Как составить таблицу к задаче с процентами

Цель: научить учащихся, используя
таблицу, быстро решать “трудные” задачи.

При решении многих задач можно использовать
таблицу, которая мобилизует, упрощает, помогает
решению задач. Для начала введем стандартную
таблицу.3 на 3 (Три линии по горизонтали и три по
вертикали)

Схема таблицы:

Данная таблица приемлема при решении задач на
движение, на работу, на сплавы, растворы и
проценты. При решении многих задач в столбцах
рекомендую детям следующее обозначение (См.
презентацию):

Рассмотрим задачи.

1. Имеется руда из двух пластов с содержанием
меди (1 вещество) в 6% и 11%.Сколько надо взять
“бедной” руды, чтобы получить при смешивании с
“богатой” (2 вещество), 20 тонн с содержанием меди
8% (1+2 вещество)?

Возможны наводящие вопросы:

1. Если первое вещество 6%, то второе сколько %?
2. Первое обозначаем Х т, а общий вес 20 т, то второго
   сколько т?
3. Медь первого куска и второго составляет медь
   сплава.

Заполним таблицу:

	1-ое вещество (медь)	2-ое вещество	Вес (т)
1.	6%	94%	х
2.	11%	89%	20-х
1. + 2.	8%	92%	20

Составим уравнение с использованием 1-го или
2-го столбца и обязательно 3-го. Получаем линейное
уравнение. Решение не вызывает трудности.

1столбец и 3 столбец	или	2столбец и 3 столбец
6х+11(20-х)=8*20		94х+89(20-х)=92*20
х=12

Ответ 12т

2.Раствор 18% соли (1 вещество) массой 2 кг
разбавили стаканом воды (2 вещество)0,25 кг. Какой
концентрации раствор (1+2 вещество) в процентах в
результате был получен?

Возможны наводящие вопросы:

Добавляем чистую воду, тогда сколько % соли?

	1 в-во (соль)	2 в-во (вода)	вес
1	18%	82%	2 кг
2	0%	100%	0,25 кг
1+2	х%	(100-х)%	2,25 кг

Составим уравнение с использованием 1-го или
2-го столбца и обязательно 3-го. Получаем линейное
уравнение. Решение не вызывает трудности.

1столбец и 3 столбец 2столбец и 3 столбец.

18*2=х*2,25 или 82*2+100*0,25=2,25(100-х)

х=16

Ответ 16%

3.Цену товара первоначально снизили на 20%, затем
еще на 15%. На сколько процентов всего снижена
цена?

При решении задач на проценты меняется точка
отсчета, “стало” из первой строки переходит в
“было” второй строки т.д. (См. презентацию)

	Было	Изменение	Стало
1	х	-20%	х-0,2х=0,8х
2	0,8х	-15%	0,8х(1-0.15)=0,68х
	0,68х

Составляем уравнение, отвечая на вопрос задачи:

х-0,68х=0,32х 32%

Ответ 32%

4.Цену на автомобиль подняли сначала на 45%, а
затем ещё на 20%,и после перерасчета повысили на 10%.
На сколько процентов всего повысилась цена?

	Было	Изменение	Стало
1	х	+45%	х+0,45х=1,45х
2	1,45х	+20%	1,45х(1+0,2)=1,74х
3	1,74х	+10%	1,74х(1+0,1)=1,914х

Составляем уравнение, отвечая на вопрос задачи:

1,914х-1=0,914х 91,4%

Ответ:91,4%

5.Два комбайна убирали поле за 4 дня. За сколько
дней мог убрать поле каждый комбайн, если одному
из них для выполнения этой работы потребовалось
бы на 6 дней меньше, чем другому?

	v	t	A
1	1х	х	1
2	1(х-6)	х-6	1
1+2	14	4	1

1х+1(х-6)=14

4(х-6)+4х=х(х-6)

х=12

Ответ:12 дней

6.Один завод может выполнить некоторый заказ на
4 дня быстрее, чем другой. За какое время может
выполнить этот заказ каждый завод, если известно,
что при совместной работе за 24 дня они выполнили
заказ, в пять раз больший?

	v	t	A
1.	1х	х	1
2.	1(х+4)	х+4	2
1.+2.	524	24	5

1х+1(х+4)=524

5х²-28х-96=0

х=8, 8 дней и 12 дней.

Ответ: 8 дней; 12 дней.

7.Две бригады работниц пропололи по 280 грядок
каждая, причем первая бригада, пропалывая в день
на 30 грядок меньше, чем вторая работала на 3 дня
больше. Сколько дней работала каждая бригада?

	v	t	Vраб
1	х	280х	280
2	х+30	280(х+30)	280
		t1-3=t2

280х-3=280(х+30)

x=40 (грядок), 7 дней и 4 дня.

Ответ: 7 дней, 4 дня.

8.Свежие грибы содержат по массе 90% воды сухие-12%
воды. Сколько получиться сухих грибов из 22 кг
свежих?

Что происходит с водой? (испаряется)

Какой компонент не меняется? (Вещество)

	Воды	Вещество	Вес
Сухое	12%	88%	х
Свежее	90%	10%	22 кг
		Одинаково

На основании этого составим уравнение:

0,88х=0,1*22

х=2,5

Ответ: 2,5 кг.

Примеры задач для самостоятельного решения:

1. В результате очистки сырья количество примесей
   в нём уменьшилось от 20% в исходном сырье до 5% в
   очищенном. Сколько надо взять исходного сырья,
   чтобы получить 160 кг очищенного?
2. Имеется лом стали двух сортов с содержанием
   никеля 5% и 40%.Сколько нужно взять металла каждого
   сорта, чтобы получить 140 тонн стали с содержанием
   никеля 30%?
3. Цену на столовый сервиз повысили сначала на 25%, а
   потом ещё на 20%. Во сколько раз увеличилась цена
   сервиза?
4. Морская вода содержит 5% (по весу) соли: Сколько
   кг пресной воды надо добавить к 40 кг морской воды,
   чтобы концентрация соли в последней стала 2%?
5. Применить этот метод можно к разным типам задач.
   Научившись решать не трудные задачи постепенно
   возможно и усложнение текста. Главное экономия
   времени. Рассматривая Кимы ЕГЭ задачи такого
   содержания очень популярны.

Литература:

• Система тренировочных задач и упражнений по
  математике. Симонов А.Я. Бакаев Д.С. Эпельман А.Г. и
  др.
• Задания для проведения письменного экзамена по
  математике в 9 классе. Под ред. Звавич Л.И., и под
  ред. Л.В.Кузнецовой.
• ДВГТУ центр довузовской подготовки Математика
  (задачи на сплавы, растворы, на проценты) г.
  Владивосток 1998 г.

Презентация

Содержание

1. Что такое процент
2. Как вычесть проценты
3. Примеры решения задач с процентами
4. Как рассчитать процентное изменение
5. Распространенные ошибки при решении задач с процентами

Эта
статья посвящена решению задач на проценты. Ниже рассмотрены некоторые из этих задач.
Большинство задач на проценты связаны с нахождением процента от числа,
нахождением числа в процентах, представлением части в процентах или
представлением отношения между несколькими объектами, числами или величинами в
процентах.

Что такое процент

Процент — это способ расчета того, сколько
чего-то есть по отношению к целому.

Проценты очень широко используются как в математике, так и в
повседневных ситуациях, и они действительно полезны для понимания относительных
величин и привнесения их значимых.

Процент может быть записан несколькими способами. Один
из способов — изобразить его как десятичную дробь. Например, 24% также могут
быть записаны как 0,24. Можно найти десятичную версию процента, разделив
процент на 100.

Вот несколько распространенных способов использования
процентов в повседневной жизни:

• расчет
  того, насколько хорошо студент сдал тест;
• выяснение
  того, сколько НДС нужно заплатить при покупке;
• расчет
  того, сколько оставить в качестве чаевых в ресторане.

Проценты обычно представлены символом %, и
есть несколько основных правил, которые нужно понять, чтобы их правильно
рассчитать.

Процентные задачи —
это общие, повседневные реальные математические задачи. Таким образом, выделяют
три типа решений, о которых следует знать:

1. Поиск
   процента от целого (отсутствующая переменная — это часть, которая
   составляет заданный процент).
2. Поиск
   целого из процента (отсутствующей переменной является целое, из которого
   была взята процентная часть).
3. Поиск
   процента от целого и части (отсутствующей переменной является процентная
   сумма, равная соотношению детали к целому).

Используя процентную формулу, легко понять, как быстро
решить процентные проблемы. Нужно помнить, что общая алгебраическая формула
процента:%?В=П.

Формула
для поиска процента

Как указано, процент — это соотношение
желаемой детали по сравнению со всем продуктом, где100%представляет собой весь процент. Формула для поиска процента может быть записана математически как: П/В =%/100

Где:

• П — это
  часть.

• В — это
  все.

• % — это
  процент.

Как вычесть проценты

Чтобы вычесть один процент из другого, просто нужно игнорировать процентные знаки и относиться к ним как к целым числам.

Например, чтобы вычесть 20% из 50%, нужно сделать следующее: 50 – 20 = 30. Ответ — 30%.

Если вычитается процент из целого числа, сначала нужно преобразовать его в десятичную дробь.

Если попросят вычесть 25% из 45 (например, при расчете скидки), то нужно начать с преобразования 25% в десятичную дробь, что составляет 0,25.

Чтобы рассчитать сумму, которую следует вычесть, нужно умножить исходное число на десятичную дробь:

45 x 0,25 = 11,25

Затем вычесть эту сумму из базовой цифры:

45 — 11,25 = 33,75

Также можно взять десятичную дробь, вычесть ее из 1, а затем умножить
исходное число на него:

25% = 0,25

1 — 0,25 = 0,75

0,75 x 45 = 33,75

Примеры решения задач с процентами

Решенные образцы
задач с процентами помогут понять, как шаг за шагом решить различные
типы таких задач.

1. На выборах кандидат О получил 75% от общего числа
действительных голосов. Если 15% от общего числа голосов были признаны
недействительными, а общее количество голосов составляет 560000, нужно найти
количество действительных голосов, опрашиваемых в пользу кандидата.

Решение выглядит следующим образом:

Общее
количество недействительных голосов = 15% из 560000

= 15/100 ?
560000

= 8400000/100

= 84000

Общее
количество действительных голосов 560000 — 84000 = 476000

Процент
голосов, проголосовавших за кандидата А = 75%

Следовательно,
количество действительных голосов, проголосовавших за кандидата А = 75% от
476000

= 75/100 ?
476000

= 35700000/100

= 357000

2. У Гриши осталось 2100 рублей после того, как он потратил
30% денег, которые он взял в магазин. Сколько денег он взял с собой?

Пример решения:

Пусть деньги,
которые он взял в магазин, будут м.

Деньги,
которые он потратил = 30% от м

= 30/100 ? м

= 3/10 м

Деньги,
оставшиеся у него = м — 3/10 м = (10 м — 3 м)/10 = 7 м/10

Но деньги
остались у него = 2100 рублей.

Поэтому 7 м/10
= 2100 рублей.

м = 2100
рублей ? 10/7;

м = $ 21000/7;

м = 3000
рублей;

Таким образом,
деньги, которые он взял на покупки, составляют 3000 рублей.

3. Владелец магазина купил 600 яблок и 400 авокадо. Он
обнаружил, что 15% яблок и 8% авокадо были гнилыми. Нужно найти процент фруктов
в хорошем состоянии.

Решение:

Общее
количество купленных фруктов в магазине = 600 + 400 = 1000

Количество
гнилых яблок = 15% от 600

= 15/100 ? 600

= 9000/100

= 90

Количество
гнилых авокадо = 8% от 400

= 8/100 ? 400

= 3200/100

= 32

Следовательно,
общее количество гнилых фруктов = 90 + 32 = 122

Поэтому
количество фруктов в хорошем состоянии = 1000 — 122 = 878

Итак, процент
фруктов в хорошем состоянии = (878/1000 ? 100)%

=
(87800/1000)%

= 87,8%

4. На экзаменах было два
студента. Один из них получил на 9 баллов больше, чем другой, и его оценки
составили 56% от суммы их баллов. Итак, чему равны полученные ими баллы.

Решение: пусть их отметки будут (x +
9) и x.

Затем x + 9 = 56 (x +
9 + x) 100 25 (x + 9) = 14 (2x
 + 9);

3x = 99;

x = 33.

Итак, их баллы 42 и 33.

5. . Население города
увеличилось с 1 75 000 до 2 62 500 человек за десятилетие. Среднепроцентный
прирост населения в год?

Решение: увеличение через 10 лет =
(262500 — 175000) = 87500.

Увеличение %= (87500/175000 * 100)=50%

Требуемое среднее = (50/10)% = 5%

Как рассчитать процентное изменение

Процентное изменение равно изменению
данного значения. Можно найти его, разделив все значение на исходное значение,
а затем умножив его на 100. Формула решения задачи на процентное изменение следующая:

Для цены или процентного увеличения:

[(Новая цена — старая цена)/Старая цена] x
100;

Для снижения цены или процента:

[(Старая цена — новая цена)/Старая цена] x
100;

Вот пример увеличения цены/процента:

Телевизор стоил 100 тысяч рублей в прошлом
году, но теперь стоит 125 тысяч рублей. Чтобы определить повышение цены, нужно
вычесть старую цену из новой цены: 125 — 100 = 25. Затем разделить это на
старую цену: 25 разделить на 100 равно 0,25. Затем умножить это число на 100:
0,25 x 100 = 25, или 25%. Таким образом, цена на телевизор выросла на 25% за
последний год.

Пример снижения цены/процента:

В прошлом году телевизор стоил 100 тысяч
рублей, но теперь стоит всего 75 тысяч рублей. Чтобы определить снижение цены, нужно
вычесть новую цену из старой цены: 100 — 75 = 25. Затем разделить это число на
старую цену: 25 разделить на 100 равно 0,25. Затем умножить на 100: 0,25 x 100
= 25 или 25%. Это означает, что телевизор стоит на 25% меньше, чем в предыдущем
году.

Распространенные ошибки при решении задач с процентами

Рассмотрим наиболее распространенные ошибки:

• При
  сравнении процентов нужно убедиться, что есть общий базовый
  уровень (в противном случае проценты не будут связаны друг с другом).
• Одной из
  задач, в которой многие часто ошибаются, является увеличение процента
  из года в год. Например, у Алины 10 рублей, и каждый год это число увеличивается
  на 5%. Сколько у нее будет через 3 года? У некоторых людей может
  возникнуть соблазн сложить 5% в течение 3 лет, т.е. 15% и умножить 10 рублей
  на 15%. Это неправильно. Правильный способ решения таких задач — помнить,
  что каждый год начальные 10 рублей увеличивались на 5%. Таким образом, в
  конце первого года у Алины будет 10 рублей x 1,05 = 10,5 рублей. В конце 2
  года у нее будет 10,5 рублей x 1,05 = 11,025 и так далее. Важно добавить в
  каждый из этих шагов, чтобы получить правильный ответ.

Компания «РосДиплом» на протяжении 20 лет занимается студенческими работами и предлагает помощь студентам во всех областях и темах. Наши преимущества: огромный опыт работы, лучшие авторы, собранные со
всех уголков России, гарантии успешной сдачи и оптимальной цены, а также индивидуальный подход к каждому клиенту.

Математика

6 класс

Урок № 12

Задачи на проценты. Часть 2

Перечень рассматриваемых вопросов:

• Понятие о проценте.
• Перевод процентов в дробь и обратно.
• Решение математических задач на проценты.

Тезаурус

Равенство двух отношений называют пропорцией.

Одну сотую часть числа (величины) называют процентом этого числа (величины).

Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая увеличивается во столько же раз.

Основная литература

1. Никольский С. М. Математика. 6 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н.Н. Решетников и др. — М.: Просвещение, 2017. — 258 с.

Дополнительная литература

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. — М.: Просвещение, 2009. — 142 с.
2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. — М.: Просвещение, 2014. — 95 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Проценты

Определение:

Одну сотую часть числа (величины) называют процентом этого числа (величины).

Вспомним, что называется пропорцией, так как с помощью нее мы сможем решать простые задачи на проценты.

a и d – крайние члены пропорции.

b и c – средние члены пропорции.

Основное свойство пропорции – произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов.

Простые задачи на проценты решаются как задачи на прямую пропорциональность.

Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая увеличивается во столько же раз.

Чтобы решать задачи на пропорциональную зависимость, мы составляем таблицу по условию задачи.

Затем составляем и решаем пропорцию.

Задача 1.

Найдём 13 % от 65.

Решение.

Алгоритм решения задач на проценты с применением пропорции (прямо пропорциональная зависимость):

• Пусть х – искомое.
• Делаем краткую запись условия задачи.
• Составляем пропорцию.
• Решаем пропорцию.
• Записываем ответ.

Задача 2.

Увеличьте число 136 на 15 %

Решение.

Пусть х – искомое число.

Исходное число нужно увеличить на 15 %, значит, искомое будет составлять 115 % от него.

Зависимость в задаче прямо пропорциональная.

Составляем пропорцию по условию:

Задача 3.

Найдите размер скачиваемого файла, если загруженные 12 % от него равны 27 мегабайтам.

Решение:

Пусть x – искомое число.

Ответ: размер файла 225 мегабайт.

Задача 4.

В школе 500 учащихся, 52 % этого числа составляют девочки. Сколько мальчиков в школе?

Решение.

Пусть х – количество мальчиков в школе.

100 % – 52 % = 48 % – столько процентов мальчиков в школе.

Составим краткую запись по новому условию:

500 – 100 %

х – 48 %

Зависимость прямо пропорциональная.

Составим пропорцию:

Ответ: в школе 240 мальчиков.

Разбор заданий тренировочного модуля

№ 1. Подстановка элементов в пропуски в тексте.

Из 300 гостиничных номеров 45 % заняты постояльцами. Сколько номеров свободно?

Определим процент свободных номеров:

___ – ___ = ___

Вычислим количество свободных номеров и запишем ответ.

Ответ: свободных номеров ____.

Варианты ответов: 100 %, 55 %, 45 %, 165, 215.

Решение:

Все номера в гостинице – это 100 %.

Обозначим как х число свободных номеров в гостинице, в процентах от общего числа номеров это составляет:

Ответ: 165.

№ 2. Ввод с клавиатуры пропущенных элементов в текст.

Впишите ответ.

Чашка, которая стоила 90 рублей, продаётся с 10-процентной скидкой. Покупатель отдал кассиру 1000 рублей. Сколько рублей сдачи он должен получить, если он хочет купить максимально возможное количество чашек на эту сумму?

Ответ: ____ рублей сдачи.

Решение.

Пусть х – цена одной чашки со скидкой.

Составим соотношение величин:

12 – столько чашек можно купить на 1000 рублей.

81 ∙ 12 = 972 (рубля) – цена за 12 чашек.

1000 – 972 = 28 (рублей) – сдача.

Ответ: 28 рублей сдачи.

На этой странице вы узнаете

• Как найти процент от пирога?
• Как смешать цвета и получить проценты?
• Как с помощью нескольких кусочков восстановить весь оставшийся пирог?

Мы всё любим выгоду. Скидки, акции, карта постоянного клиента — приятные плюшки в шопинге, не так ли? Мы экономим благодаря тому, что магазины снижают стоимость товара на определенное количество процентов. 

Но можно получать выгоду и от повышения процента. В каком случае? Если мы делаем вклады в банки. Любое повышение суммы вклада на процент означает, что мы стали чуть-чуть богаче.

Проценты

С процентами мы сталкиваемся почти ежедневно. Настало время разобраться, что это такое.

Процент — это одна сотая часть от чего-то. 

То есть мы делим какую-то величину на 100 равных частей и берем из них только одну. Проценты обозначаются знаком “%”

Через процент мы можем найти, какую долю от целого составляет взятая часть. Это может быть половина, четверть или десятая, и любое из данных отношений можно записать через процент. То есть процент показывает, какое количество равных частей (из 100) мы берем от числа или величины. 

Рассмотрим число 100. Пусть это будет не просто абстрактное число, а 100 рублей. 

Один процент от 100 рублей будет по определению равен 100100=1 рубль. 

Как найти проценты

Чтобы найти какое-то определенное количество процентов от числа, нужно это количество умножить на 1% от числа. 

Например, 9% от 100 рублей будет (9*frac{100}{100}=9) рублей. 
57% от 100 рублей будет (57*frac{100}{100}=57) рублей. 

Этим способом можно найти любой процент от любого числа. Возьмем 5290 рублей и найдем от них 25%:
(25 * frac{5290}{100} = 25 * 52,9 = 1322,5: рублей). 

Пусть r — искомый процент от числа А, n — сам процент. Тогда справедлива формула: 

(r = frac{А}{100} * n) 

Например, нужно найти 83% от числа 3216, тогда по формуле: 

(r = frac{3216}{100} * 83 = 32,16 * 83 = 2669,28)

Чтобы найти процент от числа, можно также умножить это число на процент, деленный на 100. 

На самом деле, это будет та же формула, что мы вывели ранее, но с небольшими преобразованиями. 

Рассмотрим выведенную ранее формулу: 

(frac{A}{100} * n = frac{A * n}{100} = frac{n}{100} * A).

Найдем 30% от 450: 
(frac{30}{100} * 450 = 0,3 * 450 = 135).

Пользоваться можно любым из этих алгоритмов. 

Иногда проценты могут представлять из себя простые дроби. 

• 50% — это ровно половина от числа, поэтому число можно сразу разделить на 2.
  50% от 20 будет (frac{20}{2} = 10).

• 25% — это четверть от числа, поэтому число можно сразу разделить на 4. 
  25% от 400 будет (frac{400}{4} = 100).

• 20% — это пятая часть от числа, поэтому число можно сразу делить на 5. 
  20% от 1000 будет (frac{1000}{5} = 200).

• 10% — это десятая часть от числа, поэтому число можно сразу делить на 10. 
  10% от 350 будет (frac{350}{10} = 35). 

Но если мы можем найти процент от числа, как найти число по его проценту? 

Если мы знаем, что несколько кусочков равны между собой и составляют определенный процент от пирога, допустим, 10%, нужно восстановить оставшиеся 90% из точно таких же кусочков. 

Например, мы знаем, что 4500 — это 3% от какого-то числа. Действуя по этому алгоритму, решаем задачу: 

Если 4500 — это 3%, то 1% будет равен (frac{4500}{3} = 1500).
Теперь умножаем полученное значение на 100: 1500 * 100 = 150000. 
Ответом будет число 150000. 

В более сложных задачах можно воспользоваться пропорцией. 

Пропорция — это равенство между двумя отношениями. 

Пропорцию можно представить в виде (frac{a}{b} = frac{c}{d}) или a : b = c : d, где a, d — крайние члены пропорции; b, c — средние члены пропорции. 

Они так называются не просто так: крайние члены стоят с краю, а средние между ними.

Например, можно составить пропорцию: (frac{8}{4} = frac{25}{12,5}), где 8 : 4 = 2   и 25 : 12,5 = 2, то есть равенство выполняется. 

Для пропорции будет справедливо уравнение a * d = b * c, то есть мы умножаем части дроби крест-накрест. 
Произведение крайних членов пропорции будет равно произведению средних членов пропорции. 

Рассмотрим пример, когда пропорция может пригодиться в решении задач с процентами. 

Пример 1. В честь праздников магазин вводит на тортики скидку 15%. До скидок один тортик стоил 300 рублей. Сколько стоят тортики со скидкой? 

Решение. Пусть 300 рублей — это 100%, а х рублей — 15%. Если мы разделим 300 на 100  и разделим х на 15, то получим 1% от 300. Следовательно, можно составить пропорцию: 

(frac{300}{100} = frac{x}{15}). 

Решим полученную пропорцию: 

100 * x = 300 * 15
100 * x = 4500
x = 45

Получаем, что 15% от 300 будет равняться 45 руб.
Тогда, чтобы найти новую стоимость тортиков, необходимо из старой стоимости вычесть скидку: 
300 — 45 = 255.

Ответ: 255 рублей. 

Как увеличить процент

В решении задач нередко можно встретить формулировки “увеличилось на 25%” или “уменьшилось на 13%” и схожие с ними. Что значит увеличить число на процент? 

Разберем на примере: как увеличить сет роллов на 50%?
Предположим, компания друзей решили устроить вечеринку и заказали сет роллов. Спустя какое-то время они поняли, что одного сета на всех не хватает. Чтобы всем досталось роллов, им нужно взять еще половину такого же сета. 

Один сет – это 100%. А если мы добавим к нему еще половину такого же сета, то получим 100+50=150%. То есть мы к целому числу добавляем какой-то процент от него же. Это и есть увеличение числа на процент. 

Например, нам нужно увеличить число 160 на 15%. 15% от 160 будет равняться (frac{160}{100} * 15 = 1,6 * 15 = 24).
Тогда, чтобы увеличить 160 на 15% нужно к 160 прибавить 15 процентов от него: 160 + 24 = 184.

Чтобы увеличить число а на r%, необходимо к этому числу прибавить r% от него.
(а + frac{r}{100} * a = a * (1 + frac{r}{100}))

Увеличим число 370 на 39%: 
(370 + frac{39}{100} * 370 = 370 (1 + frac{39}{100}) = 370 * 1,39 = 514,3).

Уменьшение числа на процент работает точно так же, но в обратную сторону. В этом случае наши друзья решат, что одного сета роллов на них очень много, поэтому нужно убрать половину от него. То есть они из 100% вычтут 50% и получат 50% роллов. 

Чтобы уменьшить число а на r %, необходимо из этого числа вычесть r % от него: 
(а — frac{r}{100} * a = a * (1 — frac{r}{100})).

Уменьшим число 670 на 41%:
(670 — frac{41}{100} * 670 = 670 * (1 — frac{41}{100}) = 670 * 0,59 = 395,3).

Выше мы рассмотрели начисление простых процентов: они начисляются только на изначальную сумму. 

Однако в экономических задачах встречаются и сложные проценты. 

Сложный процент — это процент, который со временем начисляется не только на изначальную сумму, но и на те проценты, которые были начислены до этого. 

Обратимся к задаче. В банке был взят вклад S на 2 года под 25% годовых. Какая сумма будет на вкладе через два года? 

Каждый год сумма на вкладе будет увеличиваться на 25%.
Если мы увеличим S на 25%, то получим (S + frac{25}{100} * S =S(1 + frac{25}{100}) = S * 1,25). Следовательно, каждый год сумма будет увеличиваться в 1,25 раз.

Тогда в первый год мы получим 1,25S, а во второй год 1,25²S. 

Во второй год процент будет начислен не только на S, но и на 25% от S. 
Подробнее можно расписать так: 
1 год: (S + frac{25}{100} * S = S(1 + frac{25}{100}))
2 год: ((S + frac{25}{100} * S) + (S + frac{25}{100} * S) * frac{25}{100} = (S + frac{25}{100} * S)(1 + frac{25}{100}) = S(1 + frac{25}{100})(1 + frac{25}{100}).)

Следовательно, это будет сложный процент. 

Вклады

Проценты, в том числе увеличение числа на процент, очень часто применяется в решении задач на вклады. Разберем несколько примеров таких заданий. 

Но для начала определим, что такое банковский вклад?

Банковский вклад — сумма денег, которая передается банку и на которую ежегодно начисляются проценты. 

В банковских вкладах работает система сложного процента: ежегодно процент будет начисляться и на первоначальную сумму, и на проценты, начисленные ранее. 

Пример 1. Леша положил на вклад в банке 100 тысяч рублей под 10% годовых. Вклад был открыт на 4 года. После начисления процентов во 2 и 3 год Леша вносил равные дополнительные платежи. Чему были равны эти платежи, если через 4 года у Леши на вкладе оказалось 201,85 тысяч рублей?

Решение. Составим таблицу, с помощью которой проследим, как менялась сумма на вкладе с течением времени. 

Что может быть в таблице в задачах с банковскими вкладами:

• сумма на вкладе до начисления процентов;
• сумма на вкладе после начисления процентов;
• дополнительные платежи. 

Таблица может варьироваться в зависимости от задачи и отражать только актуальную информацию. 

Введем переменные. Пусть  S = 100 тысяч — первоначальный вклад, (k = 1 + frac{10}{100}) — коэффициент увеличения, х — взносы в конце 2 и 3 года. 

Поскольку каждый год вклад увеличивается на определенное число процентов, намного удобнее будет ввести коэффициент увеличения, а не пользоваться выведенной ранее формулой. На самом деле, они не отличаются, просто коэффициент увеличения — это скобка, которая появляется при вынесении общего множителя. 

(а + frac{r}{100} * a = a * (1 + frac{r}{100}) = a * k)

1. Сразу составим таблицу на 4 года и заполним известные данные. Мы знаем, что в самом начале вклад был равен S, а дополнительные взносы в 2 и 3 год равны х. Заполним соответствующие ячейки. 

2. Дальше начислим процент на вклад. Пользуясь формулой, получаем: 

(S + frac{10}{100} * S = S(1 + frac{10}{100}) = kS). 

Поскольку в первый год дополнительных вложений не было, можем сразу заполнить и последнюю ячейку в первом году (просто перенесем данные из третьего столбика).

Заметим, что вклад в конце года и в начале следующего года одинаковый, поэтому сразу же можно будет переносить данные на следующую строчку. 

3. Дальше аналогично начисляем процент. Во второй год у нас уже есть дополнительные вложения. Чтобы получить вклад в конце года, необходимо сложить сумму вклада после начисления процентов и дополнительные вложения. 
Не забудем сразу перенести данные на начало третьего года. 

Оставшиеся два года заполняем по такому же алгоритму.

Таблица готова. 

4. По условию задачи вклад в конце четвертого года равен 201,85 тыс., поэтому мы можем составить уравнение:
 k⁴S + k²x + kx = 201,85

5. Теперь мы можем заменить переменные на известные величины:

1,1⁴ * 100 + 1,1²x + 1,1x = 201,85
146,41 + 1,21x + 1,1x = 201,85
2,31x = 55,44
x = 24 тыс. рублей. 

Ответ: 24 тыс. рублей

Пример 2. Маша хочет открыть вклад на 2 года, положив в банк целое число тысяч рублей.  В конце каждого года вклад увеличивается на 20%. В начале второго года Маша пополнила вклад на 25 тысяч рублей. Найдите наименьший первоначальный вклад, при котором начисленные проценты за весь срок будут более 100 тысяч рублей. 

Решение. Пусть S – вклад, который хочет открыть Маша, (k = 1 + frac{20}{100} = 1,2) – коэффициент увеличения, х = 25 – дополнительно вложение в начале второго года. 

1. Составим таблицу. 
Заметим, что в этой задаче проценты сразу будут начисляться и на дополнительные вложения, поскольку они сделаны в начале года 

В конце расчетного периода вклад состоит из всех вложений, которые внесены на него, и процентов, начисленных на эти вложения. Следовательно, чтобы найти проценты, нужно из итоговой суммы вклада вычесть все вложения. 

2. Получаем неравенство: 
k²S + kx — (S + x) > 100

3. Подставим известные переменные и решим неравенство. 

1,2²S + 1,2 * 25 — S — 25 > 100
1,44S + 30 — S — 25 > 100
0,44 S > 95
(S > frac{95}{0,44})
(S > frac{9500}{44)
(S>frac{44 * frac{40}{44})

4. Поскольку S – целое число тысяч рублей, то ближайшее целое число, удовлетворяющее неравенству, будет S = 45. 

Ответ: 45.

Пример 3. По вкладу «Альфа» к концу года банк увеличивает на 20% сумму, имеющуюся на счете на начало года. По вкладу Бета банк увеличивает на 15% в первый и второй год, и на целое число r % в третий год сумму, имеющуюся на счете на начало года. Найдите наименьшее значение r, при котором за три года вклад Бета окажется выгоднее вклада Альфа, если на них внесли одинаковую сумму первоначальных взносов. 

Решение. Чтобы вклад Бета оказался выгоднее, через три года сумма на нем должна оказаться больше, чем через три года на вкладе Альфа. В этой задаче нам понадобится составить две таблицы: по одной для каждого вклада. 

1. Введем переменные. Пусть S — первоначальный взнос, (k = 1 + frac{20}{100} = 1,2) — коэффициент увеличения для вклада Альфа, (l = 1 + frac{15}{100} = 1,15) — коэффициент увеличения для вклада Бета в первые два года, (x = 1 + frac{r}{100}) — коэффициент увеличения для вклада Бета в третий год. 

2. Составим таблицу для вклада Альфа. 

3. Составим таблицу для вклада Бета. 

4. По условию должно получиться неравенство:
k³S < xl²S

5. Сократим S и подставим известные величины:

1,2³ < x * 1,15²
1,728 < 1,3225 x
(x > frac{1,728}{1,3225})
(x > frac{17280}{13225})
(1 + frac{r}{100} > frac{17280}{13225})
(frac{r}{100} > frac{4055}{13225})
(r > frac{405500}{13225})
(r > 30frac{8750}{13225})

6. По условию задачи r — целое число, а ближайшее минимальное целое число, удовлетворяющее неравенству r = 31. 

Ответ: 31

С помощью таблицы можно решить любую задачу, связанную с вкладами. А знание процентов может очень пригодиться в жизни, например, чтобы посчитать скидки. 

Фактчек

• Процент от числа — это одна сотая часть от него. Чтобы найти процент, необходимо число разделить на 100 равных частей, одна такая часть будет равняться 1% от числа. Эту операцию можно сделать в обратном порядке: если умножить 1% на 100, то получится первоначальное число. Процент также можно найти через пропорцию.
• Если необходимо увеличить или уменьшить число на определенный процент, то к этому числу нужно прибавить (вычесть) нужный процент от него.
• Банковский вклад — сумма денег, которая передается банку и на которую ежегодно начисляются проценты. В банковских вкладах работает система сложного процента: ежегодно процент будет начисляться и на первоначальную сумму, и на проценты, начисленные ранее. 
• Чтобы решать задачи на банковские вклады, достаточно правильно составить таблицу, и, уже опираясь на нее, получить итоговое уравнение или неравенство. 

Проверь себя

Задание 1.
Найдите 26% от числа 380.

1. 100
2. 98,8
3. 281,2
4. 26

Задание 2. 
Известно, что 100 – это 20% от какого-то числа. Найдите это число.

1. 20
2. 100
3. 5
4. 500

Задание 3. 
Магазин перед праздниками сделал скидку 11% на всю технику. В результате мультиварка стала стоить 3560 рублей. Сколько стоила мультиварка до скидок?

1. 4000
2. 3168,4
3. 3951,6
4. 4100

Задание 4. 
Что такое сложный процент?

1. Это процент, выраженный нецелым числом;
2. Это процент, который со временем начисляется не только на изначальную сумму, но и на те проценты, которые были начислены до этого. 
3. Это процент, который большее 100;
4. Ни один из приведенных выше вариантов. 

Задание 5. 
Число 200 уменьшили на 30%, а после этого полученный результат увеличили на 30%. Какое число получилось?

1. 140
2. 182
3. 200
4. 260

Ответы: 1. – 2 2. – 4 3. – 1 4. – 2 5. – 2

Некоторые
рекомендации

по
решению задач на проценты

на
ОГЭ

Оглавление

1.Вступление

2.Задачи, решаемые
на основе понятия прямой пропорциональности

3.Задачи, решаемые
уравнением или системой уравнений с помощью составления таблицы

4.Полезные сайты

1.Вступление

 
По определению, процентом называется сотая часть числа. Простейшие задачи на
проценты связаны либо с нахождением числа по его процентам, либо с нахождением
процентов от числа.

 
При решении таких задач используют определение, а именно: 1%=0,01.

 
Чтобы найти проценты от числа, нужно записать проценты в виде дроби (десятичной
или обыкновенной) и умножить результат на данное число.

 
Чтобы найти число по его процентам, нужно записать проценты в виде дроби и
затем разделить данное число на полученную дробь.

 
При решении любой задачи на проценты важно понять, что принимается за 100%.

2.
Задачи, решаемые на основе понятия прямой пропорциональности

  Все простейшие
задачи на проценты легко решать, составляя пропорции.

Пример 1.

 Какая сумма будет
на срочном вкладе вкладчика через 3 года, если банк предлагает 6% годовых, а
первоначальная сумма вклада 5000 рублей?

Решение

Примем
за 100% первоначальную сумму вклада, то есть 5000р.

5000
руб. – 100%

x
руб. – 106% — в конце первого года

Составим пропорцию: 5000 : х =100 : 106, отсюда x=5300

  Чтобы сосчитать
сумму вклада через 2 года, за 100% принимаем уже 5300 руб.

5300
руб. – 100%

x
руб. – 106%

Составим пропорцию: 5300 : х = 100 : 106 , отсюда x=5618

Аналогично
рассчитывается сумма вклада через 3 года, которая равна 5955,08 руб.

Ответ:
5955,08 руб.

Пример
2.

В
начале учебного года в школе было 840 учащихся, а к концу учебного года их
стало 966. На сколько процентов увеличилось за учебный год число учащихся?

Решение.

1-й
способ

  
Примем за 100% первоначальное количество учащихся, то есть 840.

840
учащихся – 100%

966
учащихся – х %

Составим
пропорцию 840 : 966 = 100 : х, отсюда следует х=115%

Следовательно,
количество учащихся выросло на 15%

Ответ:
15%

2-й способ

   За учебный период число
учеников увеличилось на 126. Чтобы узнать, сколько данное число
(126) составляет от числа учеников в начале года (840) ,надо сделать следующее:

126
: 840∙100 ≈ 15%

Ответ: 15%

  3. Задачи, решаемые уравнением или системой
уравнений с помощью составления таблицы

  Более сложные
задачи удобно решать уравнением или системой уравнений с помощью таблицы,
которая составляется по условию задачи.

Пример 1.

  Свежие фрукты
содержат 88% воды, а высушенные — 30%. Сколько требуется свежих фруктов для
приготовления 6 кг высушенных фруктов?

Решение

   
Обозначим через х кг искомую массу свежих фруктов и по условию задачи составим
таблицу

Масса            Продукт	Общая масса (кг)	Масса воды (кг)	Масса сухого вещества (кг)
Свежие фрукты	х	0,88х	0,12х
Высушенные фрукты	6	1,8	4,2

Так
как масса сухого вещества не изменяется в свежих и высушенных фруктах, то можно
составить и решить уравнение:

0,12
х= 4,2

х
= 4,2 : 0,12

х=35

Ответ: 35 кг

Пример
2.

Свежие
фрукты содержат 84% воды, а высушенные — 16%. Сколько сухих фруктов получится
из 78 кг свежих фруктов?

Решение.

   
Обозначим через х кг искомую массу высушенных фруктов и по условию задачи
составим таблицу

	Общая масса (кг)	Масса воды (кг)	Масса сухого вещества (кг)
Свежие фрукты	78 кг	60,84 кг	17,16 кг
Высушенные фрукты	х кг	0,22х кг	0,78х кг

Так как масса сухого вещества не изменяется в свежих и высушенных
фруктах, то можно составить и решить уравнение:

17,16=0,78х

х=22

Ответ:
22 кг

Пример 3.

   К 30%-ному
раствору серной кислоты добавили 60 г воды и получили 10%-ный раствор. Найдите
массу первоначального раствора серной кислоты.

Решение.

 Обозначим
через х г массу первоначального раствора и по условию задачи составим таблицу

	Масса вещества (г)	Масса воды(г)	Масса раствора(г)
Первоначальный раствор	0,3х г	0,7х г	х г
Полученный раствор	0,1(х+60) г	0,7х+60 г	х+60 г

Так
как масса вещества не изменяется в первоначальном и полученном растворе, то
можно составить и решить уравнение:

0,3х=0,1(х+60)

0,3х=0,1х+6

х=30

Ответ: 30 г

Пример 4.

 Один сплав
содержит 55% цинка, а другой – 70% цинка. После переплавки получили 750 г
нового сплава с 60%-ным содержанием цинка. Сколько граммов цинка содержалось в
первом сплаве?

Решение.

  Обозначим через
х г массу первого сплава, а через у г массу второго спала и по условию задачи
составим таблицу

	Масса вещества (г)	Масса сплава (г)
1 сплав	0,55х г	х г
2 сплав	0,7у г	у г
Полученный сплав	450 г	750 г

  По данной
таблице можно составить и решить систему уравнений

  х+у
=750                 у=750-х                                         
 у=750-х

  0,55х+0,7у=450   
0,55х+0,7(750-х)=450    0,55х+525-0,7х=450

  у =750-х        
у=750-х     у=250

  -0,15х= -75    
х=500        х=500.

Таким образом,
масса первого сплава  50 г, масса второго – 250 г.

 Зная массу
первого сплава (500 г), можно теперь найти массу цинка в первом сплаве :
0,55∙500=275(г)

Ответ: 275 г

Пример 5.

Смешали некоторое количество
21-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством
95-процентного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет
концентрация получившегося раствора?

Решение.

 Обозначим через х кг массу
каждого раствора и по условию задачи составим таблицу

	Масса раствора (кг)	Масса вещества в растворе (кг)
1 раствор	х	0,21х
2 раствор	х	0,95х
Смесь	2х	1,16х

     По формуле концентрации можно найти процент концентрации получившегося
раствора:

     Концентрация= (масса вещества : масса всего раствора) ∙
100%=

= (1,16х : 2х) ∙ 100% = 0,58 ∙ 100%= 58%

 Ответ: 58%

4.
Полезные сайты.

1. Сдам ГИА: Решу
ОГЭ. Образовательный портал для подготовки к экзаменам.

2.  ФИПИ. Открытый банк заданий ОГЭ по
математике.