Как составить таблицу для графика функции 7 класс

Данная статья не содержит графических
иллюстраций. Поэтому знакомиться с ее
содержанием будет удобнее, имея под рукой лист
бумаги и карандаш.

1. Линейная функция

При изучении линейной функции на уроках алгебры в 7-м
классе учащиеся довольно успешно осваивают
способ построения прямой по двум точкам. При этом
составляется таблица, в которой задаются
значения х и вычисляются соответствующие
значения y. Однако при построении прямой
часто допускаются неточности: из-за того, что
выбранные точки очень близко расположены друг к
другу, построенная прямая “уходит в сторону”.
Построить график линейной функции можно гораздо
быстрее, если заметить определенные
закономерности. Рассмотрим примеры.

Пример 1. Построить график функции .

Решение Составим таблицу значений функции.

Первая точка выбирается традиционно – точка
пересечения прямой с осью ординат. А дальше
обратим внимание, что разность значений функции , т.е. совпадает
со значением углового коэффициента заданной
функции. А значит, для построения точек на
координатной плоскости вся информация заложена
в коэффициентах заданной линейной функции.
Алгоритм построения точек следующий:

• строим первую точку ;
• переносим ее на 1 единицу вправо и две единицы
  вверх (это вторая точка, принадлежащая прямой):
• вторую точку снова перемещаем на 1 единицу
  вправо и две единицы вверх и получаем третью
  точку искомой прямой;
• далее все повторяется любое число раз.

Пример 2. Построить график функции .

Решение Первая точка имеет координаты . Каждая
следующая получается из предыдущей смещением на
1 единицу вправо и на 3 единицы вниз.

Рассмотрим теперь случай, когда угловой
коэффициент линейной функции задается дробью.

Пример 3. Построить график функции .

Решение Составим таблицу значений функции.
Чтобы получить точки прямой с целочисленными
координатами, возьмем значения х, кратные
трем. Ну. а первая точка, по-прежнему, – точка
пересечения прямой с осью ординат.

Построим точки на координатной плоскости.
Видно, что каждая следующая точка получается из
предыдущей сдвигом на 3 единицы вправо и 2 единицы
вверх. Проводим прямую.

Пример 4. Построить график функции .

Решение Первая точка имеет координаты . Заметим, что
угловой коэффициент прямой . Значит, каждая следующая точка
прямой будет получена из предыдущей смещением на
5 единиц вправо и на 4 единицы вниз. Строим точки и
проводим прямую.

Обратите внимание, что в случае дробного
углового коэффициента линейной функции
знаменатель дроби указывает количество единиц
для перемещения точки вправо, а числитель –
количество единиц, на которые переместится точка
вверх (при )
или вниз (при k<0).

2. Квадратичная функция

2.1. С графиком квадратичной функции учащиеся
знакомятся еще в седьмом классе. При этом, для
построения параболы, как правило, записывается
таблица значений функции для , затем полученные точки строят
на координатной прямой и рисуют параболу. Более
продвинутые ученики записывают таблицу только
для , строят
полученные точки и проводят правую ветвь
параболы. Затем, воспользовавшись симметрией
графика относительно оси ординат, строят точки
параболы для
и рисуют вторую ветвь параболы.

Записи таблицы можно избежать, если заметить
одну закономерность в расположении указанных
точек. Посмотрим таблицу значений функции :

В третьей строке таблицы записана разность
двух последующих значений функции. Видно, что
полученные числа образуют последовательность
нечетных чисел (легко убедиться, что эта
закономерность выполняется и далее, например, ). Этот факт
легко запоминается. А с учетом этой
закономерности построить характеристические
точки параболы можно так:

• первая точка – начало координат;
• вторая точка получается из первой смещением на
  одну единицу вправо и на одну единицу вверх;
• третья получается смещением второй точки на
  один вправо и три вверх;
• четвертая точка получается переносом третьей
  на один вправо и пять вверх;
• затем строятся точки левой ветви параболы за
  счет симметрии графика относительно оси ординат.

Остается провести плавную линию через
полученные точки, и парабола построена.

2.2. Перейдем теперь к квадратичной
функции вида ,
которая изучается уже в восьмом классе. Учащиеся
узнают, что коэффициент а определяет
направление ветвей параболы, а также растяжение
или сжатие графика вдоль оси ординат. А для
построения графика все равно просчитывают
координаты точек. Но без этого можно обойтись,
если знать указанную выше закономерность
построения точек параболы . И если для нее сдвиг точек вдоль
оси OY задавался последовательностью чисел , то для функции эта
последовательность чисел будет .

Пример 5. Построить график функции .

Решение Графиком функции служит парабола,
ветви которой направлены вниз, а вершина
находится в начале координат. Для построения
других точек параболы вспомним про нечетные
числа ,
умножим их на ,
получаем последовательность чисел Знак говорит о том , что смещение
точек будет сделано вниз. На словах алгоритм
построения звучит так: от начала координат одна
единица вправо и две вниз; от новой точки одна
единица вправо и шесть вниз; строим точки,
симметричные полученным относительно оси
ординат; проводим параболу.

Пример 6. Построить график функции .

Решение Графиком функции – парабола, ветви
которой направлены вверх. Вершина параболы
находится в начале координат. Для построения
других точек воспользуемся последовательностью При получаем
следующий порядок перемещений вдоль оси ординат . Строим точки
на координатной плоскости: от точки 1 клетка вправо и
полклетки вверх, от полученной точки снова одна
клетка вправо и полторы клетки вверх, потом от
новой точки опять одна клетка вправо и две с
половиной клетки вверх и т.д. (ясно, что в
указанном случае за единичный отрезок на осях
координат принимается одна клеточка в тетрадном
листе). Затем строим точки левой ветви параболы
за счет симметрии графика относительно оси OY и
рисуем параболу.

2.3. В 9-м классе учащиеся изучают
квадратичную функцию . Для построения ее графика с учетом
выше сказанного можно применять следующий
алгоритм:

1. найти координаты вершины параболы ;
2. построить в системе координат полученную точку
   и провести оси вспомогательной системы
   координат (прямые и );
3. по коэффициенту а определить направление
   ветвей параболы;
4. построить во вспомогательной системе координат
   характеристические точки функции , следуя алгоритму пункта
   2.2.
5. провести плавную линию через указанные точки.
   График готов.

Пример 7. Построить график функции .

Решение Графиком функции – парабола.

1. Вычисляем координаты вершины параболы: .
2. Строим точку
   и проводим пунктиром вспомогательные оси
   координат (прямые проходят через указанную точку
   и параллельны осям ОХ и ОY).
3. Коэффициент при х² в данной функции
   равен 1. Значит, для построения
   характеристических точек параболы применим ряд
   чисел 1,3,5,…. , т.е. строим стандартную параболу, но
   во вспомогательной системе координат (пункт 2.1.).
4. Проводим плавную линию через полученные точки.
   Парабола построена.

ПРИМЕРЫ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Постройте графики указанных функций:

b) Во втором случае функция та же, только значения (x=-6) и (x=3) не рассматриваются, так как они не принадлежат интервалу ((-6;3)). 

Поэтому точки ((-6); (-1)) и ((3); (2)) на рисунке отмечены светлыми кружочками.

По графику линейной функции, можно определить наибольшее и наименьшее значения линейной функции на заданном отрезке.

В случае

Вспомним, что такое график функции:

Графиком функции называется множество точек плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента $x$, а ординаты – соответствующим значениям функции $y$.

Как мы уже выяснили, график линейной функции представляет из себя прямую линию. 

Построение графиков

Для его построения нет необходимости находить координаты более двух точек. То есть, чтобы построить график линейной функции, достаточно подставить в заданную формулу всего два значения $x$.

Значит, нужно:

Пример

Построим график функции $y=2x+1$

Для удобства состоим таблицу значений $x$ и $y$.

Какие $x$ взять? Удобно брать небольшие числа, например $0$ и $1$

Теперь нужно посчитать $y$. Подставляем по очереди 2 значения $x$ в нашу функцию:

$x=color{#3D68EB}0$
$y=2x+1$
$y=2 cdot 0 + 1 = color{#253f8d}1$

$x=color{#ED7858}1$
$y=2x+1$
$y=2 cdot 1 + 1 = color{#eb3d3d}3$

Вписываем полученные значения в таблицу и отмечаем точки:

Проводим через эти точки прямую линию. График готов.

Доведите навык до совершенства с помощью тренажёра построения графиков линейной функции.

Вопросы
занятия:

· 
показать на примере как строится график функции;

· 
ввести понятие «график функции»;

· 
познакомить со специальными приборами, которые вычерчивают графики
функциональных зависимостей и используются в различных сферах деятельности
человека.

Материал
урока

Давайте
возьмём функцию, которая задана формулой:

Составим
таблицу значений этой функции с шагом 1.

Затем
изобразим систему координат. Вспомним, что горизонтально расположенную ось
называют осью абсцисс. А вертикально расположенную ось – осью ординат.

Каждую
из найденных пар значений х и у
изобразим точкой в координатной плоскости.

Соединим
эти точки плавной линией и получим график нашей функции:

Следует
отметить, что чем больше точек, принадлежащих графику мы
отметим на координатной плоскости, тем более точно будет построен график
функции.

Таким
образом, сформулируем определение.

Определение.

Графиком
функции называется множество всех точек плоскости, абсциссы
которых принадлежат области определения, а ординаты равны соответствующим
значениям функции.

Давайте
построим график ещё одной функции, заданной формулой:

Составим
таблицу значений данной функции с шагом 1.

Изображаем
систему координат. И отмечаем в координатной плоскости все точки, координаты
которых записаны в нашей таблице.

Соединяем
отмеченные точки линией. И получаем график заданной функции для заданных
значений аргумента.

График
функции является наглядным представлением зависимости между величинами.

Например,
на следующем графике показано, как изменяется температура воздуха в течение
суток.

Для
получения такой информации на практике используют специальный прибор, который
называется термографом.

Перо
вычерчивает на ленте, которая намотана на барабан, непрерывную линию, выражающую
зависимость между временем и температурой воздуха.

Существуют
и другие приборы, которые вычерчивают графики функциональных зависимостей.

Одним
из таких является кардиограф.

Он
позволяет получить графическое описание работы сердца.

А
ещё есть такой прибор, как сейсмограф.

Он
используется для обнаружения и
регистрации колебаний почвы, которые, например, могут быть вызваны
землетрясением

А
теперь решим задачу.

Пример.

И
ещё задача.

Пример.