Как составить уравнение окружности по трем точкам - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Этот онлайн-калькулятор находит окружность, проходящую через три заданные точки. Калькулятор находит центр, радиус и уравнение окружности, и строит окружность на графике. Методы, использованные для нахождения центра и радиуса окружности, описаны ниже под калькулятором.

Уравнение окружности, проходящей через три заданные точки

Первая точка

Вторая точка

Третья точка

Точность вычисления

Знаков после запятой: 2

Центр

Стандартное уравнение окружности

Общее уравнение окружности

Параметрическое уравнение окружности

Как найти окружность, проходящюю через три заданные точки

Давайте вспомним как выглядит уравнение окружности в стандартной форме:

Так как все три точки принадлежат одной окружности, мы можем записать систему уравнений

$x_1^2+y_1^2+2ax_1+2by_1+c=0\x_2^2+y_2^2+2ax_2+2by_2+c=0\x_3^2+y_3^2+2ax_3+2by_3+c=0$

Значения , и мы знаем. Давайте сделаем подстановку с неизвестными переменнами a, b и c.

$2x_1a+2y_1b+c + x_1^2+y_1^2+=0\2x_2a+2y_2b+c+x_2^2+y_2^2=0\2x_3a+2y_3b+c+x_3^2+y_3^2=0$

Теперь у нас есть три линейных уравнения для трех неизвестных — составим систему уравнений соответствующую матричной форме:

$begin{bmatrix}2x_1 & 2y_1 & 1 \2x_2 & 2y_2 & 1 \2x_3 & 2y_3 & 1 \end{bmatrix} * begin{bmatrix}a\b\c\end{bmatrix} = begin{bmatrix}-(x_1^2+y_1^2)\-(x_2^2+y_2^2)\-(x_3^2+y_3^2)\end{bmatrix}$

Мы можем решить эту систему уравнений, используя, к примеру, Гауссово исключение. (подробнее прочитать об этом можно здесь — Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса ). «Нет решений» — означает, что точки коллинеарны и окружность через них провести нельзя.

Координаты центра окружность и ее радиус относится к подобному решению
$x_c=-a\y_c=-b\R=sqrt{x_c^2+y_c^2-c}$

Зная центр и радиус, мы можем получить уравнение окружности, используя этот калькулятор — Уравнение окружности по заданному центру и радиусу в различных формах

Источник

Рассмотрим некоторые примеры, в которых требуется написать уравнение окружности по заданным условиям.

1) Написать уравнение окружности с центром в точке K(5;-1) и радиусом 7.

Решение:

Уравнение окружности с центром в точке (a;b) и радиусом R имеет вид:

$[{(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}]$

Так как центр окружности — точка K(5; -1), то a=5, b=-1.Подставляем эти данные в уравнение окружности:

$[{(x - 5)^2} + {(y - ( - 1))^2} = {7^2},]$

$[{(x - 5)^2} + {(y + 1)^2} = 49.]$

2) Напишите уравнение окружности с центром в точке A (8;-3) проходящей через точку C(3;-6).

Решение:

Так как центр окружности — точка A(8; -3), то a=8, b=-3.

Остаётся найти радиус. Он равен расстоянию от центра окружности до точки, лежащей на окружности, то есть в данном случае радиус окружности равен расстоянию между точками A и C.

$[R = AC = sqrt {{{({x_C} - {x_A})}^2} + {{({y_C} - {y_A})}^2}} ]$

$[R = AC = sqrt {{{(3 - 8)}^2} + {{( - 6 - ( - 3))}^2}} = sqrt {25 + 9} = sqrt {34} ,]$

$[{R^2} = 34.]$

Следовательно, уравнение данной окружности

$[{(x - 8)^2} + {(y + 3)^2} = 34.]$

3) Составить уравнение окружности, диаметром которой является отрезок AB, если A (-4; -9), B(6;5).

Решение:

Центром окружности является середина диаметра, в нашем случае — середина отрезка AB. По формулам координат середины отрезка

$[{x_O} = frac{{{x_A} + {x_B}}}{2},{y_O} = frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}]$

$[{x_O} = frac{{ - 4 + 6}}{2} = 1,{y_O} = frac{{ - 9 + 5}}{2} = - 2]$

Центр окружности — точка O(1;-2). Значит, a=1, b=-2.

Радиус можно найти как расстояние от центра окружности до любой из точек A или B окружности. Например,

$[R = OA = sqrt {{{({x_A} - {x_O})}^2} + {{({y_A} - {y_O})}^2}} ]$

$[R = OA = sqrt {{{( - 4 - 1)}^2} + {{( - 9 - ( - 2))}^2}} = sqrt {25 + 49} = sqrt {74} ,]$

$[{R^2} = 74.]$

Таким образом, уравнение окружности с диаметром AB —

$[{(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} = 74.]$

4) Написать уравнение окружности, проходящей через три точки: A(4; -5), B(8; 3) C(-8; 11).

Решение:

Так как точки A, B C принадлежат окружности, то их координаты удовлетворяют уравнению окружности. Подставив координаты точек в уравнение

$[{(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2},]$

получаем систему уравнений:

$[left{ begin{array}{l} {(4 - a)^2} + {( - 5 - b)^2} = {R^2}\ {(8 - a)^2} + {(3 - b)^2} = {R^2}\ {( - 8 - a)^2} + {(11 - b)^2} = {R^2} end{array} right.]$

Поскольку правые части уравнений равны, левые также равны. Приравняв правые части 1-го и 2-го уравнений получим

$[{(4 - a)^2} + {( - 5 - b)^2} = {(8 - a)^2} + {(3 - b)^2}]$

$[16 - 8a + {a^2} + 25 + 10b + {b^2} = 64 - 16a + {a^2} + 9 - 6b + {b^2}]$

Приравняем правые части 2-го и 3-го уравнений:

$[{(8 - a)^2} + {(3 - b)^2} = {( - 8 - a)^2} + {(11 - b)^2}]$

$[64 - 16a + {a^2} + 9 - 6b + {b^2} = 64 + 16a + {a^2} + 121 - 22b + {b^2}]$

Умножив уравнение

на -1 и сложив результат почленно с уравнением

получаем a=-2, b=3. Подставив этот результат в первое уравнение системы:

$[{(4 + 2)^2} + {( - 5 - 3)^2} = {R^2}]$

$[{(4 + 2)^2} + {( - 5 - 3)^2} = {R^2},]$

получаем R²=100.

Следовательно, уравнение окружности, проходящей через три данные точки —

$[{(x + 2)^2} + {(y - 3)^2} = 100.]$

5) Написать уравнение окружности, описанной около треугольника ABC с вершинами в точках A(2; 6), B(1; 5) C(8; -2).

Решение аналогично решению задания 4. В результате получим уравнение

$[{(x - 5)^2} + {(y - 2)^2} = 25.]$

Источник

Калькулятор расчета онлайн уравнения окружности по трем заданным точкам, а также нахождение координат точки центра и радиус окружности.

Уравнение окружности

r² = (x — h)² + (y — k)²

где,

h,k — координаты центра Окружности
x,y — координаты точки окружности
r — радиус

Пример

Найдите координаты точки центра окружности, радиус и уравнение окружности, если известны координаты трех точек A (2,2), B (2,4) и C (5,5)

Решение :

Шаг:1

Подставляем координаты точек в формулу

(2 — h)² + (2 — k)² = r²
(2 — h)² + (4 — k)² = r²
(5 — h)² + (5 — k)² = r²

Шаг :2

Найдем значение k упрощая 1 и 2 уравнения

(2 — h)² + (2 — k)² = (2 — h)² + (4 — k)²
4 — 4h + h²+ 4 — 4k + k² = 4 — 4h + h²+16 — 8k + k²
8 — 4k = 20 — 8k
k=3

Шаг :3

Найдем значение h упрощая уравнения 2 и 3

(2 — h)² + (2 — k)² = (5 — h)² + (5 — k)²
4 — 4h + h²+ 4 — 4k + k² = 25 — 10h + h²+ 25 — 10k + k²
8 — 4k — 4h = 50 — 10h — 10k
6k + 6h = 42

Подставив значение k=3 в уравнение

6h = 24
h=4

Получаем координаты точки центра (h,k) = (4,3)

Шаг :4

Подставим значения h,k в формулу

r² = (x — h)² + (y — k)²
r² = (2 — 4)² + (2 — 3)²
r² = (-2)² + (-1)²
r² = 5
r = 2.24

Шаг :5

Подставим значения h, k в уравнение окружности

(x — h)² + (y — k)²

Уравнение окружности = (x — 4)² + (y — 3)²

Ответ :

Координаты точки центра окружности c(h,k) = c(4,3)
Радиус окружности r = 2.24
Уравнение окружности = (x — 4)² + (y — 3)² = (2.24)²

людей нашли эту статью полезной. А Вы?

Источник

Определить формулу окружности по трем точкам

Три точки по которым необходимо построить окружность

Первая координата

Вторая координата

Третья координата

Полученная формула окружности

Рассмотрим частный пример расчета кривой второго порядка на плоскости по точкам

Напомним, что общее уравнение кривой второго порядка выглядит так

Частные примеры кривой второго порядка это и парабола и гибербола и окружность и прямая линия.

Формула окружности с центром (a;b) и радиусом R имеет вид

или если мы раскроем скобки

из этого уравнения мы можем видеть что кривая второго порядка превращается в формулу окружности если

Из этого же мы можем утверждать, что для построения окружности нам нужно как минимум три точки, так как у нас из всех шести вышеуказанных коэффициентов, только три коэффицента неизвестны.

Бот, позволяет Вам рассчитывать формулу окружности по заданным трем точкам.

Если бы бота не было, то Вам пришлось бы решать систему уравнений из трех переменных, что не очень удобно и трудоёмко.

Интересные факты

Если Вам известны все коэффициенты кривой второго порядка , которые выражают окружность (), то очень легко по ним определить два основных параметра:центр окружности и радиус окружности

Центр окружности $(-frac{a_4}{2a_1},-frac{a_5}{2a_1})$

Радиус окружности $r=frac{sqrt{(frac{a_4}{2})^2+(frac{a_5}{2})^2-a_1a_6}}{|a_1|}$

Синтаксис

Так как это частный пример уже созданного бота то просто расскажем о нюансах

kp2 1 1 0 координаты точек

Где координаты точек есть представление в виде x:y (х-абсцисса, y-ордината)

Каждая координата точки, должна разделятся как минимум одним пробелом.

Что же такое 1 1 0 ? Это уже известные нам коэффициенты при общей формуле.

Примеры

Составить уравнение окружности, проходящей через точки (3,1) (-2,6) и (-5,-3)

Так и запишем kp2 1 1 0 3:1 -2:6 -5:-3

Ответ будет таков

По заданным условиям, создана кривая второго порядка следующего вида

1x^2 + (1)y^2 + (0)xy + (4.000000000)x + (-2.000000000)y + (-20.000000000) = 0

Или если раскроем скобки и уберем нулевые коээфиценты получим

или тоже самое

То есть центр полученной окружности находится по координатам (-2:1) и имеет радиус 5 условных единиц.

Успехов в расчетах!

Источник

Задача 61616 Составить уравнение окружности,…

Условие

Составить уравнение окружности, проходящей через три точки А(-1;3), В(0;2) С(1;-1)

математика ВУЗ
1123

Решение

★

Подставляем координаты точек в уравнение окружности

c центром (a;b) и радиусом R

(x-a)^2+(y-b)^2=R^2

А(–1;3),
(-1-a)^2+(3-b)^2=R^2
В(0;2)
(0-a)^2+(2-b)^2=R^2
С(1;–1)
(1-a)^2+(-1-b)^2=R^2

Решаем систему трех уравнений:
{(-1-a)^2+(3-b)^2=R^2
{(0-a)^2+(2-b)^2=R^2
{(1-a)^2+(-1-b)^2=R^2

Приравниваем левые части равенств:
{(-1-a)^2+(3-b)^2=(0-a)^2+(2-b)^2 ⇒ (-1-a)^2-(0-a)^2=(2-b)^2-(3-b)^2 ⇒ (-1-a-(-a))*(-1-a+(-a))=(2-b-3+b)*(2-b+3-b)
{(0-a)^2+(2-b)^2=(1-a)^2+(-1-b)^2 ⇒ (0-a)^2-(1-a)^2=(-1-b)^2-(2-b)^2 ⇒ (-a-1+a)(-a+1-a)=(-1-b-2+b)*(-1-b+2-b)
{(1-a)^2+(-1-b)^2=R^2

{(-1-a-(-a))*(-1-a+(-a))=(2-b-3+b)*(2-b+3-b) ⇒ a=b-3
{(-a-1+a)(-a+1-a)=(-1-b-2+b)*(-1-b+2-b) ⇒ a=3b-1 ⇒ 3b-1=b-3 ⇒ b=-1 ⇒ a=-4
{(1-(-4))^2+(-1-(-1))^2=R^2 ⇒ R^2=25

О т в е т. (x-(-4))^2+(y-(-1))^2=25 ⇒. [b](x+4)^2+(y+1)^2=25[/b]

Написать комментарий

Источник