Как составить уравнение касательной к графику функции в точке x0 онлайн

Уравнение касательной онлайн

Оставить свой комментарий:

---

Онлайн калькулятор для вычисления уравнения касательной к графику функции.
Ряд Маклорена (=Макларена) это ряд Тейлора в окрестности точки а=0.

Вычисление значения функции y0 в точке x0:y0 = f(x0). Если исходное значение y0
задано, то переходим к п.2.
Нахождение производной y'(x).
Вычисление значения производной при x0.
Запись уравнения касательной к кривой линии в форме: yk = y0 + y'(y0)(x — x0)

Калькулятор поможет составить и решить уравнение касательной к графику функции онлайн.
Для получения полного хода решения нажимаем в ответе Step-by-step.

• • Математика онлайн
  • Линейная алгебра
  • Вычислительная математика
  • Теория вероятностей
  • Математическая статистика
  • Статистика онлайн
• • Математический анализ
  • Свойства функций y=f(x)
  • Предел функции
  • Точки разрыва функции
  • Первый замечательный предел
  • Второй замечательный предел
  • Производная функции
  • Уравнение касательной к кривой
  • Дифференциал функции
  • Правило Лопиталя
  • Экстремумы функций одной переменной
  • Асимптоты графика функции
  • ✍ Помощь в решении контрольных

Уравнение касательной к кривой линии

Уравнение касательной в общем виде записывается как: yk=y0+y'(x0)(x-x0)

Назначение. Онлайн-калькулятор предназначен для нахождения уравнения касательной к графику функции. Решение оформляется в формате Word (см. пример).

• Шаг №1
• Шаг №2
• Видеоинструкция

Примеры:

Функция задана в явном виде, например y = 1/2*x³+5*x

Функция задана в неявном виде, например y² — 1/2*x³ — 8

Функция задана в параметрическом виде, например x = 5*cos(t);y = 3*sin(t)

Функция задана в явном виде,

Функция задана в неявном виде

Функция задана в параметрическом виде

Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции

1. Вычисление значения функции y₀ в точке x₀:y₀ = f(x₀). Если исходное значение y₀ задано, то переходим к п.2.
2. Нахождение производной y'(x).
3. Вычисление значения производной при x₀.
4. Запись уравнения касательной к кривой линии в форме: y_k = y₀ + y'(y₀)(x — x₀)

Касательные к кривым второго порядка

	Уравнение линии	Уравнение касательной
Эллипс
Гипербола
Парабола	y2 = 2px	yY = p(X + x)

см. также Касательная плоскость к поверхности.

Об этом калькуляторе касательных линий

Этот калькулятор позволит вам легко провести вычисления, необходимые для получения касательной к линии функции в заданной точке, показывая все шаги.

Все, что вам нужно сделать, это задать действительную функцию f(x) и точку, в которой вы хотите провести касательную линию. Функцией может быть любая дифференцируемая функция, например f(x) = sin(x), или f(x) = x^2 — x + 1, и т.д. Точкой может быть любое допустимое числовое выражение, например, 1/2.

Затем, когда вся необходимая информация предоставлена и она достоверна, нужно нажать кнопку «Вычислить», чтобы вам были показаны все шаги уравнения касательной линии.

Применения касательных линий в науке очень много. Также называется

первый порядок или линейная аппроксимация

но оно имеет действительно глубокий смысл в физике и инженерии, где идея основного вклада в изменение (часть первого порядка) является той, которая раскрывает много информации о процессе.

Что такое касательная линия

Проще говоря, касательная — это линия, которая пересекает кривую, но пересекает ее только в одной точке (по крайней мере, локально). Эта касательная строится путем фиксирования точки (x_0) и взятия другой точки (x_1).

Затем, построив линию, проходящую через точки ((x_0, f(x_0))) и ((x_1, f(x_1))), получим то, что называется

Секантная линия

как показано на графике ниже:

Наконец, мы приближаем точку (x_1) к (x_0), и мы получаем касательную:

Шаги для геометрического нахождения касательной линии

• 
  Шаг 1:
  
  Определите функцию f(x), с которой вы хотите работать, и точку x0. Вам нужны обе эти точки
• 
  Шаг 2:
  
  Точка (x0, f(x0)) будет лежать на кривой функции f(x). Постройте ее
• 
  Шаг 3:
  
  Выберите точку (x1, f(x1)) для x1, отличного от x0 (может быть слева или справа от x). Постройте график
• 
  Шаг 4:
  
  Проведите прямую, проходящую через точки (x0, f(x0)) и (x1, f(x1))
• 
  Шаг 5:
  
  Выберите точку x2, которая находится на полпути между x0 и x1, и проведите прямую, проходящую через точки (x0, f(x0)) и (x2, f(x2))
• 
  Шаг 6:
  
  Повторите этот процесс несколько раз

Этот графический метод поможет вам получить приблизительное представление о том, как выглядит линия касательной, но является приблизительным (если только функция f(x) не является линейной).

Формула касательной линии

Метод аппроксимации с использованием секущих может дать вам представление о том, что вы ищете, но, к счастью, существует точная формула для вычисления касательной к функции в точке (x_0). Формула касательной линии:

[displaystyle y = f(x_0) + f'(x_0) (x — x_0) ]

Просто, да? Проще говоря, эта формула говорит о том, что касательная линия — это

прямая, проходящая через точку

((x_0, f(x_0))) и имеет наклон (m = f'(x_0))

Тогда, говоря простым языком, наклон касательной в данной точке в точности является производной функции в этой точке.

Шаги для применения формулы касательной линии

• 
  Шаг 1:
  
  Определите функцию f(x) и точку x0
• 
  Шаг 2:
  
  Вычислите значение функции в точке x0, которое равно f(x0)
• 
  Шаг 3:
  
  Вычислите производную f(x) в точке x0, поэтому вам нужна f'(x0)
• 
  Шаг 4:
  
  Непосредственно применить формулу касательной линии (y = f(x_0) + f'(x_0) (x — x_0))

Как только вы получите

уравнение прямой

вы можете преобразовать его в формат, наиболее подходящий для конкретной ситуации.

Наклон касательной линии

Один из ключевых выводов заключается в том, что наклон касательной в точке (x_0) в точности равен (f'(x_0)), который является производной в точке (x_0). Это обеспечивает четкую и чрезвычайно полезную интерпретацию производной в геометрических терминах.

Эта связь позволяет найти уравнение касательной к данной кривой в данной точке, просто посмотрев на производную функции.

Когда у вас есть горизонтальная касательная?

Горизонтальная касательная появится, когда выбрана точка (x_0), когда соответствующая производная в этой точке равна нулю. В этом случае касательная (которая представляет собой линию, которая локально касается кривой в одной точке) будет параллельна оси y.

Итак, все, что вам нужно знать для определения горизонтальных касательных линий, — это найти точки, в которых производная функции равна нулю.

Когда у вас есть вертикальная касательная линия?

Вертикальная касательная появится, когда производная «бесконечна» в точке. Это простой способ сказать, что производная не определена в данной точке, но сходится к бесконечности по мере приближения к этой точке.

Например, можно сказать, что (f(x) = frac{1}{x}) имеет вертикальную касательную при x = 0. Хотя можно утверждать, что касательной нет, потому что производная при x = 0 определена некорректно.

Пример: касательная линия

Найдите уравнение касательной для (f(x) = x^2 — 2x + 1) в точке (x_0 = 2).

Отвечать:

Нам нужно работать со следующей функцией: (displaystyle f(x)=x^2-2x+1). Во-первых, нам нужно вычислить его производную.

Функция уже упрощена, поэтому мы можем перейти непосредственно к вычислению ее производной:

Касательная Линия

: Уравнение касательной для функции (displaystyle f(x)=x^2-2x+1) в точке (x_0 = 2):

[y = y_0 + f'(x_0)(x — x_0) ]

В данном случае (displaystyle y_0 = f(x_0)), поэтому подстановка значения точки (x_0 = 2) в функцию приводит к:

[y_0 = f(x_0) = f(2) = 2^2-2cdot 2+1 = 1 ]

Кроме того, подстановка значения точки (x_0 = 2) в вычисляемую производную приводит к:

[f'(x_0) = f'(2) = 2cdot 2-2 = 2 ]

Теперь подставим эти значения в формулу касательной линии и получим:

[y = y_0 + f'(x_0)(x — x_0) ][Rightarrow y = 1+2left(x-2right) = 2x-3 ]

Заключение

: Следовательно, установлено, что касательная для функции (displaystyle f(x)=x^2-2x+1) в точке (x_0 = 2) имеет вид:

[y = 2x-3 ]

Для данной функции и ее касательной в точке (x_0 = 2) получается следующий график:

Пример: уравнение касательной линии

Что такое касательная в точке x = 1/2 для функции (f(x) = sin(x) + 1)?

Решение:

Предусмотрена следующая функция: (displaystyle f(x)=sinleft(xright)+1), для которой нам нужно вычислить ее производную.

Функция уже упрощена, поэтому мы можем перейти непосредственно к вычислению ее производной:

Касательная Линия

: Мы находим, что соответствующее уравнение касательной в точке (x_0 = frac{1}{2}) имеет вид:

[y = y_0 + f'(x_0)(x — x_0) ]

Но в данном конкретном случае (displaystyle y_0 = f(x_0)), что означает, что нам нужно подставить значение точки (x_0 = frac{1}{2}) в функцию, поэтому мы получаем:

[y_0 = f(x_0) = fleft(frac{1}{2}right) = sinleft(frac{1}{2}right)+1]

Теперь, проделав то же самое с производной, для (x_0 = frac{1}{2}) находим

[f'(x_0) = f’left(frac{1}{2}right) = cosleft(frac{1}{2}right) ]

Теперь нам нужно просто вставить значения, и мы находим, что

[y = y_0 + f'(x_0)(x — x_0) ][Rightarrow y = sinleft(frac{1}{2}right)+1+cosleft(frac{1}{2}right)left(x-frac{1}{2}right) = xcosleft(frac{1}{2}right)-frac{1}{2}cosleft(frac{1}{2}right)+sinleft(frac{1}{2}right)+1 ]

Заключение

: Мы находим, что соответствующая касательная, которую мы ищем, в соответствующей точке (x_0 = frac{1}{2}) задается выражением

[y = xcosleft(frac{1}{2}right)-frac{1}{2}cosleft(frac{1}{2}right)+sinleft(frac{1}{2}right)+1 ]

Графически:

Пример: другая касательная линия

Что такое касательная в точке x = 0 для функции (f(x) = cos(x))? Имеет ли этот результат смысл?

Отвечать:

Обратите внимание, что (f'(x) = -sin(x)), а затем (f'(0) = -sin(0) = 0). То есть касательная имеет наклон m = 0 при x = 0, поэтому уравнение касательной имеет вид (y = y_0 = cos(0) = 1). Это имеет смысл, потому что в этом случае касательная является горизонтальной линией.

Больше калькуляторов дифференциации

Некоторые люди могут утверждать, что дифференцирование — это относительно простое упражнение, и что использование

производный калькулятор

может и не понадобиться, но на самом деле вычисление производных может быть довольно громоздким и потребовать длительного времени

алгебраические вычисления

.

Когда у вас есть выражение с более чем одной переменной, чтобы найти производную, вам нужно определить, являются ли переменные независимыми друг от друга, в этом случае вы используете

частные производные

или если есть уравнение, которое связывает переменные, в этом случае вам нужно использовать

неявное дифференцирование

.

Основными двумя направлениями в дифференциальном исчислении являются интегрирование и дифференцирование, и оба они находят широкое применение повсеместно.

частные производные

подробно описаны в инженерных и экономических приложениях.

С одной стороны, дифференцирование имеет дело с бесконечно малыми скоростями изменений, тогда как интегрирование — с суммированием бесконечно малых скоростей изменений

Фундаментальная теорема исчисления

.