Как составить уравнение фигуры

Уравнение фигуры  — это уравнение с двумя переменными x и y, для которого выполняются два условия: 1) координаты любой точки фигуры F удовлетворяют этому уравнению.

Содержание:

1. Понятие уравнения фигур
2. Уравнение прямой
3. Уравнения окружности и сферы

Понятие уравнения фигур

Название этого раздела означает: геометрические фигуры можно задавать уравнениями (некоторые фигуры можно задавать неравенствами).

Известно, что точки плоскости и пространства задаются их координатами, геометрические фигуры могут задаваться уравнениями или неравенствами: — уравнение прямой; — уравнение окружности; — уравнение сферы и т. д.

Говорят, что фигура F задается уравнением в прямоугольных координатах, если точка принадлежит фигуре F тогда и только тогда, когда координаты этой точки удовлетворяют данному уравнению. Это означает, что выполняются два условия:

1.    Если точка принадлежит фигуре F, то ее координаты удовлетворяют данному уравнению.

2.    Если числа х, у, г удовлетворяют данному уравнению, то точка с такими координатами принадлежит фигуре F.

Второе условие можно выразить иначе: координаты любой точки, не принадлежащей фигуре F, не удовлетворяют данному уравнению.

Например, прямая, перпендикулярная оси Ох и проходящая через точку М(2, 0), на оси Ох задается уравнением х = 2 (рис. 2.461). Действительно, каждая точка, лежащая на этой прямой, имеет одну и ту же координату 2. А любая точка, не лежащая на этой прямой, имеет другое значение координаты х, нежели 2. Ось Оу задается уравнением х = 0.

Аналогично прямая, перпендикулярная оси Оу и проходящая через точку Щ0, 3), имеет уравнение у = 3 (рис. 2.462). Ось Ох имеет уравнение у = 0.

Уравнение прямой

Можно доказать такую теорему.

Теорема 3. Любая прямая в декартовой системе координат хОу имеет уравнение вида  — некоторые числа.

Выясним, как расположена прямая относительно осей координат, если ее уравнение  имеет тот или иной частный вид.

1. В этом случае уравнение прямой можно переписать так:

Таким образом, все точки прямой имеют одну и ту же ординату ; следовательно, прямая параллельна оси х (рис. 2.463). В частности, если с = 0, то прямая совпадает с осью Ох.

2.  Этот случай рассматривается аналогично. Прямая параллельна оси Оу (рис. 2.464) и совпадает с ней, если и с = 0.

3. с = 0. Прямая проходит через начало координат, так как его координаты (0; 0) удовлетворяют уравнению прямой (рис. 2.465).

Если в общем уравнении прямой коэффициент при у не равен нулю, то это уравнение можно разрешить относительно у. Получим:  Или, обозначая  получим: у = kх + d.

Коэффициент k в уравнении прямой с точностью до знака равен тангенсу острого угла, который образует прямая с осью Ох. В уравнении прямой, изображенной на рисунке 2.466, k > 0.

Коэффициент k в уравнении прямой называют угловым коэффициентом прямой.

Уравнения окружности и сферы

Составим уравнение окружности с центром в точке и радиусом R (рис. 2.467).

1.    Возьмем произвольную точку А(х, у) на окружности. Расстояние от нее до центра О равно R.

2.    Квадрат расстояния от точки А до точки О равен  (формула расстояния между точками).

3.    Координаты х, у каждой точки А окружности удовлетворяют уравнению

(2, определение окружности).

Получили искомое уравнение. Обратно: любая точка А, координаты которой удовлетворяют уравнению окружности, принадлежит окружности, так как расстояние от нее до точки О равно R. Отсюда следует, что данное уравнение действительно является уравнением окружности с центром в точке О и радиусом R.

Заметим, что если центром окружности является начало координат, то уравнение окружности имеет вид:

Выведем теперь уравнение сферы. Пусть в пространстве введена прямоугольная система координат и задана сфера S с центром и радиусом R. Эта сфера есть множество точек М, для которых расстояние от А равно R, т. е. AM = R (рис. 2.468).

Пусть х, у, z — координаты точки М. Согласно формуле расстояния между точками в пространстве, предыдущее равенство можно записывать в координатах так:

или

Это и есть уравнение сферы S с центром и радиусом R, т. е. множество точек, координаты которых удовлетворяют данному уравнению, представляет собой сферу S (рис. 2.468).

Если центр А находится в начале координат, т. е. то уравнение получает простой вид:

Рассмотрим шар с центром и радиусом R (рис. 2.469).

По определению, это множество точек М, для которых , т. е. . Выражая расстояние AM через координаты точки М(х, у, z), получим:

Это неравенство задает шар S с центром и радиусом R, так как оно равносильно неравенству , задающему такой шар по самому его определению.

Если центр шара находится в начале координат, то уравнение шара упрощается и имеет вид:

Пример 1.

Два предприятия A и В производят продукцию с одной и той же ценой т за одно изделие. Однако автопарк, обслуживающий предприятие А, оснащен более современными и более мощными грузовыми автомобилями. В результате транспортные расходы на перевозку одного изделия составляют для предприятия А 10 руб. на 1 км, а для предприятия В 20 руб. на 1 км. Расстояние между предприятиями 300 км. Как территориально должен быть разделен рынок сбыта между двумя предприятиями для того, чтобы расходы потребителей при покупке изделий были минимальными?

Решение:

1.    Выберем систему координат так, чтобы ось Ох проходила через пункты А и В, а ось Оу — через точку А (построение) (рис. 2.470).

2.    Пусть N — произвольная точка, — расстояния от точки N до предприятий А и Б (рис. 2.471).

3.    При доставке груза из пункта А расходы равны (1,2).

4.    При доставке груза из пункта Б расходы равны (1,2).

5.    Если для пункта N выгоднее доставлять груз с предприятия А, то  откуда , в обратном случае получим  (3,4).

6.    Таким образом, границей этих двух областей для каждой точки, до которой расходы на перевозку груза из пунктов А и Б равны, будет множество точек плоскости, удовлетворяющих уравнению  (5)

7.    Выразим через координаты:

(1,2, формула расстояния между точками).

8.    Имея в виду равенство из п. 6, получим:

(6,7).

9. Это есть уравнение окружности (рис. 2.472).

Следовательно, для всех пунктов, попадающих во внутреннюю область круга, выгоднее привозить груз из пункта В, а для всех пунктов, попадающих во внешнюю часть круга, — из пункта А.

Пример 2.

Два наблюдаемых пункта находятся в точках Пункт наблюдения О находится на прямой АВ и удален от точки А на расстояние км, а от В на расстояние с км (с > ). Наблюдатель для безопасности должен идти по такому пути, чтобы расстояние от него до пункта А все время оставалось в два раза больше, чем расстояние от него до пункта В. По какой линии должен идти наблюдатель?

Решение:

Из условий задачи имеем:

1.    Два наблюдаемых пункта находятся в точках

2.    Пункт наблюдения О находится на прямой АВ и удален от А на расстоянии км, а от В — с км (с > ).

3.    Наблюдатель идет так, чтобы расстояние до пункта А было в два раза больше, чем до В.

4.    По какой линии должен идти наблюдатель?

5. Примем за начало координат наблюдательный пункт О и направление оси Ох будет проходить через пункты А и В (по условию задачи эти три точки находятся на одной прямой) (рис. 2.473).

6. Пусть наблюдатель находится в точке М(х, у). Вычислим расстояние от наблюдателя до пунктов А и В (рис. 2.473):

(1, 2, 3, 5, формула расстояния между точками).

7.    По условию задачи имеем: МА = 2MB, т. е.

   (3, 6).

8.    Решая это уравнение, получим:

9.    Раскроем скобки и перегруппируем:

10.    Наблюдатель должен идти по окружности с центром и радиусом  (4, уравнение окружности).

Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»:

• Математика решение заданий и задач

Смотрите также дополнительные лекции по предмету «Математика»:

Литература:
[8], гл.2, §2, стр. 184–195; [11], гл. 4, § 4.1, стр.
335–348; [27], гл.6, § 57-58, стр. 204-211.

Основные
определения, теоремы и формулы

Уравнение
(неравенство) или система уравнений
(неравенств), которому удовлетворяют
координаты любой точки фигуры
и не удовлетворяют координаты точки,
не принадлежащей ей, называетсяуравнением(неравенством),определяющим фигурув данной системе координат. Уравнение,
определяющее фигуру,
называют такжеуравнением фигуры.

При
выводе уравнения любой фигуры целесообразно
действовать в следующей последовательности:

1.
Символически записать рассматриваемую
фигуру, как множество точек в следующем
виде:
,
где вместо многоточия символически
записывается характеристическое
свойство точек фигуры.

Например,
если
окружность
с центром в точкерадиуса,
то следовало бы записать так:

2.
Определить, является ли характеристическое
свойство аффинным или метрическим.

3.
Если свойство является аффинным, то
выбирать удобную аффинную систему
координат. Если свойство метрическое
– прямоугольную систему координат.

4.
Считая координаты точки
произвольными,
записать характеристическое свойство
на языке координат. Это и будет уравнением
фигуры.

Пример.
Описать фигуру, для каждой точки
которой сумма квадратов расстояний до
трех данных взаимно перпендикулярных
прямых постоянна.

Решение.
Составим уравнение искомой фигурыи по виду уравнения определим ее вид.

Пусть
–
данные в условии задачи плоскости. Тогда

.

Характеристическое
свойство точек фигуры является
метрическим, поэтому необходимо выбрать
прямоугольную систему координат. Примем
плоскости
за координатные плоскостиТогда для точкихарактеристическое свойство примет
видЗначит–
есть сфера с центром в точке пересечения
плоскостей,
радиус которой равен

Вопросы
для самоконтроля

1.
Что называют условием, определяющим
фигуру Фв данной системе координат?
Что называется уравнением фигурыФ?

2.
Какая фигура задаётся в прямоугольной
декартовой системе координат уравнением:

а)
(х – а)² + (y — b)²
+ (z — c)² = r², r
> 0,

б)
x² + y²
+ z² + Ax
+ By + +Cz
+ D = 0?

3.
Фигуры Ф₁иФ₂имеют в некоторой системе координат
уравненияF₁(x, y, z) = 0
иF₂(x, y, z) = 0. Какая
фигура определяется каждым из следующих
условий:

а)
F₁(x, y, z) ¹
0, б)F₁(x, y, z)×
F₂(x, y, z) = 0,

в)
F₁²(x, y, z) + F₂²(x,
y, z) = 0,

г)
системой уравнений F₁(x, y, z)
= 0,F₂(x, y, z) = 0, д)

4.
Дана аффинная система координат О.
Написать уравнения её:

а)
координатных плоскостей, б) координатных
осей. Какая фигура определяется уравнением

5.
Какой вид имеют формулы преобразования
аффинных систем координат? Как получить
уравнение фигуры Фв новых координатах,
если известно её уравнениеF(x, y, z)=0
в старой системе координат?

6.
Как получить уравнение сферы радиуса
r > 0 с центром в начале координатОв декартовой системе координатО,
если известно, что

Задачи

1.
Какая фигура задаётся уравнением:

а)
x² + y² + z²
= r², r > 0;

б)
x² + y² + z²
– r² +

в)
х = 0,

г)

д)

е)
x² + y² + z²
– 6x + 8y + 2z + 10 = 0?

2.
Найти множество всех точек пространства,
для каждой из которых:

а)
сумма квадратов расстояний до двух
данных точек АиВ
есть постоянная величинас²,

б)
разность квадратов расстояний до точек
АиВ есть
постоянная величинас².

3.
Найти множество всех точек пространства,
для каждой из которых отношение расстояний
до данных точек АиВ равно
отношению данных отрезковm иn,гдеm ¹
n.

4.
Доказать, что плоскости, проходящие
через биссектрисы плоских углов
трёхгранного угла перпендикулярно к
граням этих углов, пересекаются по одной
прямой.

Домашнее
задание

1.
Найти множество всех точек пространства,
каждая из которых равноудалена от двух
данных точек А иВ.

2.
Доказать, что диагональ АС₁параллелепипедаАВСDA₁B₁C₁D₁делится плоскостямиBDA₁иB₁D₁Cна три равные части.

3.
Доказать, что сумма квадратов площадей
шести диагональных сечений параллелепипеда
в два раза больше суммы квадратов
площадей всех его граней.

4.
Прямая образует равные углы с ребрами
трехгранного угла, все плоские углы
которого прямые. Найти косинусы этих
углов.

5.
Доказать, что противоположные ребра
правильного тетраэдра взаимно
перпендикулярны.

Задачи
повышенной трудности

1.
Доказать, что все высоты тетраэдра
пересекаются в одной точке тогда и
только тогда, когда суммы квадратов его
противоположных ребер равны.

2.
Доказать, что точки
лежат на одной прямой, если их радиус-векторыудовлетворяют
равенству

3.
Доказать, что грани
итетраэдраравновелики тогда и только тогда, когда
общий перпендикуляр прямыхипроходит через середину ребра

4.
Докажите, что плоскость, в которой лежат
проекции
на
плоскости координат, делит отрезок,
соединяющийс
началом координат, в отношении, не
зависящем от положения точки.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #