Как составить уравнение параболы по двум точкам - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Как легко составить уравнение параболы по графику

В данной статье репетитор по математике рассказывает о простом и эффективном способе составления уравнения параболы по её графику, которому вас не научат в школе. Дочитайте эту статью до конца или посмотрите видео с подробным объяснением, потому что эта информация может вам пригодиться на экзамене.

Задача состоит в том, чтобы по графику параболы (см. рисунок) определить коэффициенты a, b и c соответствующей квадратичной функции :

Существует стандартный и крайне неэффективный способ решения этой задачи. Он заключается в том, чтобы через координату вершины параболы связать коэффициенты a и b, используя формулу $x_B = -frac{b}{2a}$ . Затем взять координаты двух точек, которые принадлежат параболе, составить систему уравнений и решить её относительно искомых коэффициентов. Считать придётся долго и муторно.

Мы не пойдём этим путём. Предлагаемый в данной статье способ намного более прост и изящен. Введём новую систему координат с центром в вершине параболы и осями, сонаправленными с исходной системой координат. В данной системе координат уравнение нашей параболы будет иметь вид: , где . Изобразим в новой системе координат график квадратичной функции (синяя пунктирная линия на рисунке):

Абсциссы точек C и B в новой системе координат равны. Ордината точки C в 2 раза больше ординаты точки B. Значит график исходной параболы в новой системе координат получен умножением на $frac{1}{2}$ всех ординат точек графика функции . Откуда получаем, что $a=frac{1}{2}$ . Значит исходная парабола может быть представлена в виде следующего выражения в новой системе координат: $y_1 = frac{1}{2}x_1^2$ .

Осталось перейти в исходную систему координат. Поскольку новая система координат получена путём параллельного переноса исходной системы координат на 4 единичных отрезка вправо и 2 единичных отрезка вверх, то в исходной системе координат наша парабола может быть представлена в виде следующего выражения:

$[ y = frac{1}{2}(x-4)^2+2 = frac{1}{2}x^2-4x+10. ]$

Как видите, данный способ требует минимум вычислений и фактически является полуустным. Запомните этот способ, он может пригодиться вам при решений задач из ЕГЭ, ОГЭ или вступительных экзаменов в вузы и школы с углубленным изучением математики.

Квадратичная функция. Построение параболы

Функция — это зависимость «y» от «x», при которой «x» является переменной или аргументом функции, а «y» — зависимой переменной или значением функции.

Задать функцию означает определить правило, в соответствии с которым каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции. Вот какими способами ее можно задать:

Табличный способ. Помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.
Графический способ: наглядно.

Аналитический способ, через формулы. Компактно и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.
Словесный способ.

График функции — это объединение всех точек координатной плоскости, когда вместо «x» можно подставить в функцию произвольные значения и найти координаты этих точек.

Еще быстрее разобраться в теме и научиться строить график квадратичной функции можно на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart.

Построение квадратичной функции

Квадратичная функция задается формулой y = ax 2 + bx + c, где x и y — переменные, a, b, c — заданные числа, обязательное условие — a ≠ 0.

График квадратичной функции — парабола, которая имеет следующий вид для y = x 2 в частном случае при b = 0, c = 0:

Точки, обозначенные фиолетовыми кружками, называют базовыми точками. Чтобы найти их координаты для функции y = x 2 , нужно составить таблицу:

Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент равен единице, то график имеет ту же форму, как y = x 2 при любых значениях остальных коэффициентов. При увеличении старшего коэффициента график сужается, при уменьшении — расширяется.

График функции y = –x 2 выглядит, как перевернутая парабола:

Зафиксируем координаты базовых точек в таблице:

Посмотрев на оба графика можно заметить их симметричность относительно оси ОХ. Отметим важные выводы:

Если старший коэффициент больше нуля (a > 0), то ветви параболы напрaвлены вверх.
Если старший коэффициент меньше нуля (a < 0), то ветви параболы напрaвлены вниз.

Как строить график квадратичной функции — учитывать значения х, в которых функция равна нулю. Иначе это можно назвать нулями функции. На графике нули функции f(x) — это точки пересечения у = f(x) с осью ОХ.

Так как ордината (у) любой точки на оси ОХ равна нулю, поэтому для поиска координат точек пересечения графика функции у = f(x) с осью ОХ, нужно решить уравнение f(x) = 0.

Для наглядности возьмем функцию y = ax 2 + bx + c. Чтобы найти точки пересечения с осью Ox, нужно решить квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0. В процессе найдем дискриминант D = b 2 — 4ac, который даст нам информацию о количестве корней квадратного уравнения.

Рассмотрим три случая:

Если D < 0, то уравнение не имеет решений и парабола не имеет точек пересечения с осью ОХ. Если a > 0,то график выглядит так:

Если D = 0, то уравнение имеет одно решение, а парабола пересекает ось ОХ в одной точке. Если a > 0, то график имеет такой вид:
Если D > 0, то уравнение имеет два решения, а парабола пересекает ось ОХ в двух точках, которые можно найти следующим образом:

Если a > 0, то график выглядит как-то так:

Теперь понятно, что, зная направление ветвей параболы и знак дискриминанта, мы можем схематично представить график конкретной функции.

Координаты вершины параболы также являются важным параметром графика квадратичной функции и находятся следующим способом:

Ось симметрии параболы — прямая, которая проходит через вершину параболы параллельно оси OY.

Чтобы построить график, нам нужна точка пересечения параболы с осью OY. Так как абсцисса каждой точки оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы y = ax 2 + bx + c с осью OY, нужно в уравнение вместо х подставить ноль: y(0) = c. То есть координаты этой точки будут соответствовать: (0; c).

На изображении отмечены основные параметры графика квадратичной функции:

Алгоритм построения параболы

Рассмотрим несколько способов построения квадратичной параболы. Наиболее удобный способ можно выбрать в соответствии с тем, как задана квадратичная функция.

Уравнение квадратичной функции имеет вид y = ax 2 + bx + c.

Разберем общий алгоритм на примере y = 2x 2 + 3x — 5.

Как строим:

Определим направление ветвей параболы. Так как а = 2 > 0, ветви параболы направлены вверх.
Найдем дискриминант квадратного трехчлена 2x 2 + 3x — 5.

D = b 2 — 4ac = 9 — 4 * 2 * (-5) = 49 > 0

В данном случае дискриминант больше нуля, поэтому парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ. Чтобы найти их координаты, решим уравнение:

Координаты вершины параболы:

Точка пересечения с осью OY находится: (0; -5) относительно оси симметрии.

Нанесем эти точки на координатную плоскость и построим график параболы:

Уравнение квадратичной функции имеет вид y = a * (x — x₀) 2 + y₀

Зная координаты вершины параболы и старший коэффициент, можно записать уравнение квадратичной функции в виде у = a(x − x₀) + y₀, где x₀, y₀ — координаты вершины параболы.

Координаты его вершины: (x₀; y₀). В уравнении квадратичной функции y = 2x 2 + 3x — 5 при а = 1, то второй коэффициент является четным числом.

Рассмотрим пример: y = 2 * (x — 1) 2 + 4.

Как строим:

Воспользуемся линейным преобразованием графиков функций. Для этого понадобится:

построить график функции y = x 2 ,
умножить ординаты всех точек графика на 2,
сдвинуть его вдоль оси ОХ на 1 единицу вправо,
сдвинуть его вдоль оси OY на 4 единицы вверх.

Построить график параболы для каждого случая.

Уравнение квадратичной функции имеет вид y = (x + a) × (x + b)

Рассмотрим следующий пример: y = (x − 2) × (x + 1).

Как строим:

Данный вид функции позволяет быстро найти нули функции:

(x − 2) × (x + 1) = 0, отсюда х₁ = 2, х₂ = −1.

Определим координаты вершины параболы:

Найти точку пересечения с осью OY:

с = ab = (−2) × (1) = −2 и ей симметричная относительно оси симметрии параболы.

Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим плавной прямой линией.

Как построить параболу

Соавтор(ы): Jake Adams. Джейк Адамс — репетитор и владелец онлайн-сервиса Simplifi EDU с офисом в Санта-Монике, Калифорния, который предлагает образовательные ресурсы и услуги репетиторов по предметам от уровня детского сада до колледжа, помощь в подготовке к тестам SAT и ACT и консультирование по вопросам поступления в колледж. Имеет более 14 лет опыта в качестве профессионального репетитора, нацелен на предоставление клиентам репетиторских услуг высочайшего качества и доступа к сети, объединяющей выскоквалифицированных репетиторов с высшим образованием из лучших колледжей страны. Получил диплом бакалавра по международному бизнесу и маркетингу в Университете Пеппердайна.

Количество источников, использованных в этой статье: 7. Вы найдете их список внизу страницы.

Источник

Квадратичная функция. Построение параболы

О чем эта статья:

8 класс, 9 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Основные понятия

Задать функцию означает определить правило в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:

Табличный способ. Помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.
Графический способ: наглядно.

Аналитический способ, через формулы. Компактно и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.
Словесный способ.

График функции — это объединение всех точек, когда вместо «x» можно подставить в функцию произвольные значения и найти координаты этих точек.

Построение квадратичной функции

Квадратичная функция задается формулой y = ax 2 + bx + c, где x и y — переменные, a, b, c — заданные числа, обязательное условие — a ≠ 0. В уравнении существует следующее распределение:

a — старший коэффициент, который отвечает за ширину параболы. Большое значение a — парабола узкая, небольшое — парабола широкая.
b — второй коэффициент, который отвечает за смещение параболы от центра координат.
с — свободный член, который соответствует координате пересечения параболы с осью ординат.

График квадратичной функции — парабола, которая имеет следующий вид для y = x 2 :

Точки, обозначенные зелеными кружками называют базовыми точками. Чтобы найти их координаты для функции y = x 2 , нужно составить таблицу:

Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент равен единице, то график имеет ту же форму, как y = x 2 при любых значениях остальных коэффициентов.

График функции y = –x 2 выглядит, как перевернутая парабола:

Зафиксируем координаты базовых точек в таблице:

Посмотрев на оба графика можно заметить их симметричность относительно оси ОХ. Отметим важные выводы:

Если старший коэффициент больше нуля a > 0, то ветви параболы напрaвлены вверх.
Если старший коэффициент меньше нуля a 2 + bx + c, для построения которой нужно решить квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0. В процессе найдем дискриминант D = b 2 — 4ac, который даст нам информацию о количестве корней квадратного уравнения.

Рассмотрим три случая:

Если D 0,то график выглядит так:

Если D = 0, то уравнение имеет одно решение, а парабола пересекает ось ОХ в одной точке. Если a > 0, то график имеет такой вид:

Если D > 0, то уравнение имеет два решения, а парабола пересекает ось ОХ в двух точках, которые можно найти следующим образом:

Если a > 0, то график выглядит как-то так:

0″ height=»671″ src=»https://lh6.googleusercontent.com/8ryBuyxmK9S2EbnsNc4AE5PEl_NpIg0RAM_Y_V8wUP-zREEHNgi9QoQTl8FXxoujjWRAvf3s-MPRsXsoepaLLSTHDX-ReGtrsnLQp4dW3WaEyPF2ywjVpYFXlDIpAEHoIiwlxiB7″ width=»602″>

На основе вышеизложенного ясно, что зная направление ветвей параболы и знак дискриминанта, у нас есть понимание, как будет выглядеть график конкретной функции.

Координаты вершины параболы также являются важным параметром графика квадратичной функции и находятся следующим способом:

Ось симметрии параболы — прямая, которая проходит через вершину параболы параллельно оси OY.

Чтобы построить график, нам нужна точка пересечения параболы с осью OY. Так как абсцисса каждой точки оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы y = ax 2 + bx + c с осью OY, нужно в уравнение вместо х подставить ноль: y(0) = c. То есть координаты этой точки будут соответствовать: (0; c).

На изображении отмечены основные параметры графика квадратичной функции:

Алгоритм построения параболы

Рассмотрим несколько способов построения квадратичной параболы. Наиболее удобный способ можно выбрать в соответствии с тем, как задана квадратичная функция.

Уравнение квадратичной функции имеет вид y = ax 2 + bx + c.

Разберем общий алгоритм на примере y = 2x 2 + 3x — 5.

Как строим:

Определим направление ветвей параболы. Так как а = 2 > 0, ветви параболы направлены вверх.

Найдем дискриминант квадратного трехчлена 2x 2 + 3x — 5.

D = b 2 — 4ac = 9 — 4 * 2 * (-5) = 49 > 0

В данном случае дискриминант больше нуля, поэтому парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ. Чтобы найти их координаты, решим уравнение:

2x 2 + 3x — 5 = 0 2 + 3x — 5 = 0″ png;base64,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»>

Координаты вершины параболы:

Точка пересечения с осью OY находится: (0; -5) и ей симметричная.

Нанести эти точки на координатную плоскость и построить график параболы:
2 + 3x — 5 = 0″ height=»671″ src=»https://lh6.googleusercontent.com/TYyA5dFfh0ZKINaPSps3Y_X1mCv8Mhv_8bNG3_dPbZud1AEsvo7UBFmVQNm1GcR1CQFo6HE1lNjYaAgepQUTQiK_ay_Fnuv7LEsB53woHkFO66W0R1PP8QfGsFcYzaR_h4AJdLxC» width=»602″>

Уравнение квадратичной функции имеет вид y = a * (x — x₀) 2 + y₀

Координаты его вершины: (x₀; y₀). В уравнении квадратичной функции y = 2x 2 + 3x — 5 при а = 1, то второй коэффициент является четным числом.

Рассмотрим пример: y = 2 * (x — 1) 2 + 4.

Как строим:

Воспользуемся линейным преобразованием графиков функций. Для этого понадобится:

построить y = x 2 ,

умножить ординаты всех точек графика на 2,

сдвинуть его вдоль оси ОХ на 1 единицу вправо,

сдвинуть его вдоль оси OY на 4 единицы вверх.

Построить график параболы для каждого случая. 2 + y₀» height=»431″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/_zgF-CXWf4Yy0p2OnBYSJkUm0zO-mNetq5feU6LIPEbIgSrO9kdr2ti_tr7Gg3yTMOlJVnuZgG0HleAFfAzG7yr7ELHT6KSMqMrRHkHqt-VcgIiSZx80cVj0zlPMBzEM0wAWQ-L6″ width=»602″>

Уравнение квадратичной функции имеет вид y = (x + a) × (x + b)

Рассмотрим следующий пример: y = (x − 2) × (x + 1).

Как строим:

Данный вид уравнения позволяет быстро найти нули функции:

(x − 2) × (x + 1) = 0, отсюда х₁ = 2, х₂ = −1.

Определим координаты вершины параболы:

Найти точку пересечения с осью OY:

с = ab = (−2) × (1) = −2 и ей симметричная.

Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим плавной прямой.

Парабола: формулы, примеры решения задач

Определение параболы. Параболой называется множество всех точек плоскости, таких, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от точки, называемой фокусом, и от прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус.

Каноническое уравнение параболы имеет вид:

,

где число p, называемое параметром параболы, есть расстояние от фокуса до директрисы.

На чертеже линия параболы — бордового цвета, директриса — ярко-красного цвета, расстояния от точки до фокуса и директрисы — оранжевого.

В математическом анализе принята другая запись уравнения параболы:

то есть ось параболы выбрана за ось координат. Можно заметить, что ax² — это квадратный трёхчлен ax² + bx + c , в котором b = 0 и c = 0 . График любого квадратного трёхчлена, то есть левой части квадратного уравнения, будет параболой.

Фокус параболы имеет координаты

Директриса параболы определяется уравнением .

Расстояние r от любой точки параболы до фокуса определяется формулой .

Для каждой из точек параболы расстояние до фокуса равно расстоянию до директрисы.

Пример 1. Определить координаты фокуса параболы

Решение. Число p расстояние от фокуса параболы до её директрисы. Начало координат в данном случае — в роли любой точки, расстояния от которой от фокуса до директрисы равны. Находим p:

Находим координаты фокуса параболы:

Пример 2. Составить уравнение директрисы параболы

Решение. Находим p:

Получаем уравнение директрисы параболы:

Пример 3. Составить уравнение параболы, если расстояние от фокуса до директрисы равно 2.

Решение. Параметр p — это и есть данное расстояние от фокуса до директрисы. Подставляем и получаем:

Траектория камня, брошенного под углом к горизонту, летящего футбольного мяча или артиллерийского снаряда будет параболой (при отсутствии сопротивления воздуха). Зона достижимости для пущенных камней вновь будет параболой. В данном случае речь идёт об огибающей кривой траекторий камней, выпущенных из данной точки под разными углами, но с одной и той же начальной скоростью.

Парабола обладает следующим оптическим свойством: все лучи, исходящие из источника света, находящегося в фокусе параболы, после отражения оказываются направленными параллельно её оси. Это свойство параболы используется при изготовлении прожекторов, автомобильных фар, карманных фонариков, зеркала которых имеют вид параболоидов вращения (фигур, получающихся при вращении параболы вокруг оси). Пучок параллельных лучей, двигающийся вдоль оси параболы, отражаясь, собирается в её фокусе.

Как построить параболу? Что такое парабола? Как решаются квадратные уравнения?

Урок: как построить параболу или квадратичную функцию?

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Парабола — это график функции описанный формулой ax 2 +bx+c=0.
Чтобы построить параболу нужно следовать простому алгоритму действий:

1 ) Формула параболы y=ax 2 +bx+c,
если а>0 то ветви параболы направленны вверх,
а 2 +bx+c=0;

a) Полное квадратное уравнение имеет вид ax 2 +bx+c=0 и решается по дискриминанту;
b) Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +bx=0. Чтобы его решить нужно вынести х за скобки, потом каждый множитель приравнять к 0:
ax 2 +bx=0,
х(ax+b)=0,
х=0 и ax+b=0;
c)Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +c=0. Чтобы его решить нужно неизвестные перенести в одну сторону, а известные в другую. x =±√(c/a);

4) Найти несколько дополнительных точек для построения функции.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

И так теперь на примере разберем все по действиям:
Пример №1:
y=x 2 +4x+3
c=3 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=3. Ветви параболы смотрят вверх так как а=1 1>0.
a=1 b=4 c=3 x=(-b)/2a=(-4)/(2*1)=-2 y= (-2) 2 +4*(-2)+3=4-8+3=-1 вершина находится в точке (-2;-1)
Найдем корни уравнения x 2 +4x+3=0
По дискриминанту находим корни
a=1 b=4 c=3
D=b 2 -4ac=16-12=4
x=(-b±√(D))/2a
x₁=(-4+2)/2=-1
x₂=(-4-2)/2=-3

Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=-2

х -4 -3 -1 0
у 3 0 0 3

Подставляем вместо х в уравнение y=x 2 +4x+3 значения
y=(-4) 2 +4*(-4)+3=16-16+3=3
y=(-3) 2 +4*(-3)+3=9-12+3=0
y=(-1) 2 +4*(-1)+3=1-4+3=0
y=(0) 2 +4*(0)+3=0-0+3=3
Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=-2

Пример №2:
y=-x 2 +4x
c=0 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=0. Ветви параболы смотрят вниз так как а=-1 -1 2 +4*2=-4+8=4 вершина находится в точке (2;4)
Найдем корни уравнения -x 2 +4x=0
Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +bx=0. Чтобы его решить нужно вынести х за скобки, потом каждый множитель приравнять к 0.
х(-x+4)=0, х=0 и x=4.

Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=2
х 0 1 3 4
у 0 3 3 0
Подставляем вместо х в уравнение y=-x 2 +4x значения
y=0 2 +4*0=0
y=-(1) 2 +4*1=-1+4=3
y=-(3) 2 +4*3=-9+13=3
y=-(4) 2 +4*4=-16+16=0
Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=2

Пример №3
y=x 2 -4
c=4 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=4. Ветви параболы смотрят вверх так как а=1 1>0.
a=1 b=0 c=-4 x=(-b)/2a=0/(2*(1))=0 y=(0) 2 -4=-4 вершина находится в точке (0;-4)
Найдем корни уравнения x 2 -4=0
Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +c=0. Чтобы его решить нужно неизвестные перенести в одну сторону, а известные в другую. x =±√(c/a)
x 2 =4
x₁=2
x₂=-2

Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=0
х -2 -1 1 2
у 0 -3 -3 0
Подставляем вместо х в уравнение y= x 2 -4 значения
y=(-2) 2 -4=4-4=0
y=(-1) 2 -4=1-4=-3
y=1 2 -4=1-4=-3
y=2 2 -4=4-4=0
Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=0

Подписывайтесь на канал на YOUTUBE, чтобы быть в курсе всех новинок и готовится с нами к экзаменам.

источники:

http://function-x.ru/curves_parabola.html

http://tutomath.ru/uroki/kak-postroit-parabolu.html

Источник

Сообщения без ответов | Активные темы

Как по точкам составить уравнение параболы

Модераторы: Prokop, mad_math

Автор

Сообщение

alexa125

Заголовок сообщения: Как по точкам составить уравнение параболы

Добавлено: 15 мар 2011, 21:58

Мастер

Зарегистрирован:
13 апр 2010, 11:56
Сообщений: 202
Cпасибо сказано: 32
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 2

Дан график параболы.

Точки (-8;0), (1;0) и (0,3)

Я забыла как по точкам составить уравнение параболы
Помогите, пожалуйста.

Вернуться к началу

alexa125

Заголовок сообщения: Re: Как по точкам составить уравнение параболы

Добавлено: 17 мар 2011, 10:12

Спасибо:) с=3 я сразу же нашла:)

Вернуться к началу

Похожие темы	Автор	Ответы	Просмотры	Последнее сообщение
Составить уравнение параболы в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики	sniperghost	1	986	11 ноя 2014, 21:11
Составить уравнение параболы в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра	HUEHUEHUE	1	1064	22 окт 2014, 15:36
Составить каноническое и полярное уравнение параболы в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра	middle	2	358	06 янв 2017, 16:37
Составить уравнение параболы зная фокус и вершину в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра	bhelp	1	773	19 дек 2016, 16:37
Получение коэф наклонной параболы по точкам в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра	Ignatyyy	0	329	27 ноя 2015, 19:59
Составить канонические уравнения эллипса, гиперболы,параболы в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра	LuluHate	0	90	23 ноя 2022, 15:16
Алгебраическое уравнение поверхности по точкам min max в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра	Zink	7	451	04 сен 2016, 10:53
Уравнение кривой по точкам и касательным в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра	rusty_cat	0	1074	24 авг 2015, 19:27
Уравнение параболы в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра	yaroslav1997	1	516	16 дек 2014, 01:24
Найти уравнение параболы в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра	ArsPol	1	669	25 окт 2013, 19:36

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1

Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group

Вы можете создать форум бесплатно PHPBB3 на Getbb.Ru, Также возможно сделать готовый форум PHPBB2 на Mybb2.ru

Русская поддержка phpBB

Источник

С квадратными уравнениями мы уже встречались в курсе алгебры (7)-го класса.

Квадратное уравнение — это уравнение второй степени. Общий вид квадратного уравнения

ax2+bx+c=0

, где (а, b, с) могут быть любыми числами и

a≠0

Применяя знания о функциях и их графиках, которые нам известны, мы можем решать некоторые квадратные уравнения. Рассмотрим (5) графических способов решения квадратного уравнения

x2−2x−8=0

Первый способ

Построим график функции

x2−2x−8=0

1. Имеем: (a = 1), (b = -2),

x0=−b2a=1,y0=f(1)=12−2−8=−9

. Значит, вершиной параболы служит точка ((1; -9)), а осью параболы является прямая (x = 1).

2. Возьмём на оси (x) две точки, симметричные относительно оси параболы, например, точки (x = -2) и (x = 4). Имеем (f(-2) = f(4) = 0). Построим на координатной плоскости точки ((-2; 0)) и ((4; 0)).

3. Построим параболу по точкам ((-2; 0)), ((1; -9)), ((4; 0)).

Корни уравнения

x2−2x−8=0

— это первые координаты точек, в которых функция равна нулю (то есть в которых график пересекает ось (х)); поэтому имеем решение:

x1=−2;x2=4

Второй способ

Запишем уравнение в другом виде

x2=2x+8

. Рассмотрим функции в левой и правой частях уравнения

y=x2;y=2x+8

. В одной системе координат построим их графики и найдём точки пересечения графиков:

Получили две точки:: (C(- 2; 4)) и (D(4; 16)). Решением уравнения будут первые координаты точек (C) и (D), имеем:

x1=−2;x2=4

Преобразуем уравнение к виду

x2−8=2x

. Построим в одной системе координат графики функций:

y=x2−8;y=2x

и определим точки их пересечения:

Получили две точки: (C(-2; — 4)) и (D(4; 8)). Решением уравнения будут первые координаты точек (C) и (D), то есть

x1=−2;x2=4

Четвёртый способ

Преобразуем уравнение к виду

x2−2x+1−9=0

и далее

x2−2x+1=9→x−12=9

.
Построим в одной системе координат параболу

y=x−12

, прямую (y = 9) и определим точки их пересечения:

Получили две точки: (C(-2; 9)) и (D(4; 9)). Решением уравнения будут первые координаты точек (C) и (D), поэтому

x1=−2;x2=4

Пятый способ

Так как (x=0) не является корнем уравнения, то разделим левую и правую части на (x):

x−2−8x=0;x−2=8x.

Рассмотрим функции в левой и правой частях уравнения

y=8x

, (y = x — 2) и определим точки их пересечения:

Получили две точки: (A (-2; -4)) и (B(4; 2)). Решением уравнения будут первые координаты точек (A) и (B), следовательно,

x1=−2;x2=4

Источник

Парабола — это график функции описанный определённой формулой. Чтобы построить параболу нужно следовать формуле, определениям и уравнениям.

Парабола

Парабола – это множество точек плоскости, которые равноотделённые от заданной точки, что называется фокусом и заданной прямой под названием директриса.

Чтобы получить каноническое уравнение параболы, расположим директрису перпендикулярно оси , а фокус на оси так, чтобы начало координат помещался на одинаковом расстоянии от них (см. рис. 1). Обозначим через расстояние от фокуса к директрисе, тогда у фокуса будут координаты , .

Для произвольной точки параболы расстояний , а расстояние к директрисе . По определению из рис. 1 видим, что , а ${r} = sqrt{x - {pover{2}}^2} + y^2$ и поэтому:

Рис. 1

$sqrt{(x - {pover{2}})^2 + y^2} = x + {pover{2}}to{x}^2 - 2 * {pover2}}x + {p^2over{4}} + y^2 = x^2 + 2 * {pover{2}}x + {p^2over{4}}$

(1)

– каноническое уравнение параболы.

Нужна помощь в написании работы?

Написание учебной работы за 1 день от 100 рублей. Посмотрите отзывы наших клиентов и узнайте стоимость вашей работы.

Подробнее

Что такое вершина параболы

Вершина параболы – это парабола, которая проходит через точки . Если точка $M_{1}(x , y)$ принадлежит параболе, то и $M_{2}(x , -y)$ тоже принадлежит параболе, так как из:

$y^2 = 2pxto{(-y)^2 = 2px}$ .

Значит, парабола симметрична относительно оси , её график достаточно построить в первой четверти, где из канонического уравнения параболы получается, что:

Чтобы найти вершину параболы, необходимо знать формулу: .

Давайте посмотрим, как данная формула действует, допустим дано уравнение:

Тогда:

, , . Чтобы найти величины , и , в квадратном уравнении коэффициент при , при , постоянная (коэффициент без переменной) = . Если взять тот же пример, , получается, что:

, , .

Форма и характеристики параболы

Исследуем за каноническим уравнением форму и расположение параболы:

1. В уравнении переменная входит в парной степени откуда получается, что парабола симметрична относительно оси . Ось – это ось, которая симметрична параболе.

2. Так как , тогда , откуда получается, что парабола расположена справа от оси .

3. При мы имеем , то есть парабола проходит через начало координат. Точка – это вершина параболы.

4. При увеличении значений переменной модуль тоже возрастает. Изобразим параболу на рисунке:

Рис. 2

5. В полярной системе координат, у канонического уравнения параболы такой вид:

6. Уравнение , , , тоже описывают параболы:

Рис. 3

Оптическое свойство параболы

У параболы “оптическое” свойство, если: в фокусе параболы поместить источник света, тогда отбитые от параболы лучи будут параллельными оси . Это свойство учитывают при изготовлении прожекторов, зеркальных телескопов, теле- и радио антенн.

При положительном уравнении:

описывают параболу симметричную относительно с вершиной в точке , ветви которой направлены влево (рис. 3 (а)).

Аналогично изложенному, уравнение и описывают параболы с вершиной в точке симметрично относительно , ветви которой направлены соответственно вверх и вниз (см. рис. 3 (б) и (в)). Если например, уравнение решить относительно

$y = {1over{2p}}x^2$ и обозначить , тогда получим известное со школьного курса уравнение параболы . Теперь её фокусное расстояние .

Примеры решения

Задача

Найти координаты фокуса и составить уравнение директрисы параболы .

Решение

Сравнивая каноническое уравнение и данное , получим , , тогда. Так как уравнение директрисы , тогда в данном случае .

Ответ

координаты фокуса: , а уравнение директрисы параболы: .

Задача

Составить каноническое уравнение параболы:

а) с фокусом в точке ;

б) с фокусом в точке .

Решение

а). Так как фокус на положительной полуоси , тогда парабола симметрична относительно с вершиной в точке и , поэтому и согласно формуле (1) .

б). Фокус лежит на отрицательной полуоси с вершиной в точке , ветви направлены вниз, каноническое уравнение следует искать в виде . Фокусное расстояние параболы и уравнение запишется .

Ответ

а) каноническое уравнение параболы с фокусом в точке : ;

б) каноническое уравнение с фокусом в точке : .

Задача

Показать путём выделения полного квадрата, что уравнение – это уравнение параболы. Привести его к каноническому виду. Найти вершину, фокус, ось и директрису этой параболы.

Решение

Выделим относительно переменной полный квадрат

= $0to{4(x^2 - 3x)} + y + 6$ = $0to{4((x^2 - 2 * {3over{2}}x + {9over{4}}) - {9over{4}}) + y + 6$ = $0}to{4((x - {3over{2}}})^2 - 9 + y + 6$ = = $-4(x - {3over{2}})^2}to{(x - {3over{2}})^2}$ = .

Обозначим $y_{1} = y - 3$ , $x_{1} = x - {3over{2}}$ . Тогда в результате параллельного переноса координатных осей в новое начало, то есть в точку $O_{1}({3over{2}}, 3)$ , получим каноническое уравнение параболы ${x_{1}^2} = -{1over{4}}y_{1}$ .

Ветви этой параболы направлены вниз симметрично относительно оси $O_{1}Y_{1}$ , , – фокусное расстояние. В новой системе координат фокус находится в точке , уравнение директрисы в новой системе $y_{1} = {1over{16}}$ .

Повернёмся к старым координатам при помощи замены $y_{1} = y - 3$ , $x_{1} = x - {3over{2}}$ . Уравнение оси в новой системе $x_{1} = 0$ , а в старой – уравнение оси параболы.

Уравнение директрисы в новой системе координат $y_{1} = {1over{16}}$ , а в старой .

В новой системе $X_{1}O_{1}Y_{1}$ для фокуса $F(0, -{1over{16}}) x_{1} = 0$ , $y_{1} = -{1over{16}}$ , а в старой системе $x_{F} - {3over{2}} = 0to{x_{F}} = {3over{2}}$ , $y_{F} - 3 = -{1over{16}}to{y_{F} = -{1over{16}} + 3to{y_{F}} = {47over{16}}$ , то есть .

Ответ

Каноническое уравнение параболы – ${x_{1}^2} = -{1over{4}}y_{1}$ ;

вершина – ветви параболы направлены вниз;

$O_{1}Y_{1}$ , , $p_{2} = -{1over{16}}$ – фокусное расстояние, а фокус находится в точке ;

уравнение оси $x_{1} = 0$ ;

уравнение директрисы $y_{1} = {1over{16}}$ .

Источник