Как составить уравнение по математике по схеме

Как составить уравнение по схеме математика

Составить уравнение — значит выразить в математической форме связь между данными (известными) задачи и искомыми (неизвестными) ее величинами. Иногда эта связь, настолько явно содержится в формулировке задачи, что составление уравнения есть просто дословный пересказ задачи, на языке математических знаков.

Пример 1

Петров получил за работу на 160 руб. больше, чем половина суммы, которую получил Иванов. Вместе они получили 1120 руб. Сколько получили за работу Петров и Иванов?

Обозначим через х заработок Иванова. Половина его заработка есть 0,5x ; месячной заработок Петрова 0,5x + 160 вместе они зарабатывают 1120 руб.; математическая запись последней фразы будет

Уравнение составлено. Решая его по раз установленным правилам, находим, заработок Иванова х = 640руб.; заработок же Петрова 0,5x + 160 = 480 (руб.).

Чаще, однако, случается, что связь между данными и искомыми величинами не указывается в задаче прямо; ее нужно установить, исходя из условий задачи. В практических задачах так и бывает почти всегда. Только что приведенный пример носит надуманный характер; в жизни почти никогда подобных задач не встречается.

Для составления уравнения поэтому нельзя дать вполне исчерпывающих указаний. Однако на первых порах полезно руководствоваться следующим. Примем за значение искомой величины (или нескольких величин) какое-нибудь наугад взятое число (или несколько чисел) и поставим себе задачу проверить, угадали ли мы правильное решение задачи или нет. Если мы сумели провести эту проверку и обнаружить либо то, что догадка наша верна, либо то, что она неверна (скорее всего случится, конечно, второе), то мы немедленно можем составить нужное уравнение (или несколько уравнений). Именно, запишем те самые действия, которые мы производили для проверки, только вместо наугад взятого числа введем буквенной знак неизвестной величины. Мы получим требуемое уравнение.

Пример 1

Кусок сплава меди и цинка объемом в 1 дм 3 весит 8,14 кг. Сколько меди содержится в сплаве? (уд. вес меди 8,9 кг/дм 3 ; цинка — 7,0 кг/дм 3 ).

Возьмем наугад число, выражающее искомый объем меди, например 0,3 дм 3 . Проверим, удачно ли мы взяли это число. Так как 1 кг/дм 3 меди весит 8,9 кг, то 0,3 дм 3 весят 8,9 * 0,3 = 2,67 (кг). Объем цинка в сплаве есть 1 — 0,3 = 0,7 (дм 3 ). Вес его 7,0 * 0,7 = 4,9 (кг). Общий вес цинка и меди 2,67+ +4,9 = 7,57 (кг). Между тем вес нашего куска, по условию задачи, 8,14 кг. Догадка наша несостоятельна. Но зато мы немедленно получим уравнение решение которого даст правильный ответ. Вместо наугад взятого числа 0,3 дм 3 обозначим объем меди (в дм 3 ) через х. Вместо произведения 8,9 * 0,3 = 2,67 берем произведшие 8,9 x. Это — вес меди в сплаве. Вместо 1 – 0,3 = 0,7 берем 1 — х; это — объем цинка. Вместо 7,0 * 0,7 = 4,9 берем 7,0 (1 — x); это — вес цинка. Вместо 2,67 + 4,9 берем 8,9х + 7,0 (1 — х); это — общий вес цинка и меди. По условию он равен 8,14 кг; значит, 8,9х +7,0 (1 — x) = 8,14.

Решение этого уравнения дает x = 0,6. Проверку наугад взятого решения можно делать различными способами; соответственно этому можно получить для одной и той же задачи различные виды уравнения; все они, однако, дадут для искомой величины одно и, то же решение, такие уравнения называются равносильными друг другу.

Разумеется, после получения навыков в составлении уравнений нет нужды производить проверку наугад взятого числа: можно для значения искомой величины брать не число, а какую-нибудь букву (х, у и т. д.) и поступать так, как если бы эта буква (неизвестное) была тем числом, проверить которое мы собираемся.

Источник

Решение простых линейных уравнений

В этом видео мы разберём целый комплект линейных уравнений, которые решаются по одному и тому же алгоритму — потому и они и называются простейшими.

Для начала определимся: что такое линейное уравнение и какое их них называть простейшим?

— такое, в котором присутствует лишь одна переменная, причём исключительно в первой степени.

Под простейшим уравнением подразумевается конструкция:

Все остальные линейные уравнения сводятся к простейшим с помощью алгоритма:

1. Раскрыть скобки, если они есть;
2. Перенести слагаемые, содержащие переменную, в одну сторону от знака равенства, а слагаемые без переменной — в другую;
3. Привести подобные слагаемые слева и справа от знака равенства;
4. Разделить полученное уравнение на коэффициент при переменной $x$ .

Разумеется, этот алгоритм помогает не всегда. Дело в том, что иногда после всех этих махинаций коэффициент при переменной $x$ оказывается равен нулю. В этом случае возможны два варианта:

1. Уравнение вообще не имеет решений. Например, когда получается что-нибудь в духе $0cdot x=8$, т.е. слева стоит ноль, а справа — число, отличное от нуля. В видео ниже мы рассмотрим сразу несколько причин, по которым возможна такая ситуация.
2. Решение — все числа. Единственный случай, когда такое возможно — уравнение свелось к конструкции $0cdot x=0$. Вполне логично, что какой бы $x$ мы ни подставили, все равно получится «ноль равен нулю», т.е. верное числовое равенство.

А теперь давайте посмотрим, как всё это работает на примере реальных задач.

Примеры решения уравнений

Сегодня мы занимаемся линейными уравнениями, причем только простейшими. Вообще, под линейным уравнением подразумевается всякое равенство, содержащее в себе ровно одну переменную, и она идет лишь в первой степени.

Решаются такие конструкции примерно одинаково:

1. Прежде всего необходимо раскрыть скобки, если они есть (как в нашем последнем примере);
2. Затем свести подобные
3. Наконец, уединить переменную, т.е. всё, что связано с переменной — слагаемые, в которых она содержится — перенести в одну сторону, а всё, что останется без неё, перенести в другую сторону.

Затем, как правило, нужно привести подобные с каждой стороны полученного равенства, а после этого останется лишь разделить на коэффициент при «иксе», и мы получим окончательный ответ.

В теории это выглядит красиво и просто, однако на практике даже опытные ученики старших классов могут допускать обидные ошибки в достаточно простых линейных уравнениях. Обычно ошибки допускаются либо при раскрытии скобок, либо при подсчёте «плюсов» и «минусов».

Кроме того, бывает так, что линейное уравнение вообще не имеет решений, или так, что решением является вся числовая прямая, т.е. любое число. Эти тонкости мы и разберем в сегодняшнем уроке. Но начнем мы, как вы уже поняли, с самых простых задач.

Схема решения простейших линейных уравнений

Для начала давайте я еще раз напишу всю схему решения простейших линейных уравнений:

1. Раскрываем скобки, если они есть.
2. Уединяем переменные, т.е. все, что содержит «иксы» переносим в одну сторону, а без «иксов» — в другую.
3. Приводим подобные слагаемые.
4. Разделяем все на коэффициент при «иксе».

Разумеется, эта схема работает не всегда, в ней есть определенные тонкости и хитрости, и сейчас мы с ними и познакомимся.

Решаем реальные примеры простых линейных уравнений

Задача №1

На первом шаге от нас требуется раскрыть скобки. Но их в этом примере нет, поэтому пропускаем данный этап. На втором шаге нам нужно уединить переменные. Обратите внимание: речь идет лишь об отдельных слагаемых. Давайте запишем:

Приводим подобные слагаемые слева и справа, но тут уже это сделано. Поэтому переходим к четвертому шагу: разделить на коэффициент:

Задача №2

В этой задаче мы можем наблюдать скобки, поэтому давайте раскроем их:

И слева и справа мы видим примерно одну и ту же конструкцию, но давайте действовать по алгоритму, т.е. уединяем переменные:

При каких корнях это выполняется. Ответ: при любых. Следовательно, можно записать, что $x$ — любое число.

Задача №3

Третье линейное уравнение уже интересней:

[left( 6-x right)+left( 12+x right)-left( 3-2x right)=15]

Тут есть несколько скобок, однако они ни на что не умножаются, просто перед ними стоят различные знаки. Давайте раскроем их:

Выполняем второй уже известный нам шаг:

Выполняем последний шаг — делим все на коэффициент при «икс»:

Что необходимо помнить при решении линейных уравнений

Если отвлечься от слишком простых задач, то я бы хотел сказать следующее:

• Как я говорил выше, далеко не каждое линейное уравнение имеет решение — иногда корней просто нет;
• Даже если корни есть, среди них может затесаться ноль — ничего страшного в этом нет.

Ноль — такое же число, как и остальные, не стоит его как-то дискриминировать или считать, что если у вас получился ноль, то вы что-то сделали неправильно.

Еще одна особенность связана с раскрытием скобок. Обратите внимание: когда перед ними стоит «минус», то мы его убираем, однако в скобках знаки меняем на противоположные. А дальше мы можем раскрывать ее по стандартным алгоритмам: мы получим то, что видели в выкладках выше.

Понимание этого простого факта позволит вам не допускать глупые и обидные ошибки в старших классах, когда выполнение подобных действий считается самим собой разумеющимся.

Решение сложных линейных уравнений

Перейдем к более сложным уравнениям. Теперь конструкции станут сложнее и при выполнении различных преобразований возникнет квадратичная функция. Однако не стоит этого бояться, потому что если по замыслу автора мы решаем линейное уравнение, то в процессе преобразования все одночлены, содержащие квадратичную функцию, обязательно сократятся.

Пример №1

[12-left( 1-6x right)x=3xleft( 2x-1 right)+2x]

Очевидно, что первым делом нужно раскрыть скобки. Давайте это сделаем очень аккуратно:

[12-left( x-6xcdot x right)=3xcdot 2x-3x+2x]

Теперь займемся уединением:

Очевидно, что у данного уравнения решений нет, поэтому в ответе так и запишем:

Пример №2

[8left( 2x-1 right)-5left( 3x+0,8 right)=x-4]

Выполняем те же действия. Первый шаг:

[8cdot 2x-8-left( 5cdot 3x+5cdot 0,8 right)=x-4]

Перенесем все, что с переменной, влево, а без нее — вправо:

Очевидно, что данное линейное уравнение не имеет решения, поэтому так и запишем:

Нюансы решения

Оба уравнения полностью решены. На примере этих двух выражений мы ещё раз убедились, что даже в самых простых линейных уравнениях всё может быть не так просто: корней может быть либо один, либо ни одного, либо бесконечно много. В нашем случае мы рассмотрели два уравнения, в обоих корней просто нет.

Но я бы хотел обратить ваше внимание на другой факт: как работать со скобками и как их раскрывать, если перед ними стоит знак «минус». Рассмотрим вот это выражение:

[12-left( 1-6x right)x=3xleft( 2x-1 right)+2x]

Прежде чем раскрывать, нужно перемножить всё на «икс». Обратите внимание: умножается каждое отдельное слагаемое. Внутри стоит два слагаемых — соответственно, два слагаемых и умножается.

И только после того, когда эти, казалось бы, элементарные, но очень важные и опасные преобразования выполнены, можно раскрывать скобку с точки зрения того, что после неё стоит знак «минус». Да, да: только сейчас, когда преобразования выполнены, мы вспоминаем, что перед скобками стоит знак «минус», а это значит, что все, что в низ, просто меняет знаки. При этом сами скобки исчезают и, что самое главное, передний «минус» тоже исчезает.

Точно также мы поступаем и со вторым уравнением:

[8left( 2x-1 right)-5left( 3x+0,8 right)=x-4]

Я не случайно обращаю внимание на эти мелкие, казалось бы, незначительные факты. Потому что решение уравнений — это всегда последовательность элементарных преобразований, где неумение чётко и грамотно выполнять простые действия приводит к тому, что ученики старших классов приходят ко мне и вновь учатся решать вот такие простейшие уравнения.

Разумеется, придёт день, и вы отточите эти навыки до автоматизма. Вам уже не придётся каждый раз выполнять столько преобразований, вы всё будете писать в одну строчку. Но пока вы только учитесь, нужно писать каждое действие отдельно.

Решение ещё более сложных линейных уравнений

То, что мы сейчас будем решать, уже сложно назвать простейшими задача, однако смысл остается тем же самым.

Задача №1

[left( 7x+1 right)left( 3x-1 right)-21<^<2>>=3]

Давайте перемножим все элементы в первой части:

[7xcdot 3x+7xcdot left( -1 right)+1cdot 3x+1cdot left( -1 right)-21<^<2>>=3]

Давайте выполним уединение:

Вот наш окончательный ответ. И, несмотря на то, что у нас в процессе решения возникали коэффициенты с квадратичной функцией, однако они взаимно уничтожились, что делает уравнение именно линейным, а не квадратным.

Задача №2

[left( 1-4x right)left( 1-3x right)=6xleft( 2x-1 right)]

Давайте аккуратно выполним первый шаг: умножаем каждый элемент из первой скобки на каждый элемент из второй. Всего должно получиться четыре новых слагаемых после преобразований:

[1cdot 1+1cdot left( -3x right)+left( -4x right)cdot 1+left( -4x right)cdot left( -3x right)=6xcdot 2x+6xcdot left( -1 right)]

А теперь аккуратно выполним умножение в каждом слагаемом:

Перенесем слагаемые с «иксом» влево, а без — вправо:

Приводим подобные слагаемые:

Мы вновь получили окончательный ответ.

Нюансы решения

Важнейшее замечание по поводу этих двух уравнений состоит в следующем: как только мы начинаем умножать скобки, в которых находится более чем оно слагаемое, то выполняется это по следующему правилу: мы берем первое слагаемое из первой и перемножаем с каждым элементом со второй; затем берем второй элемент из первой и аналогично перемножаем с каждым элементом со второй. В итоге у нас получится четыре слагаемых.

Об алгебраической сумме

На последнем примере я хотел бы напомнить ученикам, что такое алгебраическая сумма. В классической математике под $1-7$ мы подразумеваем простую конструкцию: из единицы вычитаем семь. В алгебре же мы подразумеваем под этим следующее: к числу «единица» мы прибавляем другое число, а именно «минус семь». Этим алгебраическая сумма отличается от обычной арифметической.

Как только при выполнении всех преобразований, каждого сложения и умножения вы начнёте видеть конструкции, аналогичные вышеописанным, никаких проблем в алгебре при работе с многочленами и уравнениями у вас просто не будет.

В заключение давайте рассмотрим ещё пару примеров, которые будут ещё более сложными, чем те, которые мы только что рассмотрели, и для их решения нам придётся несколько расширить наш стандартный алгоритм.

Решение уравнений с дробью

Для решения подобных заданий к нашему алгоритму придется добавить еще один шаг. Но для начала я напомню наш алгоритм:

1. Раскрыть скобки.
2. Уединить переменные.
3. Привести подобные.
4. Разделить на коэффициент.

Увы, этот прекрасный алгоритм при всей его эффективности оказывается не вполне уместным, когда перед нами дроби. А в том, что мы увидим ниже, у нас и слева, и справа в обоих уравнениях есть дробь.

Как работать в этом случае? Да всё очень просто! Для этого в алгоритм нужно добавить ещё один шаг, который можно совершить как перед первым действием, так и после него, а именно избавиться от дробей. Таким образом, алгоритм будет следующим:

1. Избавиться от дробей.
2. Раскрыть скобки.
3. Уединить переменные.
4. Привести подобные.
5. Разделить на коэффициент.

Что значит «избавиться от дробей»? И почему выполнять это можно как после, так и перед первым стандартным шагом? На самом деле в нашем случае все дроби являются числовыми по знаменателю, т.е. везде в знаменателе стоит просто число. Следовательно, если мы обе части уравнения домножим на это число, то мы избавимся от дробей.

Пример №1

Давайте избавимся от дробей в этом уравнении:

Обратите внимание: на «четыре» умножается все один раз, т.е. если у вас две скобки, это не значит, что каждую из них нужно умножать на «четыре». Запишем:

[left( 2x+1 right)left( 2x-3 right)=left( <^<2>>-1 right)cdot 4]

[2xcdot 2x+2xcdot left( -3 right)+1cdot 2x+1cdot left( -3 right)=4<^<2>>-4]

Выполняем уединение переменной:

Выполняем приведение подобных слагаемых:

[-4x=-1left| :left( -4 right) right.]

Мы получили окончательное решение, переходим ко второму уравнению.

Пример №2

Здесь выполняем все те же действия:

[1cdot 1+1cdot 5x+left( -x right)cdot 1+left( -x right)cdot 5x+5<^<2>>=5]

Вот, собственно, и всё, что я хотел сегодня рассказать.

Ключевые моменты

Ключевые выводы следующие:

• Знать алгоритм решения линейных уравнений.
• Умение раскрывать скобки.
• Не стоит переживать, если где-то у вас появляются квадратичные функции, скорее всего, в процессе дальнейших преобразований они сократятся.
• Корни в линейных уравнениях, даже самых простых, бывают трех типов: один единственный корень, вся числовая прямая является корнем, корней нет вообще.

Надеюсь, этот урок поможет вам освоить несложную, но очень важную для дальнейшего понимания всей математики тему. Если что-то непонятно, заходите на сайт, решайте примеры, представленные там. Оставайтесь с нами, вас ждет еще много интересного!

Источник

Решение задач с помощью уравнений

Решение задачи обычно свóдится к тому, чтобы путем логических рассуждений и вычислений найти значение какой-нибудь величины. Например, найти скорость, время, расстояние, массу какого-нибудь предмета или количество чего-то.

Такую задачу можно решить с помощью уравнения. Для этого искомое значение обозначают через переменную, затем путем логических рассуждений составляют и решают уравнение. Решив уравнение, производят проверку на то, удовлетворяет ли решение уравнения условиям задачи.

Запись выражений, содержащих неизвестное

Решение задачи сопровождается составлением уравнения к этой задаче. На начальном этапе изучения задач желательно научиться составлять буквенные выражения, описывающие ту или иную жизненную ситуацию. Этот этап не является сложным и его можно изучать в процессе решения самой задачи.

Рассмотрим несколько ситуаций, которые можно записать с помощью математического выражения.

Задача 1. Возраст отца x лет. Мама на два года младше. Сын младше отца в 3 раза. Запишите возраст каждого с помощью выражений.

Решение:

Задача 2. Возраст отца x лет, мама на 2 года младше отца. Сын младше отца в 3 раза, дочь младше матери в 3 раза. Запишите возраст каждого с помощью выражений.

Решение:

Задача 3. Возраст отца x лет, мама на 3 года младше отца. Сын младше отца в 3 раза, дочь младше матери в 3 раза. Сколько лет каждому, если общий возраст отца, мамы, сына и дочери составляет 92 года?

Решение:

В данной задаче помимо записи выражений, необходимо вычислить возраст каждого члена семьи.

Сначала запишем возраст каждого члена семьи с помощью выражений. За переменную x примем возраст отца, и далее пользуясь этой переменной составим остальные выражения:

Теперь определим возраст каждого члена семьи. Для этого нам нужно составить и решить уравнение. Все компоненты уравнения у нас уже готовы. Осталось только собрать их воедино.

Общий возраст в 92 года получился путем сложения возрастов папы, мамы, сына и дочери:

Для каждого возраста мы составили математическое выражение. Эти выражения и будут компонентами нашего уравнения. Давайте соберем наше уравнение согласно данной схеме и таблице, которая была приведена выше. То есть слова папа, мама, сын, дочь заменим на соответствующее им в таблице выражение:

Выражение, отвечающее за возраст мамы x − 3, для наглядности было взято в скобки.

Теперь решим получившееся уравнение. Для начала можно раскрыть скобки там, где это можно:

Чтобы освободить уравнение от дробей, умножим обе части на 3

Решим получившееся уравнение, пользуясь известными тождественными преобразованиями:

Мы нашли значение переменной x . Эта переменная отвечала за возраст отца. Значит возраст отца составляет 36 лет.

Зная возраст отца, можно вычислить возрасты остальных членов семьи. Для этого нужно подставить значение переменной x в те выражения, которые отвечают за возраст конкретного члена семьи.

В задаче было сказано, что мама на 3 года младше отца. Ее возраст мы обозначили через выражение x−3. Значение переменной x теперь известно, и чтобы вычислить возраст мамы, нужно в выражении x − 3 вместо x подставить найденное значение 36

x − 3 = 36 − 3 = 33 года маме.

Аналогично определяется возраст остальных членов семьи:

Проверка:

Задача 4. Килограмм яблок стоит x рублей. Запишите выражение, вычисляющее сколько килограмм яблок можно купить на 300 рублей.

Решение

Если килограмм яблок стоит x рублей, то на 300 рублей можно купить килограмм яблок.

Пример. Килограмм яблок стоит 50 рублей. Тогда на 300 рублей можно купить , то есть 6 килограмм яблок.

Задача 5. На x рублей было куплено 5 кг яблок. Запишите выражение, вычисляющее сколько рублей стоит один килограмм яблок.

Решение

Если за 5 кг яблок было уплачено x рублей, то один килограмм будет стоит рублей

Пример. За 300 рублей было куплено 5 кг яблок. Тогда один килограмм яблок будет стоит , то есть 60 рублей.

Задача 6. Том, Джон и Лео на перемене пошли в столовую и купили по бутерброду и по кружке кофе. Бутерброд стоит x рублей, а кружка кофе — 15 рублей. Определите стоимость бутерброда, если известно, что за всё было уплачено 120 рублей?

Решение

Конечно, данная задача проста как три копейки и ее можно решить не прибегая к уравнению. Для этого из 120 рублей нужно вычесть стоимость трех кружек кофе (15 × 3) , и полученный результат разделить на 3

Но наша цель — составить уравнение к задаче и решить это уравнение. Итак, стоимость бутерброда x рублей. Куплено их всего три. Значит увеличив стоимость в три раза, мы получим выражение описывающее сколько рублей было уплачено за три бутерброда

3x — стоимость трех бутербродов

А стоимость трех кружек кофе можно записать как 15 × 3 . 15 это стоимость одной кружки кофе, а 3 множитель (Том, Джон и Лео), увеличивающий эту стоимость в три раза.

По условию задачи за все уплачено 120 рублей. У нас уже появляется примерная схема, что нужно делать:

Выражения, описывающие стоимость трех бутербродов и трех кружек кофе, у нас уже готовы. Это выражения 3x и 15 × 3 . Пользуясь схемой составим уравнение и решим его:

Итак, стоимость одного бутерброда составляет 25 рублей.

Задача решается верно только в том случае, если уравнение к ней составлено правильно. В отличие от обычных уравнений, по которым мы учимся находить корни, уравнения для решения задач имеют своё конкретное применение. Каждый компонент такого уравнения может быть описан в словесной форме. Составляя уравнение, обязательно нужно понимать для чего мы включаем в его состав тот или иной компонент и зачем он нужен.

Также необходимо помнить, что уравнение это равенство, после решения которого левая часть должна будет равняться правой части. Составленное уравнение не должно противоречить этой идее.

Представим, что уравнение это весы с двумя чашами и экраном, показывающим состояние весов.

В данный момент экран показывает знак равенства. Понятно почему левая чаша равна правой чаше — на чашах ничего нет. Состояние весов и отсутствие на чашах чего-либо запишем с помощью следующего равенства:

Положим на левую чашу весов арбуз:

Левая чаша перевесила правую чашу и экран забил тревогу, показав знак не равно ( ≠ ). Этот знак говорит о том, что левая чаша не равна правой чаше.

Теперь попробуем решить задачу. Пусть требуется узнать сколько весит арбуз, который лежит на левой чаше. Но как это узнать? Ведь наши весы предназначены только для проверки равна ли левая чаша правой.

На помощь приходят уравнения. Вспомним, что уравнение по определению есть равенство, содержащее в себе переменную значение которой требуется найти. Весы в данном случае играют роль этого самого уравнения, а масса арбуза это переменная, значение которой нужно найти. Наша цель правильно составить это уравнение. Понимай, выровнять весы так, чтобы можно было вычислить массу арбуза.

Чтобы выровнять весы, на правую чашу можно положить какой-нибудь тяжелый предмет. Например, положим туда гирю массой 7 кг.

Теперь наоборот правая чаша перевесила левую. Экран по прежнему показывает, что чаши не равны.

Попробуем на левую чашу положить гирю массой 4 кг

Теперь весы выровнялись. На рисунке видно, что левая чаша на уровне правой чаши. А экран показывает знак равенства. Этот знак говорит о том, что левая чаша равна правой чаше.

Таким образом мы получили уравнение — равенство, содержащее неизвестное. Левая чаша — это левая часть уравнения, состоящая из компонентов 4 и переменной x (массы арбуза), а правая чаша — это правая часть уравнения, состоящая из компонента 7.

Ну и нетрудно догадаться, что корень уравнения 4 + x = 7 равен 3. Значит масса арбуза равна 3 кг.

Аналогично дела обстоят и с другими задачами. Чтобы найти какое-нибудь неизвестное значение, к левой или к правой части уравнения добавляют различные элементы: слагаемые, множители, выражения. В школьных задачах эти элементы бывают уже даны. Остается только правильно структурировать их и построить уравнение. Мы же в данном примере занимались подбором, пробуя гири разной массы, чтобы вычислить массу арбуза.

Естественно, те данные которые даны в задаче сначала нужно привести к виду, при котором их можно включить в уравнение. Поэтому, как говорят «хочешь не хочешь, а думать придётся».

Рассмотрим следующую задачу. Возраст отца равен возрасту сына и дочери вместе. Сын вдвое старше дочери и на двадцать лет моложе отца. Сколько лет каждому?

Возраст дочери можно обозначить через x . Если сын вдвое старше дочери, то его возраст будет обозначаться как 2x . В условии задачи сказано, что вместе возраст дочери и сына равен возрасту отца. Значит возраст отца будет обозначаться суммой x + 2x

В выражении можно привести подобные слагаемые. Тогда возраст отца будет обозначаться как 3x

Теперь составим уравнение. Нам нужно получить равенство в котором можно найти неизвестное x . Воспользуемся весами. На левую чашу положим возраст отца (3x) , а на правую чашу возраст сына (2x)

Понятно почему левая чаша перевесила правую и почему экран показывает знак ( ≠ ) . Ведь логично, что возраст отца больше возраста сына.

Но нам нужно уравнять весы, чтобы можно было вычислить неизвестное x . Для этого к правой чаше нужно прибавить какое-нибудь число. Какое именно число указано в задаче. В условии было сказано, что сын моложе отца на 20 лет. Значит 20 лет это то самое число, которое нужно положить на весы.

Весы выровнятся, если мы эти 20 лет добавим на правую чашу весов. Иными словами, вырастим сына до возраста отца

Теперь весы выровнялись. Получилось уравнение , которое решается легко:

В начале решения данной задачи через переменную x мы обозначили возраст дочери. Теперь мы нашли значение этой переменной. Дочери 20 лет.

Далее было сказано, что сын двое старше дочери, значит сыну (20 × 2) , то есть 40 лет.

Ну и наконец вычислим возраст отца. В задаче было сказано, что он равен сумме возрастов сына и дочери, то есть (20 + 40) лет.

Вернемся к середине задачи и обратим внимание на один момент. Когда мы положили на весы возраст отца и возраст сына, левая чаша перевесила правую

Но мы решили эту проблему, добавив на правую чашу еще 20 лет. В результате весы выровнялись и мы получили равенство

Но можно было не добавлять к правой чаше эти 20 лет, а вычесть их из левой. Мы получили бы равенство и в таком случае

В этот раз получается уравнение . Корень уравнения по прежнему равен 20

То есть уравнения и являются равносильными. А мы помним, что у равносильных уравнений корни совпадают. Если внимательно посмотреть на эти два уравнения, то можно увидеть что второе уравнение получено путем переноса числа 20 из правой части в левую с противоположным знаком. А это действие, как было указано в предыдущем уроке, не меняет корней уравнения.

Также нужно обратить внимание на то, что в начале решения задачи возрасты каждого члена семьи можно было обозначить через другие выражения.

Скажем возраст сына обозначить через x и поскольку он двое старше дочери, то возраст дочери обозначить через (понимай сделать её младше сына в два раза). А возраст отца поскольку он является суммой возрастов сына и дочери обозначить через выражение . Ну и напоследок для построения логически правильного уравнения, к возрасту сына нужно прибавить число 20, ведь отец старше на двадцать лет. В итоге получается совсем другое уравнение . Решим это уравнение

Как видно ответы к задаче не поменялись. Сыну по прежнему 40 лет. Дочери по прежнему лет, а отцу 40 + 20 лет.

Другими словами, задача может решаться различными методами. Поэтому не следует отчаиваться, что не получается решить ту или иную задачу. Но нужно иметь ввиду, что существует наиболее простые пути решения задачи. К центру города можно доехать различными маршрутами, но всегда существует наиболее удобный, быстрый и безопасный маршрут.

Примеры решения задач

Задача 1. В двух пачках всего 30 тетрадей. Если бы из первой пачки переложили во вторую 2 тетради, то в первой пачке стало бы вдвое больше тетрадей, чем во второй. Сколько тетрадей было в каждой пачке?

Решение

Обозначим через x количество тетрадей, которое было в первой пачке. Если всего тетрадей было 30, а переменная x это количество тетрадей из первой пачке, то количество тетрадей во второй пачке будет обозначаться через выражение 30 − x . То есть от общего количества тетрадей вычитаем количество тетрадей из первой пачки и тем самым получаем количество тетрадей из второй пачки.

Далее сказано, что если переложить 2 тетради из первой пачки во вторую, то в первой пачке окажется вдвое больше тетрадей. Итак, снимем с первой пачки две тетради

и добавим эти две тетради во вторую пачку

Выражения из которых мы будем составлять уравнение теперь принимают следующий вид:

Попробуем составить уравнение из имеющихся выражений. Положим на весы обе пачки тетрадей

Левая чаша тяжелее правой. Это потому, что в условии задачи сказано, что после того как из первой пачки взяли две тетради и положили их во вторую, количество тетрадей в первой пачке стало вдвое больше, чем во второй.

Чтобы выровнять весы и получить уравнение, увеличим правую часть вдвое. Для этого умножим её на 2

Получается уравнение . Решим данное уравнение:

Первую пачку мы обозначали через переменную x . Теперь мы нашли её значение. Переменная x равна 22. Значит в первой пачке было 22 тетради.

А вторую пачку мы обозначали через выражение 30 − x и поскольку значение переменой x теперь известно, то можно вычислить количество тетрадей во второй пачке. Оно равно 30 − 22 , то есть 8 шт .

Задача 2. Два человека чистили картофель. Один очищал в минуту две картофелины, а второй — три картофелины. Вместе они очистили 400 шт. Сколько времени работал каждый, если второй проработал на 25 минут больше первого?

Решение

Обозначим через x время работы первого человека. Поскольку второй человек проработал на 25 минут больше первого, то его время будет обозначаться через выражение

Первый рабочий в минуту очищал 2 картофелины, и поскольку он работал x минут, то всего он очистил 2x картофелин.

Второй человек в минуту очищал три картофелины, и поскольку он работал минут, то всего он очистил картофелин.

Вместе они очистили 400 картофелин

Из имеющихся компонентов составим и решим уравнение. В левой части уравнения будут картофелины, очищенные каждым человеком, а в правой части их сумма:

В начале решения данной задачи через переменную x мы обозначили время работы первого человека. Теперь мы нашли значение этой переменной. Первый человек работал 65 минут.

А второй человек работал минут, и поскольку значение переменной x теперь известно, то можно вычислить время работы второго человека — оно равно 65 + 25 , то есть 90 мин .

Задача из Учебника по алгебре Андрея Петровича Киселева. Из сортов чая составлена смесь в 32 кг. Килограмм первого сорта стоит 8 руб., а второго сорта 6 руб. 50 коп. Сколько килограммов взято того и другого сорта, если килограмм смеси стоит (без прибыли и убытка) 7 руб. 10 коп.?

Решение

Обозначим через x массу чая первого сорта. Тогда масса чая второго сорта будет обозначаться через выражение 32 − x

Килограмм чая первого сорта стоит 8 руб. Если эти восемь рублей умножить на количество килограмм чая первого сорта, то можно будет узнать во сколько рублей обошлись x кг чая первого сорта.

А килограмм чая второго сорта стоит 6 руб. 50 коп. Если эти 6 руб. 50 коп. умножить на 32 − x , то можно узнать во сколько рублей обошлись 32 − x кг чая второго сорта.

В условии сказано, что килограмм смеси стоит 7 руб. 10 коп. Всего же было приготовлено 32 кг смеси. Умножим 7 руб. 10 коп. на 32 мы сможем узнать сколько стоит 32 кг смеси.

Выражения из которых мы будем составлять уравнение теперь принимают следующий вид:

Попробуем составить уравнение из имеющихся выражений. Положим на левую чашу весов стоимость смесей чая первого и второго сорта, а на правую чашу положим стоимость 32 кг смеси, то есть общую стоимость смеси, в составе которой оба сорта чая:

Получили уравнение . Решим его:

В начале решения данной задачи через переменную x мы обозначили массу чая первого сорта. Теперь мы нашли значение этой переменной. Переменная x равна 12,8. Значит для приготовления смеси было взято 12,8 кг чая первого сорта.

А через выражение 32 − x мы обозначили массу чая второго сорта и поскольку значение переменой x теперь известно, то можно вычислить массу чая второго сорта. Оно равно 32 − 12,8 то есть 19,2 . Значит для приготовления смеси было взято 19,2 кг чая второго сорта.

Задача 3. Велосипедист проехал некоторое расстояние со скоростью 8 км/ч. Возвратиться он должен был другой дорогой, которая была на 3 км длиннее первой, и, хотя возвращаясь, ехал со скоростью 9 км/ч, он употребил времени на минут более. Как длинны были дороги?

Решение

Некоторые задачи могут затрагивать темы, которые человек возможно не изучал. Данная задача относится к такому кругу задач. В ней затрагиваются понятия расстояния, скорости и времени. Соответственно, чтобы решить подобную задачу, нужно иметь представление о тех вещах, о которых говорится в задаче. В нашем случае, надо знать что представляет собой расстояние, скорость и время.

В задаче нужно найти расстояния двух дорог. Мы должны составить уравнение, которое позволит вычислить эти расстояния.

Вспомним, как взаимосвязаны расстояние, скорость и время. Каждая из этих величин может быть описана с помощью буквенного уравнения:

Правую часть одного из этих уравнений мы будем использовать для составления своего уравнения. Чтобы узнать какую именно, нужно вернуться к тексту задачи и обратить внимание на следующий момент:

Следует обратить внимание на момент, где велосипедист на обратном пути употребил времени на минут более. Эта подсказка указывает нам, что можно воспользоваться уравнением , а именно его правой частью. Это позволит нам составить уравнение, которое содержит переменную S .

Итак, обозначим длину первой дороги через S . Этот путь велосипедист проехал со скоростью 8 км/ч . Время за которое он преодолел этот путь будет обозначаться выражением , поскольку время это отношение пройденного расстояния к скорости

Обратная дорога для велосипедиста была длиннее на 3 км . Поэтому её расстояние будет обозначаться через выражение S + 3 . Эту дорогу велосипедист проехал со скоростью 9 км/ч . А значит время за которое он преодолел этот путь будет обозначаться выражением .

Теперь составим уравнение из имеющихся выражений

Правая чаша тяжелее левой. Это потому, что в задаче сказано, что на обратную дорогу велосипедист затратил времени на больше.

Чтобы уравнять весы прибавим к левой части эти самые минут. Но сначала переведем минуты в часы, поскольку в задаче скорость измеряется в километрах в час, а не в метрах в минуту.

Чтобы минут перевести в часы, нужно разделить их на 60

минут составляют часа. Прибавляем эти часа к левой части уравнения:

Получается уравнение . Решим данное уравнение. Чтобы избавиться от дробей, обе части части можно умножить на 72. Далее пользуясь известными тождественными преобразованиями, найдем значение переменной S

Через переменную S мы обозначали расстояние первой дороги. Теперь мы нашли значение этой переменной. Переменная S равна 15. Значит расстояние первой дороги составляет 15 км.

А расстояние второй дороги мы обозначили через выражение S + 3 , и поскольку значение переменной S теперь известно, то можно вычислить расстояние второй дороги. Это расстояние равно сумме 15 + 3 , то есть 18 км .

Задача 4. По шоссе идут две машины с одной и той же скоростью. Если первая увеличит скорость на 10 км/ч, а вторая уменьшит скорость на 10 км/ч, то первая за 2 ч пройдет столько же, сколько вторая за 3 ч. С какой скоростью идут автомашины?

Решение

Обозначим через v скорость каждой машины. Далее в задаче приводятся подсказки: скорость первой машины увеличить на 10 км/ч, а скорость второй — уменьшить на 10 км/ч. Воспользуемся этой подсказкой

Далее говорится, что при таких скоростях (увеличенных и уменьшенных на 10 км/ч) первая машина пройдет за 2 часа столько же расстояния сколько вторая за 3 часа. Фразу «столько же» можно понимать как «расстояние, пройденное первой машиной, будет равно расстоянию, пройденному второй машиной».

Расстояние как мы помним, определяется по формуле . Нас интересует правая часть этого буквенного уравнения — она позволит нам составить уравнение, содержащее переменную v .

Итак, при скорости v + 10 км/ч первая машина пройдет 2(v+10) км , а вторая пройдет 3(v − 10) км . При таком условии машины пройдут одинаковые расстояния, поэтому для получения уравнения достаточно соединить эти два выражения знаком равенства. Тогда получим уравнение . Решим его:

В условии задачи было сказано, что машины идут с одинаковой скоростью. Мы обозначили эту скорость через переменную v . Теперь мы нашли значение этой переменной. Переменная v равна 50. Значит скорость обеих машин составляла 50 км/ч.

Задача 5. За 9 ч по течению реки теплоход проходит тот же путь, что за 11 ч против течения. Найдите собственную скорость теплохода, если скорость течения реки 2 км/ч.

Решение

Обозначим через v собственную скорость теплохода. Скорость течения реки равна 2 км/ч. По течению реки скорость теплохода будет составлять v + 2 км/ч , а против течения — (v − 2) км/ч .

В условии задачи сказано, что за 9 ч по течению реки теплоход проходит тот же путь, что за 11 ч против течения. Фразу «тот же путь» можно понимать как «расстояние, пройденное теплоходом по течению реки за 9 часов, равно расстоянию, пройденному теплоходом против течения реки за 11 часов». То есть расстояния будут одинаковыми.

Расстояние определяется по формуле . Воспользуемся правой частью этого буквенного уравнения для составления своего уравнения.

Итак, за 9 часов по течению реки теплоход пройдет 9(v + 2) км , а за 11 часов против течения — 11(v − 2) км . Поскольку оба выражения описывают одно и то же расстояние, приравняем первое выражение ко второму. В результате получим уравнение . Решим его:

Значит собственная скорость теплохода составляет 20 км/ч.

При решении задач полезной привычкой является заранее определить на каком множестве ищется для неё решение.

Допустим, что в задаче требовалось найти время, за которое пешеход преодолеет указанный путь. Мы обозначили время через переменную t , далее составили уравнение, содержащее эту переменную и нашли её значение.

Из практики мы знаем, что время движения объекта может принимать как целые значения, так и дробные, например 2 ч, 1,5 ч, 0,5 ч. Тогда можно сказать, что решение данной задачи ищется на множестве рациональных чисел Q, поскольку каждое из значений 2 ч, 1,5 ч, 0,5 ч может быть представлено в виде дроби.

Поэтому после того, как неизвестную величину обозначили через переменную, полезно указать к какому множеству эта величина принадлежит. В нашем примере время t принадлежит множеству рациональных чисел Q

Ещё можно ввести ограничение для переменной t , указав что она может принимать только положительные значения. Действительно, если объект затратил на путь определенное время, то это время не может быть отрицательным. Поэтому рядом с выражением t ∈ Q укажем, что её значение должно быть больше нуля:

Если решив уравнение, мы получим отрицательное значение для переменной t , то можно будет сделать вывод, что задача решена неправильно, поскольку это решение не будет удовлетворять условию t ∈ Q , t > 0 .

Ещё пример. Если бы мы решали задачу в которой требовалось найти количество человек для выполнения той или иной работы, то это количество мы обозначили бы через переменную x . В такой задаче решение искалось бы на множестве натуральных чисел

Действительно, количество человек является целым числом, например 2 человека, 3 человека, 5 человек. Но никак не 1,5 (один целый человек и половина человека) или 2,3 (два целых человека и еще три десятых человека).

Здесь можно было бы указать, что количество человек должно быть больше нуля, но числа входящие во множество натуральных чисел N сами по себе являются положительными и большими нуля. В этом множестве нет отрицательных чисел и числа 0. Поэтому выражение x > 0 можно не писать.

Задача 6. Для ремонта школы прибыла бригада в которой было в 2,5 раза больше маляров, чем плотников. Вскоре прораб включил в бригаду еще четырех маляров, а двух плотников перевел на другой объект. В результате маляров в бригаде оказалось в 4 раза больше чем плотников. Сколько маляров и сколько плотников было в бригаде первоначально

Решение

Обозначим через x плотников, прибывших на ремонт первоначально.

Количество плотников является целым числом, большим нуля. Поэтому укажем, что x принадлежит множество натуральных чисел

Маляров было в 2,5 раза больше, чем плотников. Поэтому количество маляров будет обозначаться как 2,5x .

Далее говорится, что прораб включил в бригаду еще четырех маляров, а двух плотников перевел на другой объект. Сделаем для своих выражений тоже самое. Уменьшим количество плотников на 2

А количество маляров увеличим на 4

Теперь количество плотников и маляров будут обозначаться через следующие выражения:

Попробуем составить уравнение из имеющихся выражений:

Правая чаша больше, поскольку после включения в бригаду ещё четырёх маляров, и перемещения двух плотников на другой объект, количество маляров в бригаде оказалось в 4 раза больше чем плотников. Чтобы уравнять весы, нужно левую чашу увеличить в 4 раза:

Получили уравнение . Решим его:

Через переменную x было обозначено первоначальное количество плотников. Теперь мы нашли значение этой переменной. Переменная x равна 8. Значит 8 плотников было в бригаде первоначально.

А количество маляров было обозначено через выражение 2,5 x и поскольку значение переменной x теперь известно, то можно вычислить количество маляров — оно равно 2,5 × 8 , то есть 20 .

Возвращаемся к началу задачи и удостоверяемся, что соблюдается условие x ∈ N. Переменная x равна 8, а элементы множества натуральных чисел N это все числа, начинающиеся с 1, 2, 3 и так далее до бесконечности. В это же множество входит число 8, которое мы нашли.

Тоже самое можно сказать о количестве маляров. Число 20 принадлежит множеству натуральных чисел:

Для понимания сути задачи и правильного составления уравнения, вовсе необязательно использовать модель весов с чашами. Можно использовать и другие модели: отрезки, таблицы, схемы. Можно придумать свою модель, которая хорошо описывала бы суть задачи.

Задача 9. Из бидона отлили 30% молока. В результате в нем осталось 14 л. Сколько литров молока было в бидоне первоначально?

Решение

Искомое значение это первоначальное число литров в бидоне. Изобразим число литров в виде линии и подпишем эту линию как X

Сказано, что из бидона отлили 30% молока. Выделим на рисунке приблизительно 30%

Процент по определению есть одна сотая часть чего-то. Если 30% молока отлили, то остальные 70% остались в бидоне. На эти 70% приходятся 14 литров, указанные в задаче. Выделим на рисунке оставшиеся 70%

Теперь можно составить уравнение. Вспомним, как находить процент от числа. Для этого общее количество чего-то делят на 100 и полученный результат умножают на искомое количество процентов. Замечаем, что 14 литров, составляющих 70% можно получить таким же образом: первоначальное число литров X разделить на 100 и полученный результат умножить на 70. Всё это приравнять к числу 14

Или получить более простое уравнение: 70% записать как 0,70, затем умножить на X и приравнять это выражение к 14

Значит первоначально в бидоне было 20 литров молока.

Задача 9. Взяли два сплава золота и серебра. В одном количество этих металлов находится в отношении 1 : 9, а в другом 2 : 3. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получить 15 кг нового сплава, в котором золото и серебро относилось бы как 1 : 4?

Решение

Попробуем сначала узнать сколько золота и серебра будет содержáться в 15 кг нового сплава. В задаче сказано, что содержание этих металлов должно быть в отношении 1 : 4, то есть на одну часть сплава должно приходиться золото, а на четыре части — серебро. Тогда всего частей в сплаве будет 1 + 4 = 5, а масса одной части будет 15 : 5 = 3 кг.

Определим сколько золота будет содержáться в 15 кг сплава. Для этого 3 кг умножим на количество частей золота:

Определим сколько серебра будет содержáться в 15 кг сплава:

Значит сплав массой 15 кг будет содержать 3 кг золота и 12 кг серебра. Теперь вернёмся к исходным сплавам. Использовать нужно каждый из них. Обозначим через x массу первого сплава, а массу второго сплава можно обозначить через 15 − x

Выразим в процентах все отношения, которые даны в задаче и заполним ими следующую таблицу:

В первом сплаве золото и серебро находятся в отношении 1 : 9. Тогда всего частей будет 1 + 9 = 10 . Из них золота будет , а серебра .

Перенесём эти данные в таблицу. 10% занесём в первую строку в графу «процент золота в сплаве», 90% также занесём в первую строку графу «процент серебра в сплаве», а в последнюю графу «масса сплава» занесём переменную x , поскольку так мы обозначили массу первого сплава:

Аналогично поступаем со вторым сплавом. Золото и серебро в нём находятся в отношении 2 : 3. Тогда всего частей будет 2 + 3 = 5. Из них золота будет , а серебра .

Перенесём эти данные в таблицу. 40% занесем во вторую строку в графу «процент золота в сплаве», 60% также занесём во вторую строку графу «процент серебра в сплаве», а в последнюю графу «масса сплава» занесём выражение 15 − x , поскольку так мы обозначили массу второго сплава:

Заполним последнюю строку. Полученный сплав массой 15 кг будет содержать 3 кг золота, что составляет сплава, а серебра будет сплава. В последнюю графу записываем массу полученного сплава 15

Теперь по данной таблице можно составить уравнения. Вспоминаем задачи на концентрацию, сплавы и смеси. Если мы отдельно сложим золото обоих сплавов и приравняем эту сумму к массе золота полученного сплава, то сможем узнать чему равно значение x.

Далее для удобства проценты будем выражать в десятичной дроби.

В первом сплаве золота было 0,10x , а во втором сплаве золота было 0,40(15 − x) . Тогда в полученном сплаве масса золота будет суммой масс золота первого и второго сплавов и эта масса составляет 20% от нового сплава. А 20% от нового сплава это 3 кг золота, вычисленные нами ранее. В результате получаем уравнение 0,10x + 0.40(15 − x) = 3 . Решим это уравнение:

Изначально через x мы обозначили массу первого сплава. Теперь мы нашли значение этой переменной. Переменная x равна 10. А массу второго сплава мы обозначили через 15 − x , и поскольку значение переменной x теперь известно, то можно вычислить массу второго сплава, она равна 15 − 10 = 5 кг .

Значит для получения нового сплава массой 15 кг в котором золото и серебро относились бы как 1 : 4, нужно взять 10 кг первого и 5 кг второго сплава.

Уравнение можно было составить, воспользовавшись и вторым столбцом получившейся таблицы. Тогда мы получили бы уравнение 0,90x + 0.60(15 − x) = 12. Корень этого уравнения тоже равен 10

Задача 10. Имеется руда из двух пластов с содержанием меди в 6% и 11%. Сколько надо взять бедной руды, чтобы получить при смешивании с богатой 20 тонн с содержанием меди 8%?

Решение

Обозначим через x массу бедной руды. Поскольку нужно получить 20 тонн руды, то богатой руды будет взято 20 − x . Поскольку содержание меди в бедной руде составляет 6%, то в x тоннах руды будет содержáться 0,06x тонн меди. В богатой руде содержание меди составляет 11%, а в 20 − x тоннах богатой руды будет содержáться 0,11(20 − x) тонн меди.

В получившихся 20 тоннах руды содержание меди должно составлять 8%. Значит в 20 тоннах руды меди будет содержáться 20 × 0,08 = 1,6 тонн.

Сложим выражения 0,06x и 0,11(20 − x) и приравняем эту сумму к 1,6. Получим уравнение 0,06x + 0,11(20 − x) = 1,6

Решим данное уравнение:

Значит для получения 20 тонн руды с содержанием меди 8%, нужно взять 12 тонн бедной руды. Богатой же будет взято 20 − 12 = 8 тонн.

Задача 11. Увеличив среднюю скорость с 250 до 300 м/мин спортсменка стала пробегать дистанцию на 1 мин быстрее. Какова длина дистанции?

Решение

Длину дистанции (или расстояние дистанции) можно описать следующим буквенным уравнением:

Воспользуемся правой частью этого уравнения для составления своего уравнения. Изначально спортсменка пробегала дистанцию со скоростью 250 метров в минуту. При такой скорости длина дистанции будет описываться выражением 250t

Затем спортсменка увеличила свою скорость до 300 метров в минуту. При такой скорости длина дистанции будет описываться выражением 300t

Заметим, что длина дистанции это величина постоянная. От того, что спортсменка увеличит скорость или уменьшит её, длина дистанции останется неизменной.

Это позволяет нам приравнять выражение 250t к выражению 300t , поскольку оба выражения описывают длину одной и той же дистанции

Но в задаче сказано, что при скорости 300 метров в минуту спортсменка стала пробегать дистанцию на 1 минуту быстрее. Другими словами, при скорости 300 метров в минуту, время движения уменьшится на единицу. Поэтому в уравнении 250t = 300t в правой части время нужно уменьшить на единицу:

Получилось простейшее уравнение. Решим его:

При скорости 250 метров в минуту спортсменка пробегает дистанцию за 6 минут. Зная скорость и время, можно определить длину дистанции:

S = 250 × 6 = 1500 м

А при скорости 300 метров в минуту спортсменка пробегает дистанцию за t − 1 , то есть за 5 минут. Как было сказано ранее длина дистанции не меняется:

S = 300 × 5 = 1500 м

Задача 12. Всадник догоняет пешехода, находящегося впереди него на 15 км. Через сколько часов всадник догонит пешехода, если каждый час первый проезжает по 10 км, а второй проходит только по 4 км?

Решение

Данная задача является задачей на движение. Её можно решить, определив скорость сближения и разделив изначальное расстояние между всадником и пешеходом на эту скорость.

Скорость сближения определяется вычитанием меньшей скорости из большей:

10 км/ч − 4 км/ч = 6 км/ч (скорость сближения)

С каждым часом расстояние в 15 километров будут сокращаться на 6 км. Чтобы узнать, когда оно сократится полностью (когда всадник догонит пешехода), нужно 15 разделить на 6

2,5 ч это два целых часа и половина часа. А половина часа это 30 минут. Значит всадник догонит пешехода через 2 часа 30 минут.

Решим эту задачу с помощью уравнения.

Будем считать, что пешеход и всадник вышли в путь из одного и того же места. Пешеход вышел раньше всадника и успел преодолеть 15 км

После этого вслед за ним в путь вышел всадник со скоростью 10 км/ч. А скорость пешехода составляет только 4 км/ч. Это значит, что всадник через некоторое время догонит пешехода. Это время нам нужно найти.

Когда всадник догонит пешехода это будет означать, что они вместе прошли одинаковое расстояние. Расстояние, пройденное всадником и пешеходом описывается следующим уравнением:

Воспользуемся правой частью этого уравнения для составления своего уравнения.

Расстояние, пройденное всадником, будет описываться выражением 10t . Поскольку пешеход вышел в путь раньше всадника и успел преодолеть 15 км, то расстояние пройденное им будет описываться выражением 4t + 15 .

На момент, когда всадник догонит пешехода, оба они пройдут одинаковое расстояние. Это позволяет нам приравнять расстояния, пройденные всадником и пешеходом:

Получилось простейшее уравнение. Решим его:

Задачи для самостоятельного решения

Решение

Скорости поездов в данной задаче измеряются в километрах в час. Поэтому 45 мин, указанные в задаче, переведем в часы. 45 мин это 0,75 ч

Обозначим время, за которое товарный поезд приезжает в город, через переменную t . Поскольку пассажирский поезд приезжает в этот город на 0,75 ч быстрее, то время его движения будет обозначаться через выражение t − 0,75

Пассажирский поезд преодолел 48(t − 0.75) км, а товарный 36t км. Поскольку речь идет об одном и том же расстоянии, приравняем первое выражение ко второму. В результате получим уравнение 48(t − 0.75) = 36t . Решим его:

Теперь вычислим расстояние между городами. Для этого скорость товарного поезда (36 км/ч) умножим на время его движения t. Значение переменной t теперь известно — оно равно трём часам

Для вычисления расстояния можно воспользоваться и скоростью пассажирского поезда. Но в этом случае значение переменной t необходимо уменьшить на 0,75 поскольку пассажирский поезд затратил времени на 0,75 ч меньше

48 × (3 − 0,75) = 144 − 36 = 108 км

Ответ: расстояние между городами равно 108 км.

Решение

Пусть t время через которое автомобили встретились. Тогда первый автомобиль на момент встречи проедет 65t км, а второй 60t км. Сложим эти расстояния и приравняем к 150. Получим уравнение 65t + 60t = 150

Значение переменной t равно 1,2. Значит автомобили встретились через 1,2 часа.

Ответ: автомобили встретились через 1,2 часа.

Решение

Пусть x рабочих было в первом цехе. Во втором цехе было в три раза больше, чем в первом, поэтому количество рабочих во втором цехе можно обозначить через выражение 3x . В третьем цехе было на 15 рабочих меньше, чем во втором. Поэтому количество рабочих в третьем цехе можно обозначить через выражение 3x − 15 .

В задаче сказано, что всего рабочих было 685. Поэтому можно сложить выражения x, 3x, 3x − 15 и приравнять эту сумму к числу 685. В результате получим уравнение x + 3x + (3x − 15) = 685

Через переменную x было обозначено количество рабочих в первом цехе. Теперь мы нашли значение этой переменной, оно равно 100. Значит в первом цехе было 100 рабочих.

Во втором цехе было 3x рабочих, то есть 3 × 100 = 300 . А в третьем цехе было 3x − 15 , то есть 3 × 100 − 15 = 285

Ответ: в первом цехе было 100 рабочих, во втором — 300, в третьем — 285.

Решение

Пусть x моторов должна была отремонтировать первая мастерская. Тогда вторая мастерская должна была отремонтировать 18 − x моторов .

Поскольку первая мастерская выполнила свой план на 120%, это означает что она отремонтировала 1,2x моторов . А вторая мастерская выполнила свой план на 125%, значит она отремонтировала 1,25(18 − x) моторов.

В задаче сказано, что было отремонтировано 22 мотора. Поэтому можно сложить выражения 1,2x и 1,25(18 − x) , затем приравнять эту сумму к числу 22. В результате получим уравнение 1,2x + 1,25(18 − x) = 22

Через переменную x было обозначено количество моторов, которые должна была отремонтировать первая мастерская. Теперь мы нашли значение этой переменной, она равна 10. Значит первая мастерская должна была отремонтировать 10 моторов.

А через выражение 18 − x было обозначено количество моторов, которые должна была отремонтировать вторая мастерская. Значит вторая мастерская должна была отремонтировать 18 − 10 = 8 моторов.

Ответ: первая мастерская должна была отремонтировать 10 моторов, а вторая — 8 моторов.

Решение

Пусть x рублей стоил товар до повышения цены. Если цена увеличилась на 30% это означает, что она увеличилась на 0,30x рублей. После повышения цены товар начал стоить 91 руб. Сложим x с 0,30x и приравняем эту сумму к 91. В результате получим уравнение x + 0.30x = 91

Значит до повышения цены товар стоил 70 рублей.

Ответ: до повышения цены товар стоил 70 рублей.

Решение

Пусть x — исходное число. Увеличим его на 25%. Получим выражение x + 0,25x . Приведем подобные слагаемые, получим x + 0,25x = 1.25x .

Узнаем какую часть исходное число x составляет от нового числа 1,25x

Если новое число 1,25x считать за 100%, а исходное число x составляет от него 80%, то уменьшив новое число на 20% можно получить исходное число x

Ответ: чтобы получить исходное число, новое число нужно уменьшить на 20%.

Решение

Пусть x — первоначальное число. Увеличим его на 20%. Получим выражение x + 0,20x . Приравняем эту сумму к числу 144, получим уравнение x + 0,20x = 144

Ответ: первоначальное значение числа равно 120.

Решение

Пусть x — первоначальное число. Уменьшим его на 10%. Получим выражение x − 0,10x . Приравняем эту разность к числу 45, получим уравнение x − 0,10x = 45

Ответ: первоначальное значение числа равно 50.

Решение

Пусть x рублей — первоначальная цена альбома. Снизим эту цену на 15%, получим x − 0,15x . Снизим цену ещё на 15 руб., получим x − 0,15x − 15 . После этих снижений альбом стал стоить 19 руб. Приравняем выражение x − 0,15x − 15 к числу 19, получим уравнение x − 0,15x − 15 = 19

Ответ: первоначальная цена альбома составляет 40 руб.

Решение

Если 80% массы теряется, то на оставшиеся 20% будут приходиться 4 т сена. Пусть x тонн травы требуется для получения 4 т сена. Если 4 т будут составлять 20% травы, то можно составить уравнение:

Ответ: для получения 4 т сена, нужно накосить 20 т травы.

Решение

Пусть x кг 20%-го раствора соли нужно добавить к 1 кг 10%-го раствора.

В 1 кг 10%-го раствора соли содержится 0,1 кг соли. А в x кг 20%-го раствора соли содержится 0,20 x кг соли.

После добавления x кг 20%-го раствора в новом растворе будет содержáться 0,12(1 + x) кг соли. Сложим выражения 0,1 и 0,20x , затем приравняем эту сумму к выражению 0,12(1 + x) . В результате получим уравнение 0,1 + 0,20x = 0,12(1 + x)

Ответ: чтобы получить 12%-й раствор соли, нужно к 1 кг 10%-го раствора добавить 0,25 кг 20%-го раствора.

Решение

Пусть x кг первого раствора нужно взять. Поскольку требуется приготовить 25 кг раствора, то массу второго раствора можно обозначить через выражение 25 − x.

В первом растворе будет содержáться 0,20x кг соли, а втором — 0,30(25 − x) кг соли. В полученном растворе содержание соли будет 25 × 0,252 = 6,3 кг. Сложим выражения 0,20x и 0,30(25 − x), затем приравняем эту сумму к 6,3. В результате получим уравнение

Значит первого раствора нужно взять 12 кг, а второго 25 − 12 = 13 кг.

Ответ: первого раствора нужно взять 12 кг, а второго 13 кг.

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

44 thoughts on “Решение задач с помощью уравнений”

Вау новый урок. Я рад что вернулись)) После работы обязательно буду учить этот урок.

не смог решить ни одной задачи из примеров решения…

Схема решения и образцы решения текстовых задач с помощью уравнений

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Схема решения текстовых задач с помощью уравнений:

обозначают неизвестную в задаче величину буквой;

используя эту букву, записывают другие величины в задаче;

составляют уравнение по условию задачи;

решают полученное уравнение;

находят требуемые по условию величины.

Образцы решения задач

Задача 1. В корзине было в 2 раза меньше яблок, чем в ящике. После того как из корзины переложили в ящик 10 яблок, то в ящике их стало в 5 раз больше, чем в корзине. Сколько яблок было в корзине и сколько в ящике?

Решение. Пусть в корзине было х яблок, тогда в ящике было 2х яблок. После того как из корзины переложили 10 яблок, в корзине их стало х – 10 яблок, а в ящике 2х + 10 яблок. По условию задачи в ящике стало в 5 раз больше яблок, чем в корзине.

Составим и решим уравнение:

Следовательно, в корзине было 20 яблок, а в ящике 2х=2∙20=40 (яблок).

Ответ: 20 яблок, 40 яблок.

Задача 2. За 9 ч по течению реки теплоход проходит тот же путь, что за 11 ч против течения. Найдите собственную скорость теплохода, если скорость течения реки 2 км/ч.

V _{по течению км/ч}

V _{против течения км/ч}

t _{против течения ч}

S _{по течению км}

S _{против течения}

Так как путь по течению за 9 ч тот же, что и против течения за 11ч, то получим и решим уравнение:

Собственная скорость теплохода равна 20 км/ч.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 956 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 685 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 314 человек из 70 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 572 528 материалов в базе

Другие материалы

• 12.11.2017
• 311
• 0

• 12.11.2017
• 2471
• 133

• 12.11.2017
• 2135
• 117

• 12.11.2017
• 479
• 8

• 12.11.2017
• 477
• 0

• 12.11.2017
• 1638
• 48

• 12.11.2017
• 1343
• 5

• 12.11.2017
• 4644
• 250

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 12.11.2017 1019
• DOCX 203.5 кбайт
• 22 скачивания
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Кондрашкина Светлана Викторовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 4 года и 3 месяца
• Подписчики: 1
• Всего просмотров: 7833
• Всего материалов: 6

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

В школах Хабаровского края введут уроки спортивной борьбы

Время чтения: 1 минута

ЕГЭ в 2022 году будут сдавать почти 737 тыс. человек

Время чтения: 2 минуты

В Забайкалье в 2022 году обеспечат интернетом 83 школы

Время чтения: 1 минута

В России действуют более 3,5 тысячи студенческих отрядов

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Решение задач с помощью уравнений

Тема урока: § 6. Решение задач с помощью уравнений. Приведены все необходимые и достаточные сведения для решения текстовых задач с помощью составления уравнений.

Введение

В школьной математике есть целый кладезь текстовых задач, которые решаются универсальным методом построения уравнения (модели) исходя из условия.

Сам факт того, что огромное количество самых разнообразных задач поддаются решению с помощью составления линейного уравнения, говорит нам, что метод решений является действительно универсальным.

Обычно условия задач удается перевести на математический язык. Полученное уравнение — это следствие перевода нашего условия с русского языка на язык алгебры. Зачастую фактической стороной повествования задачи является описание реальной ситуации, какого либо процесса, события.

Чтобы получить ответ — уравнение нужно решить, полученный корень уравнения будет являться решением, разумеется необходимо еще проверить, не является ли результат противоречивым относительно условия.

Алгоритм решения текстовых задач с помощью уравнений

Для решения задачи с помощью уравнения делают следующие действия:

1. Обозначают некоторое неизвестное буквой и, пользуясь условием, составляют уравнение.
2. Решают уравнение.
3. Истолковывают результат.

Примеры решений

Задача 1.
В мешке было в 3 раза меньше монет, чем в сундуке. После того как из мешка переложили 24 монеты, в сундуке их стало в 7 раз больше, чем в мешке. Сколько было монет в мешке и сколько в сундуке?

Пусть $x$ — количество монет в мешке, а значит в сундуке: $3x$ монет. После того, как из мешка переложили $24$ монеты, в сундуке стало: $3x+24$, а в мешке $x-24$. И если в сундуке их стало в $7$ раз больше чем в мешке, то имеем: $3x+24=7(x-24)$.

Ну вот мы и составили уравнение (математическую модель), осталось решить уравнение относительно $x$ и записать ответ.

Решим полученное уравнение: $3x+24=7(x-24)$. Легко увидеть, что уравнение является линейным (узнать как решаются линейные уравнения можно тут.)

Раскроем скобки в правой части уравнения: $3x+24=7x-7cdot 24$. Перенесём все слагаемые содержащие переменную в правую часть, а всё что не содержит $x$ в левую, получим: $24+7cdot 24=7x-3x$. После упрощения получили $192=4x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при неизвестном, т.е на $4$, тогда получим $x=48$.

Осталось истолковать ответ.
За переменную $x$ мы обозначали количество монет в мешке, значит в сундуке в три раза больше т.е $3x$.

Монет в мешке: $48$

Монет в сундуке: $48cdot 3=144$

Задача 2.
Купили 3600 кг муки и высыпали её в три мешка. В первый мешок муки вошло в 3 раза больше, чем во второй, а в третий мешок насыпали 800 кг муки. Сколько муки насыпали в первый и сколько во второй мешок?

Пусть в первый мешок насыпали $3x$ кг муки, тогда во второй мешок насыпали $x$ кг. Если сложим количество кг в каждом мешке, то получим $3600$ кг муки. Имеем: $3x+x+800=3600$, решим уравнение классическим методом.

Все слагаемые содержащие $x$ оставим слева, а всё остальное перенесём в правую часть равенства: $3x+x=3600-800$, упростим обе части; $4x=2800$ поделим обе части равенства на $4$ и получим ответ: $x=700$.

Ответ.
За переменную $x$ мы обозначали количество муки во втором мешке, по условию в первом в три раза больше.

Муки в первом мешке: $700cdot 3=2100$ кг.

Муки во втором мешке: $700$ кг.

Задача 3.
В первом мешке в 4 раза больше картофеля, чем во втором. После того, как из одного мешка взяли 40 кг картофеля, а во второй насыпали ещё 5 кг, в обоих мешках картофеля стало поровну. Сколько килограммов картофеля было во втором мешке.

Пусть во втором мешке $x$ кг картофеля, тогда в первом мешке $4x$ кг. Из первого взяли $40$ кг, тогда в первом стало: $4x-40$. Во второй мешок насыпали $5$ кг и теперь в нём: $x+5$ кг картошки. Нам известно, что после этих изменений количество картофеля в мешках стало поровну, запишем это с помощью линейного уравнения:

Решим это линейное уравнение. Все слагаемые содержащие переменную перенесём влево, а свободные члены вправо и получим:

Избавимся от коэффициента при неизвестном и получим ответ:

Ответ.
За переменную $x$ мы обозначали количество кг картошки во втором мешке, по условию в первом в четыре раза больше.

Картошки в первом мешке: $15cdot 4=60$ кг.

Картошки во втором мешке: $15$ кг.

Задача 4.
По шоссе едут две машины с одной и той же скоростью. Если первая увеличит скорость на 20 км/ч, а вторая уменьшит скорость на 20 км/ч, то первая за 2 часа пройдёт то же самое расстояние, что и вторая за 4 часа. Найдите первоначальную скорость машин.

Пусть машины едут со скоростью $v$ км/ч, тогда после ускорения первой машины её скорость стала: $v+20$ км/ч, а скорость второй машины после замедления стала: $v-20$ км/ч. Нам известно по условию, что после изменения скоростей машин, первая проходит за два часа ровно столько, сколько вторая за четыре, тогда имеем:

По известной нам формуле $S=vt$ ($S$ — расстояние, $v$ — скорость, $t$ — время)

Сократим обе части равенства на $2$, тогда получим: $v+20=2(v-20)$. Раскроем скобки в правой части уравнения и сгруппируем все переменные в правой части равенства.

Ответ.
В качестве неизвестной величины в задаче мы взяли $v$ (первоначальную скорость машин).

Первоначальная скорость машин: $v=60$ км/ч.

Задача 5.
В первую бригаду привезли раствора цемента на 50 кг меньше, чем во вторую. Каждый час работы первая бригада расходовала 150 кг раствора, а вторая – 200кг. Через 3 ч работы в первой бригаде осталось раствора в 1,5 раза больше, чем во второй. Сколько раствора привезли в каждую бригаду?

Пусть во вторую бригаду привезли $x$ кг раствора цемента, тогда в первую бригаду привезли $x-50$ кг. Через 3 часа работы у первой бригады осталось $x-50-3cdot 150$ кг цемента, а у второй $x-3cdot 200$ кг.

По условию известно, что через 3 часа работы в первой бригаде осталось в 1,5 раза больше цемента, чем во второй, тогда имеем:

$$x-50-3cdot 150=1,5(x-3cdot 200)$$

Осталось решить данное уравнение относительно $x$ и истолковать ответ.

Упростим и раскроем скобки в правой части, тогда получим:

Если вам неудобно работать с десятичными дробями, то вы всегда можете их переводить в рациональный вид: $1,5=frac<15><10>=frac<3><2>$.

Запишем с учётом перевода дробей и упростим:

Перенесём слагаемые содержащие переменную в правую сторону, а всё остальное в левую:

Домножим обе части на 2 и получим ответ:

Ответ.
В качестве переменной в задаче мы взяли $x$ (кол-во кг цемента который привезли во вторую бригаду), по условию в первую привезли на 50 кг меньше, а значит $x-50$

Кол-во цемента в первой бригаде: $800-50=750$ кг.

Кол-во цемента во второй бригаде: $800$ кг.

Задачи для самостоятельного решения

По контракту работникам причитается 48 франков за каждый отработанный день, а за каждый неотработанный день с них вычитается по 12 франков. Через 30 дней выяснилось, что работникам ничего не причитается. Сколько дней они отработали в течение этих 30 дней?

Пусть работники отработали $n$ дней, тогда $30-n$ дней они не отработали.

В итоге мы понимаем, что за $n$ рабочих дней они зарабатывают $48n$ франков и с них вычитается за $30-n$ не отработанных дней по $12(30-n)$ франков. Тогда ясно, что: $48n-12(30-n)=0$

Ответ: Рабочие отработали 6 дней.

Кирпич весит фунт и полкирпича. Сколько фунтов весит кирпич?

Пусть целый кирпич весит весит $k$ фунтов, тогда имеем:

1 фунт и половина кирпича = целый кирпич.

Бутылка с пробкой стоит 10 копеек, причем бутылка на 9 копеек дороже пробки. Сколько стоит бутылка без пробки?

Пусть бутылка стоит $b$ копеек, а пробка $p$ копеек, тогда:

$b+p=10$ и $b=p+9$, подставив значение $b$ в первое равенство — получим:

Т.е пробка стоит пол копейки, тогда бутылка $9,5$ копеек.

Ответ: 9,5 копеек стоит бутыка без пробки.

На свитер, шапку и шарф израсходовали 555 г шерсти, причем на шапку ушло в 5 раз меньше шерсти, чем на свитер, и на 5 г больше, чем на шарф. Сколько шерсти израсходовали на каждое изделие?

Пусть на свитер потратили $5x$ г шерсти, тогда на шапку ушло $x$ г и на шарф потребовалось $x-5$ г, имеем:

Ответ: На шапку ушло $80$ г, на свитер $5cdot 80=400$ г, на шарф $80-5=75$ г.

Три пионерских звена собрали для школьной библиотеки 65 книг. Первое звено собрало на 10 книг меньше, чем второе, а третье — 30% того числа книг, которое собрали первое и второе звено вместе. Сколько книг собрало каждое звено?

Пусть второе звено собрало $x$ книг, тогда первое собрало $x-10$ книг, а третье $0,3(2x-10)$, имеем:

$$2x-10+0,3cdot 2x-0,3cdot 10=65$$

$$2x+0,3cdot 2x=65+10+0,3cdot 10$$

Ответ: Первое звено собрало $30-10=20$ книг, второе $30$ книг, третье $0,3(60-10)=15$ книг.

Уравнение с одним неизвестным, которое после раскрытия скобок и приведения подобных членов принимает вид  

aх + b = 0, где a и b произвольные числа, называется линейным уравнением с одним неизвестным. Cегодня разберёмся, как эти линейные уравнения решать.

Например, все уравнения:

2х + 3= 7 – 0,5х;  0,3х = 0;  x/2 + 3 = 1/2 (х – 2) — линейные.

Значение неизвестного, обращающее уравнение в верное равенство называется решением или корнем уравнения.

Например, если в уравнении 3х + 7 = 13 вместо неизвестного х подставить число 2 , то получим верное равенство 3· 2 +7 = 13. Значит, значение х = 2 есть решение или корень уравнения.

А значение х = 3 не обращает  уравнение  3х + 7 = 13 в верное равенство, так  как  3· 2 +7 ≠ 13. Значит, значение х = 3 не является решением или корнем уравнения.

Решение любых линейных уравнений сводится к решению уравнений вида

aх + b = 0.

Перенесем свободный член из левой части уравнения в правую, изменив при этом знак перед b на противоположный, получим

aх = ‒ b.

Если a ≠ 0, то х = ‒ b/a .

Пример 1. Решите уравнение 3х + 2 =11.

Перенесем 2 из левой части уравнения в правую, изменив при этом знак перед 2 на противоположный, получим 
3х = 11 – 2.

Выполним вычитание, тогда
3х = 9.

Чтобы найти х надо разделить произведение на известный множитель, то есть     
х = 9 : 3.

Значит, значение х = 3 является  решением или корнем уравнения.

Ответ: х = 3.

Если а = 0 и b = 0, то получим уравнение  0х = 0. Это уравнение имеет бесконечно много  решений, так как при умножении любого числа на 0 мы получаем 0,но b тоже равно 0. Решением этого уравнения  является любое число.

Пример 2. Решите уравнение 5(х – 3) + 2 = 3 (х – 4) + 2х ‒ 1.

Раскроем скобки:
5х – 15 + 2 = 3х – 12 + 2х ‒ 1.

Сгруппируем  в левой части члены, содержащие неизвестные, а в правой ‒ свободные члены:
5х – 3х ‒ 2х =  – 12  ‒ 1 + 15 ‒ 2.

Приведем подобные члены:
0х = 0.

Ответ: х —  любое число.

Если а = 0 и b ≠ 0, то получим уравнение  0х = — b. Это уравнение решений не имеет, так как при умножении любого числа на 0 мы получаем 0, но  b ≠ 0 .

Пример 3. Решите уравнение х + 8 = х + 5.

Сгруппируем  в левой части члены, содержащие неизвестные, а в правой ‒ свободные члены:
х – х = 5 ‒ 8.

Приведем подобные члены: 
0х = ‒ 3.

Ответ: нет решений.

На рисунке 1 изображена схема решения линейного уравнения

Составим общую схему решения уравнений с одной переменной. Рассмотрим решение примера 4.

Пример 4. Пусть надо решить уравнение 

1) Умножим все члены уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей, равное 12.

2) После сокращения получим
4 (х – 4) + 3·2 (х + 1) ‒ 12 = 6·5 (х – 3) + 24х – 2 (11х + 43)

3) Чтобы отделить члены, содержащие неизвестные и свободные члены, раскроем скобки:
4х – 16 + 6х + 6 – 12 = 30х – 90 + 24х – 22х – 86 .

4) Сгруппируем в одной части члены, содержащие неизвестные, а в другой – свободные члены:
4х + 6х – 30х – 24х + 22х = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12.

5) Приведем подобные члены:
‒ 22х = ‒ 154.

6) Разделим на  – 22 , Получим
х = 7.

Как видим, корень уравнения равен семи.

Вообще такие уравнения можно решать по следующей схеме:

а) привести уравнение к целому виду;

б) раскрыть скобки;

в) сгруппировать члены, содержащие неизвестное, в одной части уравнения, а свободные члены ‒ в другой;

г) привести подобные члены;

д) решить уравнение вида aх = b,которое получили после приведения подобных членов.

Однако эта схема не обязательна для всякого уравнения. При решении многих более простых уравнений приходится начинать не с первого, а со второго (Пример. 2),  третьего (Пример. 1, 3) и даже с пятого этапа, как в примере 5.

СЛОЖНА-А-А 🙀 Ты же знаешь, что если не разобраться в теме сейчас, то потом придется исправлять оценки. Беги на бесплатное онлайн-занятие с репетитором (подробности тут + 🎁).

Пример 5. Решите уравнение 2х = 1/4.

Находим неизвестное  х = 1/4 : 2,
х = 1/8 .

Рассмотрим решение некоторых линейных уравнений, встречающихся на основном государственном экзамене.

Пример 6. Решите уравнение 2 (х + 3) = 5 – 6х.

Решение

2х + 6 = 5 – 6х

2х + 6х = 5 – 6

8х = ‒1

х = ‒1 : 8

х = ‒ 0, 125

Ответ: ‒ 0, 125

Пример 7. Решите уравнение – 6 (5 – 3х) = 8х – 7.

Решение

– 30 + 18х = 8х – 7

18х  – 8х =  – 7 +30

10х = 23

х = 23 : 10

х = 2,3

Ответ: 2,3

Пример 8. Решите уравнение

 

Решение:

3(3х – 4) = 4 · 7х + 24

9х – 12 = 28х + 24

9х – 28х = 24 + 12

-19х = 36

х = 36 : (-19)

х = — 36/19

Ответ: — . 

Пример 9. Найдите f(6), если f (x + 2) = 3^7-х

Решение

Так как надо найти f(6), а нам известно f (x + 2),
то х + 2 = 6.

Решаем линейное уравнение х + 2 = 6,
получаем х = 6 – 2, х = 4.

Если х = 4, тогда
f(6) = 3^7-4 = 3³ = 27

Ответ: 27.

Молодец! Раз ты дочитал это до конца, вероятно, ты все отлично усвоил.  Но если вдруг что-то еще непонятно — попробуй онлайн-занятие с репетитором (подробности тут + 🎁).

Если у Вас остались вопросы, есть желание разобраться с решением уравнений более основательно, записывайтесь на мои уроки в РАСПИСАНИИ. Буду рада Вам помочь!

Также TutorOnline советует посмотреть новый видеоурок от нашего репетитора Ольги Александровны, который поможет разобраться как с линейными уравнениями, так и с другими.

© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Содержание:

Линейное уравнение с одной переменной

Уравнение — одно из важнейших понятий не только математики, но и многих прикладных наук. Это наиболее удобная математическая модель, наилучшее средство для решения сложнейших задач. Образно говоря, уравнение — это ключ, которым можно отворять тысячи дверей в неизвестное. Основные темы главы:

• общие сведения об уравнениях;
• равносильные уравнения;
• линейные уравнения;
• решение задач с помощью уравнений.

Общие сведения об уравнении

Алгебра в течение многих столетий развивалась как наука об уравнениях.

Уравнение — это равенство, содержащее не-известные числа, обозначенные буквами.

Неизвестные числа в уравнении называют переменными. Переменные чаще всего обозначают буквами х, у, z (икс, игрек, зет), хотя их можно обозначить и другими буквами.

Примеры уравнений:

Например:

Рассмотрим уравнение . Если в нём вместо переменной х написать число 5, то будем иметь правильное числовое равенство . Говорят, что «число 5 удовлетворяет данное уравнение».

Число, удовлетворяющее уравнение, называется его корнем.

Уравнение имеет только один корень:

Уравнение имеет три корня:

Уравнение не имеет ни одного корня, так как при каждом значении переменной х число х + 7 на 7 больше, чем х.

Уравнение имеет бесконечное множество корней.

Решить уравнение — это означает, что надо найти все его корни или показать, что их не существует.

Простейшие уравнения можно решать, пользуясь известными зависимостями между слагаемыми и суммой, между множителями и произведением и т. п.

Пример:

Решите уравнение

Решение:

В данном случае неизвестно вычитаемое. Чтобы найти его, следует от уменьшаемого отнять разность:

Здесь неизвестный множитель х. Чтобы найти его, надо произведение разделить на известный множитель:

Ответ. х = 4.

Уравнение — это своеобразный кроссворд. Только в клеточки кроссворда вписывают буквы, чтобы получить нужные слова, а в уравнение вместо переменных подставляют числа, чтобы получались правильные равенства.

Например, уравнение можно записать в форме числового кроссворда:

Какое число надо поставить в квадратики, чтобы получилось верное равенство?

Уравнения бывают разных видов, в частности — содержащие неизвестную переменную в квадрате, в кубе, под знаком модуля и т. п. Решим, например, уравнения:

1) Ответим на вопрос: какое число надо возвести в квадрат, чтобы получить 9? Это числа 3 и -3. Это и есть корни данного уравнения.

2) Разделим обе части уравнения Какое число, возведённое в куб, равно 8? Таковым является число 2. Значит, решение данного уравнения х = 2.

3) Если модуль числа x — 2, то это число равно 5 или -5. Имеем: x — 2 = 5, отсюда х = 7, или x — 2 = -5, отсюда х = -3. Значит, уравнение имеет два корня: x = 7 и x = -3.

Пример:

Решите уравнение

Решение:

Пример:

Я задумал число. Если его умножить на 3, от результата отнять 4, то получим 5. Какое число я задумал?

Решение:

Обозначим искомое число буквой х. Если умножить его на 3, то получим Зх. Отняв от результата 4, получим Зх — 4. Имеем уравнение:

Решим это уравнение: Ответ. 3.

Пример:

При каком значении а уравнение будет иметь корень х = 3?

Решение:

Первый способ. Найдём неизвестный множитель х как частное от деления произведения 12 и известного множителя а + 5:

По условию x + 3, поэтому отсюда а = -1.

Второй способ. Подставим в уравнение вместо переменной х число 3:

Решим полученное уравнение относительно переменной а. Имеем:

Ответ. Если а = -1, то уравнение имеет корень х = 3.

Равносильные уравнения

Рассмотрим два уравнения: . Каждое из них имеет один и тот же корень: х = 5.

Два уравнения называют равносильными, если каждое из них имеет те же корни, что и другое. Равносильными считают и такие уравнения, которые не имеют корней.

Например:

Чтобы решать более сложные уравнения, нужно уметь заменять их более простыми и равносильными данным. Покажем, как это делается.

Из распределительного закона умножения следует, что при любом значении х числа 2x + 5x = 7x. Поэтому равносильными будут такие, например, уравнения:

Из распределительного закона следует, что при каждом значении х числа . Поэтому равносильны и уравнения:

Вообще, если в любой части уравнения свести подобные слагаемые или раскрыть скобки, то получим уравнение, равносильное данному.

Прибавив к обеим частям верного числового равенства одно и то же число, получим также верное равенство. Подобно этому тела с равными массами, положенные на чаши уравновешенных весов, не нарушают равновесия (рис. 4).

Отсюда следует, что когда, например, к обеим частям уравнения (1) прибавить по -10y, то получим уравнение , равносильное данному. А прибавить к левой и правой частям уравнения (1) по -10y — это то же самое, что перенести 10y из правой части уравнения в левую с противоположным знаком. Вообще, если из одной части уравнения в другую перенести любой его член с противоположным знаком, то получим уравнение, равносильное данному.

Вспомним также, что обе части числового равенства можно умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля. Поэтому если обе части уравнения умножить иди разделить на одно и то же число, отличное от нуля, то получим уравнение, равносильное данному. Например, умножив обе части уравнения получим уравнение имеющее такой же корень, как и данное. А если обе части уравнения разделим на 20, то будем иметь более простое уравнение , равносильное данному.

Всегда справедливы такие основные свойства уравнений.

1. В любой части уравнения можно свести подобные слагаемые или раскрыть скобки, если они есть.
2. Любой член уравнения можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный.
3. Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то число, отличное от нуля.

В результате таких преобразований всегда получаем уравнение, равносильное данному.

Сформулированные свойства часто используют для решения уравнений. Для примера решим уравнение:

Решение:

Умножим обе части уравнения на 6:

Перенесём 4х в правую часть, а -1 — в левую с противоположными знаками:

Сведём подобные члены:

Разделим обе части уравнения на 2:

Ответ.

Откуда произошло название науки — алгебра? От названия книги об уравнениях узбекского математика IX в. Мухаммеда аль-Хо-резми (Мухаммеда из Хорезма). В те далёкие времена отрицательные числа не считались настоящими. Поэтому когда в результате перенесения отрицательного члена уравнения из одной его части в другую этот член становился положительным, считалось, что Qh восстанавливался, переходил из ненастоящего в настоящий. Такое преобразование уравнений Мухаммед аль-Хорезми назвал восстановлением (аль-джебр). Свойство об уничтожении одинаковых членов уравнения в обеих частях он назвал противопоставлением (аль-мукабала). Книга об этих преобразованиях называлась «Китаб мухтасар аль-джебр ва-л-мукабала» («Книга о восстановлении и противопоставлении»). Со временем её перевели на латинский Язык, взяв для названия только одно слово, которое стали писать Algebr. Отсюда и пошло название науки — алгебра. Преобразование «аль,-джебр» стало важным шагом в развитии алгебры, так как упростило решение уравнений.

Алгебра, арифметика, геометрия, математический анализ — основные составляющие математики (рис. 5). Арифметику — науку о числах и вычислениях — вы уже изучали на уроках математики. В 7-9 классах будете изучать алгебру и геометрию, с математическим анализом ознакомитесь в старших классах.

Пример:

Равносильны ли уравнения:

а)

б)

Решение:

а) Если раскрыть скобки в первом уравнении, то получим второе. Значит, уравнения равносильны.

б) Решим первое уравнение:

отсюда х = 1. Итак, данные уравнения не равносильны.

Ответ. а) Равносильны; б) не равносильны.

Пример:

Решите уравнение:

Решение:

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые: Перенесём слагаемое 3 в правую часть, а Зх — в левую, изменив их знаки на противоположные:

Разделим обе части уравнения на 2. Получим: х = 6. Ответ. х = 6.

Пример:

Найдите корни уравнения:

Решение:

Умножим обе части уравнения на 3. Получим:

Линейные уравнения

Уравнение вида ax = b, где a и b — данные числа, называется линейным уравнением с переменной х.

Числа a и b — коэффициенты уравнения ax = b , a— коэффициент при переменной х,b — свободный член уравнения.

Если то уравнение ах = b называют уравнением первой степени с одной переменной. Его корень

Каждое уравнение первой степени с одной переменной имеет один корень. Линейное уравнение может не иметь корней, иметь один или бесконечное множество корней.

Линейное уравнение ах = b:

Например, уравнение 0x = 5 не имеет ни одного корня, так как не существует числа, которое при умножении на 0 в произведении давало бы 5.

Уравнение 0x = 0 имеет бесконечное множество корней, так как его удовлетворяет любое значение переменной х.

Решая уравнение, его сначала стараются упростить, свести к линейному. Делают это преимущественно в такой последовательности.

1. Избавляются от знаменателей (если они есть).
2. Раскрывают скобки (если они есть).
3. Переносят члены, содержащие переменные, в левую часть уравнения, а не содержащие — в правую.
4. Приводят подобные слагаемые.

В результате такого преобразования получают уравнение, равносильное данному; его корни являются также корнями данного уравнения.

Пример 1. Решите уравнение:

Решение. Умножим обе части уравнения на 12 — наименьшее общее кратное знаменателей 2, 3, 4 и 12:

Ответ. -11.

Если коэффициенты уравнения многозначные, его удобно решать, пользуясь калькулятором. Пример 2. Решите уравнение

Ответ.

Найденное значение корня — приближённое. Точное значение пришлось бы записать в виде смешанной дроби, а именно Решая прикладные задачи, ответ обычно округляют и записывают, например, так:

Уравнение первой степени — это отдельный вид линейных уравнений. Соотношение между этими двумя видами уравнений наглядно проиллюстрировано на рисунке 7.

Ниже приведём примеры линейных уравнений, которые не являются уравнениями первой степени.

Уравнения первой степени

Уравнения не линейные,но сводящиеся к линейным.

Почему уравнение вида ах = b называют линейными, станет понятно, когда вы ознакомитесь с линейными функциями.

Пример:

Решите уравнения:

а) б)

Решение:

а)

— уравнение корней не имеет.

б)

— любое число удовлетворяет уравнение.

Ответ. а) Уравнение корней не имеет;

б) уравнение имеет бесконечное множество корней.

Пример:

Найдите два числа, полусумма которых вдвое больше их полуразности, которая равна 35.

Решение:

Если полуразность чисел равна 35, то разность будет вдвое больше, а именно — 70. Обозначим меньшее число буквой х, тогда большее будет равно

70 + х. По условию задачи или , отсюда х = 35 — меньшее число, 70 + 35 = 105 — большее число. Ответ. 35 и 105.

Решение задач с помощью уравнений

Чтобы решить задачу с помощью уравнения, сначала надо составить соответствующее этой задаче уравнение. Образно говоря, надо перевести задачу с обычного языка на язык алгебры, то есть составить математическую модель данной задачи. Как это можно сделать, покажем на нескольких примерах.

Пример:

На двух токах 1000т зерна. Сколько зерна на каждом току, если на первом его на 200т меньше, чем на втором?

Решение:

Пусть на первом току зерна. Тогда на втором — а на обоих — Имеем уравнение:

отсюда

Ответ.

Уравнение составленное по условию задачи, — это математическая модель данной задачи.

Составить уравнения часто помогает рисунок или схема (рис. 10)

Данную задачу можно решить и другими способами.

Если на втором току есть у т зерна, то на первом . Так как на втором току зерна на 200 т больше, то отсюда

Ответ тот же.

Рисунок 10, рисунок 11., уравнение — это три разные математические модели прикладной задачи 1. В математике прикладными называют задачи, условия которых содержат не математические понятия.

Модель всегда подобна оригиналу. В ней отображаются те или иные важные свойства исследуемого объекта. Такими являются уменьшенные модели автомобиля, самолёта, строения. Глобус — модель Земли, кукла — модель человека. Если модель создана на основе уравнений, формул или других математических понятий, её называют математической моделью.

Для решения задач на движение также используют разные модели. Надо помнить, что при равномерном движении пройденное телом расстояние равно произведению скорости на время При этом все значения величин следует выражать в соответствующих единицах измерения. Например, если время дано в часах, а расстояние — в километрах, то скорость надо выражать в километрах в час. Если тело движется при наличии течения, то его скорость движения по течению (против течения) равна сумме (разности) его собственной скорости и скорости течения. С помощью схем многие задачи на движение можно решить устно (№ 124). Для решения некоторых сложных задач требуется построение нескольких моделей.

Рассмотрим задачу, составить уравнение к которой помогает таблица — ещё один вид математических моделей.

Пример:

Катер должен был пройти расстояние между городами со скоростью 15 км/ч, а на самом деле шёл со скоростью 12 км/ч и потому опоздал на 3 ч. Найдите расстояние между городами.

Ответ. Построим таблицу и заполним её в соответствии с условием задачи.

Катер шёл на 3 ч дольше, чем должен был идти. Этому условию соответствует уравнение:

Решим уравнение:

Ответ. 180 км.

Решив задачу с помощью уравнения, нужно всегда анализировать полученное значение неизвестного. Может получиться, что найденный корень уравнения не соответствует условию задачи.

Пример:

Периметр треугольника равен 17 см. Найдите его стороны, если одна из них короче другой на 2 см, а третьей — на б см.

Решение:

Пусть длина самой короткой стороны треугольника равна х см. Тогда длины других сторон соответственно будут равны .Получим уравнение:

Решим его:

Если длина первой стороны 3 см, то вторая и третья соответственно будут равны 5 и 9 см.

Существует ли треугольник с такими сторонами? Нет, так как каждая сторона треугольника короче суммы двух других, а

Ответ. Задача не имеет решения.

Решение прикладных задач методом математического моделирования состоит из трёх этапов:

1. создание математической модели данной задачи;
2. решение соответствующей математической задачи;
3. анализ ответа.

Иногда с помощью уравнения решают не всю задачу, а только её часть.

Покажем, например, как можно заполнять пустые клеточки магического квадрата — таблицы чисел с одинаковым количеством строк столбцов, с одинаковой суммой чисел во всех строках, столбцах и по диагоналям.

Пример:

Перерисуйте в тетрадь рисунок 12 и в его пустые клеточки впишите такие числа, чтобы получился магический квадрат.

Решение:

Обозначим буквой х число в правой верхней клеточке Тогда сумма всех чисел первой строки будет равна 5+6+x, или 11 + x Такими же должны быть суммы и в каждой диагонали, и в среднем столбце поэтому в нижней строке следует написать 4, x — 2 , x — 1 (рис. 13). Та как сумма чисел должна быть равна 11 + х, то составим уравнение:

Подставим вместо х его значение 10, после чего пустые клеточки рисунка 14 заполнить нетрудно. В данном случае уравнение — модель части сформулированной задачи, дающая возможность вычислит только значение х.

Пример:

Катер прошёл расстояние между пристанями по течению реки за 2 ч, а обратно — за 2,5 ч. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения равна 2 км/ч.

Решение:

Пусть собственная скорость катера равна x км/ч. Тогда:

— его скорость по течению;

— скорость катера против течения;

— такое расстояние катер прошёл по течению;

— такое расстояние катер прошёл против течения.

Расстояния равны. Итак, получим уравнение

Ответ. 18 км/ч.

Пример:

Решите математический кроссворд (рис. 15).

Решение:

В кружки следует вписать два числа так, чтобы их сумма была равна 200, а разность — 10. Если второе число обозначим буквой х, то первое будет равно 200 — х. Их разность равна 10, следовательно, , отсюда 2 Ответ на рисунке 16.

Исторические сведения:

Уравнения первой степени с одной переменной люди научились решать очень давно. Египетские учёные почти четыре тысячи лет тому назад искомое неизвестное число называли «аха» (в переводе — «куча») и обозначали специальным знаком. В папирусе, дошедшем до нас, есть такая задача: «Куча и её седьмая часть составляют 19. Найдите кучу». Теперь бы мы сформулировали её так: «Сумма неизвестного числа и его седьмой части равна 19. Найдите неизвестное число».

Задача сводится к уравнению

Подобные задачи умели решать учёные Древней Греции, древних Индии, Китая. Древнегреческий математик Диофант (III в.) решал и более сложные уравнения, в частности такие, которые в современных символах имеют вид У Диофанта уравнение записывалось таким способом:

Аль-Хорезми и многие его преемники все уравнения записывали словами, не используя математических знаков.

От фамилии аль-Хорезми происходит ещё один важный для современной науки термин — алгоритм. Так называют совокупность правил, пользуясь которыми можно решить любую задачу из определённого класса задач. Например, известный вам способ умножения чисел «столбиком», способ определения наибольшего общего делителя двух или нескольких чисел — это алгоритмы. В современной науке понятие «алгоритм» играет огромную роль, существует даже специальная область математики — теория алгоритмов. Подробнее с алгоритмами вы ознакомитесь в старших классах.

Сначала алгеброй называли науку, изучающую различные способы решения уравнений. Со временем она значительно расширилась, обогатилась новыми идеями. Теперь уравнение — только одна из составляющих алгебры.

Напомню:

Уравнение — это равенство, которое содержит неизвестные числа, обозначенные буквами.

Числа, удовлетворяющие уравнение, — его корни. Решить уравнение — это значит найти все его корни или показать, что их не существует.

Два уравнения называют равносильными, если каждое из них имеет те же корни, что и другое. Уравнения, которые не имеют корней, также считают равносильными друг другу.

Основные свойства уравнений.

1. В любой части уравнения можно привести подобные слагаемые или раскрыть скобки, если они есть.
2. Любой член уравнения можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный.
3. Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля.

Уравнение вида ах = b, где а и b — произвольные числа, называют линейным уравнением с переменной х. Если , то уравнение ах = b называют уравнением первой степени с одной переменной.

Каждое уравнение первой степени ах = b имеет один корень . Линейное уравнение может иметь один корень, бесконечно много корней или не иметь ни одного корня.

Решение прикладных задач методом математического I моделирования состоит из трёх этапов:

1. создание математической модели данной задачи;
2. решение соответствующей математической задачи;
3. анализ ответа.

Линейное уравнение с одной переменной

Рассмотрим три уравнения:

Очевидно, что число -1,5 является единственным корнем первого уравнения.

Поскольку произведение любого числа на нуль равно нулю, то корнем второго уравнения является любое число.

Понятно, что третье уравнение корней не имеет.

Несмотря на существенное различие полученных ответов, приведенные уравнения внешне похожи: все они имеют вид где — переменная, — некоторые числа.

Уравнение вида где — переменная, — некоторые числа, называют линейным уравнением с одной переменной.

Вот еще примеры линейных уравнений:

Текст, выделенный жирным шрифтом, разъясняет смысл термина «линейное уравнение». В математике предложение, раскрывающее суть нового термина (слова, понятия, объекта), называют определением.

Итак, мы сформулировали (или говорят: «дали») определение линейного уравнения.

Заметим, что, например, уравнения линейными не являются.

Если то, разделив обе части уравнения на получим . Отсюда следует: если то уравнение имеет единственный корень, равный

Если же то линейное уравнение приобретает такой вид: Здесь возможны два случая:

В первом случае получаем уравнение Тогда, если то уравнение имеет бесконечно много корней: любое число является его корнем.

Во втором случае, когда при любом значении получим неверное равенство Отсюда, если и то уравнение корней не имеет.

Следующая таблица подытоживает приведенные рассуждения.

Пример:

Решите уравнение:

1)

Решение:

1) Так как произведение нескольких множителей равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, получаем:

Ответ: -0,7; 4.

2) Учитывая, что модуль только чисел 4 и -4 равен числу 4, имеем:

Ответ: 2; 0,4.

Обратим ваше внимание на то, что рассмотренные уравнения не являются линейными, однако решение каждого из них сводится к решению линейных уравнений.

Пример:

Решите уравнение:

Решение:

1) При уравнение принимает вид В этом случае корней нет. При имеем

Ответ: если , то уравнение не имеет корней; если , то

2) При уравнение принимает вид В этом случае корнем уравнения является любое число. При имеем

Ответ: если , то — любое число; если , то

Решение задач с помощью уравнений

Вам много раз приходилось решать задачи с помощью составления уравнений (текстовые задачи). И разнообразие решенных задач является лучшим подтверждением эффективности и универсальности этого метода. В чем же заключается секрет его силы?

Дело в том, что условия непохожих друг на друга задач удается записать математическим языком. Полученное уравнение — это результат перевода условия задачи с русского языка на математический.

Часто условие задачи представляет собой описание какой-то реальной ситуации. Составленное по этому условию уравнение называют математической моделью этой ситуации.

Конечно, чтобы получить ответ, уравнение надо еще решить. Для этого в алгебре разработаны различные методы и приемы. С некоторыми из них вы уже знакомы, многие другие вам еще предстоит изучить.

Найденный корень — это еще не ответ задачи. Следует выяснить, не противоречит ли полученный результат реальной ситуации, описанной в условии.

Рассмотрим, например, такие задачи:

1. За 4 ч собрали 6 кг ягод. Сколько ягод собирали за каждый час?
2. Несколько мальчиков собрали 6 кг ягод. Каждый из них собрал по 4 кг. Сколько мальчиков собирали ягоды?

Обе задачи приводят к одному и тому же уравнению , корнем которого является число 1,5. Но в первой задаче решение «полтора килограмма ягод за час» является приемлемым, а во второй — «ягоды собирали полтора мальчика» — нет.

При решении задач на составление уравнений удобно пользоваться следующей схемой:

1. по условию задачи составить уравнение (сконструировать математическую модель задачи);
2. решить уравнение, полученное на первом шаге;
3. выяснить, соответствует ли найденный корень смыслу задачи, и дать ответ.

Эту последовательность действий, состоящую из трех шагов, можно назвать алгоритмом решения текстовых задач.

Пример:

Рабочий должен был выполнить заказ за 8 дней. Однако, изготавливая ежедневно 12 деталей сверх нормы, он уже за 6 дней работы не только выполнил заказ, но и изготовил дополнительно 22 детали. Сколько деталей ежедневно изготавливал рабочий?

Решение:

Пусть рабочий изготавливал ежедневно деталей. Тогда по плану он должен был изготавливать ежедневно деталей, а всего их должно было быть изготовлено На самом деле он изготовил деталей. Так как по условию задачи значение выражения на 22 больше значения выражения то

Тогда

Ответ: 37 деталей.

Пример:

Велосипедист проехал 65 км за 5 ч. Часть пути он проехал со скоростью 10 км/ч, а оставшийся путь — со скоростью 15 км/ч. Сколько времени он ехал со скоростью 10 км/ч и сколько — со скоростью 15 км/ч?

Решение:

Пусть велосипедист ехал ч со скоростью 10 км/ч. Тогда со скоростью 15 км/ч он ехал ч. Первая часть пути составляет км, а вторая — км. Имеем:

Следовательно, со скоростью 10 км/ч велосипедист ехал 2 ч, а со скоростью 15 км/ч — 3 ч.

Ответ: 2 ч, 3 ч.

——

Что такое уравнение, линейное уравнение, что значит решить уравнение

Алгебра длительное время была частью арифметики — одной из древнейших математических дисциплин. Слово «арифметика» в переводе с греческого означает «искусство чисел». Алгебру же после выделения ее в отдельную науку рассматривали как искусство решать уравнения.

В данном разделе мы выясним, что такое уравнение, линейное уравнение, что значит решить уравнение, как решать задачи с помощью уравнений.

Что такое уравнение

Рассмотрим задачу:

Масса 4 больших и 15 малых деталей равна 270 г. Масса большой детали в три раза больше массы малой. Какова масса малой детали?

Пусть масса малой детали равна г, тогда масса большой — г. Масса 15 малых деталей равна г, а 4 больших — (г). По условию задачи сумма этих масс равна 270 г:

.

Мы пришли к равенству, которое содержит неизвестное число, обозначенное буквой (еще говорят: равенство содержит переменную ). Чтобы решить задачу, нужно найти значение , при котором равенство является верным числовым равенством.

Равенство с неизвестным значением переменной называют уравнением с одной переменной (или уравнением с одним неизвестным).

Корень уравнения

Рассмотрим уравнение . Подставляя вместо переменной некоторые числа, будем получать числовые равенства, которые могут быть верными или неверными. Например:

Значение переменной, при котором уравнение превращается в верное числовое равенство, называют корнем, или решением уравнения.

Итак, число 3 является корнем уравнения , а число 4 — нет.

Количество корней уравнения

Уравнения могут иметь разное количество корней. Например:

уравнению удовлетворяет любое число ; говорят, что это уравнение имеет бесконечно много корней.

Уравнение может и не иметь корней. Рассмотрим, например, уравнение . Для любого числа значение левой части уравнения на 1 больше значения правой части. Следовательно, какое бы число мы не взяли, равенство будет неверным. Поэтому это уравнение не имеет корней.

Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

Решим уравнение, составленное выше по условию задачи о больших и малых деталях:

Таким образом, масса малой детали равна 10 г.

Примеры решения уравнений:

Пример №86

Является ли число 2,5 корнем уравнения ?

Решение:

Если , то:

значение левой части уравнения равно: ; значение правой части равно: . Значения обеих частей уравнения равны, поэтому — корень данного уравнения.

• Заказать решение задач по высшей математике

Пример №87

Решить уравнение:

а) ; б) ; в) .

а) ; ; ; ; . Ответ. 11.

б) Произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, или ; или . Ответ.-0,5; 2.

в) ; ; . Квадрат числа не может быть равен отрицательному числу. Поэтому данное уравнение корней не имеет. Ответ. Уравнение корней не имеет.

Решение уравнений. Свойства уравнений

Решение любого уравнения сводится к выполнению определенных преобразований, в результате которых данное уравнение заменяют более простым.

Решим, например, уравнение:

. (1)

1. Раскроем скобки:

. (2)

2. Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

. (3)

3. Перенесем слагаемые с переменной в левую часть уравнения, а без переменной — в правую, изменив их знаки на противоположные:

. (4)

4. Приведем подобные слагаемые в каждой части уравнения:

. (5)

5. Разделим обе части уравнения на 2:

.

Таким образом, уравнение (1) имеет единственный корень — число 4.

При решении уравнения (1) мы выполняли некоторые преобразования: раскрывали скобки, приводили подобные слагаемые, переносили слагаемые из одной части уравнения в другую, делили обе части уравнения на число. С этими преобразованиями связаны следующие основные свойства уравнений:

Свойство 1. В любой части уравнения можно раскрыть скобки или привести подобные слагаемые.

Свойство 2. Любое слагаемое можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак на противоположный.

Свойство 3. Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля.

Если в некотором уравнении выполнить одно из преобразований, указанных в свойствах 1, 2 или 3, то получим уравнение, имеющее те же корни, что и начальное уравнение.

Решая уравнение (1), мы последовательно получали уравнения (2), (3), (4), (5). Все они вместе с уравнением (1) имеют один и тот же корень — число 4.

Для тех, кто хочет знать больше

Свойства уравнений можно обосновать, используя следующие свойства числовых равенств:

Если а — b — верное числовое равенство и с — некоторое число, то:

Если к обеим частям верного числового равенства прибавить одно и то же число, то получим верное числовое равенство.

Если обе части верного числового равенства умножить на одно и то же число, то получим верное числовое равенство.

Если обе части верного числового равенства разделить на одно и то же число. отличное от нуля то получим верное числовое равенство.

Из первого свойства числовых равенств можно получить такое следствие: если из одной части верного числового равенства перенести в другую часть слагаемое, изменив его знак на противоположный, то получим верное числовое равенство.

Используя свойства числовых равенств, докажем, например, что уравнение

(6)

имеет тс же корни, что и уравнение

. (7)

(Это свойство 2 для уравнения .)

• Пусть — произвольный корень уравнения (6). Тогда — верное числовое равенство. Перенесем слагаемое в левую часть равенства, изменив его знак на противоположный. Получим верное числовое равенство , из которого следует, что является корнем уравнения (7). Мы доказали, что произвольный корень уравнения (6) является корнем уравнения (7).

Наоборот, пусть — произвольный корень уравнения (7). Тогда числовое равенство является верным. Перенесем слагаемое в правую часть равенства, изменив его знак на противоположный. Получим верное числовое равенство , из которого следует, что является корнем уравнения (6). Мы доказали, что произвольный корень уравнения (7) является корнем уравнения (6). Таким образом, уравнения (6) и (7) имеют одни и тс же корни. • Уравнения, имеющие одни и те же корни, называют равносильными. Следовательно, уравнения (6) и (7) являются равносильными.

Примеры решения уравнений:

Пример №88

Решить уравнение .

Решение:

Умножив обе части уравнения на 14, получим:

; ; ;

Ответ. 15.

Пример №89

Решить уравнение .

Решение:

Разделив обе части уравнения на 25, получим:

Ответ. 1,6.

Линейные уравнения с одной переменной

Линейные уравнения с одной переменной

Рассмотрим уравнения:

Левая часть каждого из этих уравнений является произведением некоторого числа и переменной, а права часть — некоторым числом. Такие уравнения называют линейными уравнениями с одной переменной.

Определение:

Уравнение вида , где — некоторые известные числа, а — переменная, называют линейным уравнением с одной переменной.

Числа а и b называют коэффициентами линейного уравнения.

Когда при решении уравнения выполняют некоторые преобразования, приводя данное уравнение к более простому, то во многих случаях этим «простым» уравнением является именно линейное уравнение.

Выясним, сколько корней может иметь линейное уравнение. Для этого рассмотрим сначала три следующих уравнения:

1) ; 2) ; 3) .

1. Чтобы решить уравнение , достаточно обе его части разделить на 3. Получим один корень:
2. В уравнении значение левой части равно 0 для любого числа . Правая же часть уравнения не равна нулю. Следовательно, данное уравнение корней не имеет.
3. Равенство является верным для любого числа . Поэтому корнем уравнения является любое число (уравнение имеет бесконечно много корней).

В общем случае для линейного уравнения получим:

Итог: количество корней линейного уравнения

— линейное уравнение	Коэффициенты	Корни
	— единственный корень
и	корней нет
и	корнем является любое число (уравнение имеет бесконечно много корней)

Уравнения с модулями

Напомним, что модулем положительного числа и числа 0 является это же число, модулем отрицательного числа является противоположное ему число:

Так, . Модуль любого числа является неотрицательным числом, то есть .

Уравнения содержат переменную под знаком модуля. Такие уравнения называют уравнениями с модулем.

Уравнение вида . Решая уравнение вида , где а — некоторое известное число, можно использовать геометрический смысл модуля числа: модуль числа — это расстояние от начала отсчета до точки, изображающей число на координатной прямой.

Рассмотрим уравнение . На координатной прямой существуют две точки, расположенные на расстоянии 2 единицы от начала отсчета. Это точки, соответствующие числам 2 и -2 (рис. I). Поэтому уравнение имеет два корня: 2 и -2.

Рис. 1

Уравнение имеет один корень — число 0, а уравнение не имеет корней (модуль любого числа является неотрицательным числом и не может быть равен -2).

В общем случае уравнение :

Решение уравнений с модулями, исходя из определения модуля числа

Решим уравнение

(1)

Это уравнение нельзя привести к виду , где а — некоторое число. Для его решения рассмотрим два случая.

1. Если — неотрицательное число (), то и уравнение (1) принимает вид , откуда . Число 1 — неотрицательное (удовлетворяет неравенству ), поэтому оно является корнем уравнения (1).

2. Если — отрицательное число (), то и уравнение (1) принимает вид , откуда . Число 2 не является отрицательным (не удовлетворяет неравенству ), поэтому оно не является корнем уравнения (1).

Таким образом, уравнение имеет один корень .

Примеры выполнения заданий:

Пример №90

Решить уравнение .

Решение:

Ответ. -3.

Пример №91

Решить уравнение .

Решение:

Ответ. Уравнение корней не имеет.

Пример №92

Решить уравнение

Решение:

Ответ. Корнем уравнения является любое число.

Пример №93

Решить уравнение .

Решение:

Умножив обе части уравнения на 36 (36 — наименьшее общее кратное знаменателей дробей), получим:

Ответ. 6.

Итог. При решении уравнения нужно придерживаться следующей схемы:

1. Если в уравнении есть выражения с дробными коэффициентами, то умножить обе его части на наименьший общий знаменатель дробей.
2. Раскрыть скобки.
3. Перенести все слагаемые, содержащие переменную, в одну часть уравнения (как правило, в левую), а слагаемые, не содержащие переменной, — в другую часть (в правую).
4. Привести подобные слагаемые.
5. Разделить обе части уравнения на коэффициент при переменной, если он не равен нулю. Если же он равен 0, то уравнение или не имеет корней, или его корнем является любое число.

Пример №94

Решить уравнение .

Решение:

Если модуль числа равен 3, то этим числом является 3 или -3. Поэтому возможны два случая:

1) 2)

Ответ. 3; 0.

Пример №95

Решить уравнение .

Решение:

Ответ. -4; 4.

Решение задач с помощью уравнений

При решении задач с помощью уравнений в большинстве случаев придерживаются следующей схемы:

1. выбирают неизвестное и обозначают его буквой (или какой-нибудь другой буквой);
2. используя условие задачи, составляют уравнение;
3. решают уравнение и отвечают на вопросы, поставленные в задаче.

Рассмотрим примеры.

Пример №96

В двух цистернах находится 66 т бензина, причем в первой бензина в 1,2 раза больше, чем во второй. Сколько бензина в каждой цистерне?

Решение:

Пусть во второй цистерне т бензина, тогда в первой — т. В двух цистернах вместе находится т бензина, что по условию равно 66 т. Получаем уравнение:

Решим это уравнение: .

Таким образом, во второй цистерне 30 т бензина, а в первой — 1,2 • 30 = 36 (т).

Ответ. 36 т, 30 т.

Примечание. Чтобы решить задачу 1, можно рассуждать и так. Пусть во второй цистерне т бензина, тогда в первой — т. В первой цистерне бензина в 1,2 раза больше, чем во второй, поэтому . Остается решить это уравнение и записать ответ задачи.

Пример №97

Из. города А в город В выехал грузовой автомобиль. Через 30 мин навстречу ему из города В выехал легковой автомобиль, скорость которого на 25 км/ч больше скорости грузового. Автомобили встретились через 1,3 ч после выезда грузового автомобиля из города А. Найти расстояние между городами, если за все время движения грузовой автомобиль проехал на 10 км больше, чем легковой.

Решение:

Пусть скорость грузового автомобиля км/ч, тогда скорость легкового — км/ч.

До момента встречи грузовой автомобиль был в пути 1,3 ч, а легковой на 30 мин = 0,5 ч меньше: 1,3 ч — 0,5 ч = 0,8 ч. За 1,3 ч грузо&ой автомобиль проехал 1,3 км, а легковой за 0,8 ч — 0,8 км. Поскольку грузовой автомобиль проехал на 10 км больше, чем легковой, то разность расстояний 1,3 км и 0,8 км равна 10 км.

	Скорость, км/ч	Время, ч	Путь, км
Грузовой автомобиль		1,3	1,3
Легковой автомобиль		0,8

Получили уравнение:

Решим это уравнение:

Итак, скорость грузового автомобиля равна 60 км/ч.

Расстояние между городами равно сумме расстояний, которые проехали оба автомобиля, то есть км. Поскольку = 60, то получим:

Ответ. 146 км. •

Примечание. Опираясь на решение задач 1 и 2, проанализируем первые два шага приведенной выше схемы решения задач с помощью уравнений.

1) Выбор неизвестного, которое мы обозначали буквой, в решениях этих задач был разным. В задаче 1 мы обозначили через т одну из искомых величин (массу бензина во второй цистерне). В задаче 2 искомой величиной является расстояние между городами. Если эту величину обозначить через км, то при составлении уравнения рассуждения будут довольно сложными. Мы же через км/ч обозначили неизвестную скорость грузового автомобиля, выразили через расстояния, пройденные автомобилями, и составили уравнение, зная, что разность расстояний равна 10 км.

Таким образом, обозначать через (или какую-нибудь другую букву) желательно ту неизвестную величину, через которую легче выражаются величины, значения которых можно приравнять.

2) Чтобы составить уравнение, сначала выражаем через те величины, значения которых будем приравнивать. После этого записываем уравнение.

Математическая модель:

Вам, наверное, уже приходилось видеть модели корабля, самолета, автомобиля, изготавливать модели куба, прямоугольного параллелепипеда. Каждая модель, в зависимости от ее предназначения, отображает некоторые свойства оригинала.

Математическая модель — это описание некоторого реального объекта или процесса на языке математики.

Опишем на языке математики задачу 2. Определяя скорость грузового автомобиля в этой задаче, мы обозначили ее через км/ч. Скорость легкового автомобиля на 25 км/ч больше, чем скорость грузового, что на языке математики записывают так: скорость легкового автомобиля равна км/ч.

На языке математики расстояние, пройденное грузовым автомобилем, записывают: 1,3 км, а расстояние, пройденное легковым автомобилем, — км.

По условию задачи грузовой автомобиль проехал на 10 км больше, чем легковой, что на языке математики можно выразить так: разность расстояний, пройденных грузовым и легковым автомобилями, равна 10 км, и записать: .

Полученное уравнение и является математической моделью задачи на движение автомобилей. Построив математическую модель, мы свели задачу на движение к математической задаче — решить уравнение.

Кроме уравнений, есть и другие виды математических моделей, с которыми ми познакомимся в процессе изучения алгебры.

Интересно знать. История науки знает немало примеров, когда в рамках удачно построенной математической модели с помощью вычислений, как говорят, «на кончике пера», удавалось предвидеть существование новых физических объектов и явлений. Так, опираясь на математические модели, астрономы Дж. Адамс (Англия) в 1845 году и У. Леверье (Франция) в 1846 году независимо друг от друга пришли к выводу о существовании неизвестной тогда еще планеты и указали ее расположение на небе. По расчетам Леверье астроном Г. Галле (Германия) нашел эту планету. Ее назвали Нептуном.

Интересно знать

На протяжении многих столетий алгебра была наукой об уравнениях и способах их решения. Линейные уравнения умели решать еще древние египтяне и вавилоняне (1 тысячелетие до н. э.).

О состоянии математики в Древнем Египте свидетельствуют математические тексты, написанные на особой бумаге — папирусе, изготовленном из стеблей растения, которое имеет такое же название. Написание некоторых папирусов относят к XVIII в. до н. э., хотя описанные в них математические факты были известны древним египтянам задолго до их изложения.

Один из таких папирусов был найден в 1872 году в одной из египетских пирамид. Его приобрел английский коллекционер древностей Райнд, и сейчас >тот папирус — папирус Райнда — хранится в Лондоне.

В папирусе Райнда особое место занимают задачи на «аха» («хау»).

Это задачи, которые решаются с помощью линейных уравнений с одним нечестным. «Аха» («хау») означает «совокупность», «куча» (неизвестная величина). Пример такой задачи: «Куча. Ее, ее , ее и ее целое. Это 33». Если обозначить «кучу» — неизвестную величину — через , то получим уравнение: .

Более заметные успехи в создании начал алгебры были достигнуты в Древнем Вавилоне. До нашего времени сохранились вавилонские глиняные плитки с комбинациями клиновидных черточек — клинописью. Такие плитки имели в Вавилоне то же значение, что и папирусы в Египте. На плитках встречаются и и клинописные математические тексты, которые свидетельствуют, что уже более 4000 лет гому назад в Вавилоне могли решать уравнения, содержащие квадрат неизвестного.

Начиная с VII в. до н. э., древние греки после знакомства с достижениями египтян и вавилонян в сфере математики продолжили их науку. При этом достаточно мало греческих ученых при решении задач использовали уравнения. Одним из тех, кто использовал уравнения, был древнегреческий математик Диофант.

О Диофанте известно мало, даже точно не установлены годы его жизни. Кое-что о жизни Диофанта и о том, сколько он прожил лет, можно узнать из надписи на его могильной плите.

Надпись на плите	Языком алгебры
Путник! Здесь погребен Диофант. И числа поведать могут, о чудо, сколь долог был век его жизни.
Часть шестую его представляло прекрасное детство.
Двенадцатая часть протекла его жизни — покрылся пухом тогда подбородок.
Седьмую в бездетном браке провел Диофант.
Прошло пятилетие; он был осчастливлен рождением прекрасного первенца-сына,	5
коему рок дал половину лишь жизни прекрасной и светлой на земле по сравнению с отцом.
И в печали глубокой старец земного удела конец воспринял, переживши года четыре с тех пор, как сына лишился.	4
Скажи, сколько лет жизни достигнув, смерть воспринял Диофант?

Греческую науку в Средневековье заимствовали ученые Востока — индийцы и арабы. Именно на Востоке в IX в. алгебра становится самостоятельной математической наукой.

Происхождение слова «алгебра» также связано с Востоком.

Город Багдад в VII-IX в. был столицей могущественного Арабского халифата. Багдадские халифы оказывали содействие развитию природоведения и математических наук. За годы правления халифа Гаруна аль-Рашида в Багдаде была оборудована большая библиотека, а халиф аль-Мамун организовал своеобразную академию — «Дом мудрости» и построил хорошо оборудованную обсерваторию.

При дворе аль-Мамуна жил и работал ученый Мухаммед бен Муса аль-Хорезми (около 780 — около 850). Он собрал и систематизировал способы решения уравнений и описал их в работе «Китаб аль-джебр аль-мукабала», что дословно означает «Книга о восстановлении и противопоставлении». В то время отрицательные числа считались «ненастоящими», и, когда в процессе решения уравнения в какой-то его части появлялось отрицательное число, его нужно было перенести в другую часть. Эту операцию называли восстановлением (аль-джебр), то есть переведением «ненастоящих» (отрицательных) чисел в «настоящие» (положительные). С помощью противопоставления (аль-мукабала) отбрасывали одинаковые слагаемые в обеих частях уравнения.

В XII в. сочинение аль-Хорезми перевели на латинский язык, сохранив в его названии только слово «аль-джебр», которое вскоре стали произносить как алгебра.

Постепенно сформировалась современная алгебра, которая охватывает не только теорию решения уравнений, а и способы проведения операций (действий) с разнообразными объектами (в частности, с числами).

Составь уравнения по схемам, реши их и сделай проверку: