Получить уравнение прямой по двум точкам бывает необходимо, когда мы решаем задачи, связанные с анализом различных фигур на плоскости. В этом случае бывает полезно знать уравнение прямой, проходящей через две точки. Например, составляя такое уравнение мы уже знаем – как проходит прямая, с какие углом наклона к осям координат и можем рассчитать расположение прямой по отношению к другим прямым или к фигурам.
Составляем уравнение прямой по двум точкам
Итак, пусть нам даны две точки и . Наша прямая проходит через две эти точки, давайте получим уравнение этой прямой. Уравнение пучка прямых, проходящих через точку с координатами имеет вид:
То есть если прямая проходит через две точки и она – одна из этого пучка прямых, проходящих через точку и эта прямая имеет определенный коэффициент . Значит, координаты точки должны удовлетворять уравнению (1), то есть
.
Находим из (2) :
и подставим в уравнение (1):
.
Преобразовывая уравнение (3) получим:
Это и есть уравнение прямой, проходящей через две точки и .
Примечание: если точки и лежат на прямой, которая параллельна оси или оси , то уравнение прямой будет иметь вид или соответственно.
Зная координаты любых двух точек прямой, мы всегда сможем определить угловой коэффициент прямой:
Геометрический вывод уравнения прямой
Действительно, давайте нарисуем прямую в системе координат и отметим на прямой две точки и , координаты которых известны и и отметим на этой прямой произвольную точку .
Из подобия треугольников и находим:
Из рисунка видно, что:
,
Таким образом, получаем уравнение прямой по двум точкам:
Задача
Составим уравнение прямой, проходящей через две точки и .
Решение: Имеем , , , . Подставим эти значения в уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:
Умножим левую и правую части уравнения на 5, получим:
– получившееся уравнение прямой.
Давайте сделаем проверку – если мы все решили правильно, то при подстановке координат точек и мы получим верное равенство. Итак, подставим сначала координаты точки :
Теперь координаты точки :
Значит, уравнение прямой мы нашли верно.
Ответ:
Условие прохождения прямой через три заданные точки
Если нам в задаче нужно убедиться, что три точки с заданными координатами лежат на одной прямой, можно рассуждать так:
- Если две точки с заданными координатами образуют прямую, то их координаты удовлетворяют уравнению прямой, проходящей через две точки.
- Если третья точка также лежит на этой прямой, то и ее координаты будут удовлетворять этому уравнению.
Таким образом, если нам даны три точки , и , лежащие на одной прямой, то их координаты будут удовлетворять условию:
Теперь вы легко сможете составить уравнение прямой по двум точкам, а также найти угловой коэффициент прямой и проверить – принадлежит ли третья точка этой прямой.
Прямая имеет несколько видов задающих ее уравнений. Рассмотрим некоторые из них и разберем примеры.
Здесь будет калькулятор
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
y=kx+by=kx+b,
где kk — угловой коэффициент, а bb — свободный коэффициент.
Уравнения данного вида составляются следующим образом по формуле:
y−y0=k(x−x0)y-y_0=k(x-x_0),
где (x0;y0)(x_0; y_0) — координаты любой точки, лежащей на данной прямой.
Составить уравнение прямой, если координаты точки, принадлежащей данной прямой, таковы: x0=1,y0=2x_0=1, y_0=2. Угловой коэффициент принять равным 11.
Решение
Подставляем значения в формулу:
y−y0=k(x−x0)y-y_0=k(x-x_0)
y−2=1⋅(x−1)y-2=1cdot(x-1)
Приводим подобные слагаемые:
y=x+1y=x+1
Ответ
y=x+1y=x+1
Общее уравнение прямой
Для приведения прямой к такому виду из предыдущего вида достаточно просто перенести все слагаемые в одну часть. Возьмем уравнение прямой из предыдущей задачи y=x+1y=x+1. Тогда общее уравнение этой прямой запишется в виде:
y−x−1=0y-x-1=0
Уравнение прямой по двум точкам
Если в задаче даны координаты двух точек и необходимо составить уравнение прямой, то это делается при помощи такой формулы:
x−x2x1−x2=y−y2y1−y2frac{x-x_2}{x_1-x_2}=frac{y-y_2}{y_1-y_2},
где (x1;y1),(x2;y2)(x_1; y_1), (x_2; y_2) — координаты двух точек, через которые проходит данная прямая.
Найти уравнение прямой, если координаты точек имеют значения: (2;3)(2;3) и (4;−1)(4;-1).
Решение
x1=2x_1=2
y1=3y_1=3
x2=4x_2=4
y2=−1y_2=-1
x−x2x1−x2=y−y2y1−y2frac{x-x_2}{x_1-x_2}=frac{y-y_2}{y_1-y_2}
x−42−4=y−(−1)3−(−1)frac{x-4}{2-4}=frac{y-(-1)}{3-(-1)}
x−4−2=y+14frac{x-4}{-2}=frac{y+1}{4}
x−4=−y−12x-4=frac{-y-1}{2}
y+1=2⋅(4−x)y+1=2cdot(4-x)
y=8−2x−1y=8-2x-1
y=−2x+7y=-2x+7
Ответ
y=−2x+7y=-2x+7
Уравнение прямой при помощи точки и вектора нормали
(x−x0)⋅n1+(y−y0)⋅n2=0(x-x_0)cdot n_1+(y-y_0)cdot n_2=0,
где (x0;y0)(x_0; y_0) — координаты точки, лежащей на данной прямой, а (n1;n2)(n_1; n_2) — координаты вектора нормали к этой прямой.
Составить уравнение прямой, если координаты нормального вектора — (1;−5)(1;-5), а точка, через которую проходит данная прямая имеет координаты (7;8)(7;8).
Решение
x0=7x_0=7
y0=8y_0=8
n1=1n_1=1
n2=−5n_2=-5
(x−x0)⋅n1+(y−y0)⋅n2=0(x-x_0)cdot n_1+(y-y_0)cdot n_2=0,
(x−7)⋅1+(y−8)⋅(−5)=0(x-7)cdot 1+(y-8)cdot (-5)=0,
x−7+40−5y=0x-7+40-5y=0
x−5y=−40+7x-5y=-40+7
x−5y=−33x-5y=-33
5y=x+335y=x+33
y=x5+335y=frac{x}{5}+frac{33}{5}
Проверка
Чтобы проверить правильность решения, достаточно подставить координаты точки в данное уравнение и, если оно будет верным, то задача решена верно.
8=75+3358=frac{7}{5}+frac{33}{5}
8=88=8 — верно, ответ правильный.
Ответ
y=x5+335y=frac{x}{5}+frac{33}{5}
Прямая в пространстве
Уравнение прямой, заданной в пространстве имеет такой вид:
x−x0ν1=y−y0ν2=z−z0ν3frac{x-x_0}{nu_1}=frac{y-y_0}{nu_2}=frac{z-z_0}{nu_3},
где (x0;y0;z0)(x_0;y_0;z_0) — координаты точки, через которую проходит прямая, а (ν1,ν2,ν3)(nu_1,nu_2,nu_3) — координаты напрявляющего вектора данной прямой.
Написать уравнение прямой по заданной точке (1;5;−23)(1;5;-23) и вектору направления (3;11;7)(3;11;7).
Решение
x0=1x_0=1
y0=5y_0=5
z0=−23z_0=-23
ν1=3nu_1=3
ν2=11nu_2=11
ν3=7nu_3=7
x−x0ν1=y−y0ν2=z−z0ν3frac{x-x_0}{nu_1}=frac{y-y_0}{nu_2}=frac{z-z_0}{nu_3}
x−13=y−511=z−(−23)7frac{x-1}{3}=frac{y-5}{11}=frac{z-(-23)}{7}
Проверка
Проверим, удовлетворяет ли это уравнение прямой точке (x0;y0;z0)(x_0;y_0;z_0). Для этого подставим в него координаты этой точки:
1−13=5−511=−23−(−23)7frac{1-1}{3}=frac{5-5}{11}=frac{-23-(-23)}{7} — верно, значит ответ правильный.
Такой вид уравнения прямой называется каноническим.
Ответ
x−13=y−511=z−(−23)7frac{x-1}{3}=frac{y-5}{11}=frac{z-(-23)}{7}
Тест по теме “Составление уравнения прямой”
Получить уравнение прямой, проходящей через две точки помогут созданные нами калькуляторы. Предлагаем найти каноническое и параметрическое уравнение прямой, а также уравнение прямой с угловым коэффициентом как на плоскости, так и в пространстве.
Прямая — это бесконечная линия, по которой проходит кратчайший путь между любыми двумя её точками.
Уравнения прямой, проходящей через две точки могут быть следующих видов:
- каноническое уравнение,
- параметрическое уравнение,
- общее уравнение прямой,
- уравнение прямой с угловым коэффициентом,
- уравнение прямой в полярных координатах и другие.
Для получения уравнений введите координаты двух точек прямой. Онлайн-калькулятор найдет уравнения и выдаст результат с подробным решением.
Каноническое уравнение прямой на плоскости
{dfrac{x-x_a}{x_b-x_a} = dfrac{y-y_a}{y_b-y_a}}
xa и ya — координаты первой точки A,
xb и yb — координаты второй точки B
Параметрическое уравнение прямой на плоскости
{begin{cases} x=l cdot t + x_a \ y=m cdot t + y_a end{cases}}
xa, ya — координаты точки, лежащей на прямой,
{l;m} — координаты направляющего вектора прямой,
t — произвольный параметр, аналогичный параметру в векторно-параметрическом уравнении.
Каноническое уравнение прямой в пространстве
{dfrac{x-x_a}{x_b-x_a} = dfrac{y-y_a}{y_b-y_a} = dfrac{z-z_a}{z_b-z_a}}
xa, ya и za — координаты первой точки A,
xb, yb и zb — координаты второй точки B
Параметрическое уравнение прямой в пространстве
{ begin{cases} x=l cdot t + x_a \ y=m cdot t + y_a \ z=n cdot t + z_a end{cases} }
xa, ya и za — координаты точки, лежащей на прямой,
{l;m;n} — координаты направляющего вектора прямой,
t — произвольный параметр, аналогичный параметру в векторно-параметрическом уравнении.
Пример нахождения уравнения прямой, проходящей через две точки
Найдем уравнения прямой, проходящей через точки A(1,2) и B(3,8).
Каноническое уравнение прямой
Каноническое уравнение прямой, проходящей через две точки имеет вид {dfrac{x-x_a}{x_b-x_a} = dfrac{y-y_a}{y_b-y_a}}
Подставим в формулу координаты точек A и B: {dfrac{x-1}{3-1} = dfrac{y-2}{8-2}}
Получаем каноническое уравнение прямой: {dfrac{x-1}{2} = dfrac{y-2}{4}}
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Из канонического уравнения получаем уравнение прямой с угловым коэффициентом: {y=3x-1}
Параметрическое уравнение прямой
Параметрическое уравнение прямой имеет вид:
{ begin{cases} x=l cdot t + x_a \ y=m cdot t + y_a end{cases} }
где {x_a, y_b} — координаты точки, лежащей на прямой, {{l;m}} — координаты направляющего вектора прямой, t — произвольный параметр, аналогичный параметру в векторно-параметрическом уравнении. В качестве координат используем координаты точки {A(x_a, y_b)}.
Найдем координаты направляющего вектора:
overline{AB} = {x_b — x_a; y_b — y_a} = {3-1; 8-2} = {2; 6}
Получаем параметрическое уравнение:
begin{cases} x=2 t + 1 \ y=6 t + 2 end{cases}
Используем калькулятор для проверки полученного ответа.
Перейти к содержанию
Вывести уравнение прямой по координатам двух точек
Просмотров 23.2к. Обновлено 26 октября 2021
Общее уравнение прямой имеет вид y = kx + b. Для какой-то конкретной прямой в уравнении коэффициенты k и b заменяются на числа, например, y = 4x — 2. Задача сводится именно к нахождению этих коэффициентов.
Так как координаты точки это значения x и y, то мы имеем два уравнения. Пусть, например, координаты точки А(3;2), а координаты B(-1;-1). Получаем уравнения:
2 = k*3 + b,
-1 = k*(-1) + b.
Решая полученную систему уравнений находим значения k и b:
b = 2 — 3k
-1 = -k + 2 — 3k
4k = 3
k = 3/4 = 0.75
b = 2 — 3 * 0.75 = 2 — 2.25 = -0.25
Таким образом, получается уравнение конкретной прямой, проходящей через указанные точки: y = 0.75x — 0.25.
Вывод общих выражений для вычисления b и k:
| y1 = kx1 + b
| y2 = kx2 + b
b = y2 — kx2
y1 = kx1 + y2 — kx2
k = (y1 — y2) / (x1 — x2)
Алгоритм решения данной задаче на языке программирования будет таков:
- Получить значения координат первой точки и присвоить их переменным, например x1 и y1.
- Получить значения координат (x2, y2) второй точки.
- Вычислить значение k по формуле k = (y1 — y2) / (x1 — x2).
- Вычислить значение b по формуле b = y2 — k * x2.
- Вывести на экран полученное уравнение.
Pascal
уравнение прямой по двум точкам паскаль
var
x1,y1,x2,y2: real;
k, b: real;begin
write('A(x1;y1): '); readln(x1, y1);
write('B(x2;y2): '); readln(x2, y2);k := (y1 - y2) / (x1 - x2);
b := y2 - k * x2;writeln('y = ',k:0:2,'x + ',b:0:2);
end.
A(x1;y1):
1.2
5.6
B(x2;y2):
-3.45 8.2
y = -0.56x + 6.27
Язык Си
#includemain() {
float x1, y1, x2, y2, k, b;printf("A(x1;y1): ");
scanf("%f%f", &x1,&y1);
printf("A(x2;y2): ");
scanf("%f%f", &x2,&y2);k = (y1 - y2) / (x1 - x2);
b = y2 - k * x2;printf("Уравнение прямой: y = %.2fx + %.2fn", k, b);
}
A(x1;y1): 5.67 -1.45
A(x2;y2): -3.12 4.00
Уравнение прямой: y = -0.62x + 2.07
Python
уравнение прямой по двум точкам python
уравнение прямой по двум точкам python
print("Координаты точки A(x1;y1):")
x1 = float(input("tx1 = "))
y1 = float(input("ty1 = "))print("Координаты точки B(x2;y2):")
x2 = float(input("tx2 = "))
y2 = float(input("ty2 = "))print("Уравнение прямой, проходящей через эти точки:")
k = (y1 - y2) / (x1 - x2)
b = y2 - k*x2
print(" y = %.2f*x + %.2f" % (k, b))
Координаты точки A(x1;y1):
x1 = 4.3
y1 = -1.2
Координаты точки B(x2;y2):
x2 = -8.5
y2 = 4
Уравнение прямой, проходящей через эти точки:
y = -0.41*x + 0.55
КуМир
алг уравнение_прямой
нач
вещ x1, y1, x2, y2, k, b
вывод "Координаты точки A(x1;y1): "
ввод x1, y1
вывод "Координаты точки B(x2;y2): "
ввод x2, y2
k := (y1 - y2) / (x1 - x2)
b := y2 - k * x2
вывод "Уравнение прямой: y = " + вещ_в_лит(k) + "x + " + вещ_в_лит(b)
кон
Координаты точки A(x1;y1): 4 9
Координаты точки B(x2;y2): -1 -3
Уравнение прямой: y = 2.4x + -0.6
Basic-256
input "x1 = ", x1
input "y1 = ", y1
input "x2 = ", x2
input "y2 = ", y2k = (y1 - y2) / (x1 - x2)
b = y2 - k * x2decimal 2
print "y = " + k + "x + " + b
x1 = 7.45
y1 = -1
x2 = -3.4
y2 = 3
y = -0.37x + 1.75
Онлайн калькулятор. Уравнение прямой проходящей через две точки
Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто найти параметрическое и каноническое уравнение прямой проходящей через две точки.
Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное пошаговое решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на составление уравнения прямой и закрепить пройденный материал.
Найти уравнение прямой
Выберите необходимую вам размерность:
Размерность:
Введите координаты точек.
Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, …). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.