Как составить уравнение окружности изображенной на рисунке

Написать уравнение окружности

Рассмотрим некоторые примеры, в которых требуется написать уравнение окружности по заданным условиям.

1) Написать уравнение окружности с центром в точке K(5;-1) и радиусом 7.

Уравнение окружности с центром в точке (a;b) и радиусом R имеет вид:

Так как центр окружности — точка K(5; -1), то a=5, b=-1.Подставляем эти данные в уравнение окружности:

2) Напишите уравнение окружности с центром в точке A (8;-3) проходящей через точку C(3;-6).

Так как центр окружности — точка A(8; -3), то a=8, b=-3.

Остаётся найти радиус. Он равен расстоянию от центра окружности до точки, лежащей на окружности, то есть в данном случае радиус окружности равен расстоянию между точками A и C.

Следовательно, уравнение данной окружности

3) Составить уравнение окружности, диаметром которой является отрезок AB, если A (-4; -9), B(6;5).

Центром окружности является середина диаметра, в нашем случае — середина отрезка AB. По формулам координат середины отрезка

Центр окружности — точка O(1;-2). Значит, a=1, b=-2.

Радиус можно найти как расстояние от центра окружности до любой из точек A или B окружности. Например,

Таким образом, уравнение окружности с диаметром AB —

4) Написать уравнение окружности, проходящей через три точки: A(4; -5), B(8; 3) C(-8; 11).

Так как точки A, B C принадлежат окружности, то их координаты удовлетворяют уравнению окружности. Подставив координаты точек в уравнение

получаем систему уравнений:

Поскольку правые части уравнений равны, левые также равны. Приравняв правые части 1-го и 2-го уравнений получим

Приравняем правые части 2-го и 3-го уравнений:

на -1 и сложив результат почленно с уравнением

получаем a=-2, b=3. Подставив этот результат в первое уравнение системы:

Следовательно, уравнение окружности, проходящей через три данные точки —

5) Написать уравнение окружности, описанной около треугольника ABC с вершинами в точках A(2; 6), B(1; 5) C(8; -2).

Решение аналогично решению задания 4. В результате получим уравнение

Как составлять уравнение окружности по рисунку

Решение:
Уравнение окружности имеет вид: (х-х0)^2+(y-y0)^2=r2,где (х0;у0) — центр окружности, а r2 — радиус окружности. Если центр окружности является началом координат, то уравнение принимает такой вид: х^2+y^2=r^2 Уравнение прямой, проходящей через две точки, имеет вид: ax+by+c=0 У тебя есть рисунок, чертеж этой прямой. Есть координаты этих двух точек.Необходимо составить два уравнения для каждой из точек. К примеру, есть точка А (-3;2) и В (1;-1). Для А: -3а+2b+с=0 Для В: a-b+c=0 Эти уравнения возьмем в систему, решим их каким-либо способом дважды: чтобы исчезла а и чтобы исчезлa b. У нас получится b=4c; a=3c Подставим это в наше уравнение: 3сх+4су+с=0 Сократим на с: 3х+4у+1=0 Это и будет уравнением прямой.

Уравнение с двумя переменными и его график. Уравнение окружности

п.1. Понятие уравнения с двумя переменными

Мы уже знакомы со многими функциями и умеем их записывать в виде формул:
y = 2x + 5 – прямая, y = 5x 2 + 2x – 1 – парабола, (mathrm) – гипербола.

Если записать такое выражение: x 2 (x + y) = 1 – y – в нём тоже есть две переменные x и y, и постоянная 1.

Для наших примеров:
F(x; y) = 2x – y + 5 = 0 – прямая
F(x; y) = 5x 2 + 2x – y – 1 = 0 – парабола
F(x; y) = (mathrm<frac1x>) – y = 0 – гипербола
F(x; y)=x 2 (x + y) + y – 1 = 0 – некоторая кривая (график — ниже).

п.2. Обобщенные правила преобразования графика уравнения

Пусть F(x; y) = 0 – исходный график некоторой функции

Симметричное отображение относительно оси OY

Симметричное отображение относительно оси OX

Центральная симметрия относительно начала координат

Параллельный перенос графика на a единиц вправо

Параллельный перенос графика на a единиц влево

Параллельный перенос графика на b единиц вниз

Параллельный перенос графика на b единиц вверх

Сжатие графика к оси OY в a раз

Сжатие графика к оси OX в b раз

F(x; by) = 0
0 Например:

Окружность с центром в точке O(2; 1) и радиусом R = 3 задаётся уравнением: $$ mathrm <(x-2)^2+(y-1)^2=9>$$

п.4. Примеры

Пример 1. Постройте график уравнения:
а) 2x + 7y – 14 = 0
Выразим y из уравнения: ( mathrm<7>=-frac<2> + 2 > ) – это прямая

б) xy + 4 = 0
Выразим y из уравнения: ( mathrm> ) – это гипербола

в) ( x+ 2) 2 + y 2 = 4
Это – уравнение окружности с центром O(–2; 0), радиусом ( mathrm=2> )

г) x 2 + 5y – 2 = 0
Выразим y из уравнения: ( mathrm<5>> ) – это парабола

Пример 2*. Постройте график уравнения:
а) 2|x| + 5y = 10
( mathrm<5>=-frac25|x|+2> )
Строим график для ( mathrm ), а затем отражаем его относительно оси OY в левую полуплоскость.

б) 3x + |y| = 6
|y| = –3x + 6
Строим график для y > 0: y = –3x + 6, а затем отражаем его относительно оси OX в нижнюю полуплоскость.

в) |x| + |y| = 2
|y| = –|x| + 2
Строим график для x > 0, y > 0: y = –x + 2, а затем отражаем его относительно осей OX и OY.

г) |x – 1| + |y – 2| = 4
Получим тот же ромб (квадрат), что и в (в), но его центр будет перенесен из начала координат в точку O(1; 2).

д) (mathrm<frac<|x-1|><2>+2|y-2|=4>)
Ромб по x растянется в 2 раза по диагонали, а по y – сожмётся в 2 раза по диагонали.

Пример 3. Постройте график уравнения:
а) x 2 + y 2 + 4x – 6y + 4 = 0
Выделим полные квадраты:
(x 2 + 4x + 4) + (y 2 – 6y + 9) – 9 = 0
(x + 2) 2 + (y – 3) 2 = 3 2 – уравнение окружности с центром (–2; 3), радиусом 3.

источники:

http://methmath.ru/primer_1947.html

http://reshator.com/sprav/algebra/9-klass/uravnenie-s-dvumya-peremennymi-i-ego-grafik-uravnenie-okruzhnosti/

ГДЗ и решебники
вип уровня

Прежде всего,
давайте вспомним, формулу расстояния между двумя точками и еще, повторим, что
уравнение с двумя переменными x и y
называется уравнением линии l, если этому уравнению
удовлетворяют координаты любой точки линии l и не
удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии.

Сегодня на уроке мы
попробуем по геометрическим свойствам линии найти ее уравнение.

В качестве линии
рассмотрим окружность радиуса  с
центром в точке .

Пусть центр
окружности имеет координаты . Возьмем на
окружности произвольную точку . Запишем формулу
расстояния между точками C и M.
Мы знаем, что длина отрезка, который соединяет любую точку на окружности с
центром окружности – это радиус. Поэтому можно записать, что MC
равно r. Возведем MC в квадрат
и получим уравнение MC² = r².
Заменим MC² квадрат на выражение  и получим, что если
точка лежит на окружности с радиусом r и центром в
точке C, то координаты этой точки удовлетворяют
уравнению . Если точка не
лежит на окружности, то расстояние от этой точки до центра окружности не равно
радиусу, поэтому координаты таких точек не будут удовлетворять полученному
уравнению. Поэтому можно сказать, что в прямоугольной системе координат уравнение
окружности радиуса r с центром в точке C с координатами  имеет вид: .

Задача. Записать
уравнение окружности с радиусом  и центром в начале
координат.

Решение.

Начало координат
имеет координаты (0;0). Подставим их в уравнение окружности и получим, что
уравнение окружности с радиусом r и
центром в начале координат имеет вид

 

.

Задача. Начертить
окружность, заданную уравнением .

Решение.

Запишем общее
уравнение окружности и проанализируем исходное уравнение. Прежде всего,
определимся с координатами центра окружности. Это будут числа 5 и 3. Теперь
давайте определим величину радиуса окружности.

Поскольку в правой
части формулы стоит квадрат радиуса, то для того, чтобы найти радиус надо
извлечь квадратный корень из 4. Получим 2.

 Значит наша
формула задает окружность с центром в точке с координатами пять три и радиусом
равным двум.

Задача. Начертить
окружность, заданную уравнением .

Решение.

Запишем общее
уравнение окружности и проанализируем исходное уравнение. Прежде всего
определимся с координатами центра окружности.

Это будут числа -4
и 2. Теперь давайте определим величину радиуса окружности.

Задача. Начертить
окружность, заданную уравнением .

Решение. Уравнениями
такого типа описываются окружности с центром в начале координат. Теперь давайте
определим величину радиуса окружности. Поскольку в правой части формулы стоит
квадрат радиуса, то для того, чтобы найти радиус надо извлечь квадратный корень
из 9.

Значит наша формула
задает окружность с центром в точке с координатами (0;0) и радиусом равным 3.

Теперь давайте
попробуем решить задачу обратную данным.

Задача. Составить
уравнение окружности, которая показана на рисунке.

Как и в предыдущих
задачах мы начнем с определения координат центра окружности. Сделать это
нетрудно. Центр этой окружности совпадает с началом координат, поэтому центр
окружности имеет координаты (0;0).

Нетрудно заметить,
что радиус окружности равен 4.

Запишем уравнение
окружности и подставим найденные значения.

 

 

 

Ответ: .

Решим еще одну
задачу.

Задача. Составить
уравнение окружности, которая показана на рисунке.

Решение.

 – центр окружности

 – радиус окружности

Ответ:.

Задача. Составить
уравнение окружности, которая показана на рисунке.

Решение.

 – центр окружности

 – радиус окружности

 

 

 

Ответ:.

Решая задачи, мы с
вами выполняли один и тоже порядок действий. Давайте еще раз повторим этот
порядок.

Для того, что
бы составить уравнение окружности и построить ее надо:

1. Найти координаты
центра окружности.

2. Найти длину
радиуса этой окружности.

3. Записать уравнение
окружности.

4. Подставить
полученные значения в уравнение окружности.

5. Построить
окружность, если это требуется для решения задачи.

Рассмотрим еще одну
задачу.

Написать уравнение
окружности с диаметром эм эн, если точка эн имеет координаты два три, точка эм
имеет координаты шесть три.

Задача. Написать
уравнение окружности с диаметром , если , .

Решение.

Найдем координаты
центра окружности. Центр окружности является серединой диаметра. Воспользуемся
формулами для нахождения координат середины отрезка.

Получим, что центр
окружности имеет координаты .

Теперь определим
радиус окружности. Для этого найдем расстояние от центра окружности до концов
диаметра.

 

 

Запишем общее
уравнение окружности и подставим в него найденные значения. Тогда получим, что
уравнение данной окружности имеет вид:

Ответ: .

Подведем итоги
урока.

На сегодняшнем
уроке мы познакомились с формулой, которая задает окружность с центром в точке С
(x₀; y₀)
и радиусом r.

Также мы
познакомились с формулой, которая задает окружность с центром в начале
координат и радиусом r.

Мы рассмотрели
задачи на составление уравнения окружности по рисунку и на построение
окружности по заданному уравнению.

Каждое уравнение с
двумя переменными  х  и  у  определяет некоторое множество пар  (х; у)  значений
переменных, которые являются решениями этого уравнения, т. е. задаёт некоторое
отношение между значениями переменной  х  и значениями
переменной  у. График отношения, заданного уравнением с двумя
переменными, или, короче, график уравнения с двумя переменными, есть, как
известно, множество точек плоскости, координаты которых служат решениями
уравнения. Мы знаем, что графиком уравнения вида  ax + by = c,
где  a ≠ 0  или  b ≠ 0,
служит прямая линия, график уравнения вида  

y = ax² +
bx + c (a ≠ 0)   

парабола, график
уравнения вида  

xy = k

гипербола.

На рисунку
изображён график уравнения 

х² + 9у²
= 81.

Кривая такого вида
называется эллипсом.

Графиком уравнения

(x – a)² +
(y – b)² =
r²

является окружность на координатной плоскости  хОу  с центром в точке  О’(a; b)  и радиусом 
r (r
> 0).

Уравнением фигуры
на плоскости  в декартовых координатах
называется уравнение с двумя переменными 
х  и  у, которые будут координатами любой точки фигуры. И наоборот:
любые два числа, которые будут решением этого уравнения, будут координатами некоторой
точки фигуры.

Составим уравнение окружности
с центром в точке  А₀(а; b)  и радиусом  R.

Возьмём произвольную
точку  А(х; у)  на окружности. Расстояние от неё до
центра  А₀  равно  R. Квадрат расстояния от точки  А  до  А₀  равен:

(х – a)²
+ (у – b)².

Таким образом, координаты  х, у  каждой точки  А  окружности будут корнями уравнения:

(х – a)²
+ (у – b)² = R².

Наоборот: любая
точка  А, координаты которой будут решениями уравнения, принадлежат окружности, так как расстояние
от неё до точки  А₀  равно  R. Отсюда вытекает, что это уравнение будет уравнением окружности
с центром  А₀  и радиусом 
R.

Обратите внимание, что
когда центром окружности будет начало координат, то уравнение окружности имеет
вид:

х² + у² = R².

ПРИМЕР:

Какая геометрическая фигура задано уравнением ?

х² + у²
+ ах + bу + с = 0.

РЕШЕНИЕ:

видим, что искомая фигура – окружность с центром

ПРИМЕР:

Построить график уравнения:

х² + у²
= 16.

Перепишем уравнение в виде

(х – 0)² + (у – 0)² = 4².

Графиком этого уравнения является окружность с центром в
точке  О(0;
0)  и
радиусом  4.

ПРИМЕР:

Построить график уравнения:

(х – 1)² + (у – 2)² = 9.

Перепишем уравнение в виде

(х – 1)² + (у – 2)² = 3².

Графиком этого уравнения является окружность с центром в
точке  (1;
2)  и
радиусом  3.

ПРИМЕР:

Построить график уравнения:

х² + у²
+ 4х = 0.

Перепишем уравнение в виде

х² +
4х + 4 + у² = 4,

(х + 2)² + у²
= 4,

(х – (–2))² + (у – 0)² = 2²,

Графиком этого уравнения является окружность с центром в
точке  (–2;
0)  и
радиусом  2.

От графиков функций
необходимо отличать графики уравнений.

ПРИМЕР:

На координатной плоскости изображена окружность радиусом  r = 5  с центром в начале координат. Уравнение этой окружности:

х² + у²
= 25.

Можно сказать и так: графиком уравнения 

х² + у²
= 25 

будет окружность, изображённая на рисунку.

А можно график уравнения 

х² + у²
= 25 

считать графиком некоторой функции ? Нет. Если переменные  х  и  у  связаны соотношением 

х² + у²
= 25,

то одному значению 
х = 3  соответствует два
разных значения переменной  у:  4  и  –4.
А соотношение между переменными  х  и  у  только тогда считается функцией, когда каждому
значению  х  из области определения соответствует одно
значение  у.
График уравнения только тогда будет графиком некоторой функции, если каждая
прямая, параллельная оси  у, пересекает
его не больше чем в одной точке.

ПРИМЕР:

Изображённые на рисунке полуокружности – графики функций

Их объединение – вся окружность – график не функции, а уравнения  

у² = 25 – х², или 

у² +
х² = 25.

Задания к уроку 27