процентной долей, если процентная доля представляет собой двузначное число, или приписать «ноль целых» и еще один ноль, если процентная доля представляет собой однозначное число. Примеры:
60% = 0,60 — приписали ноль целых перед числом 60, поскольку число 60 является двузначным
6% = 0,06 — приписали ноль целых и еще один ноль перед числом 6, поскольку число 6 является однозначным.
При делении на 100 мы воспользовались методом передвижения запятой на две цифры влево. В ответе 0,60 ноль, стоящий после цифры 6, сохранился. Но если выполнить это деление уголком, ноль исчезает — получается ответ 0,6
Надо помнить, что десятичные дроби 0,60 и 0,6 равны одному и тому же значению:
0,60 = 0,6
В том же «уголке» можно продолжать деление бесконечно, каждый раз приписывая к остатку ноль, но это будет бессмысленным действием:
Выражать проценты в виде десятичной дроби можно не только делением на 100, но и умножением. Значок процента (%) сам по себе заменяет собой множитель 0,01. А если учитывать, что число процентов и значок процента записаны слитно, то между ними располагается «невидимый» знак умножения (×).
Так, запись 45% на самом деле выглядит следующим образом:
Заменим знак процента на множитель 0,01
Данное умножение на 0,01 выполнятся путем перемещения запятой на две цифры влево:
Задача 1. Бюджет семьи составляет 75 тыс. рублей в месяц. Из них 70% — деньги, заработанные папой. Какую часть заработала мама?
Решение
Всего процентов 100. Если папа заработал 70% денег, то остальные 30% денег заработала мама.
Задача 2. Бюджет семьи составляет 75 тыс. рублей в месяц. Из них 70% — деньги, заработанные папой, а 30% — деньги, заработанные мамой. Сколько денег заработал каждый?
Решение
Найдем 70 и 30 процентов от 75 тыс. рублей. Так мы определим сколько денег заработал каждый. Для удобства 70% и 30% запишем в виде десятичных дробей:
75 × 0,70 = 52,5 (тыс. руб. заработал папа)
75 × 0,30 = 22,5 (тыс. руб. заработала мама)
Проверка
52,5 + 22,5 = 75
75 = 75
Ответ: 52,5 тыс. руб. заработал папа, 22,5 руб. заработала мама.
Задача 3. При остывании хлеб теряет до 4% своей массы в результате испарения воды. Сколько килограммов испарится при остывании 12 тонн хлеба.
Решение
Переведем 12 тонн в килограммы. В одной тонне тысяча килограмм, а в 12 тоннах в 12 раз больше:
1000 × 12 = 12 000 кг
Теперь найдем 4% от 12000. Полученный результат и будет ответом к задаче:
12 000 × 0,04 = 480 кг
Ответ: при остывании 12 тонн хлеба испарится 480 килограмм.
Задача 4. Яблоки при сушке теряют 84% своей массы. Сколько получится сушенных яблок из 300 кг свежих?
Найдем 84% от 300 кг
300 : 100 × 84 = 252 кг
300 кг свежих яблок в результате сушки потеряют 252 кг своей массы. Чтобы ответить на вопрос сколько получится сушенных яблок, нужно из 300 вычесть 252
300 − 252 = 48 кг
Ответ: из 300 кг свежих яблок получится 48 кг сушенных.
Задача 5. В семенах сои содержится 20% масла. Сколько масла содержится в 700 кг сои?
Решение
Найдем 20% от 700 кг
700 × 0,20 = 140 кг
Ответ: в 700 кг сои содержится 140 кг масла
Задача 6. Гречневая крупа содержит 10% белков, 2,5% жиров и 60% углеводов. Сколько этих продуктов содержится в 14,4 ц гречневой крупы?
Решение
Переведем 14,4 центнера в килограммы. В одном центнере 100 килограмм, в 14,4 центнерах в 14,4 раз больше
100 × 14,4 = 1440 кг
Найдем 10%, 2,5% и 60% от 1440 кг
1440 × 0,10 = 144 (кг белков)
1440 × 0,025 = 36 (кг жиров)
1440 × 0,60 = 864 (кг углеводов)
Ответ: в 14,4 ц гречневой крупы содержится 144 кг белков, 36 кг жиров, 864 кг углеводов.
Задача 7. Для лесопитомника школьники собрали 60 кг семян дуба, акации, липы и клена. Желуди составляли 60%, семена клена 15%, семена липы 20% всех семян, а остальное составляли семена акации. Сколько килограммов семян акации было собрано школьниками?
Решение
Примем за 100% семена дуба, акации, липы и клена. Вычтем из этих 100% проценты, выражающие семена дуба, липы и клена. Так мы узнаем сколько процентов составляют семена акации:
100% − (60% + 15% + 20%) = 100% − 95% = 5%
Теперь находим семена акации:
60 × 0,05 = 3 кг
Ответ: школьниками было собрано 3 кг семян акации.
Проверка:
60 × 0,60 = 36
60 × 0,15 = 9
60 × 0,20 = 12
60 × 0,05 = 3
36 + 9 + 12 + 3 = 60
60 = 60
Задача 8. Купил человек продукты. Молоко стоит 60 рублей, что составляет 48% от стоимости всех покупок. Определить общую сумму денег, потраченных на продукты.
Решение
Это задача на нахождение числа по его проценту, то есть по его известной части. Такую задачу можно решать двумя способами. Первый заключается в том, чтобы выразить известное число процентов в виде десятичной дроби и найти неизвестное число по этой дроби
Выразим 48% в виде десятичной дроби
48% : 100 = 0,48
Зная, что 0,48 составляет 60 рублей, мы можем определить сумму всех покупок. Для этого нужно найти неизвестное число по десятичной дроби:
60 : 0,48 = 125 рублей
Значит, общая сумма денег, затраченных на продукты составляет 125 рублей.
Второй способ заключается в том, чтобы сначала узнать сколько денег приходится на один процент, затем полученный результат умножить на 100
48% это 60 рублей. Если мы разделим 60 рублей на 48, то узнаем сколько рублей приходится на 1%
60 : 48% = 1,25 рублей
На 1% приходится 1,25 рублей. Всего процентов 100. Если мы умножим 1,25 рублей на 100, получим общую сумму денег, затраченных на продукты
1,25 × 100 = 125 рублей
Задача 9. Из свежих слив выходит 35% сушенных. Сколько надо взять свежих слив, чтобы получить 140 кг сушенных? Сколько получится сушенных слив из 600 кг свежих?
Решение
Выразим 35% в виде десятичной дроби и найдем неизвестное число по этой дроби:
35% = 0,35
140 : 0,35 = 400 кг
Чтобы получить 140 кг сушенных слив, нужно взять 400 кг свежих.
Ответим на второй вопрос задачи — сколько получится сушенных слив из 600 кг свежих? Если из свежих слив выходит 35% сушенных, то достаточно найти эти 35% от 600 кг свежих слив
600 × 0,35 = 210 кг
Ответ: чтобы получить 140 кг сушенных слив, нужно взять 400 кг свежих. Из 600 кг свежих слив получится 210 кг сушенных.
Задача 10. Усвоение жиров организмом человека составляет 95%. За месяц ученик употребил 1,2 кг жиров. Сколько жиров может быть усвоено его организмом?
Решение
Переведем 1,2 кг в граммы
1,2 × 1000 = 1200 г
Найдем 95% от 1200 г
1200 × 0,95 = 1140 г
Ответ: 1140 г жиров может быть усвоено организмом ученика.
Выражение чисел в процентах
Процент, как было сказано ранее, можно представить в виде десятичной дроби. Для этого достаточно разделить число этих процентов на 100. Например, представим 12% в виде десятичной дроби:
Замечание. Мы сейчас не находим процент от чего-то, а просто записываем его в виде десятичной дроби.
Но возможен и обратный процесс. Десятичная дробь может быть представлена в виде процента. Для этого нужно умножить эту дробь на 100 и поставить знак процента (%)
Представим десятичную дробь 0,12 в виде процентов
0,12 × 100 = 12%
Это действие называют выражением числа в процентах или выражением чисел в сотых долях.
Умножение и деление являются обратными операциями. К примеру, если 2 × 5 = 10, то 10 : 5 = 2
Точно так же деление можно записать в обратном порядке. Если 10 : 5 = 2, то 2 × 5 = 10:
Тоже самое происходит, когда мы выражаем десятичную дробь в виде процентов. Так, 12% были выражены в виде десятичной дроби следующим образом: 12 : 100 = 0,12 но потом эти же 12% были «возвращены» с помощью умножения, записав выражение 0,12 × 100 = 12%.
Аналогично можно выразить в процентах любые другие числа, в том числе и целые. Например, выразим в процентах число 3. Умножим данное число на 100 и к полученному результату добавим знак процента:
3 × 100 = 300%
Большие проценты вида 300% поначалу могут сбивать с толку, поскольку человек привык считать 100% максимальной долей. Из дополнительных сведений о дробях мы знаем, что один целый объект можно обозначать через единицу. К примеру, если имеется целый не разрезанный торт, то его можно обозначить через 1
Этот же торт можно обозначить как 100% торта. В этом случае и единица и 100% будут обозначать один и тот же целый торт:
Разрежем торт пополам. В этом случае единица обратится в десятичное число 0,5 (поскольку это половина единицы), а 100% обратятся в 50% (поскольку 50 это половина от сотни)
Вернем обратно целый торт, единицу и 100%
Изобразим ещё два таких торта с такими же обозначениями:
Если один торт является единицей, то три торта являются тремя единицами. Каждый торт является целым стопроцентным. Если сложить эти три сотни получится 300%.
Поэтому при переводе целых чисел в проценты, мы умножаем эти числа на 100.
Задача 2. Выразить в процентах число 5
5 × 100 = 500%
Задача 3. Выразить в процентах число 7
7 × 100 = 700%
Задача 4. Выразить в процентах число 7,5
7,5 × 100 = 750%
Задача 5. Выразить в процентах число 0,5
0,5 × 100 = 50%
Задача 6. Выразить в процентах число 0,9
0,9 × 100 = 90%
Пример 7. Выразить в процентах число 1,5
1,5 × 100 = 150%
Пример 8. Выразить в процентах число 2,8
2,8 × 100 = 280%
Задача 9. Джордж идет со школы домой. Первые пятнадцать минут он прошел 0,75 пути. В остальное время он прошел оставшиеся 0,25 пути. Выразите в процентах части пути, пройденные Джорджом.
Решение
0,75 × 100 = 75%
0,25 × 100 = 25%
Задача 10. Джона угостили половиной яблока. Выразите эту половину в процентах.
Решение
Половина яблока записывается в виде дроби 0,5. Чтобы выразить эту дробь в процентах, умножим её на 100 и к полученному результату добавим знак процента
0,5 × 100 = 50%
Аналоги в виде дробей
Величина, выраженная в процентах, имеет свой аналог в виде обычной дроби. Так, аналогом для 50% является дробь 
. Пятьдесят процентов также можно назвать словом «половина».
Аналогом для 25% является дробь 
. Двадцать пять процентов также можно назвать словом «четверть».
Аналогом для 20% является дробь 
. Двадцать процентов также можно назвать словами «пятая часть».
Аналогом для 40% является дробь 
.
Аналогом для 60% является дробь 
Пример 1. Пять сантиметров это 50% от дециметра или или же просто половина. Во всех случаях речь идет об одной и той же величине — пяти сантиметрах из десяти
Пример 2. Два с половиной сантиметра это 25% от дециметра или или же просто четверть
Пример 3. Два сантиметра это 20% от дециметра или
Пример 4. Четыре сантиметра это 40% от дециметра или
Пример 5. Шесть сантиметров это 60% от дециметра или
Уменьшение и увеличение процентов
При увеличении или уменьшении величины, выраженной в процентах употребляется предлог «на».
Примеры:
- Увеличить на 50% — означает увеличить величину в 1,5 раза;
- Увеличить на 100% — означает увеличить величину в 2 раза;
- Увеличить на 200% — означает увеличить в 3 раза;
- Уменьшить на 50% — означает уменьшить величину в 2 раза;
- Уменьшить на 80% — означает уменьшить в 5 раз.
Пример 1. Десять сантиметров увеличили на 50%. Сколько сантиметров получилось?
Чтобы решать подобные задачи, нужно исходную величину принимать за 100%. Исходная величина это 10 см. 50% от них составляют 5 см
Изначальные 10 см увеличили на 50% (на 5 см), значит получилось 10+5 см, то есть 15 см
Аналогом же увеличения десяти сантиметров на 50% является множитель 1,5. Если умножить на него 10 см получится 15 см
10 × 1,5 = 15 см
Поэтому выражения «увеличить на 50%» и «увеличить в 1,5 раза» говорят об одном и том же.
Пример 2. Пять сантиметров увеличили на 100%. Сколько сантиметров получилось?
Примем исходные пять сантиметров за 100%. Сто процентов от этих пяти сантиметров будут сами 5 см. Если увеличить 5 см на эти же 5 см, то получится 10 см
Аналогом же увеличения пяти сантиметров на 100% является множитель 2. Если умножить на него 5 см получится 10 см
5 × 2 = 10 см
Поэтому выражения «увеличить на 100%» и «увеличить в 2 раза» говорят об одном и том же.
Пример 3. Пять сантиметров увеличили на 200%. Сколько сантиметров получилось?
Примем исходные пять сантиметров за 100%. Двести процентов это два раза по сто процентов. То есть 200% от 5 см будут составлять 10 см (по 5 см на каждые 100%). Если увеличить 5 см на эти 10 см, то получится 15 см
Аналогом же увеличения пяти сантиметров на 200% является множитель 3. Если умножить на него 5 см получится 15 см
5 × 3 = 15 см
Поэтому выражения «увеличить на 200%» и «увеличить в 3 раза» говорят об одном и том же.
Пример 4. Десять сантиметров уменьшили на 50%. Сколько сантиметров осталось?
Примем исходные 10 см за 100%. Пятьдесят процентов от 10 см составляют 5 см. Если уменьшить 10 см на эти 5 см, останется 5 см
Аналогом же уменьшения десяти сантиметров на 50% является делитель 2. Если разделить на него 10 см, то получится 5 см
10 : 2 = 5 см
Поэтому выражения «уменьшить на 50%» и «уменьшить в 2 раза» говорят об одном и том же.
Пример 5. Десять сантиметров уменьшили на 80%. Сколько сантиметров осталось?
Примем исходные 10 см за 100%. Восемьдесят процентов от 10 см составляют 8 см. Если уменьшить 10 см на эти 8 см, останется 2 см
Аналогом же уменьшения десяти сантиметров на 80% является делитель 5. Если разделить на него 10 см, то получится 2 см
10 : 5 = 2 см
Поэтому выражения «уменьшить на 80%» и «уменьшить в 5 раз» говорят об одном и том же.
При решении задач на уменьшение и увеличение процентов, можно умножать/делить величину на указанный в задаче множитель.
Задача 1. Насколько процентов изменилась величина, если она увеличилась в 1,5 раза?
Величину о которой говорится в задаче можно обозначить как 100%. Далее умножить эти 100% на множитель 1,5
100% × 1,5 = 150%
Теперь из полученных 150% вычтем изначальные 100% и получим ответ к задаче:
150% − 100% = 50%
Задача 2. Насколько процентов изменилась величина, если она уменьшилась в 4 раза?
В этот раз будет происходить уменьшение величины, поэтому будем выполнять деление. Величину о которой говорится в задаче обозначим как 100%. Далее разделим эти 100% на делитель 4
100% : 4 = 25%
Из изначальных 100% вычтем полученные 25% и получим ответ к задаче:
100% − 25% = 75%
Значит, при уменьшении величины в 4 раза она уменьшилась на 75%.
Задача 3. Насколько процентов изменилась величина, если она уменьшилась в 5 раз?
Величину о которой говорится в задаче обозначим как 100%. Далее разделим эти 100% на делитель 5
100% : 5 = 20%
Из изначальных 100% вычтем полученные 20% и получим ответ к задаче:
100% − 20% = 80%
Значит, при уменьшении величины в 5 раз она уменьшилась на 80%.
Задача 4. Насколько процентов изменилась величина, если она уменьшилась в 10 раз?
Величину о которой говорится в задаче обозначим как 100%. Далее разделим эти 100% на делитель 10
100% : 10 = 10%
Из изначальных 100% вычтем полученные 10% и получим ответ к задаче:
100% − 10% = 90%
Значит, при уменьшении величины в 10 раз она уменьшилась на 90%.
Задача на нахождение процентного соотношения
Чтобы выразить что-либо в процентном соотношении, сначала нужно записать дробь, показывающую какую часть первое число составляет от второго, затем выполнить деление в этой дроби и полученный результат выразить в процентах.
Например, пусть имеется пять яблок. При этом два яблока являются красными, три — зелеными. Выразим красные и зеленые яблоки в процентном соотношении.
Сначала нужно узнать какую часть составляют красные яблоки. Всего яблок пять, а красных два. Значит, два из пяти или две пятых составляют красные яблоки:
Зеленых же яблок три. Значит, три из пяти или три пятых составляют зеленые яблоки:
Имеем две дроби и . Выполним деление в этих дробях
Получили десятичные дроби 0,4 и 0,6. Теперь выразим в процентах эти десятичные дроби:
0,4 × 100 = 40%
0,6 × 100 = 60%
Значит, 40% составляют красные яблоки, 60% — зеленые.
А все пять яблок составляют 40%+60%, то есть 100%
Задача 2. Двум сыновьям мама дала 200 рублей. Младшему брату мама дала 80 рублей, а старшему 120 рублей. Выразите в процентном соотношении деньги, данные каждому брату.
Решение
Младший брат получил 80 рублей из 200 рублей. Записываем дробь восемьдесят двухсотых:
Старший брат получил 120 рублей из 200 рублей. Записываем дробь сто двадцать двухсотых:
Имеем дроби и . Выполним деление в этих дробях
Выразим в процентах полученные результаты:
0,4 × 100 = 40%
0,6 × 100 = 60%
Значит, 40% денег получил младший брат, а 60% — старший.
Некоторые дроби, показывающие какую часть первое число составляет от второго, можно сокращать.
Так дроби и можно было бы сократить. От этого ответ к задаче не изменился бы:
Задача 3. Бюджет семьи составляет 75 тыс. рублей в месяц. Из них 52,5 тыс. руб. — деньги, заработанные папой. 22,5 тыс. руб. — деньги, заработанные мамой. Выразите в процентах деньги, заработанные папой и мамой.
Решение
Данная задача, как и предыдущая, является задачей на нахождение процентного соотношения.
Выразим в процентах деньги, заработанные папой. Он заработал 52,5 тыс. рублей из 75 тыс. рублей
Выполним деление в этой дроби:
Выразим полученный результат в процентах:
0,7 × 100 = 70%
Значит, папа заработал 70% денег. Далее нетрудно догадаться, что остальные 30% денег заработала мама. Ведь 75 тыс. рублей это все 100% денег. Для уверенности сделаем проверку. Мама заработала 22,5 тыс. руб. из 75 тыс. руб. Записываем дробь, выполняем деление и выражаем в процентах полученный результат:
Задача 4. Школьник тренируется делать подтягивания на перекладине. В прошлом месяце он мог делать 8 подтягиваний за подход. В этом месяце он может делать 10 подтягиваний за подход. На сколько процентов он увеличил количество подтягиваний?
Решение
Узнаем на сколько больше подтягиваний школьник делает в текущем месяце, чем в прошлом
10 − 8 = 2
Узнаем какую часть два подтягивания составляют от восьми подтягиваний. Для этого найдем отношение 2 к 8
Выполним деление в этой дроби
Выразим полученный результат в процентах:
0,25 × 100 = 25%
Значит, школьник увеличил количество подтягиваний на 25%.
Эту задачу можно решить и вторым, более быстрым методом — узнать во сколько раз 10 подтягиваний больше, чем 8 подтягиваний и полученный результат выразить в процентах.
Чтобы узнать во сколько раз десять подтягиваний больше восьми подтягиваний, нужно найти отношение 10 к 8
Выполним деление в получившейся дроби
Выразим полученный результат в процентах:
1,25 × 100 = 125%
Показатель подтягиваний в текущем месяце составляет 125%. Данное высказывание нужно понимать именно как «составляет 125%», а не как «показатель увеличился на 125%». Это два разных высказывания, выражающих различные количества.
Высказывание «составляет 125%» нужно понимать как «восемь подтягиваний, которые составляют 100% плюс два подтягивания, которые составляют 25% от восьми подтягиваний». Графически это выглядит следующим образом:
А высказывание «увеличился на 125%» нужно понимать как «к текущим восьми подтягиваниях, которые составляли 100% добавились еще 100% (еще 8 подтягиваний) плюс еще 25% (2 подтягивания)». Итого получается 18 подтягиваний
100% + 100% + 25% = 8 + 8 + 2 = 18 подтягиваний
Графически это высказывание выглядит следующим образом:
Всего же получается 225%. Если найти 225% от восьми подтягиваний, мы получим 18 подтягиваний
8 × 2,25 = 18
Задача 5. В прошлом месяце зарплата составляла 19,2 тыс. руб. В текущем месяце она составила 20,16 тыс. руб. На сколько процентов повысилась зарплата?
Эту задачу как и предыдущую можно решать двумя способами. Первый заключается в том, чтобы сначала узнать на сколько рублей увеличилась зарплата. Далее узнать какую часть эта прибавка составляет от зарплаты прошлого месяца
Узнаем на сколько рублей повысилась зарплата:
20,16 − 19,2 = 0,96 тыс. руб.
Узнаем какую часть 0,96 тыс. руб. составляет от 19,2. Для этого найдем отношение 0,96 к 19,2
Выполним деление в получившейся дроби. По пути вспомним, как выполняется деление десятичных дробей:
Выразим полученный результат в процентах:
0,05 × 100 = 5%
Значит, зарплата повысилась на 5%.
Решим задачу вторым способом. Узнаем во сколько раз 20,16 тыс. руб. больше, чем 19,2 тыс. руб. Для этого найдем отношение 20,16 к 19,2
Выполним деление в получившейся дроби:
Выразим полученный результат в процентах:
1,05 × 100 = 105%
Зарплата составляет 105%. То есть сюда входят 100%, которые составляли 19,2 тыс. руб., плюс 5% которые составляют 0,96 тыс. руб.
100% + 5% = 19,2 + 0,96
Задача 6. Цена ноутбука в этом месяце повысилась на 5%. Какова его цена, если в прошлом месяце он стоил 18,3 тыс. рублей?
Решение
Найдем 5% от 18,3:
18,3 × 0,05 = 0,915
Прибавим эти 5% к 18,3:
18,3 + 0,915 = 19,215 тыс. руб.
Ответ: цена ноутбука составляет 19,215 тыс. руб.
Задача 7. Цена ноутбука в этом месяце снизилась на 10%. Какова его цена, если в прошлом месяце он стоил 16,3 тыс. рублей?
Решение
Найдем 10% от 16,3:
16,3 × 0,10 = 1,63
Вычтем эти 10% из 16,3:
16,3 − 1,63 = 14,67 (тыс. рублей)
Подобные задачи можно записывать кратко:
16,3 − (16,3 × 0,10) = 14,67 (тыс. рублей)
Ответ: цена ноутбука составляет 14,67 тыс. рублей.
Задача 8. В прошлом месяце цена ноутбука составляла 21 тыс. рублей. В этом месяце цена повысилась до 22,05 тыс. рублей. На сколько процентов повысилась цена?
Решение
Определим насколько рублей повысилась цена
22,05 − 21 = 1,05 (тыс. руб)
Узнаем какую часть 1,05 тыс. руб. составляет от 21 тыс. руб.
Выразим полученный результат в процентах
0,05 × 100 = 5%
Ответ: цена ноутбука повысилась на 5%
Задача 8. Рабочий должен был изготовить по плану 600 деталей, а он изготовил 900 деталей. На сколько процентов он выполнил план?
Решение
Узнаем во сколько раз 900 деталей больше, чем 600 деталей. Для этого найдем отношение 900 к 600
Значение данной дроби равно 1,5. Выразим это значение в процентах:
1,5 × 100 = 150%
Значит, рабочий выполнил план на 150%. То есть выполнил его на все 100%, изготовив 600 деталей. Затем изготовил еще 300 деталей, что составляет 50% от изначального плана.
Ответ: рабочий выполнил план на 150%.
Сравнение величин в процентах
Мы уже много раз сравнивали величины различными способами. Первым нашим инструментом была разность. Так, к примеру чтобы сравнить 5 рублей и 3 рубля, мы записывали разность 5−3. Получив ответ 2, можно было сказать, что «пять рублей больше трех рублей на два рубля».
Получаемый в результате вычитания ответ в повседневной жизни называют не «разностью», а «разницей».
Так, разница между пятью и тремя рубля составляет два рубля.
Следующим инструментом, которым мы воспользовались для сравнения величин, было отношение. Отношение позволяло нам узнать во сколько раз первое число больше второго (или сколько раз первое число содержит второе).
Так, к примеру десять яблок больше двух яблок в пять раз. Или по другому, десять яблок содержит два яблока пять раз. Данное сравнение можно записать с помощью отношения
Но величины можно сравнить и в процентах. Например, цену двух товаров сравнивать не в рублях, а оценивать, насколько цена одного товара больше или меньше цены другого в процентах.
Для сравнения величин в процентах, одну из них нужно обозначить как 100%, а вторую исходя из условий задачи.
Например, узнаем на сколько процентов десять яблок больше, чем восемь яблок.
За 100% нужно обозначить ту величину с которой мы что-либо сравниваем. Мы сравниваем 10 яблок с 8 яблоками. Значит, за 100% обозначаем 8 яблок:
Теперь наша задача сравнить на сколько процентов 10 яблок больше, чем эти 8 яблок. 10 яблок это 8+2 яблока. Значит, добавив к восьми яблокам ещё два яблока, мы увеличим 100% еще на какое-то число процентов. Чтобы узнать на какое именно, определим сколько процентов от восьми яблок составляют два яблока
Добавив эти 25% к восьми яблокам, мы получим 10 яблок. А 10 яблок это 8+2, то есть 100% и еще 25%. Итого получаем 125%
Значит, десять яблок больше восьми яблок на 25%.
Теперь решим обратную задачу. Узнаем насколько процентов восемь яблок меньше, чем десять яблок. Сразу напрашивается ответ, что восемь яблок меньше на 25%. Однако это не так.
Мы сравниваем восемь яблок с десятью яблоками. Мы договорились, что за 100% будем брать то, с чем сравниваем. Поэтому в этот раз за 100% берем 10 яблок:
Восемь яблок это 10−2, то есть уменьшив 10 яблок на 2 яблока, мы уменьшим их на какое-то число процентов. Чтобы узнать на какое именно, определим сколько процентов от десяти яблок составляют два яблока
Отняв эти 20% от десяти яблок, мы получим 8 яблок. А 8 яблок это 10−2, то есть 100% и минус 20%. Итого получаем 80%
Значит, восемь яблок меньше десяти яблок на 20%.
Задача 2. На сколько процентов 5000 рублей больше, чем 4000 рублей?
Решение
Примем 4000 рублей за 100%. 5 тысяч больше 4 тысяч на 1 тысячу. Значит, увеличив четыре тысячи на одну тысячу, мы увеличим четыре тысячи на какое-то количество процентов. Узнаем на какое именно. Для этого определим какую часть одна тысяча составляет от четырех тысяч:
Выразим полученный результат в процентах:
0,25 × 100 = 25%
1000 рублей от 4000 рублей составляют 25%. Если прибавить эти 25% к 4000, то получится 5000 рублей. Значит, 5000 рублей на 25% больше, чем 4000 рублей
Задача 3. На сколько процентов 4000 рублей меньше, чем 5000 рублей?
В этот раз сравниваем 4000 с 5000. Примем 5000 за 100%. Пять тысяч больше четырех тысяч на одну тысячу рублей. Узнаем какую часть одна тысяча составляет от пяти тысяч
Тысяча от пяти тысяч составляет 20%. Если вычесть эти 20% от 5000 рублей, то получим 4000 рублей.
Значит, 4000 рублей меньше 5000 рублей на 20%
Задачи на концентрацию, сплавы и смеси
Допустим, возникло желание приготовить какой-нибудь сок. У нас в распоряжении имеется вода и малиновый сироп
Нальем 200 мл воды в стакан:
Добавим 50 мл малинового сиропа и размешаем полученную жидкость. В результате у нас получится 250 мл малинового сока (200 мл воды + 50 мл сиропа = 250 мл сока)
Какую часть от получившегося сока составляет малиновый сироп?
Малиновый сироп составляет 
сока. Вычислим это отношение, получим число 0,20. Это число показывает количество растворённого сиропа в получившемся соке. Назовём это число концентрацией сиропа.
Концентрацией растворённого вещества называют отношение количества растворённого вещества или его массы к объему раствора.
Концентрация обычно выражается в процентах. Давайте выразим концентрацию сиропа в процентах:
0,20 × 100 = 20%
Таким образом, концентрация сиропа в малиновом соке составляет 20%.
Вещества в растворе могут быть неоднородными. Например, смешаем 3 л воды и 200 г соли.
Масса 1 л воды составляет 1 кг. Тогда масса 3 л воды будет составлять 3 кг. Переведем 3 кг в граммы, получим 3 кг = 3000 г.
Теперь в 3000 г воды опустим 200 г соли и смешаем полученную жидкость. В результате получится соленный раствор, общая масса которого будет составлять 3000+200, то есть 3200 г. Найдем концентрацию соли в полученном растворе. Для этого найдём отношение массы растворенной соли к массе раствора
Значит, при смешивании 3 л воды и 200 г соли получится 6,25%-й раствор соли.
Аналогично может быть определено количество вещества в сплаве или в смеси. Например, сплав содержит олово массой 210 г, и серебро массой 90 г. Тогда масса сплава будет составлять 210+90, то есть 300 г. Олова в сплаве будет содержаться 
, а серебра 
. В процентном соотношении олова будет 70%, а серебра 30%
При смешивании двух растворов получается новый раствор, состоящий из первого и второго растворов. У нового раствора концентрация вещества может быть другой. Полезным навыком является умение решать задачи на концентрацию, сплавы и смеси. В общем итоге смысл таких задач заключается в отслеживании изменений, которые происходят при смешивании растворов различной концентрации.
Смешаем два малиновых сока. Первый сок объемом 250 мл содержит 12,8% малинового сиропа. А второй сок объемом 300 мл содержит 15% малинового сиропа. Сольем эти два сока в большой стакан и смешаем. В результате получим новый сок объемом 550 мл.
Теперь определим концентрацию сиропа в полученном соке. Первый слитый сок объемом 250 мл содержал 12,8% сиропа. А 12,8% от 250 мл это 32 мл. Значит, первый сок содержал 32 мл сиропа.
Второй слитый сок объемом 300 мл содержал 15% сиропа. А 15% от 300 мл это 45 мл. Значит, второй сок содержал 45 мл сиропа.
Сложим количества сиропов:
32 мл + 45 мл = 77 мл
Эти 77 мл сиропа содержатся в новом соке, объем которого составляет 550 мл. Определим концентрацию сиропа в этом соке. Для этого найдём отношение 77 мл растворённого сиропа к объему сока 550 мл:
Значит, при смешивании 12,8%-го малинового сока объемом 250 мл и 15%-го малинового сока объемом 300 мл, получается 14%-й малиновый сок объемом 550 мл.
Задача 1. Имеются 3 раствора морской соли в воде: первый раствор содержит 10% соли, второй содержит 15% соли и третий — 20% соли. Смешали 130 мл первого раствора, 200 мл второго раствора и 170 мл третьего раствора. Определите сколько процентов составляет морская соль в полученном растворе.
Решение
Определим объем полученного раствора:
130 мл + 200 мл + 170 мл = 500 мл
Поскольку в первом растворе было 130 × 0,10 = 13 мл морской соли, во втором растворе 200 × 0,15 = 30 мл морской соли, а в третьем — 170 × 0,20 = 34 мл морской соли, то в полученном растворе будет содержаться 13 + 30 + 34 = 77 мл морской соли.
Определим концентрацию морской соли в полученном растворе. Для этого найдём отношение 77 мл морской соли к объему раствора 500 мл
Значит, в полученном растворе содержится 15,4% морской соли.
Задача 2. Сколько граммов воды надо добавить к 50 г раствора, содержащего 8% соли, чтобы получить 5%-й раствор?
Решение
Заметим, что если к имеющемуся раствору добавить воды, то количество соли в нём не изменится. Изменится только её процентное содержание, поскольку добавление воды в раствор приведёт к изменению его массы.
Нам нужно добавить такое количество воды при котором восемь процентов соли стали бы пятью процентами.
Определим сколько граммов соли содержится в 50 г раствора. Для этого найдем 8% от 50
50 г × 0,08 = 4 г
8% от 50 г составляют 4 г. Другими словами, на восемь частей из ста приходятся 4 грамма соли. Давайте сделаем так, чтобы эти 4 грамма приходились не на восемь частей, а на пять частей, то есть на 5%
4 грамма — 5%
Теперь зная, что на 5% раствора приходятся 4 грамма, мы можем найти массу всего раствора. Для этого нужно найти число по его проценту:
4 г : 5 = 0,8 г
0,8 г × 100 = 80 г
80 граммов раствора это масса при которой 4 грамма соли будут приходиться на 5% раствора. А для получения этих 80 граммов, нужно к изначальным 50 граммам добавить 30 граммов воды.
Значит, для получения 5%-го раствора соли, нужно к имеющемуся раствору добавить 30 г воды.
Задача 2. Виноград содержит 91% влаги, а изюм – 7%. Сколько килограммов винограда требуется для получения 21 килограмма изюма?
Решение
Виноград состоит из влаги и чистого вещества. Если в свежем винограде содержится 91% влаги, то на остальные 9% будет приходиться чистое вещество этого винограда:
Изюм же содержит 93% чистого вещества и 7% влаги:
Заметим, что в процессе превращения винограда в изюм, исчезает только влага этого винограда. Чистое вещество остаётся без изменения. После того, как виноград превратится в изюм, в получившемся изюме будет 7% влаги и 93% чистого вещества.
Определим сколько чистого вещества содержится в 21 кг изюма. Для этого найдем 93% от 21 кг
21 кг × 0,93 = 19,53 кг
Теперь вернемся к первому рисунку. Наша задача состояла в том, чтобы определить сколько винограда нужно взять для получения 21 кг изюма. Чистое вещество массой 19,53 кг будет приходиться на 9% винограда:
Теперь зная, что 9% чистого вещества составляют 19,53 кг, мы можем определить сколько винограда требуется для получения 21 кг изюма. Для этого нужно найти число по его проценту:
19,53 кг : 9 = 2,17 кг
2,17 кг × 100 = 217 кг
Значит, для получения 21 кг изюма нужно взять 217 кг винограда.
Задача 3. В сплаве олова и меди медь составляет 85%. Сколько надо взять сплава, чтобы в нём содержалось 4,5 кг олова?
Решение
Если в сплаве медь составляет 85%, то на остальные 15% будет приходиться олово:
Спрашивается сколько надо взять сплава, чтобы в нем содержалось 4,5 олова. Поскольку олова в сплаве содержится 15%, то 4,5 кг олова и будут приходиться на эти 15%.
А зная, что 4,5 кг сплава составляют 15% мы можем определить массу всего сплава. Для этого нужно найти число по его проценту:
4,5 кг : 15 = 0,3 кг
0,3 кг × 100 = 30 кг
Значит, сплава нужно взять 30 кг, чтобы в нём содержалось 4,5 кг олова.
Задача 4. Смешали некоторое количество 12%-го раствора соляной кислоты с таким же количеством 20%-го раствора этой же кислоты. Найти концентрацию получившейся соляной кислоты.
Решение
Изобразим на рисунке первый раствор в виде прямой линии и выделим на нём 12%
Поскольку количество растворов одинаково, рядом можно изобразить такой же рисунок, иллюстрирующий второй раствор с содержанием соляной кислоты 20%
У нас получилось двести частей раствора (100% + 100%), тридцать две части из которых составляют соляную кислоту (12% + 20%)
Определим какую часть 32 части составляют от 200 частей
Значит, при смешивании 12%-го раствора соляной кислоты с таким же количеством 20%-го раствора этой же кислоты получится 16%-й раствор соляной кислоты.
Для проверки представим, что масса первого раствора была 2 кг. Масса второго раствора так же будет составлять 2 кг. Тогда при смешивании этих растворов получится 4 кг раствора. В первом растворе соляной кислоты было 2 × 0,12 = 0,24 кг, а во втором — 2 × 0,20 = 0,40 кг. Тогда в новом растворе соляной кислоты будет 0,24 + 0,40 = 0,64 кг. Концентрация соляной кислоты составит 16%
Задачи для самостоятельного решения
Задание 1. Выразите в виде обыкновенной дроби следующие части:
Задание 2. Выразите в виде обыкновенной дроби следующие части:
Задание 3. Выразите в виде десятичной дроби следующие части:
Задание 4. Изобразите графически следующие части:
Задание 5. Опишите следующий рисунок в виде процентов:
Задание 6. Опишите следующий рисунок в виде процентов:
Задание 7. Опишите следующий рисунок в виде процентов:
Задание 8. Опишите следующий рисунок в виде процентов:
Задание 9. Опишите следующий рисунок в виде процентов:
Задача 10. Число 50 увеличили на 20%. Найти новое значение числа.
Решение
Найдем 20% от 50
50 × 0,20 = 10
Прибавим полученное число 10 к числу 50, получим новое значение 60
50 + 10 = 60
Ответ: новое значение равно 60.
Задача 11. Число 
увеличили на 60%. Найти новое значение числа.
Решение
Найдем 60% от и прибавим их к . Так мы определим новое значение числа.
Для удобства нахождения шестидесяти процентов от , заменим 60% на его аналог в виде обыкновенной дроби . Умножив на , мы найдем 60% от числа
Теперь увеличим число на найденные 60%, т.е. на число
Ответ: новое значение равно 
Задача 12. Ответьте на следующие вопросы:
1) Потратили 80 % суммы. Сколько процентов этой суммы осталось?
2) Мужчины составляют 75 % всех работников завода. Сколько процентов работников завода составляют женщины?
3) Девочки составляют 40 % класса. Сколько процентов класса составляют мальчики?
Ответы
1) 20%
2) 25%
3) 60%
Задача 13. Ответьте на следующие вопросы:
1) В магазин привезли 2500 кг помидоров. В первый день продали 30% всех помидоров. Сколько килограммов помидоров осталось продать?
2) В школе 400 учащихся, 52 % этого числа составляют девочки. Сколько мальчиков в школе?
Задача 14. Число увеличили на 25%. На сколько процентов надо уменьшить новое число, чтобы получилось исходное?
Решение
Воспользуемся переменной. Пусть A это исходное число о котором говорится в задаче. Примем это исходное число А за 100%
Увеличим это исходное число A на 25%
Теперь новое число составляет 125%. Узнаем какую часть от 125% составляет 25%. Для этого найдем отношение 25% к 125%
Выразим полученный результат в процентах:
0,2 × 100 = 20%
Ответ: чтобы получить исходное число, новое число надо уменьшить на 20%.
Задача 15. Число уменьшили на 50%. На сколько надо увеличить новое число, чтобы получилось исходное?
Решение
Воспользуемся переменной. Пусть P это исходное число о котором говорится в задаче. Примем это исходное число P за 100%
Уменьшим это исходное число P на 50%
Теперь новое число составляет 50% от исходного числа. Узнаем во сколько раз исходное число P больше нового числа. Для этого найдем отношение 100% к 50%
Исходное число в два раза больше нового. Это видно даже по рисунку. А чтобы сделать новое число равным исходному, его нужно увеличить в два раза. А увеличить число в два раза означает увеличить его на 100%.
Значит, новое число, которое составляет половину от исходного числа, нужно увеличить на 100%.
Рассматривая новое число, его также принимают за 100%. Так, на приведенном рисунке новое число является половиной от исходного числа и подписано как 50%. По отношению к исходному числу новое число является половиной. Но если рассматривать его отдельно от исходного, его нужно принимать за 100%.
Поэтому на рисунке, новое число которое изображается линией, сначала было обозначено как 50%. Но затем это число мы обозначили как 100%.
Ответ: чтобы получить исходное число, новое число надо увеличить на 100%.
Задача 16. В прошлом месяце в городе произошло 15 ДТП.
В этом месяце этот показатель снизился до 6. На сколько процентов снизилось количество ДТП?
Решение
В прошлом месяце было 15 ДТП. В этом месяце 6. Значит, количество ДТП снизилось на 9.
Примем 15 ДТП за 100%. Снизив 15 ДТП на 9, мы снизим их на какое-то число процентов. Чтобы узнать на какое именно, узнаем какую часть 9 ДТП составляет от 15 ДТП
9 ДТП от 15 составляет 60%. Значит, количество ДТП снизилось на 60%.
Ответ: количество ДТП снизилось на 60%.
Задача 17. Смешали 8 кг 18%-го раствора некоторого вещества с 12 кг 8%-го раствора этого же вещества. Найдите концентрацию получившегося раствора.
Решение
Сложим массы исходных растворов:
8 кг + 12 кг = 20 кг
В первом растворе было 8 × 0,18 = 1,44 кг вещества, а во втором растворе 12 × 0,08 = 0,96 кг этого же вещества. Тогда в получившемся растворе будет 1,44 + 0,96 = 2,40 кг.
Определим концентрацию вещества в получившемся растворе:
Ответ: концентрация получившегося раствора составляет 12%.
Задача 18. Смешали некоторое количество 11%-го раствора некоторого вещества с таким же количеством 19% раствора этого же вещества. Найдите концентрацию получившегося раствора.
Решение
Масса обоих растворов одинакова. Каждый раствор можно принять за 100%. После сложения растворов получится 200% раствора. В первом растворе было 11% вещества, а во втором 19% вещества. Тогда в получившемся 200%-м растворе будет 11% + 19% = 30% вещества.
Определим концентрацию получившегося растворе. Для этого узнаем какую часть тридцать частей вещества составляют от двухсот частей вещества:
Ответ: концентрация получившегося раствора составляет 15%.
Задача 19. За последние 3 месяца цены на продукты питания росли в среднем на 10% за каждый месяц. На сколько процентов выросли цены за 3 месяца?
Решение
Примем первоначальную цену на продукты питания за 100%. Для удобства решения задачи, проценты будем выражать в десятичных дробях. Тогда 100% в виде десятичной дроби будут записаны как 1.
За первый месяц цена повысилась на 10%. Прибавим к имеющейся цене 1 десять процентов от этой цены, получим 1 + 0,10 × 1. Эта сумма равна выражению 1,10. Значит, цена за первый месяц станет 1,10.
За второй месяц цена также повысилась на 10%. Прибавим к нынешней цене 1,10 десять процентов от этой цены, получим 1,10 + 0,10 × 1,10. Эта сумма равна выражению 1,21. Значит, цена за второй месяц станет 1,21.
За третий месяц цена также повысилась на 10%. Прибавим к нынешней цене 1,21 десять процентов от этой цены, получим 1,21 + 0,10 × 1,21. Эта сумма равна выражению 1,331. Тогда цена за третий месяц станет 1,331.
Вычислим разницу между новой и старой ценой. Если изначальная цена была равна 1, то повысилась она на 1,331 − 1 = 0,331. Выразим этот результат в процентах, получим 0,331 × 100 = 33,1%
Ответ: за 3 месяца цены на продукты питания повысились на 33,1%.
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже
Педсовет — сообщество для тех, кто учит и учится. С нами растут профессионалы.
Хотите успевать за миром и трендами, первыми узнавать о новых подходах, методиках, научиться применять их на практике или вообще пройти переквалификацию и освоить новую специальность? Всё возможно в нашем Учебном Центре.
На нашей платформе уже более 40 онлайн-курсов переквалификации и дополнительного образования.
Смотрите
Введение
Слово процент от латинского слова pro centum, что буквально означает «за сотню» или «со ста». Идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях, вызванная практическими соображениями, родилась еще в древности у вавилонян. Ряд задач клинописных табличек посвящен исчислению процентов, однако вавилонские ростовщики считали не «со ста», а «с шестидесяти».
Проценты были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. От римлян проценты перешли к другим народам Европы. Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль или убыток на каждые сто рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике.
Ныне процент — это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого (принимаемого за единицу). Знак % происходит, как полагают, от итальянского слова cento (сто), которое в процентных расчетах часто писалось сокращенно cto. Отсюда путем дальнейшего упрощения в скорописи буква t превратилась в наклонную черту (/), возник современный символ для обозначения процента. В школьном учебнике «Математика, 5«,авторов Н.Я. Виленкина и др. дана еще одна любопытная версия возникновения знака %. Там, в частности, говорится, что этот знак произошел в результате нелепой опечатки, совершенной наборщиком. В 1685 г. в Париже была опубликована книга-руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик вместо cto напечатал %.
Еще больше полезных материалов — в Телеграм-канале Педсовета. Подписывайтесь, чтобы не пропускать свежие статьи и новости.
Подписаться
Современная жизнь делает задачи на проценты актуальными, так как сфера практического приложения процентных расчетов расширяется. Вопросы инфляции, повышение цен, рост стоимости акций, снижение покупательской способности касаются каждого человека в нашем обществе. Планирование семейного бюджета, выгодного вложения денег в банки, невозможны без умения производить несложные процентные вычисления.
Сами проценты не дают экономического развития, но их знание помогает в развитии практических способностей, а также умение решать экономические задачи. Обдуманное изучение процентов может способствовать развитию таких навыков как экономичность, расчетливость.
В вариантах вступительных экзаменов встречаются задачи на проценты, и эти задачи часто вызывают затруднения у школьников. Причина в том, что тема «Проценты» изучается в младших 5-6 классах, причем непродолжительно, закрепляется в 7 классе при решении задач на повторение, а в старших классах к этой теме совсем не возвращаются.
Так, пересмотрев школьные учебники по математике, по которым обучаются ученики нашей гимназии, я выяснила, что в учебнике «Алгебра, 9», под ред. Теляковского, задач, в которых упоминается слово «процент», всего три. В учебнике «Алгебра и начала анализа, 10-11» под ред Колмогорова А.Н задач на проценты и процентную концентрацию черыре. Но, задачи на проценты уже встречались в вариантах единого государственного экзамена в 2003, 2004, 2005 годах. Предлагается такая задача и в демонстрационном варианте 2007 года. Поэтому, изучение наиболее часто встречающихся типов задач на проценты, считаю актуальным.
Объектом исследования является изучение различных типов задач по теме «Проценты».
Изучая эту тему по сборникам для поступающих в вузы[5], я пришла к мнению, что многие задачи авторы сборников предлагают решать с использованием специальных формул, которых в школьных учебниках 5-6 классов, когда и изучаются эти темы, нет.
Предмет исследования: решение задач на проценты и процентное содержание, концентрацию, смеси и сплавы с преимущественным использованием основных правил действия с десятичными и обыкновенными дробями.
Цель работы. Составить практическое пособие по решению задач на проценты для школьников.
Задачи исследования:
1) Изучить исторический и теоретический материал по интересующему вопросу.
2) Систематизировать задачи на проценты по типам.
3) Составить практические рекомендации по решению задач на проценты.
4) Выявить практическое применение таких задач.
5) Определить план дальнейшей работы над темой.
Практическая значимость работы. Данное пособие по решению задач на проценты будет интересно не только школьникам 5-6 класса, которым интересна математика. Здесь найдут много полезного и выпускники школ, и абитуриенты при подготовке к выпускным и вступительным экзаменам.
Глава 1.Основные типы задач по теме «Проценты»
В данной главе приводятся примеры задач, которые решаются с применением определения, что такое один процент, как выразить дробь в процентах и правилам нахождения части (дроби) от числа, и числа по значению его части (дроби), т.е. это те темы и задачи, которые рассматриваются в школе.
Обращаем внимание, что существуют и другие способы решения простейших задач на проценты, например, составляют пропорции на каждом шаге, но в этом случае решение становится на несколько шагов длиннее. Мы же видим свою задачу в нахождении более быстрых способов решения таких задач, в связи с тем, что в настоящее время редкий тест по математике для абитуриентов, обходится без задач, в которых не упоминались бы проценты.
1.1. Решение задач на применение основных понятий о процентах.
Сотая часть метра — это сантиметр, сотая часть рубля — копейка, сотая часть центнера — килограмм. Люди давно замети, что сотые доли величин удобны в тактической деятельности. Потому для них было придумано специальное название — процент. Значит одна копейка — один процент от одного рубля, а один сантиметр — один процент от одного метра.
Один процент — это одна сотая доля числа. Математическими знаками один процент записывается так: 1%.
Определение одного процента можно записать равенством: 1 % = 0,01 * а
5%=0,05, 23%=0,23, 130%=1,3 и т. д
Как найти 1% от числа? Раз 1% это одна сотая часть, надо число разделить на 100. Деление на 100 можно заменить умножением на 0,01. Поэтому, чтобы найти 1% от данного числа, нужно умножить его на 0,01. А если нужно найти 5% от числа, то умножаем данное число на 0,05 и т.д.
Пример. Найти: 25% от 120.
Решение:
1) 25% = 0,25;
2) 120 . 0,25 = 30.
Ответ: 30.
Правило 1. Чтобы найти данное число процентов от числа, нужно проценты записать десятичной дробью, а затем число умножить на эту десятичную дробь
Пример. Токарь вытачивал за час 40 деталей. Применив резец из более прочной стали, он стал вытачивать на 10 деталей в час больше. На сколько процентов повысилась производительность труда токаря?
Решение: Чтобы решить эту задачу, надо узнать, сколько, процентов составляют 10 деталей от 40. Для этого найдем сначала, какую часть составляет число 10 от числа 40. Мы знаем, что нужно разделить 10 на 40. Получится 0,25. А теперь запишем в процентах — 25%. Получаем ответ: производительность труда токаря повысилась на 25%.
Правило 2. Чтобы найти, сколько процентов одно число составляет от другого, нужно разделить первое число на второе и полученную дробь записать в виде процентов.
Пример. При плановом задании 60 автомобилей в день завод выпустил 66 автомобилей. На сколько процентов завод выполнил план?
Решение: — такую часть составляют изготовленные автомобили от количества автомобилей по плану. Запишем в процентах =110%
Ответ: 110%
Пример.
На сколько процентов 10 больше 6? 2. На сколько процентов 6 меньше 10?
Решение:
1. ((10 — 6).100%)/6 = 66 2/3 %
2. ((10 — 6).100%)/10 = 40%
Ответ: 66 2/3 %, 40 %.
Пример. Бронза является сплавом олова и меди. Сколько процентов сплава составляет медь в куске бронзы, состоящем из 6 кг олова и 34 кг меди?
Решение: 1) 6+ 34 =40 (кг) масса всего сплава.
2) = 85% сплава составляет медь.
Ответ. 85%.
Пример. Что произойдет с ценой товара, если сначала ее повысить на 25%, а потом понизить на 25%?
Решение: Пусть цена товара х руб, тогда после повышения товар стоит 125% прежней цены, т.е. 1,25х;, а после понижения на 25% , его стоимость составляет 75% или 0, 75 от повышенной цены, т.е. 0,75 *1,25х= 0,9375х, тогда цена товара понизилась на 6, 25 %, т.к. х — 0,9375х = 0,0625х ; 0,0625х/х . 100% = 6,25%
Ответ: первоначальная цена товара снизилась на 6,25%.
Правило 3. Чтобы найти процентное отношение двух чисел А и В, надо отношение этих чисел умножить на 100%, то есть вычислить (а/в)*100%.
Пример. Найти число, если 15% его равны 30.
Решение:
1) 15% = 0,15;
2) 30 : 0,15 = 200.
или: х — данное число; 0,15.х = 300; х = 200.
Ответ: 200.
Пример. Из хлопка-сырца получается 24% волокна. Сколько надо взять хлопка-сырца, чтобы получить 480кг волокна.?
Решение. Запишем 24% десятичной дробью 0,24 и получим задачу о нахождении числа по известной ему части (дроби). 480 : 0,24= 2000 кг = 2 т
Ответ: 2 т
Пример. Сколько кг белых грибов надо собрать для получения 1 кг сушеных, если при обработке свежих грибов остается 50% их массы, а при сушке остается 10% массы обработанных грибов?
Решение. 1кг сушеных грибов — это 10% или 0, 01 часть обработанных, т.е. 1 кг : 0,1=10 кг обработанных грибов, что составляет 50% или 0,5 собранных грибов, т.е. 10 кг : 0,05=20 кг
Ответ: 20 кг
Пример. Свежие грибы содержали по массе 90% воды, а сухие 12%. Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих?
Решение:
1) 22 . 0,1 = 2,2 (кг) — грибов по массе в свежих грибах; (0,1 это 10% сухого вещества)
2) 2,2 : 0,88 = 2,5 (кг) — сухих грибов, получаемых из свежих (количество сухого вещества не изменилось, но изменилось его процентное содержание в грибах и теперь 2,2 кг это 88% или 0,88 сухих грибов).
Ответ: 2,5 кг.
Правило 4. Чтобы найти число по данным его процентам, надо выразить проценты в виде дроби, а затем значение процентов разделить на эту дробь.
1.2. Решение задач на понятия «процентное содержание», «концентрация», «%-й раствор».
Процентное содержание. Процентный раствор.
Пример. Сколько кг соли в 10 кг соленой воды, если процентное содержание соли 15%.
Решение. 10 . 0,15 = 1,5 (кг) соли.
Ответ: 1,5 кг.
Процентное содержание вещества в растворе (например, 15%), иногда называют %-м раствором, например, 15%-й раствор соли.
Пример. Сплав содержит 10 кг олова и 15 кг цинка. Каково процентное содержание олова и цинка в сплаве?
Решение: Процентное содержание вещества в сплаве — это часть, которую составляет вес данного вещества от веса всего сплава.
1) 10 + 15 = 25 (кг) — сплав;
2) 10/25 . 100% = 40% — процентное содержание олова в сплаве;
3) 15/25 . 100% = 60% — процентное содержание цинка в сплаве;
Ответ: 40%, 60%.
Концентрация.
Если концентрация вещества в соединении по массе составляет р%, то это означает, что масса этого вещества составляет р% от массы всего соединения.
Пример. Концентрация серебра в сплаве 300 г составляет 87%. Это означает, что чистого серебра в сплаве 261 г.
Решение. 300 . 0,87 = 261 (г).
В этом примере концентрация вещества выражена в процентах.
Отношения объема чистой компоненты в растворе ко всему объему смеси называется объемной концентрацией этой компоненты.
Сумма концентраций всех компонент, составляющих смесь, равна 1.
Если известно процентное содержание вещества, то его концентрация находится по формуле: К=р/100% к — концентрация вещества; р — процентное содержание вещества (в процентах).
Пример. Имеется 2 сплава, в одном из которых, содержится 40%, а в другом 20% серебра. Сколько кг второго сплава нужно добавить к 20 кг первого, чтобы после сплавления вместе получить сплав, содержащий 32% серебра?
Решение: Пусть к 20 кг первого сплава нужно добавить х кг второго сплава. Тогда получим (20 + х) кг нового сплава. В 20 кг первого сплава содержится 0,4 . 20 = 8 (кг) серебра, в х кг второго сплава содержится 0,2х кг серебра, а в (20+х) кг нового сплава содержится 0,32 . (20+х) кг серебра. Составим уравнение:
8 + 0,2х = 0,32 . (20 +х); х = 13 1/3.
Ответ: 13 1/3 кг второго сплава нужно добавить к 20 кг первого, чтобы получить сплав, содержащий 32% серебра.
Пример. К 15 л 10%-ного раствора соли добавили 5%-ный раствор соли и получили 8%-ный раствор. Какое количество литров 5%-ного раствора добавили?
Решение. Пусть добавили х л 5%-ного раствора соли. Тогда нового раствора стало (15 + х) л, в котором содержаться 0,8 . (15 + х) л соли. В 15 л 10%-ного раствора содержится 15 . 0,1 = 1,5 (л) соли, в х л 5%-ного раствора содержится 0,05х (л) соли.
Составим уравнение.
1,5 + 0,05х = 0,08 . (15 + х);
х = 10.
Ответ: добавили 10 л 5%-ного раствора
1.3. Решение задач с использованием понятия коэффициента увеличения.
Чтобы увеличить положительное число а на р процентов, следует умножить число а на коэффициент увеличения к=(1+0,01р).
Чтобы уменьшить положительное число а на р процентов, следует умножить число а на коэффициент уменьшения к= (1-0,01р).
Пример. Вклад, вложенный в сбербанк два года назад, достиг суммы, равной 13125 руб. Каков был первоначальный вклад при 25% годовых?
Решение. Если а (рублей) — размер первоначального вклада, то в конце первого года вклад составит 1,25а а в конце второго года размер вклада составит 1,25 *1,25а. Решая уравнение 1,25* 1,25а=13125, находим а=8400.
Ответ: 8400 руб.
Пример. В феврале цена на нефть увеличилась на 12% по сравнению с январской. В марте цена нефти упала на 25%. На сколько процентов мартовская цена изменилась по сравнению с январской?
Решение. Если х — январская цена нефти, то февральская цена нефти равна
(1 +0,01*12)х = 1,12х. Чтобы вычислить мартовскую цену у на нефть, следует умножить февральскую цену 1,12х на (1-0,01*25)=0,75, т.е. у=0,75 1,12х=0,84х , мартовская цена отличается от январской на (0,84х)/х100 —100=84-100= −16(%), т.е. цена упала на 16 %
Ответ: цена упала на 16%.
Правило 5. Чтобы найти, на сколько % положительное число у отличается от положительного числа а , следует вычислить, сколько % у составляет от а, а затем от полученного числа отнять а.
Глава 2. Разные задачи на проценты ( с решениями)
В данной главе рассматривается выборка задач из различных источников, которые охватывают весь теоретический материал, который излагался выше, предлагаем свои решения. Отметим, что предложенный способ решения не является единственным.
2.1 Тестовые задания на проценты.
Задача 1.Товар стоил тысячу рублей. Продавец поднял цену на 10%, а через месяц снизил её на 10%.Сколько стал стоить товар?
Решение. Пусть товар стоил 1000руб., после повышения цены на 10% он стал стоить 1,1*1000 руб. После понижения этой цены на 10%, он стал стоить 0,9*1,1*1000=990 руб.
Ответ. 990 руб.
Задача 2.Собрали 100 кг грибов. Оказалось, что их влажность 99%. Когда грибы подсушили, влажность снизилась до 98%. Какой стала масса этих грибов после подсушивания?
Решение. Так как влажность грибов составляет 99%, это означает, что на так называемое «сухое вещество приходится 1% грибов, т.е 1 кг, после сушки влажность составляет 98%, т.е. на «сухое вещество» приходится 2%, т.е 1кг это 0,02 подсушенных грибов, 1 кг : 0,02=50 кг.
Ответ. 50 кг.
Задача 3. Цена входного билета на стадион была 1 рубль 80 копеек. После снижения входной платы число зрителей увеличилось на 50% , а выручка выросла на 25% .Сколько стал стоить билет после снижения?
Решение. Пусть зрителей, до понижения цены, на стадион приходило А чел. и выручка составляла 1,8А руб. После понижения цены, цена 1,8*р, зрителей стало 1,5А, выручка составляет 1,8*р*1,5*А руб. С другой стороны, выручка повысилась на 25%, т.е. составляет 1,25*1,8А. Получаем 1,8*р*1,5*А=1,25*1,8А., откуда р=12,5/15, тогда билет стоит 1,8*12,5/15=1,5 руб.
Ответ. 1руб. 50 коп
Задача 4. По дороге идут два туриста. Первый из них делает шаги на 10% короче и в то же время на 10% чаще, чем второй. Кто из туристов идет быстрее и почему?
Решение. Пусть второй турист делает а шагов, каждый из которых равен в, тогда ав это длина пройденного пути. А первый турист тогда прошел1,1*а*0,9*в=0,99*ав, что меньше ав.
Ответ. Второй турист идет быстрее.
Задача 5. Цену за товар уменьшили на 10%, а затем еще на 10%. Стоит ли он дешевле, если цену сразу снизить на 20%?
Решение. Если товар стоил А руб, после двух понижений он стал стоить 0,9*0,9*А=0,81А. А цену товара сразу понизить на 20%, то он станет стоить 0,8*А , что дешевле.
Ответ. Да.
Задача 6. Числитель дроби увеличили на 20%. На сколько процентов надо уменьшить её знаменатель, чтобы в итоге дробь возросла вдвое?
Решение. Пусть данная дробь, новая дробь. , откуда К=0,6, что означает, что знаменатель нужно уменьшить на 40%
Ответ. 40%
Задача 7. Матроскин продает молоко через магазин и хочет получать за него 25 рублей за литр. Магазин удерживает 20% стоимости проданного товара. По какой цене будет продаваться молоко в магазине?
Решение. Пусть молоко продает магазин по А руб, тогда после удержания 20% стоимости товара, Матроскину остается 0,8*А=25, откуда А=31, 25 руб.
Ответ. 31 руб. 25 коп.
Задача 8. Один покупатель купил 25% имевшегося куска полотна, второй покупатель 30% остатка, а третий — 40% нового остатка. Сколько (в процентах) полотна осталось непроданным?
Решение. Пусть полотна было р . Первый купил 0,25р,, осталось (1-0,25)р полотна, второй покупатель купил 0,3*0,75р=0,225р, осталось 0,75р —0,225р=0,525р, третий купил 0,4*0,525р=0,21р, осталось 0,525р-0,21р=0,315р, что составляет 31,5% от р.
Ответ. 31,5%
Задача 9. Бригада косарей в первый день скосила половину луга и еще 2 га, а во второй день 25% оставшейся части и последние 6 га. Найти площадь луга.
Решение. 6 га составляют 75% или0,75=3/4 от оставшейся части после 1 дня работы, т.е.6: 0,75=6 га 8+2=10 га — это половина луга, весь луг 20 га
Ответ. 20 га
Задача 10. Как изменится в процентах площадь прямоугольника, если его длина увеличится на 30%, а ширина уменьшится на 30%?
Решение. АВ- площадь исходного прямоугольника, 1,3*А*0,7*В=0,91АВ — площадь нового прямоугольника, что составляет 91% исходного.
Ответ. Уменьшится на 9%
Задача 11. В драматическом кружке число мальчиков составляет 80% от числа девочек. Сколько процентов составляет число девочек в этом кружке от числа мальчиков?
Решение. Девочек А чел, мальчиков 0,8*А, девочки составляют от мальчиков А/(0,8А)= 1,25, т.е. 125 % от числа мальчиков
Ответ. 125%
Задача 12. В бассейн проведена труба. Вследствие засорения её приток воды уменьшился на 60%. На сколько процентов вследствие этого увеличится время, необходимое для заполнения бассейна
Решение. Пусть Х — объем воды, который должен поступить за время Т при притоке А в ед времени., т.е. Х=АТ. Так как приток уменьшился на 60%, т.е. стал составлять 0,4А, тогда время стало ТК. Получим АТ=0,4А*КТ, откуда К = 2,5, что составляет 250% от времени, необходимого на заполнение бассейна до засорения, т.е. время увеличилось на 150%
Ответ. 150%
Задача 13. 5 литров сливок с содержанием жира 35% смешали с 4 литрами 20%-ных сливок и к смеси добавили 1 литр чистой воды. Какой жирности получилась смесь?
Решение. 0,35*5+0,2*4=р*(5+4+1), откуда р=0,255, что составляет 25,5%
Ответ. 25,5%
2.2. Избранные задачи вариантов единого государственного экзамена.
Впервые в вариантах единого государственного экзамена по математике задача на проценты появились в 2003 году в заданиях группы В, в 2004 и в 2005 годах такие задачи также были представлены в вариантах единого экзамена. В вариантах 2006 года были задачи на работу, но в демонстрационном варианте 2007 года снова появляется задача на проценты, что говорит о необходимости серьезной работы над этой темой. Следует отметить, что для решения всех задач, которые предлагались, достаточно знания тех методов, которые рассматриваются в данной работе.
2003. Тренировочный вариант. Задание В7
Банк предлагает вклад «студенческий». По этому вкладу, сумма, имеющаяся на 1 января, ежегодно увеличивается на одно и то же число процентов. Вкладчик положил 1 января 1000 руб. и в течение 2 лет не производил со своим вкладом никаких операций. В результате вложенная им сумма увеличилась до 1210 руб. На сколько процентов ежегодно увеличивалась сумма денег, положенная на этот вклад?
Решение. Используя формулу увеличения положительного число на p%, получим, что через год сумма вклада составит 1000*(1+0,01р), а через два года 1000*(1+0,01р)2=1210, т.е. (1+0,01р)2=1,21, 1+0,01р=1,1, 0,01р=0,1, откуда р=10%
Ответ: сумма ежегодно увеличивалась на 10%.
2003. Демонстрационный вариант. Задание В7
Владелец дискотеки имел стабильный доход. В погоне за увеличением прибыли он повысил цену на билеты на 25%. Количество посетителей резко уменьшилось, и он стал нести убытки. Тогда он вернулся к первоначальной цене билетов. На сколько процентов, владелец дискотеки снизил новую цену билетов, чтобы она стала равна первоначальной?
Решение. Пусть цена билета была А руб. После повышения на 25% цена стала 1,25А, после понижения цена билета стала р*1,25А. Т.к. цена билета вернулась к первоначальной, то получим р*1,25А=А, откуда р=1/1,25 = 0,8, что означает, что новая цена составляет 80% цены после повышения., значит владелец дискотеки снизил цену на 20%.
Ответ: 20%
2003. ЕГЭ
Предприятие уменьшило выпуск продукции на 20%. На сколько процентов, необходимо теперь увеличить выпуск продукции, чтобы достигнуть его первоначального уровня?
Решение. Пусть А количество продукции, выпускаемое предприятием, 0,8А-количество продукции, которое стало выпускать предприятия после уменьшения на 20%. Из условия задачи следует уравнение р*0,8А=А, где р —коэффициент увеличения, откуда р=1/0,8=1,25, что означает, что необходимо увеличить выпуск продукции на 25%.
Ответ: 25%
2003. ЕГЭ
К 120 г раствора, содержащего 80% соли, добавили 480 г раствора, содержащего 20 % той же соли. Сколько процентов соли содержится в получившемся растворе?
Решение. 1) 0,8*120=96(г)-соли в первоначальном растворе;
2) 480*0,2=96(г) соли во втором растворе;
3) ((96+96)/(120+480))*100%=32%-процентное содержание соли в получившемся растворе.
Ответ: 32%
2003. ЕГЭ
За год стипендия студента увеличилась на 32%. В первом полугодии стипендия увеличилась на 10%. Определить, на сколько процентов увеличилась стипендия во втором полугодии?
Решение. Пусть А- первоначальный размер стипендии, 1,1А — размер стипендии после повышения в 1 полугодии, р*1,1А- размер стипендии после увеличения во 2 полугодии, где р- коэффициент увеличения. Так как за год стипендия увеличилась на 32%, получим уравнение р*1,1А=1,32А, р=132/110=1,2, что означает , что стипендия во 2 полугодии составляет 120% стипендии 1 полугодия., т.е. стипендия во 2 полугодии увеличилась на 20%
Ответ: на 20%.
2004. ЕГЭ
Имеются два слитка сплава золота с медью. Первый слиток содержит 230 г золота и 20 г меди, а второй слиток — 240 г золота и 60 г меди. От каждого слитка взяли по куску, сплавили их и получили 300 г сплава, в котором оказалось 84 % золота. Определить массу ( в граммах) куска, взятого от первого слитка.
Решение. Определим процентное содержание золота в обоих слитках. 1) 230+20=250(г)-масса 1 слитка, 230/250=0,92 (92%)процентное содержание золота в 1 слитке.
2) 240+60=300(г) —масса 2 слитка, 240/300=0,8 (80%)- процентное содержание золота во 2 слитке. Пусть х масса куска, взятого от 1 слитка, (300-х)- масса куска, взятого от 2 слитка, получим уравнение 0,92х+0,8(300-х)=0,84*300, откуда х=100
Ответ: 100г.
2004 ЕГЭ
Первый сплав серебра и меди содержит 70 г меди, а второй сплав — 210 г серебра и 90 г меди. Взяли 225 г первого сплава и кусок второго сплава, сплавили их и получили 300 г сплава, который содержит 82 % серебра. Сколько граммов серебра содержалось в первом сплаве?
Решение. Пусть х г серебра содержится в 1 сплаве., тогда 70/(х+70)-какую часть 1 сплава составляет медь, 90/(210+90)-такую часть составляет медь во 2 сплаве., кусок второго сплава 300-225=75г, тогда получаем уравнение.
225*(70/(х+70))+75*(90/300)=(1-0,82)*300, откуда х=430г
Ответ: 430г
ЕГЭ 2004
В колбе было 200 г 80% -го спирта. Провизор отлил из колбы некоторое количество этого спирта и затем добавил в нее столько же воды, чтобы получить 60% — ый спирт. Сколько граммов воды добавил провизор?.
Решение. 200*0,8=160(г)-масса чистого спирта в колбе, их колбы отлили х г раствора, осталось (200-х)г раствора, в котором чистого спирта 0,8*(200-х). Когда к раствору добавили х г воды, то масса раствора снова стала 200 г, а концентрация
[(0,8*(200-х))/200]*100%=60%, откуда х=50(г).
Ответ: провизор добавил 50г воды.
ЕГЭ 2004
В колбе было 800 г 80% -ного спирта. Провизор отлил из колбы 200 г этого спирта и добавил в нее 200 г воды. Определить концентрацию ( в процентах) полученного спирта.
Решение. После того, как провизор отлил 200 г раствора, стало 600г, в котором чистого спирта 0,8*600=480г, когда добавили200г воды, то раствор снова 800г, а концентрация чистого спирта в растворе (480/800)*100%=60%
Ответ: 60%
ЕГЭ 2005
Численность населения в городе Таганроге в течение двух лет возрастала на 2 процента ежегодно. В результате число жителей возросло на 11312 человек. Сколько жителей было в Таганроге первоначально?
Решение. А- первоначальное количество жителей Таганрога. Используя формулу коэффициента увеличения, получаем
А(1+0,02)2=А+11312, откуда А=280000
Ответ: 280000 чел
ЕГЭ 2005
Из сосуда, доверху наполненного 94% -м раствором кислоты, отлили 1,5 л жидкости и долили 1,5 л 70% -го раствора этой же кислоты. После этого в сосуде получился 86% раствор кислоты. Сколько л раствора вмещает сосуд?
Решение. Пусть х л вмещает сосуд, тогда из условий задачи следует уравнение 0,94(х-1,5)+0,7*1,5=0,86х, откуда х=4,5 л.
Ответ: 4,5 л
Демонстрационный вариант 2007
Денежный вклад в банк за год увеличивается на 11 %. Вкладчик внес в банк 7000 рублей. В конце первого года он решил увеличить сумму вклада и продлить срок действия договора еще на год, чтобы в конце второго года иметь на счету не менее 10000 рублей. Какую наименьшую сумму необходимо дополнительно положить на счет по окончании первого года, чтобы при той же процентной ставке (11 %) реализовать этот план? (Ответ округлите до целых.)
Решение. 1,11* 7000=7770руб-будет на счете в конце 1 года. Пусть х руб. положили дополнительно на счет, из условия задачи получаем неравенство 1,11(7770+х)> 10000, получим х>1239, 1/111, что означает, чтобы на счету было не менее 10000 руб, нужно положить не менее12 40руб.
Ответ: 1240 руб.
Заключение
Данное практическое пособие позволит развить и закрепить навыки решения задач по теме: «Проценты» у учащихся 5-6 классов, может быть интересно учащимся, увлеченным математикой, а также полезно выпускникам школ и абитуриентам при подготовке к экзаменам. В дальнейшем на факультативных и кружковых занятиях возможны изучение вопроса применения процентов в экономике, в банковском деле. Можно провести сравнительный анализ банковских процентных ставок по потребительским кредитам и ипотечному кредитованию населения.
Литература
1. .Быков А.А. и др В помощь поступающим в ГУ — ВШЭ, Математика, М: ГУ-ВШЭ, 2004
2.Денищева Л.О., Глазков Ю.А. и др., Учебно-тренировочные материалы для подготовки к ЕГЭ. Математика, М: Интеллект- Центр, 2003.
3. Потапов М.К., Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В., Конкурсные задачи по математикеМ: Наука, 1992.
4. Семенко Е.А. и др., Готовимся к ЕГЭ по математике, Краснодар, Просвещение-Юг, 2005.
5. Алгебра, 9, под ред. Теляковского С.А., М: Просвещение, 2001
6. Алгебра и начала анализа, 10-11, под ред. Колмогорова А.Н., М: Просвещение, 2003.
7. Математика. Контрольные измерительные материалы единого государственного экзамена в 2004 г. М: Центр тестирования, 2004.
8. Экзаменационные материалы для подготовки к единому государственному экзамену. ЕГЭ 2006, М: Центр тестирования, 2005.
[1] «Математика, 5», Виленкин Н.Я. и др., «Мнемозина», 2003, с. 337
[2] «Алгебра, 9», под ред. Теляковского С.А., М: Просвещение, 2001, с.215, 223
[3] «Алгебра и начала анализа, 10-11», под ред. Колмогорова А.Н., М: Просвещение, 2003, с.306,330.
[4] «Учебно-тренировочные материалы для подготовки к ЕГЭ. Математика», Денищева Л.О., Гдазков Ю.А. и др., М: Интеллект- Центр, 2003.
«Математика. Контрольные измерительные материалы единого государственного экзамена в 2004 г.» М: Центр тестирования, 2004.
«Экзаменационные материалы для подготовки к единому государственному экзамену. ЕГЭ 2006», М: Центр тестирования, 2005.
[5] «Конкурсные задачи по математике», Потапов М.К., Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В., М: Наука, 1992, с330-332.
«В помощь поступающим в ГУ — ВШЭ, Математика», Быков А.А. и дрМ: ГУ-ВШЭ, 2004, с 53-64
«Готовимся к ЕГЭ по математике», Семенко Е.А. и др., Краснодар, Просвещение-Юг, 2005, с. 46-51
Автор: Валентина Молибоженко
Материалы по мотивации на Педсовете
- Как вовлечь ребёнка в учебу. Основы эмоциональной и когнитивной вовлеченности
- Как удержать внимание в классе. Идеи из книг по мотивации взрослых
- Учусь по собственному желанию! Как повысить мотивацию у школьников?
- Как вовлечь детей в учебу: 7 простых приемов от выпускников Центра опережающей педагогики
- Как удержать внимание на уроке-лекции. Как сделать лекцию интересной и запоминающейся?
- Как заинтересовать ребёнка в учёбе? Опыт выпускницы с красным дипломом
- Чудеса мотивации: на урок как в театр. Занятия по химии в антураже вселенной Гарри Поттера
- Как мотивировать к учебе и повысить успешность «слабых» учащихся?
- Мотивация к учебе. Где ее раздают?
- 7 проверенных способов мотивировать ребенка в начальной школе
- Как повысить мотивацию к обучению у современных школьников
- 8 стратегий развития мотивации школьников при изучении математики
Рассмотрим три основных типа задач на проценты.
Нахождение процента от числа
Запомните!
Чтобы найти процент от числа, нужно число умножить на процент.
Разбор примера
Предприятие изготовило за квартал 500 насосов, из которых
60% имели высшую категорию качества. Сколько насосов высшей категории качества
изготовило предприятие?
Решение:
Найдем 60% от 500 (общее количество насосов).
60 % = 0,6
500 · 0,6 = 300 насосов высшей категории качества.
Ответ: 300 насосов высшей категории качества.
Нахождение числа по его проценту
Запомните!
Чтобы найти число по его проценту, нужно его известную часть разделить на то,
сколько процентов она составляет от числа.
Так как задачи «процент по числу» и «число по его проценту» очень похожи и часто
не сразу понятно какой тип задачи перед нами, старайтесь внимательно читать
текст. Если вам встречаются слова «который», «что составляет» и «который составляет»,
скорее всего перед вами задача «число по его проценту».
Разбор примера
Ученик прочитал 138 страниц, что составляет 23%
числа всех страниц в книге. Сколько страниц в книге?
Решение:
Итак, нам неизвестно сколько всего страниц в книге. Но мы знаем, что часть, которую
прочитал ученик (138 страниц) составляет 23% от общего количества
страниц в книге.
Так как 138 стр. — это всего лишь часть, само количество
страниц, естественно, будет больше 138. Это поможет нам при проверке.
Проверка: 600 > 138 (это означает, что 138 является частью 600).
Ответ: 600 (стр.) — общее количество страниц в книге.
Сколько процентов одно число составляет от другого
Запомните!
Чтобы найти, сколько процентов одно число составляет от другого, нужно ту часть, о которой спрашивается,
разделить на общее количество и умножить на 100%.
Разбор примера
Из 200 арбузов 16 оказались незрелыми.
Сколько процентов всех арбузов составили незрелый арбузы?
Решение:
О чем спрашивают? О незрелых арбузах. Значит, 16
делим на общее количество арбузов и умножаем на 100%.
Ответ: 8% — составляют незрелые арбузы от всех арбузов.
Ваши комментарии
Важно!
Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи
«ВКонтакте».
Оставить комментарий:
8 апреля 2023 в 0:03
Надежда Горскова
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Надежда Горскова
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Благодарю.
0
Спасибо
Ответить
9 января 2020 в 14:39
Владислав Кругомов
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Владислав Кругомов
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Масса сплава меди и серебра равна 7,2 кг.Масса серебра состовляет 80% массы меди. Сколько килограммов меди в сплаве?
Можно пожалуйста решения не уравнением!
0
Спасибо
Ответить
11 января 2020 в 18:02
Ответ для Владислав Кругомов
Иван Войт
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 2
Иван Войт
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 2
Т.к. серебро — 0.8 (80%) от меди, а медь — 1 (100%), то их сумма =1,8. Т.к. 1.8 (180%) это 7.2 кг, то (7.2/1.8)= 4 (кг) — это медь, а серебро = 3,2 (7,2-4 или 4*0.8 (80%))
Ответ: серебро — 3,2 кг, медь -4 кг
0
Спасибо
Ответить
11 января 2020 в 18:02
Ответ для Владислав Кругомов
Иван Войт
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 2
Иван Войт
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 2
Т.к. серебро — 0.8 (80%) от меди, а медь — 1 (100%), то их сумма =1,8. Т.к. 1.8 (180%) это 7.2 кг, то (7.2/1.8)= 4 (кг) — это медь, а серебро = 3,2 (7,2-4 или 4*0.8 (80%))
Ответ: серебро — 3,2 кг, медь -4 кг
0
Спасибо
Ответить
4 сентября 2016 в 9:48
София Ниязова
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
София Ниязова
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
40% числа 15 и 9,5% числа 280… Если знаете как решать это напишите прошу вас!
0
Спасибо
Ответить
4 сентября 2016 в 16:15
Ответ для София Ниязова
Юлия Анарметова
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 11
Юлия Анарметова
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 11
1. (40 · 15): 100=6
2.(9.5 · 280) :100=26.6
0
Спасибо
Ответить
10 мая 2016 в 23:58
Илья Московец
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Илья Московец
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
У Первого человека было 50 рублей, у второго тоже 50 рублей вместе у них 100 рублей. это 100%. Первый человек добавил 25 рублей всего стало 125 рублей. Вопрос: в процентах как это поменялось? и как вы считаете?
0
Спасибо
Ответить
11 мая 2016 в 19:13
Ответ для Илья Московец
Дмитрий Захаров
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 3
Дмитрий Захаров
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 3
либо 1% стал меньше, либо стало 125 %
0
Спасибо
Ответить
22 сентября 2016 в 11:42
Ответ для Илья Московец
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12
Сообщений: 197
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12
Сообщений: 197
Чтобы расчитать изменение в процентах, нужно понять относительно чего изменения? Если относительно первоначальной суммы, то увеличилось на 25%. Если относительно количества денег у каждого из людей, то у первого увеличилось на 50% от вервоначальной суммы.
1
Спасибо
Ответить
12 апреля 2016 в 15:41
Денис Захарченко
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Денис Захарченко
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Ёмкость с водой на 1000л имеет 3 одинаковых трубы снизу, ведущие в 3 бочки, на каждой трубе кран, 1-й открыт на 100%, второй и третий на 30%, на сколько литров наполниться каждая из бочек?
0
Спасибо
Ответить
13 апреля 2016 в 7:51
Ответ для Денис Захарченко
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12
Сообщений: 197
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12
Сообщений: 197
Спасибо за интересную задачу. Тянет на олимпиадную, на правильность не претендую, но логика вроде верная.
Т.к. трубы в равных условиях, то вытекает вода из них одно и тоже время. Обозначим это время за Х. Скорость, с которой вытекает из первый трубы, возьмём условно за 1. А из двух оставшихся за 0,3. Тогда количество воды вытекающей из первой трубы будет равно 1 · Х, а из двух оставшихся 0,3 · Х. Т.к. известно, что всего в ёмкости 1000 литров, составим уравнение и решим:
1 · x+0,3 · x+0,3 · x=1000
1,6 · x=1000
x=625
Проверка:
625+0,3 · 625+0,3 · 625=625+187,5+187,5=1000
1000=1000
Вытекло в 1ую бочку: х =625
Вытекло во 2ую бочку: 0,3 · х=187,5
Вытекло в 3ю бочку: 0,3 · х=187,5
Ответ: 625л;187,5л; 187,5л.
Если будет возможность, прошу предоставить правильный ответ.
Заранее благодарен!
0
Спасибо
Ответить
1 октября 2015 в 17:39
Дима Дима
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Дима Дима
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
масса сушёных груш состовляет 20% массы свежих.Сколько кг сушёных груш получится из 100кг;350кг;25кг свежих? Сколько процентов массы свежих груш теряется при сушке?
0
Спасибо
Ответить
1 июля 2016 в 17:06
Ответ для Дима Дима
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12
Сообщений: 197
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12
Сообщений: 197
Для вычисления процента от числа необходимо умножить на количество процентов и разделить на 100. Следовательно 20: 100 = .
100 · =100: 5 = 20 (кг).
Аналогично с остальными примерами:
350 : 5 = 70 (кг)
25: 5 = 5 (кг)
Масса свежей груши 100%. масса сушеной груши 20%. Значит груша теряет 100%-20%=80% своей массы при высыхании.
Ответ: 20 кг, 70 кг, 5 кг, 80%.
0
Спасибо
Ответить
11 мая 2015 в 23:20
Эдуард Селивоненко
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Эдуард Селивоненко
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
в цветочном магазине 35%гвоздик -крассные, и их 105 штук ,25%-белых, а остольные розавые. вапрос сколько белых и сколько розавых?
0
Спасибо
Ответить
17 апреля 2016 в 16:18
Ответ для Эдуард Селивоненко
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12
Сообщений: 197
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12
Сообщений: 197
В этом разделе подробно описан вопрос про проценты: http://math-prosto.ru/index.php?page=pages/percent/percent1.php
Решение:
35% это 0,35
Обозначим общее количество гвоздик за Х, тогда
0,35 · x=105
x=300 — всего в магазине 300 гвоздик.
Найдём количество белых:
300 · 0,25 = 75 — белых гвоздик в магазине.
Найдём количество розовых:
Для этого из общего количества гвозик отнимаем количество красных и белых:
300 — 75 — 105 = 120 — розовых гвоздик.
Ответ: 75 белых и 120 розовых гвоздик было в магазине.
0
Спасибо
Ответить
19 апреля 2015 в 14:16
Маша Галлямова
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 2
Маша Галлямова
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 2
Цену на товар сначала снизили на 20%, а затем увеличили на 20%. Больше или меньше станет цена на товар относительно его первоначальной стоимости и на сколько процентов?
0
Спасибо
Ответить
20 апреля 2015 в 21:49
Ответ для Маша Галлямова
Константин Лебедев
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Константин Лебедев
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Пусть х цена товара. Снижение на 20% равносилно умножению цены на 0.8=1-20/100, следовательно цена стала равна х*0.8. Затем увеличили на 20% это означает, что новую цену умножили 1.2. В итоге получили окончательно новую цену х*0.8*1.2 =х*0.96. Таким образом первоначальная цена стала меньше т.к. умножилась на величину меньшую единицы. Так же видно, что цена уменьшилась на 4%. Видно и то, что от порядка выполнения операций снижения, а потом увеличения цены на одно и тоже число процентов, или наоборот повышения а потом снижения, окончательная цена будет меньше первоночальной и приводит к снижению цены. В общем виде обозначим число процентов pb пусть а=р/100, тогда новая цена будет равна х*(1-а)(1+а)=x*(1-а^2). Мы доказали что цена уменьшается на а^2*100%.
0
Спасибо
Ответить
16 апреля 2015 в 15:17
Лёня Стародубцев
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Лёня Стародубцев
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
0
Спасибо
Ответить
14 апреля 2016 в 11:32
Ответ для Лёня Стародубцев
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12
Сообщений: 197
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12
Сообщений: 197
В статье подробно описано, как это делается: http://math-prosto.ru/index.php?page=pages/percent/percent1.php
А именно: «Чтобы перевести проценты в дробь, нужно убрать знак % и разделить число на 100.»
33
%= %
Переведём проценты в дробь:
: 100=
60 · =20
Ответ: 20
0
Спасибо
Ответить
Как решать задачи на проценты? Есть 3 способа, выбирай тот, который для тебя проще и понятнее.
Умение быстро и правильно решать задачи на проценты важно, как для успешной сдачи ЕГЭ, так и для повседневной жизни. И если в ЕГЭ вы можете встретить такую задачу в задании 11, то в повседневной жизни такие задачи повсюду.
Зарплату повысили на 15%, а потом оштрафовали на 10%, после этого из зарплаты удержали налог 13% — сколько же мы получим в конце месяца? Коммунальные услуги повысили на 15%, сколько они теперь будут стоить? При возврате ж/д билета вернут только 20% стоимости, какую сумму мы получим? Все это задачи на проценты, которые нам приходится решать каждый день.
Поэтому умение быстро и правильно решать задачи на проценты – это полезно.
- Задачи на проценты: вся суть
- Решение задач на проценты: формула простого процента
- Решение задач на проценты: метод пропорции
- Решение задач на проценты: метод коэффициентов
Задачи на проценты: вся суть
Задачи на проценты, как правило, описывают жизненную ситуацию. В ней присутствует какая-то величина, которая увеличивается или уменьшается на сколько-то процентов. Таким образом, в задаче на проценты упоминается такие данные, как первоначальная величина, конечная величина и процент, на который эта величина изменилась. Чаще всего в задаче требуется найти либо первоначальную величину, либо конечную величину, реже – процент, на который эта величина изменилась.
Решение задач на проценты с помощью формулы простого процента
Формула, которой мы пользуемся при решении задач на проценты, называется формула простого процента:
Хконечное – конечная величина
Хпервоначальное – первоначальная величина
k – процент, на который первоначальная величина изменилась
Из этой формулы всегда можно найти первоначальную величину или процент, на который происходит изменение.
Знак стоящий перед k зависит от того, увеличивается первоначальная величина или уменьшается. Так, если величина увеличивается на сколько-то процентов, то ставим знак плюс. Если уменьшается – минус.
Для наглядности приведем несколько простых примеров.
Задача 1
В городе проживало 30 000 человек. В результате строительства нового микрорайона количество жителей увеличилось на 6%. Сколько человек стало проживать в городе?
Решение: Очевидно, что в этой задаче нам известна первоначальная величина – 30 000 человек и процент, на который она увеличилась +6% Нужно найти конечную величину.
30 000 * ((100 + 6)/100) = х
30 000 * 1,06 = х
х = 31 800 человек
Ответ: 31 800 человек
Задача 2
Сколько килограмм яблок нужно собрать, чтобы получить из них 5 килограмм сушеных яблок, если известно, что в свежих яблоках содержится 90% воды?
Решение: В этой задаче нам известна конечная величина – 5 килограмм и процент, на который происходит изменение -90%. Нужно найти первоначальную величину:
5 = х * ((100 – 90) / 100)
5 = 0,1х
х = 50 кг
Ответ: 50 кг
Задача 3
Холодильник стоимостью 20 000 рублей был продан спустя месяц за 22 000 рублей. На сколько процентов увеличилась стоимость холодильника?
Решение: В данной задаче нам известна первоначальная (20 000 рублей) и конечная величина (22 000 рублей), а найти нужно процент, на который данная величина изменилась.
22 000 = 20 000 * ((100 + х) / 100)
22 000 / 20 000 = 1 + х/100
1,1 = 1 + х/100
0,1 = х/100
х = 10%
Ответ: 10%
Решение задач на проценты: метод пропорции
Еще один способ решения задач на проценты – это метод пропорции. Это наиболее простой способ решения таких задач.
Напомним, что пропорция – это равенство двух отношений:
Для нас важно основное свойство пропорции, которое заключается в том, что произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов. Проще запомнить, что мы можем перемножить члены пропорции крест-накрест:
При решении задач на проценты с помощью метода пропорции необходимо руководствоваться следующим правилом:
всё – 100%
часть – часть в %
Далее записываем пропорцию: 
Давайте решим приведенные выше примеры задач на проценты с помощью метода пропорции.
Задача 4
В городе проживало 30 000 человек. В результате строительства нового микрорайона количество жителей увеличилось на 6%. Сколько человек стало проживать в городе?
Решение: Итак, в городе проживало 30 000 человек и это всё его население, т.е. 100%. Так и запишем:
30 000 – 100%
Далее население выросло на 6%, т.е. всё его население стало составлять 100% + 6% = 106% и нам неизвестно, сколько это человек, т.е. Х человек. Запишем:
Х – 106%
Таким образом, получаем:
30 000 – 100%
Х – 106%
Составим пропорцию: 
Правую дробь пропорции можно сократить на 2, получим: 
Теперь воспользуемся основным свойством пропорции и перемножим ее члены крест-накрест:
30 000 * 53 = 50х
Далее обе части полученного уравнения мы можем разделить на 50, получим:
600 * 53 = Х
Х = 31 800
Ответ: 31 800 человек
Задача 5
Сколько килограмм яблок нужно собрать, чтобы получить из них 5 килограмм сушеных яблок, если известно, что в свежих яблоках содержится 90% воды?
Решение: Нам неизвестно первоначальное количество всех яблок (всё количество), т.е. это Х, которое составляет 100%. Количество сушеных яблок (часть от первоначального количества яблок) составляет 5 кг. Причем известно, что количество сушеных яблок на 90% меньше от первоначального количества яблок (т.к. 90% — это вода, которая из них испарилась). Следовательно, количество сушеных яблок составит 100% — 90% = 10%. Запишем наши рассуждения:
Х – 100%
5 – 10%
Запишем наши рассуждения: 
Сократим правую дробь на 10, получим:
Воспользуемся основным свойством пропорции и перемножим ее члены крест-накрест:
Х = 10 * 5
Х = 50
Ответ: 50 кг
Задача 6
Холодильник стоимостью 20 000 рублей был продан спустя месяц за 22 000 рублей. На сколько процентов увеличилась стоимость холодильника?
Решение: Нам известно, что исходная цена – 20 000 рублей, следовательно, 20 000 рублей – это 100%. Тогда конечная цена 22 000 рублей – это неизвестное количество процентов, т.е. Х%. Так и запишем:
20 000 – 100%
22 000 – Х%
Теперь запишем пропорцию: 
Сократим левую дробь на 2 000, получим: 
Воспользуемся основным свойством пропорции, то есть перемножим ее члены крест-накрест:
10Х = 1 100
Х = 110
В результате решения мы получили результат 110%, но он не является ответом! Ведь нам нужно найти, на сколько процентов изменилась стоимость холодильника. Чтобы это узнать, нужно из полученного числа процентов отнять 100%:
110% — 100% = 10%
Ответ: 10%
Решение задач на проценты методом коэффициентов
Можно назвать еще один метод решения задач на проценты, который является следствием из формулы простого процента. Так, формулу простого процента можно переписать следующим образом:
Таким образом, мы получили формулу для решения задач на проценты методом коэффициентов. Полученная формула удобна тем, что при достаточной практике простые задачи на проценты можно решать в уме, даже не задумываясь.
Например, яблоки стоили 150 рублей, затем они подорожали на 20%. Найдите новую стоимость яблок.
Применим полученную формулу и получим:
150 * 1,2 = 180 рублей
То есть мы интуитивно 20% превращаем в 0,2 прибавляем единицу, так как происходит увеличение на данное количество процентов, и умножаем на первоначальную стоимость.
Или другой пример. Зарплата работника составляла 25 000 рублей в месяц, в результате применения штрафа за опоздания зарплата сократилась на 10%. Найти сумму зарплаты, которую получит оштрафованный работник.
25 000 * 0,9 = 22 500 рублей
Опять же мы сразу понимаем, что 10% — это 0,1. Т.к. происходит уменьшение первоначальной величины на это количество процентов, то мы вычитаем из единицы этот процент и получаем 0,9. Затем умножаем полученное значение на первоначальную величину. Готово!
Давайте решим этим методом задачу про зарплату и налоги.
Задача 7
В России налог на доходы физических лиц составляет 13%. Зарплата Марии Ивановны после удержания налога на доходы составила 60 900 рублей. Найти сумму зарплаты Марии Ивановны до удержания налога.
Решение: Итак, 13% — это 0,13. Первоначальная зарплата уменьшилась на этот процент, значит, вычитаем из единицы и получаем 1 – 0,13 = 0,87. Подставляем в формулу:
0,87х = 60 900
х = 70 000
Ответ: 70 000 рублей
Задача 8
В школе 1000 учеников, из них 20% — ученики начальной школы. Среди учеников средней и старшей школы 30% изучают французский язык. Сколько учеников в школе изучают французский язык, если в начальной школе французский язык не изучают?
Решение: Для начала из общего количества учеников исключим тех, кто французский язык точно не изучает, т.е. учеников начальной школы. Ученики начальной школы – это 20%, т.е. 0,2, мы уменьшаем на этот процент, следовательно, вычитаем из единицы и получаем 1 – 0,2 = 0,8.
1000 * 0,8 = 800
Из 800 полученных учеников французский язык изучают только 30%.
Обратите внимание, что здесь идет речь о проценте от числа. Т.е. мы не уменьшаем на 30% (в этом случае мы вычитаем значение процента в долях из единицы) и не увеличиваем на 30% (в этом случае мы прибавляем к значению процента в долях к единице), а берем 30% от заданного числа (в этом случае мы умножаем заданное число на значение процента в долях). Всегда внимательно читайте условия задачи!
В нашем случае нам нужно найти 30% от 800:
800 * 0,3 = 240
Это и есть ответ. 240 учеников изучают французский язык в школе.
Ответ: 240 учеников.
Задача 9
Разберем еще одну задачу на проценты, которая часто встречается на ЕГЭ и в которой легко можно допустить ошибку.
Задача: Зарплата рабочего составляла 30 000 рублей, затем зарплату повысили на 30%, а потом понизили на 30%. Какую зарплату стал получать рабочий?
Решение: быстро прочитав условие задачи, сходу хочется дать ответ – зарплата останется прежней, ее размер не изменился. Но это не так! Давайте разбираться.
Будем решать по формуле простого процента.
Первое событие – зарплату повысили на 30%. Следовательно, первоначальную сумму мы увеличиваем на 30%:
Второе событие – зарплату понизили на 30%. Следовательно, нашу увеличенную зарплату мы теперь уменьшаем на 30%:
Таким образом, рабочий теперь будет получать зарплату 27 300 рублей.
Данную задачу мы могли бы решить в одно действие, применяя формулу для вычисления сложного процента. Напомним ее:
S = P (1 + i)n, где
S – это конечная сумма;
P – это первоначальная сумма;
i – это процент/100;
n – количество периодов.
Т.к. 30% — это 0,3, то, применяя формулу для вычисления сложного процента к нашей задаче, мы получим:
30 000 * (1 + 0,3)1 (1 – 0,3)1 = 27 300 рублей
Результат получился тот же.
Ответ: 27 300 рублей
В этой статье были разобраны достаточно простые примеры задач на проценты, чтобы максимально доступно продемонстрировать методы решения задач на проценты. В профильном ЕГЭ с процентами вы можете столкнуться в задаче с экономическим содержанием по вкладам и кредитам. Такие задачи гораздо сложнее и подробное их решение вы можете посмотреть на нашем сайте.
Итак, надеюсь, что данная статья помогла вам понять, как решать задачи на проценты. Мы увидели, что задачи на проценты можно решать тремя способами – с помощью формулы простого процента, методом пропорции и методом коэффициентов. Выбирайте тот, который вам наиболее понятен, и которым вам решать такие задачи проще.