Инфоурок
›
Информатика
›Презентации›Построение таблиц истинности для сложных высказываний.
Построение таблиц истинности для сложных высказываний.
Скачать материал
Скачать материал
- Сейчас обучается 88 человек из 28 регионов
- Сейчас обучается 358 человек из 65 регионов
- Сейчас обучается 97 человек из 41 региона
Описание презентации по отдельным слайдам:
-
1 слайд
ПОСТРОЕНИЕ ТАБЛИЦ ИСТИННОСТИ ДЛЯ СЛОЖНЫХ ВЫСКАЗЫВАНИЙ. Подготовила учитель информатики высшей категории Габриэль Татьяна Васильевна
-
2 слайд
ЛОГИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ И ТАБЛИЦЫ ИСТИННОСТИ Сложные высказывания можно записывать в виде формул. Для этого простые логические высказывания нужно обозначить как логические переменные буквами и связать их с помощью знаков логических операций. Такие формулы называются логическими выражениями. Например:
-
3 слайд
ЛОГИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ И ТАБЛИЦЫ ИСТИННОСТИ Чтобы определить значение логического выражения необходимо подставить значения логических переменных в выражение и выполнить логические операции. Операции в логическом выражении выполняются слева направо с учетом скобок в следующем порядке: 1. инверсия; 2. конъюнкция; 3. дизъюнкция; 4. импликация и эквивалентность. Для изменения указанного порядка выполнения логических операций используются круглые скобки.
-
4 слайд
ТАБЛИЦЫ ИСТИННОСТИ Для каждого составного высказывания (логического выражения) можно построить таблицу истинности, которая определяет истинность или ложность логического выражения при всех возможных комбинациях исходных значений простых высказываний (логических переменных).
-
5 слайд
АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ ТАБЛИЦЫ ИСТИННОСТИ 1) записать выражение и определить порядок выполнения операций 2) определить количество строк в таблице истинности. Оно равно количеству возможных комбинаций значений логических переменных, входящих в логическое выражение (определяется по формулеQ=2n + 1, где n — количество входных переменных) 3) определить количество столбцов в таблице истинности (= количество логических переменных + количество логических операций) 4) построить таблицу истинности, обозначить столбцы (имена переменных и обозначения логических операций в порядке их выполнения) и внести в таблицу возможные наборы значений исходных логических переменных. 5) заполнить таблицу истинности, выполняя базовые логические операции в необходимой последовательности и в соответствии с их таблицами истинности
-
6 слайд
Например, построим таблицу истинности для логической функции: Количество входных переменных в заданном выражении равно трем (A,B,C). Значит, количество входных наборов, а значит и строк Q=23=8. Количество столбцов равно 6 (3 переменные + 3 операции). Столбцы таблицы истинности соответствуют значениям исходных выражений A,B,C, промежуточных результатов и (B V C), а также искомого окончательного значения сложного арифметического выражения
-
-
8 слайд
ABCB V C 000 001 010 011 100 101 110 111
-
9 слайд
ABCB V C 000100 001111 010111 011111 100000 101010 110010 111010
-
10 слайд
Задание. Постройте таблицу истинности для данного логического выражения: Количество входных переменных в заданном выражении равно двум (A,B,). Значит, количество входных наборов, а значит и строк Q=22 =4 + 1 =5, а количество столбцов равно 2 + 4 = 6 АBАVB¬A¬АVB 00 01 10 11
-
11 слайд
Проверка АВ 000110 011111 101000 111011
Краткое описание документа:
Презентация к уроку информатики и ИКТ на тему: «Построение таблиц истинности для сложных высказываний» в 10 профильном классе. Презентация может быть использована для объяснения новой темы. Программа профильного курса рассчитана на 280 часов по 4 часа в неделю. Используется учебник Н. Д. Угриновича, глава: «Основы логики и логические основы компьютера» и программа дистанционного курса по информатике и ИКТ(http://elearning.edu54.ru/Курс рассчитан на 280 учебных часов, включает в себя 18 дистанционных модулей).
Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
6 266 063 материала в базе
- Выберите категорию:
- Выберите учебник и тему
- Выберите класс:
-
Тип материала:
-
Все материалы
-
Статьи
-
Научные работы
-
Видеоуроки
-
Презентации
-
Конспекты
-
Тесты
-
Рабочие программы
-
Другие методич. материалы
-
Найти материалы
Другие материалы
- 15.05.2014
- 1394
- 3
- 15.05.2014
- 4183
- 155
- 15.05.2014
- 1951
- 48
- 15.05.2014
- 981
- 0
Рейтинг:
5 из 5
- 15.05.2014
- 3562
- 17
- 15.05.2014
- 1240
- 0
- 14.05.2014
- 736
- 16
Вам будут интересны эти курсы:
-
Курс повышения квалификации «Информационные технологии в деятельности учителя физики»
-
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
-
Курс повышения квалификации «Облачные технологии в образовании»
-
Курс повышения квалификации «Сетевые и дистанционные (электронные) формы обучения в условиях реализации ФГОС по ТОП-50»
-
Курс профессиональной переподготовки «Информационные технологии в профессиональной деятельности: теория и методика преподавания в образовательной организации»
-
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
-
Курс повышения квалификации «Применение MS Word, Excel в финансовых расчетах»
-
Курс повышения квалификации «Введение в программирование на языке С (СИ)»
-
Курс профессиональной переподготовки «Управление в сфере информационных технологий в образовательной организации»
-
Курс повышения квалификации «Современные тенденции цифровизации образования»
-
Курс повышения квалификации «Применение интерактивных образовательных платформ на примере платформы Moodle»
-
Настоящий материал опубликован пользователем Габриэль Татьяна Васильевна. Инфоурок является
информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте
методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них
сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайтЕсли Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с
сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.Удалить материал
-
- На сайте: 7 лет и 10 месяцев
- Подписчики: 0
- Всего просмотров: 4736
-
Всего материалов:
4
Файлы
Рабочий лист подходит для учеников 7 класса, работающих по учебнику «Информатика. ФГОС», автор Л….
13
4.1.Логические выражения
Каждое составное высказывание можно выразить в виде формулы (логического выражения), в которую входят логические переменные, обозначающие высказывания, и знаки логических операций, обозначающие логические функции.
Для записи составного высказывания в виде логического выражения на формальном языке (языке алгебры логики) в составном высказывании нужно выделить простые высказывания и логические связи между ними.
Запишем в форме логического выражения составное высказывание
«(2·2=5 или 2·2=4) и (2·2≠5 или 2·2≠4)».
Проанализируем составное высказывание. Оно содержит два простых высказывания:
А = «2•2=5»—ложно (0), В = «2•2=4»—истинно (1).
Тогда составное высказывание можно записать в следующей форме: «(А или В) и (Ā или В)».
Теперь необходимо записать высказывание в форме логического выражения с учётом последовательности выполнения логических операций. При выполнении логических операций определён следующий порядок их выполнения:
инверсия, конъюнкция, дизъюнкция.
Для изменения указанного порядка могут использоваться скобки:
F = (A v В) & (Ā v В).
Истинность или ложность составных высказываний можно определять чисто формально, руководствуясь законами алгебры высказываний, не обращаясь к смысловому содержанию высказываний.
Подставим в логическое выражение значения логических переменных и, используя таблицы истинности базовых логических операций, получим значение логической функции:
F = (A v В) & (Ā v В) = (0 v 1) & (1 v 0) = 1 & 1 = 1.
14
4.2.Таблицы истинности
Таблицы, в которых логические операции отражают результаты вычислений сложных высказываний при различных значениях исходных простых высказываний, называются таблицами истинности.
Простые высказывания обозначаются переменными (например, A и B).
При построении таблиц истинности целесообразно руководствоваться определённой последовательностью действий:
1) необходимо определить количество строк в таблице истинности. Оно равно количеству возможных комбинаций значений логических переменных, входящих в логическое выражение. Если количество логических переменных равно п, то:
количество строк = 2n.
В нашем случае логическая функция имеет 2 переменные и, следовательно, количество строк в таблице истинности должно быть равно 4;
2)необходимо определить количество столбцов в таблице истинности, которое равно количеству логических переменных плюс количество логических операций.
В нашем случае количество переменных равно двум: А и В, а количество логических операций — пяти (таблица 8), то есть количество столбцов таблицы истинности равно семи;
3)необходимо построить таблицу истинности с указанным количеством строк и столбцов, обозначить столбцы и внести в таблицу возможные наборы значений исходных логических переменных;
4)необходимо заполнить таблицу истинности по столбцам, выполняя базовые логические операции в необходимой последовательности и в соответствии с их таблицами истинности.
Теперь мы можем определить значение логической функции для любого набора значений логических переменных.
15
Таблица 8 – Таблица истинности логической функции
4.3.Равносильные логические выражения
Логические выражения, у которых последние столбцы таблиц истинности сов-
падают, называются равносильными. Для обозначения равносильных логических выражений используется знак «=».
Докажем, что логические выражения равносильны. Построим сначала таблицу истинности логического выражения (табли-
ца 9).
Таблица 9 – Таблица истинности логического выражения
А |
В |
|||
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
Теперь построим таблицу истинности логического выражения (таблица 10).
Таблица 10 – Таблица истинности логического выражения
А |
В |
А v В |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
Значения в последних столбцах таблиц истинности совпадают, следовательно, логические выражения равносильны:
=.
16
5. Построение таблиц истинности для сложных выражений
Согласно определению, таблица истинности логической формулы выражает соответствие между всевозможными наборами значений переменных и значениями формулы.
Для формулы, которая содержит две переменные, таких наборов значений
переменных всего четыре: |
|||
(0, 0), |
(0, 1), |
(1, 0), |
(1, 1). |
Если формула содержит три переменные, то возможных наборов значений
переменных восемь: |
|||||||
(0, 0, 0), |
(0, 0, 1), |
(0, 1, 0), |
(0, 1, 1), |
(1, 0, 0), |
(1, 0, 1), |
(1, 1, 0), |
(1, 1, 1). |
Количество наборов для формулы с четырьмя переменными равно шестнадцати и т.д.
Удобной формой записи при нахождении значений формулы является таблица, содержащая кроме значений переменных и значений формулы также и значения промежуточных формул.
Пример 1 1. Составим таблицу истинности для формулы, которая содержит две пере-
менные X и Y. В первых двух столбцах таблицы запишем четыре возможных пары значений этих переменных, в последующих столбцах — значения промежуточных формул и в последнем столбце — значение формулы. В результате получим таблицу 11:
Таблица 11 – Таблица истинности для формулы с переменными Х и У
Пример 2
Cоставить таблицу истинности сложного логического выражения: D = неA & (B+C).
А, В, С – три простых высказывания, поэтому:
количество строк = 23 +2 = 10 (n=3, т.к. на входе три элемента А, В, С) количество столбцов (таблица 12):
1)А,
2)В,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Построение таблиц истинности
Екатерина Андреевна Гапонько
Эксперт по предмету «Информатика»
Задать вопрос автору статьи
Определение 1
Логическая функция – функция, переменные которой принимают одно из двух значений: $1$ или $0$.
Любую логическую функцию можно задать с помощью таблицы истинности: набор всех возможных аргументов записывается в левой части таблицы, а соответствующие значения логической функции – в правой части.
Определение 2
Таблица истинности – таблица, которая показывает, какие значения примет составное выражение при всех возможных наборах значений простых выражений, входящих в него.
Определение 3
Равносильными называются логические выражения, последние столбцы таблиц истинности которых совпадают. Равносильность обозначается с помощью знака $«=»$.
Сдай на права пока
учишься в ВУЗе
Вся теория в удобном приложении. Выбери инструктора и начни заниматься!
Получить скидку 3 000 ₽
При составлении таблицы истинности важно учитывать следующий порядок выполнения логических операций:
Рисунок 1.
Приоритетом в выполнении порядка выполнения операций пользуются скобки.
Алгоритм построения таблицы истинности логической функции
-
Определяют количество строк: кол-во строк = $2^n + 1$ (для строки заголовка), $n$ – количество простых выражений. Например, для функций двух переменных существует $2^2 = 4$ комбинации наборов значений переменных, для функций трех переменных – $2^3 = 8$ и т.д.
-
Определяют количество столбцов: кол-во столбцов = кол-во переменных + кол-во логических операций. При определении количества логических операций учитывают также порядок их выполнения.
-
Заполняют столбцы результатами выполнения логических операций в определенной последовательности, учитывая таблицы истинности основных логических операций.
«Построение таблиц истинности» 👇
Рисунок 2.
Пример 1
Составить таблицу истинности логического выражения $D=bar{A} vee (B vee C)$.
Решение:
-
Определим количество строк:
Количество простых выражений – $n=3$, значит
кол-во строк = $2^3 + 1=9$.
-
Определим количество столбцов:
Количество переменных – $3$.
Количество логических операций и их последовательность:
- инверсия ($bar{A}$);
- дизъюнкция, т.к. она находится в скобках ($B vee C$);
-
дизъюнкция ($overline{A}vee left(Bvee Cright)$) – искомое логическое выражение.
Кол-во столбцов = $3 + 3=6$.
-
Заполним таблицу, учитывая таблицы истинности логических операций.
Рисунок 3.
Пример 2
По данному логическому выражению построить таблицу истинности:
[F=overline{(Avee B)bigwedge overline{C}}vee overline{(Avee C)bigwedge B}]
Решение:
-
Определим количество строк:
Количество простых выражений – $n=3$, значит
кол-во строк = $2^3 + 1=9$.
-
Определим количество столбцов:
Количество переменных – $3$.
Количество логических операций и их последовательность:
- отрицание ($bar{C}$);
- дизъюнкция, т.к. она находится в скобках ($A vee B$);
- конъюнкция ($(Avee B)bigwedge overline{C}$);
- отрицание, которое обозначим $F_1$ ($overline{(Avee B)bigwedge overline{C}}$);
- дизъюнкция ($A vee C$);
- конъюнкция ($(Avee C)bigwedge B$);
- отрицание, которое обозначим $F_2$ ($overline{(Avee C)bigwedge B}$);
-
дизъюнкция – искомая логическая функция ($overline{(Avee B)bigwedge overline{C}}vee overline{(Avee C)bigwedge B}$).
Кол-во столбцов = $3 + 8 = 11$.
-
Заполним таблицу, учитывая таблицу истинности логических операций.
Рисунок 4.
Алгоритм построения логической функции по ее таблице истинности
- Выделяют в таблице истинности строки со значением функции, равным $1$.
- Выписывают искомую формулу как дизъюнкцию нескольких логических выражений. Количество этих выражений равно количеству выделенных строк.
- Каждое логическое выражение в этой дизъюнкции записать как конъюнкцию аргументов функции.
- В случае, когда значение какого-то из аргументов функции в соответствующей строке таблицы принимает значение $0$, то этот аргумент записать в виде его отрицания.
Пример 3
По данной таблице истинности некоторой логической функции $Y(A,B)$ cоставить соответствующую логическую функцию.
Рисунок 5.
Решение:
- Значение функции равно $1$ в $1$-й и $3$-й строках таблицы.
- Поскольку имеем $2$ строки, получим дизъюнкцию двух элементов:
Рисунок 6.
- Каждое логическое выражение в этой дизъюнкции запишем как конъюнкцию аргументов функции $A$ и $B$: $left(Awedge Bright)vee left(Awedge Bright)$
- В случае, когда значение в соответствующей строке таблицы равно $0$, запишем этот аргумент с отрицанием, получим искомую функцию:[Yleft(A,Bright)=left(overline{A}wedge overline{B}right)vee left(Awedge overline{B}right).]
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме
Дата написания статьи: 12.04.2016
Построение таблицы истинности. СДНФ. СКНФ. Полином Жегалкина.
Онлайн калькулятор позволяет быстро строить таблицу истинности для произвольной булевой функции или её вектора, рассчитывать совершенную дизъюнктивную и совершенную конъюнктивную нормальные формы, находить представление функции в виде полинома Жегалкина, строить карту Карно и классифицировать функцию по классам Поста.
Калькулятор таблицы истинности, СКНФ, СДНФ, полинома Жегалкина
введите функцию или её вектор
Скрыть клавиатуру
∨
∧
¬
⊕
→
≡
↓
↑
0
1
a
b
c
x
y
z
(
)
X1
X2
X3
X4
X5
X6
Показать настройки
Таблица истинности
СКНФ
СДНФ
Полином Жегалкина
Классификация Поста
Минимизация, карта Карно
Фиктивные переменные
С решением
Построить
Построено таблиц, форм:
Как пользоваться калькулятором
- Введите в поле логическую функцию (например, x1 ∨ x2) или её вектор (например, 10110101)
- Укажите действия, которые необходимо выполнить с помощью переключателей
- Укажите, требуется ли вывод решения переключателем «С решением»
- Нажмите на кнопку «Построить»
Видеоинструкция к калькулятору
Используемые символы
В качестве переменных используются буквы латинского и русского алфавитов (большие и маленькие), а также цифры, написанные после буквы (индекс переменной). Таким образом, именами переменных будут: a
, x
, a1
, B
, X
, X1
, Y1
, A123
и так далее.
Для записи логических операций можно использовать
как обычные символы клавиатуры (*
, +
, !
, ^
, ->
, =
), так и символы, устоявшиеся в литературе (∧
, ∨
, ¬
, ⊕
, →
, ≡
). Если на вашей клавиатуре отсутствует нужный символ операции, то используйте клавиатуру калькулятора (если она не видна, нажмите «Показать клавиатуру»), в которой доступны как все логические операции, так и набор наиболее часто используемых переменных.
Для смены порядка выполнения операций используются круглые скобки ().
Обозначения логических операций
- И (AND):
&
•
∧
*
- ИЛИ (OR):
∨
+
- НЕ (NOT):
¬
!
- Исключающее ИЛИ (XOR):
⊕
^
- Импликация:
->
→
=>
- Эквивалентность:
=
~
≡
<=>
- Штрих Шеффера:
↑
|
- Стрелка Пирса:
↓
Что умеет калькулятор
- Строить таблицу истинности по функции
- Строить таблицу истинности по двоичному вектору
- Строить совершенную конъюнктивную нормальную форму (СКНФ)
- Строить совершенную дизъюнктивную нормальную форму (СДНФ)
- Строить полином Жегалкина (методами Паскаля, треугольника, неопределённых коэффициентов)
- Определять принадлежность функции к каждому из пяти классов Поста
- Строить карту Карно
- Минимизировать ДНФ и КНФ
- Искать фиктивные переменные
Что такое булева функция
Булева функция f(x1, x2, ... xn)
— это любая функция от n переменных x1, x2, … xn, в которой её аргументы принимают одно из двух значений: либо 0, либо 1, и сама функция принимает значения 0 или 1. То есть это правило, по которому произвольному набору нулей и единиц ставится в соответствие значение 0 или 1. Подробнее про булевы функции можно посмотреть на Википедии.
Что такое таблица истинности?
Таблица истинности — это таблица, описывающая логическую функцию, а именно отражающую все значения функции при всех возможных значениях её аргументов. Таблица состоит из n+1
столбцов и 2n
строк, где n
— число используемых переменных. В первых n столбцах записываются всевозможные значения аргументов (переменных) функции, а в n+1-ом столбце записываются значения функции, которые она принимает на данном наборе аргументов.
Довольно часто встречается вариант таблицы, в которой число столбцов равно n + число используемых логических операций. В такой таблице также первые n столбцов заполнены наборами аргументов, а оставшиеся столбцы заполняются значениями подфункций, входящих в запись функции, что позволяет упростить расчёт конечного значения функции за счёт уже промежуточных вычислений.
Логические операции
Логическая операция — операция над высказываниями, позволяющая составлять новые высказывания путём соединения более простых. В качестве основных операций обычно называют конъюнкцию (∧ или &), дизъюнкцию (∨ или |), импликацию (→), отрицание (¬), эквивалентность (=), исключающее ИЛИ (⊕).
Таблица истинности логических операций
Как задать логическую функцию
Есть множество способов задать булеву функцию:
- таблица истинности
- характеристические множества
- вектор значений
- матрица Грея
- формулы
Рассмотрим некоторые из них:
Чтобы задать функцию через вектор значений необходимо записать вектор из 2n нулей и единиц, где n — число аргументов, от которых зависит функция. Например, функцию двух аргументов можно задать так: 0001 (операция И), 0111 (операция ИЛИ).
Чтобы задать функцию в виде формулы, необходимо записать математическое выражение, состоящее из аргументов функции и логических операций. Например, можно задать такую функцию: a∧b ∨ b∧c ∨ a∧c
Способы представления булевой функции
С помощью формул можно получать огромное количество разнообразных функций, причём с помощью разных формул можно получить одну и ту же функцию. Иногда бывает весьма полезно узнать, как построить ту или иную функцию, используя лишь небольшой набор заданных операций или используя как можно меньше произвольных операций. Рассмотрим основные способы задания булевых функций:
- Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ)
- Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ)
- Алгебраическая нормальная форма (АНФ, полином Жегалкина)
Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ)
Простая конъюнкция — это конъюнкция некоторого конечного набора переменных, или их отрицаний, причём каждая переменная встречается не более одного раза.
Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) — это дизъюнкция простых конъюнкций.
Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ) — ДНФ относительно некоторого заданного конечного набора переменных, в каждую конъюнкцию которой входят все переменные данного набора.
Например, ДНФ является функция ¬abc ∨ ¬a¬bc ∨ ac, но не является СДНФ, так как в последней конъюнкции отсутствует переменная b.
Совершенная конъюнктивная нормальная форма (КНФ)
Простая дизъюнкция — это дизъюнкция одной или нескольких переменных, или их отрицаний, причём каждая переменная входит в неё не более одного раза.
Конъюнктивная нормальная форма (КНФ) — это конъюнкция простых дизъюнкций.
Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ) — КНФ относительно некоторого заданного конечного набора переменных, в каждую дизъюнкцию которой входят все переменные данного набора.
Например, КНФ является функция (a ∨ b) ∧ (a ∨ b ∨ c), но не является СДНФ, так как в первой дизъюнкции отсутствует переменная с.
Алгебраическая нормальная форма (АНФ, полином Жегалкина)
Алгебраическая нормальная форма, полином Жегалкина — это форма представления логической функции в виде полинома с коэффициентами вида 0 и 1, в котором в качестве произведения используется операция конъюнкции, а в качестве сложения — исключающее ИЛИ.
Примеры полиномов Жегалкина: 1, a, a⊕b, ab⊕a⊕b⊕1
Алгоритм построения СДНФ для булевой функции
- Построить таблицу истинности для функции
- Найти все наборы аргументов, на которых функция принимает значение 1
- Выписать простые конъюнкции для каждого из наборов по следующему правилу: если в наборе переменная принимает значение 0, то она входит в конъюнкцию с отрицанием, а иначе без отрицания
- Объединить все простые конъюнкции с помощью дизъюнкции
Алгоритм построения СКНФ для булевой функции
- Построить таблицу истинности для функции
- Найти все наборы аргументов, на которых функция принимает значение 0
- Выписать простые дизъюнкции для каждого из наборов по следующему правилу: если в наборе переменная принимает значение 1, то она входит в дизъюнкцию с отрицанием, а иначе без отрицания
- Объединить все простые дизъюнкции с помощью конъюнкции
Алгоритм построения полинома Жегалкина булевой функции
Есть несколько методов построения полинома Жегалкина, в данной статье рассмотрим наиболее удобный и простой из всех.
- Построить таблицу истинности для функции
- Добавить новый столбец к таблице истинности и записать в 1, 3, 5… ячейки значения из тех же строк предыдущего столбца таблицы истинности, а к значениям в строках 2, 4, 6… прибавить по модулю два значения из соответственно 1, 3, 5… строк.
- Добавить новый столбец к таблице истинности и переписать в новый столбец значения 1, 2, 5, 6, 9, 10… строк, а к 3, 4, 7, 8, 11, 12… строкам аналогично предыдущему пункту прибавить переписанные значения.
- Повторить действия каждый раз увеличивая в два раза количество переносимых и складываемых элементов до тех пор, пока длина не станет равна числу строк таблицы.
- Выписать булевы наборы, на которых значение последнего столбца равно единице
- Записать вместо единиц в наборах имена переменных, соответствующие набору (для нулевого набора записать единицу) и объединить их с помощью операции исключающего ИЛИ.
Примеры построения различных представлений логических функций
Построим совершенные дизъюнктивную и дизъюнктивную нормальные формы, а также полином Жегалкина для функции трёх переменных F = ¬ab∨¬bc∨ca
1. Построим таблицу истинности для функции
Построение совершенной дизъюнктивной нормальной формы:
Найдём наборы, на которых функция принимает истинное значение: { 0, 0, 1 } { 0, 1, 0 } { 0, 1, 1 } { 1, 0, 1 } { 1, 1, 1 }
В соответствие найденным наборам поставим элементарные конъюнкции по всем переменным, причём если переменная в наборе принимает значение 0, то она будет записана с отрицанием:
K1: { 0, 0, 1 } — ¬a¬bc
K2: { 0, 1, 0 } — ¬ab¬c
K3: { 0, 1, 1 } — ¬abc
K4: { 1, 0, 1 } — a¬bc
K5: { 1, 1, 1 } — abc
Объединим конъюнкции с помощью дизъюнкции и получим совершенную дизъюнктивную нормальную форму:
K1 ∨ K2 ∨ K3 ∨ K4 ∨ K5 = ¬a¬bc ∨ ¬ab¬c ∨ ¬abc ∨ a¬bc ∨ abc
Построение совершенной конъюнктивной нормальной формы:
Найдём наборы, на которых функция принимает ложное значение: { 0, 0, 0 } { 1, 0, 0 } { 1, 1, 0 }
В соответствие найденным наборам поставим элементарные дизъюнкции по всем переменным, причём если переменная в наборе принимает значение 1, то она будет записана с отрицанием:
D1: { 0, 0, 0 } — a∨b∨c
D2: { 1, 0, 0 } — ¬a∨b∨c
D3: { 1, 1, 0 } — ¬a∨¬b∨c
Объединим дизъюнкции с помощью конъюнкции и получим совершенную конъюнктивную нормальную форму:
D1 ∧ D2 ∧ D3 = (a∨b∨c) ∧ (¬a∨b∨c) ∧ (¬a∨¬b∨c)
Построение полинома Жегалкина:
Добавим новый столбец к таблице истинности и запишем в 1, 3, 5 и 7 строки значения из тех же строк предыдущего столбца таблицы истинности, а значения в строках 2, 4, 6 и 8 сложим по модулю два со значениями из соответственно 1, 3, 5 и 7 строк:
Добавим новый столбец к таблице истинности и запишем в 1 и 2, 5 и 6 строки значения из тех же строк предыдущего столбца таблицы истинности, а значения в строках 3 и 4, 7 и 8 сложим по модулю два со значениями из соответственно 1 и 2, 5 и 6 строк:
Добавим новый столбец к таблице истинности и запишем в 1 2, 3 и 4 строки значения из тех же строк предыдущего столбца таблицы истинности, а значения в строках 5, 6, 7 и 8 сложим по модулю два со значениями из соответственно 1, 2, 3 и 4 строк:
Окончательно получим такую таблицу:
Выпишем наборы, на которых получившийся вектор принимает единичное значение и запишем вместо единиц в наборах имена переменных, соответствующие набору (для нулевого набора следует записать единицу):
{ 0, 0, 1 } — c, { 0, 1, 0 } — b, { 0, 1, 1 } — bc, { 1, 1, 0 } — ab, { 1, 1, 1 } — abc
Объединяя полученные конъюнкции с помощью операции исключающего или, получим полином Жегалкина: c⊕b⊕bc⊕ab⊕abc
Департамент образования Ивановской области
ОГБПОУ «Кинешемский педколледж»
Построение таблиц истинности
Методическое пособие
Подготовила: Совина М.В.
преподаватель высшей категории
2015
М.В. Совина
Методическое пособие «Построение таблиц истинности»- Кинешма, 2015
В данном методическом пособии предлагаются материалы для самостоятельного изучения правил построения таблиц истинности в алгебре логики студентами заочного отделения. Пособие включает теоретическую часть, примеры и задания.
Содержание
Алгебра логики………………………………………………………………… |
4 |
Логические операции…………………………………………………………. |
5 |
Этапы построения таблиц истинности……………………………………… |
9 |
Пример построения таблиц истинности……………………………………. |
10 |
Задания для самоконтроля…………………………………………………… |
12 |
Рекомендуемая литература…………………………………………………… |
13 |
Алгебра логики
Логика — это наука о формах и способах мышления. Логика позволяет строить формальные модели окружающего мира.
Первые учения о формах и способах рассуждений возникли
в странах Древнего Востока (Китай, Индия), но в основе
современной логики лежат учения, созданные древнегреческими
мыслителями.
Основными формами мышления являются: понятие, высказывание, умозаключение.
Понятие — это форма мышления, фиксирующая основные, существенные признаки объекта.
Высказывание — это форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о свойствах реальных предметов и отношениях между ними. Высказывание может быть либо ИСТИННО либо ЛОЖНО.
Умозаключение — это форма мышления, с помощью которой из одного или нескольких суждений может быть получено новое суждение
Основы формальной логики заложил Аристотель.
Алгебра логики была разработана для того, чтобы можно было
оперировать высказываниями, не вникая в их содержание.
Алгебра логики — это математический аппарат, с помощью которого записывают, вычисляют, упрощают и преобразовывают логические высказывания.
Создателем алгебры логики является живший в ХIХ веке английский математик Джордж Буль, в честь которого эта алгебра названа булевой алгеброй.
Логические операции
Простые высказывания обозначаются латинскими буквами: А, В, С …
Bысказывания, образованные из других высказываний с помощью логических связок, называются составными.
Употребляемые в обычной речи слова и словосочетания «не”, “и”, “или”, “если… , то”, “тогда и только тогда” и другие позволяют из простых высказываний строить новые высказывания. Такие слова и словосочетания называются логическими связками.
Каждая логическая связка рассматривается как операция над логическими высказываниями и имеет свое название и обозначение.
Пусть через А обозначено высказывание “Тимур поедет летом на море”,
а через В — высказывание “Тимур летом отправится в горы”.
А, В — логические переменные, каждое из которых мoжет принимать только два значения — “истина” или “ложь”, обозначаемые, соответственно, “1” или “0”.
Составное высказывание “Тимур летом побывает на море и в горах” можно кратко записать как А и В.
Здесь “и” — логическая связка.
Составное высказывание “Тимур летом побывает на море или в горах” можно кратко записать как А или В.
Здесь “или” — логическая связка.
Истинность или ложность получаемых составных высказываний зависит от истинности или ложности элементарных высказываний.
В алгебре логики в соответствии с логическими связками используют 5 базовых логические операций: конъюнкция, дизъюнкция, инверсия, импликация и эквивалентность. Для каждой из операций составлены таблицы истинности
Таблица истинности логической операции выражает соответствие между всевозможными наборами значений исходных данных, переменными и значениями, получаемыми в результате выполнения операции.
Приоритеты логических операций:
-
инверсия (отрицание),
-
конъюнкция (логическое умножение),
-
дизъюнкция (логическое сложение),
-
импликация (следование),
-
эквивалентность (равносильность).
Изменить последовательность выполнения логических операций можно с помощью скобок.
Этапы построения таблиц истинности
Решение логических выражений принято записывать в виде таблиц истинности – таблиц, в которых по действиям показано, какие значения принимает логическое выражение при всех возможных наборах его переменных.
Для составления таблицы необходимо:
-
Выяснить количество строк в таблице. Оно равно 2n+1, где n-количество переменных.
-
Выяснить количество столбцов. Оно равно количество переменных плюс количество логических операций.
-
Установить последовательность выполнения логических операций с учетом скобок и приоритетов.
-
Построить таблицу, указывая названия столбцов и возможные наборы значений исходных логических переменных.
-
Заполнить таблицу истинности по столбцам.
Заполнение столбцов значений переменных таблицы:
1. разделить колонку значений первой переменной пополам и заполнить верхнюю часть «0», а нижнюю «1»;
2. разделить колонку значений второй переменной на четыре части и заполнить каждую четверть чередующимися группами «0» и «1», начиная с группы «0»;
3. продолжать деление колонок значений последующих переменных на 8, 16 и т.д. частей и заполнение их группами «0» или «1» до тех пор, пока группы «0» и «1» не будут состоять из одного символа.
Заполнение столбцов, содержащих логические операции, выполняется в соответствии с таблицами истинности этих логических операций
Примеры построения таблиц истинности
Пример 1. Для формулы A/ (B / ¬B /¬C) постройте таблицу истинности.
1этап: Количество логических переменных 3, следовательно, количество строк — 23 +1= 9.
2 этап: Количество логических операций в формуле 5, количество логических переменных 3, следовательно количество столбцов — 3 + 5 = 8.
3этап: Последовательность операций:
1) ¬B
2) ¬C
3) ¬B /¬C
4) B / ¬B /¬C
5) A/ (B / ¬B /¬C)
4 этап: Построение таблицы
A |
B |
C |
¬B |
¬C |
¬B¬C |
B¬B¬C |
A(B¬B¬C) |
5 этап: Заполнение таблицы
Пример 2. Определите истинность логического выражения
F(А, В) = (А/ В)/(¬А/¬В) .
1. В выражении две переменные А и В (n=2).
2. mстрок=2n, m=22=4 строки.
3. В формуле 5 логических операций.
4. Расставляем порядок действий
1) А/ В; 2) ¬А; 3) ¬В; 4) ¬А/¬В; 5) (А/ В)/(¬А/¬В).
5. Кстолбцов=n+5=2+5=7 столбцов.
А |
В |
А/ В |
¬А |
¬В |
¬А/¬В |
F |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Вывод: логическое выражение принимает значение истина при наборах F(0,1)=1 и F(1,0)=1.
Задания для самоконтроля
-
Составьте таблицу истинности логического выражения:
A B (A B)
-
Определите истинность логического выражения :
F(А,В) =A B C A
-
Постройте таблицу истинности сложного высказывания
А V (A ^ B) V (B ^ C)
-
Составить таблицу истинности для формулы
X·Y v X v Y v X
-
Составить таблицу истинности для формулы
Рекомендуемая литература
-
Андреева Е.В. Математические основы информатики. Элективный курс: учебное пособие.-М.:БИНОМ. Лаборатория знаний, 2005
-
Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. М. «Наука»,1989.
-
Соколова О.А. Универсальные поурочныеразработки по информатике 10 класс:- М.:ВАКО,2008, -400с.
-
Угринович Н. Информатика и ИТ 10-11- М.:Лаборатория Базовых Знаний,2001. – 464с.
-
Щеглов А.И. Элементарное введение в теорию множеств и алгебру логики. Иваново, 1978.
-
Математическая логика.- Режим доступа: // http://mathlog.h11.ru/index.html
-
Cистемa федеральных образовательных порталов . —
Режим лоступа: