Как составить таблицу истинности комбинационных схем

Лабораторная
работа № 1

Изучение
методов синтеза и анализа комбинационных схем

        Цель
работы: изучить методы синтеза и анализа комбинационных схем, методы
минимизации, макетирования и испытания комбинационных схем, изучить
одноразрядный комбинационный сумматор.

        Задание
для подготовки к лабораторной работе

        1.Изучить
теоретические положения, используя рекомендованную       литературу и
лекционный материал.

        2.
Подготовиться к выполнению работы, составив для каждого пункта задания таблицы
истинности реализуемых функций, выполнить необходимую по заданию минимизацию,
составить схемы с учётом имеющихся моделей элементов. При использовании
компьютера в отчёт необходимо представить копии набранных схем, временные
диаграммы работы схемы с комментарием. Временные диаграммы могут быть построены
путём перебора состояний входных сигналов тумблерами и контролем при этом
состояний выходного сигнала или могут быть сформированы на экране  осциллографа
или логического анализатора в автоматическом режиме.

                  Порядок
выполнения работы

        Синтезируемые
в процессе выполнения работы схемы должны быть ориентированы на элементы,
имеющиеся на стенде. Это элементы типа ЛА3, ЛА4, ЛА1, ЛР1(ЛР11), ЛР3(ЛР13). При выполнении работы на
компьютере следует использовать иностранные аналоги отечественных элементов.
Таблица соответствия иностранных и отечественных элементов предложена в
приложении. Если аналог не найден, используйте имеющиеся модели элементов, на
которых, как вы считаете, возможно решение поставленной задачи. При этом вы
должны самостоятельно или с помощью преподавателя разобраться в работе
используемой микросхемы, при необходимости обращаясь к помощи (F1) при отмеченном цветом
изображении элемента.

З
а н я т и е   п е р в о е

        1.
а) Используя логические возможности элементов стенда, разработать схемы для
представленных ниже функций, реализовать их на стенде и проверить правильность
функционирования с помощью таблиц истинности, составленных по исходным
выражениям:

                 Таблицы
истинности

x	x̅
0	1
1	0

X1	X2	X3	X1X2X3	X1X2X3
0	0	0	0	1
0	0	1	0	1
0	1	0	0	1
0	1	1	0	1
1	0	0	0	1
1	0	1	0	1
1	1	0	0	1
1	1	1	1	0

 

        

б)*
Измерить быстродействие инвертора (), подав на его вход
импульсы F или F2 и
наблюдая с помощью двухканального осциллографа одновременно входной и выходной
сигналы инвертора.

        2.       а)
Произвести синтез аналитически заданной в табл. 1 схемы, учитывая номер
варианта и максимально используя возможности имеющихся в библиотеке элементов
или ориентируясь при необходимости на элементы И-НЕ (с помощью правила де
Моргана исключив применение дизъюнкторов). Составить таблицу истинности по
исходному выражению и проверить функционирование схемы в статике, задавая
входные переменные с помощью моделей тумблеров (файл «gen—slov.ewb») или с
помощью генератора слов (файл  «word—generator.ewb»).
Отрицания переменных следует сформировать с помощью дополнительных инверторов.

 

 

 

Таблица 1

      

б)*
Исследовать динамические свойства синтезированной схемы, используя для
формирования двоичных переменных сигналы с генератора стенда с учётом заданного
в таблице 1 соответствия переменных x1, x2, x3 сигналам
F, F2, F4, F8, F16  и
усложнив при необходимости выбранную схему входными инверторами для
формирования отрицаний переменных.

        Необходимо
построить с помощью осциллографа временные диаграммы входных и выходных
сигналов всех используемых логических элементов. Измерить задержки в
формировании фронтов выходного сигнала. Синхронизацию осциллографа следует
брать от входного сигнала с минимальной частотой.

3.     Реализовать
предложенную в табл. 2 схему, максимально используя возможности стенда,
допуская минимальные изменения. Составить по схеме таблицу истинности,
аналитические выражения и проверить правильность функционирования схемы.

Таблица 2

   

4.     Произвести
минимизацию полученных в пунктах 2 и 3 выражений и синтезировать новые
комбинационные схемы. Работоспособность синтезированных схем проверить на
стенде.

   

З
а н я т и е   в т о р о е

5.     Произвести
минимизацию представленных в табл. 3 логических функций, осуществить синтез
схем, составить таблицы истинности и проверить моделированием на стенде.

     

6.     Для
функций, заданных в табл. 4, составить совершенные дизъюнктивные формы,
осуществить минимизацию, синтезировать и реализовать на компьютере полученные схемы.
Функции задаются номерами тех наборов, на которых функции равны единице.

Таблица 4

Запишем эту функцию в виде логического выражения:

F(X1,X2,X3)=( X̅1 X̅2 X̅3)+( X̅1 X̅2 X3)+( X1 X̅2 X̅3)+(X1 X̅2 X3). Проведем минимизацию
заданной функции.

 (X̅1 X̅2 X̅3+X̅1 X̅2 X3)+( X1 X̅2 X̅3+X1 X̅2 X3)= X̅1 X̅2( X̅3+X3)+

+ X1 X̅2(X̅3+X3)= X̅1 X̅2+ X1 X̅2= (X̅1+X1)X̅2= X̅2

  

        7.
Синтезировать схему одноразрядного комбинационного сумматора, собрать и проверить
функционирование по таблице истинности (Таблица истинности и булевы функции
суммы и переноса предложены в приложении 2).

        Рассмотрим
задачу синтеза комбинационного одноразрядного двоичного сумматора, имеющего три
эквивалентных входа: a_i,b_i,p_i и два выхода:
выход сигнала переноса в старший разряд p_i+1 и выход
суммы в данном разряде s_i (рис.
32,а).

Функционирование сумматора можно задать таблицей истинности.

	ai bi pi pi+1 si 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1
а)	б)
Рис. Условное графическое обозначение одноразрядного сумматора (а), его         таблица истинности (б)

3

        8.
Составить таблицу истинности, синтезировать и испытать комбинационную схему с
двумя входами (x1, x2) 12211и
четырьмя выходами (y1, y2, y3, y4), которая
для каждого набора значений переменных формирует нуль на одном выходе,
соответствующем данному набору, а на остальных выходах при этом формирует единицу.

X1	X2	Y1	Y2	Y3	Y4
0	0	1	0	0	0
0	1	0	1	0	0
1	0	0	0	1	0
1	1	0	0	0	1

          

           

9*.
Составить таблицу истинности, синтезировать и испытать схему с двумя информационными
входами (x1, x2), одним
управляющим входом Z и одним выходом y, которая
пропускает на выход x1, если Z=0 (то
есть y=x1), и пропускает
на выход x2, если Z=1 (при
этом y=x2).

X1	X2	Z	Y
0	0	0	0
0	1	0	0
1	0	0	1
1	1	0	1
0	0	1	0
0	1	1	1
1	0	1	0
1	1	1	1

      

     

        10*.
Составить таблицу истинности, синтезировать и испытать схему с информационным
входом x,
управляющим входом Z и выходом y, которая
реализует функцию, если Z=0 и
функцию  при Z=1.

X	Z	Y
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

11*.
Составить таблицы истинности и синтезировать комбинационные схемы,
функционирование которых задаётся словесным описанием (табл. 5). Выходной
сигнал y равен
единице при выполнении заданных условий. Под X и Z понимаются
двухразрядные двоичные числа: ;   . Таблицы истинности
составляются для четырех переменных: x1, x2; z1, z2.
Поскольку схема может оказаться сложной, проверку правильности работы её
целесообразно осуществить на компьютере.

Таблица 5

Выводы. В данной лабораторной работе
изучили различные способы синтеза комбинационных
схем, разработаны схемы для заданных функций, выполнена проверка
правильности функционирования с помощью таблиц истинности, составленных по
исходным выражениям.

Введение

Формирование выходного сигнала на основании обработки входных данных в любом компьютерном оборудовании выполняется формирователями или цифровыми автоматами двух типов:

1. Выполненными на основе комбинационных схем.
2. Выполненными на основе схем с памятью.

Комбинационными схемами называются схемы, у которых сигналы на выходе $Y = (у_1, у_2,…, у_m)$ в каждый дискретный временной промежуток единообразно задаются набором сигналов на входе $X = (x_1, х_2,…, х_n)$, поступивших в этот же временной момент t. Используемый в комбинационных схемах метод информационной обработки является комбинационным, так как итоги обработки имеют зависимость только лишь от комбинационного набора входных сигналов и они образуются сразу при появлении сигналов на входе. И это обстоятельство объясняет главное достоинство комбинационных схем, а именно высокое быстродействие. Информационные преобразования могут быть однозначно описаны функциями логики типа Y = f(X).

Все виды логических функций и реализующие их комбинационные схемы делятся на регулярные и нерегулярные структуры. Регулярные структуры подразумевают формирование схем так, что все их выходы реализуются аналогично предыдущим. В нерегулярных структурах такой аналогии нет. В области практической реализации проектов компьютеров специалистами приобретён громадный опытный потенциал по синтезированию разнообразных схем. Большинство регулярных структурных построений заложено в основание реализации некоторых интегральных схем малой и средней интеграционной степени или функциональных составляющих больших и сверх больших интегральных схем. Самыми распространёнными комбинационными схемами являются шифраторы и дешифраторы, модули сравнения, комбинационные сумматоры и многие другие.

Дешифраторы

Дешифраторами являются комбинационные схемы, имеющие n входов и $т = 2^n$ выходов. Одиночный сигнал, сформированный на каком либо из m выходов, является однозначным соответствием комбинированного набора входных сигналов. К примеру, рассмотрим структуру дешифратора при n = 3, согласно таблице истинности, приведённой на рисунке ниже:

«Построение комбинационных схем» 👇

Дешифраторы повсеместно применяются в компьютерном оборудовании для того, чтобы выбрать информацию по заданному адресу, расшифровать код операции и так далее. Ниже приведены логические формулы данного дешифратора:

Данный дешифратор может быть реализован на основе логических элементов (И, НЕ), где кружки на выходе логических элементов обозначают логическое отрицание функций, которые реализуют элементы. Структурная схема дешифратора приведена на рисунке ниже и там же показано, как он отображается на принципиальной схеме электронной вычислительной машины:

Шифраторы осуществляют решение задачи, обратной дешифрации, то есть по нумерации сигнала на входе выполняется формирование однозначного комбинационного набора сигналов на выходе.

Сумматоры

Комбинационные сумматоры тоже считаются часто применяемым в компьютерном оборудовании элементом. Структурная организация и принцип действия сумматора определяются законами бинарного сложения. Принцип работы многоразрядного сумматора базируется на правилах одноразрядного суммирования двоичных чисел. Рассмотрим пример сумматора, который выполняет суммирование двух одноразрядных чисел аi и bi при отсутствии переноса из предыдущих разрядов. То есть, это может быть, к примеру, суммирование младшего разряда в бинарном коде. Таблица истинности для такой операции суммирования, приведена ниже:

Логические формулы сумматора:

Здесь $S_i$ является функцией суммы одного разряда, а $Р_i$ является функцией наличия переноса. Она принимает значение, равное единице, то есть присутствует перенос в следующий разряд, когда $a_i = 1$ и $b_i = 1$.

Схема такого полусумматора (а) и его обозначение в схеме компьютера (б) представлены на следующем рисунке:

Формулы, заложенные в основание одноразрядных сумматоров, применяются и при реализации сумматоров, рассчитанных на большое количество разрядов. Отличие таблиц истинности одноразрядного сумматора (полусумматора) от таблицы истинности сумматоров, которые учитывают переносы, заключается в наличии дополнительного входа р, являющегося обозначением переноса из предыдущего разряда.

Схемы с памятью

Схемы с памятью считаются более сложными информационными преобразователями. Присутствие элемента памяти в схемной организации даёт возможность запоминания промежуточных состояний работы с сигналами и учёта их величин при последующих действиях. Формирование выходных сигналов $Y = (y_1,y_2,…,y_m)$ в таких схемных организациях осуществляется, помимо учёта набора входных сигналов $X = (х_1,х_2,…,х_п)$, ещё и с учётом набора состояний схем памяти $Q = (q_1,q_2,…,q_k)$. Для правильного учёта этого обстоятельства, вводится отличие текущего дискретного момента времени t и следующего временного момента (t+1). Обобщённая структурная организация схемы, имеющей внутреннюю память, представлена на рисунке ниже.

Осуществление передачи величины Q между временными моментами t и (t+1) выполняется, как правило, с использованием памяти, имеющей две ступени, и специальных синхроимпульсов. Простейшим элементом памяти в компьютерном оборудовании являются триггерные схемы. В своё время эти компоненты заменили в электронных вычислительных машинах запоминающие элементы памяти, работающие на основе остаточной намагниченности ферритовых сердечников.

Рассмотрим пример построения элемента памяти на триггерной основе, который имеет два входа:

1. R (Reset, что означает сброс), предназначенный для сброса триггера в исходное состояние.
2. S (Set, что означает установка), предназначенный для перевода триггера в состояние запоминания единицы.

Если на триггер не поступают входные сигналы, то он обязан в том же состоянии до момента, пока не поступит сигнал на один из входов. На рисунке а) показана схема триггера, на рисунке б) обозначение на общих схемах и на рисунке в) диаграмма работы триггера.

Лабораторная работа выполняется с помощью учебного лабораторного стенда LESO2.

1 Цель работы

Целью работы является изучение принципов действия комбинационных схем: дешифратора, шифратора, преобразователя кода для семисегментного индикатора, мультиплексора, сумматора.

2 Краткие теоретические сведения

2.1 Дешифратор (декодер)

Дешифратор (декодер) служит для преобразования n-разрядного позиционного двоичного кода в единичный выходной сигнал на одном из 2n выходов. При каждой входной комбинации сигналов на одном из выходов появляется 1. Таким образом, по единичному сигналу на одном из выходов можно судить о входной кодовой комбинации. Таблица истинности для декодера с двумя входами изображена в таблице 2.1.

Таблица 2.1 – Таблица истинности двухразрядного дешифратора

x1	x2	y0	y1	y2	y3
0	0	1	0	0	0
0	1	0	1	0	0
1	0	0	0	1	0
1	1	0	0	0	1

Для построения схемы декодера по таблице истинности воспользуемся методикой, изложенной в лабораторной работе №1, выполняемой на стенде LESO2. Например, устройство должно иметь 4 выхода. Для каждого выхода записываем логическое выражение. На основе СДНФ:

y0 = x1·x2

y1 = x1·x2

y2 = x1·x2

y3 = x1·x2

По этой системе выражений несложно построить схему требуемого дешифратора (рисунок 2.1).

Рисунок 2.1 – Схема дешифратора

Условное графическое обозначение такого дешифратора изображено на рисунке 2.2.

Рисунок 2.2 – Условное графическое обозначение дешифратора

2.2 Шифратор (кодер)

Шифратор выполняет функцию, обратную декодеру (дешифратору), то есть преобразует непозиционный (унитарный) двоичный 2n разрядный код в n разрядный позиционный код. При подаче на один из входов единичного сигнала на выходе формируется соответствующий двоичный код. Составим таблицу истинности шифратора при n = 2.

Таблица 2.2 – Таблица истинности шифратора при n = 2

x1	x2	x3	x4	y1	y0
1	0	0	0	0	0
0	1	0	0	0	1
0	0	1	0	1	0
0	0	0	1	1	1

Синтезируем шифратор. Для этого запишем систему его собственных функций:

y1 = x1 · x2 · x3 · x4 + x1 · x2 · x3 ·x4

y0 = x1 · x2 · x3 · x4 + x1 · x2 · x3 ·x4

Рисунок 2.3 – Схема шифратора

 

Рисунок 2.4 – Условное графическое обозначение шифратора

2.3 Преобразователь кода для семисегментного индикатора

Наиболее широко преобразователи кодов известны применительно к цифровым индикаторам. Например, преобразователь 4-х разрядного позиционного двоичного кода в десятичные цифры. Имеется семи сегментный индикатор и с его помощью требуется высветить десять цифр.

Рисунок 2.5 – Семи сегментный индикатор

Очевидно, что двоичный код должен иметь не менее 4 — х разрядов (2^4 = 16, что больше 10). Составим таблицу истинности работы такого преобразователя.

Таблица 2.3 – Таблица истинности преобразователя

Цифра	Двоичный код 8-4-2-1	a	б	в	г	д	е	ж
0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	0
1	0	0	0	1	0	1	1	0	0	0	0
2	0	0	1	0	1	1	0	1	1	0	1
3	0	0	1	1	1	1	1	1	0	0	1
4	0	1	0	0	0	1	1	0	0	1	1
5	0	1	0	1	1	0	1	1	0	1	1
6	0	1	1	0	1	0	1	1	1	1	1
7	0	1	1	1	1	1	1	0	0	0	0
8	1	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1
9	1	0	0	1	1	1	1	1	0	1	1

По ТИ несложно составить систему собственных функций для всех выходов, т.е. СДНФ, минимизировать её и составить принципиальную схему.

Рисунок 2.6 – Условное графическое обозначение преобразователя кода

2.4 Мультиплексор

Мультиплексор – устройство, которое позволяет коммутировать один из 2^n информационных входов X на один выход Y под действием n управляющих (адресных) сигналов. На рисунке. 2.7 изображена упрощенная функциональная схема мультиплексора на идеализированных электронных ключах.

Рисунок 2.7 – Схема мультиплексора на идеализированных электронных ключах

В цифровых схемах требуется управлять ключами при помощи логических уровней. Поэтому желательно подобрать устройство, которое могло бы выполнять функции электронного ключа с управлением цифровым сигналом. Попробуем «заставить» работать в качестве электронного ключа уже знакомые нам логические элементы. Рассмотрим ТИ логического элемента «И». При этом один из входов логического элемента «И» будем рассматривать как информационный вход электронного ключа, а другой вход – как управляющий. Так как оба входа логического элемента «И» эквивалентны, то не важно какой из них будет управляющим входом. Пусть вход X будет управляющим, а Y – информационным. Для простоты рассуждений, разделим ТИ на две части в зависимости от уровня логического сигнала на управляющем входе X.

Таблица 2.4 – Таблица истинности

y	x	Out
0 0	0 1	0 0
1 1	0 1	0 1

По таблице истинности отчётливо видно, что если на управляющий вход X подан нулевой логический уровень, сигнал, поданный на вход Y, на выход Out не проходит. При подаче на управляющий вход X логической единицы, сигнал, поступающий на вход Y, появляется на выходе Out. Это означает, что логический элемент «И» можно использовать в качестве электронного ключа. При этом не важно, какой из входов элемента «И» будет использоваться в качестве управляющего входа, а какой – в качестве информационного. Остается только объединить выходы элементов «И» на один общий выход. Это делается при помощи логического элемента «ИЛИ» точно так же как и при построении схемы по произвольной таблице истинности. Получившийся вариант схемы коммутатора с управлением логическими уровнями приведён на рисунке 2.8.

Рисунок 2.8 – Принципиальная схема мультиплексора, выполненная на логических элементах

В схемах, приведенных на рисунках 2.7 и 2.8, можно одновременно включать несколько входов на один выход. Однако обычно это приводит к непредсказуемым последствиям. Кроме того, для управления таким коммутатором требуется много входов, поэтому в состав мультиплексора обычно включают двоичный дешифратор, как показано на рисунке 2.9. Такая схема позволяет управлять переключением информационных входов мультиплексора при помощи двоичных кодов, подаваемых на его управляющие входы. Количество информационных входов в таких схемах выбирают кратным степени числа два.

Рисунок 2.9 – Принципиальная схема мультиплексора, управляемого двоичным кодом

Условное графическое обозначение 4–х входового мультиплексора с управлением двоичным кодом приведено на рисунке 2.10. Входы A0 и A1 являются управляющими входами мультиплексора, определяющими адрес информационного входного сигнала, который будет соединён с выходным выводом мультиплексора Y. Информационные входные сигналы обозначены: X0, X1, X2 и X3.

Рисунок 2.10 – Условное графическое обозначение 4-х входового мультиплексора

В условном графическом обозначении названия информационных входов A, B, C и D заменены названиями X0, X1, X2 и X3, а название выхода Out заменено на название Y. Такое обозначение входов и выходов мультиплексора более распространено в отечественной литературе. Адресные входы обозначены как A0 и A1.

Об особенностях реализации мультиплесоров на языке Verilog можно почитать в статье:
Архитектура ПЛИС. Часть 2. Мультиплексор

2.5 Сумматор

Сумматор – узел компьютера, предназначенный для сложения двоичных чисел. Построение двоичных сумматоров обычно начинается с сумматора по модулю 2.

Сумматор по модулю 2

Схема сумматора по модулю 2 совпадает со схемой исключающее «ИЛИ».

Таблица 2.5 – Таблица истинности сумматора по модулю 2

x1	x2	y
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Логическое выражение, описывающее сумматор по модулю 2:

y = x1 · x2 + x1 · x2

Рисунок 2.11 – Условное графическое обозначение сумматора по модулю 2

На основе логического уравнения, описывающего этот элемент можно синтезировать схему:

Рисунок 2.12 – Схема сумматора по модулю 2

Сумматор по модулю 2 выполняет суммирование без учёта переноса. В обычном двоичном сумматоре требуется учитывать перенос, поэтому требуются схемы, позволяющие формировать перенос в следующий двоичный разряд. Таблица истинности такой схемы, называемой полусумматором, приведена в таблице 2.6.

Таблица 2.6 – Таблица истинности полусумматора

A	B	S	P0
0	0	0	0
0	1	1	0
1	0	1	0
1	1	0	1

Здесь A и B – слагаемые;
S – сумма;
P0 – перенос в старший разряд (выход переноса Pout).
Запишем систему собственных функций для полусумматора:

S = A · B + A · B
P0 = A · B

Рисунок 2.13 – Принципиальная схема, реализующая таблицу истинности полусумматора

 

Рисунок 2.14 – Изображение полусумматора на схемах

Полный сумматор.

Схема полусумматора формирует перенос в старший разряд, но не может учитывать перенос из младшего разряда. При сложении многоразрядных двоичных чисел необходимо складывать три цифры в каждом разряде – 2 слагаемых и единицу переноса из предыдущего разряда PI.

Таблица 2.7 – Таблица истинности полного сумматора

PI	A	B	S	PO
0	0	0	0	0
0	0	1	1	0
0	1	0	1	0
0	1	1	0	1
1	0	0	1	0
1	0	1	0	1
1	1	0	0	1
1	1	1	1	1

 
PI – вход 1 переноса из предыдущего разряда,
PO – выход 1 переноса в старший разряд.

На основании таблицы истинности запишем систему собственных функций для каждого выхода:

S = A · B · PI + A · B · PI + A · B · PI + A · B · PI

PO = A · B · PI + A · B · PI + A · B · PI + A · B · PI

В результате получим схему полного сумматора (рисунок 2.15).

Рисунок 2.15 – Принципиальная схема, реализующая таблицу истинности полного двоичного одноразрядного сумматора

 

Рисунок 2.16 – Изображение полного двоичного одноразрядного сумматора на схемах

3 Задание к работе

3.1 Исследовать принцип работы дешифратора 2 x 4

Сконфигурировать ПЛИС в соответствии с рисунком 3.1. Подключить к входам X0 и X1 переключатели S7 и S8, а к выходам Y0, Y1, Y2, Y3 светодиодные индикаторы LED5, LED6, LED7, LED8. Для этого подключить входы и выходы дешифратора к соответствующим ножкам ПЛИС.

Рисунок 3.1 – Схема дешифратора

Подавая все возможные комбинации логических уровней на входы X0, X1 с помощью ключей S7, S8 и наблюдая за состояниями светодиодных индикаторов LED5, LED6, LED7, LED8, заполните таблицу истинности дешифратора.

Таблица 3.1 – Таблица дешифратора

x1	x2	y0	y1	y2	y3
0	0
0	1
1	0
1	1

3.2 Исследовать принцип работы шифратора 4×2
Сконфигурировать ПЛИС в соответствии с рисунком 3.2.

Рисунок 3.2 – Схема шифратора 4×2

Подключить к входам X1, X2, X3, X4 переключатели S8, S7, S6, S5, а к выходам Y0, Y1 светодиодные индикаторы LED8, LED7. Для этого подключить входы и выходы дешифратора к соответствующим ножкам ПЛИС. Подавая все возможные комбинации логических уровней на входы X1, X2, X3, X4 с помощью ключей S8, S7, S6, S5 и наблюдая за состояниями светодиодных индикаторов LED7, LED8, заполните таблицу истинности шифратора.

Таблица 3.2 – Таблица истинности шифратора

x1	x2	x3	x4	y1	y0
1	0	0	0
0	1	0	0
0	0	1	0
0	0	0	1

3.3 Исследовать работу преобразователя кода для семисегментного индикатора.

Составить таблицу истинности преобразователя кода (таблица. 3.3).
Собрать схему, изображенную на рисунке 3.3.

Таблица 3.3 – Таблица истинности преобразователя

x3	x2	x1	x0	A	B	C	D	E	F	G
0	0	0	0
0	0	0	1
0	0	1	0
0	0	1	1
0	1	0	0
0	1	0	1
0	1	1	0
0	1	1	1
1	0	0	0
1	0	0	1

 

Рисунок 3.3 – Схема преобразователя кода для семисегментного индикатора

Подавая с помощью ключей S8, S7, S6, S5 различные кодовые комбинации на входы X0, X1, X2, X3 определить цифры, высвечиваемые на индикаторе. По результатам эксперимента заполнить таблицу 3.4.

Таблица 3.4 – Таблица, описывающая работу преобразователя кода для семисегментного индикатора

x3	x2	x1	x0	Показание индикатора
0	0	0	0
0	0	0	1
0	0	1	0
0	0	1	1
0	1	0	0
0	1	0	1
0	1	1	0
0	1	1	1
1	0	0	0
1	0	0	1

3.4 Исследовать работу мультиплексора 4×1

Сконфигурировать ПЛИС в соответствии с рисунком 3.4.

Рисунок 3.4 – Схема мультиплексора 4×1

Поочередно устанавливая все возможные кодовые комбинации на адресных входах A и B, определите номера коммутируемых каналов. Номер коммутируемого канала определяется путем поочерёдного подключения к входам X0, X2, X3, X4 уровня логической единицы и наблюдения за выходом Y. Заполните таблицу 3.5.

Таблица 3.5 – Таблица, описывающая работу мультиплексора

B	A	Номер коммутируемого канала
0	0
0	1
1	0
1	1

3.5 Исследовать схему сумматора

Сконфигурировать ПЛИС в соответствии с рисунком 3.5. Здесь Pin, Pout соответственно вход и выход единицы переноса, A и B – слагаемые, S – сумма.

Рисунок 3.5 – Схема сумматора

Заполнить таблицу истинности сумматора (таблица 3.6).

Таблица 2.7 – Таблица истинности полного сумматора

Pin	B	A	Pout
0	0	0
0	0	1
0	1	0
0	1	1
1	0	0
1	0	1
1	1	0
1	1	1

4 Содержание отчета

1. Цель работы.
2. Схемы исследования дешифратора, шифратора, преобразователя кода для семисегментного индикатора, мультиплексора, сумматора.
3. Таблицы истинности для каждой схемы.
4. Выводы по каждому заданию.

5 Контрольные вопросы

1. Принцип работы дешифратора?
2. Как синтезировать дешифратор с произвольной разрядностью?
3. Как работает шифратор?
4. Изобразите таблицу истинности шифратора.
5. Как работает преобразователь кода для семисегментного индикатора?
6. Как устроен семи сегментный индикатор?
7. Как работает мультиплексор?
8. Как в лабораторной работе проводилось исследование мультиплексора?
9. Как работает сумматор?
10. Изобразите таблицу истинности шифратора.
11. Что такое единица переноса?

Построение таблицы истинности. СДНФ. СКНФ. Полином Жегалкина.

Онлайн калькулятор позволяет быстро строить таблицу истинности для произвольной булевой функции или её вектора, рассчитывать совершенную дизъюнктивную и совершенную конъюнктивную нормальные формы, находить представление функции в виде полинома Жегалкина, строить карту Карно и классифицировать функцию по классам Поста.

Как пользоваться калькулятором

1. Введите в поле логическую функцию (например, x1 ∨ x2) или её вектор (например, 10110101)
2. Укажите действия, которые необходимо выполнить с помощью переключателей
3. Укажите, требуется ли вывод решения переключателем «С решением»
4. Нажмите на кнопку «Построить»

Видеоинструкция к калькулятору

Используемые символы

В качестве переменных используются буквы латинского и русского алфавитов (большие и маленькие), а также цифры, написанные после буквы (индекс переменной). Таким образом, именами переменных будут: a, x, a1, B, X, X1, Y1, A123 и так далее.

Для записи логических операций можно использовать
как обычные символы клавиатуры (*, +, !, ^, ->, =), так и символы, устоявшиеся в литературе (∧, ∨, ¬, ⊕, →, ≡). Если на вашей клавиатуре отсутствует нужный символ операции, то используйте клавиатуру калькулятора (если она не видна, нажмите «Показать клавиатуру»), в которой доступны как все логические операции, так и набор наиболее часто используемых переменных.

Для смены порядка выполнения операций используются круглые скобки ().

Обозначения логических операций

• И (AND): & • ∧ *
• ИЛИ (OR): ∨ +
• НЕ (NOT): ¬ !
• Исключающее ИЛИ (XOR): ⊕ ^
• Импликация: -> → =>
• Эквивалентность: = ~ ≡ <=>
• Штрих Шеффера: ↑ |
• Стрелка Пирса: ↓

Что умеет калькулятор

• Строить таблицу истинности по функции
• Строить таблицу истинности по двоичному вектору
• Строить совершенную конъюнктивную нормальную форму (СКНФ)
• Строить совершенную дизъюнктивную нормальную форму (СДНФ)
• Строить полином Жегалкина (методами Паскаля, треугольника, неопределённых коэффициентов)
• Определять принадлежность функции к каждому из пяти классов Поста
• Строить карту Карно
• Минимизировать ДНФ и КНФ
• Искать фиктивные переменные

Что такое булева функция

Булева функция f(x1, x2, ... xn) — это любая функция от n переменных x₁, x₂, … x_n, в которой её аргументы принимают одно из двух значений: либо 0, либо 1, и сама функция принимает значения 0 или 1. То есть это правило, по которому произвольному набору нулей и единиц ставится в соответствие значение 0 или 1. Подробнее про булевы функции можно посмотреть на Википедии.

Что такое таблица истинности?

Таблица истинности — это таблица, описывающая логическую функцию, а именно отражающую все значения функции при всех возможных значениях её аргументов. Таблица состоит из n+1 столбцов и 2n строк, где n — число используемых переменных. В первых n столбцах записываются всевозможные значения аргументов (переменных) функции, а в n+1-ом столбце записываются значения функции, которые она принимает на данном наборе аргументов.

Довольно часто встречается вариант таблицы, в которой число столбцов равно n + число используемых логических операций. В такой таблице также первые n столбцов заполнены наборами аргументов, а оставшиеся столбцы заполняются значениями подфункций, входящих в запись функции, что позволяет упростить расчёт конечного значения функции за счёт уже промежуточных вычислений.

Логические операции

Логическая операция — операция над высказываниями, позволяющая составлять новые высказывания путём соединения более простых. В качестве основных операций обычно называют конъюнкцию (∧ или &), дизъюнкцию (∨ или |), импликацию (→), отрицание (¬), эквивалентность (=), исключающее ИЛИ (⊕).

Таблица истинности логических операций

Как задать логическую функцию

Есть множество способов задать булеву функцию:

• таблица истинности
• характеристические множества
• вектор значений
• матрица Грея
• формулы

Рассмотрим некоторые из них:

Чтобы задать функцию через вектор значений необходимо записать вектор из 2ⁿ нулей и единиц, где n — число аргументов, от которых зависит функция. Например, функцию двух аргументов можно задать так: 0001 (операция И), 0111 (операция ИЛИ).

Чтобы задать функцию в виде формулы, необходимо записать математическое выражение, состоящее из аргументов функции и логических операций. Например, можно задать такую функцию: a∧b ∨ b∧c ∨ a∧c

Способы представления булевой функции

С помощью формул можно получать огромное количество разнообразных функций, причём с помощью разных формул можно получить одну и ту же функцию. Иногда бывает весьма полезно узнать, как построить ту или иную функцию, используя лишь небольшой набор заданных операций или используя как можно меньше произвольных операций. Рассмотрим основные способы задания булевых функций:

• Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ)
• Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ)
• Алгебраическая нормальная форма (АНФ, полином Жегалкина)

Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ)

Простая конъюнкция — это конъюнкция некоторого конечного набора переменных, или их отрицаний, причём каждая переменная встречается не более одного раза.
Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) — это дизъюнкция простых конъюнкций.
Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ) — ДНФ относительно некоторого заданного конечного набора переменных, в каждую конъюнкцию которой входят все переменные данного набора.

Например, ДНФ является функция ¬abc ∨ ¬a¬bc ∨ ac, но не является СДНФ, так как в последней конъюнкции отсутствует переменная b.

Совершенная конъюнктивная нормальная форма (КНФ)

Простая дизъюнкция — это дизъюнкция одной или нескольких переменных, или их отрицаний, причём каждая переменная входит в неё не более одного раза.
Конъюнктивная нормальная форма (КНФ) — это конъюнкция простых дизъюнкций.
Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ) — КНФ относительно некоторого заданного конечного набора переменных, в каждую дизъюнкцию которой входят все переменные данного набора.

Например, КНФ является функция (a ∨ b) ∧ (a ∨ b ∨ c), но не является СДНФ, так как в первой дизъюнкции отсутствует переменная с.

Алгебраическая нормальная форма (АНФ, полином Жегалкина)

Алгебраическая нормальная форма, полином Жегалкина — это форма представления логической функции в виде полинома с коэффициентами вида 0 и 1, в котором в качестве произведения используется операция конъюнкции, а в качестве сложения — исключающее ИЛИ.

Примеры полиномов Жегалкина: 1, a, a⊕b, ab⊕a⊕b⊕1

Алгоритм построения СДНФ для булевой функции

1. Построить таблицу истинности для функции
2. Найти все наборы аргументов, на которых функция принимает значение 1
3. Выписать простые конъюнкции для каждого из наборов по следующему правилу: если в наборе переменная принимает значение 0, то она входит в конъюнкцию с отрицанием, а иначе без отрицания
4. Объединить все простые конъюнкции с помощью дизъюнкции

Алгоритм построения СКНФ для булевой функции

1. Построить таблицу истинности для функции
2. Найти все наборы аргументов, на которых функция принимает значение 0
3. Выписать простые дизъюнкции для каждого из наборов по следующему правилу: если в наборе переменная принимает значение 1, то она входит в дизъюнкцию с отрицанием, а иначе без отрицания
4. Объединить все простые дизъюнкции с помощью конъюнкции

Алгоритм построения полинома Жегалкина булевой функции

Есть несколько методов построения полинома Жегалкина, в данной статье рассмотрим наиболее удобный и простой из всех.

1. Построить таблицу истинности для функции
2. Добавить новый столбец к таблице истинности и записать в 1, 3, 5… ячейки значения из тех же строк предыдущего столбца таблицы истинности, а к значениям в строках 2, 4, 6… прибавить по модулю два значения из соответственно 1, 3, 5… строк.
3. Добавить новый столбец к таблице истинности и переписать в новый столбец значения 1, 2, 5, 6, 9, 10… строк, а к 3, 4, 7, 8, 11, 12… строкам аналогично предыдущему пункту прибавить переписанные значения.
4. Повторить действия каждый раз увеличивая в два раза количество переносимых и складываемых элементов до тех пор, пока длина не станет равна числу строк таблицы.
5. Выписать булевы наборы, на которых значение последнего столбца равно единице
6. Записать вместо единиц в наборах имена переменных, соответствующие набору (для нулевого набора записать единицу) и объединить их с помощью операции исключающего ИЛИ.

Примеры построения различных представлений логических функций

Построим совершенные дизъюнктивную и дизъюнктивную нормальные формы, а также полином Жегалкина для функции трёх переменных F = ¬ab∨¬bc∨ca

1. Построим таблицу истинности для функции

---

Построение совершенной дизъюнктивной нормальной формы:

Найдём наборы, на которых функция принимает истинное значение: { 0, 0, 1 } { 0, 1, 0 } { 0, 1, 1 } { 1, 0, 1 } { 1, 1, 1 }

В соответствие найденным наборам поставим элементарные конъюнкции по всем переменным, причём если переменная в наборе принимает значение 0, то она будет записана с отрицанием:

K₁: { 0, 0, 1 } — ¬a¬bc
K₂: { 0, 1, 0 } — ¬ab¬c
K₃: { 0, 1, 1 } — ¬abc
K₄: { 1, 0, 1 } — a¬bc
K₅: { 1, 1, 1 } — abc

Объединим конъюнкции с помощью дизъюнкции и получим совершенную дизъюнктивную нормальную форму:

K₁ ∨ K₂ ∨ K₃ ∨ K₄ ∨ K₅ = ¬a¬bc ∨ ¬ab¬c ∨ ¬abc ∨ a¬bc ∨ abc

---

Построение совершенной конъюнктивной нормальной формы:

Найдём наборы, на которых функция принимает ложное значение: { 0, 0, 0 } { 1, 0, 0 } { 1, 1, 0 }

В соответствие найденным наборам поставим элементарные дизъюнкции по всем переменным, причём если переменная в наборе принимает значение 1, то она будет записана с отрицанием:

D₁: { 0, 0, 0 } — a∨b∨c
D₂: { 1, 0, 0 } — ¬a∨b∨c
D₃: { 1, 1, 0 } — ¬a∨¬b∨c

Объединим дизъюнкции с помощью конъюнкции и получим совершенную конъюнктивную нормальную форму:

D₁ ∧ D₂ ∧ D₃ = (a∨b∨c) ∧ (¬a∨b∨c) ∧ (¬a∨¬b∨c)

---

Построение полинома Жегалкина:

Добавим новый столбец к таблице истинности и запишем в 1, 3, 5 и 7 строки значения из тех же строк предыдущего столбца таблицы истинности, а значения в строках 2, 4, 6 и 8 сложим по модулю два со значениями из соответственно 1, 3, 5 и 7 строк:

Добавим новый столбец к таблице истинности и запишем в 1 и 2, 5 и 6 строки значения из тех же строк предыдущего столбца таблицы истинности, а значения в строках 3 и 4, 7 и 8 сложим по модулю два со значениями из соответственно 1 и 2, 5 и 6 строк:

Добавим новый столбец к таблице истинности и запишем в 1 2, 3 и 4 строки значения из тех же строк предыдущего столбца таблицы истинности, а значения в строках 5, 6, 7 и 8 сложим по модулю два со значениями из соответственно 1, 2, 3 и 4 строк:

Окончательно получим такую таблицу:

Выпишем наборы, на которых получившийся вектор принимает единичное значение и запишем вместо единиц в наборах имена переменных, соответствующие набору (для нулевого набора следует записать единицу):

{ 0, 0, 1 } — c, { 0, 1, 0 } — b, { 0, 1, 1 } — bc, { 1, 1, 0 } — ab, { 1, 1, 1 } — abc

Объединяя полученные конъюнкции с помощью операции исключающего или, получим полином Жегалкина: c⊕b⊕bc⊕ab⊕abc