Как составить уравнение горизонтальной асимптоты графика последовательности yn

Как составить уравнение горизонтальной асимптоты графика последовательности yn

Вопрос по алгебре:

Составьте уравнение горизонтальной асимптоты графика последовательности yn=4+1/n+2/n^2

Трудности с пониманием предмета? Готовишься к экзаменам, ОГЭ или ЕГЭ?

Воспользуйся формой подбора репетитора и занимайся онлайн. Пробный урок — бесплатно!

Ответы и объяснения 1

Знаете ответ? Поделитесь им!

Как написать хороший ответ?

Чтобы добавить хороший ответ необходимо:

• Отвечать достоверно на те вопросы, на которые знаете правильный ответ;
• Писать подробно, чтобы ответ был исчерпывающий и не побуждал на дополнительные вопросы к нему;
• Писать без грамматических, орфографических и пунктуационных ошибок.

Этого делать не стоит:

• Копировать ответы со сторонних ресурсов. Хорошо ценятся уникальные и личные объяснения;
• Отвечать не по сути: «Подумай сам(а)», «Легкотня», «Не знаю» и так далее;
• Использовать мат — это неуважительно по отношению к пользователям;
• Писать в ВЕРХНЕМ РЕГИСТРЕ.

Есть сомнения?

Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует? Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие вопросы в разделе Алгебра.

Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи — смело задавайте вопросы!

Алгебра — раздел математики, который можно нестрого охарактеризовать как обобщение и расширение арифметики.

Асимптоты

п.1. Понятие асимптоты

Различают вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.
Например:

п.2. Вертикальная асимптота

Таким образом, практически каждой точке разрыва 2-го рода (см. §40 данного справочника) соответствует вертикальная асимптота.
Вертикальных асимптот может быть сколько угодно, в том числе, бесконечное множество (например, как у тангенса – см. §6 данного справочника).

Например:
Исследуем непрерывность функции (y=frac<1><(x-1)(x+3)>)
ОДЗ: (xne left<-3;1right>)
(left\notin D) — точки не входят в ОДЗ, подозрительные на разрыв.
Исследуем (x_0=-3). Найдем односторонние пределы: begin lim_frac<1><(x-1)(x+3)>=frac<1><(-3-0-1)(-3-0+3)>=frac<1><-4cdot(-0)>=+infty\ lim_frac<1><(x-1)(x+3)>=frac<1><(-3+0-1)(-3+0+3)>=frac<1><-4cdot(+0)>=-infty end Односторонние пределы не равны и бесконечны.
Точка (x_0=-3) — точка разрыва 2-го рода.
Исследуем (x_1=1). Найдем односторонние пределы: begin lim_frac<1><(x-1)(x+3)>=frac<1><(1-0-1)(1-0+3)>=frac<1><-0cdot 4>=-infty\ lim_frac<1><(x-1)(x+3)>=frac<1><(1+0-1)(1+0+3)>=frac<1><+0cdot 4>=+infty end Односторонние пределы не равны и бесконечны.
Точка (x_1=1) — точка разрыва 2-го рода.
Вывод: у функции (y=frac<1><(x-1)(x+3)>) две точки разрыва 2-го рода (left\), соответственно – две вертикальные асимптоты с уравнениями (x=-3) и (x=1).

п.3. Горизонтальная асимптота

Число горизонтальных асимптот не может быть больше двух.

Например:
Исследуем наличие горизонтальных асимптот у функции (y=frac<1><(x-1)(x+3)>)
Ищем предел функции на минус бесконечности: begin lim_frac<1><(x-1)(x+3)>=frac<1><(-infty)(-infty)>=+0 end На минус бесконечности функция имеет конечный предел (b=0) и стремится к нему сверху (о чем свидетельствует символическая запись +0).
Ищем предел функции на плюс бесконечности: begin lim_frac<1><(x-1)(x+3)>=frac<1><(+infty)(+infty)>=+0 end На плюс бесконечности функция имеет тот же конечный предел (b=0) и также стремится к нему сверху.
Вывод: у функции (y=frac<1><(x-1)(x+3)>) одна горизонтальная асимптота (y=0). На плюс и минус бесконечности функция стремится к асимптоте сверху.

Итоговый график асимптотического поведения функции (y=frac<1><(x-1)(x+3)>):

п.4. Наклонная асимптота

Число наклонных асимптот не может быть больше двух.

Чтобы построить график асимптотического поведения, заметим, что у функции (y=frac), очевидно, есть вертикальная асимптота x=1. При этом: begin lim_frac=-infty, lim_frac=+infty end

График асимптотического поведения функции (y=frac):

п.5. Алгоритм исследования асимптотического поведения функции

На входе: функция (y=f(x))
Шаг 1. Поиск вертикальных асимптот
Исследовать функцию на непрерывность. Если обнаружены точки разрыва 2-го рода, у которых хотя бы один односторонний предел существует и бесконечен, сопоставить каждой такой точке вертикальную асимптоту. Если таких точек не обнаружено, вертикальных асимптот нет.
Шаг 2. Поиск горизонтальных асимптот
Найти пределы функции на плюс и минус бесконечности. Каждому конечному пределу сопоставить горизонтальную асимптоту. Если оба предела конечны и равны, у функции одна горизонтальная асимптота. Если оба предела бесконечны, горизонтальных асимптот нет.
Шаг 3. Поиск наклонных асимптот
Найти пределы отношения функции к аргументу на плюс и минус бесконечности.
Каждому конечному пределу k сопоставить наклонную асимптоту, найти b. Если только один предел конечен, у функции одна наклонная асимптота. Если оба значения k конечны и равны, и оба значения b равны, у функции одна наклонная асимптота. Если оба предела для k бесконечны, наклонных асимптот нет .
На выходе: множество всех асимптот данной функции.

п.6. Примеры

Пример 1. Исследовать асимптотическое поведение функции и построить схематический график:
a) ( y=frac<4x> )
1) Вертикальные асимптоты
Точки, подозрительные на разрыв: (x=pm 1)
Односторонние пределы в точке (x=-1) begin lim_frac<4x><(x+1)(x-1)>=frac<4(-1-0)><(-1-0+1)(-1-0-1)>=frac<-4><-0cdot(-2)>=-infty\ lim_frac<4x><(x+1)(x-1)>=frac<4(-1+0)><(-1+0+1)(-1+0-1)>=frac<-4><+0cdot(-2)>=+infty end Точка (x=-1) — точка разрыва 2-го рода
Односторонние пределы в точке (x=1) begin lim_frac<4x><(x+1)(x-1)>=frac<4(1-0)><(1-0+1)(1-0-1)>=frac<4><2cdot(-0)>=-infty\ lim_frac<4x><(x+1)(x-1)>=frac<4(1+0)><(1+0+1)(1+0-1)>=frac<4><2cdot(+0)>=+infty end Точка (x=1) — точка разрыва 2-го рода
Функция имеет две вертикальные асимптоты (x=pm 1)

График асимптотического поведения функции (y=frac<4x>)

2) Горизонтальные асимптоты
Пределы функции на бесконечности: begin b_1=lim_e^<frac<1>>=e^0=1\ b_2=lim_e^<frac<1>>=e^0=1\ b=b_1=b_2=1 end Функция имеет одну горизонтальную асимптоту (y=1). Функция стремится к этой асимптоте на минус и плюс бесконечности.

График асимптотического поведения функции (y=e^<frac<1>>)

в) ( y=frac )
Заметим, что ( frac=frac<(x+1)(x-1)>=frac<(x^2)(x+1)><(x+1)(x-1)>=frac ) $$ y=fracLeftrightarrow begin y=frac\ xne -1 end $$ График исходной функции совпадает с графиком функции (y=frac), из которого необходимо выколоть точку c абсциссой (x=-1).

3) Наклонные асимптоты
Ищем угловые коэффициенты: begin k_1=lim_frac=left[frac<infty><infty>right]=lim_fracright)>=frac<1+0><1-0>=1\ k_2=lim_frac=left[frac<infty><infty>right]=lim_fracright)>=frac<1+0><1-0>=1\ k=k_1=k_2=1 end У функции есть одна наклонная асимптота с (k=1).
Ищем свободный член: begin b=lim_(y-kx)= lim_left(frac-2right)= lim_frac= lim_frac=left[frac<infty><infty>right]=\ =lim_frac=frac<1+0><1-0>=1 end Функция имеет одну наклонную асимптоту (y=x+1).
График асимптотического поведения функции (y=frac)

2) Горизонтальные асимптоты
Пределы функции на бесконечности: begin b_1=lim_xe^<frac<1><2-x>>=-inftycdot e^0=-infty\ b_2=lim_xe^<frac<1><2-x>>=+inftycdot e^0=+infty end Оба предела бесконечны.
Функция не имеет горизонтальных асимптот.

График асимптотического поведения функции (y=xe^<frac<1><2-x>>)

Найти горизонтальные асимптоты онлайн

Горизонтальной асимптотой функции f ( x ) называется прямая параллельная оси x к которой неограниченно приближается функция f ( x ) при стремлении к бесконечности. Уравнение горизонтальной асимптоты записывается в виде

y = y ₀ , где y ₀ — некоторая константа (конечное число)

Для того, чтобы найти горизонтальную асимптоту функции f ( x ) , очевидно, необходимо найти y ₀ . Получить значение y ₀ можно вычислив пределы

Если значение хотя бы одного предела равно конечному числу y ₀ , тогда

y = y ₀ — горизонтальная асимптота функции f ( x ) .

Для вычисления горизонтальных асимптот своей функции Вы можете воспользоваться нашим бесплатным онлайн калькулятором, построенным на основе системы Wolfram Alpha.

ГДЗ #1

На этой странице вы сможете найти и списать готовое домешнее задание (ГДЗ) для школьников по предмету Алгебра, которые посещают 10 класс из книги или рабочей тетради под названием/издательством «Алгебра и начала математического анализа (профильный уровень — задачник)», которая была написана автором/авторами: Мордкович. ГДЗ представлено для списывания совершенно бесплатно и в открытом доступе.