Как составить уравнение к задаче на движение 4 класс

Памятка «Учимся решать задач на движение»

В задачах на движение  рассматриваются три взаимосвязанные величины:

S — расстояние (пройденный путь),

t — время движения и

V — скорость – расстояние, пройденное за единицу времени.

Расстояние – это произведение скорости на время движения

S = V ● t

Скорость  — это частное от деления расстояния на время движения

V = S : t

Время – это частное от деления расстояния на скорость движения

t = S : V

Задачи на встречное движение

Скорость сближения – это сумма скоростей, движущихся навстречу друг другу тел. V сближ. = 1V + 2V

 Пример 1. Два велосипедиста одновременно выехали навстречу друг другу из двух посёлков и встретились через 3 часа. Первый велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч, а второй – 14 км/ч. На каком расстоянии находятся посёлки?

Схема к задаче:

Решение:

S = V ● t

V сближ. = 1V + 2V

1 способ:

1) 12 • 3 = 36 (км) – проехал первый велосипедист до встречи

2) 14 • 3 = 42 (км) – проехал второй велосипедист до встречи

3) 36 + 42 = 78 (км)

2 способ:

1) 12 + 14 = 26 (км/ч) – скорость сближения

2) 26 • 3 = 78 (км)

Ответ: расстояние между посёлками 78 км.

 Пример 2. Из двух городов навстречу друг другу выехали две машины. Скорость первой – 80 км/ч, скорость второй – 60 км/ч. Через, сколько часов машины встретятся, если расстояние между городами 280 км?

Схема к задаче:

Решение:

V сближ. = 1V + 2V

t = S : V

1) 80 + 60 = 140 (км/ч) – скорость сближения

2) 280 : 140 = 2 (ч)

Ответ: машины встретятся через  2 часа.

 Пример 3. Из двух городов, расстояние между которыми 340 км, выехали одновременно навстречу друг другу две машины. Скорость первой – 80 км/ч. С какой скоростью ехала вторая машина, если встретились они через 2 часа?

Схема к задаче:

Решение:

V = S : t

2V = V сближ. — 1V

1) 340 : 2 = 170 (км/ч) – скорость сближения

2) 170 – 80 = 90 (км/ч)

Ответ: 90 км/ч. скорость второй машины

Задачи на движение в противоположных направлениях

Скорость удаления – это расстояние, которое проходят тела за 1 ч при движении в противоположных направлениях. 

V удал. = 1V + 2V

 Пример 1. Два лыжника одновременно вышли из пункта А в противоположных направлениях. Первый лыжник шёл со скоростью 12 км/ч, а второй – 14 км/ч. На каком расстоянии друг от друга они будут через 3 ч?

Схема к задаче:

 Решение:

S = V ● t

1 способ

1)12 • 3 = 36 (км) – расстояние, которое прошёл первый лыжник за 3 ч

2)14 • 3 = 42 (км) – расстояние, которое прошёл второй лыжник за 3 ч

3)36 + 42 = 78 (км) 

2 способ

V удал. = 1V + 2V

S = V ● t

1)12 + 14 = 26 (км/ч) – скорость удаления

2)26 • 3 = 78 (км)

Ответ: через 3 ч они будут друг от друга на расстоянии 78 км.

 Пример 2. Из города в противоположных направлениях выехали две машины. Скорость первой – 80 км/ч, скорость второй – 60 км/ч. Через сколько часов расстояние между машинами будет 280 км?

Схема к задаче:

Решение:

V удал. = 1V + 2V

t = S : V

1) 80 + 60 = 140 (км/ч) – скорость удаления

2) 280 : 140 = 2 (ч)

Ответ: через 2 часа расстояние между машинами будет 280 км

Пример 3. Из города одновременно в противоположных направлениях выехали две машины. Скорость первой – 80 км/ч. С какой скоростью ехала вторая машина, если через 2 часа расстояние между ними было 340 км?

Схема к задаче:

Решение:

V = S : t

2V = V удал. — 1V

1) 340 : 2 = 170 (км/ч) – скорость удаления машин

2) 170 – 80 = 90 (км/ч)

Ответ: скорость второй машины 90 км/ч.

Кому и для чего будет полезна статья?

• Статья о задачах на движение полезна учащимся 4 класса, родителям и учителям.
• Помогает развить логическое мышление и математические навыки.
• Предоставляет примеры и объяснения простых задач на движение.
• Улучшает понимание концепций расстояния, времени и скорости.
• Дает полезные советы и подходы к решению задач.
• Помогает учителям подготовить уроки и объяснить материал ученикам.
• Способствует активному и интересному изучению физики и математики.
• Развивает навыки и готовит к дальнейшему изучению наук.

Существует несколько типов задач на движение. Примеры решения всех типов задач с пояснениями мы рассмотрим в этой статье.

Задачи на нахождение скорости, времени и расстояния

Ниже вы найдете базовые задачи по теме движения с ответами, которые школьники проходят в 4 классе.

Скорость

Рассмотрим простую задачу на движение в 4 классе:

Андрей пробежал расстояние 200 метров за 40 секунд. Какова была его скорость?

Решение:

Для решения задачи используем формулу скорости:

Скорость = Расстояние / Время

В данной задаче известны расстояние (200 метров) и время (40 секунд). Подставляем эти значения в формулу:

Скорость = 200 м / 40 с = 5 м/с

Таким образом, скорость Андрея равна 5 метров в секунду.

Время

Рассмотрим простую задачу на нахождение времени в 4 классе:

Вася пробежал расстояние 300 метров со скоростью 10 м/с. За какое время он пробежал это расстояние?

Решение:

Для решения задачи используем формулу времени:

Время = Расстояние / Скорость

В данной задаче известны расстояние (300 метров) и скорость (10 м/с). Подставляем эти значения в формулу:

Время = 300 м / 10 м/с = 30 секунд

Таким образом, Вася пробежал расстояние 300 метров за 30 секунд.

Расстояние

Давай рассмотрим простую задачу на нахождение расстояния в 4 классе:

Петя прошел пешком 15 метров за 5 секунд. Какое расстояние он пройдет за 10 секунд?

Решение:

Для решения задачи используем формулу расстояния:

Расстояние = Скорость × Время

В данной задаче известны скорость (15 метров за 5 секунд) и время (10 секунд). Подставляем эти значения в формулу:

Расстояние = 15 м/с × 10 с = 150 метров

Таким образом, Петя пройдет 150 метров за 10 секунд.

Задачи на движение в одном направлении

Задачи на движении в одном направлении относятся к одному из трех основных видов задач на движение.
Если два объекта выехали из одного пункта одновременно, то, поскольку они имеют разные скорости, объекты удаляются друг от друга. Чтобы найти скорость удаления, надо из большей скорости вычесть меньшую:

Если из одного пункта выехал один объект, а спустя некоторое время в том же направлении вслед за ним выехал другой объект, то они могут как сближаться, так и удаляться друг от друга.
Если скорость объекта, движущегося впереди, меньше движущегося вслед за ним объекта, то второй догоняет первого и они сближаются.
Чтобы найти скорость сближения, надо из большей скорости вычесть меньшую:

Если скорость объекта, который идет впереди, больше скорости объекта, который движется следом, то второй не сможет  догнать первого и они удаляются друг от друга.
Скорость удаления находим аналогично — из большей скорости вычитаем меньшую:

Задачи на скорость сближения

Задача 1

Из города выехал автомобиль со скоростью 40 км/ч. Через 4 часа вслед за ним выехал второй автомобиль со скоростью 60 км/ч. Через сколько часов второй автомобиль догонит первый?

Решение:

Так как на момент выезда второго автомобиля из города первый уже был в пути 4 часа, то за это время он успел удалится от города на:

40 · 4 = 160 (км)

Второй автомобиль движется быстрее первого, значит каждый час расстояние между автомобилями будет сокращаться на разность их скоростей:

60 — 40 = 20 (км/ч) – это скорость сближения автомобилей

Разделив расстояние между автомобилями на скорость их сближения, можно узнать, через сколько часов они встретятся:

160 : 20 = 8 (ч)

Решение задачи по действиям можно записать так:

1) 40 · 4 = 160 (км) – расстояние между автомобилями

2) 60 — 40 = 20 (км/ч) – скорость сближения автомобилей

3) 160 : 20 = 8 (ч)

Ответ: Второй автомобиль догонит первый через 8 часов.

Задача 2

Из двух посёлков между которыми 5 км, одновременно в одном направлении вышли два пешехода. Скорость пешехода, идущего впереди, 4 км/ч, а скорость пешехода, идущего позади 5 км/ч. Через сколько часов после выхода второй пешеход догонит первого?

Решение: 

Так как второй пешеход движется быстрее первого, то каждый час расстояние между ними будет сокращаться. Значит можно определить скорость сближения пешеходов:

5 — 4 = 1 (км/ч)

Оба пешехода вышли одновременно, значит расстояние между ними равно расстоянию между посёлками (5 км). Разделив расстояние между пешеходами на скорость их сближения, узнаем через сколько второй пешеход догонит первого:

5 : 1 = 5 (ч)

Решение задачи по действиям можно записать так:

1) 5 — 4 = 1 (км/ч) – это скорость сближения пешеходов

2) 5 : 1 = 5 (ч)

Ответ: Через 5 часов второй пешеход догонит первого.

Задача 3

Из одного села в одном направлении одновременно выехали два велосипедиста. Скорость одного из них — 15 км/ч, скорость другого — 12 км/ч. Какое расстояние будет через ними через 4 часа?

Решение:

1) 15-12=3 (км/ч) скорость удаления велосипедистов

2) 3∙4=12 (км) такое расстояние будет между велосипедистами через 4 часа.

Ответ: Через 4 часа расстояние между велосипедистами составит 12 км.

Задача 4

Из села на станцию одновременно вышел пешеход и выехал велосипедист. Через 2 часа велосипедист опережал пешехода на 12 км. Найти скорость пешехода, если скорость велосипедиста 10 км/ч.

Решение:

1) 12:2=6 (км/ч) скорость удаления велосипедиста и пешехода

2) 10-6=4 (км/ч) скорость пешехода.

Ответ: Скорость пешехода составляет 4 км/ч.

Задачи на скорость удаления

Задача 1

Два автомобиля выехали одновременно из одного и того же пункта в одном направлении. Скорость первого автомобиля 80 км/ч, а скорость второго – 40 км/ч.

1. Чему равна скорость удаления между автомобилями?
2. Какое расстояние будет между автомобилями через 3 часа?
3. Через сколько часов расстояние между ними будет 200 км?

Решение:

Сначала узнаем скорость удаления автомобилей друг от друга, для этого вычтем из большей скорости меньшую:

80 — 40 = 40 (км/ч)

Каждый час автомобили отдаляются друг от друга на 40 км. Теперь можно узнать сколько километров будет между ними через 3 часа, для этого скорость удаления умножим на 3:

40 · 3 = 120 (км)

Чтобы узнать через сколько часов расстояние между автомобилями станет 200 км, надо расстояние разделить на скорость удаления:

200 : 40 = 5 (ч)

Ответ:

1. Скорость удаления между автомобилями равна 40 км/ч.
2. Через 3 часа между автомобилями будет 120 км.
3. Через 5 часов между автомобилями будет расстояние в 200 км.

Движение навстречу друг другу

Если два объекта движутся навстречу друг другу, то они сближаются. Чтобы найти скорость сближения двух объектов, движущихся навстречу друг другу, надо сложить их скорости:  

Скорость сближения больше, чем скорость каждого из них.

Задача 1

Из поселка и города навстречу друг другу, одновременно выехали два автобуса. Один автобус до встречи проехал 100 км со скоростью 25 км/час. Сколько километров до встречи проехал второй автобус, если его скорость 50 км/час.

Решение:

1) 100 : 25 = 4 (часа ехал один автобус)

2) 50 * 4 = 200

Решение в виде выражения: 50 * (100 : 25) = 200

Ответ: второй автобус проехал до встречи 200 км.

Расстояние между двумя пристанями 90 км. От каждой из них одновременно навстречу друг другу вышли два теплохода. Сколько часов им понадобится чтобы встретиться, если скорость первого 20 км/час, а второго 25 км/час?

Решение:

1) 25 + 20 = 45 (сумма скоростей теплоходов)

2) 90 : 45 = 2

Решение в виде выражения:90 : (20 + 25) = 2

Ответ: Теплоходы встретятся через 2 часа.

Задача 3

От двух станций, расстояние между которыми 564 км., одновременно навстречу друг другу вышли два поезда. Скорость одного из них 63 км/час. Какова скорость второго, если поезда встретились через 4 часа?

Решение:

1) 63 * 4 = 252 (прошел 1 поезд)

2) 564 — 252 =312 (прошел 2 поезд)

3) 312 : 4 = 78

Решение в виде выражения (63 * 4 — 252) : 4 = 78

Ответ: Скорость второго поезда 78 км/час.

Задача 4

Два велосипедиста выехали навстречу друг другу. Скорость одного из низ 12 км/ч, а другого — 10 км/ч. Через 3 часа они встретились. Какое расстояние было между ними в начале пути?

Решение:

1) 12+10=22 (км/ч) скорость сближения велосипедистов

2) 22∙3=66 (км) было между велосипедистами в начале пути.

Ответ: Расстояние между велосипедистами в начале пути было 66 км.

Задача 5

Два поезда идут навстречу друг другу. Скорость одного из них 50 км/ч, скорость другого —  60 км/ч. Сейчас между ними 440 км. Через сколько часов они встретятся?

Решение:

1) 60+50=110 (км/ч) скорость сближения поездов

2) 440:110=4 (ч) время, через которое поезда встретятся.

Ответ: Поезда встретятся через 4 часа.

Движение в противоположных направлениях

Если два объекта движутся в противоположных направлениях, то они удаляются. Чтобы найти скорость удаления, надо сложить скорости этих объектов:

Скорость удаления больше скорости любого из них.

Задача 1

Из поселка вышли одновременно в противоположных направлениях два пешехода. Средняя скорость одного пешехода – 5 км/ч, другого – 4 км/ч. Через сколько часов расстояние между ними будет 27 км ?

Решение:

Чтобы найти время движения пешеходов, нужно знать расстояние и скорость пешеходов. Мы знаем, что за каждый час один пешеход удаляется от поселка на 5 км, а другой пешеход удаляется от поселка на 4 км. Можем найти их скорость удаления.

1. 

 (км/ч)

Мы знаем скорость удаления и знаем все расстояние – 27 км. Можем найти время, через которое пешеходы удалятся друг от друга на 27 км, для этого нужно расстояние разделить на скорость.

2. 

 (ч)

Ответ: Через три часа расстояние между переходами будет 27 км.

Задача 2

Из поселка вышли одновременно в противоположных направлениях два пешехода. Через 3 часа расстояние между ними было 27 км. Первый пешеход шел со скоростью 5 км/ч. С какой скоростью шел второй пешеход ?

Решение:

Чтобы узнать скорость второго пешехода, надо знать расстояние, которое он прошел, и его время в пути. Чтобы узнать, какое расстояние прошел второй пешеход, надо знать, какое расстояние прошел первый пешеход и общее расстояние. Общее расстояние мы знаем. Чтобы найти расстояние, которое прошел первый пешеход, надо знать его скорость и его время в пути. Средняя скорость движения первого пешехода – 5 км/ч, его время в пути – 3 часа. Если среднюю скорость умножить на время в пути, получим расстояние, которое прошел пешеход:

1. 

 (км)

Мы знаем общее расстояние и знаем расстояние, которое прошел первый пешеход. Можем теперь узнать, какое расстояние прошел второй пешеход.

2. 

 (км)

Теперь мы знаем расстояние, которое прошел второй пешеход, и время, проведенное им в пути. Можем найти его скорость.

3. 

 (км/ч)

Ответ: Скорость второго пешехода – 4 км/ч.

Задача 3

Товарный и пассажирский поезда движутся в противоположных направлениях. Скорость товарного 45 км/ч, скорость пассажирского — 70 км/ч. Сейчас между ними 20 км. Какое расстояние будет между ними через 2 часа ?

Решение:

1) 70+45=115 (км/ч) скорость удаления поездов

2) 115∙2=230 (км) пройдут поезда вместе за 2 часа

3) 230+20=250 (км) такое расстояние между поездами будет через 2 часа.

Ответ: Через 2 часа расстояние между поездами составит 250 км.

Задача 4

Из одного пункта одновременно в противоположных направлениях выехали два мотоциклиста. Скорость одного из них — 60 км/ч, скорость другого — 40 км/ч. Через какое время расстояние между ними станет равным 300 км?

Решение:

1) 60+40=100 (км/ч) скорость удаления мотоциклистов

2) 300:100=3 (ч) через такое время расстояние между ними будет 300 км.

Ответ: Расстояние между мотоциклистами станет 300 км через 3 часа.

Что мы узнали?

В статье были рассмотрены различные варианты задач и примерами их решений, которые пригодятся всем четвероклассникам.

• В 4 классе школьники решают простые задачи на движение, связанные с понятиями расстояния, времени и скорости.

• Они изучают задачи, которые требуют определения скорости по известному расстоянию и времени, или определения времени по известной скорости и расстоянию.

• Школьники решают задачи, связанные с равномерным прямолинейным движением, где известны расстояние и время, и нужно найти скорость.

• Они также могут сталкиваться с задачами, где требуется определить расстояние по известной скорости и времени.

• Задачи на движение помогают ребятам развить навыки анализа и применения математических концепций к реальным ситуациям.

Чтобы быстро решить задачи на движение, в том числе сложные и запутанные, нужно составить к ней схему или таблицу данных.

• Схемы задач на движение помогают представить наглядно условие задачи и найти верное решение.
• Таблица к задачам на движение позволяет структурировать данные, чтобы наглядно видеть исходные данные и неизвестные величины.

Поэтому, чтобы решить сложные задачи на движение, нужно нарисовать схему, а в дополнение к схеме рекомендуется нарисовать таблицу, где в шапке параметры скорости, времени и расстояния. При этом везде применяется основная формула:

Рассмотрим решение следующих типов задач:

• простые задачи на скорость, время и расстояние;
• задачи на движение в разных направлениях: сближение и удаление;
• задачи на движение в одном направлении: сближение и удаление;
• решение задач на движение по реке.

Решить простые задачи на движение

Для решения простых задач на движение, как правило, схема или таблица не требуется, в них применяется формула нахождения скорости, времени или расстояния. Но иногда, чтобы не запутаться в решении, лучше воспользоваться каким-либо методом. Рассмотрим схему и таблицу, чтобы вы смогли выбрать наиболее удобный для себя способ разобраться в задаче.

Задача 1. Средняя скорость

Первые 5 часов автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, следующие 3 часа — со скоростью 100 км/ч, а последние 4 часа — со скоростью 75 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

Решение.
Нарисуем схему движения.

Заполним все исходные данные в таблице. Также заполним другие ячейки таблицы по возможности (такие ячейки выделены зеленым цветом) 

Средняя скорость — это отношение пройденного пути ко времени, за который пройден этот путь.

• Найдем общее расстояние: 900 км.
• Найдем время в пути: 5 + 3 + 4 = 12 часов.
• Найдем среднюю скорость автомобиля: 900:12 = 75 км/ч.

Задача 2. Движение с остановкой

В 9:00 велосипедист выехал из пункта А в пункт Б. Доехав до пункта Б, он сделал остановку на полчаса, а в 11:30 выехал обратно с прежней скоростью. В 13:00 ему оставалось проехать 8 км до пункта А. Найдите расстояние между пунктами А и Б.

Решение.
Нарисуем схему движения.

Заполним все исходные данные в таблице. Также заполним другие ячейки таблицы по возможности.

• Найдем скорость: 8 : 0,5 = 16 км/ч
• Найдем расстояние: 16×2=32 км.

Задача 3. Уровень ЕГЭ.

Лыжник планировал проехать 10 км с горы за 20 минут с постоянной скоростью v. Вместо этого первые несколько километров он проехал в два раза быстрее, чем планировал, а оставшиеся километры он проехал в два раза медленнее, чем планировал. В итоге весь путь занял у него 34 минуты. Сколько километров лыжник проехал в два раза быстрее, чем планировал?

Решение.
Нарисуем схему движения.

Заполним все исходные данные в таблице. Также заполним другие ячейки таблицы по возможности (такие ячейки выделены зеленым цветом)

• Найдем скорость, с которой лыжник планировал скатиться: 10 : 20 = 0,5км/мин
• Найдем скорости, с которыми лыжник скатывался: 3км/мин и 0,25км/мин.
• Составим систему уравнений:
  1) 1×t=s  → t=s
  2) 0,25×(34-t)=10-s → 0,25×(34-s)=10-s → s=2 км.

Решить задачи на движение в разных направлениях: сближение и удаление

Задача 4. Скорость удаления

Два автомобиля выехали одновременно из одного и того же пункта в противоположных направлениях. Скорость первого автомобиля  100  км/ч, скорость второго —  70  км/ч. Какое расстояние будет между автомобилями через  4  часа?

Решение.
Нарисуем схему движения.

Заполним все исходные данные в таблице. Также заполним другие ячейки таблицы по возможности (такие ячейки выделены зеленым цветом) /

Способ 1.
1) 100× 4 = 400 (км)  — проехал первый автомобиль,
2) 70 × 4 = 280 (км)  — проехал второй автомобиль.
3) 400 + 280 = 680 (км).

Способ 2.
1)  (100 + 70),  170  км/ч — это скорость удаления автомобилей.
2) 170× 4 = 680 км.

Задача 5. Скорость сближения

Расстояние между городами А и В равно 750 км. Из города А в город В со скоростью 50 км/ч выехал первый автомобиль, а через три часа после этого навстречу ему из города В выехал со скоростью 70 км/ч второй автомобиль. На каком расстоянии от города А автомобили встретятся?

Решение.
Нарисуем схему движения.

Заполним все исходные данные в таблице. Также заполним другие ячейки таблицы по возможности (такие ячейки выделены зеленым цветом)

Способ 1.

• Составим уравнение: 50×t + 70×(t-3) =750
• Решим уравнение: 120t=960; t=8 часов.
• По условиям задачи нужно найти расстояние от пункта А, то есть расстояние для первого автомобиля: 50×8=400км.

Способ 2.

• За первые три часа пути автомобиль, выехавший из города А, проехал 150 километров и расстояние от него до города В стало равным 600 км.
• Скорость сближения двух автомобилей равна 120 км/ч, значит, они встретятся через 5 часов после выезда второго автомобиля: 600:120=5 часов.
• Таким образом, первый автомобиль всего ехал  8 часов: 50×8=400км.

Задача 6. Скорость сближения

Расстояние между пунктами А и В равно 135 км. Из пункта А в пункт В выехал легковой автомобиль. Одновременно с ним из пункта В в пункт А выехал грузовой автомобиль, скорость которого на 15 км/ч меньше скорости легкового. Через час после начала движения они встретились. Через сколько минут после встречи грузовой автомобиль прибыл в пункт А?

Решение.
Нарисуем схему движения.

Заполним все исходные данные в таблице. Также заполним другие ячейки таблицы по возможности (такие ячейки выделены зеленым цветом)

• Пусть x км/ч — скорость грузового автомобиля, тогда (x + 15) км/ч — скорость легкового автомобиля. Получаем уравнение: x+x+15=135; x=60км/ч. 
• Найдем сколько времени грузовой автомобиль затратил на весь путь: 135:60=2,25 часов.
• Найдем сколько времени грузовой автомобиль затратил на путь после встречи: 2,25-1=1,25 часов или 75 минут (1,25*60).
• Ответ: 75 мин.

Задача 7. Уровень ЕГЭ.

Два поезда движутся навстречу друг другу – один со скоростью 70 км/ч, другой со скоростью 80 км/ч. Пассажир, сидящий во втором поезде, заметим, что первый поезд прошел мимо него за 12 секунд. Какова длина первого поезда? Ответ дайте в метрах.

Решение.
Заполним все исходные данные в таблице. Также заполним другие ячейки таблицы по возможности (такие ячейки выделены зеленым цветом)

• Найдем скорость сближения: 70+80=150км/ч.
• Переведем ее в другие единицы измерения: 150 км/ч = 150000/3600 = 50/12 м/с
• Заметим, что фраза “первый поезд прошел мимо пассажира за 12с” означает, что с того момента, как пассажир увидел голову поезда, до того момента, как он увидел хвост поезда, прошло 12с.
  
• Найдем расстояние 50/12 × 12 =50 метров.

Решить задачи на движение в одном направлении: сближение и удаление

Задача 8. Скорость сближения

Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 63 км/ч, проезжает мимо идущего в том же направлении параллельно путям со скоростью 3 км/ч пешехода за 57 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

Решение.
Нарисуем схему движения.

Заполним все исходные данные в таблице. Также заполним другие ячейки таблицы по возможности (такие ячейки выделены зеленым цветом)

• Найдем скорость поезда относительно пешехода: 63 − 3 = 60 км/ч
• Переведем скорость сближения в другие единицы измерения: 60 км/ч = 60000/3600=50/3 м/с.
• Найдем длину поезда (расстояние, которое проехал поезд): (50/3)*57=950 м.

Задача 9. Скорость сближения

Два туриста одновременно вышли в одном направлении в город N. При этом вышли они из разных городов, расстояние между которыми 9 км. Известно, что турист, изначально находившийся дальше от города N, шёл со скоростью, в два раза превышающей скорость другого туриста. В город N они прибыли одновременно, через 3 часа после начала движения. Найдите скорость туриста, который шёл быстрее. Ответ дайте в км/ч.

Решение.
Нарисуем схему движения.

Заполним все исходные данные в таблице. Также заполним другие ячейки таблицы по возможности (такие ячейки выделены зеленым цветом)

• Найдем скорость сближения туристов: 9:3=3 км/ч.
• По формуле сближения получаем: 2v-v=3  → v=3 →2v=6 км/ч.
• Ответ: 6

Задача 10. Скорость удаления

Два велосипедиста выехали из одного места в одном направлении. Скорость первого – 10 км/ч, а второго – 18 км/ч. Через сколько часов расстояние между велосипедистами будет равно 104 км?

Решение.
Нарисуем схему движения.

Заполним все исходные данные в таблице. Также заполним другие ячейки таблицы по возможности (такие ячейки выделены зеленым цветом)

• Найдем скорость удаления: 18-10=8 км/ч
• Найдем время в пути: 108:8=13 часов.
• Ответ: 13

Задача 11. Скорость удаления

Два велосипедиста выехали в одном направлении из мест, находящихся на расстоянии 13 км друг от друга. Скорость первого – 12 км/ч, а второго – 17 км/ч, причем второй находился в начале движения впереди. Через сколько часов расстояние между велосипедистами будет равно 58 км?

Решение.
Нарисуем схему движения.

Заполним все исходные данные в таблице. Также заполним другие ячейки таблицы по возможности (такие ячейки выделены зеленым цветом)

• Найдем скорость удаления: 17-12=5 км/ч
• Найдем расстояние, на которое они удались друг от друга: 58-13=45 км.
• Найдем время: 45:5=9 часов. 

Задача 12. Уровень ЕГЭ

Два кота одновременно выбегают в одном направлении из одного и того же подъезда. Скорость первого на 0,5 км/ч больше скорости второго. Через сколько минут расстояние между котами станет равным 200 метрам?

Решение.
Заполним все исходные данные в таблице. Также заполним другие ячейки таблицы по возможности (такие ячейки выделены зеленым цветом)

• Скорость удаления будет 0,5 км/ч — это скорость, с которой первый кот бежит быстрее второго.
• Найдем время: 0,2 : 0,5 = 0,4 часа
• Переведем время в другие единицы измерения: 0,4 ч = 0,4*60 = 24 мин.

Решить задачи на движение по реке

Задача 13.

Яхта движется по стоячей воде, ее собственная скорость равна 30 км/ч. Встречный ветер каждую минуту сносит яхту на 20 метров. За сколько часов яхта пройдет 259200 метров?

Решение.
Заполним все исходные данные в таблице. Также заполним другие ячейки таблицы по возможности (такие ячейки выделены зеленым цветом)

• Переведем скорость яхты в другие единицы измерения: 30 км/ч = 500 м/с.
• Найдем скорость удаления: 500-20=480 м/с.
• Найдем время: 259200 :480=540 минут = 9 часов.

Задача 14.

Расстояние от пристани А до пристани Б по течению реки катер прошёл за 5 часов, а на обратный путь он затратил на 1 час больше. Найдите скорость катера в неподвижной воде (собственную скорость), если скорость течения реки 2 км/ч. 

Решение.
Заполним все исходные данные в таблице. Также заполним другие ячейки таблицы по возможности (такие ячейки выделены зеленым цветом)

• Пусть скорость катера в неподвижной воде равна x км/ч.
• Составим уравнение: 5×(x+2)=6×(x-2); x=22 км/ч.

Правильность решения задач вы можете проверить на сайте intmag24.ru с помощью калькулятора решения задач на движение.

Советы для решения задач на движения

• В процессе решения задач на движение может быть составлена формула квадратного уравнения, которое будет иметь два корня. В этом случае нужно взять тот ответ, который  будет логичен для задачи (положительный). Отрицательный корень не берется во внимание.
• Внимательно следите, чтобы в задаче все данные измерялись одними величинами. Если это не так, нужно се привести к единым единицам измерения.

Задачи на движение

Задачи на движение (скорость, время и расстояние) являются одной из основных типов задач по математике, которые должен уметь решать каждый школьник. В данной статье рассмотрены все типы задач на движение:
– простые задачи на скорость, время и расстояние;
– задачи на встречное и противоположное движение;
– задачи на движение в одном направлении (на сближение и удаление);
– решение задач на движение по реке.

Скорость, время и расстояние: определения, обозначения, формулы

скорость = расстояние: время – формула нахождения скорости;

время = расстояние: скорость – формула нахождения времени;

расстояние = скорость · время – формула нахождения расстояния.

Скорость – это расстояние, пройденное за единицу времени: за 1 секунду, за 1 минуту, за 1 час и так далее.
Пример обозначения: 7 км/ч (читается: семь километров в час).
Если весь путь проходится с одинаковой скоростью, то такое движение называется равномерным.

На сайте представлены калькуляторы онлайн, с помощью которых можно перевести скорость, время и расстояние в другие единицы измерения:

Примеры простых задач.

Задача 1.

Автомобиль проехал 180 км за 2 часа. Чему равна скорость автомобиля?
Решение: 180:2=90 (км/ч.)
Ответ: Скорость автомобиля равна 90 км/ч.

Задача 2.

Автобус проехал путь в 240 км со скоростью 80 км/ч. Сколько времени ехал автобус?
Решение: 240:80=3 (ч.)
Ответ: Автобус проехал 3 часа.

Задача 3.

Грузовик ехал 5 часов со скоростью 70 км/ч. Какое расстояние проехал грузовик за это время?
Решение: 70 · 3 = 350 (км)
Ответ: Грузовик за 5 часов проехал 350 км.

Задачи на встречное движение

В таких задачах два объекта движутся навстречу друг другу.
Задачи на встречное движение можно решать двумя способами:
1. Найти значения скорости, времени и расстояния для каждого объекта.
2. Найти скорость сближения объектов (как сумму их скоростей), общие время и расстояние. Скорость сближения — это расстояние, пройденное двумя объектами навстречу друг другу за единицу времени.

Задача 4.

Из двух пунктов навстречу друг другу одновременно выехали два поезда и встретились через 3 часа. Первый поезд ехал со скоростью 80 км/ч, а второй – со скоростью 70 км/ч. На каком расстоянии друг от друга находятся пункты?
Решение:
Первый способ. Найти расстояние, которое проехал каждый автобус, и сложить полученные данные:
80*3=240 (км) – проехал 1й автобус, 70*3=210 (км) – проехал 2й поезд,
240+210=450 (км) – проехали два поезда.
Второй способ. Найти скорость сближения поездов, то есть на сколько сокращалось расстояние между ними каждый час; а затем найти расстояние:
80+70=150 (км/ч), 150*3=450 (км).
Ответ: города находятся на расстоянии 450 км.

Задача 5.

Из двух городов навстречу друг другу одновременно выехали два автобуса. Первый автобус ехал со скоростью 80 км/ч, а второй – со скоростью 70 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 2 часа, если расстояние между городами 450 км?
Решение:
Первый способ. Определить, сколько километров проехал каждый автобус и найти расстояние, которое осталось проехать:
80*2=160 (км)-проехал 1й автобус, 70*2=140 (км)-проехал 2й автобус,
160+140=300 (км)-проехали два автобуса, 450-300=150 (км)-осталось проехать.
Второй способ. Найти скорость сближения автобусов и умножить ее на время в пути.
80*70=150 (км/ч) – скорость сближения; 150*2=300 (км) – проехали два автобуса; 450-300=150 (км) – осталось проехать.
Ответ: Через 2часа расстояние между автобусами будет 150 км.

Задачи на движение в противоположных направлениях

В таких задачах два объекта движутся в противоположных направлениях, отдаляясь друг от друга. В таком типе задачи используется скорость удаления. Задачи на движение в противоположных направлениях также можно решить двумя способами:
1. Найти значения скорости, времени и расстояния для каждого объекта.
2. Найти скорость удаления объектов (как сумму их скоростей), общие время и расстояние. Скорость удаления — это расстояние, которое увеличивается за единицу времени между двумя объектами, двигающимися в противоположных направлениях.

Задача 6.

Два автомобиля выехали одновременно из одного и того же пункта в противоположных направлениях. Скорость первого автомобиля 100 км/ч, скорость второго – 70 км/ч. Какое расстояние будет между автомобилями через 4 часа?
Решение:
Первый способ. Определить расстояние, которое проехал каждый автомобиль и найти сумму полученных результатов:
1) 100 · 4 = 400 (км) – проехал первый автомобиль
2) 70 · 4 = 280 (км) – проехал второй автомобиль
400 + 280 = 680 (км)
Второй способ. Найти скорость удаления, то есть значение увеличения расстояния между автомобилями за каждый час, а затем скорость удаления умножить на время в пути.
100 + 70= 170 км/ч – это скорость удаления автомобилей.
170 · 4 = 680 (км)
Ответ: Через 4 часа между автомобилями будет 680 км.

Задача 7.

Из двух населённых пунктов, расстояние между которыми 40 км, вышли в противоположных направлениях два туриста. Первый турист шёл со скоростью 4 км/ч, а второй – 5 км/ч. Какое расстояние между туристами будет через 5 часов?
Решение:
Первый способ. Определить сколько километров прошёл каждый из туристов за 5 часов, сложить полученные результаты, а затем к полученному расстоянию прибавить расстояние между населенными пунктами.
1) 4 · 5 = 20 (км) – прошёл первый турист;
2) 5 · 5 = 25 (км) – прошёл второй турист;
3) 20 + 25 = 45 (км);
4) 45 + 40 = 85 (км).
Второй способ. Найти скорость удаления пешеходов, затем найти пройденное расстояние, к полученному результату прибавить расстоянием между населёнными пунктами.
4 + 5 = 9 (км/ч);
9 · 5 = 45 (км);
45 + 40 = 85 (км);
Ответ: Через 5 часов расстояние между пешеходами будет 85 км.

Задачи на движение в одном направлении

В таких задачах два объекта движутся в одном направлении с разной скоростью, при этом они сближаются друг с другом или отдаляются друг от друга. Соответственно находится скорость сближения или скорость удаления объектов.

Формула нахождения скорости сближения или удаления двух объектов, которые движутся в одном направлении: из большей скорости вычесть меньшую.

Задача 8.

Из города выехал автомобиль со скоростью 40 км/ч. Через 4 часа вслед за ним выехал второй автомобиль со скоростью 60 км/ч. Через сколько часов второй автомобиль догонит первый?,
Решение:
Задачу можно решить с помощью уравнения.
В этом случае скорость первого автомобиля 40 км/час, время в пути на 4 часа больше, чем время второго автомобиля (или t+4). Скорость второго автомобиля 60 км/час, время в пути – t. Расстояние оба автомобиля проехали одинаковое. Поэтому можно составить уравнение: 40*(t+4)=60*t. Отсюда получаем t=8 (часов) – время в пути второго автомобиля, за которое он догонит первый.
Решение задачи без использования уравнения.
Так как на момент выезда второго автомобиля из города первый уже был в пути 4 часа, то за это время он успел удалиться от города на: 40 · 4 = 160 (км).
Второй автомобиль движется быстрее первого, значит, каждый час расстояние между автомобилями будет сокращаться на разность их скоростей: 60 – 40 = 20 (км/ч) – это скорость сближения.
Разделив расстояние между автомобилями на скорость их сближения, можно узнать, через сколько часов они встретятся: 160 : 20 = 8 (ч)
Ответ: Второй автомобиль догонит первый через 8 часов.

Задача 9.

Из двух посёлков между которыми 5 км, одновременно в одном направлении вышли два пешехода. Скорость пешехода, идущего впереди, 4 км/ч, а скорость пешехода, идущего позади 5 км/ч. Через сколько часов после выхода второй пешеход догонит первого?
Решение: Так как второй пешеход движется быстрее первого, то каждый час расстояние между ними будет сокращаться. Значит можно определить скорость сближения пешеходов: 5 – 4 = 1 (км/ч).
Оба пешехода вышли одновременно, значит расстояние между ними равно расстоянию между посёлками (5 км). Разделив расстояние между пешеходами на скорость их сближения, узнаем через сколько второй пешеход догонит первого: 5 : 1 = 5 (ч)
Ответ: Через 5 часов второй пешеход догонит первого.

Задача 10.

Два автомобиля выехали одновременно из одного и того же пункта в одном направлении. Скорость первого автомобиля 80 км/ч, а скорость второго – 40 км/ч.
1) Чему равна скорость удаления между автомобилями?
2) Какое расстояние будет между автомобилями через 3 часа?
3) Через сколько часов расстояние между ними будет 200 км?
Решение:
1) 80 – 40 = 40 (км/ч) – скорость удаления автомобилей друг от друга.
2) 40 · 3 = 120 (км) – расстояние между ними через 3 часа./
3) 200 : 40 = 5 (ч) – время, через которое расстояние между автомобилями станет 200 км.
Ответ:
1) Скорость удаления между автомобилями равна 40 км/ч.
2) Через 3 часа между автомобилями будет 120 км.
3) Через 5 часов между автомобилями будет расстояние в 200 км.

Задачи на движение по реке

Рассмотрим задачи, в которых речь идёт о движении объекта по реке. Скорость любого объекта в стоячей воде называют собственной скоростью этого объекта.

Чтобы узнать скорость объекта, который движется по течению реки, надо к собственной скорости объекта прибавить скорость течения реки. Чтобы узнать скорость объекта, который движется против течения реки, надо из собственной скорости объекта вычесть скорость течения реки.

Задача 11.

Лодка движется по реке. За сколько часов она преодолеет расстояние 120 км, если ее собственная скорость 27 км/ч, а скорость течения реки 3 км/ч?
Решение:
1) лодка движется по течению реки.
27 + 3 = 30 (км/ч) – скорость лодки по течению реки.
120 : 30 = 4 (ч) – проплывет путь.
2) лодка движется против течения реки.
27 – 3 = 24 (км/ч) – скорость лодки против течения реки
120 : 24 = 5 (ч) – проплывет путь.
Ответ:
1) При движении по течению реки лодка потратит 4 часа на путь.
2) При движении против течения реки лодка потратит 5 часов на путь.

Итак, для решения задач на движение:

1. Основная формула:S=ν*t;
2. Нужно сделать чертеж, который поможет определить тип задачи.
3. Все цифры нужно привести в единые единицы измерения: длина и время

Заключение.

Решая много задач по данной теме, ученик обязательно научится быстро ориентироваться в понятиях «скорость», «время» и «расстояние» и быстро решать задачи всех типов. Получить карточки с задачами разных видов можно по ссылке.

Как решать задачи на движение на ЕГЭ по математике 2019

Классическим примером текстовой задачи, которая может встретиться вам на ЕГЭ, является задача на движение. Эти задачи довольно разнообразны и включают в себя: задачи на движение навстречу, задачи на движение вдогонку, задачи на движение по реке. И поэтому вопрос, как же решать задачи на движение, иногда ставят учеников в тупик.

Научиться решать такие задачи довольно легко, для этого нужно знать алгоритм, состоящий всего из 3 шагов.

Формула, которую обязательно нужно знать, и секрет, как ее легко запомнить

Для решения любой задачи на движение вам обязательно нужно знать всего одну формулу, которая вам уже давно известна:И уметь правильно выражать из этой формулы скорость и время:Многие ученики путаются при записи этих формул, допуская ошибки. Чтобы раз и навсегда запомнить формулы нахождения расстояния, скорости и времени, просто нарисуй треугольник. В верхнем углу треугольника напиши S, а внизу — V и t. Проведи горизонтальную черту между ними. Теперь мы можем закрыть рукой ту величину, которую нам нужно найти, и увидим формулу нахождения этой величины. Например, нам нужно найти расстояние. Закрываем рукой S, и на нашем рисунке останется V t – это и есть формула нахождения расстояния. Или нам нужно найти время. Закрываем рукой t, и на нашем рисунке остается – формула нахождения времени. Нужно найти скорость? Закрываем рукой V, получаем – формулу нахождения скорости. Главное запомнить, что S должна быть в верхнем углу. Это можно сделать, например, с помощью ассоциации, что S похожа на змею, а змея – хозяйка горы, поэтому она на вершине. Вот как выглядит такой магический треугольник:

3 простых шага решения задачи на движение

Чтобы правильно решить задачу на движение нужно:

1. Определить неизвестное и составить таблицу на основании условия задачи.
2. Составить уравнение на основании таблицы.
3. Вернуться к условиям задачи и записать правильный ответ.

Давайте подробнее разберем каждый шаг:

1. Вначале нам нужно внимательно прочитать условие задачи и определить, что же взять за переменную Х. Чаще всего в задачах на движение удобнее всего за переменную Х обозначить скорость. Если же скорость нам прямо дана в условиях задачи, то за переменную Х обозначаем время. Если в условиях задачи прямо указаны значения и скорости, и времени, тогда за переменную Х берем расстояние. Затем из условий задачи определить все, что нам известно и занести в таблицу.
2. На основании полученной таблицы составляем уравнение и решаем его. После решения уравнения не торопимся записывать ответ. Ведь нахождение Х – это не всегда ответ к исходной задаче. Такую ошибку совершают многие ученики: фактически правильно решив задачу, они записывают неправильный ответ.
3. После решения уравнения возвращаемся к условиям задачи и смотрим, что же требовалось найти. Находим неизвестное и записываем ответ.

Задачи на движение бывают разными. В таких задачах участники движения могут двигаться навстречу друг другу, вдогонку, они могут двигаться по реке (против течения или по течению). Каждая из этих задач имеет особенности решения, о которых мы поговорим ниже и разберем на примерах.

Задачи на движение вдогонку: примеры с решением

При решении задачи, по условия которой оба участника движения двигаются в одном направлении, как правило, сравнивается время их движения. Необходимо запомнить правила:

1. Если время движения сравнивается (то есть присутствуют слова больше/меньше), то мы приравниваем время и прибавляем слагаемое. То есть чтобы получить большее время, мы прибавляем к меньшему времени что-то еще (из условий задачи).
2. Если условия задачи содержат общее время, то дроби, выражающее время, складываются.

Давайте разберем, как работают эти правила при решении задач.

Задача 1

Велосипедист и автомобилист одновременно выехали из пункта А в пункт Б, расстояние между которыми равно 50 км. Известно, что скорость автомобилиста на 40 км/ч больше, чем у велосипедиста, в результате чего автомобилист приехал в пункт Б на 4 часа раньше. Найдите скорость велосипедиста.

1. Необходимо определить, что взять за переменную Х и составить таблицу. Вспоминаем, что удобнее всего за Х обозначить скорость в том случае, если она прямо не указано в условиях задачи.

В нашем случае скорость в условиях задачи не указана, поэтому скорость велосипедиста обозначаем за Х.

Составляем таблицу, данные для которой берем из условий задачи.

Итак, расстояние (S) нам известно – 50 км, скорость велосипедиста – х, скорость автомобилиста на 40 км/ч больше, значит она равна х + 40. Чтобы определить время вспоминаем формулу t = S / V и подставляем в нее наши значения. Время, затраченное велосипедистом, получится 50 / х, а время, затраченное автомобилистом — 50 / (х + 40).2. На основании таблицы и условий задачи необходимо составить уравнение.

Из условий задачи нам известно, что автомобилист приехал раньше велосипедиста на 4 часа (смотрим наше первое правило). Это значит, что велосипедист затратил на 4 часа больше времени, чем автомобилист. Следовательно,

50 / (х + 40) + 4 = 50 / х

Решаем полученное уравнение, для этого приводим наши дроби к одному знаменателю:

50х + 4х (х + 40) – 50 (х+40) / х (х + 40) = 0

(50х + 4х 2 + 160х – 50х – 2000) / х (х+40) = 0

(4х 2 + 160х – 2000) / (х 2 + 40х) = 0

Умножим обе части уравнение на х 2 + 40х:

4х 2 + 160х – 2000 = 0

Разделим обе части уравнения на 4:

х 2 + 40х – 500 = 0

D = 40 2 – 4 * 1 * (-500) = 3600

Далее находим корни уравнения:

х₂ = — 50

3. Возвращаемся к условиям задачи и вспоминаем, что же требовалось найти.

Нам нужно было определить скорость велосипедиста, которую мы обозначили за Х.

Скорость велосипедиста должна быть положительна, поэтому х₂ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, нас интересует только х₁ и скорость велосипедиста равна 10 км/ч.

Задача 2

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город Б, расстояние между которыми равно 80 км. На следующий день он поехал обратно, при этом его скорость была на 2 км/ч больше прежней. По пути велосипедист останавливался и отдыхал 2 часа. В итоге на возвращение из города Б в город А у него ушло времени столько же, сколько на путь из города А в город Б. Найдите скорость велосипедиста на пути из города А в город Б.

1. Обозначим скорость велосипедиста на пути из города А в город Б как переменную Х.

Из условий задачи: расстояние — 80 км, скорость велосипедиста во второй день – х. Его скорость во второй день была на 2 км/ч больше, чем в первый день, т.е. в первый день она была ниже, следовательно, скорость велосипедиста в первый день равна х – 2. Определим затраченное велосипедистом время на путь по формуле t = S / V. Тогда время, затраченное в первый день на путь равно 80 / х, во второй день — 80 / (х + 2).2. На основании таблицы и условий задачи составим уравнение.

Из условий задачи нам известно, что во второй день велосипедист останавливался и отдыхал 2 часа, следовательно, в пути он провел на 2 часа меньше (смотрим наше первое правило). Также нам известно, что общее затраченное велосипедистом время в первый и во второй дни равно. Следовательно:

80 / (х + 2) + 2 = (80 / х)

Решаем полученное уравнение, для чего приводим дроби к общему знаменателю:

(80х + 160 – 80х – 2х (х+2)) / х (х + 2) = 0

Умножаем обе части уравнения на х (х + 2):

160 – 2х 2 + 4х = 0

— 2х 2 — 4х + 160 = 0

Делим обе части уравнения на -2:

D = 2 2 – 4 * 1 * (-80) = 4 + 320 = 324

Тогда корни уравнения равны:

3. Возвращаемся к условиям задачи. Нам необходимо было найти скорость велосипедиста на пути из города А в город Б, которую мы обозначали за Х.

Скорость должна быть положительна, поэтому х₂ = — 10 не подходит по смыслу задачи. Следовательно, скорость велосипедиста равна 8.

Задачи на движение навстречу: примеры с решением

Главное, что нужно помнить о движении навстречу: скорости участников движения складываются.

В тех случаях, когда нам неизвестно общее расстояние, то есть мы не можем его определить из условий задачи и из составленных уравнений, данное расстояние следует принимать за единицу.

Примеры решения задач на движение навстречу:

Задача 1

Из города А в город Б выехал автомобилист, через 3 часа навстречу ему выехал мотоциклист со скоростью 60 км/ч. Автомобилист и мотоциклист встретились на расстоянии 350 км от города А. Расстояние между городами А и Б равно 470 км. Найдите скорость автомобилиста.

1. Обозначим скорость автомобилиста как Х.

Автомобилист и мотоциклист встретились на расстоянии 350 км от города А. Следовательно, автомобилист проехал 350 км, а мотоциклист 470 – 350 = 120 км.

Составим таблицу:2. Составим уравнении на основании таблицы и условий задачи.

Из условий задачи известно, что автомобилист ехал на 3 часа дольше, чем мотоциклист (пользуемся первым правилом, которое разбирали при решении задач на движение вдогонку). Следовательно:

Решаем полученное уравнение:

3. Возвращаемся к условиям задачи. Нам необходимо было найти скорость автомобилиста, которую мы обозначали за Х. Следовательно, скорость автомобилиста равна 70 км/ч.

Задача 2

Из городов А и Б одновременно навстречу друг другу выехали автомобилист и велосипедист. Автомобилист приехал в город А на 6 часов раньше, чем велосипедист приехал в город Б. Встретились они через 4 часа после начала движения. Сколько времени затратил автомобилист на путь из города Б в город А?

1. Время автомобилиста обозначим как Х.

Примем расстояние между городами А и Б за единицу. Остальные данные берем из условий задачи.

Составим таблицу:2. Составим уравнение на основании таблицы и условий задачи.

Известно, что велосипедист и автомобилист встретились через 4 часа после начала движения и в сумме преодолели все расстояние от города А до города Б. То есть все расстояние от города А до города Б было преодолено за 4 часа.

Вспоминаем, что при движении навстречу скорости движения участников складываются. Подставим в формулу пути известные нам данные:

((1 / х) + (1 / (х — 6))) * 4 = 1

Решаем полученное уравнение:

(4 / х) + (4 / (х — 6)) = 1

Приводим дроби к одному знаменателю:

(4х — 24 + 4х — х 2 + 6х) / (х (х — 6)) = 0

Делим обе части уравнения на х (х — 6), при условии, что х > 6:

-х 2 + 14х — 24 = 0

Умножим обе части уравнение на -1:

х 2 — 14х + 24 = 0

Находим дискриминант нашего квадратного уравнения:

D = 14 2 – 4 * 1 * 24 = 100

Находим корни уравнения:

х₂ 2 + 40х – 40х – 200 = 0

3. Возвращаемся к условию задачи. Нам необходимо было найти собственную скорость катера, которую мы обозначили за Х. Так как скорость не может быть отрицательной, то х₁ = -15 противоречит условию задачи. Следовательно, собственная скорость катера равна 15 км/ч.

Задача 2

Моторная лодка вышла в 9:00 из пункта А в пункт Б, расстояние между которыми 30 км. Пробыв в пункте Б 3 часа, моторная лодка повернула назад и вернулась в пункт А в 20:00. Найдите скорость течения реки, если известно, что собственная скорость моторной лодки 8 км/ч.

1. Обозначим скорость течения реки за х. Остальные данные берем из условия задачи.

Составим таблицу:2. Составим уравнение.

Нам известно, что моторная лодка начала свое движение в 9:00, а закончила в 20:00, а также в течение этого времени пробыла без движения во время стоянки – 3 часа. Таким образом, общее время движения будет 20 – 9 – 3 = 8 часов. Когда речь идет об общем времени движения, то нам нужно сложить время движения по течению и время движения против течения (пользуемся вторым правилом, которое разбирали при решении задач на движение вдогонку). Получаем:

30 / (8+х) + 30 / (8-х) = 8

Решаем полученное уравнение. Для этого приводим дроби к общему знаменателю:

(30 (8+х) + 30 (8-х) – 8 (8-х) (8+х)) / (8-х) (8+х) = 0

Умножаем обе части уравнения на (8-х) (8+х):

240 + 30х + 240 – 30х – (64 – 8х) (8+х) = 0

480 – 512 – 64х + 64х – 8х 2 = 0

3. Возвращаемся к условию задачи. Нам необходимо было найти скорость течения, которую мы обозначили за х. Так как скорость не может быть отрицательной, то х₁ = -2 противоречит условию задачи. Следовательно, скорость течения равна 2 км/ч.

Итак, мы разобрались, как решать задачи на движения. В ЕГЭ 2019 помимо задач на движение могут содержаться и другие текстовые задачи: на смеси и сплавы, на работу, на проценты. О том, как их решать, вы можете узнать на нашем сайте.

Урок по теме «Решение текстовых задач на движение». 8-й класс

Разделы: Математика

Класс: 8

Цели:

Универсальные учебные действия:

Вид урока: урок усвоения знаний, умений и навыков.

Решение задач на движение с помощью рациональных уравнений

1. Организационный момент.

2. Актуализация опорных знаний учащихся.

Наиболее удобные обозначения при решении задач на движение

S (км)– путь, расстояние;

V (км/ч) – скорость;

Связь при равномерном движении по прямой между этими величинами такова:

1х>1х+2; 15у-2>15у+2; 60х-7>60х;

Из двух дробей с равными числителями больше та, у которой знаменатель меньше:

Условия задачи удобно анализировать, заполняя таблицу.

3. Мотивация учебной деятельности учащихся.

4. Изучение нового материала.

Основные этапы решения текстовой задачи алгебраическим методом

1. Анализ условия задачи и его схематическая запись.

2. Перевод естественной ситуации на математический язык (построение математической модели: введение переменной и составление дробного рационального уравнения).

3. Решение полученного уравнения.

4. Интерпретация полученного результата.

Турист проплыл на лодке против течения реки 6 км и по озеру 15 км, затратив на путь по озеру на 1 час больше чем на путь по реке. Зная, что скорость течения реки равна 2 км/ч, найдите скорость лодки при движении по озеру.

Путь S (км.)	Скорость V (км/ч.)	Время t (ч)
Против течения	6 км	(х-2)км/ч
По озеру	15 км	х км/ч

На 1 час больше.

Пусть х км/ч скорость движения лодки по озеру. По условию х > 0.

Ответ: собственная скорость лодки 6 км/ч или 5 км/ч.

5. Закрепление. Коррекция умений и навыков учащихся.

Учащимся предлагается выбрать правильный ответ. Приложение 1

Учащиеся выходят к доске по одному, заполняют таблицу и составляют уравнение. Для экономии времени всем учащимся раздаются листы с условиями задач и пустыми таблицами. Успешным учащимся предлагается для одной из задач провести полное решение.

1. Теплоход проходит по течению до пункта назначения 126 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения 2 км/ч, стоянка длится 8 ч, а в пункт отправления теплоход возвращается ровно через сутки после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

Путь S (км)	Скорость V (км/ч)	Время t (ч)
По течению	126 км	(х+2)км/ч
Против течения	126 км	(х-2)км/ч

Возвращается через 24 ч.

Пусть х км/ч собственная скорость теплохода. По условию х > 2.

2. Пристани А и В, расстояние между которыми равно 120 км, расположены на реке, скорость течения которой на этом участке равна 5 км/ч. Катер проходит от А до В и обратно без остановок со средней скоростью 24 км/ч. Найдите собственную скорость катера.

Путь S (км)	Скорость V (км/ч)	Время t (ч)
Из А в В.	120 км	(х+5)км/ч
Из В в А.	120 км	(х-5)км/ч
Туда и обратно.	240 км	24 км/ч

Пусть х км/ч собственная скорость катера. По условию х > 5.

3. Из пункта А в пункт В, расположенного на расстоянии 100 км, отправился автобус со скоростью 36 км/ч. Как только автобус проехал пятую часть пути, вслед за ним выехала машина. В пункт В они прибыли одновременно. Найдите скорость машины в км/ч.

Автобус

Машина

Больше на ч

4. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 80 км, выехал автобус. В середине пути он был задержан на 10 минут, но, увеличив скорость на 20 км/ч, прибыл в В вовремя. С какой скоростью автобус проехал первую половину пути?

Путь
S (км.)

Скорость
V (км/ч.)

Время
t (ч)

I половина40 кмх км/ч

II половина40 км(х+20)км/ч

На 10 мин меньше

5. Дополнительно: Велосипедист проехал из поселка до станции с некоторой постоянной скоростью, а возвращался со скоростью на 5 км/ч большей. Какова была первоначальная скорость велосипедиста, если известно, что средняя скорость на всем пути следования составляла 12 км/ч?

6. Проверка уровня усвоения новых знаний, умений и навыков.