Как составить уравнение движения по графику физика

Прямолинейное равномерное движение на координатной прямой
Уравнение прямолинейного равномерного движения
Удобная система отсчета для решения задачи о прямолинейном движении
График движения x=x(t)
Как найти уравнение движения по графику движения?
График скорости v_x=v_x(t)
Как найти путь и перемещение по графику скорости?
Задачи

п.1. Прямолинейное равномерное движение на координатной прямой

Система отсчета, с помощью которой можно описать прямолинейное движение состоит из:
1) тела отсчета; 2) координатной прямой; 3) часов для отсчета времени.
Пусть телом отсчета будет дом.
В начальный момент времени машина стоит в 20 м справа от дома.

Рассмотрим движение машины со скоростью 10 м/с вправо.
Направим координатную прямую параллельно вектору скорости, вправо.

Составим таблицу перемещений за первые 4 секунды:

t, c	0	1	2	3	4
x, м	20	30	40	50	60

Стартуя с точки x₀=20, машина каждую секунду удаляется от дома еще на 10 м.
Пройденный путь за 2 секунды – 10·2=20 м, за 3 секунды – 10·3=30 м, за t секунд s=vt метров. Значит, для произвольного времени t можем записать координату x в виде: begin{gather*} x=x_0+s=x_0+vt\ x=20+10t end{gather*}

Если при тех же начальных условиях и направлении координатной прямой машина будет двигаться влево, получим таблицу:

t, c	0	1	2	3	4
x, м	20	10	0	-10	-20

В этом случае координата x в любой момент времени t имеет вид: begin{gather*} x=x_0-st=x_0-vt\ x=20-10t end{gather*} Если же машина никуда не едет, её скорость v=0, и координата x=x₀ в любой момент времени t.

п.2. Уравнение прямолинейного равномерного движения

Основная задача механики – уметь определять положение тела в пространстве в любой момент времени.

Зависимость координаты тела от времени в механике называют уравнением движения.
Если уравнение движения известно, то мы можем решить основную задачу механики.

Назовем проекцией вектора скорости (overrightarrow{x}) на параллельную ему ось координат OX величину (v_x=pm|overrightarrow{v}|=pm v).
Знак проекции определяется следующим правилом:

если направление вектора (overrightarrow{v}) совпадает с направлением оси OX, то (v_x=vgt 0)
если направление вектора (overrightarrow{v}) противоположно направлению оси OX, то (v_x=-vlt 0)

В любой момент времени t координата тела x(t) при прямолинейном равномерном движении описывается уравнением: $$ x(t)=x_0+v_x t $$ где (x_0) — координата в начальный момент времени, (v_x) — проекция вектора скорости движения.

Проекция перемещения (overrightarrow{r}) на параллельную ему ось координат OX в любой момент времени t определяется формулой: $$ triangle x=x(t)-x_0 $$ Знак (triangle x) указывает на направление совершенного перемещения:

если (triangle xgt 0), перемещение (overrightarrow{r}) произошло в направлении оси OX;
если (triangle xlt 0), перемещение (overrightarrow{r}) произошло противоположно направлению оси OX.

п.3. Удобная система отсчета для решения задачи о прямолинейном движении

При решении задачи можно выбрать различные тела отсчета и связать с ними различные системы координат. Как правило, некоторая система отсчета является наиболее удобной для решения данной задачи в том смысле, что в ней уравнение движения выглядит и решается проще, чем в других системах.

При решении задач на прямолинейное движение телом отсчета может быть неподвижная поверхность (земля, пол, стол и т.п.), само движущееся тело или другое тело.
При этом системой координат является координатная прямая, параллельная направлению движения (вектору перемещения) тела, уравнение движения которого мы хотим получить.

Прямолинейное движение описывается с помощью координатной прямой, параллельной направлению движения тела.

Проекции скорости и перемещения на координатную прямую могут быть положительными, равными нулю или отрицательными. Величины скорости и перемещения будут равны длинам соответствующих проекций.

п.4. График движения x=x(t)

Сравним полученное уравнение движения (x(t)=x_0+v_x t) с уравнением прямой (y(x)=kx+b) (см. §38 справочника по алгебре для 7 класса).

В уравнении движения роль углового коэффициента (k) играет проекция скорости (v_x), а роль свободного члена (b) – начальная координата (x_0).

В осях (t) и (x) график (x(t)=x_0+v_x t) является прямой.
Эта прямая:

возрастает, если (v_xgt 0)
убывает, если (v_xlt 0)
постоянна (параллельна оси (t)), если (v_x= 0)

Построим графики зависимости координаты от времени для нашего примера:

x=20+10t — машина движется вправо (в направлении оси OX)
x=20-10t — машина движется влево (в направлении, противоположном оси OX)
x=20 — машина стоит

п.5. Как найти уравнение движения по графику движения?

Шаг 1. Выбрать на прямой любые две точки (A(t_1,x_1)) и (B(t_2,x_2)).
Шаг 2. Найти проекцию скорости как отношение: $$ v_x=frac{x_2-x_1}{t_2-t_1}=frac{triangle x}{triangle t} $$ Шаг 3. Найти начальную координату по одной из формул: $$ x_0=x_1-v_x t_1 text{или} x_0=x_2-v_x t_2 $$ Шаг 4. Записать найденное уравнение движения: $$ x(t)=x_0+v_x t $$

п.6. График скорости v_x=v_x(t)

В осях (t) и (x) график (v_x(t)=v_x=const) является прямой, параллельной оси (t).
Эта прямая:

расположена над осью (t), если (v_xgt 0)
расположена под осью (t), если (v_xlt 0)
совпадает с осью (t), если (v_x=0)

Для рассмотренного примера:

Внимание!
В отличие от алгебры, в физике масштабы на осях, как правило, разные.
Поэтому обязательно нужно:
1) указывать обозначения и единицы измерения физических величин, которым соответствуют оси графика;
2) подбирать масштабы так, чтобы с графиком было удобно работать.

п.7. Как найти путь и перемещение по графику скорости?

Пусть тело движется прямолинейно равномерно, зависимость его координаты от времени описывается уравнением: $$ x(t)=x_0+v_x t $$ Тогда в некоторый момент времени (t_1) координата равна (x_1=x_0+v_x t_1).
Несколько позже, в момент времени (t_2gt t_1) координата равна (x_2=x_0+v_x t_2).
Если (v_xgt 0), то пройденный за промежуток времени (triangle t=t_2-t_1) путь равен разности координат: $$ s=x_2-x_1=(x_0+v_x t_2)-(x_0+v_x t_1)=x_0-x_0+v_x (t_2-t_1)=v_x triangle t $$ В общем случае, т.к. (v_x) может быть и отрицательным, а путь всегда положительный, в формуле нужно поставить модуль: $$ s=|v_x|triangle t $$
Изобразим полученное соотношение на графике скорости:

На графике скорости путь, пройденный за промежуток времени (triangle t=t_2-t_1) равен площади прямоугольника, длина которого равна (triangle t), а ширина (triangle |v_x|): $$ s=|v_x|triangle t $$

Проекция скорости (v_x) может быть не только положительной, но и отрицательной.
Если учитывать знак, то произведение: $$ triangle x=v_x triangle t $$ дает проекцию перемещения на ось OX. Знак этого произведения указывает на направление перемещения.

На графике скорости проекция перемещения на ось OX за промежуток времени (triangle t=t_2-t_1) равна площади (v_xtriangle t), с учетом знака: $$ triangle x=v_xtriangle t $$

Проекция перемещения может быть как положительной, так и отрицательной или равной 0.

п.8. Задачи

Задача 1. Спортсмен бежит по прямолинейному участку дистанции с постоянной скоростью 8 м/с. Примите (x_0=0) и запишите уравнение движения.
а) Постройте график движения (x=x(t)) и найдите с его помощью, сколько пробежит спортсмен за (t_1=5 с), за (t_2=10 с);
б) постройте график скорости (v=v(t)) и найдите с его помощью, какой путь преодолеет спортсмен за промежуток времени (triangle t=t_2-t_1)?

По условию (x_0=0, v_x=8).
Уравнение движения: (x=x_0+v_x t=0+8t=8t)
а) Строим график прямой (x=8t) по двум точкам:

По графику находим: begin{gather*} x_1=x(5)=8cdot 5=40 text{(м)}\ x_2=x(10)=8cdot 10=80 text{(м)} end{gather*}
б) Скорость (v_x=8) м/с — постоянная величина, её график:

$$ t_1=5 с, t_2=10 с $$ Пройденный путь за промежуток времени (triangle t=t_2-t_1) равен площади заштрихованного прямоугольника: $$ s=v_x triangle t=8cdot (10-5)=40 text{(м)} $$ Ответ: а) 40 м и 80 м; б) 40 м

Задача 2. Космический корабль движется прямолинейно с постоянной скоростью.
Известно, что через 1 час после старта корабль находился на расстоянии 38 тыс.км от астероида Веста, а через 2 часа после старта – на расстоянии 56 тыс.км.
а) постройте график движения корабля, найдите по графику уравнение движения.
б) на каком расстоянии от астероида находился корабль в начальный момент времени?
в) на каком расстоянии от астероида будет находиться корабль через 4 часа после старта?
г) чему равна скорость корабля в километрах в секунду?

а) Будем откладывать время в часах, а расстояние в тыс.км
Отмечаем точки A(1;38) и B(2;56), проводим через них прямую.
Полученная прямая и есть график движения (x=x(t)).

Найдем скорость корабля (v_x): $$ v_x=frac{x_2-x_1}{t_2-t_1}=frac{56-38}{2-1}=18 (text{тыс.км/ч}) $$ Найдем начальную координату (x_0): $$ x_0=x_1-v_x t_1=38-18cdot v_1=20 (text{тыс.км/ч}) $$ Получаем уравнение движения: $$ x(t)=x_0+v_x t, x(t)=20+18t $$ где (x) – в тыс.км, а (t) – в часах.

б) В начальный момент времени корабль находился на расстоянии (x_0=20) тыс.км от астероида.

в) Через 4 часа после старта корабль будет находиться на расстоянии $$ x(4)=20+18cdot 4=92 (text{тыс.км}) $$
г) Переведем скорость в км/с: $$ 18000frac{text{км}}{text{ч}}=frac{18000 text{км}}{1 text{ч}}=frac{18000 text{км}}{3600 text{c}}=5 text{км/c} $$ Ответ:
а) (x(t)=20+18t) ((x) в тыс.км, (t) в часах); б) 20 тыс.км; в) 92 тыс.км; г) 5 км/с

Источник

Задачи по физике — это просто!

Не забываем, что решать задачи надо всегда в системе СИ!

А теперь к задачам!

Элементарные задачи из курса школьной физики по кинематике.

Задача на составление описания движения и составление уравнения движения по заданному графику движения

Дано: график движения тела

Найти:
1. составить описание движения
2. составить уравнение движения тела.

Проекцию вектора скорости определяем по графику, выбрав любой удобный для рассмотрения отрезок времени.
Здесь удобно взять t=4c

Составляем уравнение движения тела:

Записываем формулу уравнения прямолинейного равномерного движения.

Подставляем в нее найденный коэффициент V_x (не забываем о минусе!).
Начальная координата тела (X_о) соответствует началу графика, тогда X_о=3

Составляем описание движения тела:

Желательно сделать чертеж, это поможет не ошибиться!
Не забываем, что все физические величины имеют единицы измерения, их необходимо указывать!

Тело движется прямолинейно и равномерно из начальной точки X_о=3м со скоростью 0,75 м/с противоположно направлению оси X.

Задача на определение места и времени встречи двух движущихся тел (при прямолинейном равномерном движении)

Движение тел задано уравнениями движения для каждого тела.

Дано:
1. уравнение движения первого тела
2. уравнение движения второго тела

Найти:
1. координату места встречи
2. момент время (после начала движения), когда произойдет встреча тел

По заданным уравнениям движения строим графики движения для каждого тела в одной системе координат.

Точка пересечения двух графиков движения определяет:

1. на оси t — время встречи ( через сколько времени после начала движения произойдет встреча)
2. на оси X — координату места встречи (относительно начала координат)

В результате:

Два тела встретятся в точке с координатой -1,75 м через 1,25 секунд после начала движения.

Для проверки полученных графическим способом ответов можно решить систему уравнений из двух заданных
уравнений движения:

Для тех, кто почему-то забыл, как построить график прямолинейного равномерного движения:

График движения — это линейная зависимость ( прямая), строится по двум точкам.
Выбираем два любых удобных для простоты расчета значения t₁ и t₂.
Для этих значений t подсчитываем соответствующие значения координат X₁ и X₂.
Откладываем 2 точки с координатами (t₁, X₁) и (t₂, X₂) и соединяем их прямой — график готов!

Задачи на составление описания движения тела и построение графиков движения по заданному уравнению прямолинейного равномерного движения

Задача 1

Дано: уравнение движения тела

Найти:
1. составить описание движения
2. построить график движения

Заданное уравнение сравниваем с формулой и определяем коэффициенты.
Не забываем делать чертеж, чтобы еще раз обратить внимание на направление вектора скорости.

Задача 2

Дано: уравнение движения тела

Найти:
1. составить описание движения
2. построить график движения

Задача 3

Дано: уравнение движения тела

Найти:
1. составить описание движения
2. построить график движения

Задача 4

Дано: уравнение движения тела

Найти:
1. составить описание движения
2. построить график движения

Тело находится в состоянии покоя в точке с координатой X=4м (состояние покоя — это частный случай движения, когда скорость тела равна нулю).

Задача 5

Дано:
начальная координата движущейся точки xo=-3 м
проекция вектора скорости Vx=-2 м/с

Найти:
1. записать уравнение движения
2. построить график движения
3. показать на чертеже векторы скорости и перемещения
4. найти координату точки через 10 секунд после начала движения

Как составить уравнение движения по графику физика

1 мин = 60 с; 1 ч = 3600 с; 1 км = 1000 м; 1 м/с = 3,6 км/ч.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

Типовая задача «Уравнение координаты (нахождение неизвестной величины)»

Задача № 1. В начальный момент времени тело находилось в точке с координатой 5 м, а через 2 мин от начала движения — в точке с координатой 95 м. Определите скорость тела и его перемещение.

Типовая задача «Уравнение координаты. Движение двух тел»

Задача № 2. Движение двух тел задано уравнениями x₁ = 20 – 8t и х₂ = –16 + 10t (время измеряется в секундах, координата — в метрах). Определите для каждого тела начальную координату, проекцию скорости, направление скорости. Вычислите время и место встречи тел.

Типовая задача «График координаты»

Задача № 3. Движение тела задано графиком координаты (зависимости координаты от времени). По графику определите: а) начальную координату тела; б) проекцию скорости тела; в) направление движения тела (по оси х или против оси х); г) запишите уравнение координаты.

Типовая задача «График координаты. Движение нескольких тел»

Задача № 4. На рисунке изображены графики движения трех тел. Изучив рисунок, для каждого тела определите: а) начальную координату; б) скорость; в) направление движения; г) запишите уравнение координаты.

ЗАДАЧИ ПОСЛОЖНЕЕ

Задача № 5. На рисунке представлены графики зависимости координаты х от времени t для пяти тел. Определите скорости этих тел. Проанализируйте точки пересечения графиков. Постройте графики зависимости скорости от времени.

РЕШЕНИЕ:

Задача № 6. По графикам на рисунке напишите уравнения движения x = x(t) . Из уравнений и графиков найдите координаты тел через 5 с , скорости движения тел, время и место встречи второго и третьего тел.

РЕШЕНИЕ:

Задача № 7. ОГЭ Расстояние ( S ) между городами М и К = 250 км . Одновременно из обоих городов навстречу друг другу выезжают автомашины. Машина из города М движется со скоростью = 60 км/ч , из города К — со скоростью ν₂ = 40 км/ч . Построить график зависимости пути от времени для каждой из машин и по ним определить место встречи и время их движения до встречи.

Задача № 8. ЕГЭ Скорость течения реки v_p = 1 м/с , скорость лодки относительно воды v₀ = 2 м/с . Под каким углом к берегу следует держать курс, чтобы лодка двигалась перпендикулярно берегу? За какое время t она переправится через реку, ширина которой d = 200 м ?

Алгоритм решения ЗАДАЧИ на Прямолинейное равномерное движение.

Задачи, описывающие движение, содержат два типа величин: векторные (имеющие направление) и скалярные (выражающиеся только числом). К векторным величинам при описании равномерного прямолинейного движения относятся скорость и перемещение.

Для перехода от векторов к скалярам выбирают координатную ось и находят проекции векторов на эту ось, руководствуясь следующим правилом: если вектор сонаправлен с осью, то его проекция положительна, если противоположно направлен — отрицательна. (Могут быть и более сложные случаи, когда вектор не параллелен координатной оси, а направлен к ней под некоторым углом.) Поэтому при решении задачи обязательно нужно сделать чертеж, на котором изобразить направления всех векторов и координатную ось. При записи «дано» следует учитывать знаки проекций.

При решении задач все величины должны выражаться в международной системе единиц (СИ), если нет специальных оговорок.

В решении задачи единицы величин не пишутся, а записываются только после найденного значения величины.

Это конспект по теме «ЗАДАЧИ на Прямолинейное равномерное движение с решениями». Выберите дальнейшие действия:

Уравнение движения, графики равномерного прямолинейного движения

п.1. Прямолинейное равномерное движение на координатной прямой

Составим таблицу перемещений за первые 4 секунды:

t, c	0	1	2	3	4
x, м	20	30	40	50	60

t, c	0	1	2	3	4
x, м	20	10	0	-10	-20

В этом случае координата x в любой момент времени t имеет вид: begin x=x_0-st=x_0-vt\ x=20-10t end Если же машина никуда не едет, её скорость v=0, и координата x=x₀ в любой момент времени t.

п.2. Уравнение прямолинейного равномерного движения