Многие считают, что тема «Транспонированные матрицы» довольно сложная, но это не так. В студенческом курсе математики транспонирование выполняется легко и без каких-либо усилий. Для того чтобы понимать, как именно осуществляется операция, необходимо знать, что такое матрица.
Онлайн-калькулятор
Что такое транспонированная матрица
Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с этим же номером, называется матрицей транспонированной данной. Обозначается такая матрица ATA^{T} или A′A’.
При транспонировании матрицы AA размера m×nmtimes n получаем матрицу ATA^{T} размера n×mntimes m.
В общем виде транспонированная матрица для матрицы
Am×n=(a11a12…a1na21a22…a2n…………am1am2…amn)A_{mtimes n}=begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&…&a_{1n}\a_{21}&a_{22}&…&a_{2n}\…&…&…&…\a_{m1}&a_{m2}&…&a_{mn}end{pmatrix}
выглядит следующим образом:
An×mT=(a11a21…am1a12a22…am2…………a1na2n…amn)A^{T}_{ntimes m}=begin{pmatrix}a_{11}&a_{21}&…&a_{m1}\a_{12}&a_{22}&…&a_{m2}\…&…&…&…\a_{1n}&a_{2n}&…&a_{mn}end{pmatrix}.
Элементы ii строки исходной матрицы становятся элементами ii столбца транспонированной матрицы. Таким образом, транспонирование матрицы заключается в том, что строки исходной матрицы AA записывают в новую матрицу по столбцам.
Транспонировать матрицы K=(15−2314−18)K=begin{pmatrix}15&-23&14&-18end{pmatrix} и L=(25−10118)L=begin{pmatrix}25\-10\11\8end{pmatrix}.
KT=(15−2314−18)K^{T}=begin{pmatrix}15\-23\14\-18end{pmatrix},
LT=(25−10118)L^{T}=begin{pmatrix}25&-10&11&8end{pmatrix}.
Транспонировать матрицу G=(5−311820514−86537−94)G=begin{pmatrix}5&-3&11&8\2&0&5&1\4&-8&6&5\3&7&-9&4end{pmatrix}.
GT=(5243−30−871156−98154)G^{T}=begin{pmatrix}5&2&4&3\-3&0&-8&7\11&5&6&-9\8&1&5&4end{pmatrix}.
Свойства транспонированных матриц
- Дважды транспонированная матрица равна исходной матрице: ATT=(AT)T=AA^{TT}=(A^{T})^{T}=A.
- Транспонированная матрица суммы равна сумме транспонированных матриц: (A+B)T=AT+BT(A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}.
- Транспонированная матрица произведения равна произведению транспонированных матриц: (A⋅B)T=AT⋅BT(Acdot B)^{T}=A^{T}cdot B^{T}.
- При транспонировании можно выносить скаляр (число, на которое можно разделить все элементы матрицы): (k⋅A)T=k⋅AT(kcdot A)^{T}=kcdot A^{T}.
- Определитель исходной матрицы и определитель транспонированной матрицы равны.
С понятием определителя матрицы мы познакомимся на следующем уроке.
Возникли сложности с матрицей? На нашем сервисе предусмотрена платная помощь с решением задач по алгебре от экспертов!
Тест по теме «Транспонирование матрицы»
Транспонированная матрица.
Определение.
Транспонирование матрицы — это операция над матрицей, при которой ее строки и столбцы меняются местами:
aTij = aji
Свойства транспонированной матрицы
- Если матрица A имеет размер n×m, то транспонированная матрица AT имеет размер m×n;
- (AT)T = A;
- (k · A)T = k · AT;
- (A + B)T = AT + BT;
- (A · B)T = BT · AT.
Примеры задач на транспонирование матриц
Пример 1.
Найти транспонированную матрицу AT для матрицы
| A = |  |
4 | 2 |  |
. |
| 9 | 0 |
Решение:
| AT = | |
4 | 9 | |
| 2 | 0 |
Пример 2
Найти транспонированную матрицу AT для матрицы
| A = | |
2 | 1 | |
. |
| -3 | 0 | ||||
| 4 | -1 |
Решение:
| AT = | |
2 | -3 | 4 | |
| 1 | 0 | -1 |
Пример 3
Найти транспонированную матрицу AT для матрицы
| A = | |
2 | -3 | 4 | |
. |
| 1 | 0 | -1 |
Решение:
| AT = | |
2 | 1 | |
| -3 | 0 | |||
| 4 | -1 |
Загрузить PDF
Загрузить PDF
Если вы научитесь транспонировать матрицы, то лучше поймете их структуру. Возможно, вы уже знаете о квадратных матрицах и об их симметрии, что поможет вам освоить транспонирование. Помимо прочего, транспонирование помогает переводить векторы в матричную форму и находить векторные произведения.[1]
При работе с комплексными матрицами эрмитово-сопряженные (сопряженно-транспонированные) матрицы помогают решить самые разные задачи.
-
1
Возьмите любую матрицу. Можно транспонировать любую матрицу, независимо от количества строк и столбцов. Наиболее часто приходится транспонировать квадратные матрицы, которые имеют одинаковое количество строк и столбцов, поэтому для простоты рассмотрим в качестве примера такую матрицу:[2]
- матрица A =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
- матрица A =
-
2
Представьте первую строку прямой матрицы в виде первого столбца транспонированной матрицы. Просто запишите первую строку в виде столбца:
- транспонированная матрица = AT
- первый столбец матрицы AT:
1
2
3
-
3
Проделайте то же самое с остальными строками. Вторая строка исходной матрицы станет вторым столбцом транспонированной матрицы. Переведите все строки в столбцы:
-
AT =
1 4 7
2 5 8
3 6 9
-
AT =
-
4
Попробуйте транспонировать неквадратную матрицу. Точно таким же образом можно транспонировать любую прямоугольную матрицу. Просто запишите первую строку в виде первого столбца, вторую строку — в виде второго столбца, и так далее. В приведенном ниже примере каждая строка исходной матрицы обозначена своим цветом, чтобы было понятнее, как она преобразуется при транспонировании:
- матрица Z =
4 7 2 1
3 9 8 6 - матрица ZT =
4 3
7 9
2 8
1 6
- матрица Z =
-
5
Выразим транспонирование в виде математической записи. Хотя идея транспонирования очень проста, лучше все же записать ее в виде строгой формулы. При матричной записи не требуются какие-либо специальные термины:
- Предположим, дана матрица B, состоящая из m x n элементов (m строк и n столбцов), тогда транспонированная матрица BT представляет собой набор из n x m элементов (n строк и m столбцов).[3]
- Для каждого элемента bxy (строка x и столбец y) матрицы B в матрице BT существует эквивалентный ему элемент byx (строка y и столбец x).
Реклама
- Предположим, дана матрица B, состоящая из m x n элементов (m строк и n столбцов), тогда транспонированная матрица BT представляет собой набор из n x m элементов (n строк и m столбцов).[3]
-
1
(MT)T = M. После двойного транспонирования получается исходная матрица.[4]
Это довольно очевидно, так как при повторном транспонировании вы вновь меняете строки и столбцы, в результате чего получается первоначальная матрица. -
2
Зеркально отобразите матрицу относительно главной диагонали. Квадратные матрицы можно «переворачивать» относительно главной диагонали. При этом элементы вдоль главной диагонали (от a11 до нижнего правого угла матрицы) остаются на месте, а остальные элементы перемещаются по другую сторону этой диагонали и остаются на том же расстоянии от нее.
- Если вам сложно представить данный метод, возьмите лист бумаги и нарисуйте матрицу 4×4. Затем переставьте ее боковые элементы относительно главной диагонали. Проследите при этом за элементами a14 и a41. При транспонировании они должны поменяться местами, как и другие пары боковых элементов.
-
3
Транспонируйте симметричную матрицу. Элементы такой матрицы симметричны относительно главной диагонали. Если проделать описанную выше операцию и «перевернуть» симметричную матрицу, она не изменится. Все элементы поменяются на аналогичные.[5]
Фактически, это стандартный способ определить, симметрична ли та или иная матрица. Если выполняется равенство A = AT, значит, матрица A симметрична.Реклама
-
1
Рассмотрим комплексную матрицу. Элементы комплексной матрицы состоят из действительной и мнимой части. Такую матрицу также можно транспонировать, хотя в большинстве практических применений используют сопряженно-транспонированные, или эрмитово-сопряженные матрицы.[6]
- Пусть дана матрица C =
2+i 3-2i
0+i 5+0i
- Пусть дана матрица C =
-
2
Заменим элементы комплексно-сопряженными числами. При операции комплексного сопряжения действительная часть остается такой же, а мнимая часть меняет свой знак на обратный. Проделаем эту операцию со всеми четырьмя элементами матрицы.
- найдем комплексно-сопряженную матрицу C* =
2-i 3+2i
0-i 5-0i
- найдем комплексно-сопряженную матрицу C* =
-
3
Транспонируем полученную матрицу. Возьмем найденную комплексно-сопряженную матрицу и просто транспонируем ее. В результате у нас получится сопряженно-транспонированная (эрмитово-сопряженная) матрица.
- сопряженно-транспонированная матрица CH =
2-i 0-i
3+2i 5-0i
Реклама
- сопряженно-транспонированная матрица CH =
Советы
- В данной статье транспонированная матрица относительно матрицы А обозначается как AT. Встречается также обозначение A’ или Ã.[7]
- В данной статье эрмитово-сопряженная матрица относительно матрицы А обозначается как AH — это общепринятое обозначение в линейной алгебре. В квантовой механике часто используют обозначение A†. Иногда эрмитово-сопряженную матрицу записывают в виде A*, однако такого обозначения лучше избегать, так как оно используется также для записи комплексно-сопряженной матрицы.[8]
Реклама
Об этой статье
Эту страницу просматривали 49 950 раз.
Была ли эта статья полезной?
Определение транспонированной матрицы
Содержание:
- Что такое транспонированная матрица
- Свойства транспонированной матрицы, как найти
- Как транспонировать матрицу в Excel
- Как транспонировать матрицу в Python
Что такое транспонированная матрица
Транспонированной матрицей называют такую матричную форму представления данных (A^{T}), которая образована из начальной A с помощью замещения строк столбцами.
С теоретической точки зрения, транспонированная матрица в случае с некоторой матричной формой А, обладающей размерностью (mtimes n), сформирована как матрица под названием (A^{T}) со следующими габаритами: (n times m), соответствующая такому выражению, которое можно вычислить:
(A_{{ij}}^{T}=A_{{ji}})
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Пример 1
({begin{bmatrix}1&2\3&4end{bmatrix}}^{{{mathrm {T}}}}!!;!=,{begin{bmatrix}1&3\2&4end{bmatrix}} и {begin{bmatrix}1&2\3&4\5&6end{bmatrix}}^{{{mathrm {T}}}}!!;!=,{begin{bmatrix}1&3&5\2&4&6end{bmatrix}};)
Исходя из данного определения и принципа построения матричных форм, можно прийти к выводу, что при записи транспонированной матрицы из начального массива данных, выстроенных в определенном порядке, строки нужно составить как колонки в аналогичной последовательности. Тогда получится необходимая матричная форма, которую далее можно решать при необходимости.
Свойства транспонированной матрицы, как найти
Задачи с матрицами обладают разной степенью сложности. Когда предстоит в процессе решения выполнить подобного рода преобразования такие, как транспонирование строчек и колонок матричной формы, можно воспользоваться простым алгоритмом операций. Данная последовательность действий позволит исключить ошибки при формировании обозначения нужной матрицы:
- проанализировать исходную запись данных;
- определить расположение строк и столбцов;
- изменить места колонок и строчек с помощью ранее записанной формулы (A_{ij} ^T = A_{ji});
- сформулировать ответ в соответствии с заданием.
Значительно упростить расчеты при работе с матричными формами помогут справедливые закономерности. Запишем ряд полезных свойств, применимых к примерам с транспонированием матрицы:
Свойства:
- Предположим, что у некоторой матрицы АА имеются следующие размеры: (m times n). В таком случае при транспонировании этих записей с данными получится матрица (A^T) , которая обладает размерами (n times m).
- Если выполнить рассматриваемое действие два раза подряд, то конечный результат не поменяется, а матрица останется в прежней форме.
- Допустимо переносить множитель за пределы транспонированной матричной формы. При этом целесообразно воспользоваться следующим соотношением: ((lambda cdot A)^T = lambda cdot A^T).
- Если пару матриц сложить, то их также можно транспонировать. С этой целью допустимо применить следующую закономерность: ((A+B)^T = A^T + B^T).
- Транспонирование выражения, в котором умножают матрицы, подразумевает умножение данных транспонированных матричных форм, то есть: ((A times B)^T = A^T times B^T.)
Пример 2
Рассмотрим процесс транспонирования пары матриц, которые имеют следующий вид:
(A = begin{pmatrix} 1&2&3\4&5&6\7&8&9 end{pmatrix})
(B = begin{pmatrix} 1&2&3\4&5&6end{pmatrix})
В процессе решения нужно воспользоваться определением данной математической операции и закономерностями, которые перечислены выше. В результате получим, что:
(A^T = begin{pmatrix} 1&2&3\4&5&6\7&8&9 end{pmatrix}^T = begin{pmatrix} 1&4&7\2&5&8\3&6&9 end{pmatrix}^T)
(В^T = begin{pmatrix} 1&2&3\4&5&6 end{pmatrix}^T = begin{pmatrix} 1&4\2&5\3&6 end{pmatrix}^T)
Как транспонировать матрицу в Excel
Многим знаком редактор MS Excel. Это функциональный компонент пакета Microsoft Office. Программа позволяет работать с разнообразными табличными формами. В числе полезных опций возможность выполнить транспонирование матрицы. Подобное действие целесообразно реализовать по средствам особой функции ТРАНСП(). Рассмотрим наглядный пример:
Источник: my-excel.ru
Заметим, что компоненты начальной матричной формы 2 на 2 размещены в поле от А7 до В8. В таком случае, чтобы транспонировать матрицу следует последовательно выполнить ряд простых действий, а именно:
- выделить ячейки площадью 2 на 2, которые не должны иметь какие-либо пересечения с начальным диапазоном А7:В8;
- в строке для ввода формул напечатать выражение: =ТРАНСП(A7:B8);
- нажать одновременно сочетание клавиш на клавиатуре CTRL+SHIFT+ENTER, то есть выполнить ввод выражения для массива.
Источник: my-excel.ru
Как транспонировать матрицу в Python
В распространенных случаях программирование начинают осваивать с высокоуровневого языка под названием Python. На его базе создаются разнообразные приложения, в том числе, для смартфонов, планшетов и других гаджетов, разрабатывают функциональные версии программного обеспечения, обучают машины определенным командам и алгоритмам. Разработчики оценивают Python с точки зрения достойной эффективности, простоте освоения, возможностей работы на разнообразных платформах. В нем также есть опции транспонирования матричных форм. Рассмотрим основные из таких методик.
Первым способом является применение NumPy transpose(). Данная библиотека предназначена для работы с массивами данных. Соответствующий метод по вызову реализует нужное действие:
Источник: pythonist.ru
Следующий способ транспонирования матричных форм заключается в применении метода numpy.transpose(). В процессе осуществляется передача матрицы как аргумента:
Источник: pythonist.ru
Если заранее импортировать в Python библиотеку SymPy, то можно достаточно просто выполнить транспонирование матричной формы. Последовательность операций:
- вызов transpose (T) с помощью точечного оператора;
- внесение итогов в новую переменную sympy_transpose;
- печать начальной матрицы matrix в следующей строке;
- запись транспонированной матричной формы в sympy_transpose.
Источник: pythonist.ru
Насколько полезной была для вас статья?
У этой статьи пока нет оценок.
Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»
Текст с ошибкой:
Расскажите, что не так
Поиск по содержимому
Заказать задачи по любым предметам можно здесь от 10 минут
Транспонирование матрицы
Для того, чтобы транспонировать матрицу достаточно поменять местами столбцы и строки в ней по формуле: $$ A_{ij} ^T = A_{ji} $$
Свойства:
- Пусть матрица $ A $ имеет размерность $ m times n $. Тогда после транспонирования матрица $ A^T $ получится размерности $ n times m $
- Транспонирование дважды оставляет матрицу без изменения $ (A^T)^T = A $
- Из транспонированной матрицы можно вынести множитель $ (lambda cdot A)^T = lambda cdot A^T $
- Транспонирование суммы двух матриц равно сумме транспонированных матриц $ (A+B)^T = A^T + B^T $
- Транспонирование произведения матриц равно произведению транспонированных матриц в обратном порядке $ (A times B)^T = B^T times A^T $
| Пример |
|
Транспонировать матрицу $$ a) A = begin{pmatrix} 1&2&3\4&5&6\7&8&9 end{pmatrix} $$ $$ b) B = begin{pmatrix} 1&2&3\4&5&6end{pmatrix} $$ |
| Решение |
|
Меняем строки и столбцы в матрицах местами, получаем в результате: $$ a) A^T = begin{pmatrix} 1&2&3\4&5&6\7&8&9 end{pmatrix}^T = begin{pmatrix} 1&4&7\2&5&8\3&6&9 end{pmatrix}^T $$ $$ b) A^T = begin{pmatrix} 1&2&3\4&5&6 end{pmatrix}^T = begin{pmatrix} 1&4\2&5\3&6 end{pmatrix}^T $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
|
$$ a) A^T = begin{pmatrix} 1&4&7\2&5&8\3&6&9 end{pmatrix}^T $$ $$ b) A^T = begin{pmatrix} 1&4\2&5\3&6 end{pmatrix}^T $$ |