Как составить уравнение конической поверхности - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Лекция 9

Коническая
поверхность второго порядка. Цилиндрические
поверхности.

Определение 9.1.
Конической поверхностью с вершиной в
точке О и направляющей

называется множество точек пространства
образованное всеми прямыми проходящими
через точку О и пересекающими линию
.

Вывод уравнения
конической поверхности:

Пусть
задана каноническая поверхность с
вершиной в центе координат и плоскости
z=h.
Пусть она задана в этой плоскости
уравнением:

z=h

Пусть
—
образующей конической поверхности.
.
Так как
.

т.к.

—
каноническое
уравнение конической поверхности.

Определение 9.2.
Конической поверхностью второго порядка
называется поверхность, которая в
некоторой прямоугольной системе
координат определяется уравнением
(13)

Исследование
конической поверхности методом сечений:

Коническая
поверхность с началом в центре координат.

1.
Рассмотрим геометрические свойства
конуса. В сечение этой поверхности
плоскостью Oxy
(y=0)
получаем линию

,
распадающуюся на две пересекающиеся
прямые

2.
Аналогично, в сечении конуса плоскостью
Oyz
(x=0)
также получаются две пересекающиеся
прямые:

и

3.Рассмотрим
сечения поверхности плоскостями z=h,
параллельными плоскости Oxy.
Получим:

или

, из которых следует, что при h>0
и h<0
в сечениях
получаются эллипсы с полуосями

. При увеличении абсолютной величины
h
полуоси
и

также увеличиваются.

4.
При h=0
линия пересечения поверхности с
плоскостью z=h
вырождается в точку (0;0;0).

Цилиндрические
поверхности второго порядка.

Определение
9.3. Поверхность,
описываемая прямой, остающейся
параллельной некоторому заданному
направлению и пересекающей данную линию
L
, называется
цилиндрической.

Определение
9.4. Цилиндрической
поверхностью с направляющей

и образующей параллельной вектору

называется множество точек пространства,
таких, что прямая проходящая через любую
точку этого множества параллельна
вектору

и пересекает линию
.

направляющая,
образующая,
.

Вывод
уравнения цилиндрической поверхности:

Рассмотрим
аффинную систему координат. Плоскость
,
—
направляющая.

Так
как

лежит в xOy,
значит
уравнение линии примет вид:

.
Пусть точка
,
но принадлежит образующей цилиндрической
поверхности. Тогда образующая пересекает

в точке
.

,
.

.
Выразим

из третьего уравнения, получим
.
Подставим получившееся выражение в
оставшиеся два уравнения.

.
Подставим получившиеся значения X
и Y
в уравнение
линии
:

F
(-)=0

F
(,
)=0

—
уравнение цилиндрической
поверхности.

Цилиндрические
поверхности второго порядка определяются
в прямоугольной системе координат
Oxyz
уравнениями:

—
эллиптический цилиндр. В частности при
a=b
— круговой, z-
любое; (14) (рис. 1)
—
гиперболический цилиндр,

z-
любое;

(15)
(рис.2)

—
параболический цилиндр, z-
любое.

(16)
(рис.3)

Уравнения
(14)-(16) не содержат переменной z.
На плоскости Оху
уравнение
(14) определяет эллипс с полуосями a
и b.
Если точка
(х;у)
лежит на этом эллипсе, то при любом z
точка (х;у;z)
лежит на
поверхности, заданной каноническим
уравнением (13). Совокупность таких точек
есть поверхность, описанная прямой,
параллельной оси Оz
и пересекающей
эллипс

в плоскости Оху.

Этот
эллипс называют направляющей
линией данной
поверхности, а все возможные положения
движущейся прямой – образующими.

В
случае гиперболического и параболического
цилиндров ((15), (16)) направляющими линиями
поверхностей являются гипербола и
парабола, а образующими – прямые,
параллельные оси Оz
и проходящие
через гиперболу и параболу в плоскости
Ох.

Соседние файлы в папке вопрос 8

Источник

Конические поверхности

Объединение всех прямых, проходящих через каждую точку данной кривой и некоторую фиксированную точку пространства, не лежащую на этой кривой, называется конической поверхностью. Данная кривая называется направляющей, данная фиксированная точка — вершиной, а прямые — образующими конической поверхности (рис. 233).

Легко видеть, что конические поверхности состоят из двух полостей с общей вершиной.

Конические и цилиндрические поверхности обладают замечательным свойством: все они разворачиваются на плоскость без складок и разрывов, и, наоборот, из плоских листов материала, согнув их, можно получать поверхности конической и цилиндрической формы. Благодаря этому свойству они получили большое применение в технике.

Выведем уравнение конической поверхности. Если М — произвольная точка этой поверхности, отличная от вершины S, а N — точка пересечения образующей SM с направляющей L, то векторы (overrightarrow) и (overrightarrow) коллинеарны. Поэтому существует число λ такое, что

(overrightarrow) = λ (overrightarrow). (1)

Пусть для простоты кривая L лежит в плоскости хОу и имеет уравнение

а вершина S лежит на оси Oz и имеет координаты (0; 0; с), с =/= 0. Тогда’

(overrightarrow) = (х; у; z — с), (overrightarrow) = (ξ ; η; — с),

где (х; у; z ) — координаты точки М, а (ξ ; η ) — координаты точки N на плоскости хОу. Из векторного равенства (1) получаем следующие равенства для координат:

Так как координаты ξ , η удовлетворяют уравнению (2), то координаты (х; у; z) удовлетворяют уравнению

Это и есть уравнение конической поверхности с вершиной в точке S (0; 0; с), с =/= 0, и направляющей F(х; у) = 0. Таким образом, уравнение конической поверхности (3) получается из уравнения направляющей (2) заменой х на ( frac ) и у на (frac).

Задача. Составить уравнение конической поверхности с вершиной в точке

(0; 0; с), с > 0, и направляющей

Данная коническая поверхность имеет уравнение

После соответствующих преобразований получаем искомое уравнение:

Конусы: определение, сечения, построение

Конусом называется поверхность, определяемая в некоторой прямоугольной системе координат каноническим уравнением

где — положительные параметры, характеризующие конус, причем .

Начало координат называется центром конуса (рис.4.44,а).

Конус является конической фигурой, поскольку вместе с любой своей точкой уравнению (4.50) удовлетворяют также все точки при луча . Точка является вершиной конуса (4.50), а любой луч , принадлежащий конусу, является его образующей .

Плоские сечения конуса

Сечения конуса координатными плоскостями представляют собой пары пересекающихся прямых, удовлетворяющих в этих плоскостях уравнениям (при ) или (при ) соответственно.

Рассмотрим теперь сечение конуса плоскостями, параллельными плоскости . Подставляя , где — произвольная постоянная (параметр), в уравнение (4.50), получаем

При этому уравнению удовлетворяет одна вещественная точка — начало координат. При любом отличном от нуля значении параметра уравнение определяет эллипс с полуосями . Следовательно, сечение конуса плоскостью представляет с собой эллипс, центр которого лежит на оси аппликат, а вершины принадлежат координатным плоскостям и .

Таким образом, конус можно представить как поверхность, образованную эллипсами, центры которых лежат на оси аппликат, а вершины принадлежат координатным плоскостям и (см. рис.4.44,а).

Круговой конус

При все сечения конуса плоскостями становятся окружностями. Такой конус является фигурой вращения и называется прямым круговым конусом . Он может быть получен в результате вращения, например, прямой (образующей) вокруг оси аппликат (рис.4.44,б).

1. Конус является линейчатой поверхностью, поскольку может быть получен при помощи перемещения прямой.

2. Конус, образованный асимптотами гипербол, получающихся при пересечении гиперболоида плоскостями, проходящими через ось , называется асимптотическим конусом этого гиперболоида. На рис.4.44,в изображен асимптотический конус для однополостного и двуполостного гиперболоидов.

3. Конус (4.50) может быть получен из прямого кругового конуса (у которого ) в результате двух сжатий (растяжений) к координатным плоскостям и .

4. Начало канонической системы координат является центром симметрии конуса, координатные оси — осями симметрии конуса, координатные плоскости — плоскостями симметрии конуса.

В самом деле, если точка принадлежит конусу, то точки с координатами при любом выборе знаков также принадлежат конусу, поскольку их координаты удовлетворяют уравнению (4.50).

5. Рассмотрим сечение прямого кругового конуса плоскостями, не проходящими через его вершину, например, плоскостями , где — произвольная постоянная (параметр) — угловой коэффициент прямой в плоскости . Заметим, что образующие рассматриваемого конуса в плоскости описываются уравнением с угловым коэффициентом . Подставляя в уравнение конуса, получаем

Это уравнение проекции на координатную плоскость линии пересечения плоскости с конусом. Вычисляем инварианты

taucdotDelta=k^2-2 . По таблице 3.2 определяем, что рассматриваемое сечение, которое пересекает все образующие прямого кругового конуса, является эллипсом. При 1″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADoAAAAVBAMAAADlb+D4AAAALVBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAACttl6nAAAADnRSTlMAwAFBgwIcMaGw61tx0C5PF/kAAADbSURBVCjPY2DAD45D6Sasss4MDI7CQFoUXYIdIstq+ByLbHifAkQv4yJMWeaF66CyehNgsiUJcGklOais3QGYLLMEXJoJJutXkCEONZlZwgBNlklKffYSmL3sjQZosi9LWF7DXRXWuAlFlvltA1sBws1svRuQZVlerkxA8hGbL4os46KsCQhZti5Uk/Um8AqchsmyobvK7oDWhGkwH000gpqhcE8JLHuugGflBlhoFMBC8t27dw4gWTYGhjSovRVIIakE0QsEoTBXBWDGLxiI4op9PLLuUHoSFjkA6I4yBZZKaW0AAAAASUVORK5CYII=» style=»vertical-align: middle;» /> имеем . По таблице 3.2 определяем, что рассматриваемое сечение, которое параллельно двум образующим кругового конуса, является гиперболой. При имеем . По таблице 3.2 определяем, что рассматриваемое сечение, которое параллельно одной образующей кругового конуса, является параболой. Поскольку при аффинных преобразованиях тип линий не изменяется, такой же вывод можно сделать для произвольного конуса (4.50):

– сечение конуса плоскостью, пересекающей все его образующие, является эллипсом (рис.4.45,а);

– сечение конуса плоскостью, параллельной двум его образующим, является гиперболой (рис.4.45,б);

– сечение конуса плоскостью, параллельной одной его образующей, является параболой (рис.4.45,в).

6. Конические сечения могут быть взяты в качестве эквивалентных определений эллипса, гиперболы, параболы.

Тема: Линейные операции над векторами. Скалярное произведение векторов (стр. 7 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7

В этом случае уравнение конической поверхности имеет вид

. (1)

Если направляющая является эллипсом с центром на оси Oz,

то получаем поверхность, называемую конусом второго порядка, уравнение этой поверхности имеет вид:

. (2)

Ось Oz в этом случае является осью конуса второго порядка.

Сечения конуса второго порядка:

Пусть плоскость p не проходит через вершину конуса второго порядка, тогда плоскость p пересекает конус:

а) по эллипсу, если p пересекает все образующие конуса;

б) по гиперболе, если p параллельна двум образующим конуса;

в) по параболе, если p параллельна одной образующей конуса.

2. Получите уравнение конической поверхности (1).

3. Получите уравнение конической поверхности второго порядка (2).

III. Основные типовые задачи.

Составление уравнения конической поверхности по координатам вершины и уравнению направляющей.

IV. Примеры решения задач.

Задача 1. Написать уравнение конической поверхности, вершина которой находится в начале координат, а направляющая задана уравнениями

Пусть точка M(x, y, z) – произвольная точка конической поверхности. Проведем через эту точку образующую l, она пересечет направляющую в точке . Запишем канонические уравнения прямой l, как уравнения прямой, проходящей через точку N и вершину конуса О(0, 0, 0)

Выразим из последней системы и : , . Т. к. точка N лежит на направляющей конической поверхности, то ее координаты должны удовлетворять уравнениям направляющей:

(3)

Подставим найденные выражения во второе уравнение системы (3)

. (4)

, . (5)

Подставляем (4) и (5) в первое уравнение системы (3)

Полученное уравнение является искомым уравнением конической поверхности.

V. Задачи для самостоятельного решения.

1) Написать уравнение конической поверхности, если:

а) направляющая в плоскости xOy задана уравнением , а вершина имеет координаты (1; 0; 1);

б) направляющая в плоскости xOy задана уравнением , а вершина имеет координаты (0; 0; 1);

в) направляющая в плоскости xOy задана уравнением , а вершина имеет координаты (0; 0; 1).

г) направляющая в плоскости xOy задана уравнением , а вершина имеет координаты (0; 0; с).

2) Составить уравнение конической поверхности с вершиной в точке S(1; 2; 4), образующие которой составляют с плоскостью угол j=45°.

3) Написать уравнение конической поверхности, направляющая которой задана уравнениями а вершина находится в точке .

4) Найти уравнение конической поверхности с вершиной в начале координат, которая проходит через линию пересечения:

а) гиперболоида и сферы ;

б) эллипсоида и плоскости .

5) Напишите уравнение круговой конической поверхности, если известны уравнения ее оси l: и координаты одной из ее точек М(3; –4; 5).

6) Доказать, что уравнение определяет конус с вершиной в начале координат.

I. Теоретические сведения.

Определение. Эллипсоидом называется множество точек пространства, координаты которых в некоторой системе координат удовлетворяют следующему уравнению

. (1)

Уравнение (1) называется каноническим уравнением эллипсоида. Числа a,b,c>0 – полуоси эллипсоида.

Из уравнения эллипсоида можно получить ряд свойств:

1) Все точки эллипсоида расположены внутри прямоугольного параллелепипеда, ограниченного плоскостями , , .

2) Плоскости симметрии эллипсоида: xOy, yOz, xOz;

оси симметрии эллипсоида: Ox, Oy, Oz;

центр симметрии эллипсоида: начало координат.

3) Вершинами поверхности называются точки пересечения с осями симметрии. Вершины эллипсоида: , , , .

Исследование эллипсоида методом сечений.

Рассмотрим сечения эллипсоида плоскостями, параллельными плоскостям симметрии.

1) Сечение плоскостью a, параллельной плоскости .

(2)

. (3)

а) Если , то линия пересечения эллипс, в частности, если , то , и в сечении мы получаем эллипс ;

б) если , то линия пересечения мнимый эллипс;

в) если , то линия пересечения пара мнимых пересекающихся прямых с действительной точкой пересечения.

2) Сечение плоскостью b, параллельной плоскости .

(4)

. (5)

а) Если , то линия пересечения эллипс, в частности, если , то , и в сечении мы получаем эллипс ;

б) если , то линия пересечения мнимый эллипс;

в) если , то линия пересечения пара мнимых пересекающихся прямых с действительной точкой пересечения.

3) Сечение плоскостью g, параллельной плоскости .

(6)

. (7)

а) Если , то линия пересечения эллипс, в частности, если , то , и в сечении мы получаем эллипс ;

б) если , то линия пересечения мнимый эллипс;

в) если , то линия пересечения пара мнимых пересекающихся прямых с действительной точкой пересечения.

На рис.1 показаны сечения эллипсоида координатными плоскостями.

4. Покажите, что координатные плоскости являются плоскостями симметрии эллипсоида.

5. Покажите, что координатные оси являются осями симметрии эллипсоида.

6. Покажите, что начало координат является центром симметрии эллипсоида.

7. Найдите уравнение линии, образующейся при пересечении эллипсоида с плоскостью xOy.

8. Пересекаются ли эллипсоид и плоскость ?

III. Основные типовые задачи.

9. Составление канонического уравнения эллипсоида.

10. Исследование сечений эллипсоида.

IV. Примеры решения задач.

Задача 1. Написать каноническое уравнение эллипсоида, который проходит через точку и пересекает плоскость xOy по эллипсу .

Каноническое уравнение эллипсоида имеет вид . Плоскость xOy пересекает эллипсоид по эллипсу . По условию это уравнение имеет вид . Следовательно, , . Таким образом, уравнение эллипсоида принимает вид

. (8)

По условию точка принадлежит эллипсоиду, следовательно ее координаты удовлетворяют уравнению эллипсоида. Подставляя координаты точки M в уравнение (8), получаем

, .

Следовательно, искомое уравнение эллипсоида имеет вид

Ответ: .

Задача 2. Установить, что плоскость пересекает эллипсоид по эллипсу, найти его полуоси и вершины.

Координаты общих точек эллипсоида и плоскости удовлетворяют системе уравнений:

Выразив из первого уравнения z и подставив его во второе, получим

Последнее уравнение определяет в плоскости , эллипс, вершина которого лежит на оси Oz, большая полуось равна , а малая полуось – . Следовательно, вершины этого эллипса имеют координаты , , , .

V. Задачи для самостоятельного решения.

11. Написать каноническое уравнение эллипсоида, который:

а) проходит через точку и пересекает плоскость yOz по эллипсу ;

б) проходит через точку и пересекает плоскость xOz по эллипсу ;

в) проходит через точку и пересекает плоскость yOz по эллипсу ;

г) пересекает плоскость yOz по эллипсу , а плоскость xOy по окружности .

д) пересекает плоскость xOz по эллипсу , а плоскость yOz по эллипсу .

12. Написать каноническое уравнение эллипсоида, проходящего через точки (2, 2, 4), (0, 0, 6), (2, 4, 2).

13. Исследовать методом сечений эллипсоид .

14. Установить, что плоскость пересекает эллипсоид по эллипсу, найти его полуоси и вершины.

15. Доказать, что эллипсоид имеет одну общую точку с плоскостью , и найти ее координаты.

16. Даны вершины эллипсоида и . Написать уравнение этого эллипсоида, зная, что плоскость yOz пересекает его по эллипсу .

I. Теоретические сведения.

1. Однополостный гиперболоид.

Определение. Однополостным гиперболоидом называется множество точек пространства, координаты которых в некоторой системе координат удовлетворяют следующему уравнению

. (1)

Уравнение (1) называется каноническим уравнением однополостного гиперболоида.

Из уравнения гиперболоида можно получить ряд свойств:

1) Однополостный гиперболоид фигура неограниченная.

2) Плоскости симметрии однополостного гиперболоида: xOy, yOz, xOz;

оси симметрии однополостного гиперболоида: Ox, Oy, Oz;

центр симметрии однополостного гиперболоида: начало координат.

3) Вершинами поверхности называются точки пересечения с осями симметрии. Вершины однополостного гиперболоида: (точки пересечения с осью Ox) , (точки пересечения с осью Oy), ось Oz однополостный гиперболоид не пересекает.

Исследование однополостного гиперболоида методом сечений.

1) Сечение плоскостью a, параллельной плоскости .

(2)

. (3)

Из уравнении (3) следует, что при всех значениях h сечением однополостного гиперболоида является эллипс.

2) Сечение плоскостью b, параллельной плоскости .

(4)

. (5)

а) Если , то линия пересечения гипербола, действительная ось которой параллельна оси Ох. В частности, если , то , и в сечении мы получаем гиперболу ;

б) если , то линия пересечения гипербола, действительная ось которой параллельная оси Oz;

в) если , то линия пересечения пара действительных пересекающихся прямых.

3) Сечение плоскостью g, параллельной плоскости .

(6)

. (7)

а) Если , то линия пересечения гипербола, действительная ось которой параллельна оси Оy. В частности, если , то , и в сечении мы получаем гиперболу ;

б) если , то линия пересечения гипербола, действительная ось которой параллельная оси Oz;

в) если , то линия пересечения пара действительных пересекающихся прямых.

2. Двуполостный гиперболоид.

Определение. Двуполостным гиперболоидом называется множество точек пространства, координаты которых в некоторой системе координат удовлетворяют следующему уравнению

. (8)

Уравнение (8) – каноническое уравнение двуполостного гиперболоида.

Из уравнения гиперболоида можно получить ряд свойств:

1) Внутри полосы, ограниченной плоскостями , точек гиперболоида нет;

3) Плоскости симметрии двуполостного гиперболоида: xOy, yOz, xOz;

оси симметрии двуполостного гиперболоида: Ox, Oy, Oz;

центр симметрии двуполостного гиперболоида: начало координат.

3) Вершины двуполостного гиперболоида: (точки пересечения с осью Oz), оси Ox и Oy двуполостный гиперболоид не пересекает.

Исследование двуполостного гиперболоида методом сечений.

1) Сечение плоскостью a, параллельной плоскости .

(9)

. (10)

а) Если , то линия пересечения мнимый эллипс;

б) если , то линия пересечения эллипс;

в) если , то линия пересечения пара мнимых пересекающихся прямых с действительной точкой пересечения.

2) Сечение плоскостью b, параллельной плоскости .

(11)

. (12)

При любом значении h получаем гиперболу с действительной осью параллельной оси Oz. В частности, если , то , и в сечении мы получаем гиперболу ;

3) Сечение плоскостью g, параллельной плоскости .

(13)

. (14)

При любом значении h получаем гиперболу с действительной осью параллельной оси Oz. В частности, если , то , и в сечении мы получаем гиперболу .

1. Покажите, что координатные плоскости являются плоскостями симметрии однополостного (двуполостного) гиперболоида.

2. Покажите, что координатные оси являются осями симметрии однополостного (двуполостного) гиперболоида.

3. Покажите, что начало координат является центром симметрии однополостного (двуполостного) гиперболоида.

4. Найдите уравнение линии, образующейся при пересечении гиперболоида с плоскостью xOy.

5. Найдите уравнение линии, образующейся при пересечении гиперболоида с плоскостью xOz.

III. Основные типовые задачи.

1. Составление канонического уравнения гиперболоида.

2. Исследование сечений гиперболоида.

IV. Примеры решения задач.

Задача 1. Написать каноническое уравнение однополостного гиперболоида, если он пересекает плоскость xOy по эллипсу , а плоскость yOz по гиперболе .

Каноническое уравнение однополостного гиперболоида имеет вид . Уравнение плоскости xOy: z=0. Следовательно, уравнение линии пересечения плоскости и гиперболоида ищем как решение системы

Получаем уравнение эллипса, лежащего в плоскости xOy

По условию задачи этот эллипс задан уравнением . Значит, .

Проводя аналогичные рассуждения, можно получить уравнение гиперболу, получающейся в сечении гиперболоида с плоскостью yOz

По условию, это гипербола . Следовательно, .

Таким образом, искомое уравнение гиперболоида имеет вид

Ответ: .

Задача 2. Напишите уравнение плоскости, параллельной плоскости yOz и пересекающей однополостный гиперболоид по гиперболе, действительная полуось которой равна 1.

Уравнение плоскости параллельной плоскости yOz имеет вид x=h. Линия пересечения этой плоскости с гиперболоидом задается системой

Откуда получаем уравнение

Последнее уравнение – это каноническое уравнение гиперболы, действительная полуось которой равна . По условию она равна 1.

Следовательно, искомая плоскость имеет уравнение .

Ответ: .

V. Задачи для самостоятельного решения.

1. Написать каноническое уравнение однополостного гиперболоида, если поверхность:

а) проходит через точку и пересекает плоскость xOz по гиперболе ;

б) пересекает плоскость xOy по окружности , а плоскость xOz по гиперболе .

2. Написать уравнение двуполостного гиперболоида в канонической системе координат, если точки , и лежат на данной поверхности.

3. Найти множество точек, для каждой из которых мод, 3), (0, 0, –3) есть величина постоянная, равная 4.

4. Определите вид линии пересечения однополостного гиперболоида и плоскости .

5. Доказать, что двуполостный гиперболоид имеет одну общую точку с плоскостью , и найти ее координаты.

6. Найти точки пересечения поверхности и прямой .

Тема: Параболоиды.
Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка

I. Теоретические сведения.

1. Эллиптический параболоид.

Определение. Эллиптическим параболоидом называется множество точек пространства, координаты которых в некоторой системе координат удовлетворяют следующему уравнению

. (1)

Уравнение (1) – каноническое уравнение эллиптического параболоида.

Из уравнения параболоида следует:

1) Все точки эллиптического параболоида лежат выше плоскости xOy;

2) Плоскости симметрии эллиптического параболоида: yOz, xOz;

ось симметрии эллиптического параболоида: Oz;

центра симметрии у эллиптического параболоида нет.

3) Вершина эллиптического параболоида: О(0; 0; 0) – начало координат.

Исследование эллиптического параболоида методом сечений.

1) Сечение плоскостью a, параллельной плоскости .

(2)

. (3)

а) Если , то линия пересечения эллипс;

б) если , то линия пересечения мнимый эллипс;

в) если , то линия пересечения пара мнимых пересекающихся прямых с действительной точкой пересечения.

2) Сечение плоскостью b, параллельной плоскости .

(4)

. (5)

При любом значении h получаем параболу, ось которой параллельна оси Oz, В частности, если , то , и в сечении мы получаем параболу ;

3) Сечение плоскостью g, параллельной плоскости .

(6)

. (7)

При любом значении h получаем параболу, ось которой параллельна оси Oz, ветви направлены вверх. В частности, если , то , и в сечении мы получаем параболу .

2. Гиперболический параболоид.

Определение. Гиперболическим параболоидом называется множество точек пространства, координаты которых в некоторой системе координат удовлетворяют следующему уравнению

. (8)

Уравнение (8) – каноническое уравнение гиперболического параболоида.

Из уравнения параболоида следует:

1) Гиперболический параболоид поверхность неограниченная;

2) Плоскости симметрии гиперболического параболоида: yOz, xOz;

ось симметрии: Oz;

центра симметрии у гиперболического параболоида нет.

3) Вершина: О(0; 0; 0) – начало координат.

Исследование гиперболического параболоида методом сечений.

1) Сечение плоскостью a, параллельной плоскости .

(9)

. (10)

а) Если , то линия пересечения гипербола с действительной осью параллельной оси Ох;

б) если , то линия пересечения гипербола с действительной осью параллельной оси Oy;

в) если , то линия пересечения пара действительных пересекающихся прямых.

2) Сечение плоскостью b, параллельной плоскости .

(11)

. (12)

3) Сечение плоскостью g, параллельной плоскости .

(13)

Или

. (14)

При любом значении h получаем параболу, ось которой параллельна оси Oz, ветви направлены вниз. В частности, если , то , и в сечении мы получаем параболу .

3. Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка.

Определение. Прямая l называется прямолинейной образующей поверхности второго порядка, если каждая точка этой прямой лежит на поверхности.

Очевидно, что образующие конических и цилиндрических поверхностей являются прямолинейными образующими. Кроме того, прямолинейные образующие имеют однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид. У однополостного гиперболоида и гиперболического параболоида существует два семейства прямолинейных образующих, таких что:

1) через каждую точку поверхности проходят по одной прямолинейной образующей из каждого семейства;

2) любые две прямолинейные образующие одного семейства являются скрещивающимися.

Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида задаются следующими системами уравнений:

I. II. (15)

где k и l – любые числа.

Прямолинейные образующие гиперболического параболоида задаются следующими системами уравнений:

I. II. (16)

1) Докажите, что линией пересечения эллиптического параболоида и плоскости является эллипс, найдите его полуоси и вершину.

2) Покажите, что плоскость xOy не является плоскостью симметрии гиперболического параболоида.

3) Напишите каноническое уравнение гиперболического параболоида с вершиной в начале координат, ось которого совпадает с осью Oy.

4) Определите вид линии пересечения гиперболического параболоида и плоскости .

5) Сколько прямолинейных образующих проходит через каждую точку гиперболического параболоида, конуса, цилиндра, однополостного гиперболоида?

III. Основные типовые задачи.

1) Составление канонического уравнения параболоида.

2) Исследование параболоида методом сечений.

3) Составление уравнений прямолинейных образующих поверхностей второго порядка.

IV. Примеры решения задач.

Задача 1. Найти фигуру, состоящую из всех точек, одинаково удаленных от данной плоскости a и данной точки А, не лежащей в этой плоскости.

Обозначим расстояние между точкой А и плоскостью a через р. Введем в пространстве систему координат так, чтобы начало координат находилось посередине между точкой А и плоскостью a, плоскость xOy была параллельна плоскости a. Тогда точка А имеет координаты , а уравнение плоскости a имеет вид . Пусть точка произвольная точка, удовлетворяющая условию задачи. Тогда

По условию , следовательно, , т. е.

Таким образом, искомое множество точек есть эллиптический параболоид, заданный последним уравнением.

Ответ: .

Задача 2. Исследовать методом сечений поверхность .

Исследуем сечения гиперболического параболоида координатными плоскостями и плоскостями им параллельными.

1) Сечение плоскостью a, параллельной плоскости .

а) Если , то линия пересечения гипербола с действительной осью параллельной оси Ох;

б) если , то линия пересечения гипербола с действительной осью параллельной оси Oy;

в) если , то линия пересечения пара действительных пересекающихся прямых.

2) Сечение плоскостью b, параллельной плоскости .

3) Сечение плоскостью g, параллельной плоскости .

Задача 3. Написать уравнения двух систем прямолинейных образующих однополостного гиперболоида и определить те из них, которые проходят через точку .

Приведем уравнение гиперболоида к каноническому виду:

Перенесем второе слагаемое в правую часть

Применим формулу разности квадратов

Равенство имеет место в том случае, если множители в левой и правой частях пропорциональны

I. II.

Мы получили уравнения двух систем прямолинейных образующих однополостного гиперболоида. Теперь найдем те из них, которые проходят через данную точку . Подставим координаты точки в каждую из систем:

Подставляя это соотношение в систему I, получаем

– общие уравнения прямолинейной образующей.

Подставляем в II:

– общие уравнения прямолинейной образующей.

Ответ: и

V. Задачи для самостоятельного решения.

1) Найти уравнение параболоида с центром в начале координат, ось которого совпадает с осью Oz и который проходит через точки
(1; –2; 1) и (–3; –3; 2).

2) Дана плоскость a и перпендикулярная к ней прямая l. Найти множество точек пространства, для каждой из которых квадрат расстояния до прямой l в три раза больше расстояния до плоскости a.

3) Напишите каноническое уравнение гиперболического параболоида с вершиной в начале координат, ось которого совпадает с осью Oy, если известно, что он проходит через точки и .

4) Доказать, что эллиптический параболоид имеет одну общую точку с плоскостью , и найти ее координаты.

5) Найдите прямолинейные образующие параболоида , проходящие через точку М(2; 0; 1).

6) Убедившись, что точка А(–2; 0; 1) лежит на гиперболическом параболоиде , определить острый угол, образованный его прямолинейными образующими, проходящими через точку А.

7) Найдите прямолинейные образующие гиперболоида , проходящие через точку (6; 2; 8).

Найдите прямолинейные образующие гиперболоида , проходящие через точку (5; 3; 2).

9) На гиперболическом параболоиде найти прямолинейные образующие, параллельные плоскости .

10) Написать уравнение плоскости, параллельной плоскости и пересекающей параболоид по двум прямолинейным образующим. Найти уравнения этих образующих.

источники:

http://mathhelpplanet.com/static.php?p=konus

http://pandia.ru/text/78/609/25488-7.php

Источник

6.4. Коническая поверхность

Каноническое уравнение задаёт коническую поверхность или, если короче, конус. Но это опять же не совсем тот конус, который всем знаком со времён далёкого детства.

Форму многих поверхностей удобно исследовать методом сечений, который я потихоньку начал использовать в предыдущих параграфах. Суть метода состоит в том, что мы «рассекаем пациентов» плоскостями, и получившиеся сечения позволяют нам хорошо понять, как выглядит та или иная поверхность.

Перепишем уравнение в виде и исследуем сечения конуса плоскостями , параллельными плоскости . Подставим в уравнение конической поверхности: .

Очевидно, что случаю соответствует уравнение , задающее пару мнимых пересекающихся прямых с единственной действительной точкой пересечения в начале координат. Данная точка называется вершиной конуса.

Если же , то уравнение задаёт эллипсы различных размеров, причём из последнего уравнения хорошо видно, что с увеличением абсолютного значения полуоси эллипсов неограниченно растут. Таким образом, коническая поверхность бесконечна:

Если коническую поверхность «разрезать» любой плоскостью , проходящей через ось , то каждое такое сечение будет представлять собой две пересекающиеся прямые, лежащие в плоскости и проходящие через начало координат. Множество всех этих прямых, собственно, и образуют коническую поверхность. И логично, что каждая такая прямая называется образующей конуса.

На практике почти всегда приходится иметь дело с упрощенной версией конуса, когда сечения плоскостями представляют собой окружности. Такой конус называют конусом вращения, и во многих практических задачах его легко определить по следующему уравнению:
– с «зет» в левой части и равными коэффициентами при и . Как вы правильно догадались, функция задаёт верхнюю часть конуса, а функция – его нижнюю часть.

Познавательная вариация по теме:

Задача 176

Построить поверхность

Решение: уравнение имеет вид и определяет половину конуса, располагающуюся в верхнем полупространстве. Вершина конической поверхности, понятно, расположена в начале координат, но как построить всё остальное?

Возведём обе части исходного уравнения в квадрат:

Далее выберем небольшое положительное значение «зет», например, и найдём линию пересечения этой плоскости с нашей поверхностью:
– окружность радиуса .

Теперь на высоте изобразим окружность и аккуратно проведём 4 образующие конуса:

Образующие, в принципе, можно было продолжить и выше плоскости .

Но не ниже плоскости ! – Не забываем, что уравнение задаёт только верхнюю часть поверхности и поэтому никаких «хвостиков» в нижнем полупространстве быть не должно.

Пожалуй, простейшая коническая поверхность для самостоятельного изучения:

Задача 177

Построить коническую поверхность . Записать неравенства, определяющие внутреннюю и внешнюю часть конуса.

В образце решения изображён фрагмент конуса, расположенный между плоскостями . Ну, а с неравенствами, думаю, сообразите самостоятельно. В случае мучительных сомнений всегда можно взять точку (внутри или снаружи конуса) и проверить, удовлетворяют ли её координаты неравенству.

Переходим к следующему семейству:

6.5. Параболоиды

6.3. Эллипсоид

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин

Источник