Как составить таблицу сложения в пятеричной системе счисления

Арифметические
операции в рассматриваемых позиционных
системах счисления выполняются по
законам, известным из десятичной
арифметики. Двоичная система счисления
имеет основание 2, и для записи чисел
используются всего две цифры 0 и 1 в
отличие от десяти цифр десятичной
системы счисления.

Рассмотрим
сложение одноразрядных чисел: 0+0=0, 0+1=1,
1+0=0. Эти равенства справедливы как для
двоичной системы, так и для десятичной
системы. Чему же равно 1+1? В десятичной
системе это 2. Но в двоичной системе нет
цифры 2! Известно, что при десятичном
сложении 9+1 происходит перенос 1 в старший
разряд, так как старше 9 цифры нет. То
есть 9+1=10. В двоичной системе старшей
цифрой является 1. Следовательно, в
двоичной системе 1+1=10, так как при сложении
двух единиц происходит переполнение
разряда и производится перенос в старший
разряд. Переполнение разряда наступает
тогда, когда значение числа в нем
становится равным или большим основания.
Для двоичной системы это число равно 2
(10₂=2₁₀).

Продолжая
добавлять единицы, заметим: 10₂+1=11₂,
11₂+1=100₂
— произошла «цепная реакция», когда
перенос единицы в один разряд вызывает
перенос в следующий разряд.

Сложение
многоразрядных
чисел происходит по этим же правилам с
учетом возможности переносов из младших
разрядов в старшие.

Вычитание
многоразрядных
двоичных чисел производится с учетом
возможных заёмов
из старших разрядов.

Действия
умножения и деления чисел в двоичной
арифметике можно выполнять по общепринятым
для позиционных систем правилам.

В
основе правил арифметики любой позиционной
системы лежат таблицы
сложения и умножения одноразрядных
чисел.

Таблицы,
аналогичные таблицам арифметических
операций в двоичной системе счисления
(см. п.1.3), составляются для любой
позиционной системы счисления. Пользуясь
такими таблицами, можно выполнять
действия над многозначными числами.

Пример
4.Выполнить
действия в пятеричной системе счисления:
342₅+23₅;
213₅^.5₅.
     Решение:
     Составим
таблицы сложения и умножения для
пятеричной системы счисления:

Рассуждаем
так: два плюс три равно 10 (по таблице); 0
пишем, 1 — в уме. Четыре плюс два равно 11
(по таблице), да еще один, 12. 2 пишем, 1 — в
уме. Три да один равно 4 (по таблице).
Результат — 420.

Рассуждаем
так: трижды три — 14 (по таблице); 4 пишем,
один — в уме. Трижды один дает 3, да плюс
один, — пишем 4. Дважды три (по таблице) —
11; 1 пишем, 1 переносим влево. Окончательный
результат — 1144.
     Если
числа, участвующие в выражении,
представлены в разных системах, нужно
сначала привести их к одному основанию.

Пример
5.Сложить
два числа: 17₈
и 17₁₆.
     Решение:
     Приведем
число 17₁₆
к основанию 8 посредством двоичной
системы (пробелами условно обозначено
деление на тетрады и триады):
17₁₆=10111₂=10111₂=27₈.
     Выполним
сложение в восьмеричной системе:

     

     Таким
образом, арифметические действия в
позиционных системах счисления
выполняются по общим правилам. Необходимо
только помнить, что перенос в следующий
разряд при сложении и заем из старшего
разряда при вычитании определяются
величиной основания системы счисления.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Содержание:
Что такое пятеричная система счисления
Как перевести целое десятичное число в пятеричную систему счисления
Как перевести десятичную дробь в пятеричную систему счисления
Как перевести число из пятеричной системы счисления в десятичную
Как перевести дробное пятеричное число в десятичное
Таблица значений десятичных чисел от 0 до 100 в пятеричной системе счисления

Что такое пятеричная система счисления

Пятеричная система счисления, является позиционной системой счисления, то есть имеется зависимость от позиции цифры в записи числа.
Для записи числа в пятеричной системе счисления используется пять цифр 0, 1, 2, 3 и 4.
Для определения в какой системе счисления записано число, внизу, справа от числа ставят цифру, которая называется основанием системы счисления.
Например, 1304₅ или 2033₅

Если вам необходимо перевести число любой системы счисления в другую систему счисления, воспользуйтесь
калькулятором систем счисления с подробным решением онлайн.

Как перевести целое десятичное число в пятеричную систему счисления

Для того, чтобы перевести целое десятичное число в пятеричную систему счисления нужно десятичное число делить на 5 до тех пор, пока неполное частное не будет равно нулю.
В результате будет получено число из остатков деления записанное справа налево.

Например, переведем число 70₁₀ в пятеричную систему счисления:

70 : 5 = 14 остаток: 0
14 : 5 = 2 остаток: 4
2 : 5 = 0 остаток: 2

70₁₀ = 240₅

Как перевести десятичную дробь в пятеричную систему счисления

Для того чтобы перевести десятичную дробь в пятеричную систему счисления необходимо сначала перевести целую часть десятичной дроби в пятеричную систему счисления,
а затем дробную часть, последовательно умножать на 5, до тех пор, пока в дробной части произведения не получиться ноль (результатом произведения будет целое число)
или не будет достигнуто необходимое количество знаков после запятой. Если в результате умножения целая часть не равна нулю, тогда необходимо заменить значение целой части на ноль.
В результате будет получено число из целых частей произведений, записанное слева направо.

Например, переведем десятичное число 4.3₁₀ в пятеричную систему счисления:

Переведем целую часть

4 : 5 = 0 остаток: 4

4₁₀ = 4₅

Переведем дробную часть

0.3 · 5 = 1.5
0.5 · 5 = 2.5
0.5 · 5 = 2.5
0.5 · 5 = 2.5
0.5 · 5 = 2.5
0.5 · 5 = 2.5
0.5 · 5 = 2.5
0.5 · 5 = 2.5
0.5 · 5 = 2.5
0.5 · 5 = 2.5

0.3₁₀ = 0.1222222222₅
4.3₁₀ = 4.1222222222₅

Пятеричные дроби, как и десятичные могут быть как конечными, так и бесконечными. Не всегда конечная десятичная дробь может быть представлена конечной пятеричной.
В данном примере получается бесконечная периодическая пятеричная дробь, поэтому умножение на 5 можно производить бесконечное число раз и все равно дробная часть частного не будет равна нулю.
В данном случае десятичная дробь 4.3 не может быть точно представлена в пятеричной системе счисления.
К примеру, дробь 12.36₁₀ может быть представлена в пятеричной системе счисления в виде конечной 12.36₁₀ = 22.14₅.

Как перевести число из пятеричной системы счисления в десятичную

Для того, чтобы перевести число из пятеричной системы счисления в десятичную систему счисления, необходимо записать позиции каждой цифры в числе с права на лево начиная с нуля.
Каждая позиция цифры будет степенью числа 5, так как система счисления 5-ичная. Необходимо последовательно умножить каждое число на 5 в
степени соответствующей позиции числа и затем сложить с последующим произведением следующего числа в степени соответствующей его позиции.

Например, переведем число 4023₅ в десятичную систему счисления:

4023₅ = 4 ⋅ 5³ + 0 ⋅ 5² + 2 ⋅ 5¹ + 3 ⋅ 5⁰ = 513₁₀

Как перевести дробное пятеричное число в десятичное

Для того, чтобы перевести дробное пятеричное число в десятичное, необходимо записать дробное пятеричное число, убрав точку и затем сверху расставить индексы.
Индексы в дробной части числа начинаются от -1 и продолжаются на уменьшение вправо, индексы в целой части начинаются с 0 и ставятся с права на лево по возрастанию.
Каждая позиция цифры (индекс) будет степенью числа 5, так как система счисления 5-ичная. Необходимо последовательно умножить каждое число на
5 в степени соответствующей позиции числа и затем сложить с последующим произведением следующего числа в степени соответствующей его позиции.

Например, переведем дробное пятеричное число 21.13₅ в десятичное:

21.13₅ = 2 ⋅ 5¹ + 1 ⋅ 5⁰ + 1 ⋅ 5^-1 + 3 ⋅ 5^-2 = 11.32₁₀

Таблица значений десятичных чисел от 0 до 100 в пятеричной системе счисления

Материал по информатике «Таблицы сложения чисел в различных системах счисления»

В разработке содержатся таблицы сложения в двоичной, троичной, пятеричной, восьмеричной и шестнадцатиричной системах счисления.

Описание разработки