Как составить уравнение окружности если дано 3 точки

Написать уравнение окружности, проходящей через три точки: (0, 1); (2, 0); (3, -1).

Искомое уравнение имеет вид (x — a) 2 + (y — b) 2 = r 2 . Поскольку окружность проходит через заданные точки, координаты каждой из этих точек удовлетворяют уравнению окружности. Подставляя поочередно в искомое уравнение координаты данных точек, получим три уравнения для определения a, b и r. Вот эти уравнения:

Возьмем уравнения первое и второе, а потом первое и третье. Правые части этих уравнений между собой равны, значит, равны и левые их части, и мы получаем

Раскрывая скобки и упрощая, будем иметь

Отсюда . Подставляя эти значения a и b в первое из уравнений системы, получим . Искомое уравнение имеет вид

или после упрощений x 2 + y 2 + 3x + 9y — 10 = 0.

Уравнение окружности, проходящей через три заданные точки

Этот онлайн калькулятор выводит уравнение окружности, проходящей через три заданные точки

Этот онлайн-калькулятор находит окружность, проходящую через три заданные точки. Калькулятор находит центр, радиус и уравнение окружности, и строит окружность на графике. Методы, использованные для нахождения центра и радиуса окружности, описаны ниже под калькулятором.

Уравнение окружности, проходящей через три заданные точки

Первая точка

Вторая точка

Третья точка

Центр

Как найти окружность, проходящюю через три заданные точки

Давайте вспомним как выглядит уравнение окружности в стандартной форме:

Так как все три точки принадлежат одной окружности, мы можем записать систему уравнений

Значения , и мы знаем. Давайте сделаем подстановку с неизвестными переменнами a, b и c.

Теперь у нас есть три линейных уравнения для трех неизвестных — составим систему уравнений соответствующую матричной форме:

Мы можем решить эту систему уравнений, используя, к примеру, Гауссово исключение. (подробнее прочитать об этом можно здесь — Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса ). «Нет решений» — означает, что точки коллинеарны и окружность через них провести нельзя.

Координаты центра окружность и ее радиус относится к подобному решению

Зная центр и радиус, мы можем получить уравнение окружности, используя этот калькулятор — Уравнение окружности по заданному центру и радиусу в различных формах

Уравнение описанной окружности

Как составить уравнение описанной около треугольника окружности по координатам его вершин? Как найти координаты центра описанной окружности? Как найти радиус описанной окружности, зная координаты вершин треугольника?

Решение всех этих задач сводится к одной — написать уравнение окружности, проходящей через три данные точки. Для этого достаточно подставить координаты точек (вершин треугольника) в уравнение окружности. Получим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными: координатами центра и радиусом окружности.

Составить уравнение описанной окружности для треугольника с вершинами в точках A(2;1), B(6;3), C(9;2).

Подставив координаты вершин треугольника в уравнение окружности

получим систему уравнений

Вычтем из первого уравнения системы второе:

Теперь из второго уравнения системы вычтем третье:

Приравняем правые части равенств b=-2a+10 и b=3a-20:

Подставим в первое уравнение системы a=6 и b=-2:

a и b — координаты центра окружности, R — её радиус. Таким образом, точка (6;-2) — центр описанной около треугольника ABC окружности, радиус R=5, а уравнение описанной окружности

Для решения аналогичной задачи для четырёхугольника либо многоугольника достаточно знать координаты трёх его вершин.

источники:

http://planetcalc.ru/8116/

Уравнение описанной окружности

Источник

Уравнение окружности, проходящей через три заданные точки

Первая точка

Вторая точка

Третья точка

Точность вычисления

Знаков после запятой: 2

Центр

Стандартное уравнение окружности

Общее уравнение окружности

Параметрическое уравнение окружности

Как найти окружность, проходящюю через три заданные точки

Давайте вспомним как выглядит уравнение окружности в стандартной форме:

Так как все три точки принадлежат одной окружности, мы можем записать систему уравнений

$x_1^2+y_1^2+2ax_1+2by_1+c=0\x_2^2+y_2^2+2ax_2+2by_2+c=0\x_3^2+y_3^2+2ax_3+2by_3+c=0$

Значения , и мы знаем. Давайте сделаем подстановку с неизвестными переменнами a, b и c.

$2x_1a+2y_1b+c + x_1^2+y_1^2+=0\2x_2a+2y_2b+c+x_2^2+y_2^2=0\2x_3a+2y_3b+c+x_3^2+y_3^2=0$

$begin{bmatrix}2x_1 & 2y_1 & 1 \2x_2 & 2y_2 & 1 \2x_3 & 2y_3 & 1 \end{bmatrix} * begin{bmatrix}a\b\c\end{bmatrix} = begin{bmatrix}-(x_1^2+y_1^2)\-(x_2^2+y_2^2)\-(x_3^2+y_3^2)\end{bmatrix}$

Координаты центра окружность и ее радиус относится к подобному решению
$x_c=-a\y_c=-b\R=sqrt{x_c^2+y_c^2-c}$

Источник

Калькулятор расчета онлайн уравнения окружности по трем заданным точкам, а также нахождение координат точки центра и радиус окружности.

Уравнение окружности

r² = (x — h)² + (y — k)²

где,

h,k — координаты центра Окружности
x,y — координаты точки окружности
r — радиус

Пример

Найдите координаты точки центра окружности, радиус и уравнение окружности, если известны координаты трех точек A (2,2), B (2,4) и C (5,5)

Решение :

Шаг:1

Подставляем координаты точек в формулу

(2 — h)² + (2 — k)² = r²
(2 — h)² + (4 — k)² = r²
(5 — h)² + (5 — k)² = r²

Шаг :2

Найдем значение k упрощая 1 и 2 уравнения

(2 — h)² + (2 — k)² = (2 — h)² + (4 — k)²
4 — 4h + h²+ 4 — 4k + k² = 4 — 4h + h²+16 — 8k + k²
8 — 4k = 20 — 8k
k=3

Шаг :3

Найдем значение h упрощая уравнения 2 и 3

(2 — h)² + (2 — k)² = (5 — h)² + (5 — k)²
4 — 4h + h²+ 4 — 4k + k² = 25 — 10h + h²+ 25 — 10k + k²
8 — 4k — 4h = 50 — 10h — 10k
6k + 6h = 42

Подставив значение k=3 в уравнение

6h = 24
h=4

Получаем координаты точки центра (h,k) = (4,3)

Шаг :4

Подставим значения h,k в формулу

r² = (x — h)² + (y — k)²
r² = (2 — 4)² + (2 — 3)²
r² = (-2)² + (-1)²
r² = 5
r = 2.24

Шаг :5

Подставим значения h, k в уравнение окружности

(x — h)² + (y — k)²

Уравнение окружности = (x — 4)² + (y — 3)²

Ответ :

Координаты точки центра окружности c(h,k) = c(4,3)
Радиус окружности r = 2.24
Уравнение окружности = (x — 4)² + (y — 3)² = (2.24)²

людей нашли эту статью полезной. А Вы?

Источник

Задача 61616 Составить уравнение окружности,…

Условие

Составить уравнение окружности, проходящей через три точки А(-1;3), В(0;2) С(1;-1)

математика ВУЗ
1111

Решение

★

Подставляем координаты точек в уравнение окружности

c центром (a;b) и радиусом R

(x-a)^2+(y-b)^2=R^2

А(–1;3),
(-1-a)^2+(3-b)^2=R^2
В(0;2)
(0-a)^2+(2-b)^2=R^2
С(1;–1)
(1-a)^2+(-1-b)^2=R^2

Решаем систему трех уравнений:
{(-1-a)^2+(3-b)^2=R^2
{(0-a)^2+(2-b)^2=R^2
{(1-a)^2+(-1-b)^2=R^2

Приравниваем левые части равенств:
{(-1-a)^2+(3-b)^2=(0-a)^2+(2-b)^2 ⇒ (-1-a)^2-(0-a)^2=(2-b)^2-(3-b)^2 ⇒ (-1-a-(-a))*(-1-a+(-a))=(2-b-3+b)*(2-b+3-b)
{(0-a)^2+(2-b)^2=(1-a)^2+(-1-b)^2 ⇒ (0-a)^2-(1-a)^2=(-1-b)^2-(2-b)^2 ⇒ (-a-1+a)(-a+1-a)=(-1-b-2+b)*(-1-b+2-b)
{(1-a)^2+(-1-b)^2=R^2

{(-1-a-(-a))*(-1-a+(-a))=(2-b-3+b)*(2-b+3-b) ⇒ a=b-3
{(-a-1+a)(-a+1-a)=(-1-b-2+b)*(-1-b+2-b) ⇒ a=3b-1 ⇒ 3b-1=b-3 ⇒ b=-1 ⇒ a=-4
{(1-(-4))^2+(-1-(-1))^2=R^2 ⇒ R^2=25

О т в е т. (x-(-4))^2+(y-(-1))^2=25 ⇒. [b](x+4)^2+(y+1)^2=25[/b]

Написать комментарий

Источник

Определить формулу окружности по трем точкам

Три точки по которым необходимо построить окружность

Первая координата

Вторая координата

Третья координата

Полученная формула окружности

Рассмотрим частный пример расчета кривой второго порядка на плоскости по точкам

Напомним, что общее уравнение кривой второго порядка выглядит так

Частные примеры кривой второго порядка это и парабола и гибербола и окружность и прямая линия.

Формула окружности с центром (a;b) и радиусом R имеет вид

или если мы раскроем скобки

из этого уравнения мы можем видеть что кривая второго порядка превращается в формулу окружности если

Из этого же мы можем утверждать, что для построения окружности нам нужно как минимум три точки, так как у нас из всех шести вышеуказанных коэффициентов, только три коэффицента неизвестны.

Бот, позволяет Вам рассчитывать формулу окружности по заданным трем точкам.

Если бы бота не было, то Вам пришлось бы решать систему уравнений из трех переменных, что не очень удобно и трудоёмко.

Интересные факты

Если Вам известны все коэффициенты кривой второго порядка , которые выражают окружность (), то очень легко по ним определить два основных параметра:центр окружности и радиус окружности