Функция вида
y=ax2+bx+c
, где (a), (b), (c) — реальные числа, (a)
≠
(0), называется квадратичной функцией.
Графиком квадратичной функции является парабола.
Область определения функции (D(f)) — все действительные числа.
Рассмотрим для примера две квадратичные функции.
Пример 1.
y=x2−2x−1
(рис. (1)).
Пример 2.
y=−2×2+4x
(рис. (2)).
Область значений функции (E(f)) считывается с графика, она зависит от координаты (y), вершины параболы и направления ветвей параболы.
(1) пример —
E(f)=[−2;+∞)
;
(2) пример —
E(f)=(−∞;2]
.
Параметр (a) определяет направление ветвей параболы:
если (a > 0), то ветви направлены вверх (см. пример (1));
если (a < 0), то ветви направлены вниз (см. пример (2)).
Параметр (c) указывает, в какой точке парабола пересекает ось (Oy).
Чтобы построить график квадратичной функции, необходимо:
1) вычислить координаты вершины параболы:
x0=−b2aиy0
— которую находят, подставив значение
x0
в формулу функции;
2) отметить вершину параболы на координатной плоскости, провести ось симметрии параболы;
3) определить направление ветвей параболы;
4) отметить точку пересечения параболы с осью (Oy);
5) составить таблицу значений, выбрав необходимые значения аргумента (x).
Решив квадратное уравнение
ax2+bx+c=0
, получаем точки пересечения параболы с осью (Ox), или корни функции (если дискриминант (D > 0));
если (D < 0), то точек пересечения параболы с осью (Ox) не существует;
если (D = 0), то вершина параболы находится на оси (Ox).
Но не всегда точки пересечения с осью (Ox) являются рациональными числами; если невозможно точно вычислить корень из (D), то такие точки не используют для построения графика.
1. Построй график функции
y=x2−2x−1
.
|
x0=−b2a=22=1;y0=12−2⋅1−1=−2. Ветви параболы направлены вверх, т. к. (a = 1 > 0). Парабола пересекает ось (Oy) в точке ((0; -1)).
Симметрично строим левую сторону параболы |
Рис. (1). График функции y=x2−2x−1 |
2. Построй график функции
y=−2×2+4x
.
|
В данном случае легко вычислить корни: −2×2+4x=0;x(−2x+4)=0;x=0,или−2x+4=0;x=2;x1=0;x2=2. Координаты вершины параболы: x0=−42⋅−2=1;y0=−2⋅12+4⋅1=2. В таблице достаточно одного значения: если (x = 3), то Симметрично, если (x = -1), то (y = -6) |
Рис. (2). График функции y=−2×2+4x |
|
ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА |
||
|
Урок |
Информатика |
|
|
Класс |
8 класс |
|
|
Тема |
19.4. Построение таблицы значений функции |
|
|
Дата урока |
||
|
Номер урока |
||
|
Тип урока |
комбинированный |
|
|
Планируемые результаты |
Предметные УУД: Метапредметные УДД: Личностные УДД: |
|
|
Оборудование |
Учебники: «Информатика», Семакин И.Г., Залогова тетради, ноутбуки, интерактивная доска, материалы на |
|
|
Основные термины |
Программирование |
|
|
ХОД |
||
|
Этап |
Деятельность |
Деятельность |
|
I. Организационный |
Приветствует Проверяет готовность к уроку |
Приветствуют учителя. Организуют |
|
II. Актуализация |
Проверка |
Вспоминают предыдущие темы |
|
III. |
Показ |
Определяют тему урока |
|
Чтение цитаты и размышлений по «Кто владеет информацией, тот (У. Черчилль) |
Слушают информацию и отвечают на |
|
|
— — |
Выявить: |
|
|
IV. |
Запись |
Запись темы урока |
|
План |
Изучение плана урока |
|
|
Объяснение |
Внимательно слушают поставленные задачи на урок и задания |
|
|
Подготовка |
Определяют |
|
|
Проверка |
Отчитываются |
|
|
V. |
Проведение |
Выполнение небольших физических упражнений |
|
VI. Рефлексия |
— Что узнали на уроке? — Было ли интересно? — Что было трудного в изучении? — Всё ли получилось усвоить? — Над чем необходимо ещё |
Ответы на вопросы |
|
VII. Подведение |
Оценка работы учащихся, |
Определение уровня освоения темы |
|
VIII. |
Объяснение домашнего задания |
Запись домашнего задания |
|
Параграф, вопросы в конце выполнить |
Выполнение |
Дополнение
к плану-конспекта урока по информатике
Структура
(план) сайта — разбиение общего содержания на смысловые разделы и отдельные
страницы с указанием связей между ними.
Представление
структуры сайта в виде графа обеспечивает наглядное представление содержания
сайта и помогает организовать навигацию — переходы с одной страницы сайта на
другую.
Шаблон
страницы — это схема страницы, на которой представлены элементы, имеющиеся на
страницах сайта. Использование шаблонов страниц помогает выдержать единый стиль
оформления сайта.
Хостинг
— услуга по размещению сайта на сервере, постоянно находящемся в сети Интернет;
хостинг может быть как платным, так и бесплатным.
Содержание:
- 0.1 Очередь просмотра
- 0.2 Очередь
- 1 YouTube Premium
- 1.1 Хотите сохраните это видео?
- 1.2 Пожаловаться на видео?
- 1.3 Понравилось?
- 1.4 Не понравилось?
- 2 Текст видео
Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно по теме «Графики функций».
Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!
Содержание страницы:
- Декартова система координат
- Функция
Система координат – это две взаимно перпендикулярные координатные прямые, пересекающиеся в точке, которая является началом отсчета для каждой из них.
Координатные оси – прямые, образующие систему координат.
Ось абсцисс (ось x ) — горизонтальная ось.
Ось ординат (ось y ) — вертикальная ось.
Функция — это отображение элементов множества X на множество Y . При этом каждому элементу x множества X соответствует одно единственное значение y множества Y .
Линейная функция – функция вида y = a x + b где a и b — любые числа.
Графиком линейной функции является прямая линия.
Рассмотрим, как будет выглядеть график в зависимости от коэффициентов a и b :
Если a > 0 , прямая будет проходить через I и III координатные четверти.
b — точка пересечения прямой с осью y .
Если a 0 , прямая будет проходить через II и IV координатные четверти.
b — точка пересечения прямой с осью y .
Если a = 0 , функция принимает вид y = b .
Отдельно выделим график уравнения x = a .
Важно : это уравнение не является функцией так как нарушается определение функции ( функция ставит в соответствие каждому элементу x множества X одно единственно значение y множества Y ). Данное уравнение ставит в соответствие одному элементу x бесконечное множества элементов y . Тем не менее, график данного уравнения построить можно. Просто не будем называть его гордым словом «Функция».
Графиком функции y = a x 2 + b x + c является парабола .
Для того, чтобы однозначно определить, как располагается график параболы на плоскости, нужно знать, на что влияют коэффициенты a , b , c :
- Коэффициент a указывает на то, куда направлены ветки параболы.
- Если a > 0 , ветки параболы направлены вверх.
- Если a 0 , ветки параболы направлены вниз.
- Коэффициент c указывает, в какой точке парабола пересекает ось y .
- Коэффициент b помогает найти x в — координату вершины параболы.
- Дискриминант позволяет определить, сколько точек пересечения у параболы с осью .
- Если D > 0 — две точки пересечения.
- Если D = 0 — одна точка пересечения.
- Если D 0 — нет точек пересечения.
Графиком функции y = k x является гипербола .
Характерная особенность гиперболы в том, что у неё есть асимптоты.
Асимптоты гиперболы – прямые, к которым она стремится, уходя в бесконечность.
Ось x – горизонтальная асимптота гиперболы
Ось y – вертикальная асимптота гиперболы.
На графике асимптоты отмечены зелёной пунктирной линией.
Если коэффициент k > 0 , то ветви гиперолы проходят через I и III четверти.
0″ />
Если k 0, ветви гиперболы проходят через II и IV четверти.
Чем меньше абсолютная величина коэффиента k (коэффициент k без учета знака), тем ближе ветви гиперболы к осям x и y .
Функция y = x имеет следующий график:
Функция y = f ( x ) возрастает на интервале , если большему значению аргумента (большему значению x ) соответствует большее значение функции (большее значение y ) .
То есть чем больше (правее) икс, тем больше (выше) игрек. График поднимается вверх (смотрим слева направо)
Примеры возрастающих функций:
Функция y = f ( x ) убывает на интервале , если большему значению аргумента (большему значению x ) соответствует меньшее значение функции (большее значение y ) .
То есть чем больше (правее) икс, тем меньше (ниже) игрек. График опускается вниз (смотрим слева направо).
Примеры убывающих функций:
Для того, чтобы найти наибольшее значение функции , находим самую высокую точку на графике и смотрим, какая у нее координата по оси ординат (по оси y ) . Это значение и будет являться наибольшим значением функции.
Для того, чтобы найти наименьшее значение функции , находим самую нижнюю точку на графике и смотрим, какая у нее координата по оси ординат (по оси y ) . Это значение и будет являться наименьшим значением функции.
Очередь просмотра
Очередь
- Удалить все
- Отключить
YouTube Premium
Хотите сохраните это видео?
- Пожаловаться
Пожаловаться на видео?
Выполните вход, чтобы сообщить о неприемлемом контенте.
Понравилось?
Не понравилось?
Текст видео
Таблица значений и график функции
Графиком функции называется множество точек координатной плоскости, абсциссы которых являются значениями аргумента, а ординаты — соответствующими им значениями функции.
Графиками функций пользуются люди самых различных профессий: медики, экономисты, инженеры и техники, географы, химики и др.
За учебником «Алгебра 7 класс — Муравин Г.К., Муравин К.С., Муравина О.В.»
Графики простейших функций — линейная, параболы, гиперболы, экспоненты, показательные, степенные, логарифмическая, синус, косинус, тангенс, котангенс изучаемых в школе Справочная таблица.
In mathematics, a function defines a relationship between an independent variable and a dependent variable. In simple words, a function is a relationship between inputs and outputs in which each input is connected to exactly one output. If every element in set A has exactly one and only one image in set B, then the relation is said to be a function. Every function has a domain and a codomain, where a domain is a set of input values and a codomain, or range, is the set of possible output values for which the function is defined. The domain and codomain of a function are non-empty sets. If there exists a function from A → B and (a, b) ∈ f, then f (a) = b, where “a” is the image of “b” under “f” and “b” is the preimage of “b” under “f” and set A is the domain of the function and set B is its co-domain.
Examples of a function
- The formula for the circumference/perimeter of a circle is P = 2πr, where r is the radius of a circle. We can say that circumference/perimeter (P) is dependent on the radius (r) of the circle. In the language of functions, we say that P is defined as a function of r.
- The area (A) of a square A is a function of its side length. The dependence of A on s is given by A = 4s2.
Table Values of a Function
The table values of a function are referred to as the list of numbers that can be used to substitute for the given variable. By using this variable within the equation or in the other function, it is simple to determine the value of the other variable or the equation’s missing integer. In the table of values of a function, there are two kinds of variables, namely an independent variable and a dependent variable. For any equation of a function, an independent variable is selected independently to determine the value of a dependent variable, which is the output of the given function. The table of values is unique for every function. A graph of the given function can be plotted easily after the determination of the values of the independent and dependent variables. There are many uses and applications for tables of values of a function. These are used in the fields of mathematics, physics, and engineering.
How to make the Table of Values of a Function?
A function is typically represented by f(x), where x is the input, and its general representation is y = f(x).
- Create the table first, then choose a range of input values.
- In the left-hand side column, substitute each input value into the given equation.
- To determine the output value, evaluate the equation in the middle column. (A middle column is optional as the table of values just contains the input (independent variable) and output (dependent variable) pair.)
- Now, note down the output values in the right-hand side column.
Let us solve an example to understand the concept better.
Example: Write the table of the value for the function y = √x.
Here, the input is x and the output is y, where y = √x.
x value
Equation
y = √x
y value
0
y = √0 = 0
0
1
y = √1 = 1
1
4
y = √4 = 2
2
9
y = √9 = 3
3
16
y = √16 = 4
4
25
y = √25 = 5
5
Sample Problems
Problem 1: Write the table of values for the function y = 3x + 5.
Solution:
Here, the input is x and the output is y, where y = 3x + 5.
x value
Equation
y = 3x +5
y value
-2
y = 3(-2) + 5 = -6 + 5 = -1
-1
-1
y = 3(-1) + 5 = -3 + 5 = 2
2
0
y = 3(0) + 5 = 0 + 5 = 5
5
1
y = 3(1) + 5 = 3 + 5 = 8
8
2
y = 3(2) + 5 = 6 + 5 = 11
11
Problem 2: Write the table of values for the function P = 4s, where P is the perimeter of a square and a is its side length.
Solution:
Here, the input is s and the output is P, where P = 4s.
s value
Equation
P = 4s
P value
1
4 × 1 = 4
4
2
4 × 2 = 8
8
3
4 × 3 = 12
12
4
4 × 4 =16
16
5
4 × 5 = 20
20
Problem 3: Write the table of values for the function y = 2x + 3x.
Solution:
Here, the input is x and the output is y, where y = 2x + 3x .
x value
Equation
y = 2x + 3x
y value
-2
y = 2-2 + 3-2 = 1/22 + 1/32 = 1/4 + 1/9 = 13/36 = 0.3611
0.3611
-1
y = 2-1 + 3-1 = 1/2 + 1/3 = 5/6 = 0.834
0.834
0
y = 20 + 30 = 1 + 1 = 2
2
1
y = 21 + 31 = 2 + 3 = 5
5
2
y = 22 + 32 = 4 + 9 = 13
13
3
y = 23 + 33 = 8 + 27 = 35
35
Problem 4: Write the table values for the function y = cos x × sin x.
Solution:
Here, the input is x and the output is y, where y = cos x × sin x.
x value
Equation
y = cos x × sin x
y value
0°
y = cos 0 sin 0 = 1 × 0 = 0
0
30°
y = cos 30 sin 30 = √3/2 × 1/2 = 3/4
√3/4
45°
y = cos 45 sin 45 = 1/√2 × 1/√2 = 1/2
1/2
60°
y = cos 60 sin 60 = 1/2 × √3/2 = 3/4
√3/4
90°
y = cos 90 sin 90 = 0 × 1 = 0
0
180°
y = cos 180 sin 180 = -1 × 0 = 0
0
Problem 5: Write the table values for the function y = x2 – 5x + 6.
Solution:
Here, the input is x and the output is y, where y = x2 – 5x + 6.
x value
Equation
y = x2 – 5x + 6
y value
-3
y = (-3)2 – 5(-3) + 6 = 9 + 15 + 6 = 30
30
-2
y = (-2)2 – 5(-2) + 6 = 4 + 10 + 6 = 20
20
-1
y = (-1)2 – 5(-1) + 6 = 1 + 5 + 6 = 12
12
0
y = 02 – 5(0) + 6 = 0 – 0 + 6 = 6
6
1
y = 12 – 5(1) + 6 = 1 – 5 + 6 = 2
2
2
y = 22 – 5(2) + 6 = 4 – 10 + 6 = 10- 10 = 0
0
3
y = 32 – 5(3) + 6 = 9 – 15 + 6 = 15 – 15 = 0
0
Last Updated :
19 Jul, 2022
Like Article
Save Article
Данная статья не содержит графических
иллюстраций. Поэтому знакомиться с ее
содержанием будет удобнее, имея под рукой лист
бумаги и карандаш.
1. Линейная функция
При изучении линейной функции 
на уроках алгебры в 7-м
классе учащиеся довольно успешно осваивают
способ построения прямой по двум точкам. При этом
составляется таблица, в которой задаются
значения х и вычисляются соответствующие
значения y. Однако при построении прямой
часто допускаются неточности: из-за того, что
выбранные точки очень близко расположены друг к
другу, построенная прямая “уходит в сторону”.
Построить график линейной функции можно гораздо
быстрее, если заметить определенные
закономерности. Рассмотрим примеры.
Пример 1. Построить график функции 
.
Решение Составим таблицу значений функции.
| Порядковый № | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| y | -3 | -1 | 1 | 3 | 5 |
Первая точка выбирается традиционно – точка
пересечения прямой с осью ординат. А дальше
обратим внимание, что разность значений функции 
, т.е. совпадает
со значением углового коэффициента заданной
функции. А значит, для построения точек на
координатной плоскости вся информация заложена
в коэффициентах заданной линейной функции.
Алгоритм построения точек следующий:
- строим первую точку
; - переносим ее на 1 единицу вправо и две единицы
вверх (это вторая точка, принадлежащая прямой): - вторую точку снова перемещаем на 1 единицу
вправо и две единицы вверх и получаем третью
точку искомой прямой; - далее все повторяется любое число раз.
;Пример 2. Построить график функции 
.
Решение Первая точка имеет координаты 
. Каждая
следующая получается из предыдущей смещением на
1 единицу вправо и на 3 единицы вниз.
Рассмотрим теперь случай, когда угловой
коэффициент линейной функции задается дробью.
Пример 3. Построить график функции 
.
Решение Составим таблицу значений функции.
Чтобы получить точки прямой с целочисленными
координатами, возьмем значения х, кратные
трем. Ну. а первая точка, по-прежнему, – точка
пересечения прямой с осью ординат.
| x | 0 | 3 | 6 | 9 | 12 |
| y | -4 | -2 | 0 | 2 | 4 |
Построим точки на координатной плоскости.
Видно, что каждая следующая точка получается из
предыдущей сдвигом на 3 единицы вправо и 2 единицы
вверх. Проводим прямую.
Пример 4. Построить график функции 
.
Решение Первая точка имеет координаты 
. Заметим, что
угловой коэффициент прямой 
. Значит, каждая следующая точка
прямой будет получена из предыдущей смещением на
5 единиц вправо и на 4 единицы вниз. Строим точки и
проводим прямую.
Обратите внимание, что в случае дробного
углового коэффициента линейной функции
знаменатель дроби указывает количество единиц
для перемещения точки вправо, а числитель –
количество единиц, на которые переместится точка
вверх (при 
)
или вниз (при k<0).
2. Квадратичная функция
2.1. С графиком квадратичной функции 
учащиеся
знакомятся еще в седьмом классе. При этом, для
построения параболы, как правило, записывается
таблица значений функции для 
, затем полученные точки строят
на координатной прямой и рисуют параболу. Более
продвинутые ученики записывают таблицу только
для 
, строят
полученные точки и проводят правую ветвь
параболы. Затем, воспользовавшись симметрией
графика относительно оси ординат, строят точки
параболы для 
и рисуют вторую ветвь параболы.
Записи таблицы можно избежать, если заметить
одну закономерность в расположении указанных
точек. Посмотрим таблицу значений функции :
В третьей строке таблицы записана разность
двух последующих значений функции. Видно, что
полученные числа образуют последовательность
нечетных чисел 
(легко убедиться, что эта
закономерность выполняется и далее, например, 
). Этот факт
легко запоминается. А с учетом этой
закономерности построить характеристические
точки параболы можно так:
- первая точка – начало координат;
- вторая точка получается из первой смещением на
одну единицу вправо и на одну единицу вверх; - третья получается смещением второй точки на
один вправо и три вверх; - четвертая точка получается переносом третьей
на один вправо и пять вверх; - затем строятся точки левой ветви параболы за
счет симметрии графика относительно оси ординат.
Остается провести плавную линию через
полученные точки, и парабола построена.
2.2. Перейдем теперь к квадратичной
функции вида 
,
которая изучается уже в восьмом классе. Учащиеся
узнают, что коэффициент а определяет
направление ветвей параболы, а также растяжение
или сжатие графика вдоль оси ординат. А для
построения графика все равно просчитывают
координаты точек. Но без этого можно обойтись,
если знать указанную выше закономерность
построения точек параболы . И если для нее сдвиг точек вдоль
оси OY задавался последовательностью чисел 
, то для функции эта
последовательность чисел будет 
.
Пример 5. Построить график функции 
.
Решение Графиком функции служит парабола,
ветви которой направлены вниз, а вершина
находится в начале координат. Для построения
других точек параболы вспомним про нечетные
числа ,
умножим их на 
,
получаем последовательность чисел 
Знак 
говорит о том , что смещение
точек будет сделано вниз. На словах алгоритм
построения звучит так: от начала координат одна
единица вправо и две вниз; от новой точки одна
единица вправо и шесть вниз; строим точки,
симметричные полученным относительно оси
ординат; проводим параболу.
Пример 6. Построить график функции 
.
Решение Графиком функции – парабола, ветви
которой направлены вверх. Вершина параболы
находится в начале координат. Для построения
других точек воспользуемся последовательностью При 
получаем
следующий порядок перемещений вдоль оси ординат 
. Строим точки
на координатной плоскости: от точки 
1 клетка вправо и
полклетки вверх, от полученной точки снова одна
клетка вправо и полторы клетки вверх, потом от
новой точки опять одна клетка вправо и две с
половиной клетки вверх и т.д. (ясно, что в
указанном случае за единичный отрезок на осях
координат принимается одна клеточка в тетрадном
листе). Затем строим точки левой ветви параболы
за счет симметрии графика относительно оси OY и
рисуем параболу.
2.3. В 9-м классе учащиеся изучают
квадратичную функцию 
. Для построения ее графика с учетом
выше сказанного можно применять следующий
алгоритм:
- найти координаты вершины параболы
; - построить в системе координат полученную точку
и провести оси вспомогательной системы
координат (прямые
и 
); - по коэффициенту а определить направление
ветвей параболы; - построить во вспомогательной системе координат
характеристические точки функции
, следуя алгоритму пункта
2.2. - провести плавную линию через указанные точки.
График готов.
;
и 
);Пример 7. Построить график функции 
.
Решение Графиком функции – парабола.
- Вычисляем координаты вершины параболы:
. - Строим точку
и проводим пунктиром вспомогательные оси
координат (прямые проходят через указанную точку
и параллельны осям ОХ и ОY). - Коэффициент при х2 в данной функции
равен 1. Значит, для построения
характеристических точек параболы применим ряд
чисел 1,3,5,…. , т.е. строим стандартную параболу, но
во вспомогательной системе координат (пункт 2.1.). - Проводим плавную линию через полученные точки.
Парабола построена.
.
ПРИМЕРЫ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Постройте графики указанных функций: