Как составить уравнение отраженного луча

3. Получаем формулу или уравнение,
связывающее текущие координаты и какие-либо постоянные.

Подобный подход, повторяющийся от формулы к формуле,
приводил к так называемым каноническим уравнениям (от слова канон –
повтор).

7.2. Уравнения прямой на плоскости

1. Выведем уравнение прямой, проходящей через
данную точку А(Х_а, Y_а) параллельно данному вектору l(m, n). Этот вектор называется направляющим для
прямой L.

Дано: точка А(Х_а,
Y_а),
через которую проходит прямая L. Вектор l(m,n)
|| L

Найти:
уравнение прямой L.

Решение: Сделаем чертеж (рис. 7.1).

Рис. 7.1

1. Берем текущую
точку М (Х, Y) на прямой L.

2. Составляем
вектор АМ (Х–Х_а, Y–Y_а).

Сравниваем векторы АМ и l. Они параллельны, следовательно, их координаты пропорциональны, т.е.

,                                             (7.1)

Этомууравнению будут подчиняться только
точки, лежащие на рассматриваемой прямой, и не будут удовлетворять точки,
находящиеся вне ее. Именно это уравнение называют каноническим уравнением
прямой.

Рис 7.2

Уравнение прямой, проходящей через две точки А (Х_а, Y_а) и В (Х_b,Y_b) составляется
аналогично. В качестве направляющего вектора здесь берется вектор АВ
(Х_в–Х_а , Y_b–Y_а) (рис.
7.2).

.                                             (7.2)

3. Уравнение прямой, проходящей через точку , перпендикулярно данному вектору N(A,
B) (рис. 7.3).

Рис 7.3

Для вывода этого уравнения учитывается, что векторы N и  будут перпендикулярны и,
следовательно, их скалярное произведение будет равно нулю. По формуле 6.6 из
предыдущего параграфа составляем скалярное произведение в координатной форме и
приравниваем его нулю:

.                                     (7.3)

Ему также будут отвечать только
координаты точек, лежащих на прямой.

4. Уравнение прямой, проходящей через
данную точку А (Х_а, Y_а) в заданном направлении.

Рис 7.4

Направление прямой можно задать с помощью углового
коэффициента k, который равен тангенсу угла наклона прямой к положительному
направлению оси ОХ ( рис.7.4). Тогда ,
где (Х, У) – координаты текущей точки. Разрешая это уравнение
относительно , получим уравнение в виде:

.                                       (7.4)

5. Общее уравнение
прямой на плоскости.

Если все предыдущие уравнения привести к общему
знаменателю, раскрыть скобки и привести подобные члены, то в результате этих
преобразований получим уравнение вида:

.                                       (7.5)

Оно
называется общим уравнением прямой на плоскости. Чтобы убедиться,
что такое уравнение описывает именно прямую, преобразуем его еще раз и запишем
так:

.

–
а это уравнение прямой, проходящей через точку (0, –С/В),
перпендикулярно вектору с координатами (А, В), которое мы
выводили.

Поэтому, любое уравнение первой степени
относительно текущих координат описывает на плоскости прямую.

При решении задач по аналитической геометрии следует внимательно читать
условие, которым задается прямая. Все остальное – дело техники.

Пример 7.1.
Составить уравнение прямой, проходящей через точку
А(1, –3), параллельно вектору а(4, –7).

Решение.
Воспользуемся уравнением 1, потому что именно в нем фигурирует точка и параллельный
вектор. Получим:

,

что после приведения к общему
знаменателю дает:

.

Раскрываем скобки, приводим
подобные, получаем уравнение в общем виде:

.

Пример
7.2. Прямая проходит через точки А(3, 5) и В(4, 7). Будет ли
точка K(1, 1) лежать на этой прямой?

Решение.
Можно решить эту задачу чисто геометрически: построить точки А и В
в Декартовой системе координат, соединить их прямой и посмотреть, будет ли
точка K принадлежать этой прямой. А можно
составить уравнение прямой, проходящей через две точки А и В,
затем подставить в него координаты точки K и
посмотреть, что получится. Если равенство – точка принадлежит прямой, если нет
– не принадлежит.

Пойдем вторым
путем. Уравнение прямой (АВ) будет составляться как уравнение прямой,
проходящей через две точки:

,

или после приведения к общему
знаменателю

, или .

Подставим в
него K(1, 1), получим:

2(1 – 3)=(1 – 5),
т.е. –4 = –4.

и это верно. Вывод: точка K принадлежит  прямой (АВ). Подкрепим свой вывод
чертежом (рис. 7.5).

Рис. 7.5

Пример
7.3. Из точки M(3; 2) выходит луч света под
углом  к оси OX.
Найти уравнения падающего и отраженного лучей (рис. 7.6).

Рис. 7.5

Решение.
Найдем уравнение падающего луча. Эта прямая L₁
проходит через точку M с угловым коэффициентом.

.

Тогда используя уравнение (7.4),
получим

,

или

.

Это уравнение падающего луча. Чтобы
составить уравнение отраженного луча L₂,
нужно знать координаты точки отражения K и
угловой коэффициент k₂. Координаты
точки отражения K можно найти как точку пересечения
прямой L₁ и оси Ox:

             Þ               

т.е. K(2;0).
Угловой коэффициент k₂ найдем из того
условия, что «угол падения равен углу отражения». Тогда очевидно, что

.

Отсюда

.

Теперь известны все параметры,
чтобы записать уравнение отраженного луча:

,

или

.

7.3. Взаимное расположение прямых на плоскости

Очень часто при решении задач по аналитической
геометрии приходится выяснять, пересекаются прямые или нет, и если да – то в
какой точке и под каким углом. Ответим на этот вопрос.

Пусть
две прямые L и L заданы своими общими уравнениями:

                                                 (7.6)

Какую
информацию несут коэффициенты  и ? Это координаты перпендикулярных
(нормальных) векторов к обеим прямым (см. «уравнение прямой, проходящей через
данную точку, перпендикулярно данному вектору»).

Для того чтобы определить, будут ли они пересекаться,
нужно решить систему уравнений (7.6). Вспомните, когда система будет совместна
и определена. Когда главный определитель отличен от нуля, т.е. когда его строки
непропорциональны: . Тогда система будет иметь
единственное решение, которое можно найти любым методом (Крамера, Гаусса и
т.д.).

Решение.
Решение этой задачи основано на
классическом законе оптики 
угол падения равен углу отражения (Рис.
2 ). Вспомним, как в физике определяются
углы падения луча () и угол отражения (). Угол падения
это угол между падающим лучом и
перпендикуляром, проведенным к отражающей
поверхности в точке отражения. Угол
отражения

это угол между отраженным лучом и тем
же перпендикуляром. Подчеркнем, что
угол рассматривается по абсолютной
величине , ненаправленный.

В
данном примере физическая задача
решается методами аналитической
геометрии. В качестве углов падения и
отражения мы будем рассматривать не те
углы, которые рассматриваются в физике,
а углы, которые их дополняют до 90(Рис. 3). Геометрически нетрудно доказать,
что эти углы тоже равны.

Таким
образом, угол падения
это угол между отражающей прямой и
падающим лучом; угол отражения

это угол между отражающей прямой и
отраженным лучом. Углы
ибудут считаться положительными, если
переход от отражающей прямой к падающему
(соответственно, отраженному ) лучу
происходит против часовой стрелки; в
противном случае углы считаются
отрицательными.

На
Рис. 4 изображены условия примера 4. На
нем, в частности, видно, что в рассматриваемом
примере угол падения

отрицателен, а угол отражения
положителен.

Сформулируем
оптический закон немного иначе: угол
падения равен углу отражения по модулю,
но противоположен по знаку, т.е.
,
но.
Следовательно,

,
но
.

Продолжим
решение задачи. Сначала найдем угол
падения
.
Для этого исходные уравнения прямых
разрешим относительно.

;

.

Тогда

.
Далее найдем тангенс угла отражения.
Теперь рассмотрим пару
отражающая прямая и отраженный луч:
,
значит,,
где коэффициентнеизвестен. По той же формуле (4) имеем:

.

Осталось
найти точку отражения, как решение
системы линейных уравнений:

Вычтем
из уравнения (II)
уравнение (I)
:.
Тогда точка отражения имеет координаты:.
Окончательно уравнение отраженного
луча примет вид:или.

Пример 5. Из точки направлен луч света под углом 45 к прямой . Дойдя до этой прямой, луч от нее отразился. Составить уравнения падающего и отраженного лучей.

Решение.
В формулировке задачи величина угла
падения дана как в физике, без указания
направления. Поэтому возможны два
варианта чертежа.

На Рис. 5 угол
падения
,
а на Рис. 6 угол.Уравнения
падающего и отраженного лучей будем
искать с использованием формулы тангенса
угла между прямыми (4). Предварительно
преобразуем уравнение отражающей прямой
к виду с угловым коэффициентом.

Оформим
две колонки: левая 
для
,
правая
для
.

Уравнение падающего луча: Точка отражения : Угол отражения . Угловой коэффициент отраженного луча найдем из уравнения: Уравнение отраженного луча:

Уравнение падающего луча: Точка отражения : Угол отражения . Угловой коэффициент отраженного луча найдем из уравнения: Уравнение отраженного луча:

Задачи
для самостоятельного решения

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Условие

Решение

Написать комментарий

Сообщения без ответов | Активные темы

Похожие темы	Автор	Ответы	Просмотры	Последнее сообщение
Уравнения падающего и отражённого лучей в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра	GlaDNavigatoR	4	1049	31 окт 2014, 23:13
Найти уравнение падающего и отраженного лучей в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра	Anna03ma	1	182	18 ноя 2021, 20:16
Найти уравнение падающего и отраженного лучей в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра	Anna03ma	1	154	18 ноя 2021, 20:18
Уравнение отраженного и преломленного луча в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра	1zz2zz	1	330	21 дек 2018, 21:32
Как получить значения x и y из уравнения в форуме Алгебра	quant77	15	1010	03 мар 2019, 22:19
Как получить уравнения прямой в каноническом виде? в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра	adeptus7	21	723	01 янв 2017, 19:47
Вписание треугольника в три луча в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра	mvrus	5	446	23 мар 2016, 19:05
Это задача об отражении луча от зеркала в форуме Школьная физика	rkosteckiy	1	504	03 фев 2015, 20:21
Приближение луча света к большой оси эллипса в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра	Artyom_st	3	483	09 ноя 2014, 14:26
Искривление луча света гравитационным полем в форуме Специальные разделы	sergebsl	4	292	03 ноя 2019, 04:01

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2

Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения

Пользуйтесь нашим приложением