Как составить уравнение окружности по концам диаметра

Уравнение окружности через точки концов диаметра

Уравнение окружности.

Окружностью принято обозначать множество всех точек плоскости, равноудаленных от одной точки – от центра.

В формулировке окружности упоминается расстояние между точкой окружности и центром.

Формула расстояния между двумя точками М1(х1; у1) и М2(х2; у2) имеет вид:

,

Применив формулу и формулировку окружности, получаем уравнение окружности с центром в точке С (х0; у0) и радиусом r.

Отметим произвольную точку М(х; у) на этой окружности.

.

Предположим, что М принадлежит окружности с центром С и радиусом r, то МС = r.

Следовательно, МС 2 = r 2 и координаты точки М удовлетворяют уравнению окружности (х – х0 ) 2 +(у – у0 ) 2 = r 2 .

Из выше изложенного делаем вывод, что уравнение окружности с центром в точке С (х0; у0) и радиусом r имеет вид:

В случае когда центр окружности совпадает с началом координат, то получаем частный случай уравнения окружности с центром в точке О (0;0):

Написать уравнение окружности

Рассмотрим некоторые примеры, в которых требуется написать уравнение окружности по заданным условиям.

1) Написать уравнение окружности с центром в точке K(5;-1) и радиусом 7.

Уравнение окружности с центром в точке (a;b) и радиусом R имеет вид:

Так как центр окружности — точка K(5; -1), то a=5, b=-1.Подставляем эти данные в уравнение окружности:

2) Напишите уравнение окружности с центром в точке A (8;-3) проходящей через точку C(3;-6).

Так как центр окружности — точка A(8; -3), то a=8, b=-3.

Остаётся найти радиус. Он равен расстоянию от центра окружности до точки, лежащей на окружности, то есть в данном случае радиус окружности равен расстоянию между точками A и C.

Следовательно, уравнение данной окружности

3) Составить уравнение окружности, диаметром которой является отрезок AB, если A (-4; -9), B(6;5).

Центром окружности является середина диаметра, в нашем случае — середина отрезка AB. По формулам координат середины отрезка

Центр окружности — точка O(1;-2). Значит, a=1, b=-2.

Радиус можно найти как расстояние от центра окружности до любой из точек A или B окружности. Например,

Таким образом, уравнение окружности с диаметром AB —

4) Написать уравнение окружности, проходящей через три точки: A(4; -5), B(8; 3) C(-8; 11).

Так как точки A, B C принадлежат окружности, то их координаты удовлетворяют уравнению окружности. Подставив координаты точек в уравнение

получаем систему уравнений:

Поскольку правые части уравнений равны, левые также равны. Приравняв правые части 1-го и 2-го уравнений получим

Приравняем правые части 2-го и 3-го уравнений:

на -1 и сложив результат почленно с уравнением

получаем a=-2, b=3. Подставив этот результат в первое уравнение системы:

Следовательно, уравнение окружности, проходящей через три данные точки —

5) Написать уравнение окружности, описанной около треугольника ABC с вершинами в точках A(2; 6), B(1; 5) C(8; -2).

Решение аналогично решению задания 4. В результате получим уравнение

Уравнение окружности по заданному центру и радиусу в различных формах

Этот онлайн-калькулятор показывает уравнение окружности в стандартной, параметрической и общей формах, по заданному центру и радиусу окружности. Описание и формулы приведены под калькулятором

Уравнение окружности по заданному центру и радиусу в различных формах

Центр окружности

Уравнение окружности

Уравнение окружности — это алгебраический способ описания всех точек, лежащих на некоторой окружности. То есть если координаты точки x и y обращают уравнение окружности в равенство — эта точка принадлежит данной окружности. Существуют разные формы записи уравнения окружности:

  • общее уравнение окружности
  • стандартное уравнение окружности 1
  • параметрическое уравнение окружности
  • уравнение окружности в полярных координатах

Общее уравнение окружности

Общее уравнение окружности с центром и радиусом выглядит так:
,
где

В таком виде довольно сложно судить о свойствах заданной этим уравнением окружности, а именно, о координатах центра и радиусе. Но эту форму достаточно легко привести к стандартной форме (ниже), которая гораздо нагляднее.

Стандартное уравнение окружности

Стандартное уравнение окружности с центром и радиусом выглядит так:

Переход от общей формы к стандартной заключается в применении метода выделения полного квадрата. Получив стандартную форму, можно легко узнать координаты центра и радиус. Подробнее можно посмотреть здесь — Метод выделения полного квадрата и здесь — Нахождение центра и радиуса окружности по общему уравнению окружности.

Параметрическое уравнение окружности

Параметрическое уравнение окружности с центром и радиусом выглядит так:

Уравнение называется «параметрическим», потому что и x и y зависят от «параметра» тета. Это переменная, которая может принимать любые значения (но конечно это должно быть одно и то же значение в обоих уравнениях). Для параметрического уравнения используется определение синуса и косинуса в прямоугольном треугольнике построенном на радиусе и перпендикуляров от точки на окружности до координатных осей.

Уравнение окружности в полярных координатах

Для записи уравнения окружности в полярных координатах требуются полярные координаты центра окружности по отношению к началу координат. Если полярные координаты центра окружности — это , то полярные координаты точки окружности должны удовлетворять следующему уравнению:
,
где a — радиус окружности.

Так, во всяком случае, его называют в англоязычной литературе. Насчет русского термина я не уверен, по-моему эту форму рассматривают просто как еще один способ записи общего уравнения окружности, тем более что переход от общего уравнения к стандартному довольно простой. ↩

Написать уравнение окружности

Рассмотрим некоторые примеры, в которых требуется написать уравнение окружности по заданным условиям.

1) Написать уравнение окружности с центром в точке K(5;-1) и радиусом 7.

Уравнение окружности с центром в точке (a;b) и радиусом R имеет вид:

Так как центр окружности — точка K(5; -1), то a=5, b=-1.Подставляем эти данные в уравнение окружности:

2) Напишите уравнение окружности с центром в точке A (8;-3) проходящей через точку C(3;-6).

Так как центр окружности — точка A(8; -3), то a=8, b=-3.

Остаётся найти радиус. Он равен расстоянию от центра окружности до точки, лежащей на окружности, то есть в данном случае радиус окружности равен расстоянию между точками A и C.

Следовательно, уравнение данной окружности

3) Составить уравнение окружности, диаметром которой является отрезок AB, если A (-4; -9), B(6;5).

Центром окружности является середина диаметра, в нашем случае — середина отрезка AB. По формулам координат середины отрезка

Центр окружности — точка O(1;-2). Значит, a=1, b=-2.

Радиус можно найти как расстояние от центра окружности до любой из точек A или B окружности. Например,

Таким образом, уравнение окружности с диаметром AB —

4) Написать уравнение окружности, проходящей через три точки: A(4; -5), B(8; 3) C(-8; 11).

Так как точки A, B C принадлежат окружности, то их координаты удовлетворяют уравнению окружности. Подставив координаты точек в уравнение

получаем систему уравнений:

Поскольку правые части уравнений равны, левые также равны. Приравняв правые части 1-го и 2-го уравнений получим

Приравняем правые части 2-го и 3-го уравнений:

на -1 и сложив результат почленно с уравнением

получаем a=-2, b=3. Подставив этот результат в первое уравнение системы:

Следовательно, уравнение окружности, проходящей через три данные точки —

5) Написать уравнение окружности, описанной около треугольника ABC с вершинами в точках A(2; 6), B(1; 5) C(8; -2).

Решение аналогично решению задания 4. В результате получим уравнение

Уравнение окружности.

Окружностью принято обозначать множество всех точек плоскости, равноудаленных от одной точки – от центра.

В формулировке окружности упоминается расстояние между точкой окружности и центром.

Формула расстояния между двумя точками М1(х1; у1) и М2(х2; у2) имеет вид:

,

Применив формулу и формулировку окружности, получаем уравнение окружности с центром в точке С (х0; у0) и радиусом r.

Отметим произвольную точку М(х; у) на этой окружности.

.

Предположим, что М принадлежит окружности с центром С и радиусом r, то МС = r.

Следовательно, МС 2 = r 2 и координаты точки М удовлетворяют уравнению окружности (х – х0 ) 2 +(у – у0 ) 2 = r 2 .

Из выше изложенного делаем вывод, что уравнение окружности с центром в точке С (х0; у0) и радиусом r имеет вид:

В случае когда центр окружности совпадает с началом координат, то получаем частный случай уравнения окружности с центром в точке О (0;0):

источники:

Написать уравнение окружности

http://www.calc.ru/Uravneniye-Okruzhnosti.html

Источник

Составить уравнение окружности.

Пример 1:

Составить уравнение окружности, концы диаметра которой имеют координаты (0; 3) и (6; -7).

Решение от преподавателя:

Находим центр окружности, М (3; -2).
Находим радиус √(0-3)2+(3+2)2=√9+25=√34
Уравнение окружности имеет вид (х — 3)2 + (x + 2)2 = 34

Пример 2:

Составить уравнение окружности, проходящей через точку М(-1;1) и центр которой лежит в точке С(-4;5).

Решение от преподавателя:

Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Заполните, пожалуйста, данные для автора:

  • 22423 авторов готовы помочь тебе.
  • 2402 онлайн
Источник

Все категории

  • Фотография и видеосъемка
  • Знания
  • Другое
  • Гороскопы, магия, гадания
  • Общество и политика
  • Образование
  • Путешествия и туризм
  • Искусство и культура
  • Города и страны
  • Строительство и ремонт
  • Работа и карьера
  • Спорт
  • Стиль и красота
  • Юридическая консультация
  • Компьютеры и интернет
  • Товары и услуги
  • Темы для взрослых
  • Семья и дом
  • Животные и растения
  • Еда и кулинария
  • Здоровье и медицина
  • Авто и мото
  • Бизнес и финансы
  • Философия, непознанное
  • Досуг и развлечения
  • Знакомства, любовь, отношения
  • Наука и техника


9

1 ответ:



0



0

Координаты центра окружности 
x=(x₁+x₂)/2=(0+6)/2=3
y=(y₁+y₂)/2=(3-7)/2=-2
длина радиуса окружности
r=√[(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²]/2=√[(6-0)²+(-7-3)²]/2=√(36+100)/2=√136/2
r²=√(136/4)=34
уравнение окружности
(x-3)²+(y+2)²=34

Читайте также

S1=x^2
S2=25x^2
S2-S1=720
24x^2=720
x^2=30
x=√30

<span> 3(х+ m) -утроенная сумма…</span>

4+(75-35)
уважают лидера

Ответ:

каждый посадил по 6 кустов

Пошаговое объяснение:

1. 2*3=6

2.3*2=6

1)22-8=14(уч.) — если бы учеников было поровну
2)14:2=7(уч.) — 7 мальчиков
3)7+8=15(уч.) — 15 девочек
Ответ: 15 девочек

Смотрите также:

  • 1)Резервуар наполняется водой за 1 ч 15 мин с помощью трёх насосов работающих вместе. Производительность насосов относятся как 2

    12·1 ответ

  • Коля очень любит мотоциклы. Любимая его модель — «Харлей Дэвидсон». Это и неудивительно: мощность мотоцикла «Ява», например, сос

    10·1 ответ

  • Из города в деревню расстояние между которыми 32 км выехал велосипедист со скоростью 12 км в час и из деревни в город одновремен

    8·1 ответ

  • В первые классы должно быть принято 400 детей. Определить вероятность того, что среди них окажется 200 девочек, если вероятность

    10·1 ответ

  • (x)=-(2,68) уравнения

    12·1 ответ

  • Поделить пример столбиком 1554: 37

    14·2 ответа

  • Второй вариант сделайте пожалуста

    9·1 ответ

  • [49007 ÷ 7 + 15884] ÷ 5 = 8403 — 70215 ÷ 5 + 3007= [72000 ÷ 900 + 810 ÷ 9] × 2=

    5·1 ответ

  • Добрый день! Посоветуйте хорошую мышь до 2 тыс. руб. кроме БлRди, этой конченной мышки, и чтобы у неё был точный выстрел

    7·2 ответа

  • Запишите смешаное число в виде не правильной дроби 6 2/5,7 3/8, 4 5/9, 6 9/11,8 4/5,9 7/20

    5·2 ответа

Источник

Рассмотрим некоторые примеры, в которых требуется написать уравнение окружности по заданным условиям.

1) Написать уравнение окружности с центром в точке K(5;-1) и радиусом 7.

Решение:

Уравнение окружности с центром в точке (a;b) и радиусом R имеет вид:

    [{(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}]

Так как центр окружности — точка K(5; -1), то a=5, b=-1.Подставляем эти данные в уравнение окружности:

    [{(x - 5)^2} + {(y - ( - 1))^2} = {7^2},]

    [{(x - 5)^2} + {(y + 1)^2} = 49.]

2) Напишите уравнение окружности с центром в точке A (8;-3) проходящей через точку C(3;-6).

Решение:

Так как центр окружности — точка A(8; -3), то a=8, b=-3.

Остаётся найти радиус. Он равен расстоянию от центра окружности до точки, лежащей на окружности, то есть в данном случае радиус окружности равен расстоянию между точками A и C.

    [R = AC = sqrt {{{({x_C} - {x_A})}^2} + {{({y_C} - {y_A})}^2}} ]

    [R = AC = sqrt {{{(3 - 8)}^2} + {{( - 6 - ( - 3))}^2}} = sqrt {25 + 9} = sqrt {34} ,]

    [{R^2} = 34.]

Следовательно, уравнение данной окружности

    [{(x - 8)^2} + {(y + 3)^2} = 34.]

3) Составить уравнение окружности, диаметром которой является отрезок AB, если A (-4; -9), B(6;5).

Решение:

Центром окружности является середина диаметра, в нашем случае — середина отрезка AB. По формулам координат середины отрезка

    [{x_O} = frac{{{x_A} + {x_B}}}{2},{y_O} = frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}]

    [{x_O} = frac{{ - 4 + 6}}{2} = 1,{y_O} = frac{{ - 9 + 5}}{2} = - 2]

Центр окружности — точка O(1;-2). Значит, a=1, b=-2.

Радиус можно найти как расстояние от центра окружности до любой из точек A или B окружности. Например,

    [R = OA = sqrt {{{({x_A} - {x_O})}^2} + {{({y_A} - {y_O})}^2}} ]

    [R = OA = sqrt {{{( - 4 - 1)}^2} + {{( - 9 - ( - 2))}^2}} = sqrt {25 + 49} = sqrt {74} ,]

    [{R^2} = 74.]

Таким образом, уравнение окружности с диаметром AB —

    [{(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} = 74.]

4) Написать уравнение окружности, проходящей через три точки: A(4; -5), B(8; 3) C(-8; 11).

Решение:

Так как точки A, B C принадлежат окружности, то их координаты удовлетворяют уравнению окружности. Подставив координаты точек в уравнение

    [{(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2},]

получаем систему уравнений:

    [left{ begin{array}{l} {(4 - a)^2} + {( - 5 - b)^2} = {R^2}\ {(8 - a)^2} + {(3 - b)^2} = {R^2}\ {( - 8 - a)^2} + {(11 - b)^2} = {R^2} end{array} right.]

Поскольку правые части уравнений равны, левые также равны. Приравняв правые части 1-го и 2-го уравнений получим

    [{(4 - a)^2} + {( - 5 - b)^2} = {(8 - a)^2} + {(3 - b)^2}]

    [16 - 8a + {a^2} + 25 + 10b + {b^2} = 64 - 16a + {a^2} + 9 - 6b + {b^2}]

    [8a + 16b = 32]

    [8a + 16b = 32]

Приравняем правые части 2-го и 3-го уравнений:

    [{(8 - a)^2} + {(3 - b)^2} = {( - 8 - a)^2} + {(11 - b)^2}]

    [64 - 16a + {a^2} + 9 - 6b + {b^2} = 64 + 16a + {a^2} + 121 - 22b + {b^2}]

    [ - 32a + 16b = 112]

Умножив уравнение

    [8a + 16b = 32]

на -1 и сложив результат почленно с уравнением

    [ - 32a + 16b = 112,]

получаем a=-2, b=3. Подставив этот результат в первое уравнение системы:

    [{(4 + 2)^2} + {( - 5 - 3)^2} = {R^2}]

    [{(4 + 2)^2} + {( - 5 - 3)^2} = {R^2},]

получаем R²=100.

Следовательно, уравнение окружности, проходящей через три данные точки —

    [{(x + 2)^2} + {(y - 3)^2} = 100.]

5) Написать уравнение окружности, описанной около треугольника ABC с вершинами в точках A(2; 6), B(1; 5) C(8; -2).

Решение аналогично решению задания 4. В результате получим уравнение

    [{(x - 5)^2} + {(y - 2)^2} = 25.]

Источник


Download Article


Download Article

The equation of a circle gives you the center coordinates and radius, allowing you to represent all of the literally infinite points around the boundary of the circle. But how exactly do you write it? Read on to learn how to write the equation of a circle in standard form, as well as how to convert general form to standard form. Once you’ve got that down, you can try your hand at some sample problems and check your answers. Let’s get started!

Things You Should Know

  1. Image titled Write Equations for Circles Step 1

    1

  2. Image titled Write Equations for Circles Step 2

    2

    The general form of the equation of a circle is {displaystyle x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0}. This equation technically has all the same information the standard form has, it’s just expressed differently. Let’s break it down:[2]

    3. Advertisement

  1. Image titled Write Equations for Circles Step 3

    1

  2. Image titled Write Equations for Circles Step 4

    2

    Plug in values for the radius and center coordinates to complete a standard equation. This is probably the simplest type of problem you’ll have dealing with the equation of a circle. Just place the values where they go in the the standard form {displaystyle (x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}}.[4]

  3. Image titled Write Equations for Circles Step 5

    3

    4. Advertisement

  1. Image titled Write Equations for Circles Step 6

    1

  2. Image titled Write Equations for Circles Step 7

    2

    Move the constant to the other side of the equation. Since the number is moving to the other side of the equation, the sign in front of it changes. So if it was negative on the left side, it’ll be positive on the right side (and vice versa).[7]

  3. Image titled Write Equations for Circles Step 8

    3

  4. Image titled Write Equations for Circles Step 9

    4

  5. Image titled Write Equations for Circles Step 10

    5

  6. Image titled Write Equations for Circles Step 11

    6

    Add the numbers to both sides of the equation. Keeping your groups together on the left side of the equation, add your third number to each parenthetical expression. Then, add each of those numbers to the right side of the equation to maintain equality.[11]

  7. Image titled Write Equations for Circles Step 12

    7

    Solve the x and y groups. Now you have what you may recognize as a basic trinomial in each parenthesis. Use the quadratic formula to find the number you need for each parenthetical expression in the standard equation of a circle.[12]

  8. Image titled Write Equations for Circles Step 13

    8

    Simplify the right side of the equation. Almost there! Add the numbers on the right side, then square them. The equation you’re left with will be the standard form for the equation of a circle. From here, you can easily determine the center points and radius if you need to graph the circle.[13]

    9. Advertisement

  1. Image titled Write Equations for Circles Step 14

    1

    Write the equation of the circle with center {displaystyle (-3,-1)} and radius {displaystyle {sqrt {10}}}.[14]

    • Hint: pay attention to the negative signs in front of the center coordinates.

  2. Image titled Write Equations for Circles Step 15

    2

    Find the center coordinates of the circle with the equation {displaystyle (x+5)^{2}+(y+2)^{2}=81}.[15]

    • Hint: look at the signs in the parentheses and compare them to the standard form for the equation.

  3. Image titled Write Equations for Circles Step 16

    3

    Find the center coordinates and radius for the circle {displaystyle x^{2}+y^{2}+4x+8y-29=0}.[16]

    • Hint: complete the square twice to convert general form to standard form. Don’t forget that anything you add on the left side you also have to add on the right side.

  4. Image titled Write Equations for Circles Step 17

    4

    Is {displaystyle x^{2}+y^{2}+8x+20=0} the equation of a circle? Why or why not?[17]

    • Hint: a circle can never have a negative radius.

    5. Advertisement

  1. Image titled Write Equations for Circles Step 18

    1

  2. Image titled Write Equations for Circles Step 19

    2

    The center coordinates are {displaystyle (-5,-2)}. You’re given the equation of the circle {displaystyle (x+5)^{2}+(y+2)^{2}=81}. Since the signs in the parentheses in the standard form are -, the + signs in this equation tell you that the center coordinates must be negative.[19]

  3. Image titled Write Equations for Circles Step 20

    3

  4. Image titled Write Equations for Circles Step 21

    4

    5. Advertisement

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

Advertisement

References

About This Article

Thanks to all authors for creating a page that has been read 1,239 times.

Did this article help you?

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как найти замурованные провода в стене
  • Как найти город душанбе
  • Как найти координаты серединного перпендикуляра
  • Как найти инвестора для открытия бара
  • Как найти номер мед страховки