Как составить таблицу значения одночлена

Условие:

1. Найдите значение одночлена:

1) -1,5a^2 для a=2; 0,8; 0; -1; -20;

2) 5y^3 для y=-10; -0,4; 0; 2; 8;

3) -3ab для a=-2,5 и b=8; a=1,75 и b=1 1/3;

4) 0,04xy^2 для x=15 и y=-2; x=-8 и y=-10;

5) 0,1xyz для x=-1; y=1 и z=20; x=3; y=-4 и z=-2.

2. Составьте таблицу значений одночлена:

1) 8x^2 для значений х из промежутка от -0,5 до 0,5 с шагом, равным 0,1;

2) 0,5x^3 для значений х из промежутка от -10 до 10 с шагом, равным 2.

3. Найдите с помощью калькулятора значение одночлена:

1) 1,7xyz для x=2,1; y=0,8; z=5,6;

2) -0,8a^2b^3 для a=1,4; b=2,5;

3) 8,5x^2y^2*z для x=11,5; y=12,4; z=-8;

4) 3,7a^3b^3*c для a=-1,8; b=4,5; c=8,1.

4. Найдите:

1) значение а, при котором значение одночлена 0,3а рав­но 0; 0,6; -0,8; -1;

2) какую-нибудь пару значений а и b, при которых зна­чение одночлена 5аb равно 30; -10; 0; 5.

5. Верно ли, что одночлен:

1) 2a^3 при любом а принимает положительные значения;

2) -10x^6 при любом х принимает отрицательные значения;

3) -0,03y^2 при любом у принимает неположительные значения;

4) 2,7c^2 при любом с принимает неотрицательные значе­ния?

При утвердительном ответе обоснуйте свое заключение, при отрицательном приведите опровергающий пример.

Одночлены и действия над ними

Ключевые слова конспекта: Одночлены, стандартный вид одночлена, коэффициент и степень одночлена, умножение одночленов, 

Выражения 15а²b,   3ху • 2у,  –3с⁷ представляют собой произведения чисел, переменных и их степеней. Такие выражения называют одночленами. Числа, переменные и их степени также считаются одночленами. Например, выражения –11, а, а⁶ — одночлены.

Одночлен 5а²b • 2аb³ можно упростить, если воспользоваться свойствами умножения и правилом умножения степеней с одинаковыми основаниями. Тогда получим: 5а²b • 2аb³ = 5 • 2а² • а • b • b³ = 10а³b⁴.

Мы представили данный одночлен в виде произведения числового множителя, записанного на первом месте, и степеней различных переменных. Такой вид одночлена называют стандартным видом. Числа, переменные, их степени также считаются одночленами стандартного вида.

Коэффициент и степень одночлена

Любой одночлен можно преобразовать так, чтобы получился одночлен стандартного вида. Если одночлен записан в стандартном виде, то числовой множитель называют коэффициентом одночлена. Например, в одночлене –10а²b⁴ коэффициент равен –10. Если коэффициент одночлена равен 1 или –1, то его обычно не пишут.

Степенью одночлена стандартного вида называют сумму показателей степеней входящих в него переменных. Если одночлен представляет собой число, отличное от нуля, то его степень считается равной нулю.

Например, степень одночлена 12х²у³ равна 5, степень одночлена –6аb равна 2. Выражение 2,32 является одночленом нулевой степени.

Число нуль — это одночлен, степень которого не определена.

Умножение одночленов

При умножении одночленов снова получается одночлен, который обычно записывают в стандартном виде, используя для этого свойства умножения и правило умножения степеней с одинаковыми основаниями.

 Пример. Умножим одночлен 12а⁶b⁴ на одночлен –2а³b. Для этого составим произведение одночленов и преобразуем его в одночлен стандартного вида:
12а⁶b⁴ • (–2а³b) = 12 • (–2) • (а⁶ • а³) • (b⁴ • b) = –24а⁹b⁵.

Возведение одночлена в степень

Рассмотрим сначала правила возведения в степень произведения и степени. Преобразуем четвёртую степень произведения ab:
(ab)⁴ = (ab)(ab)(ab)(ab) = (aaaa)(bbbb) = а⁴b⁴, т.е. (аb)⁴ = а⁴b⁴.
Четвёртая степень произведения равна произведению четвёртых степеней множителей. Аналогичным свойством обладает любая натуральная степень произведения двух множителей.

 Если а и b — произвольные числа и n — любое натуральное число, то
(аb)ⁿ = аⁿbⁿ.

Докажем это, воспользовавшись определением степени и свойствами умножения:

Доказанное свойство распространяется на произведение трёх и более множителей. Например,
 (abc)ⁿ = aⁿbⁿcⁿ;   (abcd)ⁿ = aⁿbⁿcⁿdⁿ.

Отсюда следует правило:

• чтобы возвести в степень произведение, нужно возвести в эту степень каждый множитель и результаты перемножить.

Рассмотрим теперь, как можно возвести степень в степень. Преобразуем, например, выражение (а⁵)⁴:
 (а⁵)⁴ = а⁵ • а⁵ • а⁵ • а⁵ = а^5+5+5+5 = а²⁰, то есть (а⁵)⁴ = а^5•4

Аналогичное свойство выполняется для произвольных степеней с натуральными показателями.

 Если а — произвольное число, m и n — любые натуральные числа, то
(а^m)ⁿ = а^m • n

Из этого свойства следует правило:

• чтобы возвести степень в степень, нужно основание оставить тем же, а показатели степеней перемножить.

Аналогично тому, как было доказано свойство степени произведения, можно доказать свойство степени дроби: (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ, где b ≠ 0.  Из этого свойства следует правило:

• чтобы возвести в степень дробь, нужно возвести в эту степень числитель и знаменатель, первое выражение записать в числитель, а второе — в знаменатель.

Правила возведения в степень произведения и степени используются при возведении одночленов в степень.

Это конспект по математике на тему «Одночлены и действия над ними». Выберите дальнейшие действия:

• Перейти к следующему конспекту: Многочлен и его стандартный вид
• Вернуться к списку конспектов по Математике.
• Проверить знания по Математике.

Часто при решении задач мы используем буквенные множители и числа вместе.

Выражение 5a²b — это произведение трёх множителей:
5a²b = 5 · a² · b.
Подобные произведения буквенных и числовых множителей называют одночленами.

Из чего состоит одночлен

Числовой множитель, который есть в одночлене, принято называть коэффициентом одночлена.
Буквенные множители иногда называют переменными.

Если в одночлене явно нет числового коэффициента, значит числовой коэффициент одночлена равен 1.

Например, для одночлена ab — числовой коэффициент равен 1.
Это связано с тем, что при умножении на 1 одночлен остаётся прежним, поэтому коэфффицент
1 не записывают перед одночленом.
1 · a · b = ab

Также не записывают явно коэффициент «−1».
Вместо этого ставят знак «−» перед одночленом.
При такой записи все понимают, что коэффициент одночлена равен «−1».
Например, у одночлена «−xyz» коэффициент равен
«−1».

Примеры одночленов и их коэффициентов

Приведение одночлена к стандартному виду

Не забывайте, что одночлен — это произведение числовых и буквенных множителей, поэтому внутри
одночлена действуют все законы умножения, в том числе

переместительный закон умножения.

Чтобы привести одночлен к стандартному виду нужно сделать следующее.

Пример. Привести к стандартному виду одночлен 3ada · 8.

1. Перемножаем все числовые коэффициенты
   3 · a · d · a · 8 =
   3 · 8 · a · d · a
   = 24 · a · d · a
2. Теперь, используя свойства степени,
   перемножаем все буквенные множители.
   24 · a · d · a =
   24 · a · a · d = 24a²d

Что такое степень одночлена

Например, степень одночлена 9a²b
равна 3, т.к. у
a² (вторая степень), у
b (первая степень): 2 + 1 = 3.

Примеры степеней одночленов

Число «0» (ноль) называется нулевым одночленом. Степень нулевого одночлена не определена.

Но не путайте с одночленом нулевой степени!
Одночлен нулевой степени — это любое число (например, 123; 0,5; −324).

Любое число можно записать как произведение числа на буквенный множитель в нулевой степени. Т.е.
123 = 123 · a⁰ = 123 · 1 = 123 (одночлен нулевой степени).

Одночлен нулевой степени получил свое название, потому что любой буквенный множитель можно
представить как 1 через нулевую степень.

Ваши комментарии

Оставить комментарий: