Как составить уравнение окружности проходящей через три точки

Рассмотрим некоторые примеры, в которых требуется написать уравнение окружности по заданным условиям.

1) Написать уравнение окружности с центром в точке K(5;-1) и радиусом 7.

Решение:

Уравнение окружности с центром в точке (a;b) и радиусом R имеет вид:

Так как центр окружности — точка K(5; -1), то a=5, b=-1.Подставляем эти данные в уравнение окружности:

2) Напишите уравнение окружности с центром в точке A (8;-3) проходящей через точку C(3;-6).

Решение:

Так как центр окружности — точка A(8; -3), то a=8, b=-3.

Остаётся найти радиус. Он равен расстоянию от центра окружности до точки, лежащей на окружности, то есть в данном случае радиус окружности равен расстоянию между точками A и C.

Следовательно, уравнение данной окружности

3) Составить уравнение окружности, диаметром которой является отрезок AB, если A (-4; -9), B(6;5).

Решение:

Центром окружности является середина диаметра, в нашем случае — середина отрезка AB. По формулам координат середины отрезка

Центр окружности — точка O(1;-2). Значит, a=1, b=-2.

Радиус можно найти как расстояние от центра окружности до любой из точек A или B окружности. Например,

Таким образом, уравнение окружности с диаметром AB —

4) Написать уравнение окружности, проходящей через три точки: A(4; -5), B(8; 3) C(-8; 11).

Решение:

Так как точки A, B C принадлежат окружности, то их координаты удовлетворяют уравнению окружности. Подставив координаты точек в уравнение

получаем систему уравнений:

Поскольку правые части уравнений равны, левые также равны. Приравняв правые части 1-го и 2-го уравнений получим

Приравняем правые части 2-го и 3-го уравнений:

Умножив уравнение

на -1 и сложив результат почленно с уравнением

получаем a=-2, b=3. Подставив этот результат в первое уравнение системы:

получаем R²=100.

Следовательно, уравнение окружности, проходящей через три данные точки —

5) Написать уравнение окружности, описанной около треугольника ABC с вершинами в точках A(2; 6), B(1; 5) C(8; -2).

Решение аналогично решению задания 4. В результате получим уравнение

Этот онлайн-калькулятор находит окружность, проходящую через три заданные точки. Калькулятор находит центр, радиус и уравнение окружности, и строит окружность на графике. Методы, использованные для нахождения центра и радиуса окружности, описаны ниже под калькулятором.

Как найти окружность, проходящюю через три заданные точки

Давайте вспомним как выглядит уравнение окружности в стандартной форме:

Так как все три точки принадлежат одной окружности, мы можем записать систему уравнений

Значения , и мы знаем. Давайте сделаем подстановку с неизвестными переменнами a, b и c.

Теперь у нас есть три линейных уравнения для трех неизвестных — составим систему уравнений соответствующую матричной форме:

Мы можем решить эту систему уравнений, используя, к примеру, Гауссово исключение. (подробнее прочитать об этом можно здесь — Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса ). «Нет решений» — означает, что точки коллинеарны и окружность через них провести нельзя.

Координаты центра окружность и ее радиус относится к подобному решению

Зная центр и радиус, мы можем получить уравнение окружности, используя этот калькулятор — Уравнение окружности по заданному центру и радиусу в различных формах

Как составить уравнение окружности проходящей через три точки

Написать уравнение окружности, проходящей через три точки: (0, 1); (2, 0); (3, -1).

Искомое уравнение имеет вид (x — a) 2 + (y — b) 2 = r 2 . Поскольку окружность проходит через заданные точки, координаты каждой из этих точек удовлетворяют уравнению окружности. Подставляя поочередно в искомое уравнение координаты данных точек, получим три уравнения для определения a, b и r. Вот эти уравнения:

Возьмем уравнения первое и второе, а потом первое и третье. Правые части этих уравнений между собой равны, значит, равны и левые их части, и мы получаем

Раскрывая скобки и упрощая, будем иметь

Отсюда . Подставляя эти значения a и b в первое из уравнений системы, получим . Искомое уравнение имеет вид

или после упрощений x 2 + y 2 + 3x + 9y — 10 = 0.

Уравнение окружности, проходящей через три заданные точки

Этот онлайн калькулятор выводит уравнение окружности, проходящей через три заданные точки

Этот онлайн-калькулятор находит окружность, проходящую через три заданные точки. Калькулятор находит центр, радиус и уравнение окружности, и строит окружность на графике. Методы, использованные для нахождения центра и радиуса окружности, описаны ниже под калькулятором.

Уравнение окружности, проходящей через три заданные точки

Первая точка

Вторая точка

Третья точка

Центр

Как найти окружность, проходящюю через три заданные точки

Давайте вспомним как выглядит уравнение окружности в стандартной форме:

Так как все три точки принадлежат одной окружности, мы можем записать систему уравнений

Значения , и мы знаем. Давайте сделаем подстановку с неизвестными переменнами a, b и c.

Теперь у нас есть три линейных уравнения для трех неизвестных — составим систему уравнений соответствующую матричной форме:

Мы можем решить эту систему уравнений, используя, к примеру, Гауссово исключение. (подробнее прочитать об этом можно здесь — Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса ). «Нет решений» — означает, что точки коллинеарны и окружность через них провести нельзя.

Координаты центра окружность и ее радиус относится к подобному решению

Зная центр и радиус, мы можем получить уравнение окружности, используя этот калькулятор — Уравнение окружности по заданному центру и радиусу в различных формах

Уравнение окружности по трем точкам

Калькулятор расчета онлайн уравнения окружности по трем заданным точкам, а также нахождение координат точки центра и радиус окружности.

Уравнение окружности

r 2 = (x — h) 2 + (y — k) 2

• h,k — координаты центра Окружности
• x,y — координаты точки окружности
• r — радиус

Пример

Найдите координаты точки центра окружности, радиус и уравнение окружности, если известны координаты трех точек A (2,2), B (2,4) и C (5,5)

Решение :

Подставляем координаты точек в формулу

1. (2 — h) 2 + (2 — k) 2 = r 2
2. (2 — h) 2 + (4 — k) 2 = r 2
3. (5 — h) 2 + (5 — k) 2 = r 2

Шаг :2

Найдем значение k упрощая 1 и 2 уравнения

• (2 — h) 2 + (2 — k) 2 = (2 — h) 2 + (4 — k) 2
• 4 — 4h + h 2 + 4 — 4k + k 2 = 4 — 4h + h 2 +16 — 8k + k 2
• 8 — 4k = 20 — 8k
• k= 3

Шаг :3

Найдем значение h упрощая уравнения 2 и 3

• (2 — h) 2 + (2 — k) 2 = (5 — h) 2 + (5 — k) 2
• 4 — 4h + h 2 + 4 — 4k + k 2 = 25 — 10h + h 2 + 25 — 10k + k 2
• 8 — 4k — 4h = 50 — 10h — 10k
• 6k + 6h = 42

Подставив значение k=3 в уравнение

Получаем координаты точки центра (h,k) = ( 4,3 )

Шаг :4

Подставим значения h,k в формулу

• r 2 = (x — h) 2 + (y — k) 2
• r 2 = (2 — 4) 2 + (2 — 3) 2
• r 2 = (-2) 2 + (-1) 2
• r 2 = 5
• r = 2.24

Шаг :5

Подставим значения h, k в уравнение окружности

(x — h) 2 + (y — k) 2

Уравнение окружности = (x — 4) 2 + (y — 3) 2

We will learn how to
find the equation of a circle passing through three given points.

Let P (x(_{1}), y(_{1})), Q (x(_{2}), y(_{2}))
and R (x(_{3}), y(_{3})) are the three given points.

We have to find the equation of the circle passing through
the points P, Q and R.

Let the equation of the general form of the required circle be x(^{2}) + y(^{2}) + 2gx + 2fy + c = 0 ……………. (i)

According to the problem, the above equation of the circle passes
through the points P (x1, y1), Q (x2, y2)
and R (x3, y3). Therefore,

x(_{1})(^{2}) + y(_{1})(^{2}) + 2gx(_{1})
+ 2fy(_{1}) + c = 0 ……………. (ii)

x(_{2})(^{2}) + y2(^{2}) + 2gx(_{2})
+ 2fy(_{2}) + c = 0 ……………. (iii)

and  x(_{3})(^{2})
+ y(_{3})(^{2}) + 2gx(_{3}) + 2fy(_{3}) + c = 0 ……………. (iv)

Form the above there equations (ii), (iii) and (iv) find the
value of g, f and c. Then substituting the values of g, f and c in (i) we can
find the required equation of the circle.

Solved examples to find the equation of the circle passing through three
given points:

1. Find the equation of the circle passes through three
points (1, 0), (-1, 0) and (0, 1).

Solution:

Let the equation of the general form of the required circle
be x(^{2}) + y(^{2}) + 2gx + 2fy + c = 0 ……………. (i)

According to the problem, the above equation of the circle passes
through the points (1, 0), (-1, 0) and (0, 1). Therefore,

1 + 2g + c = 0 ……………. (ii)

1 — 2g + c = 0  ……………. (iii)

1 + 2f + c = 0  ……………. (iv)

Subtracting (iii) form (i), we get 4g = 0 ⇒ g = 0.

Putting g = 0 in (ii), we obtain c = -1. Now putting c = -1 in
(iv), we get f = 0.

Substituting the values of g, f and c in (i), we obtain the
equation of the required circle as x(^{2}) + y(^{2}) = 1.

2. Find the equation of the circle passes through three
points (1, — 6), (2, 1) and (5, 2). Also find the co-ordinate of its centre and
the length of the radius.

Solution:     

Let the equation of the required circle be

x(^{2}) + y(^{2}) + 2gx + 2fy + c = 0 ……………….(i)

According to the problem, the above equation passes through
the coordinate points (1, — 6), (2, 1) and (5, 2).

Therefore, substituting the coordinates of three points (1,
— 6), (2, 1) and (5, 2) successively in equation (i) we get,

For the point (1, — 6): 1 + 36 + 2g — 12f + c = 0         

⇒ 2g — 12f + c = 
-37 ……………….(ii)

For the point (2, 1):  4 + 1 + 4g + 2f + c  = 0   

⇒ 4g + 2f + c =- 5 ……………….(iii)

For the point (5, 2): 
25 + 4 + 10g + 4f + c = 0  

⇒ 10g + 4f + c = -29 ……………….(iv)

Subtracting (ii) from (iii) we get,

2g + 14f = 32

⇒ g + 7f = 16 ……………….(v)

Again, Subtracting (ii) form (iv) we get,

8g + 16f = 8      

⇒ g + 2f = 1 ……………….(vi)

Now, solving equations (v) and (vi) we get, g = — 5 and f =
3.

Putting the values of
g and f in (iii) we get, c = 9.

Therefore, the equation of the required circle is x(^{2}) + y(^{2}) —
10x + 6y + 9 = 0

Thus, the co-ordinates of its centre are (- g, — f) = (5, — 3) and radius = (mathrm{sqrt{g^{2} + f^{2} — c}}) = (mathrm{sqrt{25 + 9 — 9}})
 = √25 = 5 units.

● The Circle

• Definition of Circle
• Equation of a Circle
• General Form of the Equation of a Circle
• General Equation of Second Degree Represents a Circle
• Centre of the Circle Coincides with the Origin
• Circle Passes through the Origin
• Circle Touches x-axis
• Circle Touches y-axis
• Circle Touches both x-axis and y-axis
• Centre of the Circle on x-axis
• Centre of the Circle on y-axis
• Circle Passes through the Origin and Centre Lies on x-axis
• Circle Passes through the Origin and Centre Lies on y-axis
• Equation of a Circle when Line Segment Joining Two Given Points is a Diameter
• Equations of Concentric Circles
  
• Circle Passing Through Three Given Points
• Circle Through the Intersection of Two Circles
• Equation of the Common Chord of Two Circles
• Position of a Point with Respect to a Circle
• Intercepts on the Axes made by a Circle
• Circle Formulae
• Problems on Circle

Условие

Решение

Написать комментарий