Как составить уравнение окружности с центром на оси ординат - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Написать уравнение окружности

Рассмотрим некоторые примеры, в которых требуется написать уравнение окружности по заданным условиям.

1) Написать уравнение окружности с центром в точке K(5;-1) и радиусом 7.

Уравнение окружности с центром в точке (a;b) и радиусом R имеет вид:

Так как центр окружности — точка K(5; -1), то a=5, b=-1.Подставляем эти данные в уравнение окружности:

2) Напишите уравнение окружности с центром в точке A (8;-3) проходящей через точку C(3;-6).

Так как центр окружности — точка A(8; -3), то a=8, b=-3.

Остаётся найти радиус. Он равен расстоянию от центра окружности до точки, лежащей на окружности, то есть в данном случае радиус окружности равен расстоянию между точками A и C.

Следовательно, уравнение данной окружности

3) Составить уравнение окружности, диаметром которой является отрезок AB, если A (-4; -9), B(6;5).

Центром окружности является середина диаметра, в нашем случае — середина отрезка AB. По формулам координат середины отрезка

Центр окружности — точка O(1;-2). Значит, a=1, b=-2.

Радиус можно найти как расстояние от центра окружности до любой из точек A или B окружности. Например,

Таким образом, уравнение окружности с диаметром AB —

4) Написать уравнение окружности, проходящей через три точки: A(4; -5), B(8; 3) C(-8; 11).

Так как точки A, B C принадлежат окружности, то их координаты удовлетворяют уравнению окружности. Подставив координаты точек в уравнение

получаем систему уравнений:

Поскольку правые части уравнений равны, левые также равны. Приравняв правые части 1-го и 2-го уравнений получим

Приравняем правые части 2-го и 3-го уравнений:

на -1 и сложив результат почленно с уравнением

получаем a=-2, b=3. Подставив этот результат в первое уравнение системы:

Следовательно, уравнение окружности, проходящей через три данные точки —

5) Написать уравнение окружности, описанной около треугольника ABC с вершинами в точках A(2; 6), B(1; 5) C(8; -2).

Решение аналогично решению задания 4. В результате получим уравнение

Уравнение окружности.

Окружностью принято обозначать множество всех точек плоскости, равноудаленных от одной точки – от центра.

В формулировке окружности упоминается расстояние между точкой окружности и центром.

Формула расстояния между двумя точками М₁(х₁; у₁) и М₂(х₂; у₂) имеет вид:

Применив формулу и формулировку окружности, получаем уравнение окружности с центром в точке С (х₀; у₀) и радиусом r.

Отметим произвольную точку М(х; у) на этой окружности.

Предположим, что М принадлежит окружности с центром С и радиусом r, то МС = r.

Следовательно, МС 2 = r 2 и координаты точки М удовлетворяют уравнению окружности (х – х₀ ) 2 +(у – у₀ ) 2 = r 2 .

Из выше изложенного делаем вывод, что уравнение окружности с центром в точке С (х₀; у₀) и радиусом r имеет вид:

В случае когда центр окружности совпадает с началом координат, то получаем частный случай уравнения окружности с центром в точке О (0;0):

Уравнение окружности

Окружностью называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой центром.

Если точка С — центр окружности, R — ее радиус, а М — произвольная точка окружности, то по определению окружности

Равенство (1) есть уравнение окружности радиуса R с центром в точке С.

Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат (рис. 104) и точка С(а; b) — центр окружности радиуса R. Пусть М(х; у) — произвольная точка этой окружности.

Так как |СМ| = ( sqrt <(x — a)^2 + (у — b)^2>), то уравнение (1) можно записать так:

(x — a) 2 + (у — b) 2 = R 2 (2)

Уравнение (2) называют общим уравнением окружности или уравнением окружности радиуса R с центром в точке (а; b). Например, уравнение

есть уравнение окружности радиуса R = 5 с центром в точке (1; —3).

Если центр окружности совпадает с началом координат, то уравнение (2) принимает вид

Уравнение (3) называют каноническим уравнением окружности.

Задача 1. Написать уравнение окружности радиуса R = 7 с центром в начале координат.

Непосредственной подстановкой значения радиуса в уравнение (3) получим

Задача 2. Написать уравнение окружности радиуса R = 9 с центром в точке С(3; —6).

Подставив значение координат точки С и значение радиуса в формулу (2), получим

(х — 3) 2 + (у — (—6)) 2 = 81 или (х — 3) 2 + (у + 6) 2 = 81.

Задача 3. Найти центр и радиус окружности

Сравнивая данное уравнение с общим уравнением окружности (2), видим, что а = —3, b = 5, R = 10. Следовательно, С(—3; 5), R = 10.

Задача 4. Доказать, что уравнение

является уравнением окружности. Найти ее центр и радиус.

Преобразуем левую часть данного уравнения:

Это уравнение представляет собой уравнение окружности с центром в точке (—2; 1); радиус окружности равен 3.

Задача 5. Написать уравнение окружности с центром в точке С(—1; —1), касающейся прямой АВ, если A (2; —1), B(— 1; 3).

Напишем уравнение прямой АВ:

или 4х + 3y —5 = 0.

Так как окружность касается данной прямой, то радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен этой прямой. Для отыскания радиуса необходимо найти расстояние от точки С(—1; —1) — центра окружности до прямой 4х + 3y —5 = 0:

Напишем уравнение искомой окружности

Пусть в прямоугольной системе координат дана окружность x 2 + у 2 = R 2 . Рассмотрим ее произвольную точку М(х; у) (рис. 105).

Пусть радиус-вектор OM > точки М образует угол величины t с положительным направлением оси Ох, тогда абсцисса и ордината точки М изменяются в зависимости от t

(0 2 = 3 cos 2 t, у 2 = 3 sin 2 t. Складывая эти равенства почленно, получаем

источники:

http://www.calc.ru/Uravneniye-Okruzhnosti.html

http://razdupli.ru/teor/31_uravnenie-okruzhnosti.php

Источник

Download Article

The equation of a circle gives you the center coordinates and radius, allowing you to represent all of the literally infinite points around the boundary of the circle. But how exactly do you write it? Read on to learn how to write the equation of a circle in standard form, as well as how to convert general form to standard form. Once you’ve got that down, you can try your hand at some sample problems and check your answers. Let’s get started!

Things You Should Know

1
2

The general form of the equation of a circle is ${displaystyle x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0}$ . This equation technically has all the same information the standard form has, it’s just expressed differently. Let’s break it down:^[2]

1
2

Plug in values for the radius and center coordinates to complete a standard equation. This is probably the simplest type of problem you’ll have dealing with the equation of a circle. Just place the values where they go in the the standard form ${displaystyle (x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}}$ .^[4]
3

1
2

Move the constant to the other side of the equation. Since the number is moving to the other side of the equation, the sign in front of it changes. So if it was negative on the left side, it’ll be positive on the right side (and vice versa).^[7]
3
4
5
6

Add the numbers to both sides of the equation. Keeping your groups together on the left side of the equation, add your third number to each parenthetical expression. Then, add each of those numbers to the right side of the equation to maintain equality.^[11]
7

Solve the and groups. Now you have what you may recognize as a basic trinomial in each parenthesis. Use the quadratic formula to find the number you need for each parenthetical expression in the standard equation of a circle.^[12]
8

Simplify the right side of the equation. Almost there! Add the numbers on the right side, then square them. The equation you’re left with will be the standard form for the equation of a circle. From here, you can easily determine the center points and radius if you need to graph the circle.^[13]

1
Write the equation of the circle with center and radius .^[14]
- Hint: pay attention to the negative signs in front of the center coordinates.
2
Find the center coordinates of the circle with the equation ${displaystyle (x+5)^{2}+(y+2)^{2}=81}$ .^[15]
- Hint: look at the signs in the parentheses and compare them to the standard form for the equation.
3

Find the center coordinates and radius for the circle ${displaystyle x^{2}+y^{2}+4x+8y-29=0}$ .^[16]

Hint: complete the square twice to convert general form to standard form. Don’t forget that anything you add on the left side you also have to add on the right side.
4

Is ${displaystyle x^{2}+y^{2}+8x+20=0}$ the equation of a circle? Why or why not?^[17]

Hint: a circle can never have a negative radius.

1
2

The center coordinates are . You’re given the equation of the circle ${displaystyle (x+5)^{2}+(y+2)^{2}=81}$ . Since the signs in the parentheses in the standard form are , the signs in this equation tell you that the center coordinates must be negative.^[19]
3
4

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

References

About This Article

Thanks to all authors for creating a page that has been read 1,239 times.

Did this article help you?

Источник

Для составления уравнения окружности нужно знать координаты центра этой окружности — по оси абцисс (х) — а и по оси ординат(y — b , и размер её радиуса : R.

Для конкретного примера пусть дано :координаты центра окружности а = 5 , b = 7 , а радиус R = 10 , Тогда уравнение окружности в общем виде будет :

(x — a )^2 + (y — b )^2 = R^2

——————————,

В случае , когда центр окружности совпадает с центром координат (0 ,0 ),уравнение примет вид :

x ^2 + y^2 = R^2

И в частном виде при приведённых данных координат центра окружности (5 , 7 ) и радиуса 10 :

(x -5 )^2 + (y — 7 )^2 = 10^2 = 100

Источник

3) Составьте уравнения окружности с центром на оси ординат, которая проходит через точки A(-3;0), B(0;9)

xERISx

Светило науки — 2876 ответов — 29797 раз оказано помощи

Уравнение окружности имеет вид:
R² = (x — X₀)² + (y — Y₀)² ,
где (X₀; Y₀) — центр окружности, R — радиус
Центр окружности на оси ординат ⇒ координата X₀ = 0
Чтобы найти координату Y₀, нужно уравнять расстояния от точек А(-3;0) и В(0;9) до центра окружности O(0; Y₀)

(-3 — 0)² + (0 — Y₀)² = (0 — 0)² + (9 — Y₀)²
9 + Y₀² = 81 — 18Y₀ + Y₀²
18Y₀ = 72
Y₀ = 4
Радиус окружности равен
=
= (-3 — 0)² + (0 — 4)² = 25

Ответ: x² — (y — 4)² = 25

Источник

Определение.
Окружностью
называется множество всех точек
плоскости, для которых расстояние от
данной точки, называемой центром
окружности, есть величина постоянная,
называемая радиусом окружности.

Выведем
уравнение окружности. Пусть точка

произвольная точка окружности радиуса
.
Введем прямоугольную систему координат,
у которой начало совпадает с центром
окружности.
В этом случае точкаимеет координаты.
По определению окружности.
Учитывая, что,
получим,
или

.
(1.27)

Выражение (1.27)
называется уравнением окружности с
центром в точке
и радиуса.

Покажем,
что любая точка, координаты которой
удовлетворяют уравнению (1.27), принадлежит
окружности с центром в точке
и радиуса.

Пусть
координаты точки
удовлетворяют уравнению (1.27). Тогда,
т. е.является точкой окружности.

С
учетом формулы преобразования
прямоугольных координат точки при
параллельном переносе осей получим
уравнение окружности с центром в точке
и радиуса:

.
(1.28)

П
р и м е р 13.Составить
уравнение окружности, проходящей через
начало координат, центр которой находится
на одинаковом расстоянии от параллельных
прямых
и.

Решение.
Для того чтобы составить уравнение
окружности вида
,
необходимо найти координатыее центраи радиус.
Искомая окружность касается прямыхи,
поэтому радиусравен половине расстояниямежду этими прямыми. Расстояние между
параллельными прямыми равно расстоянию
от произвольной точки одной прямой до
другой прямой. На прямой, задаваемой
уравнением,
возьмем произвольную точку,
тогда.
По формуле (1.15) имеем:.
Таким образом,.
Центр окружности равноудален от заданных
прямых, поэтому координатыее центрадолжны удовлетворять равенству,
т. е..
Известно, что окружность проходит через
начало координат, поэтому.
Получили систему уравнений относительно
координат центраокружности:.
Ее решениями будут.
Итак, существует два уравнения,
удовлетворяющих условиям задачи:.

1.12. Эллипс

Определение.
Эллипсом
называется
множество всех точек плоскости, для
которых сумма расстояний от двух данных
точек, называемых фокусами, есть величина
постоянная, большая, чем расстояние
между фокусами.

Выберем
прямоугольную систему координат таким
образом, чтобы ось абсцисс проходила
через фокусы
и,
а начало координатсовпадало
с серединой отрезка.
Обозначим,,,
где,
фокальные радиусы (расстояния от точки
до фокусов) точки эллипса. Тогда фокусы
иимеют координаты,.

Пусть

произвольная точка эллипса. Имеем:
,.
Из определения эллипса

,
(1.29)

или

искомое уравнение эллипса, которое
неудобно для использования. Из последнего
равенства следует, что
.Так
как,
то можем обе части уравнения возвести
в квадрат и после эквивалентных
преобразований получим:.
Следовательно,.
Введем новую переменную.
Имеем:.
Из этого равенства следует, что

.
(1.30)

Уравнение
(1.30) называется каноническим (простейшим)
уравнением эллипса. Это уравнение
является уравнением второго порядка.
Таким образом, любая точка эллипса,
удовлетворяющая уравнению (1.29),
удовлетворяет и уравнению (1.30). Докажем,
что все точки плоскости, координаты
которых удовлетворяют уравнению (1.30),
являются точками эллипса, т. е. их
координаты удовлетворяют уравнению
(1.29).

Для
фокального радиуса
выполняется соотношение.
Из уравнения (1.30) имеем:.
Поэтому,
или.
Аналогично находим, что.
Следовательно,.

Эллипс
симметричен относительно координатных
осей, так как содержит только четные
степени
и,
и относительно начала координат. Оси
симметрии эллипса называются его осями,
а центр симметрии
центром эллипса.

Эллипс
пересекает координатные оси в точках
,,,.
Эти точки называются вершинами эллипса.
Приэллипс вырождается в окружность радиусоми центром в начале координат. Вершины
эллипса ограничивают на осях отрезки
длинойи,
причем(это следует из того, что).

Величины
иназываются большой и малой полуосями
эллипса, оси эллипса
соответственно большой и малой осью.

Определение. Эксцентриситетом эллипса
называется отношение,
где
половина расстояния между фокусами,

большая полуось, т. е.

.
(1.31)

Учитывая,
что
,
получим.
Так как,
то.
Если,
т. е. эллипс приближается к окружности,
то.
Если,
ак нулю не стремится, то эллипс вытянут
вдоль большой оси. Таким образом,
эксцентриситет эллипса характеризует
меру его вытянутости вдоль большой оси.

Если
фокусы эллипса
ирасположены на оси ординат, то в этом
случаеи большой является полуось.
Уравнение эллипса также имеет вид
(1.30), но,
а его эксцентриситет вычисляется по
формуле.

П
р и м е р 14. Составить
уравнение эллипса, фокусы которого
лежат на оси абсцисс симметрично
относительно начала координат, зная,
что расстояние между его фокусами
и эксцентриситет.

Решение.
Половина расстояния между фокусами
.
Фокусы эллипса расположены на оси
абсцисс, поэтому большой полуосью
является.
Из (1.31) следует, что.
Тогда.
Таким образом, уравнение эллипса имеет
вид.

П
р и м е р 15. Дан
эллипс
.
Найти его полуоси, фокусы, эксцентриситет.

Решение.
Приведем
уравнение эллипса к каноническому виду.
Для этого обе части уравнения разделим
на 45, получим
.
Таким образом, его полуось,.
Большой полуосью является полуось,
поэтому фокусы эллипса расположены на
оси ординат и,
следовательно, фокусы находятся в точкахи.
Эксцентриситет эллипса равен отношению
половины расстояния между фокусами к
большой полуоси, т. е..

П
р и м е р 16. Вычислить
площадь четырехугольника
,
две вершиныикоторого лежат в фокусах эллипса,
две другиеисовпадают с концами его малой оси.

Решение.
Каноническое
уравнение эллипса имеет вид
,
поэтому,.
Следовательно, вершины четырехугольникаиимеют соответственно координатыи.
Найдем координаты вершини.
Так как,
то,.
Полученный четырехугольник симметричен
относительно координатных осей и
относительно начала координат,
следовательно,.

Соседние файлы в папке 20-12-2012_21-26-59

Источник