На примере двух парабол покажем, как составить уравнение общей касательной к графикам функций. Заметим, что общих касательных может быть несколько.
Для решения данной задачи потребуются знания о производной на уровне школьного курса.
В рамках подготовки к профильному ЕГЭ при изучении производной я предлагаю своим ученикам решать, в том числе, и подобные задачи, помимо стандартных 7 и 12 заданий.
Это необходимо для того, чтобы школьники учились применять свои знания при решении задач, а не просто решать стандартные задания по шаблону.
Составим уравнение общих касательных к графикам квадратичных функций (параболам): 
Касательная представляет собой прямую. Запишем уравнение касательной в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом:
y = kx + b, k – угловой коэффициент.
Обозначим точку, в которой она касается первой параболы, как A (a1, a2), второй параболы – B (b1, b2).
Рассмотрим функцию
1. Вычислим ее производную: y’ = 2(x – 1).
2. Найдем координаты точки касания A (a1, a2).
Используем геометрический смысл производной: значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной.
y’ = 2(a1 – 1) — значение производной в точке касания,
k – угловой коэффициент.
Таким образом,
2(a1 – 1) = k
a1 = k/2 + 1.
Подставим a1 в уравнение (1) и найдем a2:
a2 = (a1 — 1)^2 + 1 = (k/2 + 1 — 1)^2 + 1 = k^2/4 + 1.
Таким образом, мы выразили координаты точки A через угловой коэффициент касательной:
A (k/2 + 1, k^2/4 + 1).
Аналогичным способом выразим координаты точки B:
B (-k/2 + 3, — k^2/4 + 1).
3. Угловой коэффициент прямой, проходящей через точки A (a1, a2) и B (b1, b2), равен (a2 – b2) / (a1 – b1). Значит
k = (a2 – b2) / (a1 – b1).
Подставим в это уравнение координаты точек A и B и получим уравнение относительно k: 
Находим корни: k = 0 и k = 4.
Для k = 4.
4. Находим координаты точек A и B.
A (4/2 + 1, 4^2/4 + 1) = A (3, 5)
B (-4/2 + 3, — 4^2/4 + 1) = B (1, -3).
5. Составляем уравнение касательной (прямой) по двум точкам. (Данная тема разобрана в предыдущем посте)
(x – a1) / (b1 – a1) = (y – a2) / (b2 – a2)
(x – 3) / (1 – 3) = (y – 5) / (-3 – 5)
(x – 3) / (–2) = (y – 5) / (-8) – каноническое уравнение прямой
Выражаем y:
y = 4x – 7 – уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Аналогично находим уравнение еще одной касательной (при k = 0):
y = 1.
✔ Для того, чтобы задать вопрос или записаться на консультацию, пишите в whatsapp 8 968 814 30 80.
Содержание
Пятый тип задач на касательную — уравнение общей касательной нескольких кривых
Говорят, что прямая
y=kx
+ b
является общей касательной графиков
функций y=f1(x)
и y=f2(x),
если она касается как одного, так и
другого графиков, но не обязательно в
одной и той же точке.
Правило.
Функции y=f1(x)
и y=f2(x)
имеют в точке пересечения M(x0;y0)
общую невертикальную касательную, если
f1’(x0)
= f2’(x0)
ЗАДАЧА. Докажите,
что параболы y1=3x²-5x-2
и y2=2x²-x-6
имеют в их общей точке общую касательную.
Найти уравнение этой общей касательной.
-
Найдем точку
пересечения парабол
3x²-5x-2
= 2x²-x-6
x²-4x+4
= 0
(x-2)²
= 0
x
= 2
y(2)=
2·4-2-6=0 y(2)=3·4-5·2-2=0
значит, у парабол
одна точка пересечения (2;0)
-
Теперь перейдем
к составлению уравнений касательных
y(1)=6x
-5 y(1)(2)
= 12-5=7
y(2)=4x-1
y(2)(2)
= 8-1=7
Получим уравнение
касательной
y=0+7(x-2)
y=7x-14
Ответ: y=7x-14
ЗАДАЧА. Найти
уравнение всех общих касательных к
графикам функции y=x²+1
и y=4x²-2
-
Составим уравнение
касательной в точке x0
= a
к графику
y=x²+1
y(a)=a²+1
y’=2x
y’(a)=2a
Получим уравнение
касательной
y=a²+1+2a(x-a)
y=a²+1+2ax-2a²
y=2ax-a²+1
-
Составим уравнение
касательной в точке с абсциссой x0=b
к графику y=4x²-2
y(b)=4b²-2
y’=8x
y’(b)=8b
Получим уравнение
касательной
y=4b²-2+8b(x-b)
y= 4b²-2+8bx-8b²
y=8bx-4b²-2
-
Уравнения прямых
совпадают, если угловые коэффициенты
и свободные члены равны, т.е.
Подставим a=4b
во второе уравнение, получим
-16b2
+1 = -4b2
-2
12b2
= 3
b2
= 
Получим уравнения
касательных
y=4x-3 y=-4x-3
Ответ: y=4x-3 y=-4x-3
Шестой тип задач на касательную – расстояние между кривыми.
Пусть дана функция
y
= f(x)
и прямая y
= kx
+b,
тогда можно составить уравнение
касательной, параллельной данной прямой.
Проведенная касательная разделит
плоскость на две части: в одной из них
будет находиться заданная прямая, а в
другой график функции y
= f(x).
Кратчайшее
расстояние между кривой y
= f(x)
и прямой y
= kx
+b
можно посчитать по формуле :
=
Задача. Найти
кратчайшее расстояние между параболой
y
= x2
и прямой y
= 
-
Убедимся,
что графики не имеют общих точек, для
этого решим уравнение:
x2
=
,
3x2
– 4x
+6 = 0,
D
= 16-72< 0.
Нет корней, нет
общих точек.
-
Найдем
точку, в которой касательная параллельна
прямой y
=
y = x2,
y’
= 2x,
2x = 
,
x= 
,
x0
=
,
y0
= 
.
-
Получим касательную
y
=
y
= 
Прямая y
= 
и парабола y
= x2
лежат по разные стороны от касательной
y
=
,
тогда расстояние от прямой y
=
до параболы y
= x2,
это расстояние от точки M
(x0;y0),
лежащей на параболе, до прямой y
=
,
находим его по формуле
=
= 
.
Ответ: 
Задача. Найти
расстояние между касательными к графику
функции 
,
образующими с положительным направлением
оси Ох угол 450.
-
y’
=
=
-
y0’
= tg 450 -
= 1
x= 3 x= 1
x0=
3 x0=
1
-
Составим
уравнение касательной в точке x0=
3 -
y(3)
= 0
y = 0 +
1
(x-3)
y = x-3
-
Составим уравнение
касательной в точке x0=
1 -
y(1)
= 2
y = 2 +
1
(x-3)
y = x+1
-
Пусть
y
= x
+1 – данная прямая,
— данная кривая,
y
= x-3
— данная касательная,
=
Ответ : 
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Прямая y=kx+b касается параболы, если она имеет с ней одну общую точку.
Уравнения
x²−2x+5=kx+b
и
-x²-4x-8=kx+b
имеют по одному решению, дискриминанты равны нулю.
x²−x(k+2)+5−b=0
D1=(k+2)²−4(5−b)=k^2+4k−16+4b=0
x²+x(k+4)+8+b=0
D2=(k+4)²−4(8+b)=k²+8k-16-4b=0
Система
k²+4k−16+4b=0
k²+8k-16-4b=0
Cкладываем
2k²+12k-32=0
k²+6k-16=0
k1=-8 k2=2
b1=-4 b2=1
Общие касательные:
y1=-8х-4
y2=2x+1
п.1. Уравнение касательной
Рассмотрим кривую (y=f(x)).
Выберем на ней точку A с координатами ((x_0,y_0)), проведем касательную AB в этой точке.
Как было показано в §42 данного справочника, угловой коэффициент касательной равен производной от функции f в точке (x_0): $$ k=f'(x_0) $$ Уравнение прямой AB, проведенной через две точки: ((y_B-y_A)=k(x_B-x_A)).
Для (A(x_0,y_0), B(x,y)) получаем: begin{gather*} (y-y_0)=k(x-x_0)\ y=k(x-x_0)+y_0\ y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) end{gather*}
Уравнение касательной к кривой (y=f(x)) в точке (x_0) имеет вид: $$ y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) $$ при условии, что производная (f'(x_0)=aneinfty) — существует и конечна.
Чтобы записать уравнение касательной с угловым коэффициентом в виде (y=kx+b), нужно раскрыть скобки и привести подобные: $$ y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)=underbrace{f'(x_0)}_{=k}x+underbrace{f(x_0)-f'(x_0)cdot x_0}_{=b} $$
Уравнение касательной с угловым коэффициентом: begin{gather*} y=kx+b\ k=f'(x_0), b=f(x_0)-f'(x_0)cdot x_0 end{gather*}
п.2. Алгоритм построения касательной
На входе: уравнение кривой (y=f(x)), абсцисса точки касания (x_0).
Шаг 1. Найти значение функции в точке касания (f(x_0))
Шаг 2. Найти общее уравнение производной (f’ (x))
Шаг 3. Найти значение производной в точке касания (f'(x_0 ))
Шаг 4. Записать уравнение касательной (y=f’ (x_0)(x-x_0)+f(x_0)), привести его к виду (y=kx+b)
На выходе: уравнение касательной в виде (y=kx+b)
Например:
 |
Пусть (f(x)=x^2+3). Найдем касательную к этой параболе в точке (x_0=1). (f(x_0)=1^2+3=4 ) |
п.3. Вертикальная касательная
В случае, если производная (f'(x_0)=pminfty) — существует, но бесконечна, в точке (x_0) проходит вертикальная касательная (x=x_0).
Внимание!
Не путайте вертикальные касательные с вертикальными асимптотами.
Вертикальная асимптота проходит через точку разрыва 2-го рода (x_0notin D), в которой функция не определена и производная не существует. График функции приближается к асимптоте на бесконечности, но у них никогда не бывает общих точек.
А вертикальная касательная проходит через точку (x_0in D), входящую в область определения. График функции и касательная имеют одну общую точку ((x_0,y_0)).
Вертикальные касательные характерны для радикалов вида (y=sqrt[n]{x}).
Например:
 |
Пусть (f(x)=sqrt[5]{x-1}+1). Найдем касательную к этой кривой в точке (x_0=1). (f(x_0)=sqrt[5]{1-1}+1=1) |
п.4. Примеры
Пример 1. Для функции (f(x)=2x^2+4x)
a) напишите уравнения касательных, проведенных к графику функции в точках его пересечения с осью OX.
 |
Находим точки пересечения, решаем уравнение: $$ 2x^2+4x=0Rightarrow 2x(x+2)=0Rightarrow left[ begin{array}{l} x=0\ x=-2 end{array} right. $$ Две точки на оси: (0;0) и (-2;0). Касательная в точке (x_0=0): begin{gather*} f(x_0)=0, f'(x)=4x+4\ f'(x_0)=4cdot 0+4=4\ y=4(x-0)+0=4x end{gather*} Касательная в точке (x_0=-2): begin{gather*} f(x_0)=0, f'(x)=4x+4\ f'(x_0)=4cdot (-2)+4=-4\ y=-4(x+2)+0=-4x-8 end{gather*} |
б) Найдите, в какой точке касательная образует с положительным направлением оси OX угол 45°. Напишите уравнение этой касательной.
 |
Общее уравнение касательной: (f'(x)=4x+4) По условию (f'(x_0)=tgalpha=tg45^circ=1) Решаем уравнение: $$ 4x_0+4=1Rightarrow 4x_0=-3Rightarrow x_0=-frac34 $$ Точка касания (x_0=-frac34) begin{gather*} f(x_0)=2cdotleft(-frac34right)^2+4cdotleft(-frac34right)=frac98-3=-frac{15}{8} end{gather*} Уравнение касательной: begin{gather*} y=1cdotleft(x+frac34right)-frac{15}{8}=x-frac98 end{gather*} |
в) найдите, в какой точке касательная будет параллельна прямой (2x+y-6=0). Напишите уравнение этой касательной.
 |
Найдем угловой коэффициент заданной прямой: (y=-2x+6Rightarrow k=-2). Касательная должна быть параллельной, значит, её угловой коэффициент тоже (k=-2). Получаем уравнение: begin{gather*} f'(x_0)=-2\ 4x_0+4=-2Rightarrow 4x_0=-6Rightarrow x_0=-frac32 end{gather*} Точка касания (x_0=-frac32) begin{gather*} f(x_0)=2cdotleft(-frac32right)^2+4cdotleft(-frac32right)=\ =frac92-6=-frac32 end{gather*} Уравнение касательной: begin{gather*} y=-2cdotleft(x+frac32right)-frac32=-2x-frac92 end{gather*} Или, в каноническом виде: begin{gather*} 2x+y+frac92=0 end{gather*} |
г) в какой точке функции можно провести горизонтальную касательную? Напишите уравнение этой касательной.
 |
У горизонтальной прямой (k=0). Получаем уравнение: (f'(x_0)=0). begin{gather*} 4x_0+4=0Rightarrow 4x_0=-4Rightarrow x_0=-1 end{gather*} Точка касания (x_0=-1) begin{gather*} f(x_0)=2cdot(-1)^2+4cdot(-1)=-2 end{gather*} Уравнение касательной: begin{gather*} y=0cdot(x+1)-2=-2 end{gather*} |
Ответ: а) (y=4x) и (y=-4x-8); б) (y=x-frac98); в) (2x+y+frac92=0); г) (y=-2)
Пример 2. Напишите уравнение касательной к графику функции в заданной точке:
a) ( f(x)=frac5x+frac x5, x_0=4 ) begin{gather*} f(x_0)=frac54+frac45=frac{25+16}{20}=frac{41}{20}\ f'(x)=left(frac5xright)’+left(frac x5right)’=-frac{5}{x^2}+frac15=frac{-25+x^2}{5x^2}=frac{x^2-25}{5x^2}\ f'(x_0)=frac{4^2-25}{5cdot 4^2}=-frac{9}{80} end{gather*} Уравнение касательной: $$ y=-frac{9}{80}(x-4)+frac{41}{20}=-frac{9}{80}x+frac{9}{20}+frac{41}{20}=-frac{9}{80}x+2,5 $$
б) ( f(x)=frac{x^2+5}{3-x}, x_0=2 ) begin{gather*} f(x_0)=frac{2^2+5}{3-2}=frac91=9\ f'(x)=frac{(x^2+5)'(3-x)-(x^2+5)(3-x)’}{(3-x)^2}=frac{2x(3-x)+(x^2+5)}{(3-x)^2}=\ =frac{6x-2x^2+x^2+5}{(3-x)^2}=frac{-x^2+6x+5}{(3-x)^2}\ f'(x_0)=frac{-2^2+6cdot 2+5}{(3-2)^2}=13 end{gather*} Уравнение касательной: $$ y=13(x-2)+9=13x-26+9=13x-17 $$
Пример 3*. Найдите точку, в которой касательная к графику функции (f(x)=frac{x^2+2}{x+3}-x) перпендикулярна прямой (y=11x+3). Напишите уравнение этой касательной.
Угловой коэффициент данной прямой (k_1=11).
Угловой коэффициент перпендикулярной прямой (k_2=-frac{1}{k_1}=-frac{1}{11}) begin{gather*} f'(x)=left(frac{x^2+2}{x+3}right)’-x’=frac{2x(x+3)-(x^2+2)cdot 1}{(x+3)^2}-1=frac{2x^2+6x-x^2-2-(x+3)^2}{(x+3)^2}=\ =frac{x^2+6x-2-x^2-6x-9}{(x+3)^2}=- frac{11}{(x+3)^2} end{gather*} В точке касания: begin{gather*} f'(x_0)=k_2Rightarrow=-frac{11}{(x+3)^2}=-frac{1}{11}Rightarrow (x+3)^2=121Rightarrow (x+3)^2-11^2=0Rightarrow\ Rightarrow (x+14)(x+8)=0Rightarrow left[ begin{array}{l} x=-14\ x=8 end{array} right. end{gather*} 
Уравнение касательной при (x_0=-14) begin{gather*} f(x_0)=frac{(-14)^2+2}{-14+3}+14=frac{198}{-11}+14=-18+14=-4\ y=-frac{1}{11}(x+14)-4=-frac{x+58}{11} end{gather*} Уравнение касательной при (x_0=8) begin{gather*} f(x_0)=frac{8^2+2}{8+3}-8=frac{66}{11}-8=-2\ y=-frac{1}{11}(x-8)-2=-frac{x+14}{11} end{gather*}
Ответ: точка касания (-14;-4), уравнение (y=-frac{x+58}{11})
и точка касания (8;-2), уравнение (-frac{x+14}{11})
Пример 4*. Найдите уравнения общих касательных к параболам (y=x^2-5x+6) и (y=x^2+x+1). Укажите точки касания.
Найдем производные функций: begin{gather*} f_1′(x)=2x-5, f_2′(x)=2x+1 end{gather*} Пусть a – абсцисса точки касания для первой параболы, b — для второй.
Запишем уравнения касательных (g_1(x)) и (g_2(x)) через эти переменные. begin{gather*} g_1(x)=f_1′(a)(x-a)+f_1(a)=(2a-5)(x-a)+a^2-5a+6=\ =(2a-5)x-2a^2+5a+a^2-5a+6=(2a-5)x+(6-a^2)\ \ g_2(x)=f_2′(b)(x-b)+f_2(b)=(2b+1)(x-b)+b^2+b+1=\ =(2b+1)x-2b^2-b+b^2+b+1=(2b+1)x+(1-b^2) end{gather*} Для общей касательной должны быть равны угловые коэффициенты и свободные члены. Получаем систему уравнений: begin{gather*} begin{cases} 2a-5=2b+1\ 6-a^2=1-b^2 end{cases} Rightarrow begin{cases} 2(a-b)=6\ a^2-b^2=5 end{cases} Rightarrow begin{cases} a-b=3\ (a-b)(a+b)=5 end{cases} Rightarrow begin{cases} a-b=3\ a+b=frac53 end{cases} Rightarrow \ Rightarrow begin{cases} 2a=3+frac53\ 2b=frac53-3 end{cases} Rightarrow begin{cases} a=frac73\ b=-frac23 end{cases} end{gather*} Находим угловой коэффициент и свободный член из любого из двух уравнений касательных: $$ k=2a-5=2cdotfrac73-5=-frac13, b=6-a^2=6-frac{49}{9}=frac59 $$ Уравнение общей касательной: $$ y=-frac x3+frac59 $$ 
Точки касания: begin{gather*} a=frac73, f_1(a)=left(frac73right)^2-5cdotfrac73+6=frac{49}{9}-frac{35}{3}+6=frac{49-105+54}{9}=-frac29\ b=-frac23, f_2(b)=left(-frac23right)^2-frac23+1=frac49-frac23+1frac{4-6+9}{9}=frac79 end{gather*}
Ответ: касательная (y=-frac x3+frac59); точки касания (left(frac73;-frac29right)) и (left(-frac23;frac79right))
Пример 5*. Докажите, что кривая (y=x^4+3x^2+2x) не пересекается с прямой (y=2x-1), и найдите расстояние между их ближайшими точками.
Решим уравнение: (x^4+3x^2+2x=2x-1) begin{gather*} x^4+3x^2+1=0Rightarrow D=3^2-4=5Rightarrow x^2=frac{-3pmsqrt{5}}{2} end{gather*} Оба корня отрицательные, а квадрат не может быть отрицательным числом.
Значит, (xinvarnothing) — решений нет, кривая и прямая не пересекаются.
Что и требовалось доказать.
Чтобы найти расстояние, необходимо построить касательную к кривой с тем же угловым коэффициентом (k=2), то и y данной прямой. Тогда искомым расстоянием будет расстояние от точки касания до прямой (y=2x-1).
Строим уравнение касательной. По условию: (f'(x)=4x^3+6x+2=2) begin{gather*} 4x^3+6x=0Rightarrow 2x(2x^2+3)=0Rightarrow left[ begin{array}{l} x=0\ 2x^2+3=0 end{array} right. Rightarrow left[ begin{array}{l} x=0\ x^2=-frac32 end{array} right. Rightarrow left[ begin{array}{l} x=0\ xinvarnothing end{array} right. Rightarrow x=0 end{gather*} Точка касания (x_0=0, y_0=0^4+3cdot 0^2+2cdot 0=0).
Уравнение касательной: (y=2(x-0)+0=2x)
 |
Ищем расстояние между двумя параллельными прямыми: (y=2x) и (y=2x-1). Перпендикуляр из точки (0;0) на прямую (y=2x-1) имеет угловой коэффициент (k=-frac12), его уравнение: (y=-frac12 x+b). Т.к. точка (0;0) принадлежит этому перпендикуляру, он проходит через начало координат и (b=0). |
Уравнение перпендикуляра: (y=-frac x2).
Находим точку пересечения прямой (y=2x-1) и перпендикуляра (y=-frac x2): begin{gather*} 2x-1=-frac x2Rightarrow 2,5x=1Rightarrow x=0,4; y=-frac{0,4}{2}=-0,2 end{gather*} Точка пересечения A(0,4;-0,2).
Находим расстояние (OA=sqrt{0,4^2+(-0,2)^2}=0,2sqrt{2^2+1^2}=frac{sqrt{5}}{5})
Ответ: (frac{sqrt{5}}{5})