Как составить уравнение касательной плоскости к поверхности параллельной плоскости

Пусть поверхность
задана уравнением

Тогда уравнение
касательной плоскостив точкеимеет вид:

(18.16)

где

Нормальюк поверхности в точкеназывается прямая, проходящая через
точкуперпендикулярно к касательной плоскости
в этой точке.

Уравнение
нормалик поверхности (18.16) в точкеимеет вид:

(18.17)

Если поверхность
задана уравнением

(18.18)

и в точке
этой поверхности существуют частные
производныене равные нулю одновременно, то уравнение
касательной плоскости к поверхности
(18.18) в точкеимеет вид:

(18.19)

Уравнение нормали
к поверхности (18.18) в точке
имеет вид:

(18.20)

Пример
1. Поверхность
задана уравнением
Составить уравнение касательной
плоскости и уравнение нормали к
поверхности в точке

Решение.
Найдем
частные производные:

Их
значения в точке
равны

Найдем
соответствующее значение
функции для

Тогда
уравнение касательной плоскости примет
вид:

или

Уравнение нормали:

Пример
2. Составить
уравнение касательной плоскости и
нормали к поверхности
в точке

Решение.
Частные
производные имеют вид:

Их
значения в точке N₀
равны:

Тогда
уравнение касательной плоскости в точке
N₀:
или

Уравнение
нормали:

Пример
3. Составить
уравнения касательных плоскостей к
поверхности
параллельных плоскости

Решение.
Найдем
частные производные:

Так
как касательная плоскость параллельна
плоскости
то справедливо условие параллельности
плоскостей:

т. е.

Координаты
точек касания найдем из системы уравнений

Решая
систему, получаем:

Точки касания
имеют координаты:

и

Тогда уравнения
касательных плоскостей имеют вид:

Пример
4. Составить
уравнение касательной плоскости к
поверхности, заданной уравнением
гдев точке

Решение.
Поверхность
задана сложной функцией. Найдем частные
производные, используя формулы (18.11)
(см. § 18.3):

Их
значения в точке
соответственно равны:

Найдем
соответствующее значение

Тогда уравнение
касательной плоскости:

или

Пример
5. Записать
уравнение нормали к поверхности, заданной
уравнением
в точке

Решение.
Найдем
частные производные и вычислим их в
точке N₀:

Уравнение
нормали в точке N₀:

или

Равенство
нулю
означает, что касательная плоскость
параллельна осиОх,
а нормаль к ней лежит в плоскости

Задания

I уровень

1.1.Найдите
уравнение касательной плоскости и
нормали к поверхности, заданной функциейв точке

1)
2)

3)
4)

5)
6)

1.2.Найдите
уравнение касательной плоскости и
нормали к поверхности, заданной уравнениемв точке

1)

2)

3)

II уровень

2.1.Найдите
уравнения касательных плоскостей к
поверхностиперпендикулярных координатным плоскостям.

2.2.Составьте
уравнения касательных плоскостей к
поверхностипараллельных:

1) координатным
плоскостям; 2) плоскости

2.3.Составьте
уравнение касательной плоскости и
нормали к поверхности, заданной уравнениемгдев точке

2.4.Найдите
точки на поверхности

в которых нормаль
к ее поверхности будет:

1) параллельна осям
координат;

2) перпендикулярна
осям координат.

III уровень

3.1.Определите,
в каких точках сферыкасательные плоскости к ней отсекают
на осях координат равные отрезки.

3.2.Найдите
точки эллипсоидав которых нормаль к его поверхности
образует равные углы с осями координат.

3.3. Выясните,
является ли плоскостьв точкекасательной:

1) к параболоиду
вращения

2) к конусу

3) к гиперболическому
параболоиду

3.4. Найдите
точки на поверхности

касательная
плоскость в которых к данной поверхности
будет:

1) параллельна
координатным плоскостям;

2) перпендикулярна
координатным плоскостям.

3.5.Докажите,
чтогде– направляющие косинусы нормали к
поверхности

Соседние файлы в папке Часть 3

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Касательной плоскостью к поверхности σ в её точке М₀ называется плоскость, в которой лежат касательные ко всем кривым, проведённым на поверхности σ через точку М₀.
Уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением z = f(x,y) , в точке M₀(x₀,y₀,z₀) имеет вид:

Пример №1 . Поверхность задана уравнением x 3 +5y . Найти уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M₀(0;1).
Решение. Запишем уравнения касательной в общем виде: z — z₀ = f’_x(x₀,y₀,z₀)(x — x₀) + f’_y(x₀,y₀,z₀)(y — y₀)
По условию задачи x₀ = 0 , y₀ = 1 , тогда z₀ = 5
Найдем частные производные функции z = x^3+5*y :
f’_x(x,y) = (x 3 +5•y)’_x = 3•x 2
f’_x(x,y) = (x 3 +5•y)’_y = 5
В точке М₀(0,1) значения частных производных:
f’_x(0;1) = 0
f’_y(0;1) = 5
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М₀: z — 5 = 0(x — 0) + 5(y — 1) или -5•y+z = 0

Пример №2 . Поверхность задана неявным образом y 2 -1/2*x 3 -8z. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M₀(1;0;1).
Решение. Находим частные производные функции. Поскольку функция задана в неявном виде, то производные ищем по формуле:

Для нашей функции:

Тогда:

В точке М₀(1,0,1) значения частных производных:
f’_x(1;0;1) = -3 /₁₆
f’_y(1;0;1) = 0
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М₀: z — 1 = -3 /₁₆(x — 1) + 0(y — 0) или 3 /₁₆•x+z- 19 /₁₆ = 0

Пример . Поверхность σ задана уравнением z= y/x + xy – 5x 3 . Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности σ в точке М₀(x₀, y₀, z₀), принадлежащей ей, если x₀ = –1, y₀ = 2.
Найдем частные производные функции z= f(x, y) = y/x + xy – 5x 3 :
f_x’(x, y) = (y/x + xy – 5x 3 )’_x = – y/x 2 + y – 15x 2 ;
f_y’ (x, y) = (y/x + xy – 5x 3 )’_y = 1/x + x.
Точка М₀(x₀, y₀, z₀) принадлежит поверхности σ, поэтому можно вычислить z₀, подставив заданные x₀ = –1 и y₀ = 2 в уравнение поверхности:

Пример №1 . Дана функция z=f(x,y) и две точки А(х₀, y₀) и В(х₁,y₁). Требуется: 1) вычислить значение z₁ функции в точке В; 2) вычислить приближенное значение z₁ функции в точке В исходя из значения z₀ функции в точке А, заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом; 3) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z = f(x,y) в точке C(x₀,y₀,z₀).
Решение.
Запишем уравнения касательной в общем виде:
z — z₀ = f’_x(x₀,y₀,z₀)(x — x₀) + f’_y(x₀,y₀,z₀)(y — y₀)
По условию задачи x₀ = 1, y₀ = 2, тогда z₀ = 25
Найдем частные производные функции z = f(x,y)x^2+3*x*y*+y^2:
f’_x(x,y) = (x 2 +3•x•y•+y 2 )’_x = 2•x+3•y 3
f’_x(x,y) = (x 2 +3•x•y•+y 2 )’_y = 9•x•y 2
В точке М₀(1,2) значения частных производных:
f’_x(1;2) = 26
f’_y(1;2) = 36
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М₀:
z — 25 = 26(x — 1) + 36(y — 2)
или
-26•x-36•y+z+73 = 0

Пример №2 . Написать уравнения касательной плоскости и нормали к эллиптическому параболоиду z = 2x 2 + y 2 в точке (1;-1;3).
Скачать решение

Математический портал

Nav view search

Navigation

Search

• Вы здесь:
• Home
• Математический анализ
• Касательная плоскость и нормаль к явно заданной поверхности.

Касательная плоскость и нормаль к явно заданной поверхности.

Касательной плоскостью к поверхности в ее точке $M_0$ (точка касания) называется плоскость, содержащая в себе все касательные к кривым, проведенным на поверхности через эту точку.

Нормалью к поверхности называется прямая, перпендикулярная к касательной плоскости и проходящая через точку касания.

Если уравнение поверхности имеет вид $$F(x,y,z)=0,$$ то уравнение касательной плоскости в точке $M_0(x_0, y_0, z_0)$ есть $$F_x'(x_0, y_0, z_0)(x-x_0)+F_y'(x_0, y_0, z_0)(y-y_0)+F_z'(x_0, y_0, z_0)(z-z_0)=0.$$

В случае задания поверхности в явной форме $$z=f(x, y)$$ уравнение касательной плоскости в точке $M_0(x_0, y_0, z_0)$ имеет вид $$z-z_0=f_x'(x_0, y_0)(x-x_0)+f_y'(x_0, y_0)(y-y_0),$$ а уравнение нормали $$frac=frac=frac<-1>.$$

Примеры:

7.229. а) Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности $z=sin xcos y$ в точке $(pi/4, pi/4, pi/4).$

Решение.

Для поверхности $$z=f(x, y)$$ уравнение касательной плоскости в точке $M_0(x_0, y_0, z_0)$ имеет вид $$z-z_0=f_x'(x_0, y_0)(x-x_0)+f_y'(x_0, y_0)(y-y_0),$$ а уравнение нормали $$frac=frac=frac<-1>.$$

Находим частные производные:

$z’_x=(sin xcos y)’_x=cos xcos y;$

$z’_y=(sin xcos y)’_y=-sin xsin y;$

Таким образом, уравнение касательной плоскости: $$z-frac<pi><4>=frac<1><2>(x-frac<pi><4>)-frac<1><2>(y-frac<pi><4>)Rightarrow$$ $$frac<1><2>x -frac<1><2>y-z+frac<pi><4>=0.$$

7.232. Для поверхности $z=4x-xy+y^2$ найти уравнение касательной плоскости, параллельной плоскости $4x+y+2z+9=0.$

Решение.

Для поверхности $$z=f(x, y)$$ уравнение касательной плоскости в точке $M_0(x_0, y_0, z_0)$ имеет вид $$z-z_0=f_x'(x_0, y_0)(x-x_0)+f_y'(x_0, y_0)(y-y_0).$$

Находим частные производные:

Отсюда находим уравнение касательной плоскости: $$z-z_0=(4-y_0)(x-x_0)+(-x_0+2y_0)(y-y_0)Rightarrow$$ $$(4-y_0)(x-x_0)+(-x_0+2y_0)(y-y_0)-z+z_0=0.$$

Найдем точку поверхности $M(x_0, y_0, x_0)$ касательная плоскость к которой будет параллельна плоскости $4x+y+2z+9=0:$

Таким образом, уравнение касательной плоскости: $$z-11=(4-6)(x-frac<25><2>)+(-frac<25><2>+2cdot 6)(y-6)Rightarrow$$ $$z-11=-2(x-frac<25><2>)-frac<1><2>(y-6)Rightarrow 2x+frac<1><2>y+z-11-25-3=0Rightarrow$$ $$Rightarrow4x+y+2z-78=0.$$

7.233. а) Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности $x(y+z)(xy-z)+8=0$ в точке $(2, 1, 3).$

Решение.

Для поверхности $$F(x,y,z)=0,$$ уравнение касательной плоскости в точке $M_0(x_0, y_0, z_0)$ есть $$F_x'(x_0, y_0, z_0)(x-x_0)+F_y'(x_0, y_0, z_0)(y-y_0)+F_z'(x_0, y_0, z_0)(z-z_0)=0.$$

$F(x, y, z)=x(y+z)(xy-z)+8=x^2y^2-xyz+x^2yz-xz^2+8=0$

Находим частные производные:

Отсюда находим уравнение касательной плоскости: $$4(x-2)+14(y-1)-10(z-3)=0Rightarrow 4x+14y-10z+8.$$

Домашнее задание.

7.229. б) Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности $z=e^$ в точке $(1, pi/ 1/e).$

7.230. Найти расстояние от начала координат до касательной плоскости к поверхности $z=y tgfrac$ в точке $left(frac<pi a>right).$

7.233. б) Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности $2^+2^=8$ в точке $(2, 2, 1).$

7.234. Для поверхности $x^2-z^2-2x+6y=4$ найти уравнение нормали, параллельной прямой $frac<1>=frac<3>=frac<4>.$

Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Пусть поверхность задана в неявном виде: $F(x,y,z)=0$ и пусть точка $M_0(x_0,y_0,z_0)$ принадлежит данной поверхности. Тогда уравнение касательной плоскости к этой поверхности в точке $M_0$ таково:

Уравнение нормали имеет вид:

Если же уравнение поверхности задано в явном виде $z=f(x,y)$, то уравнение касательной плоскости имеет вид:

Уравнение нормали в случае явного задания поверхности таково:

Примечание (желательное для более полного понимания текста): показатьскрыть

Формулы (3) и (4) легко получить из формул (1) и (2). Если $z=f(x,y)$, то перенося $z$ в правую часть равенства получим: $f(x,y)-z=0$. Обозначая $F(x,y,z)=f(x,y)-z$, получим: $F_^<‘>=left(f(x,y)-zright)_^<‘>=f_^<‘>(x,y)-0=f_^<‘>(x,y)$. Аналогично и $F_^<‘>=left(f(x,y)-zright)_^<‘>=f_^<‘>(x,y)-0=f_^<‘>(x,y)$. Что же касается последней производной (т.е. производной по переменной $z$), то тут нужно учесть, что выражение $f(x,y)$ не содержит $z$, поэтому: $F_^<‘>=left(f(x,y)-zright)_^<‘>=0-1=-1$. Подставляя в формулы (1) и (2) вместо $F_^<‘>$, $F_^<‘>$, $F_^<‘>$ соответственно $f_^<‘>$, $f_^<‘>$ и $-1$ и получим формулы (3) и (4).

Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности $z=3x^2y^4-6xy^3+5x-4y+10$ в точке $M_0(-2;1;20)$.

Поверхность задана в явном виде, посему для нахождения уравнений касательной плоскости и нормали будем применять формулы (3) и (4). Значения $x_0$, $y_0$, $z_0$ (координаты точки $M_0$) в нашем случае таковы: $x_0=-2$, $y_0=1$, $z_0=20$. Но перед тем, как переходить к решению, осуществим небольшую проверку. Убедимся, что точка $M_0$ действительно лежит на заданной поверхности. Эта проверка не является обязательной, но желательна, ибо ошибка в условиях подобных задач – дело вовсе не редкое. Подставим $x=x_0$, $y=y_0$ в уравнение нашей поверхности и убедимся, что $z_0$ действительно равно 20:

$$ z_0=3x_<0>^<2>y_<0>^<4>-6x_0y_<0>^<3>+5x_0-4y_0+10=3cdot (-2)^2cdot 1^4-6cdot (-2)cdot 1^3-4cdot 1+10=12+12-4=20. $$

Проверка пройдена, точка $M_0$ действительно лежит на заданной поверхности. Теперь найдём частные производные, т.е. $z_^<‘>$ и $z_^<‘>$:

Нас интересуют значения частных производных именно в точке $M_0$, посему подставим $x=x_0$, $y=y_0$ в выражения частных производных:

Подставляя $x_0=-2$, $y_0=1$, $z_0=20$, $z_^ <‘>left(x_0, y_0right)=-13$, $z_^ <‘>left(x_0, y_0right)=80$ в формулу (3) получим уравнение касательной плоскости:

Подставляя $x_0=-2$, $y_0=1$, $z_0=20$, $z_^ <‘>left(x_0, y_0right)=-13$, $z_^ <‘>left(x_0, y_0right)=80$ в формулу (4) получим уравнение нормали:

Ответ: Касательная плоскость: $-13x+80y-z-86=0$; нормаль: $frac<-13>=frac<80>=frac<-1>$.

Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности $z=5sqrt-2xy-39$ в точке $M_0(3;-4;z_0)$.

Поверхность задана в явном виде, посему для нахождения уравнений касательной плоскости и нормали будем применять формулы (3) и (4). Значения $x_0$ и $y_0$ (первая и вторая координаты точки $M_0$) заданы по условию: $x_0=3$, $y_0=-4$. Третью координату (т.е. $z_0$) нужно определить самостоятельно, подставив в заданное уравнение $x=x_0$ и $y=y_0$:

Теперь, как и в предыдущем примере, перейдём к нахождению частных производных $z_^<‘>$ и $z_^<‘>$. После того, как мы найдём эти производные в общем виде, укажем их значения при $x=x_0$ и $y=y_0$:

Подставляя $x_0=3$, $y_0=-4$, $z_0=10$, $z_^ <‘>left(x_0, y_0right)=11$, $z_^ <‘>left(x_0, y_0right)=-10$ в формулы (3) и (4) получим уравнения касательной плоскости и нормали:

Ответ: Касательная плоскость: $11x-10y-z-63=0$; нормаль: $frac<11>=frac<-10>=frac<-1>$.

Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности $3xy^2z+5xy+z^2=10xz-2y+1$ в точке $M_0(1;-2;3)$.

Перенесём все слагаемые в левую часть равенства и обозначим полученное в левой части выражение как $F(x,y,z)$:

Используем формулы (1) и (2). Значения $x_0$, $y_0$ и $z_0$ как и ранее обозначают координаты точки $M_0$, т.е. $x_0=1$, $y_0=-2$, $z_0=3$.

Проверим, действительно ли точка $M_0$ лежит на данной поверхности. Для этого подставим $x=x_0$, $y=y_0$ и $z=z_0$ в выражение $3xy^2z+5xy+z^2-10xz+2y-1$ и выясним, равен ли нулю полученный результат:

Итак, точка $M_0$ действительно лежит на данной поверхности. Естественно, что данная проверка не является обязательной, но она крайне желательна. Перейдём к дальнейшему решению. Нам нужно найти $F_^<‘>$, $F_^<‘>$ и $F_^<‘>$:

Нас интересуют значения частных производных именно в точке $M_0$, посему подставим $x=x_0$, $y=y_0$ и $z=z_0$ в выражения частных производных:

Подставляя $x_0=1$, $y_0=-2$, $z_0=3$, $F_^ <‘>left(M_0right)=-4$, $F_^ <‘>left(M_0right)=-29$ и $F_^ <‘>left(M_0right)=8$ в формулы (1) и (2) получим уравнения касательной плоскости и нормали:

Ответ: Касательная плоскость: $-4x-29y+8z-78=0$; нормаль: $frac<-4>=frac<-29>=frac<8>$.

Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности $z^3+4xyz=-3x^2+5y+7$ в точке $M_0(0;-3;z_0)$.

Поверхность задана в неявном виде, посему для нахождения уравнений касательной плоскости и нормали будем применять формулы (1) и (2). Значения $x_0$ и $y_0$ (первая и вторая координаты точки $M_0$) заданы по условию: $x_0=0$, $y_0=-3$. Третью координату (т.е. $z_0$) нужно определить самостоятельно, подставив в заданное уравнение $x=x_0$ и $y=y_0$:

Перенесём все слагаемые в левую часть равенства:

Обозначим $F(x,y,z)=z^3+4xyz+3x^2-5y-7$ и применим формулы (1) и (2). Найдём частные производные первого порядка $F_^<‘>$, $F_^<‘>$ и $F_^<‘>$. После того, как мы найдём эти производные в общем виде, укажем их значения в точке $M_0$:

Подставляя $x_0=0$, $y_0=-3$, $z_0=-2$, $F_^ <‘>left(M_0right)=-24$, $F_^ <‘>left(M_0right)=-5$ и $F_^ <‘>left(M_0right)=12$ в формулы (1) и (2) получим уравнения касательной плоскости и нормали:

Ответ: Касательная плоскость: $-24x-5y+12z+9=0$; нормаль: $frac<-24>=frac<-5>=frac<12>$.

Заметили ошибку, опечатку, или некорректно отобразилась формула? Отпишите, пожалуйста, об этом в данной теме на форуме (регистрация не требуется).

Касательная плоскость и нормаль к явно заданной поверхности.

Касательной плоскостью к поверхности в ее точке $M_0$ (точка касания) называется плоскость, содержащая в себе все касательные к кривым, проведенным на поверхности через эту точку.

Нормалью к поверхности называется прямая, перпендикулярная к касательной плоскости и проходящая через точку касания.

Если уравнение поверхности имеет вид $$F(x,y,z)=0,$$ то уравнение касательной плоскости в точке $M_0(x_0, y_0, z_0)$ есть $$F_x'(x_0, y_0, z_0)(x-x_0)+F_y'(x_0, y_0, z_0)(y-y_0)+F_z'(x_0, y_0, z_0)(z-z_0)=0.$$

Уравнение нормали $$frac{x-x_0}{F_x'(x_0, y_0, z_0)}=frac{y-y_0}{F_y'(x_0, y_0, z_0)}=frac{z-z_0}{F_z'(x_0, y_0, z_0)}.$$

В случае задания поверхности в явной форме $$z=f(x, y)$$ уравнение касательной плоскости в точке $M_0(x_0, y_0, z_0)$ имеет вид $$z-z_0=f_x'(x_0, y_0)(x-x_0)+f_y'(x_0, y_0)(y-y_0),$$ а уравнение нормали $$frac{x-x_0}{f_x'(x_0, y_0)}=frac{y-y_0}{f_y'(x_0, y_0)}=frac{z-z_0}{-1}.$$

Примеры:

7.229. а) Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности $z=sin xcos y$ в точке $(pi/4, pi/4, pi/4).$

Решение.

Для поверхности $$z=f(x, y)$$ уравнение касательной плоскости в точке $M_0(x_0, y_0, z_0)$ имеет вид $$z-z_0=f_x'(x_0, y_0)(x-x_0)+f_y'(x_0, y_0)(y-y_0),$$ а уравнение нормали $$frac{x-x_0}{f_x'(x_0, y_0)}=frac{y-y_0}{f_y'(x_0, y_0)}=frac{z-z_0}{-1}.$$

Находим частные производные:

$z’_x=(sin xcos y)’_x=cos xcos y;$

$z’_x(pi/4, pi/4)=cos frac{pi}{4}cos frac{pi}{4}=frac{1}{sqrt 2}cdotfrac{1}{sqrt 2}=frac{1}{2};$ 

$z’_y=(sin xcos y)’_y=-sin xsin y;$

$z’_y(pi/4, pi/4)=-sin frac{pi}{4}sin frac{pi}{4}=-frac{1}{sqrt 2}cdotfrac{1}{sqrt 2}=-frac{1}{2};$

Таким образом, уравнение касательной плоскости: $$z-frac{pi}{4}=frac{1}{2}(x-frac{pi}{4})-frac{1}{2}(y-frac{pi}{4})Rightarrow$$ $$frac{1}{2}x -frac{1}{2}y-z+frac{pi}{4}=0.$$ 

Уравнение нормали: $$frac{x-frac{pi}{4}}{frac{1}{2}}=frac{y-frac{pi}{4}}{-frac{1}{2}}=frac{z-frac{pi}{4}}{-1}.$$

Ответ: уравнение касательной плоскости: $frac{1}{2}x -frac{1}{2}y-z+frac{pi}{4}=0;$ уравнение нормали: $frac{x-frac{pi}{4}}{frac{1}{2}}=frac{y-frac{pi}{4}}{-frac{1}{2}}=frac{z-frac{pi}{4}}{-1}.$

7.232. Для поверхности $z=4x-xy+y^2$ найти уравнение касательной плоскости, параллельной плоскости $4x+y+2z+9=0.$

Решение. 

Для поверхности $$z=f(x, y)$$ уравнение касательной плоскости в точке $M_0(x_0, y_0, z_0)$ имеет вид $$z-z_0=f_x'(x_0, y_0)(x-x_0)+f_y'(x_0, y_0)(y-y_0).$$ 

Находим частные производные: 

$z’_x=(4x-xy+y^2)’_x=4-y;$ 

$z’_y=(4x-xy+y^2)’_y=-x+2y;$ 

Отсюда находим уравнение касательной плоскости: $$z-z_0=(4-y_0)(x-x_0)+(-x_0+2y_0)(y-y_0)Rightarrow$$ $$(4-y_0)(x-x_0)+(-x_0+2y_0)(y-y_0)-z+z_0=0.$$

Найдем точку поверхности $M(x_0, y_0, x_0)$ касательная плоскость к которой будет параллельна плоскости $4x+y+2z+9=0:$

$$frac{4-y_0}{4}=frac{-x_0+2y_0}{1}=frac{-1}{2}Rightarrow 4-y_0=-2Rightarrow y_0=6;$$ $$-x_0+12=-frac{1}{2}Rightarrow x_0=frac{25}{2};$$ $$z_0=4cdotfrac{25}{2}-frac{25}{2}cdot 6+6^2=50-75+36=11.$$

Таким образом, уравнение касательной плоскости: $$z-11=(4-6)(x-frac{25}{2})+(-frac{25}{2}+2cdot 6)(y-6)Rightarrow$$ $$z-11=-2(x-frac{25}{2})-frac{1}{2}(y-6)Rightarrow 2x+frac{1}{2}y+z-11-25-3=0Rightarrow$$ $$Rightarrow4x+y+2z-78=0.$$ 

Ответ: $4x+y+2z-78=0.$

7.233. а) Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности $x(y+z)(xy-z)+8=0$ в точке $(2, 1, 3).$

Решение. 

Для поверхности $$F(x,y,z)=0,$$ уравнение касательной плоскости в точке $M_0(x_0, y_0, z_0)$ есть $$F_x'(x_0, y_0, z_0)(x-x_0)+F_y'(x_0, y_0, z_0)(y-y_0)+F_z'(x_0, y_0, z_0)(z-z_0)=0.$$ 

$F(x, y, z)=x(y+z)(xy-z)+8=x^2y^2-xyz+x^2yz-xz^2+8=0$

Находим частные производные: 

$F’_x=(x^2y^2-xyz+x^2yz-xz^2+8)’_x=2xy^2-yz+2xyz-z^2;$ 

$F’_x(2, 1, 3)=4-3+12-9=4;$ 

$F’_y=(x^2y^2-xyz+x^2yz-xz^2+8)’_y=2x^2y-xz+x^2z;$ 

$F’_y(2, 1, 3)=8-6+12=14;$ 

$F’_z=(x^2y^2-xyz+x^2yz-xz^2+8)’_z=-xy+x^2y-2xz;$ 

$F’_z(2, 1, 3)=-2+4-12=-10.$ 

Отсюда находим уравнение касательной плоскости: $$4(x-2)+14(y-1)-10(z-3)=0Rightarrow 4x+14y-10z+8.$$ 

Ответ: $2x+7y-5z+4=0.$

Домашнее задание.

7.229. б) Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности $z=e^{xcos y}$ в точке $(1, pi/ 1/e).$ 

7.230. Найти расстояние от начала координат до касательной плоскости к поверхности $z=y tgfrac{x}{a}$ в точке $left(frac{pi a}{a, a, a}right).$

7.233. б) Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности $2^{x/z}+2^{y/z}=8$ в точке $(2, 2, 1).$

7.234. Для поверхности $x^2-z^2-2x+6y=4$ найти уравнение нормали, параллельной прямой $frac{x+2}{1}=frac{y}{3}=frac{z+1}{4}.$

Сообщения без ответов | Активные темы

Похожие темы	Автор	Ответы	Просмотры	Последнее сообщение
Касательная плоскость, параллельная оси z в форуме Дифференциальное исчисление	za-ek	4	493	12 янв 2014, 03:12
Три вектора и параллельная плоскость в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра	AMAM55	10	616	01 апр 2015, 23:37
Плоскость, параллельная 2 векторам в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра	Scorpionddd	1	562	06 окт 2013, 12:34
Прямая, параллельная плоскости в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра	hamham	2	231	18 дек 2017, 22:14
Касательная плоскость в форуме Дифференциальное исчисление	w0nna	1	92	29 май 2022, 13:11
Касательная плоскость в форуме Дифференциальное исчисление	w0nna	4	166	29 май 2022, 15:33
Касательная плоскость в форуме Дифференциальное исчисление	searcher	2	353	27 ноя 2016, 12:34
Касательная плоскость к сфере в форуме Дифференциальное исчисление	Slesher	4	634	17 фев 2014, 18:50
Касательная плоскость к поверхности в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра	evaf	20	623	19 сен 2017, 14:00
Касательная плоскость к сферам в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра	gashik	23	2206	04 май 2014, 17:42

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1

Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения

Касательной плоскостью к поверхности в данной точке (точке касания) называется плоскость, в которой лежат касательные в этой точке к всевозможным кривым, проведенным на данной поверхности через указанную точку.

Нормалью к поверхности называется перпендикуляр к касательной плоскости в точке касания.

Для поверхности уравнения касательной плоскости и нормали в точке имеют вид:

Для поверхности уравнения касательной плоскости и нормали в точке принимают вид:

Пример №1

Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности:

а) в точке ,

б) в точке

Решение:

а) Для составления уравнений касательной плоскости и нормали к поверхности в точке используем формулы:

Из условия имеем: , точка принадлежит данной поверхности.

Подставляя значения частных производных и координат т. в уравнения, получим

— уравнение касательной плоскости.

— уравнение нормали.

б) Для поверхности, заданной уравнением используем формулы:

В нашем случае ,

Уравнение касательной плоскости имеет вид: или .

Уравнение нормали:

или

Пример №2

Определить плоскость, касательную к поверхности и параллельной плоскости .

Решение:

Уравнение искомой плоскости имеет вид

где — точка касания,

— нормальный вектор.

По условию . Следовательно,

Так как искомая плоскость параллельна данной плоскости с нормальным вектором , параллельным вектору , то их координаты будут пропорциональны .

Поскольку точка принадлежит поверхности, то ее координаты можно вычислить, решив систему:

. Имеем две точки касания и .

Для точки уравнение касательной плоскости имеет вид

или .

Для точки уравнение касательной плоскости имеет вид

или .

На этой странице размещён краткий курс лекций по высшей математике для заочников с теорией, формулами и примерами решения задач:

Высшая математика краткий курс лекций для заочников

Возможно вам будут полезны эти страницы: