Как составить уравнение линии регрессии

Решаем уравнение простой линейной регрессии

В статье рассматривается несколько способов определения математического уравнения линии простой (парной) регрессии.

Все рассматриваемые здесь способы решения уравнения основаны на методе наименьших квадратов. Обозначим способы следующим образом:

• Аналитическое решение
• Градиентный спуск
• Стохастический градиентный спуск

Для каждого из способов решения уравнения прямой, в статье приведены различные функции, которые в основном делятся на те, которые написаны без использования библиотеки NumPy и те, которые для проведения расчетов применяют NumPy. Считается, что умелое использование NumPy позволит сократить затраты на вычисления.

Весь код, приведенный в статье, написан на языке python 2.7 с использованием Jupyter Notebook. Исходный код и файл с данными выборки выложен на гитхабе

Статья в большей степени ориентирована как на начинающих, так и на тех, кто уже понемногу начал осваивать изучение весьма обширного раздела в искусственном интеллекте — машинного обучения.

Для иллюстрации материала используем очень простой пример.

Условия примера

У нас есть пять значений, которые характеризуют зависимость Y от X (Таблица №1):

Таблица №1 «Условия примера»

Будем считать, что значения

— это месяц года, а

— выручка в этом месяце. Другими словами, выручка зависит от месяца года, а

— единственный признак, от которого зависит выручка.

Пример так себе, как с точки зрения условной зависимости выручки от месяца года, так и с точки зрения количества значений — их очень мало. Однако такое упрощение позволит, что называется на пальцах, объяснить, не всегда с легкостью, усваиваемый новичками материал. А также простота чисел позволит без весомых трудозатрат, желающим, порешать пример на «бумаге».

Предположим, что приведенная в примере зависимость, может быть достаточно хорошо аппроксимирована математическим уравнением линии простой (парной) регрессии вида:

где

— это месяц, в котором была получена выручка,

— выручка, соответствующая месяцу,

и

— коэффициенты регрессии оцененной линии.

Отметим, что коэффициент

часто называют угловым коэффициентом или градиентом оцененной линии; представляет собой величину, на которую изменится

при изменении

.

Очевидно, что наша задача в примере — подобрать в уравнении такие коэффициенты

и

, при которых отклонения наших расчетных значений выручки по месяцам от истинных ответов, т.е. значений, представленных в выборке, будут минимальны.

Метод наименьших квадратов

В соответствии с методом наименьших квадратов, отклонение стоит рассчитывать, возводя его в квадрат. Подобный прием позволяет избежать взаимного погашения отклонений, в том случае, если они имеют противоположные знаки. Например, если в одном случае, отклонение составляет +5 (плюс пять), а в другом -5 (минус пять), то сумма отклонений взаимно погасится и составит 0 (ноль). Можно и не возводить отклонение в квадрат, а воспользоваться свойством модуля и тогда у нас все отклонения будут положительными и будут накапливаться. Мы не будем останавливаться на этом моменте подробно, а просто обозначим, что для удобства расчетов, принято возводить отклонение в квадрат.

Вот так выглядит формула, с помощью которой мы определим наименьшую сумму квадратов отклонений (ошибки):

где

— это функция аппроксимации истинных ответов (то есть посчитанная нами выручка),

— это истинные ответы (предоставленная в выборке выручка),

— это индекс выборки (номер месяца, в котором происходит определение отклонения)

Продифференцируем функцию, определим уравнения частных производных и будем готовы перейти к аналитическому решению. Но для начала проведем небольшой экскурс о том, что такое дифференцирование и вспомним геометрический смысл производной.

Дифференцирование

Дифференцированием называется операция по нахождению производной функции.

Для чего нужна производная? Производная функции характеризует скорость изменения функции и указывает нам ее направление. Если производная в заданной точке положительна, то функция возрастает, в обратном случае — функция убывает. И чем больше значение производной по модулю, тем выше скорость изменения значений функции, а также круче угол наклона графика функции.

Например, в условиях декартовой системы координат, значение производной в точке M(0,0) равное +25 означает, что в заданной точке, при смещении значения

вправо на условную единицу, значение

возрастает на 25 условных единиц. На графике это выглядит, как достаточно крутой угол подъема значений

с заданной точки.

Другой пример. Значение производной равное -0,1 означает, что при смещении

на одну условную единицу, значение

убывает всего лишь на 0,1 условную единицу. При этом, на графике функции, мы можем наблюдать едва заметный наклон вниз. Проводя аналогию с горой, то мы как будто очень медленно спускаемся по пологому склону с горы, в отличие от предыдущего примера, где нам приходилось брать очень крутые вершины:)

Таким образом, проведя дифференцирование функции

по коэффициентам

и

, определим уравнения частных производных 1-го порядка. После определения уравнений, мы получим систему из двух уравнений, решив которую мы сможем подобрать такие значения коэффициентов

и

, при которых значения соответствующих производных в заданных точках изменяются на очень и очень малую величину, а в случае с аналитическим решением не изменяются вовсе. Другими словами, функция ошибки при найденных коэффициентах достигнет минимума, так как значения частных производных в этих точках будут равны нулю.

Итак, по правилам дифференцирования уравнение частной производной 1-го порядка по коэффициенту

примет вид:

уравнение частной производной 1-го порядка по

примет вид:

В итоге мы получили систему уравнений, которая имеет достаточно простое аналитическое решение:

begin{equation*}
begin{cases}
na + bsumlimits_{i=1}^nx_i — sumlimits_{i=1}^ny_i = 0
\
sumlimits_{i=1}^nx_i(a +bsumlimits_{i=1}^nx_i — sumlimits_{i=1}^ny_i) = 0
end{cases}
end{equation*}

Прежде чем решать уравнение, предварительно загрузим, проверим правильность загрузки и отформатируем данные.

Загрузка и форматирование данных

Необходимо отметить, что в связи с тем, что для аналитического решения, а в дальнейшем для градиентного и стохастического градиентного спуска, мы будем применять код в двух вариациях: с использованием библиотеки NumPy и без её использования, то нам потребуется соответствующее форматирование данных (см. код).

# импортируем все нужные нам библиотеки
import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import math
import pylab as pl
import random

# графики отобразим в Jupyter
%matplotlib inline

# укажем размер графиков
from pylab import rcParams
rcParams['figure.figsize'] = 12, 6

# отключим предупреждения Anaconda
import warnings
warnings.simplefilter('ignore')

# загрузим значения
table_zero = pd.read_csv('data_example.txt', header=0, sep='t')

# посмотрим информацию о таблице и на саму таблицу
print table_zero.info()
print '********************************************'
print table_zero
print '********************************************'

# подготовим данные без использования NumPy

x_us = []
[x_us.append(float(i)) for i in table_zero['x']]
print x_us
print type(x_us)
print '********************************************'

y_us = []
[y_us.append(float(i)) for i in table_zero['y']]
print y_us
print type(y_us)
print '********************************************'

# подготовим данные с использованием NumPy

x_np = table_zero[['x']].values
print x_np
print type(x_np)
print x_np.shape
print '********************************************'

y_np = table_zero[['y']].values
print y_np
print type(y_np)
print y_np.shape
print '********************************************'

Визуализация

Теперь, после того, как мы, во-первых, загрузили данные, во-вторых, проверили правильность загрузки и наконец отформатировали данные, проведем первую визуализацию. Часто для этого используют метод pairplot библиотеки Seaborn. В нашем примере, ввиду ограниченности цифр нет смысла применять библиотеку Seaborn. Мы воспользуемся обычной библиотекой Matplotlib и посмотрим только на диаграмму рассеяния.

print 'График №1 "Зависимость выручки от месяца года"'

plt.plot(x_us,y_us,'o',color='green',markersize=16)
plt.xlabel('$Months$', size=16)
plt.ylabel('$Sales$', size=16)
plt.show()

График №1 «Зависимость выручки от месяца года»

Аналитическое решение

Воспользуемся самыми обычными инструментами в python и решим систему уравнений:

begin{equation*}
begin{cases}
na + bsumlimits_{i=1}^nx_i — sumlimits_{i=1}^ny_i = 0
\
sumlimits_{i=1}^nx_i(a +bsumlimits_{i=1}^nx_i — sumlimits_{i=1}^ny_i) = 0
end{cases}
end{equation*}

По правилу Крамера найдем общий определитель, а также определители по

и по

, после чего, разделив определитель по

на общий определитель — найдем коэффициент

, аналогично найдем коэффициент

.

# определим функцию для расчета коэффициентов a и b по правилу Крамера
def Kramer_method (x,y):
        # сумма значений (все месяца)
    sx = sum(x)
        # сумма истинных ответов (выручка за весь период)
    sy = sum(y)
        # сумма произведения значений на истинные ответы
    list_xy = []
    [list_xy.append(x[i]*y[i]) for i in range(len(x))]
    sxy = sum(list_xy)
        # сумма квадратов значений
    list_x_sq = []
    [list_x_sq.append(x[i]**2) for i in range(len(x))]
    sx_sq = sum(list_x_sq)
        # количество значений
    n = len(x)
        # общий определитель
    det = sx_sq*n - sx*sx
        # определитель по a
    det_a = sx_sq*sy - sx*sxy
        # искомый параметр a
    a = (det_a / det)
        # определитель по b
    det_b = sxy*n - sy*sx
        # искомый параметр b
    b = (det_b / det)
        # контрольные значения (прооверка)
    check1 = (n*b + a*sx - sy)
    check2 = (b*sx + a*sx_sq - sxy)
    return [round(a,4), round(b,4)]

# запустим функцию и запишем правильные ответы
ab_us = Kramer_method(x_us,y_us)
a_us = ab_us[0]
b_us = ab_us[1]
print '33[1m' + '33[4m' + "Оптимальные значения коэффициентов a и b:"  + '33[0m' 
print 'a =', a_us
print 'b =', b_us
print

# определим функцию для подсчета суммы квадратов ошибок
def errors_sq_Kramer_method(answers,x,y):
    list_errors_sq = []
    for i in range(len(x)):
        err = (answers[0] + answers[1]*x[i] - y[i])**2
        list_errors_sq.append(err)
    return sum(list_errors_sq)

# запустим функцию и запишем значение ошибки
error_sq = errors_sq_Kramer_method(ab_us,x_us,y_us)
print '33[1m' + '33[4m' + "Сумма квадратов отклонений" + '33[0m'
print error_sq
print

# замерим время расчета
# print '33[1m' + '33[4m' + "Время выполнения расчета суммы квадратов отклонений:" + '33[0m'
# % timeit error_sq = errors_sq_Kramer_method(ab,x_us,y_us)

Вот, что у нас получилось:

Итак, значения коэффициентов найдены, сумма квадратов отклонений установлена. Нарисуем на гистограмме рассеяния прямую линию в соответствии с найденными коэффициентами.

# определим функцию для формирования массива рассчетных значений выручки
def sales_count(ab,x,y):
    line_answers = []
    [line_answers.append(ab[0]+ab[1]*x[i]) for i in range(len(x))]
    return line_answers

# построим графики
print 'Грфик№2 "Правильные и расчетные ответы"'
plt.plot(x_us,y_us,'o',color='green',markersize=16, label = '$True$ $answers$')
plt.plot(x_us, sales_count(ab_us,x_us,y_us), color='red',lw=4,
         label='$Function: a + bx,$ $where$ $a='+str(round(ab_us[0],2))+',$ $b='+str(round(ab_us[1],2))+'$')
plt.xlabel('$Months$', size=16)
plt.ylabel('$Sales$', size=16)
plt.legend(loc=1, prop={'size': 16})
plt.show()

График №2 «Правильные и расчетные ответы»

Можно посмотреть на график отклонений за каждый месяц. В нашем случае, какой-либо значимой практической ценности мы из него не вынесем, но удовлетворим любопытство в том, насколько хорошо, уравнение простой линейной регрессии характеризует зависимость выручки от месяца года.

# определим функцию для формирования массива отклонений в процентах
def error_per_month(ab,x,y):
    sales_c = sales_count(ab,x,y)
    errors_percent = []
    for i in range(len(x)):
        errors_percent.append(100*(sales_c[i]-y[i])/y[i])
    return errors_percent

# построим график
print 'График№3 "Отклонения по-месячно, %"'
plt.gca().bar(x_us, error_per_month(ab_us,x_us,y_us), color='brown')
plt.xlabel('Months', size=16)
plt.ylabel('Calculation error, %', size=16)
plt.show()

График №3 «Отклонения, %»

Не идеально, но нашу задачу мы выполнили.

Напишем функцию, которая для определения коэффициентов

и

использует библиотеку NumPy, точнее — напишем две функции: одну с использованием псевдообратной матрицы (не рекомендуется на практике, так как процесс вычислительно сложный и нестабильный), другую с использованием матричного уравнения.

# для начала добавим столбец с не изменяющимся значением в 1. 
# Данный столбец нужен для того, чтобы не обрабатывать отдельно коэффицент a
vector_1 = np.ones((x_np.shape[0],1))
x_np = table_zero[['x']].values # на всякий случай приведем в первичный формат вектор x_np
x_np = np.hstack((vector_1,x_np))

# проверим то, что все сделали правильно
print vector_1[0:3]
print x_np[0:3]
print '***************************************'
print

# напишем функцию, которая определяет значения коэффициентов a и b с использованием псевдообратной матрицы
def pseudoinverse_matrix(X, y):
    # задаем явный формат матрицы признаков
    X = np.matrix(X)
    # определяем транспонированную матрицу
    XT = X.T
    # определяем квадратную матрицу
    XTX = XT*X
    # определяем псевдообратную матрицу
    inv = np.linalg.pinv(XTX)
    # задаем явный формат матрицы ответов
    y = np.matrix(y)
    # находим вектор весов
    return (inv*XT)*y

# запустим функцию
ab_np = pseudoinverse_matrix(x_np, y_np)
print ab_np
print '***************************************'
print

# напишем функцию, которая использует для решения матричное уравнение
def matrix_equation(X,y):
    a = np.dot(X.T, X)
    b = np.dot(X.T, y)
    return np.linalg.solve(a, b)

# запустим функцию
ab_np = matrix_equation(x_np,y_np)
print ab_np

Сравним время, которое было затрачено на определение коэффициентов

и

, в соответствии с 3-мя представленными способами.

print '33[1m' + '33[4m' + "Время выполнения расчета коэффициентов без использования библиотеки NumPy:" + '33[0m'
% timeit ab_us = Kramer_method(x_us,y_us)
print '***************************************'
print
print '33[1m' + '33[4m' + "Время выполнения расчета коэффициентов с использованием псевдообратной матрицы:" + '33[0m'
%timeit ab_np = pseudoinverse_matrix(x_np, y_np)
print '***************************************'
print
print '33[1m' + '33[4m' + "Время выполнения расчета коэффициентов с использованием матричного уравнения:" + '33[0m'
%timeit ab_np = matrix_equation(x_np, y_np)

На небольшом количестве данных, вперед выходит «самописная» функция, которая находит коэффициенты методом Крамера.

Теперь можно перейти к другим способам нахождения коэффициентов

и

.

Градиентный спуск

Для начала определим, что такое градиент. По-простому, градиент — это отрезок, который указывает направление максимального роста функции. По аналогии с подъемом в гору, то куда смотрит градиент, там и есть самый крутой подъем к вершине горы. Развивая пример с горой, вспоминаем, что на самом деле нам нужен самый крутой спуск, чтобы как можно быстрее достичь низины, то есть минимума — места где функция не возрастает и не убывает. В этом месте производная будет равна нулю. Следовательно, нам нужен не градиент, а антиградиент. Для нахождения антиградиента нужно всего лишь умножить градиент на -1 (минус один).

Обратим внимание на то, что функция может иметь несколько минимумов, и опустившись в один из них по предложенному далее алгоритму, мы не сможем найти другой минимум, который возможно находится ниже найденного. Расслабимся, нам это не грозит! В нашем случае мы имеем дело с единственным минимумом, так как наша функция

на графике представляет собой обычную параболу. А как мы все должны прекрасно знать из школьного курса математики — у параболы существует только один минимум.

После того, как мы выяснили для чего нам потребовался градиент, а также то, что градиент — это отрезок, то есть вектор с заданными координатами, которые как раз являются теми самыми коэффициентами

и

мы можем реализовать градиентный спуск.

Перед запуском, предлагаю прочитать буквально несколько предложений об алгоритме спуска:

• Определяем псевдослучайным образом координаты коэффициентов и . В нашем примере, мы будем определять коэффициенты вблизи нуля. Это является распространённой практикой, однако для каждого случая может быть предусмотрена своя практика.
• От координаты вычитаем значение частной производной 1-го порядка в точке . Так, если производная будет положительная, то функция возрастает. Следовательно, отнимая значение производной, мы будем двигаться в обратную сторону роста, то есть в сторону спуска. Если производная отрицательна, значит функция в этой точке убывает и отнимая значение производной мы двигаемся в сторону спуска.
• Проводим аналогичную операцию с координатой : вычитаем значение частной производной в точке .
• Для того, чтобы не перескочить минимум и не улететь в далекий космос, необходимо установить размер шага в сторону спуска. В общем и целом, можно написать целую статью о том, как правильнее установить шаг и как его менять в процессе спуска, чтобы снизить затраты на вычисления. Но сейчас перед нами несколько иная задача, и мы научным методом «тыка» или как говорят в простонародье, эмпирическим путем, установим размер шага.
• После того, как мы из заданных координат и вычли значения производных, получаем новые координаты и . Делаем следующий шаг (вычитание), уже из рассчитанных координат. И так цикл запускается вновь и вновь, до тех пор, пока не будет достигнута требуемая сходимость.

Все! Теперь мы готовы отправиться на поиски самого глубокого ущелья Марианской впадины. Приступаем.

# напишем функцию градиентного спуска без использования библиотеки NumPy. 
# Функция на вход принимает диапазоны значений x,y, длину шага (по умолчанию=0,1), допустимую погрешность(tolerance)
def gradient_descent_usual(x_us,y_us,l=0.1,tolerance=0.000000000001):
    # сумма значений (все месяца)
    sx = sum(x_us)
    # сумма истинных ответов (выручка за весь период)
    sy = sum(y_us)
    # сумма произведения значений на истинные ответы
    list_xy = []
    [list_xy.append(x_us[i]*y_us[i]) for i in range(len(x_us))]
    sxy = sum(list_xy)
    # сумма квадратов значений
    list_x_sq = []
    [list_x_sq.append(x_us[i]**2) for i in range(len(x_us))]
    sx_sq = sum(list_x_sq)
    # количество значений
    num = len(x_us)
    # начальные значения коэффициентов, определенные псевдослучайным образом
    a = float(random.uniform(-0.5, 0.5))
    b = float(random.uniform(-0.5, 0.5))
    # создаем массив с ошибками, для старта используем значения 1 и 0
    # после завершения спуска стартовые значения удалим
    errors = [1,0]
    # запускаем цикл спуска
    # цикл работает до тех пор, пока отклонение последней ошибки суммы квадратов от предыдущей, не будет меньше tolerance
    while abs(errors[-1]-errors[-2]) > tolerance:
        a_step = a - l*(num*a + b*sx - sy)/num
        b_step = b - l*(a*sx + b*sx_sq - sxy)/num
        a = a_step
        b = b_step
        ab = [a,b]
        errors.append(errors_sq_Kramer_method(ab,x_us,y_us))
    return (ab),(errors[2:])

# запишем массив значений 
list_parametres_gradient_descence = gradient_descent_usual(x_us,y_us,l=0.1,tolerance=0.000000000001)


print '33[1m' + '33[4m' + "Значения коэффициентов a и b:" + '33[0m'
print 'a =', round(list_parametres_gradient_descence[0][0],3)
print 'b =', round(list_parametres_gradient_descence[0][1],3)
print


print '33[1m' + '33[4m' + "Сумма квадратов отклонений:" + '33[0m'
print round(list_parametres_gradient_descence[1][-1],3)
print



print '33[1m' + '33[4m' + "Количество итераций в градиентном спуске:" + '33[0m'
print len(list_parametres_gradient_descence[1])
print

Мы погрузились на самое дно Марианской впадины и там обнаружили все те же значения коэффициентов

и

, что собственно и следовало ожидать.

Совершим еще одно погружение, только на этот раз, начинкой нашего глубоководного аппарата будут иные технологии, а именно библиотека NumPy.

# перед тем определить функцию для градиентного спуска с использованием библиотеки NumPy, 
# напишем функцию определения суммы квадратов отклонений также с использованием NumPy
def error_square_numpy(ab,x_np,y_np):
    y_pred = np.dot(x_np,ab)
    error = y_pred - y_np
    return sum((error)**2)

# напишем функцию градиентного спуска с использованием библиотеки NumPy. 
# Функция на вход принимает диапазоны значений x,y, длину шага (по умолчанию=0,1), допустимую погрешность(tolerance)
def gradient_descent_numpy(x_np,y_np,l=0.1,tolerance=0.000000000001):
    # сумма значений (все месяца)
    sx = float(sum(x_np[:,1]))
    # сумма истинных ответов (выручка за весь период)
    sy = float(sum(y_np))
    # сумма произведения значений на истинные ответы
    sxy = x_np*y_np
    sxy = float(sum(sxy[:,1]))
    # сумма квадратов значений
    sx_sq = float(sum(x_np[:,1]**2))
    # количество значений
    num = float(x_np.shape[0])
    # начальные значения коэффициентов, определенные псевдослучайным образом
    a = float(random.uniform(-0.5, 0.5))
    b = float(random.uniform(-0.5, 0.5))
    # создаем массив с ошибками, для старта используем значения 1 и 0
    # после завершения спуска стартовые значения удалим
    errors = [1,0]
    # запускаем цикл спуска
    # цикл работает до тех пор, пока отклонение последней ошибки суммы квадратов от предыдущей, не будет меньше tolerance
    while abs(errors[-1]-errors[-2]) > tolerance:
        a_step = a - l*(num*a + b*sx - sy)/num
        b_step = b - l*(a*sx + b*sx_sq - sxy)/num
        a = a_step
        b = b_step
        ab = np.array([[a],[b]])
        errors.append(error_square_numpy(ab,x_np,y_np))
    return (ab),(errors[2:])

# запишем массив значений 
list_parametres_gradient_descence = gradient_descent_numpy(x_np,y_np,l=0.1,tolerance=0.000000000001)

print '33[1m' + '33[4m' + "Значения коэффициентов a и b:" + '33[0m'
print 'a =', round(list_parametres_gradient_descence[0][0],3)
print 'b =', round(list_parametres_gradient_descence[0][1],3)
print


print '33[1m' + '33[4m' + "Сумма квадратов отклонений:" + '33[0m'
print round(list_parametres_gradient_descence[1][-1],3)
print

print '33[1m' + '33[4m' + "Количество итераций в градиентном спуске:" + '33[0m'
print len(list_parametres_gradient_descence[1])
print

Значения коэффициентов

и

неизменны.

Посмотрим на то, как изменялась ошибка при градиентном спуске, то есть как изменялась сумма квадратов отклонений с каждым шагом.

print 'График№4 "Сумма квадратов отклонений по-шагово"'
plt.plot(range(len(list_parametres_gradient_descence[1])), list_parametres_gradient_descence[1], color='red', lw=3)
plt.xlabel('Steps (Iteration)', size=16)
plt.ylabel('Sum of squared deviations', size=16)
plt.show()

График №4 «Сумма квадратов отклонений при градиентном спуске»

На графике мы видим, что с каждым шагом ошибка уменьшается, а спустя какое-то количество итераций наблюдаем практически горизонтальную линию.

Напоследок оценим разницу во времени исполнения кода:

print '33[1m' + '33[4m' + "Время выполнения градиентного спуска без использования библиотеки NumPy:" + '33[0m'
%timeit list_parametres_gradient_descence = gradient_descent_usual(x_us,y_us,l=0.1,tolerance=0.000000000001)
print '***************************************'
print

print '33[1m' + '33[4m' + "Время выполнения градиентного спуска с использованием библиотеки NumPy:" + '33[0m'
%timeit list_parametres_gradient_descence = gradient_descent_numpy(x_np,y_np,l=0.1,tolerance=0.000000000001)

Возможно мы делаем что-то не то, но опять простая «самописная» функция, которая не использует библиотеку NumPy опережает по времени выполнения расчетов функцию, использующую библиотеку NumPy.

Но мы не стоим на месте, а двигаемся в сторону изучения еще одного увлекательного способа решения уравнения простой линейной регрессии. Встречайте!

Стохастический градиентный спуск

Для того, чтобы быстрее понять принцип работы стохастического градиентного спуска, лучше определить его отличия от обычного градиентного спуска. Мы, в случае с градиентным спуском, в уравнениях производных от

и

использовали суммы значений всех признаков и истинных ответов, имеющихся в выборке (то есть суммы всех

и

). В стохастическом градиентном спуске мы не будем использовать все значения, имеющиеся в выборке, а вместо этого, псевдослучайным образом выберем так называемый индекс выборки и используем его значения.

Например, если индекс определился за номером 3 (три), то мы берем значения

и

, далее подставляем значения в уравнения производных и определяем новые координаты. Затем, определив координаты, мы опять псевдослучайным образом определяем индекс выборки, подставляем значения, соответствующие индексу в уравнения частных производных, по новому определяем координаты

и

и т.д. до

позеленения

сходимости. На первый взгляд, может показаться, как это вообще может работать, однако работает. Правда стоит отметить, что не с каждым шагом уменьшается ошибка, но тенденция безусловно имеется.

Каковы преимущества стохастического градиентного спуска перед обычным? В случае, если у нас размер выборки очень велик и измеряется десятками тысяч значений, то значительно проще обработать, допустим случайную тысячу из них, нежели всю выборку. Вот в этом случае и запускается стохастический градиентный спуск. В нашем случае мы конечно же большой разницы не заметим.

Смотрим код.

# определим функцию стох.град.шага
def stoch_grad_step_usual(vector_init, x_us, ind, y_us, l):
#     выбираем значение икс, которое соответствует случайному значению параметра ind 
# (см.ф-цию stoch_grad_descent_usual)
    x = x_us[ind]
#     рассчитывыаем значение y (выручку), которая соответствует выбранному значению x
    y_pred = vector_init[0] + vector_init[1]*x_us[ind]
#     вычисляем ошибку расчетной выручки относительно представленной в выборке
    error = y_pred - y_us[ind]
#     определяем первую координату градиента ab
    grad_a = error
#     определяем вторую координату ab
    grad_b = x_us[ind]*error
#     вычисляем новый вектор коэффициентов
    vector_new = [vector_init[0]-l*grad_a, vector_init[1]-l*grad_b]
    return vector_new


# определим функцию стох.град.спуска
def stoch_grad_descent_usual(x_us, y_us, l=0.1, steps = 800):
#     для самого начала работы функции зададим начальные значения коэффициентов
    vector_init = [float(random.uniform(-0.5, 0.5)), float(random.uniform(-0.5, 0.5))]
    errors = []
#     запустим цикл спуска
# цикл расчитан на определенное количество шагов (steps)
    for i in range(steps):
        ind = random.choice(range(len(x_us)))
        new_vector = stoch_grad_step_usual(vector_init, x_us, ind, y_us, l)
        vector_init = new_vector
        errors.append(errors_sq_Kramer_method(vector_init,x_us,y_us))
    return (vector_init),(errors)


# запишем массив значений 
list_parametres_stoch_gradient_descence = stoch_grad_descent_usual(x_us, y_us, l=0.1, steps = 800)

print '33[1m' + '33[4m' + "Значения коэффициентов a и b:" + '33[0m'
print 'a =', round(list_parametres_stoch_gradient_descence[0][0],3)
print 'b =', round(list_parametres_stoch_gradient_descence[0][1],3)
print


print '33[1m' + '33[4m' + "Сумма квадратов отклонений:" + '33[0m'
print round(list_parametres_stoch_gradient_descence[1][-1],3)
print

print '33[1m' + '33[4m' + "Количество итераций в стохастическом градиентном спуске:" + '33[0m'
print len(list_parametres_stoch_gradient_descence[1])

Смотрим внимательно на коэффициенты и ловим себя на вопросе «Как же так?». У нас получились другие значения коэффициентов

и

. Может быть стохастический градиентный спуск нашел более оптимальные параметры уравнения? Увы, нет. Достаточно посмотреть на сумму квадратов отклонений и увидеть, что при новых значениях коэффициентов, ошибка больше. Не спешим отчаиваться. Построим график изменения ошибки.

print 'График №5 "Сумма квадратов отклонений по-шагово"'
plt.plot(range(len(list_parametres_stoch_gradient_descence[1])), list_parametres_stoch_gradient_descence[1], color='red', lw=2)
plt.xlabel('Steps (Iteration)', size=16)
plt.ylabel('Sum of squared deviations', size=16)
plt.show()

График №5 «Сумма квадратов отклонений при стохастическом градиентном спуске»

Посмотрев на график, все становится на свои места и сейчас мы все исправим.

Итак, что же произошло? Произошло следующее. Когда мы выбираем случайным образом месяц, то именно для выбранного месяца наш алгоритм стремится уменьшить ошибку в расчете выручки. Затем выбираем другой месяц и повторяем расчет, но ошибку уменьшаем уже для второго выбранного месяца. А теперь вспомним, что у нас первые два месяца существенно отклоняются от линии уравнения простой линейной регрессии. Это значит, что когда выбирается любой из этих двух месяцев, то уменьшая ошибку каждого из них, наш алгоритм серьезно увеличивает ошибку по всей выборке. Так что же делать? Ответ простой: надо уменьшить шаг спуска. Ведь уменьшив шаг спуска, ошибка так же перестанет «скакать» то вверх, то вниз. Вернее, ошибка «скакать» не перестанет, но будет это делать не так прытко:) Проверим.

# запустим функцию, уменьшив шаг в 100 раз и увеличив количество шагов соответсвующе 
list_parametres_stoch_gradient_descence = stoch_grad_descent_usual(x_us, y_us, l=0.001, steps = 80000)

print '33[1m' + '33[4m' + "Значения коэффициентов a и b:" + '33[0m'
print 'a =', round(list_parametres_stoch_gradient_descence[0][0],3)
print 'b =', round(list_parametres_stoch_gradient_descence[0][1],3)
print


print '33[1m' + '33[4m' + "Сумма квадратов отклонений:" + '33[0m'
print round(list_parametres_stoch_gradient_descence[1][-1],3)
print



print '33[1m' + '33[4m' + "Количество итераций в стохастическом градиентном спуске:" + '33[0m'
print len(list_parametres_stoch_gradient_descence[1])

print 'График №6 "Сумма квадратов отклонений по-шагово"'
plt.plot(range(len(list_parametres_stoch_gradient_descence[1])), list_parametres_stoch_gradient_descence[1], color='red', lw=2)
plt.xlabel('Steps (Iteration)', size=16)
plt.ylabel('Sum of squared deviations', size=16)
plt.show()

График №6 «Сумма квадратов отклонений при стохастическом градиентном спуске (80 тыс. шагов)»

Значения коэффициентов улучшились, но все равно не идеальны. Гипотетически это можно поправить таким образом. Выбираем, например, на последних 1000 итерациях значения коэффициентов, с которыми была допущена минимальная ошибка. Правда нам для этого придется записывать еще и сами значения коэффициентов. Мы не будем этого делать, а лучше обратим внимание на график. Он выглядит гладким, и ошибка как будто уменьшается равномерно. На самом деле это не так. Посмотрим на первые 1000 итераций и сравним их с последними.

print 'График №7 "Сумма квадратов отклонений по-шагово. Первые 1000 итераций"'
plt.plot(range(len(list_parametres_stoch_gradient_descence[1][:1000])), 
         list_parametres_stoch_gradient_descence[1][:1000], color='red', lw=2)
plt.xlabel('Steps (Iteration)', size=16)
plt.ylabel('Sum of squared deviations', size=16)
plt.show()

print 'График №7 "Сумма квадратов отклонений по-шагово. Последние 1000 итераций"'
plt.plot(range(len(list_parametres_stoch_gradient_descence[1][-1000:])), 
         list_parametres_stoch_gradient_descence[1][-1000:], color='red', lw=2)
plt.xlabel('Steps (Iteration)', size=16)
plt.ylabel('Sum of squared deviations', size=16)
plt.show()

График №7 «Сумма квадратов отклонений SGD (первые 1000 шагов)»

График №8 «Сумма квадратов отклонений SGD (последние 1000 шагов)»

В самом начале спуска мы наблюдаем достаточно равномерное и крутое уменьшение ошибки. На последних итерациях мы видим, что ошибка ходит вокруг да около значения в 1,475 и в некоторые моменты даже равняется этому оптимальному значению, но потом все равно уходит ввысь… Повторюсь, можно записывать значения коэффициентов

и

, а потом выбрать те, при которых ошибка минимальна. Однако у нас возникла проблема посерьезнее: нам пришлось сделать 80 тыс. шагов (см. код), чтобы получить значения, близкие к оптимальным. А это, уже противоречит идее об экономии времени вычислений при стохастическом градиентном спуске относительно градиентного. Что можно поправить и улучшить? Не трудно заметить, что на первых итерациях мы уверенно идем вниз и, следовательно, нам стоит оставить большой шаг на первых итерациях и по мере продвижения вперед шаг уменьшать. Мы не будем этого делать в этой статье — она и так уже затянулась. Желающие могут и сами подумать, как это сделать, это не сложно

Теперь выполним стохастический градиентный спуск, используя библиотеку NumPy (и не будем спотыкаться о камни, которые мы выявили раннее)

# для начала напишем функцию градиентного шага
def stoch_grad_step_numpy(vector_init, X, ind, y, l):
    x = X[ind]
    y_pred = np.dot(x,vector_init)
    err = y_pred - y[ind]
    grad_a = err
    grad_b = x[1]*err
    return vector_init - l*np.array([grad_a, grad_b])

# определим функцию стохастического градиентного спуска
def stoch_grad_descent_numpy(X, y, l=0.1, steps = 800):
    vector_init = np.array([[np.random.randint(X.shape[0])], [np.random.randint(X.shape[0])]])
    errors = []
    for i in range(steps):
        ind = np.random.randint(X.shape[0])
        new_vector = stoch_grad_step_numpy(vector_init, X, ind, y, l)
        vector_init = new_vector
        errors.append(error_square_numpy(vector_init,X,y))
    return (vector_init), (errors)

# запишем массив значений 
list_parametres_stoch_gradient_descence = stoch_grad_descent_numpy(x_np, y_np, l=0.001, steps = 80000)

print '33[1m' + '33[4m' + "Значения коэффициентов a и b:" + '33[0m'
print 'a =', round(list_parametres_stoch_gradient_descence[0][0],3)
print 'b =', round(list_parametres_stoch_gradient_descence[0][1],3)
print


print '33[1m' + '33[4m' + "Сумма квадратов отклонений:" + '33[0m'
print round(list_parametres_stoch_gradient_descence[1][-1],3)
print



print '33[1m' + '33[4m' + "Количество итераций в стохастическом градиентном спуске:" + '33[0m'
print len(list_parametres_stoch_gradient_descence[1])
print

Значения получились почти такими же, как и при спуске без использования NumPy. Впрочем, это логично.

Узнаем сколько же времени занимали у нас стохастические градиентные спуски.

print '33[1m' + '33[4m' +
"Время выполнения стохастического градиентного спуска без использования библиотеки NumPy:"
+ '33[0m'
%timeit list_parametres_stoch_gradient_descence = stoch_grad_descent_usual(x_us, y_us, l=0.001, steps = 80000)
print '***************************************'
print

print '33[1m' + '33[4m' +
"Время выполнения стохастического градиентного спуска с использованием библиотеки NumPy:"
+ '33[0m'
%timeit list_parametres_stoch_gradient_descence = stoch_grad_descent_numpy(x_np, y_np, l=0.001, steps = 80000)

Чем дальше в лес, тем темнее тучи: опять «самописная» формула показывает лучший результат. Все это наводит на мысли о том, что должны существовать еще более тонкие способы использования библиотеки NumPy, которые действительно ускоряют операции вычислений. В этой статье мы о них уже не узнаем. Будет о чем подумать на досуге:)

Резюмируем

Перед тем как резюмировать, хотелось бы ответить на вопрос, который скорее всего, возник у нашего дорогого читателя. Для чего, собственно, такие «мучения» со спусками, зачем нам ходить по горе вверх и вниз (преимущественно вниз), чтобы найти заветную низину, если в наших руках такой мощный и простой прибор, в виде аналитического решения, который мгновенно телепортирует нас в нужное место?

Ответ на этот вопрос лежит на поверхности. Сейчас мы разбирали очень простой пример, в котором истинный ответ

зависит от одного признака

. В жизни такое встретишь не часто, поэтому представим, что у нас признаков 2, 30, 50 или более. Добавим к этому тысячи, а то и десятки тысяч значений для каждого признака. В этом случае аналитическое решение может не выдержать испытания и дать сбой. В свою очередь градиентный спуск и его вариации будут медленно, но верно приближать нас к цели — минимуму функции. А на счет скорости не волнуйтесь — мы наверняка еще разберем способы, которые позволят нам задавать и регулировать длину шага (то есть скорость).

А теперь собственно краткое резюме.

Во-первых, надеюсь, что изложенный в статье материал, поможет начинающим «дата сайнтистам» в понимании того, как решать уравнения простой (и не только) линейной регрессии.

Во-вторых, мы рассмотрели несколько способов решения уравнения. Теперь, в зависимости от ситуации, мы можем выбрать тот, который лучше всего подходит для решения поставленной задачи.

В-третьих, мы увидели силу дополнительных настроек, а именно длины шага градиентного спуска. Этим параметром нельзя пренебрегать. Как было подмечено выше, с целью сокращения затрат на проведение вычислений, длину шага стоит изменять по ходу спуска.

В-четвертых, в нашем случае, «самописные» функции показали лучший временной результат вычислений. Вероятно, это связано с не самым профессиональным применением возможностей библиотеки NumPy. Но как бы то ни было, вывод напрашивается следующий. С одной стороны, иногда стоит подвергать сомнению устоявшиеся мнения, а с другой — не всегда стоит все усложнять — наоборот иногда эффективнее оказывается более простой способ решения задачи. А так как цель у нас была разобрать три подхода в решении уравнения простой линейной регрессии, то использование «самописных» функций нам вполне хватило.

Предыдущая работа автора — «Исследуем утверждение центральной предельной теоремы с помощью экспоненциального распределения»

Следующая работа автора — «Приводим уравнение линейной регрессии в матричный вид»

Литература (или что-то вроде того)

1. Линейная регрессия

http://statistica.ru/theory/osnovy-lineynoy-regressii/

2. Метод наименьших квадратов

mathprofi.ru/metod_naimenshih_kvadratov.html

3. Производная

www.mathprofi.ru/chastnye_proizvodnye_primery.html

4. Градиент

mathprofi.ru/proizvodnaja_po_napravleniju_i_gradient.html

5. Градиентный спуск

habr.com/ru/post/471458

habr.com/ru/post/307312

artemarakcheev.com//2017-12-31/linear_regression

6. Библиотека NumPy

docs.scipy.org/doc/numpy-1.10.1/reference/generated/numpy.linalg.solve.html

docs.scipy.org/doc/numpy-1.10.0/reference/generated/numpy.linalg.pinv.html

pythonworld.ru/numpy/2.html

Содержание:

Регрессионный анализ:

Регрессионным анализом называется раздел математической статистики, объединяющий практические методы исследования корреляционной зависимости между случайными величинами по результатам наблюдений над ними. Сюда включаются методы выбора модели изучаемой зависимости и оценки ее параметров, методы проверки статистических гипотез о зависимости.

Пусть между случайными величинами X и Y существует линейная корреляционная зависимость. Это означает, что математическое ожидание Y линейно зависит от значений случайной величины X. График этой зависимости (линия регрессии Y на X) имеет уравнение

Линейная модель пригодна в качестве первого приближения и в случае нелинейной корреляции, если рассматривать небольшие интервалы возможных значений случайных величин.

Пусть параметры линии регрессии неизвестны, неизвестна и величина коэффициента корреляции Над случайными величинами X и Y проделано n независимых наблюдений, в результате которых получены n пар значений: Эти результаты могут служить источником информации о неизвестных значениях надо только уметь эту информацию извлечь оттуда.

Неизвестная нам линия регрессии как и всякая линия регрессии, имеет то отличительное свойство, что средний квадрат отклонений значений Y от нее минимален. Поэтому в качестве оценок для можно принять те их значения, при которых имеет минимум функция

Такие значения , согласно необходимым условиям экстремума, находятся из системы уравнений:

Решения этой системы уравнений дают оценки называемые оценками по методу наименьших квадратов.

и

Известно, что оценки по методу наименьших квадратов являются несмещенными и, более того, среди всех несмещенных оценок обладают наименьшей дисперсией. Для оценки коэффициента корреляции можно воспользоваться тем, что где средние квадратические отклонения случайных величин X и Y соответственно. Обозначим через оценки этих средних квадратических отклонений на основе опытных данных. Оценки можно найти, например, по формуле (3.1.3). Тогда для коэффициента корреляции имеем оценку

По методу наименьших квадратов можно находить оценки параметров линии регрессии и при нелинейной корреляции. Например, для линии регрессии вида  оценки параметров находятся из условия минимума функции

Пример:

По данным наблюдений двух случайных величин найти коэффициент корреляции и уравнение линии регрессии Y на X 

Решение. Вычислим величины, необходимые для использования формул (3.7.1)–(3.7.3):

По формулам (3.7.1) и (3.7.2) получим

Итак, оценка линии регрессии имеет вид Так как то по формуле (3.1.3)

Аналогично, Поэтому в качестве оценки коэффициента корреляции имеем по формуле (3.7.3) величину 

Ответ.  

Пример:

Получена выборка значений величин X и Y

Для представления зависимости между величинами предполагается использовать модель Найти оценки параметров

Решение. Рассмотрим сначала задачу оценки параметров этой модели в общем виде. Линия играет роль линии регрессии и поэтому параметры ее можно найти из условия минимума функции (сумма квадратов отклонений значений Y от линии должна быть минимальной по свойству линии регрессии)

Необходимые условия экстремума приводят к системе из двух уравнений:

Откуда

Решения системы уравнений (3.7.4) и (3.7.5) и будут оценками по методу наименьших квадратов для параметров

На основе опытных данных вычисляем:

В итоге получаем систему уравнений (?????) и (?????) в виде

Эта система имеет решения

Ответ. 

Если наблюдений много, то результаты их обычно группируют и представляют в виде корреляционной таблицы.

В этой таблице равно числу наблюдений, для которых X находится в интервале а Y – в интервале Через обозначено число наблюдений, при которых а Y произвольно. Число наблюдений, при которых а X произвольно, обозначено через

Если величины дискретны, то вместо интервалов указывают отдельные значения этих величин. Для непрерывных случайных величин представителем каждого интервала считают его середину и полагают, что и   наблюдались раз.

При больших значениях X и Y можно для упрощения вычислений перенести начало координат и изменить масштаб по каждой из осей, а после завершения вычислений вернуться к старому масштабу.

Пример:

Проделано 80 наблюдений случайных величин X и Y. Результаты наблюдений представлены в виде таблицы. Найти линию регрессии Y на X. Оценить коэффициент корреляции.

Решение. Представителем каждого интервала будем считать его середину. Перенесем начало координат и изменим масштаб по каждой оси так, чтобы значения X и Y были удобны для вычислений. Для этого перейдем к новым переменным Значения этих новых переменных указаны соответственно в самой верхней строке и самом левом столбце таблицы.

Чтобы иметь представление о виде линии регрессии, вычислим средние значения при фиксированных значениях :

Нанесем эти значения на координатную плоскость, соединив для наглядности их отрезками прямой (рис. 3.7.1).

По виду полученной ломанной линии можно предположить, что линия регрессии Y на X является прямой. Оценим ее параметры. Для этого сначала вычислим с учетом группировки данных в таблице все величины, необходимые для использования формул (3.31–3.33): 

Тогда

В новом масштабе оценка линии регрессии имеет вид График этой прямой линии изображен на рис. 3.7.1.

Для оценки по корреляционной таблице можно воспользоваться формулой (3.1.3):

Подобным же образом можно оценить величиной Тогда оценкой коэффициента корреляции может служить величина

Вернемся к старому масштабу:

Коэффициент корреляции пересчитывать не нужно, так как это величина безразмерная и от масштаба не зависит.

Ответ. 

Пусть некоторые физические величины X и Y связаны неизвестной нам функциональной зависимостью Для изучения этой зависимости производят измерения Y при разных значениях X. Измерениям сопутствуют ошибки и поэтому результат каждого измерения случаен. Если систематической ошибки при измерениях нет, то играет роль линии регрессии и все свойства линии регрессии приложимы к . В частности, обычно находят по методу наименьших квадратов.

Регрессионный анализ

Основные положения регрессионного анализа:

Основная задача регрессионного анализа — изучение зависимости между результативным признаком Y и наблюдавшимся признаком X, оценка функции регрессий.

Предпосылки регрессионного анализа:

1. Y — независимые случайные величины, имеющие постоянную дисперсию;
2. X— величины наблюдаемого признака (величины не случайные);
3. условное математическое ожидание можно представить в виде 

Выражение (2.1), как уже упоминалось в п. 1.2, называется функцией регрессии (или модельным уравнением регрессии) Y на X. Оценке в этом выражении подлежат параметры называемые коэффициентами регрессии, а также — остаточная дисперсия.

Остаточной дисперсией называется та часть рассеивания результативного признака, которую нельзя объяснить действием наблюдаемого признака; Остаточная дисперсия может служить для оценки точности подбора вида функции регрессии (модельного уравнения регрессии), полноты набора признаков, включенных в анализ. Оценки параметров функции регрессии находят, используя метод наименьших квадратов.

В данном вопросе рассмотрен линейный регрессионный анализ. Линейным он называется потому, что изучаем лишь те виды зависимостей которые линейны по оцениваемым параметрам, хотя могут быть нелинейны по переменным X. Например, зависимости

линейны относительно параметров хотя вторая и третья зависимости нелинейны относительно переменных х. Вид зависимости выбирают, исходя из визуальной оценки характера расположения точек на поле корреляции; опыта предыдущих исследований; соображений профессионального характера, основанных и знании физической сущности процесса.

Важное место в линейном регрессионном анализе занимает так называемая «нормальная регрессия». Она имеет место, если сделать предположения относительно закона распределения случайной величины Y. Предпосылки «нормальной регрессии»:

1. Y — независимые случайные величины, имеющие постоянную дисперсию и распределенные по нормальному закону;
2. X— величины наблюдаемого признака (величины не случайные);
3. условное математическое ожидание можно представить в виде (2.1).

В этом случае оценки коэффициентов регрессии — несмещённые с минимальной дисперсией и нормальным законом распределения. Из этого положения следует что при «нормальной регрессии» имеется возможность оценить значимость оценок коэффициентов регрессии, а также построить доверительный интервал для коэффициентов регрессии и условного математического ожидания M(YX=x).

Линейная регрессия

Рассмотрим простейший случай регрессионного анализа — модель вида (2.1), когда зависимость линейна и по оцениваемым параметрам, и

по переменным. Оценки параметров модели (2.1) обозначил Оценку остаточной дисперсии обозначим Подставив в формулу (2.1) вместо параметров их оценки, получим уравнение регрессии коэффициенты которого находят из условия минимума суммы квадратов отклонений измеренных значений результативного признака от вычисленных по уравнению регрессии

Составим систему нормальных уравнений: первое уравнение

откуда  

второе уравнение

откуда

Итак,

Оценки, полученные по способу наименьших квадратов, обладают минимальной дисперсией в классе линейных оценок. Решая систему (2.2) относительно найдём оценки параметров

Остаётся получить оценку параметра . Имеем

где т — количество наблюдений.

Еслит велико, то для упрощения расчётов наблюдавшиеся данные принята группировать, т.е. строить корреляционную таблицу. Пример построения такой таблицы приведен в п. 1.5. Формулы для нахождения коэффициентов регрессии по сгруппированным данным те же, что и для расчёта по несгруппированным данным, но суммызаменяют на

где — частоты повторений соответствующих значений переменных. В дальнейшем часто используется этот наглядный приём вычислений.
 

Нелинейная регрессия

Рассмотрим случай, когда зависимость нелинейна по переменным х, например модель вида
   

На рис. 2.1 изображено поле корреляции. Очевидно, что зависимость между Y и X нелинейная и её графическим изображением является не прямая, а кривая. Оценкой выражения (2.6) является уравнение регрессии

где —оценки коэффициентов регрессии

Принцип нахождения коэффициентов тот же — метод наименьших квадратов, т.е.

или

Дифференцируя последнее равенство по и приравнивая правые части нулю, получаем так называемую систему нормальных уравнений:

В общем случае нелинейной зависимости между переменными Y и X связь может выражаться многочленом k-й степени от x:

Коэффициенты регрессии определяют по принципу наименьших квадратов. Система нормальных уравнений имеет вид

Вычислив коэффициенты системы, её можно решить любым известным способом.
 

Оценка значимости коэффициентов регрессии. Интервальная оценка коэффициентов регрессии

Проверить значимость оценок коэффициентов регрессии — значит установить, достаточна ли величина оценки для статистически обоснованного вывода о том, что коэффициент регрессии отличен от нуля. Для этого проверяют гипотезу о равенстве нулю коэффициента регрессии, соблюдая предпосылки «нормальной регрессии». В этом случае вычисляемая для проверки нулевой гипотезы статистика

имеет распределение Стьюдента с к= n-2 степенями свободы (b — оценка коэффициента регрессии, — оценка среднеквадратического отклонения

коэффициента регрессии, иначе стандартная ошибка оценки). По уровню значимости а и числу степеней свободы к находят по таблицам распределения Стьюдента (см. табл. 1 приложений) критическое значение удовлетворяющее условию то нулевую гипотезу о равенстве нулю коэффициента регрессии отвергают, коэффициент считают значимым. Принет оснований отвергать нулевую гипотезу.

Оценки среднеквадратического отклонения коэффициентов регрессии вычисляют по следующим формулам:

где   — оценка остаточной дисперсии, вычисляемая по
формуле (2.5).

Доверительный интервал для значимых параметров строят по обычной схеме. Из условия

где а — уровень значимости, находим

Интервальная оценка для условного математического ожидания

Линия регрессии характеризует изменение условного математического ожидания результативного признака от вариации остальных признаков.

Точечной оценкой условного математического ожидания является условное среднее    Кроме точечной оценки для можно
построить доверительный интервал в точке

Известно, что имеет распределение
Стьюдента с k=n—2 степенями свободы. Найдя оценку среднеквадратического отклонения для условного среднего, можно построить доверительный интервал для условного математического ожидания

Оценку дисперсии условного среднего вычисляют по формуле

или для интервального ряда

Доверительный интервал находят из условия

где а — уровень значимости. Отсюда

Доверительный интервал для условного математического ожидания можно изобразить графически (рис, 2.2).

Из рис. 2.2 видно, что в точке границы интервала наиболее близки друг другу. Расположение границ доверительного интервала показывает, что прогнозы по уравнению регрессии, хороши только в случае, если значение х не выходит за пределы выборки, по которой вычислено уравнение регрессии; иными словами, экстраполяция по уравнению регрессии может привести к значительным погрешностям.

Проверка значимости уравнения регрессии

Оценить значимость уравнения регрессии — значит установить, соответствует ли математическая, модель, выражающая зависимость между Y и X, экспериментальным данным. Для оценки значимости в предпосылках «нормальной регрессии» проверяют гипотезу Если она отвергается, то считают, что между Y и X нет связи (или связь нелинейная). Для проверки нулевой гипотезы используют основное положение дисперсионного анализа о разбиении суммы квадратов на слагаемые. Воспользуемся разложением — Общая сумма квадратов отклонений результативного признака

разлагается на (сумму, характеризующую влияние признака

X) и (остаточную сумму квадратов, характеризующую влияние неучтённых факторов). Очевидно, чем меньше влияние неучтённых факторов, тем лучше математическая модель соответствует экспериментальным данным, так как вариация У в основном объясняется влиянием признака X.

Для проверки нулевой гипотезы вычисляют статистику  которая имеет распределение Фишера-Снедекора с А степенями свободы (в п — число наблюдений). По уровню значимости а и числу степеней свободы находят по таблицам F-распределение для уровня значимости а=0,05 (см. табл. 3 приложений) критическое значение удовлетворяющее условию . Если нулевую гипотезу отвергают, уравнение считают значимым. Если то нет оснований отвергать нулевую гипотезу.

Многомерный регрессионный анализ

В случае, если изменения результативного признака определяются действием совокупности других признаков, имеет место многомерный регрессионный анализ. Пусть результативный признак У, а независимые признаки Для многомерного случая предпосылки регрессионного анализа можно сформулировать следующим образом: У -независимые случайные величины со средним и постоянной дисперсией — линейно независимые векторы . Все положения, изложенные в п.2.1, справедливы для многомерного случая. Рассмотрим модель вида 

Оценке подлежат параметры и остаточная дисперсия.

Заменив параметры их оценками, запишем уравнение регрессии

Коэффициенты в этом выражении находят методом наименьших квадратов.

Исходными данными для вычисления коэффициентов является выборка из многомерной совокупности, представляемая обычно в виде матрицы X и вектора Y:
   

Как и в двумерном случае, составляют систему нормальных уравнений

которую можно решить любым способом, известным из линейной алгебры. Рассмотрим один из них — способ обратной матрицы. Предварительно преобразуем систему уравнений. Выразим из первого уравнения значение через остальные параметры:

Подставим в остальные уравнения системы вместо полученное выражение:

Пусть С — матрица коэффициентов при неизвестных параметрах — матрица, обратная матрице С; — элемент, стоящий на пересечении i-Й строки и i-го столбца матрицы    — выражение
. Тогда, используя формулы линейной алгебры,

запишем окончательные выражения для параметров:

Оценкой остаточной дисперсии является

где — измеренное значение результативного признака; значение результативного признака, вычисленное по уравнению регрессий.

Если выборка получена из нормально распределенной генеральной совокупности, то, аналогично изложенному в п. 2.4, можно проверить значимость оценок коэффициентов регрессии, только в данном случае статистику вычисляют для каждого j-го коэффициента регрессии

где —элемент обратной матрицы, стоящий на пересечении i-й строки и j-
го столбца; —диагональный элемент обратной матрицы.

При заданном уровне значимости а и числе степеней свободы к=n— m—1 по табл. 1 приложений находят критическое значение Если то нулевую гипотезу о равенстве нулю коэффициента регрессии отвергают. Оценку коэффициента считают значимой. Такую проверку производят последовательно для каждого коэффициента регрессии. Если то нет оснований отвергать нулевую гипотезу, оценку коэффициента регрессии считают незначимой.

Для значимых коэффициентов регрессии целесообразно построить доверительные интервалы по формуле (2.10). Для оценки значимости уравнения регрессии следует проверить нулевую гипотезу о том, что все коэффициенты регрессии (кроме свободного члена) равны нулю:  — вектор коэффициентов регрессии). Нулевую гипотезу проверяют, так же как и в п. 2.6, с помощью статистики , где — сумма квадратов, характеризующая влияние признаков X; — остаточная сумма квадратов, характеризующая влияние неучтённых факторов; Для уровня значимости а и числа степеней свободы по табл. 3 приложений находят критическое значение Если то нулевую гипотезу об одновременном равенстве нулю коэффициентов регрессии отвергают. Уравнение регрессии считают значимым. При нет оснований отвергать нулевую гипотезу, уравнение регрессии считают незначимым.

Факторный анализ

Основные положения. В последнее время всё более широкое распространение находит один из новых разделов многомерного статистического анализа — факторный анализ. Первоначально этот метод

разрабатывался для объяснения многообразия корреляций между исходными параметрами. Действительно, результатом корреляционного анализа является матрица коэффициентов корреляций. При малом числе параметров можно произвести визуальный анализ этой матрицы. С ростом числа параметра (10 и более) визуальный анализ не даёт положительных результатов. Оказалось, что всё многообразие корреляционных связей можно объяснить действием нескольких обобщённых факторов, являющихся функциями исследуемых параметров, причём сами обобщённые факторы при этом могут быть и неизвестны, однако их можно выразить через исследуемые параметры.

Один из основоположников факторного анализа Л. Терстоун приводит такой пример: несколько сотен мальчиков выполняют 20 разнообразных гимнастических упражнений. Каждое упражнение оценивают баллами. Можно рассчитать матрицу корреляций между 20 упражнениями. Это большая матрица размером 20><20. Изучая такую матрицу, трудно уловить закономерность связей между упражнениями. Нельзя ли объяснить скрытую в таблице закономерность действием каких-либо обобщённых факторов, которые в результате эксперимента непосредственно, не оценивались? Оказалось, что обо всех коэффициентах корреляции можно судить по трём обобщённым факторам, которые и определяют успех выполнения всех 20 гимнастических упражнений: чувство равновесия, усилие правого плеча, быстрота движения тела.

Дальнейшие разработки факторного анализа доказали, что этот метод может быть с успехом применён в задачах группировки и классификации объектов. Факторный анализ позволяет группировать объекты со сходными сочетаниями признаков и группировать признаки с общим характером изменения от объекта к объекту. Действительно, выделенные обобщённые факторы можно использовать как критерии при классификации мальчиков по способностям к отдельным группам гимнастических упражнений.

Методы факторного анализа находят применение в психологии и экономике, социологии и экономической географии. Факторы, выраженные через исходные параметры, как правило, легко интерпретировать как некоторые существенные внутренние характеристики объектов.

Факторный анализ может быть использован и как самостоятельный метод исследования, и вместе с другими методами многомерного анализа, например в сочетании с регрессионным анализом. В этом случае для набора зависимых переменных наводят обобщённые факторы, которые потом входят в регрессионный анализ в качестве переменных. Такой подход позволяет сократить число переменных в регрессионном анализе, устранить коррелированность переменных, уменьшить влияние ошибок и в случае ортогональности выделенных факторов значительно упростить оценку значимости переменных.

Представление, информации в факторном анализе

Для проведения факторного анализа информация должна быть представлена в виде двумерной таблицы чисел размерностью аналогичной приведенной в п. 2.7 (матрица исходных данных). Строки этой матрицы должны соответствовать объектам наблюдений столбцы — признакамтаким образом, каждый признак является как бы статистическим рядом, в котором наблюдения варьируют от объекта к объекту. Признаки, характеризующие объект наблюдения, как правило, имеют различную размерность. Чтобы устранить влияние размерности и обеспечить сопоставимость признаков, матрицу исходных данных    обычно нормируют, вводя единый    масштаб. Самым распространенным видом нормировки является стандартизация. От переменных переходят к переменным В дальнейшем, говоря о матрице исходных переменных, всегда будем иметь в виду стандартизованную матрицу.

Основная модель факторного анализа. Основная модель факторного анализа имеет вид

где -j-й признак (величина случайная); — общие факторы (величины случайные, имеющие нормальный закон распределения); — характерный фактор; — факторные нагрузки, характеризующие существенность влияния каждого фактора (параметры модели, подлежащие определению); — нагрузка характерного фактора.

Модель предполагает, что каждый из j признаков, входящих в исследуемый набор и заданных в стандартной форме, может быть представлен в виде линейной комбинации небольшого числа общих факторов и характерного фактора

Термин «общий фактор» подчёркивает, что каждый такой фактор имеет существенное значение для анализа всех признаков, т.е.

Термин «характерный фактор» показывает, что он относится только к данному j-му признаку. Это специфика признака, которая не может быть, выражена через факторы

Факторные нагрузки . характеризуют величину влияния того или иного общего фактора в вариации данного признака. Основная задача факторного анализа — определение факторных нагрузок. Факторная модель относится к классу аппроксимационных. Параметры модели должны быть выбраны так, чтобы наилучшим образом аппроксимировать корреляции между наблюдаемыми признаками.

Для j-го признака и i-го объекта модель (2.19) можно записать в. виде

где значение k-го фактора для i-го объекта.

Дисперсию признака можно разложить на составляющие: часть, обусловленную действием общих факторов, — общность и часть, обусловленную действием j-го характера фактора, характерность Все переменные представлены в стандартизированном виде, поэтому дисперсий у-го признака Дисперсия признака может быть выражена через факторы и в конечном счёте через факторные нагрузки.

Если общие и характерные факторы не коррелируют между собой, то дисперсию j-го признака можно представить в виде

где —доля дисперсии признака приходящаяся на k-й фактор.

Полный вклад k-го фактора в суммарную дисперсию признаков

Вклад общих факторов в суммарную дисперсию
 

Факторное отображение

Используя модель (2.19), запишем выражения для каждого из параметров:

Коэффициенты системы (2,21) — факторные нагрузки — можно представить в виде матрицы, каждая строка которой соответствует параметру, а столбец — фактору.

Факторный анализ позволяет получить не только матрицу отображений, но и коэффициенты корреляции между параметрами и

факторами, что является важной характеристикой качества факторной модели. Таблица таких коэффициентов корреляции называется факторной структурой или просто структурой.

Коэффициенты отображения можно выразить через выборочные парные коэффициенты корреляции. На этом основаны методы вычисления факторного отображения.

Рассмотрим связь между элементами структуры и коэффициентами отображения. Для этого, учитывая выражение (2.19) и определение выборочного коэффициента корреляции, умножим уравнения системы (2.21) на соответствующие факторы, произведём суммирование по всем n наблюдениям и, разделив на n, получим следующую систему уравнений:

где — выборочный коэффициент корреляции между j-м параметром и к-
м фактором; — коэффициент корреляции между к-м и р-м факторами.

Если предположить, что общие факторы между собой, не коррелированы, то уравнения    (2.22) можно записать в виде

, т.е. коэффициенты отображения равны
элементам структуры.

Введём понятие, остаточного коэффициента корреляции и остаточной корреляционной матрицы. Исходной информацией для построения факторной модели (2.19) служит матрица выборочных парных коэффициентов корреляции. Используя построенную факторную модель, можно снова вычислить коэффициенты корреляции между признаками и сравнись их с исходными Коэффициентами корреляции. Разница между ними и есть остаточный коэффициент корреляции.

В случае независимости факторов имеют место совсем простые выражения для вычисляемых коэффициентов корреляции между параметрами: для их вычисления достаточно взять сумму произведений коэффициентов отображения, соответствующих наблюдавшимся признакам:
где —вычисленный по отображению коэффициент корреляции между j-м
и к-м признаком. Остаточный коэффициент корреляции

Матрица остаточных коэффициентов корреляции называется остаточной матрицей или матрицей остатков

где — матрица остатков; R — матрица выборочных парных коэффициентов корреляции, или полная матрица; R’— матрица вычисленных по отображению коэффициентов корреляции.

Результаты факторного анализа удобно представить в виде табл. 2.10.

Здесь суммы квадратов нагрузок по строкам — общности параметров, а суммы квадратов нагрузок по столбцам — вклады факторов в суммарную дисперсию параметров. Имеет место соотношение

Определение факторных нагрузок

Матрицу факторных нагрузок можно получить различными способами. В настоящее время наибольшее распространение получил метод главных факторов. Этот метод основан на принципе последовательных приближений и позволяет достичь любой точности. Метод главных факторов предполагает использование ЭВМ. Существуют хорошие алгоритмы и программы, реализующие все вычислительные процедуры.

Введём понятие редуцированной корреляционной матрицы или просто редуцированной матрицы. Редуцированной называется матрица выборочных коэффициентов корреляции у которой на главной диагонали стоят значения общностей :

Редуцированная и полная матрицы связаны соотношением

где D — матрица характерностей.

Общности, как правило, неизвестны, и нахождение их в факторном анализе представляет серьезную проблему. Вначале определяют (хотя бы приближённо) число общих факторов, совокупность, которых может с достаточной точностью аппроксимировать все взаимосвязи выборочной корреляционной матрицы. Доказано, что число общих факторов (общностей) равно рангу редуцированной матрицы, а при известном ранге можно по выборочной корреляционной матрице найти оценки общностей. Числа общих факторов можно определить априори, исходя из физической природы эксперимента. Затем рассчитывают матрицу факторных нагрузок. Такая матрица, рассчитанная методом главных факторов, обладает одним интересным свойством: сумма произведений каждой пары её столбцов равна нулю, т.е. факторы попарно ортогональны.

Сама процедура нахождения факторных нагрузок, т.е. матрицы А, состоит из нескольких шагов и заключается в следующем: на первом шаге ищут коэффициенты факторных нагрузок при первом факторе так, чтобы сумма вкладов данного фактора в суммарную общность была максимальной:

Максимум должен быть найден при условии

где —общностьпараметра

Затем рассчитывают матрицу коэффициентов корреляции с учётом только первого фактора Имея эту матрицу, получают первую матрицу остатков:

На втором шаге определяют коэффициенты нагрузок при втором факторе так, чтобы сумма вкладов второго фактора в остаточную общность (т.е. полную общность без учёта той части, которая приходится на долю первого фактора) была максимальной. Сумма квадратов нагрузок при втором факторе

Максимум находят из условия

где — коэффициент корреляции из первой матрицы остатков; — факторные нагрузки с учётом второго фактора. Затем рассчитыва коэффициентов корреляций с учётом второго фактора и вычисляют вторую матрицу остатков:

Факторный анализ учитывает суммарную общность. Исходная суммарная общность Итерационный процесс выделения факторов заканчивают, когда учтённая выделенными факторами суммарная общность отличается от исходной суммарной общности меньше чем на — наперёд заданное малое число).

Адекватность факторной модели оценивается по матрице остатков (если величины её коэффициентов малы, то модель считают адекватной).

Такова последовательность шагов для нахождения факторных нагрузок. Для нахождения максимума функции (2.24) при условии (2.25) используют метод множителей Лагранжа, который приводит к системе т уравнений относительно m неизвестных

Метод главных компонент

Разновидностью метода главных факторов является метод главных компонент или компонентный анализ, который реализует модель вида

где m — количество параметров (признаков).

Каждый из наблюдаемых, параметров линейно зависит от m не коррелированных между собой новых компонент (факторов) По сравнению с моделью факторного анализа (2.19) в модели (2.28) отсутствует характерный фактор, т.е. считается, что вся вариация параметра может быть объяснена только действием общих или главных факторов. В случае компонентного анализа исходной является матрица коэффициентов корреляции, где на главной диагонали стоят единицы. Результатом компонентного анализа, так же как и факторного, является матрица факторных нагрузок. Поиск факторного решения — это ортогональное преобразование матрицы исходных переменных, в результате которого каждый параметр может быть представлен линейной комбинацией найденных m факторов, которые называют главными компонентами. Главные компоненты легко выражаются через наблюдённые параметры.

Если для дальнейшего анализа оставить все найденные т компонент, то тем самым будет использована вся информация, заложенная в корреляционной матрице. Однако это неудобно и нецелесообразно. На практике обычно оставляют небольшое число компонент, причём количество их определяется долей суммарной дисперсии, учитываемой этими компонентами. Существуют различные критерии для оценки числа оставляемых компонент; чаще всего используют следующий простой критерий: оставляют столько компонент, чтобы суммарная дисперсия, учитываемая ими, составляла заранее установленное число процентов. Первая из компонент должна учитывать максимум суммарной дисперсии параметров; вторая — не коррелировать с первой и учитывать максимум оставшейся дисперсии и так до тех пор, пока вся дисперсия не будет учтена. Сумма учтённых всеми компонентами дисперсий равна сумме дисперсий исходных параметров. Математический аппарат компонентного анализа полностью совпадает с аппаратом метода главных факторов. Отличие только в исходной матрице корреляций.

Компонента (или фактор) через исходные переменные выражается следующим образом:

где — элементы факторного решения:— исходные переменные; .— k-е собственное значение; р — количество оставленных главных
компонент.

Для иллюстрации возможностей факторного анализа покажем, как, используя метод главных компонент, можно сократить размерность пространства независимых переменных, перейдя от взаимно коррелированных параметров к независимым факторам, число которых р

Следует особо остановиться на интерпретации результатов, т.е. на смысловой стороне факторного анализа. Собственно факторный анализ состоит из двух важных этапов; аппроксимации корреляционной матрицы и интерпретации результатов. Аппроксимировать корреляционную матрицу, т.е. объяснить корреляцию между параметрами действием каких-либо общих для них факторов, и выделить сильно коррелирующие группы параметров достаточно просто:    из корреляционной матрицы одним из методов

факторного анализа непосредственно получают матрицу нагрузок — факторное решение, которое называют прямым факторным решением. Однако часто это решение не удовлетворяет исследователей. Они хотят интерпретировать фактор как скрытый, но существенный параметр, поведение которого определяет поведение некоторой своей группы наблюдаемых параметров, в то время как, поведение других параметров определяется поведением других факторов. Для этого у каждого параметра должна быть наибольшая по модулю факторная нагрузка с одним общим фактором. Прямое решение следует преобразовать, что равносильно повороту осей общих факторов. Такие преобразования называют вращениями, в итоге получают косвенное факторное решение, которое и является результатом факторного анализа.

Приложения

Значение t — распределения Стьюдента

Понятие о регрессионном анализе. Линейная выборочная регрессия. Метод наименьших квадратов (МНК)

Основные задачи регрессионного анализа:

•  Вычисление выборочных коэффициентов регрессии
•  Проверка значимости коэффициентов регрессии
•  Проверка адекватности модели
•  Выбор лучшей регрессии
•  Вычисление стандартных ошибок, анализ остатков

Построение простой регрессии по экспериментальным данным.

Предположим, что случайные величины  связаны линейной корреляционной зависимостью  для отыскания которой проведено  независимых измерений 

Диаграмма рассеяния (разброса, рассеивания)

 — координаты экспериментальных точек.

Выборочное уравнение прямой линии регрессии  имеет вид

Задача: подобрать  таким образом, чтобы экспериментальные точки как можно ближе лежали к прямой 

Для того, что бы провести прямую  воспользуемся МНК. Потребуем,

чтобы 

Постулаты регрессионного анализа, которые должны выполняться при использовании МНК.

1. подчинены нормальному закону распределения.
2. Дисперсия  постоянна и не зависит от номера измерения.
3. Результаты наблюдений  в разных точках независимы.
4. Входные переменные  независимы, неслучайны и измеряются без ошибок.

Введем функцию ошибок  и найдём её минимальное значение

Решив систему, получим искомые значения 

 является несмещенными оценками истинных значений коэффициентов 

 где 

 несмещенная оценка корреляционного момента (ковариации),
 несмещенная оценка дисперсии 

 выборочная ковариация,

   выборочная дисперсия 

 — выборочный коэффициент корреляции

Коэффициент детерминации

 — наблюдаемое экспериментальное значение  при 

 — предсказанное значение  удовлетворяющее уравнению регрессии

 — средневыборочное значение 

 — коэффициент детерминации, доля изменчивости  объясняемая  рассматриваемой регрессионной моделью. Для парной линейной регрессии

Коэффициент детерминации принимает значения от 0 до 1. Чем ближе значение коэффициента к 1, тем сильнее зависимость. При оценке регрессионных моделей это используется для доказательства адекватности модели (качества регрессии). Для приемлемых моделей предполагается, что коэффициент детерминации должен быть хотя бы не меньше 0,5 (в этом случае коэффициент множественной корреляции превышает по модулю 0,7). Модели с коэффициентом детерминации выше 0,8 можно признать достаточно хорошими (коэффициент корреляции превышает 0,9). Подтверждение адекватности модели проводится на основе дисперсионного анализа путем проверки гипотезы о значимости коэффициента детерминации.

 регрессия незначима

 регрессия значима

 — уровень значимости 

 — статистический критерий

Критическая область — правосторонняя; 

Если  то нулевая гипотеза отвергается на заданном уровне значимости, следовательно, коэффициент детерминации значим, следовательно, регрессия адекватна.

Мощность статистического критерия. Функция мощности

Определение. Мощностью критерия  называют вероятность попадания критерия в критическую область при условии, что справедлива конкурирующая гипотеза.

Задача: построить критическую область таким образом, чтобы мощность критерия была максимальной.

Определение. Наилучшей критической областью (НКО) называют критическую область, которая обеспечивает минимальную ошибку второго рода 

Пример:

По паспортным данным автомобиля расход топлива на 100 километров составляет 10 литров. В результате измерения конструкции двигателя ожидается, что расход топлива уменьшится. Для проверки были проведены испытания 25 автомобилей с модернизированным двигателем; выборочная средняя расхода топлива по результатам испытаний составила 9,3 литра. Предполагая, что выборка получена из нормально распределенной генеральной совокупности с математическим ожиданием  и дисперсией  проверить гипотезу, утверждающую, что изменение конструкции двигателя не повлияло на расход топлива.

3) Уровень значимости 

4) Статистический критерий

5) Критическая область — левосторонняя

  следовательно  отвергается на уровне значимости 

Пример:

В условиях примера 1 предположим, что наряду с  рассматривается конкурирующая гипотеза  а критическая область задана неравенством  Найти вероятность ошибок I рода и II рода.

 автомобилей имеют меньший расход топлива)

  автомобилей, имеющих расход топлива 9л на 100 км, классифицируются как автомобили, имеющие расход 10 литров).

Определение. Пусть проверяется  — критическая область критерия с заданным уровнем значимости  Функцией мощности критерия  называется вероятность отклонения  как функция параметра  т.е.

 — ошибка 1-ого рода

 — мощность критерия

Пример:

Построить график функции мощности из примера 2 для 

 попадает в критическую область.

Пример:

Какой минимальный объем выборки следует взять в условии примера 2 для того, чтобы обеспечить 

Лемма Неймана-Пирсона.

При проверке простой гипотезы  против простой альтернативной гипотезы  наилучшая критическая область (НКО) критерия заданного уровня значимости  состоит из точек выборочного пространства (выборок объема  для которых справедливо неравенство:

 — константа, зависящая от

 — элементы выборки;

 — функция правдоподобия при условии, что соответствующая гипотеза верна.

Пример:

Случайная величина  имеет нормальное распределение с параметрами  известно. Найти НКО для проверки  против причем 

Решение:

Ошибка первого рода: 

НКО: 

Пример:

Для зависимости заданной корреляционной табл. 13, найти оценки параметров  уравнения линейной регрессии  остаточную дисперсию; выяснить значимость уравнения регрессии при 

Решение. Воспользуемся предыдущими результатами

Согласно формуле (24), уравнение регрессии будет иметь вид  тогда 

Для выяснения значимости уравнения регрессии вычислим суммы Составим расчетную таблицу:

Из (27) и (28) по данным таблицы получим 

 по табл. П7 находим  

Вычислим статистику

Так как  то уравнение регрессии значимо. Остаточная дисперсия равна