Как составить уравнение окружности проходящей через начало координат

Написать уравнение окружности

Рассмотрим некоторые примеры, в которых требуется написать уравнение окружности по заданным условиям.

1) Написать уравнение окружности с центром в точке K(5;-1) и радиусом 7.

Уравнение окружности с центром в точке (a;b) и радиусом R имеет вид:

Так как центр окружности — точка K(5; -1), то a=5, b=-1.Подставляем эти данные в уравнение окружности:

2) Напишите уравнение окружности с центром в точке A (8;-3) проходящей через точку C(3;-6).

Так как центр окружности — точка A(8; -3), то a=8, b=-3.

Остаётся найти радиус. Он равен расстоянию от центра окружности до точки, лежащей на окружности, то есть в данном случае радиус окружности равен расстоянию между точками A и C.

Следовательно, уравнение данной окружности

3) Составить уравнение окружности, диаметром которой является отрезок AB, если A (-4; -9), B(6;5).

Центром окружности является середина диаметра, в нашем случае — середина отрезка AB. По формулам координат середины отрезка

Центр окружности — точка O(1;-2). Значит, a=1, b=-2.

Радиус можно найти как расстояние от центра окружности до любой из точек A или B окружности. Например,

Таким образом, уравнение окружности с диаметром AB —

4) Написать уравнение окружности, проходящей через три точки: A(4; -5), B(8; 3) C(-8; 11).

Так как точки A, B C принадлежат окружности, то их координаты удовлетворяют уравнению окружности. Подставив координаты точек в уравнение

получаем систему уравнений:

Поскольку правые части уравнений равны, левые также равны. Приравняв правые части 1-го и 2-го уравнений получим

Приравняем правые части 2-го и 3-го уравнений:

на -1 и сложив результат почленно с уравнением

получаем a=-2, b=3. Подставив этот результат в первое уравнение системы:

Следовательно, уравнение окружности, проходящей через три данные точки —

5) Написать уравнение окружности, описанной около треугольника ABC с вершинами в точках A(2; 6), B(1; 5) C(8; -2).

Решение аналогично решению задания 4. В результате получим уравнение

Уравнение окружности 9 класс

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Коммуникативный педагогический тренинг: способы взаимодействия с разными категориями учащихся

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

Повторение
Запишите формулу нахождения координат середины отрезка.

Запишите формулу вычисления длины вектора.

Запишите формулу нахождения расстояния между точками (длины отрезка).

1 этап: Вывод формулы
Уравнение фигуры – это уравнение
с двумя переменными х и у, которому
удовлетворяют координаты любой
точки фигуры.

Пусть дана окружность.
А(а;b) – центр окружности,
С(х ; у) – точка окружности,
М(х; у) – точка окружности.

Что можно сказать о взаимном расположении точек А и С на плоскости и точек А и М на плоскости?
Как можно сформулировать определение окружности?

Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

Вывод формулы
Пусть дана окружность.
А(а;b) – центр окружности,
С(х ; у) – точка окружности.

Найти расстояние между точками
А с С.
d 2 = АС 2 = (х – а)2 + (у – b)2,
Как можно назвать отрезок АС?
d = АС = R, следовательно
R 2 = (х – а)2 + (у – b)2

Формула I
(х – а)2 + (у – b)2 = R2
уравнение окружности, где
А(а;b) − центр, R − радиус,
х и у – координаты точки окружности.
__________________________
А(2;4) – центр, R = 3, то
(х – 2)2 + (у – 4)2 = 32;
(х – 2)2 + (у – 4)2 = 9.

Формула II
(х – а)2 + (у – b)2 = R 2 .
Центр окружности О(0;0),
(х – 0)2 + (у – 0)2 = R 2,
х2 + у2 = R 2 − уравнение
окружности с центром в
начале координат. .
О (0;0) – центр, R = 5, тогда
х2 + у2 = 52;
х2 + у2 = 25.

Для того чтобы составить уравнение
окружности, нужно:
1) узнать координаты центра;
2) узнать длину радиуса;
3) подставить координаты центра (а;b)
и длину радиуса R
в уравнение окружности
(х – а)2 + (у – b)2 = R2.

№1. Составить уравнение окружности.

№2. Составить уравнение окружности.

№3. Составить уравнение окружности.

№4. Составить уравнение окружности.

2 этап: Работа в группах

1 группа задание
2группа задание
3 группа задание

Группа1
№1 Заполните таблицу.

№2.
Постройте в тетради окружности, заданные уравнениями:
(х – 5)2 + (у + 3)2 = 36;

2) (х + 1)2 + (у – 7)2 = 49.
Вернуться к групповым заданиям

Группа2:
№1 Найдите координаты центра и радиус, если АВ – диаметр данной окружности.

№2
Построить по полученным данным окружности в тетради.
Составить алгоритм построения окружности по координатам концов диаметра
Вернуться к групповым заданиям

Группа3:
№1. Составьте уравнение окружности с центром А(3;2), проходящей через В(7;5).

№2.
Составьте уравнение окружности с центром в точке С(3;−1), проходящей через начало координат.

Вернуться к групповым заданиям

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 942 человека из 79 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 677 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 302 человека из 68 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

Развитие управляющих функций мозга ребёнка: полезные советы и упражнения для педагогов

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 516 166 материалов в базе

Материал подходит для УМК

«Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.

Другие материалы

• 29.01.2022
• 56
• 0

• 29.01.2022
• 7
• 0

• 29.01.2022
• 53
• 0

• 29.01.2022
• 52
• 0

• 29.01.2022
• 16
• 0

• 29.01.2022
• 10
• 0

• 28.01.2022
• 74
• 0

• 28.01.2022
• 12
• 0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 29.01.2022 73
• PPTX 1.5 мбайт
• 0 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Сошенкова Екатерина Викторовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 7 лет и 2 месяца
• Подписчики: 2
• Всего просмотров: 39677
• Всего материалов: 109

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В Роспотребнадзоре заявили о широком распространении COVID-19 среди детей

Время чтения: 1 минута

В России утвердили новые правила аккредитации образовательных учреждений

Время чтения: 1 минута

Школы Москвы будут самостоятельно принимать решение о длительности карантина

Время чтения: 1 минута

Студенты РФ и Великобритании подписали договор о создании студенческой Ассоциации

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения намерено решить вопрос с третьей сменой в школах в 2023 году

Время чтения: 1 минута

В Петербурге открыли памятник работавшим во время блокады учителям

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Уравнение окружности.

Аналитическая геометрия дает единообразные приемы решения геометрических задач. Для этого все заданные и искомые точки и линии относят к одной системе координат.

В системе координат можно каждую точку охарактеризовать ее координатами, а каждую линию – уравнением с двумя неизвестными, графиком которого эта линия является. Таким образом геометрическая задача сводится к алгебраической, где хорошо отработаны все приемы вычислений.

Окружность есть геометрическое место точек с одним определенным свойством (каждая точка окружности равноудалена от одной точки, называется центром). Уравнение окружности должно отражать это свойство, удовлетворять этому условию.

Геометрическая интерпретация уравнения окружности – это линия окружности.

Если поместить окружность в систему координат, то все точки окружности удовлетворяют одному условию – расстояние от них до центра окружности должно быть одинаковым и равным окружности.

Окружность с центром в точке А и радиусом R поместим в координатную плоскость.

Если координаты центра (а;b), а координаты любой точки окружности (х; у), то уравнение окружности имеет вид:

Если квадрат радиуса окружности равен сумме квадратов разностей соответствующих координат любой точки окружности и ее центра, то это уравнение является уравнением окружности в плоской системе координат.

Если центр окружности совпадает с точкой начала координат, то квадрат радиуса окружности равен сумме квадратов координат любой точки окружности. В этом случае уравнение окружности принимает вид:

Следовательно, любая геометрическая фигура как геометрическое место точек определяется уравнением, связывающим координаты ее точек. И наоборот, уравнение, связывающее координаты х и у, определяют линию как геометрическое место точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.

Примеры решения задач про уравнение окружности

Задача. Составить уравнение заданной окружности

Составьте уравнение окружности с центром в точке O (2;-3) и радиусом 4.

Решение.
Обратимся к формуле уравнения окружности:
R 2 = (x- a ) 2 + (y- b ) 2

Подставим значения в формулу.
Радиус окружности R = 4
Координаты центра окружности (в соответствии с условием)
a = 2
b = -3

Получаем:
(x — 2 ) 2 + (y — ( -3 )) 2 = 4 2
или
(x — 2 ) 2 + (y + 3 ) 2 = 16 .

Задача. Принадлежит ли точка уравнению окружности

Проверить, принадлежит ли точка A(2;3) уравнению окружности (x — 2) 2 + (y + 3) 2 = 16.

Решение.
Если точка принадлежит окружности, то ее координаты удовлетворяют уравнению окружности.
Чтобы проверить, принадлежит ли окружности точка с заданными координатами, подставим координаты точки в уравнение заданной окружности.

В уравнение ( x — 2) 2 + ( y + 3) 2 = 16
подставим, согласно условию, координаты точки А(2;3), то есть
x = 2
y = 3

Проверим истинность полученного равенства
( x — 2) 2 + ( y + 3) 2 = 16
( 2 — 2) 2 + ( 3 + 3) 2 = 16
0 + 36 = 16 равенство неверно

Таким образом, заданная точка не принадлежит заданному уравнению окружности.

We will learn how to
form the equation of a circle
passes through the origin.

The equation of a
circle with centre at (h, k) and radius equal to a, is (x — h)(^{2}) + (y — k)(^{2}) =
a(^{2}).

When the centre of the circle coincides with the origin
i.e., a(^{2}) = h(^{2}) + k(^{2})

Let O be the origin and C(h, k) be the centre of the circle.
Draw CM perpendicular to OX.

In triangle OCM, OC(^{2}) = OM(^{2}) + CM(^{2})

i.e., a(^{2}) = h(^{2}) + k(^{2}).

Therefore, the equation of the circle (x — h)(^{2}) + (y — k)(^{2}) = a(^{2}) becomes

(x — h)(^{2}) + (y —
k)(^{2}) = h(^{2}) + k(^{2})

⇒ x(^{2}) + y(^{2}) — 2hx – 2ky = 0

The equation of a circle passing through the origin is

x(^{2}) + y(^{2}) + 2gx + 2fy = 0 ……………. (1)

or, (x — h)(^{2}) + (y —
k)(^{2}) = h(^{2}) + k(^{2}) …………………………. (2)

 We clearly see that
the equations (1) and (2) are satisfied by (0, 0).

Solved examples on
the central form of the equation of a circle passes through the origin:

1. Find the equation of a circle whose centre is (2, 3) and
passes through the origin.

Solution:

The equation of a
circle with centre at (h, k) and passes through the origin is

(x — h)(^{2}) + (y —
k)(^{2}) = h(^{2}) + k(^{2})

Therefore, the required equation of the circle is (x — 2)(^{2}) + (y — 3)(^{2}) = 2(^{2}) + 3(^{2})

⇒ x(^{2}) — 4x + 4 + y(^{2}) – 6y + 9 = 4 + 9

⇒ x(^{2}) + y(^{2}) — 4x – 6y = 0.

2. Find the equation of a circle whose centre is (-5, 4) and
passes through the origin.

Solution:

The equation of a
circle with centre at (h, k) and passes through the origin is

(x — h)(^{2}) + (y —
k)(^{2}) = h(^{2}) + k(^{2})

Therefore, the required equation of the circle is (x + 5)(^{2}) + (y — 4)(^{2}) = (-5)(^{2}) + 4(^{2})

⇒ x(^{2}) + 10x + 25 + y(^{2}) – 8y + 16 = 25 + 16

⇒ x(^{2})+ y(^{2}) + 10x – 8y = 0.

● The Circle

• Definition of Circle
• Equation of a Circle
• General Form of the Equation of a Circle
• General Equation of Second Degree Represents a Circle
• Centre of the Circle Coincides with the Origin
• Circle Passes through the Origin
• Circle Touches x-axis
• Circle Touches y-axis
• Circle Touches both x-axis and y-axis
• Centre of the Circle on x-axis
• Centre of the Circle on y-axis
• Circle Passes through the Origin and Centre Lies on x-axis
• Circle Passes through the Origin and Centre Lies on y-axis
• Equation of a Circle when Line Segment Joining Two Given Points is a Diameter
• Equations of Concentric Circles
  
• Circle Passing Through Three Given Points
• Circle Through the Intersection of Two Circles
• Equation of the Common Chord of Two Circles
• Position of a Point with Respect to a Circle
• Intercepts on the Axes made by a Circle
• Circle Formulae
• Problems on Circle

Уравнение окружности.

Окружностью принято обозначать множество всех точек плоскости, равноудаленных от одной точки – от центра.

В формулировке окружности упоминается расстояние между точкой окружности и центром.

Формула расстояния между двумя точками М₁(х₁; у₁) и М₂(х₂; у₂) имеет вид:

,

Применив формулу и формулировку окружности, получаем уравнение окружности с центром в точке С (х₀; у₀) и радиусом r.

Отметим произвольную точку М(х; у) на этой окружности.

.

Предположим, что М принадлежит окружности с центром С и радиусом r, то МС = r.

Следовательно, МС 2 = r 2 и координаты точки М удовлетворяют уравнению окружности (х – х₀ ) 2 +(у – у₀ ) 2 = r 2 .

Из выше изложенного делаем вывод, что уравнение окружности с центром в точке С (х₀; у₀) и радиусом r имеет вид:

В случае когда центр окружности совпадает с началом координат, то получаем частный случай уравнения окружности с центром в точке О (0;0):

Окружность с центром в начале координат

Чем окружность с центром в начале координат отличается от других окружностей?

Окружность с центром в точке (a;b) и радиусом R задаётся уравнением

Для окружности с центром в начале координат a=0, b=0:

Таким образом, уравнение окружности с центром в начале координат имеет вид

1) Написать уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом 5.

В формулу уравнения окружности с центром в начале координат подставляем R=5:

2) Составить уравнение окружности с центром в начале координат, проходящей через точку M(-2;7).

Теперь запишем уравнение окружности с центром в точке O(0;0) и R=√53:

Уравнение окружности

Окружностью называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой центром.

Если точка С — центр окружности, R — ее радиус, а М — произвольная точка окружности, то по определению окружности

Равенство (1) есть уравнение окружности радиуса R с центром в точке С.

Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат (рис. 104) и точка С(а; b) — центр окружности радиуса R. Пусть М(х; у) — произвольная точка этой окружности.

Так как |СМ| = ( sqrt <(x — a)^2 + (у — b)^2>), то уравнение (1) можно записать так:

(x — a) 2 + (у — b) 2 = R 2 (2)

Уравнение (2) называют общим уравнением окружности или уравнением окружности радиуса R с центром в точке (а; b). Например, уравнение

есть уравнение окружности радиуса R = 5 с центром в точке (1; —3).

Если центр окружности совпадает с началом координат, то уравнение (2) принимает вид

Уравнение (3) называют каноническим уравнением окружности.

Задача 1. Написать уравнение окружности радиуса R = 7 с центром в начале координат.

Непосредственной подстановкой значения радиуса в уравнение (3) получим

Задача 2. Написать уравнение окружности радиуса R = 9 с центром в точке С(3; —6).

Подставив значение координат точки С и значение радиуса в формулу (2), получим

(х — 3) 2 + (у — (—6)) 2 = 81 или (х — 3) 2 + (у + 6) 2 = 81.

Задача 3. Найти центр и радиус окружности

Сравнивая данное уравнение с общим уравнением окружности (2), видим, что а = —3, b = 5, R = 10. Следовательно, С(—3; 5), R = 10.

Задача 4. Доказать, что уравнение

является уравнением окружности. Найти ее центр и радиус.

Преобразуем левую часть данного уравнения:

Это уравнение представляет собой уравнение окружности с центром в точке (—2; 1); радиус окружности равен 3.

Задача 5. Написать уравнение окружности с центром в точке С(—1; —1), касающейся прямой АВ, если A (2; —1), B(— 1; 3).

Напишем уравнение прямой АВ:

или 4х + 3y —5 = 0.

Так как окружность касается данной прямой, то радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен этой прямой. Для отыскания радиуса необходимо найти расстояние от точки С(—1; —1) — центра окружности до прямой 4х + 3y —5 = 0:

Напишем уравнение искомой окружности

Пусть в прямоугольной системе координат дана окружность x 2 + у 2 = R 2 . Рассмотрим ее произвольную точку М(х; у) (рис. 105).

Пусть радиус-вектор OM > точки М образует угол величины t с положительным направлением оси Ох, тогда абсцисса и ордината точки М изменяются в зависимости от t

(0 2 = 3 cos 2 t, у 2 = 3 sin 2 t. Складывая эти равенства почленно, получаем

385 Составить уравнение окружности
в каждом из следующих случаев: 385.1 центр окружности
совпадает с началом координат и ее радиус R=3; 385.2 центр окружности
совпадает с точкой С(2; -3) и ее радиус R=7; 385.3 окружность
проходит через начало координат и ее центр
совпадает с точкой С(6; -8); 385.4 окружность
проходит через точку А(2; 6) и ее центр совпадает с
точкой С(-1; 2); 385.5 точки А(3; 2) и В(-1; 6)
являются концами одного из диаметров окружности; 385.6 центр окружности
совпадает с началом координат и прямая является касательной к окружности; 385.7 центр окружности
совпадает с точкой С(1; -1) и прямая является
касательной к окружности; 385.8 окружность
проходит через точки А(3; 1) и В(-1; 3), а ее центр
лежит на прямой ; 385.9 окружность
проходит через три точки А(1; 1), В(1; -1), С(2; 0); 385.10 окружность
проходит через три точки: М₁(-1;
5), М₂(-2; -2). М₃(5; 5). 386 Точка С(3; -1)
является центром окружности, отсекающей на
прямой хорду, длина которой равна
6. Составить уравнение этой окружности. 387 Написать уравнения
окружностей радиуса , касающихся
прямой в точке М₁(3; 1). 388 Составить
уравнение окружности, касающейся прямых , , причем
одна из них – в точке А(2; 1). 389 Составить
уравнения окружностей, которые проходят через
точку А(1; 0) и касаются прямых , . 390 Составить
уравнение окружности, которая, имея центр на
прямой ,
касается прямых , . 391 Составить
уравнения окружностей, касающихся прямых , , причем
одной из них – в точке М₁(1; 2). 392 Составить
уравнения окружностей, проходящих через начало
координат и касающихся прямых , . 393 Составить
уравнение окружностей, которые, имея центры на
прямой ,
касаются прямых , . 394 Написать уравнения
окружностей, проходящих через точку А(-1; 5) и
касающихся прямых , . 395 Написать уравнения
окружностей, касающихся прямых , , . 396 Написать уравнения
окружностей, касающихся прямых , , . 397 Какие из
нижеприводимых уравнений определяют окружности?
Найти центр С и радиус R каждой из них: 397.1  ; 397.2  ; 397.3 ; 397.4 ; 397.5 ; 397.6 ; 397.7 ; 397.8 ; 397.9 ; 397.10  . 398 Установить, какие
линии определяются следующими уравнениями.
Изобразить эти линии на чертеже. 398.1 ; 398.2 ; 398.3 ; 398.4 ; 398.5 ; 398.6 ; 398.7 ; 398.8 ; 398.9  ; 398.10 . 399 Установить, как
расположена точка А(1; -2) относительно каждой из
следующих окружностей – внутри, вне или на
контуре: 399.1 ; 399.2 ; 399.3 ; 399.4 ; 399.5 . 400 Определить
уравнение линии центров двух окружностей,
заданных уравнениями: 400.1 и ; 400.2 и ; 400.3 и ; 400.4 и . 401 Составить
уравнение диаметра окружности , перпендикулярного
к прямой . 402 Вычислить
кратчайшее расстояние от точки до окружности в
каждом из следующих случаев: 402.1 А(6; -8), ; 402.2 В(3; 9), ; 402.3 С(-7; 2), . 403 Определить
координаты точек пересечения прямой и
окружности . 404 Определить, как
расположена прямая относительно окружности
(пересекает ли, касаетлся или проходит вне ее),
если прямая и окружность заданы следующими
уравнениями: 404.1  , ; 404.2  , ; 404.3 , . 405 Определить, при
каких значениях углового коэффициента k прямая : 405.1 пересекает
окружность ; 405.2 касается этой
окружности; 405.3 проходит вне этой
окружности. 406 Вывести условие,
при котором прямая касается окружности
. 407 Составить уравнние
диаметра окружности , проходящего
через середину хорды, отсекаемой на прямой . 408 Составить
уравнение хорды окружности , делящейся
в точке М(8,5; 3,5) пополам. 409 Определить длину
хорды окружности , делящейся в точке
А(1; 2) пополам. 410 Дано уравнение
пучка прямых . Найти прямые этого пучка,
на которых окружность отсекает хорды
длиною . 411 Даны окружности , , пересекающиеся
в точках М₁(x₁, y₁), М₂(x₂, y₂). Доказать, что любая окружность,
проходящая через точки М₁, М₂, а также
прямая М₁М₂ могут быть определены уравнением
вида при надлежащем выборе числе и . 412 Составить
уравнение окружности, проходящей через точку А(1;
-1) и точки пересечения окружностей , . 413 Составить
уравнение окружности, проходящей через начало
координат и точки пересечения окружностей , . 414 Составить
уравнение прямой, проходящей через точки
пересечения окружностей , . 415 Вычислить
расстояние от центра окружности до
прямой, проходящей через точки пересечения
окружностей , . 416 Определить длину
общей хорды окружностей , . 417 Центр окружности
лежит на прямой . Составить
уравнение этой окружности, если известно, что она
проходит через точки пересечения окружностей , . 418 Составить
уравнение касательной к окружности в
точке А(-1; 2). 419 Составить
уравнение касательной к окружности в
точке А(-5; 7). 420 На окружности найти точку М₁, ближайшую к прямой , и
вычислить расстояние d от точки М₁ до этой прямой. 421 Точка М₁(x₁,
y₁) лежит на окружности . Составить
уравнение касательной к этой окружности в точке
М₁. 422 Точка М₁(x₁,
y₁) лежит на окружности . Составить
уравнение касательной к этой окружности в точке
М₁. 423 Определить острый
угол, образованный при пересечении прямой и окружности (углом между прямой
и окружности называется угол между прямой и
касательной к окружности, проведенной к точке их
пересечения). 424 Определить, при
каким углом пересекаются окружности , (углом между
окружностями называется угол между их
касательными в точке пересечения). 425 Вывести условие,
при котором окружности, пересекаются под
прямым углом. 426 Доказать, что
окружности , пересекаются под прямым углом. 427 Из точки А(5/3; -5/3)
проведены касательной к окружности . Составить
их уравнения. 428 Из точки А(1; 6)
проведены касательные к окружности . Составить
их уравнения. 429 Дано уравнение
пучка прямых . Найти прямые этого пучка,
которые касаются окружности . 430 Из точки А(4; 2)
проведены касательные к окружности . Определить
угол, образованный этими касательными. 431 Из точки Р(2; -3)
проведены касательные к окружности . Составить
уравнение хорды, соединяющий точки касания. 432 Из точки С(6; -8)
проведены касательные к окружности . Вычислить
расстояние d от точки С до хорды, соединяющей
точки касания. 433 Из точки Р(-9; 3)
проведены касательные к окружности . Вычислить
расстояние d от центра окружности до хорды,
соединяющей точки касания. 434 Из точки Р(4; -4)
проведены касательные к окружности . Вычислить
длину d хорды, соединяющей точки касания. 435 Вычислить длину
касательной, проведенной из точки А(1; -2) к
окружности . 436 Составить
уравнение касательных к окружности , параллельных
прямой . 437 Составить
уравнения касательных к окружности , перпендикулярных
к прямой . 438 Составить
уравнение окружности в полярных координатах в
полярных координатах по данному радиусу R и
полярным координатам центра C(R, ). 439 Составить
уравнение окружности в полярных координатах по
данному радиусу R и полярным координатам центра
окружности: 439.1 C(R, 0); 439.2 C(R, ); 439.3 C(R, ); 439.4 C(R, ). 440 Определить
полярные координаты центра и радиус каждой из
следующих окружностей: 440.1  ; 440.2 ; 440.3 ; 440.4  ; 440.5 ; 440.6 ; 440.7  ). 441 Окружности заданы
уравнениями в полярных координатах. Составить их
уравнения в декартовых прямоугольных
координатах при условии, что полярная ось
совпадает с положительной полуосью Ох, а полюс –
с началом координат. 441.1  ; 441.2 ; 441.3 . 442

Окружности
заданы уравнениями в декартовых прямоугольных
координатах. Составить уравнения этих
окружностей в полярных координатах при условии,
что полярная ось совпадает с положительной
полуосью Ох, а полюс – с началом координат.

442.1 ; 442.2 ; 442.3 ; 442.4 ; 442.5 . 443 Составить полярное
уравнение касательной к окружности в
точке М₁(R, ).