Как составить уравнение по задачи на системы уравнения

Алгоритм решения задачи с помощью системы линейных уравнений

Например:

Задуманы два числа. Если от первого отнять второе, то получается 10. Если к первому прибавить удвоенное второе, то получается 91. Найдите задуманные числа.

Примеры

Пример 1. Периметр прямоугольника равен 48 см. Его длина больше ширины в 3 раза.

Найдите стороны прямоугольника.

Пусть a и b — длина и ширина прямоугольника.

По условию:

$$ {left{ begin{array}{c} P = 2(a+b) = 48 \ a = 3b end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} a+b = 24 \ a = 3b end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} 3b+b = 24 \ a = 3b end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} 4b = 24 \ a = 3b end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} a = 18 \ b = 6 end{array} right.} $$

Ответ: длина прямоугольника 18 см, ширина 6 см.

Пример 2. Два программиста из Бомбея, работающие в одном проекте, написали 100500 строк кода. Первый работал 70 дней, второй – 100 дней. Сколько строк писал каждый программист ежедневно, если за первые 30 дней первый написал на 5550 строк больше, чем второй?

Пусть x — ежедневное количество строк для 1-го программиста, y- для 2-го.

По условию:

$$ {left{ begin{array}{c} 70x+100y = 100500 |:10 \ 30x-30y = 5550 |:30 end{array} right.} (-) Rightarrow {left{ begin{array}{c} 7x+10y = 10050 \ x-y=185 | times 10 end{array} right.}$$

$$ Rightarrow (+) {left{ begin{array}{c} 7x+10y = 10050 \ 10x-10y = 1850 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} 17x = 11900 \ y = x-185 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} x = 700 \ y = 515 end{array} right.} $$

Ответ: 700 строк и 515 строк

Пример 3. За 2 кг конфет и 3 кг печенья заплатили 1540 руб. Сколько стоит 1 кг конфет и 1 кг печенья, если 2 кг печенья дороже 1 кг конфет на 210 руб.?

Пусть x — цена за 1 кг конфет, y — за 1 кг печенья.

По условию:

$$ {left{ begin{array}{c} 2x+3y = 1540 \ 2y-x = 210 | times 2 end{array} right.} Rightarrow (+) {left{ begin{array}{c} 2x+3y = 1540 \ -2x+4y = 420 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} 7y = 1960 \ x = 2y-210 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} x = 350 \ y = 280 end{array} right.} $$

Ответ: 1 кг конфет — 350 руб. и 1 кг печенья — 280 руб.

Пример 4. Катер за 3 ч движения против течения реки и 2 часа по течению проходит 73 км. Найдите собственную скорость катера и скорость течения, если за 4 ч движения по течению катер проходит на 29 км больше, чем за 3 ч движения против течения.

Пусть v — скорость катера (км/ч), u — скорость течения (км/ч).

По условию:

$$ {left{ begin{array}{c} 3(v-u)+2(v+u) = 73 \ 4(v+u)-3(v-u) = 29 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} 3v-3u+2v+2u = 73 \ 4v+4u-3v+3u = 29 end{array} right.}$$

$$ Rightarrow {left{ begin{array}{c} 5v-u = 73 \ v+7u = 29 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} 5(29-7u)-u = 73 \ v = 29-7u end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} 145-35u-u = 73 \ v = 29-7u end{array} right.} Rightarrow$$

$$ Rightarrow {left{ begin{array}{c} -36u = -72 \ v = 29-7u end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} v = 15 \ u = 2 end{array} right.} $$

Ответ: скорость катера 15 км/ч и скорость течения 2 км/ч

Пример 5. 5 карандашей и 3 тетрадки вместе стоили 170 руб. После того, как карандаши подешевели на 20%, а тетрадки подорожали на 30%, за 3 карандаша и 5 тетрадок заплатили 284 руб. Найдите первоначальную цену карандаша и тетрадки.

Пусть x – первоначальная цена карандаша, y — тетрадки.

По условию:

$$ {left{ begin{array}{c} 5x+3y = 170 \ 3cdot0,8x+5cdot1,3y = 284 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} 5x+3y = 170 |times frac{2,4}{5} \ 2,4x+6,5y = 284 end{array} right.} Rightarrow (-) {left{ begin{array}{c} 2,4x+1,44y = 81,6 \ 2,4x+6,5y = 284 end{array} right.} $$

$$ Rightarrow {left{ begin{array}{c} (6,5-1,44)y = 284-81,6 \ x = frac{170-3y}{5} end{array} right.}Rightarrow {left{ begin{array}{c} y = 202,4:5,06 = 40 \ x = frac{170-120}{5} = 10 end{array} right.} $$

Ответ: карандаш сначала стоил 10 руб., тетрадка — 40 руб.

Пример 6*. Велосипедист планирует добраться из пункта А в пункт В. Если он будет ехать на 3 км/ч быстрее, чем обычно, он доберётся на 1 час раньше. А если он будет ехать на 2 км/ч медленней, чем обычно, то – на 1 час позже. Найдите обычную скорость велосипедиста и время поездки при этой скорости.

Пусть v – обычная скорость велосипедиста (км/ч), t — обычное время (ч).

Расстояние между А и В неизменно, и по условию равно:

$$ s_{AB} = vt = (v+3)(t-1) = (v-2)(t+1) $$

Получаем систему:

$$ {left{ begin{array}{c} vt = (v+3)(t-1) \ vt = (v-2)(t+1) end{array} right.} Rightarrow (-) {left{ begin{array}{c} vt = vt-v+3t-3 \ vt = vt+v-2t-2 end{array} right.} Rightarrow (+) {left{ begin{array}{c} v-3t = -3 \ -v+2t = -2 end{array} right.} Rightarrow $$

$$ Rightarrow {left{ begin{array}{c} -t = -5 \ v = 2t+2 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} t = 5 \ v = 12 end{array} right.} $$

Ответ: обычная скорость 12 км/ч, время 5 ч

Пример 7*. В одной бочке налито 12 л, во второй – 32 л. Если первую бочку доверху наполнить водой из второй, то вторая бочка будет наполнена ровно наполовину своего объёма. Если вторую бочку доверху наполнить водой из первой, то первая бочка будет наполнена на 1/6 своего объёма. Найдите объём каждой бочки.

Пусть x — объём первой бочки (л), y – объём второй (л).

Пусть a л перелито из второй бочки, и первая наполнилась до краёв, а во второй воды осталось наполовину:

$$ (+) {left{ begin{array}{c} 12+a = x \ 32-a = frac{1}{2} y end{array} right.} Rightarrow x+ frac{1}{2} y = 44 $$

Теперь пусть b л перелито из первой бочки, и вторая наполнилась до краёв, а в первой воды осталось на 1/6:

$$ (+) {left{ begin{array}{c} 32+b = y \ 12-b = frac{1}{6} x end{array} right.} Rightarrow frac{1}{6}x+y = 44 $$

Получаем систему:

$$ {left{ begin{array}{c} x+ frac{1}{2} y = 44 | times 2 \ frac{1}{6} x+y = 44 end{array} right.} Rightarrow (-) {left{ begin{array}{c} 2x+y = 88 \ frac{1}{6} x+y = 44 end{array} right.} Rightarrow (+) {left{ begin{array}{c} 1frac{5}{6} x = 44 \ y = 88-2x end{array} right.} Rightarrow $$

$$ {left{ begin{array}{c} x = 44: frac{11}{6} = 44cdot frac{6}{11} = 24 \ y = 88-2cdot24 = 40 end{array} right.} $$

Ответ: первая бочка 24 л, вторая – 40 л

Пример 8*. Если школьник едет в школу на автобусе, а возвращается домой пешком, то он тратит на всю дорогу полтора часа. Если он едет туда и обратно на автобусе, то он тратит полчаса. Сколько времени потратит школьник, если он пойдёт туда и обратно пешком?

Пусть s — расстояние между домом и школой, v — скорость автобуса, u — скорость школьника, t — искомое время, потраченное на дорогу туда и обратно пешком.

По условию задачи:

$$ {left{ begin{array}{c} 1,5 = frac{s}{v} + frac{s}{u} \ 0,5 = frac{2s}{v} \ t = frac{2s}{u} end{array} right.} $$

Из второго уравнения $ frac{s}{v} = frac{0,5}{2} = 0,25 $. Подставляем в первое уравнение:

$$ frac{s}{u} = 1,5-frac{s}{v} = 1,5-0,25 = 1,25 $$

И тогда искомое время:

$$ t = frac{2s}{v} = 2cdot1,25 = 2,5 (ч) $$

Ответ: 2,5 ч

Решая задачи при помощи уравнений, мы искали, как правило, одно неизвестное. Но встречаются и задачи, где есть несколько неизвестных. Такие задачи принято решать посредством составления систем уравнений.

Задача 1.

Навстречу друг другу из одного города в другой, расстояние между которыми составляет 30 км, едут два велосипедиста. Предположим, что если велосипедист 1 выедет на 2 ч раньше своего товарища, то они встретятся через 2,5 часа после отъезда велосипедиста 2; если же велосипедист 2 выедет 2мя часами ранее велосипедсита 1, то встреча произойдет через 3 часа после отъезда первого. С какой скоростью движется каждый велосипедист?

Решение.

1. Определим скорость велосипедиста 1 как х км/ч, а скорость велосипедиста 2 как у км/ч.

2. Если первый велосипедист выедет на 2 ч раньше второго, то, согласно условию, он будет ехать до встречи 4,5 ч, тогда как второй 2,5 часа. За 4,5 ч первый проедет путь 4,5х км, а за 2,5 ч второй проедет путь 2,5у км.

3. Встреча двух велосипедистов означает, что суммарно они проехали путь 30 км, т.е. 4,5х + 2,5 у = 30. Это и есть наше первое уравнение.

4. Если второй выедет на 2 ч раньше первого, то, согласно условию, он будет ехать до встречи 5 ч, тогда как первый – 3 ч. Используя рассуждения, аналогичные изложенным выше рассуждениям, приходим к уравнению:

3х + 5у = 30.

5. Итак, мы получили систему уравнений

{4,5х + 2,5 у = 30,
{3х + 5у = 30.

6. Решив полученную систему уравнений, мы найдем корни: х = 5, у = 3.

Т.о., первый велосипедист едет со скоростью 5 км/ч, а второй – 3 км/ч.

Ответ: 5 км/ч, 3 км/ч.

Задача 2.

Вкладчику на его сбережения через год было начислено 6 $ процентных денег. Добавив 44 $, вкладчик оставил деньги еще на год. По истечении года вновь было произведено начисление процентов, и теперь вклад вместе с процентами составил 257,5 $. Какая сумма составляла вклад первоначально и сколько процентов начисляет банк?

Решение.

1. Пусть х ($) – первоначальный вклад, а у (%) – это проценты, которые начисляются ежегодно.

2. Тогда к концу года к первоначальному вкладу добавится (у/100) ∙ х $.
Из условия получаем уравнение (ух/100) = 6.

3. По условию известно, что в конце года вкладчик внес еще 44 $, так что вклад в начале второго года составил х + 6 + 44, т.е. (х + 50) $. Таким образом, сумма, полученная к концу второго года с учетом начисления, равнялась (х + 50 + (у/100)(х + 50)) $. По условию эта сумма равна 275,5 $. Это позволило нам составить второе уравнение:

х + 50 + (у/100)(х + 50) = 257,5

4. Итак, мы получили систему уравнений:

{(ух/100) = 6,
{х + 50 + (у/100)(х + 50) = 257,5

После преобразования системы уравнений мы получим:

{ху = 600,
{100х + 50у + ху = 20750.

Решив систему уравнений, мы нашли два корня: 200 и 1,5. Только первое значение удовлетворяет нашему условию.

Подставим значение х в уравнение и найдем значение у:
если х = 200, то у = 3.

Таким образом, первоначальный вклад составлял 200 $, а банк в год производит начисление а размере 3 %.

Ответ: 200 $; 3 %.

© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

И тогда искомое время:

$$ t = frac<2s> = 2cdot1,25 = 2,5 (ч) $$

Системы линейных уравнений

Линейные уравнения с двумя переменными

У школьника имеется 200 рублей, чтобы пообедать в школе. Пирожное стоит 25 рублей, а чашка кофе 10 рублей. Сколько пирожных и чашек кофе можно накупить на 200 рублей?

Обозначим количество пирожных через x , а количество чашек кофе через y . Тогда стоимость пирожных будет обозначаться через выражение 25x , а стоимость чашек кофе через 10y .

25x — стоимость x пирожных
10y — стоимость y чашек кофе

Итоговая сумма должна равняться 200 рублей. Тогда получится уравнение с двумя переменными x и y

Сколько корней имеет данное уравнение?

Всё зависит от аппетита школьника. Если он купит 6 пирожных и 5 чашек кофе, то корнями уравнения будут числа 6 и 5.

Говорят, что пара значений 6 и 5 являются корнями уравнения 25x + 10y = 200 . Записывается как (6; 5) , при этом первое число является значением переменной x , а второе — значением переменной y .

6 и 5 не единственные корни, которые обращают уравнение 25x + 10y = 200 в тождество. При желании на те же 200 рублей школьник может купить 4 пирожных и 10 чашек кофе:

В этом случае корнями уравнения 25x + 10y = 200 является пара значений (4; 10) .

Более того, школьник может вообще не покупать кофе, а купить пирожные на все 200 рублей. Тогда корнями уравнения 25x + 10y = 200 будут значения 8 и 0

Или наоборот, не покупать пирожные, а купить кофе на все 200 рублей. Тогда корнями уравнения 25x + 10y = 200 будут значения 0 и 20

Попробуем перечислить все возможные корни уравнения 25x + 10y = 200 . Условимся, что значения x и y принадлежат множеству целых чисел. И пусть эти значения будут бóльшими или равными нулю:

Так будет удобно и самому школьнику. Пирожные удобнее покупать целыми, чем к примеру несколько целых пирожных и половину пирожного. Кофе также удобнее брать целыми чашками, чем к примеру несколько целых чашек и половину чашки.

Заметим, что при нечетном x невозможно достичь равенства ни при каком y . Тогда значениями x будут следующие числа 0, 2, 4, 6, 8. А зная x можно без труда определить y

Таким образом, мы получили следующие пары значений (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Эти пары являются решениями или корнями уравнения 25x + 10y = 200 . Они обращают данное уравнение в тождество.

Уравнение вида ax + by = c называют линейным уравнением с двумя переменными. Решением или корнями этого уравнения называют пару значений ( x; y ), которая обращает его в тождество.

Отметим также, что если линейное уравнение с двумя переменными записано в виде ax + b y = c , то говорят, что оно записано в каноническом (нормальном) виде.

Некоторые линейные уравнения с двумя переменными могут быть приведены к каноническому виду.

Например, уравнение 2(16x + 3y − 4) = 2(12 + 8x − y) можно привести к виду ax + by = c . Раскроем скобки в обеих частях этого уравнения, получим 32x + 6y − 8 = 24 + 16x − 2y . Слагаемые, содержащие неизвестные сгруппируем в левой части уравнения, а слагаемые свободные от неизвестных — в правой. Тогда получим 32x − 16x + 6y + 2y = 24 + 8 . Приведём подобные слагаемые в обеих частях, получим уравнение 16x + 8y = 32. Это уравнение приведено к виду ax + by = c и является каноническим.

Рассмотренное ранее уравнение 25x + 10y = 200 также является линейным уравнением с двумя переменными в каноническом виде . В этом уравнении параметры a , b и c равны значениям 25, 10 и 200 соответственно.

На самом деле уравнение ax + by = c имеет бесчисленное множество решений. Решая уравнение 25x + 10y = 200, мы искали его корни только на множестве целых чисел. В результате получили несколько пар значений, которые обращали данное уравнение в тождество. Но на множестве рациональных чисел уравнение 25x + 10y = 200 будет иметь бесчисленное множество решений.

Для получения новых пар значений, нужно взять произвольное значение для x , затем выразить y . К примеру, возьмем для переменной x значение 7. Тогда получим уравнение с одной переменной 25 × 7 + 10y = 200 в котором можно выразить y

Пусть x = 15 . Тогда уравнение 25x + 10y = 200 примет вид 25 × 15 + 10y = 200. Отсюда находим, что y = −17,5

Пусть x = −3 . Тогда уравнение 25x + 10y = 200 примет вид 25 × (−3) + 10y = 200. Отсюда находим, что y = −27,5

Система двух линейных уравнений с двумя переменными

Для уравнения ax + by = c можно сколько угодно раз брать произвольные значение для x и находить значения для y . Отдельно взятое такое уравнение будет иметь бесчисленное множество решений.

Но бывает и так, что переменные x и y связаны не одним, а двумя уравнениями. В этом случае они образуют так называемую систему линейных уравнений с двумя переменными. Такая система уравнений может иметь одну пару значений (или по-другому: «одно решение»).

Может случиться и так, что система вовсе не имеет решений. Бесчисленное множество решений система линейных уравнений может иметь в редких и в исключительных случаях.

Два линейных уравнения образуют систему тогда, когда значения x и y входят в каждое из этих уравнений.

Вернемся к самому первому уравнению 25x + 10y = 200 . Одной из пар значений для этого уравнения была пара (6; 5) . Это случай, когда на 200 рублей можно можно было купить 6 пирожных и 5 чашек кофе.

Составим задачу так, чтобы пара (6; 5) стала единственным решением для уравнения 25x + 10y = 200 . Для этого составим ещё одно уравнение, которое связывало бы те же x пирожных и y чашечек кофе.

Поставим текст задачи следующим образом:

«Школьник купил на 200 рублей несколько пирожных и несколько чашек кофе. Пирожное стоит 25 рублей, а чашка кофе 10 рублей. Сколько пирожных и чашек кофе купил школьник, если известно что количество пирожных на одну единицу больше количества чашек кофе?»

Первое уравнение у нас уже есть. Это уравнение 25x + 10y = 200 . Теперь составим уравнение к условию «количество пирожных на одну единицу больше количества чашек кофе» .

Количество пирожных это x , а количество чашек кофе это y . Можно записать эту фразу с помощью уравнения x − y = 1. Это уравнение будет означать, что разница между пирожными и кофе составляет 1.

Либо второе уравнение можно записать как x = y + 1 . Это уравнение означает, что количество пирожных на единицу больше, чем количество чашек кофе. Поэтому для получения равенства, к количеству чашек кофе прибавлена единица. Это легко можно понять, если воспользоваться моделью весов, которые мы рассматривали при изучении простейших задач:

Получили два уравнения: 25x + 10y = 200 и x = y + 1. Поскольку значения x и y , а именно 6 и 5 входят в каждое из этих уравнений , то вместе они образуют систему. Запишем эту систему. Если уравнения образуют систему, то они обрамляются знаком системы. Знак системы это фигурная скобка:

Давайте решим данную систему. Это позволит увидеть, как мы придём к значениям 6 и 5. Существует много методов решения таких систем. Рассмотрим наиболее популярные из них.

Метод подстановки

Название этого метода говорит само за себя. Суть его заключается в том, чтобы одно уравнение подставить в другое, предварительно выразив одну из переменных.

В нашей системе ничего выражать не нужно. Во втором уравнении x = y + 1 переменная x уже выражена. Эта переменная равна выражению y + 1 . Тогда можно подставить это выражение в первое уравнение вместо переменной x

После подстановки выражения y + 1 в первое уравнение вместо x , получим уравнение 25(y + 1) + 10y = 200 . Это линейное уравнение с одной переменной. Такое уравнение решить довольно просто:

Мы нашли значение переменной y . Теперь подставим это значение в одно из уравнений и найдём значение x . Для этого удобно использовать второе уравнение x = y + 1 . В него и подставим значение y

Значит пара (6; 5) является решением системы уравнений, как мы и задумывали. Выполняем проверку и убеждаемся, что пара (6; 5) удовлетворяет системе:

Пример 2. Решить методом подстановки следующую систему уравнений:

Подставим первое уравнение x = 2 + y во второе уравнение 3x − 2y = 9 . В первом уравнении переменная x равна выражению 2 + y . Это выражение и подставим во второе уравнение вместо x

Теперь найдём значение x . Для этого подставим значение y в первое уравнение x = 2 + y

Значит решением системы является пара значение (5; 3)

Пример 3. Решить методом подстановки следующую систему уравнений:

Здесь в отличие от предыдущих примеров, одна из переменных не выражена явно.

Чтобы подставить одно уравнение в другое, сначала нужно выразить одну из переменных.

Выражать желательно ту переменную, которая имеет коэффициент единицу. Коэффициент единицу имеет переменная x , которая содержится в первом уравнении x + 2y = 11 . Эту переменную и выразим.

После выражения переменной x , наша система примет следующий вид:

Теперь подставим первое уравнение во второе и найдем значение y

Подставим y в первое уравнение и найдём x

Значит решением системы является пара значений (3; 4)

Конечно, выражать можно и переменную y . Корни от этого не изменятся. Но если выразить y, получится не очень-то и простое уравнение, на решение которого уйдет больше времени. Выглядеть это будет следующим образом:

Видим, что в данном примере выражать x намного удобнее, чем выражать y .

Пример 4. Решить методом подстановки следующую систему уравнений:

Выразим в первом уравнении x . Тогда система примет вид:

Подставим первое уравнение во второе и найдём y

Подставим y в первое уравнение и найдём x . Можно воспользоваться изначальным уравнением 7x + 9y = 8 , либо воспользоваться уравнением , в котором выражена переменная x . Этим уравнением и воспользуемся, поскольку это удобно:

Значит решением системы является пара значений (5; −3)

Метод сложения

Метод сложения заключается в том, чтобы почленно сложить уравнения, входящие в систему. Это сложение приводит к тому, что образуется новое уравнение с одной переменной. А решить такое уравнение довольно просто.

Решим следующую систему уравнений:

Сложим левую часть первого уравнения с левой частью второго уравнения. А правую часть первого уравнения с правой частью второго уравнения. Получим следующее равенство:

Приведем подобные слагаемые:

В результате получили простейшее уравнение 3x = 27 корень которого равен 9. Зная значение x можно найти значение y . Подставим значение x во второе уравнение x − y = 3 . Получим 9 − y = 3 . Отсюда y = 6 .

Значит решением системы является пара значений (9; 6)

Пример 2. Решить следующую систему уравнений методом сложения:

Сложим левую часть первого уравнения с левой частью второго уравнения. А правую часть первого уравнения с правой частью второго уравнения. В получившемся равенстве приведем подобные слагаемые:

В результате получили простейшее уравнение 5 x = 20, корень которого равен 4. Зная значение x можно найти значение y . Подставим значение x в первое уравнение 2 x + y = 11 . Получим 8 + y = 11 . Отсюда y = 3 .

Значит решением системы является пара значений (4;3)

Процесс сложения подробно не расписывают. Его нужно выполнять в уме. При сложении оба уравнения должны быть приведены к каноническому виду. То есть к виду ax + by = c .

Из рассмотренных примеров видно, что основная цель сложения уравнений это избавление от одной из переменных. Но не всегда удаётся сразу решить систему уравнений методом сложения. Чаще всего систему предварительно приводят к виду, при котором можно сложить уравнения, входящие в эту систему.

Например, систему можно сразу решить методом сложения. При сложении обоих уравнений, слагаемые y и −y исчезнут, поскольку их сумма равна нулю. В результате образуется простейшее уравнение 11x = 22 , корень которого равен 2. Затем можно будет определить y равный 5.

А систему уравнений методом сложения сразу решить нельзя, поскольку это не приведёт к исчезновению одной из переменных. Сложение приведет к тому, что образуется уравнение 8x + y = 28 , имеющее бесчисленное множество решений.

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получится уравнение равносильное данному. Это правило справедливо и для системы линейных уравнений с двумя переменными. Одно из уравнений (или оба уравнения) можно умножить на какое-нибудь число. В результате получится равносильная система, корни которой будут совпадать с предыдущей.

Вернемся к самой первой системе , которая описывала сколько пирожных и чашек кофе купил школьник. Решением этой системы являлась пара значений (6; 5) .

Умножим оба уравнения, входящие в эту систему на какие-нибудь числа. Скажем первое уравнение умножим на 2, а второе на 3

В результате получили систему
Решением этой системы по-прежнему является пара значений (6; 5)

Это значит, что уравнения входящие в систему можно привести к виду, пригодному для применения метода сложения.

Вернемся к системе , которую мы не смогли решить методом сложения.

Умножим первое уравнение на 6, а второе на −2

Тогда получим следующую систему:

Сложим уравнения, входящие в эту систему. Сложение компонентов 12x и −12x даст в результате 0, сложение 18y и 4y даст 22y , а сложение 108 и −20 даст 88. Тогда получится уравнение 22y = 88 , отсюда y = 4 .

Если первое время тяжело складывать уравнения в уме, то можно записывать как складывается левая часть первого уравнения с левой частью второго уравнения, а правая часть первого уравнения с правой частью второго уравнения:

Зная, что значение переменной y равно 4, можно найти значение x. Подставим y в одно из уравнений, например в первое уравнение 2x + 3y = 18 . Тогда получим уравнение с одной переменной 2x + 12 = 18 . Перенесем 12 в правую часть, изменив знак, получим 2x = 6 , отсюда x = 3 .

Пример 4. Решить следующую систему уравнений методом сложения:

Умножим второе уравнение на −1. Тогда система примет следующий вид:

Сложим оба уравнения. Сложение компонентов x и −x даст в результате 0, сложение 5y и 3y даст 8y , а сложение 7 и 1 даст 8. В результате получится уравнение 8y = 8 , корень которого равен 1. Зная, что значение y равно 1, можно найти значение x .

Подставим y в первое уравнение, получим x + 5 = 7 , отсюда x = 2

Пример 5. Решить следующую систему уравнений методом сложения:

Желательно, чтобы слагаемые содержащие одинаковые переменные, располагались друг под другом. Поэтому во втором уравнении слагаемые 5y и −2x поменяем местами. В результате система примет вид:

Умножим второе уравнение на 3. Тогда система примет вид:

Теперь сложим оба уравнения. В результате сложения получим уравнение 8y = 16 , корень которого равен 2.

Подставим y в первое уравнение, получим 6x − 14 = 40 . Перенесем слагаемое −14 в правую часть, изменив знак, получим 6x = 54 . Отсюда x = 9.

Пример 6. Решить следующую систему уравнений методом сложения:

Избавимся от дробей. Умножим первое уравнение на 36, а второе на 12

В получившейся системе первое уравнение можно умножить на −5, а второе на 8

Сложим уравнения в получившейся системе. Тогда получим простейшее уравнение −13y = −156 . Отсюда y = 12 . Подставим y в первое уравнение и найдем x

Пример 7. Решить следующую систему уравнений методом сложения:

Приведем оба уравнения к нормальному виду. Здесь удобно применить правило пропорции в обоих уравнениях. Если в первом уравнении правую часть представить как , а правую часть второго уравнения как , то система примет вид:

У нас получилась пропорция. Перемножим её крайние и средние члены. Тогда система примет вид:

Первое уравнение умножим на −3, а во втором раскроем скобки:

Теперь сложим оба уравнения. В результате сложения этих уравнений, мы получим равенство, в обеих частях которого будет ноль:

Получается, что система имеет бесчисленное множество решений.

Но мы не можем просто так взять с неба произвольные значения для x и y . Мы можем указать одно из значений, а другое определится в зависимости от значения, указанного нами. Например, пусть x = 2 . Подставим это значение в систему:

В результате решения одного из уравнений, определится значение для y , которое будет удовлетворять обоим уравнениям:

Получившаяся пара значений (2; −2) будет удовлетворять системе:

Найдём еще одну пару значений. Пусть x = 4. Подставим это значение в систему:

На глаз можно определить, что значение y равно нулю. Тогда получим пару значений (4; 0), которая удовлетворяет нашей системе:

Пример 8. Решить следующую систему уравнений методом сложения:

Умножим первое уравнение на 6, а второе на 12

Перепишем то, что осталось:

Раскроем скобки в обоих уравнениях и приведём подобные слагаемые:

Первое уравнение умножим на −1. Тогда система примет вид:

Теперь сложим оба уравнения. В результате сложения образуется уравнение 6b = 48 , корень которого равен 8. Подставим b в первое уравнение и найдём a

Система линейных уравнений с тремя переменными

В линейное уравнение с тремя переменными входит три переменные с коэффициентами, а также свободный член. В каноническом виде его можно записать следующим образом:

Данное уравнение имеет бесчисленное множество решений. Придавая двум переменным различные значения, можно найти третье значение. Решением в этом случае является тройка значений (x; y; z) которая обращает уравнение в тождество.

Если переменные x, y, z связаны между собой тремя уравнениями, то образуется система трех линейных уравнений с тремя переменными. Для решения такой системы можно применять те же методы, которые применяются к линейным уравнениям с двумя переменными: метод подстановки и метод сложения.

Пример 1. Решить следующую систему уравнений методом подстановки:

Выразим в третьем уравнении x . Тогда система примет вид:

Теперь выполним подстановку. Переменная x равна выражению 3 − 2y − 2z . Подставим это выражение в первое и второе уравнение:

Раскроем скобки в обоих уравнениях и приведём подобные слагаемые:

Мы пришли к системе линейных уравнений с двумя переменными. В данном случае удобно применить метод сложения. В результате переменная y исчезнет, и мы сможем найти значение переменной z

Теперь найдём значение y . Для этого удобно воспользоваться уравнением −y + z = 4. Подставим в него значение z

Теперь найдём значение x . Для этого удобно воспользоваться уравнением x = 3 − 2y − 2z . Подставим в него значения y и z

Таким образом, тройка значений (3; −2; 2) является решением нашей системы. Проверкой убеждаемся, что эти значения удовлетворяют системе:

Пример 2. Решить систему методом сложения

Сложим первое уравнение со вторым, умноженным на −2.

Если второе уравнение умножить на −2, то оно примет вид −6x + 6y − 4z = −4 . Теперь сложим его с первым уравнением:

Видим, что в результате элементарных преобразований, определилось значение переменной x . Оно равно единице.

Вернемся к главной системе. Сложим второе уравнение с третьим, умноженным на −1. Если третье уравнение умножить на −1, то оно примет вид −4x + 5y − 2z = −1 . Теперь сложим его со вторым уравнением:

Получили уравнение x − 2y = −1 . Подставим в него значение x , которое мы находили ранее. Тогда мы сможем определить значение y

Теперь нам известны значения x и y . Это позволяет определить значение z . Воспользуемся одним из уравнений, входящим в систему:

Таким образом, тройка значений (1; 1; 1) является решением нашей системы. Проверкой убеждаемся, что эти значения удовлетворяют системе:

Задачи на составление систем линейных уравнений

Задача на составление систем уравнений решается путем ввода нескольких переменных. Далее составляются уравнения на основании условий задачи. Из составленных уравнений образуют систему и решают её. Решив систему, необходимо выполнить проверку на то, удовлетворяет ли её решение условиям задачи.

Задача 1. Из города в колхоз выехала машина «Волга». Обратно она возвращалась по другой дороге, которая была на 5 км короче первой. Всего в оба конца машина проехала 35 км. Сколько километров составляет длина каждой дороги?

Решение

Пусть x — длина первой дороги, y — длина второй. Если в оба конца машина проехала 35 км, то первое уравнение можно записать как x + y = 35. Это уравнение описывает сумму длин обеих дорог.

Сказано, что обратно машина возвращалась по дороге которая была короче первой на 5 км. Тогда второе уравнение можно записать как x − y = 5. Это уравнение показывает, что разница между длинами дорог составляет 5 км.

Либо второе уравнение можно записать как x = y + 5 . Этим уравнением и воспользуемся.

Поскольку переменные x и y в обоих уравнениях обозначают одно и то же число, то мы можем образовать из них систему:

Решим эту систему каким-нибудь из изученных ранее методов. В данном случае удобно воспользоваться методом подстановки, поскольку во втором уравнении переменная x уже выражена.

Подставим второе уравнение в первое и найдём y

Подставим найденное значение y в во второе уравнение x = y + 5 и найдём x

Длина первой дороги была обозначена через переменную x . Теперь мы нашли её значение. Переменная x равна 20. Значит длина первой дороги составляет 20 км.

А длина второй дороги была обозначена через y . Значение этой переменной равно 15. Значит длина второй дороги составляет 15 км.

Выполним проверку. Для начала убедимся, что система решена правильно:

Теперь проверим удовлетворяет ли решение (20; 15) условиям задачи.

Было сказано, что всего в оба конца машина проехала 35 км. Складываем длины обеих дорог и убеждаемся, что решение (20; 15) удовлетворяет данному условию: 20 км + 15 км = 35 км

Следующее условие: обратно машина возвращалась по другой дороге, которая была на 5 км короче первой . Видим, что решение (20; 15) удовлетворяет и этому условию, поскольку 15 км короче, чем 20 км на 5 км: 20 км − 15 км = 5 км

При составлении системы важно, чтобы переменные обозначали одни и те же числа во всех уравнениях, входящих в эту систему.

Так наша система содержит два уравнения. Эти уравнения в свою очередь содержат переменные x и y , которые обозначают одни и те же числа в обоих уравнениях, а именно длины дорог, равных 20 км и 15 км.

Задача 2. На платформу были погружены дубовые и сосновые шпалы, всего 300 шпал. Известно, что все дубовые шпалы весили на 1 т меньше, чем все сосновые. Определить, сколько было дубовых и сосновых шпал отдельно, если каждая дубовая шпала весила 46 кг, а каждая сосновая 28 кг.

Решение

Пусть x дубовых и y сосновых шпал было погружено на платформу. Если всего шпал было 300, то первое уравнение можно записать как x + y = 300 .

Все дубовые шпалы весили 46x кг, а сосновые весили 28y кг. Поскольку дубовые шпалы весили на 1 т меньше, чем сосновые, то второе уравнение можно записать, как 28y − 46x = 1000 . Это уравнение показывает, что разница масс между дубовыми и сосновыми шпалами, составляет 1000 кг.

В результате получаем два уравнения, которые образуют систему

Решим данную систему. Выразим в первом уравнении x . Тогда система примет вид:

Подставим первое уравнение во второе и найдём y

Подставим y в уравнение x = 300 − y и узнаем чему равно x

Значит на платформу было погружено 100 дубовых и 200 сосновых шпал.

Проверим удовлетворяет ли решение (100; 200) условиям задачи. Для начала убедимся, что система решена правильно:

Было сказано, что всего было 300 шпал. Складываем количество дубовых и сосновых шпал и убеждаемся, что решение (100; 200) удовлетворяет данному условию: 100 + 200 = 300.

Следующее условие: все дубовые шпалы весили на 1 т меньше, чем все сосновые . Видим, что решение (100; 200) удовлетворяет и этому условию, поскольку 46 × 100 кг дубовых шпал легче, чем 28 × 200 кг сосновых шпал: 5600 кг − 4600 кг = 1000 кг.

Задача 3. Взяли три куска сплава меди с никелем в отношениях 2 : 1 , 3 : 1 и 5 : 1 по массе. Из них сплавлен кусок массой 12 кг с отношением содержания меди и никеля 4 : 1 . Найдите массу каждого исходного куска, если масса первого из них вдвое больше массы второго.

Решение

Пусть x — масса первого куска, y — масса второго куска, z — масса третьего куска. Если из этих кусков сплавлен кусок массой 12 кг, то первое уравнение можно записать как x + y + z = 12 .

Масса первого куска вдвое больше массы второго куска. Тогда второе уравнение можно записать как x = 2y .

Полученных двух уравнений недостаточно для решения данной задачи. Если второе уравнение подставить в первое, то мы получим уравнение 2y + y + z = 12 , откуда 3y + z = 12 . Это уравнение имеет бесчисленное множество решений.

Составим ещё одно уравнение. Пусть это уравнение будет описывать количество меди, взятого с каждого сплава и сколько меди оказалось в получившемся сплаве.

Если первый сплав имеет массу x , а медь и никель находится нём в отношении 2 : 1 , то можно записать, что в новом сплаве содержится меди от первого куска.

Если второй сплав имеет массу y , а медь и никель находится в нём в отношении 3 : 1 , то можно записать, что в новом сплаве содержится меди от второго куска.

Если третий сплав имеет массу z , а медь и никель находится в отношении 5 : 1 , то можно записать, что в новом сплаве содержится меди от третьего куска.

Полученный сплав имеет имеет массу 12 кг, а медь и никель находится в нём в отношении 4 : 1 . Тогда можно записать, что в полученном сплаве содержится меди.

Сложим , , и приравняем эту сумму к 9,6. Это и будет нашим третьим уравнением:

Попробуем решить данную систему.

Для начала упростим третье уравнение. Подставим в него второе уравнение и посмотрим, что из этого выйдет:

Теперь в главной системе вместо уравнения запишем уравнение, которое мы сейчас получили, а именно уравнение 25y + 10z = 115,2

Подставим второе уравнение в первое:

Умножим первое уравнение на −10 . Тогда система примет вид:

Сложим оба уравнения. Тогда получим простейшее уравнение −5y = −4,8 откуда найдём y равный 0,96 . Значит масса второго сплава составляет 0,96 кг .

Теперь найдём x . Для этого удобно воспользоваться уравнением x = 2y. Значение y уже известно. Осталось только подставить его:

Значит масса первого сплава составляет 1,92 кг .

Теперь найдём z . Для этого удобно воспользоваться уравнением x + y + z = 12 . Значения x и y уже известны. Подставим их куда нужно:

Значит масса третьего сплава составляет 9,12 кг.

Вопросы
занятия:

· 
показать основные этапы решения задач с помощью систем.

Материал
урока

На
предыдущих уроках мы с вами говорили о системах линейных уравнений с двумя
неизвестными и научились решать такие системы тремя способами. А именно,
графическим способом, способом подстановки и способом сложения. На практике
обычно используют способ подстановки и способ сложения, так как графический
способ чаще всего позволяет найти решения лишь приближенно.

На
этом уроке мы научимся с помощью систем уравнений решать задачи.

Давайте,
рассмотрим задачу.

В
корзине лежат бананы и яблоки. Известно, что бананов на 5 больше, чем яблок.
Сколько бананов и сколько яблок в корзине, если всего в ней 17 фруктов?

Пусть
х – количество бананов в корзине, а игрек – количество яблок.

Так
как по условию задачи бананов на 5 больше, чем яблок, то можем составить
уравнение:

Также
из условия задачи известно, что всего в корзине 17 фруктов, а тогда можем
записать следующее уравнение:

Объединим
уравнения в систему, так как эти условия должны выполняться одновременно.

Теперь,
чтобы ответить на вопрос задачи, нам надо решить эту систему.

Таким
образом, чтобы решить задачу с помощью системы уравнений, надо:

1. 
выделить
две неизвестные величины и обозначить их буквами;

2. 
используя
условие задачи, составить систему уравнений;

3. 
решить
систему уравнений удобным способом;

4. 
истолковать
результат в соответствии с условием задачи.

Решим
следующую задачу.

Пример.

И
решим ещё одну задачу.

Пример.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА СОСТАВЛЕНИЕ
УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ

В решении задач на составление уравнений (систем уравнений) обычно можно выделить три этапа:

1) выбор неизвестного и составление уравнения (или системы уравнений);

2) решение полученного уравнения (или системы уравнений);

3) проверка решений по условию задачи.

Критерии оценивания задания 22 ОГЭ.

Рассмотрим отдельные типы задач и их решение с помощью уравнений или систем уравнений. Обратим внимание на виды краткой записи условий задач.

1. Задачи на числовые зависимости

При решении задач на числовые зависимости могут оказаться полезными следующие сведения:

 если к натуральному числу х приписать справа n-значное число y, то в результате получится число 10ⁿ ∙ x + y;

 если натуральное число A имеет n знаков, то A= a_n – 1 ∙ 10^n – 1+…+a₁ ∙ 10 + a₀, где a₀, a₁, a₂ …, a_n – 1 соответственно количество единиц, десятков, сотен, … в числе A;

 если при делении натурального числа A на натуральное число B в частном получается g, а в остатке r (r ), то A = Bg + r.

Задача 1. Если двузначное число разделить на произведение его цифр, то в частном получится 3, а в остатке 8. Если число, составленное из тех же цифр, но записанных в обратном порядке, разделить на произведение цифр, то в частном получится 2, а в остатке 5. Найти это число.

Решение. Пусть в искомом числе: x – цифра десятков, x N, ;

y – цифра единиц, y N, .

Тогда 10x + y – искомое число;

10y + x – число, составленное из тех же цифр, но записанных в обратном порядке.

Используя третье, из выше указанных сведений, составим систему уравнений.

Вторая пара корней не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: 53.

2. Задачи на движение

Задача 2. Катер прошел против течения реки 8 км, повернул обратно и прошел по течению 36 км. Весь рейс длился 2 ч. Потом катер прошел против течения 6 км и по течению 33 км, затратив на этот второй рейс 1 ч 45 мин. Найдите скорость катера в стоячей воде.

Решение. Краткую запись условия задач на движение часто удобно выполнять в виде таблицы, в столбцах которой указываются путь, скорость и время для каждого этапа движения.

Этап движения	Путь (км)	Скорость (км/ч)	Время (ч)
1. а) б)	8 36	x – y x + y
2. а) б)	6 33	x – y x + y

Где x км/ч – скорость катера в стоячей воде,

y км/ч – скорость течения (x 0, y 0, x y), 1 ч 45 мин = 7/4 ч.

На основе таблицы составим систему уравнений.

Решим систему выполняя замену переменных.

Ответ: 20 км/ч.

3. Задачи на совместную работу

В задачах на совместную работу часто объем всей работы, которая должна быть выполнена, принимается за единицу. Если t – время, требующееся для выполнения всей работы, а V – производительность труда, т.е. величина работы, выполняемая за единицу времени, то V = 1/t .

Задача 3. Двое рабочих выполнили вместе некоторую работу за 12 ч. Если бы сначала первый рабочий сделал половину этой работы, а затем другой остальную часть, то вся работа была бы выполнена за 25 ч. За какое время мог бы выполнить эту работу каждый рабочий в отдельности?

Решение. Примем объем всей работы за единицу.

Пусть x ч, y ч – время необходимое на выполнение всей работы соответственно 1-му и 2 -му рабочим в отдельности (12 50, 12 50).

Тогда – производительность (часть всей работы, выполняемая за 1 ч) соответственно 1-го и 2-го рабочих;

– часть всей работы, выполняемая соответственно 1-м и
2-м рабочими за 12 ч;

ч, ч – время, необходимое на выполнение половины всей работы соответственно1-му и 2-му рабочим в отдельности.

Условие задачи можно записать и в виде таблицы, аналогичной таблице из задачи 2, заменив путь, скорость и время движения на соответственно объем, производительность и время работы.

Пусть x ч, y ч – время необходимое на выполнение всей работы соответственно 1-му и 2 -му рабочим в отдельности (12 50, 12 50).

Вид работы	Объем работы	Время (ч)	Производительность
1. а) б)	1 1	x y
2. а) б)		12 12
3. а) б)	1/2 1/2		1/x 1/y

На основе выполненных рассуждений составим систему уравнений.

Ответ: 20 ч, 30 ч.

Задача 4. (ЕГЭ-2008) Двое рабочих, работая вместе, могут за 1 ч установить 10 м забора. Первый рабочий, работая отдельно, устанавливает 60 м забора на 5 ч дольше, чем 60 м такого же забора может установить второй рабочий. За сколько часов второй рабочий может установить 90 м забора? Ответ: 15 ч.

4. Задачи на проценты, доли и смеси

Определение. Процентом называется сотая доля числа.

Задача 5. Имелось два сплава меди с разным процентным содержанием меди в каждом. Затем их сплавили вместе, после чего содержание меди составило 36%. Число, выражающее в процентах содержание меди в первом сплаве, на 40 меньше числа, выражающего в процентах содержание меди во втором сплаве. Определить процентное содержание меди в каждом сплаве, если в первом сплаве меди было 6 кг, а во втором – 12 кг.

Решение. Краткую запись условия выполним в виде таблицы.

Состав	Первоначальные сплавы	Сплав, полученный из первоначальных
I	II
кг	%	кг	%	кг	%
Всего	x	100	y	100	x+y	100
Медь	6	z	12	z+40	18	36

Где x 6, y 12, 0 60.

Составим для каждого из сплавов пропорции и получим систему уравнений.

Ответ: 20%, 60%.

Замечание 1. Если первоначальная сумма вклада x руб., а процент годовых p %, то сумма вклада через один год составит руб.

Замечание 2. Если первоначальная сумма вклада x руб., а процент годовых p %, то сумма вклада через n лет составит руб.

Задача 6. Спустя два года после того, как некоторая сумма внесена в банк, вклад за счет процентов увеличился на 2200 руб. Если бы первоначальная сумма была на 1000 руб. больше, то итоговая прибыль равнялась бы 2640 руб. Чему равен процент годовых, если он за два года не менялся?

Решение. Рассмотрим изменение вклада за первый год.

	Сумма (руб.)	%
Первоначально	x	100
Через 1 год	z	100+y

Составим пропорцию ; .

Замечание 1. Если первоначальная сумма вклада x руб., а процент годовых y %, то величина вклада через один год составит руб.

Аналогично за второй год.

	Сумма (руб.)	%
Через 1 год		100
Через 2 год		100+y

Замечание 2. Если первоначальная сумма вклада x руб., а процент годовых y %, то величина вклада через n лет составит руб.

Составим систему уравнений

Ответ: 5 000 руб.

Задача 7. В корзине лежало не более 70 грибов. После сортировки оказалось, что 52 % из них белые. Если отложить 3 самых малых, то среди оставшихся будет ровно половина белых. Сколько грибов было в корзине?

Решение. I. Первоначально.

	Количество	%
Всего	x	100 %
Белые	0,52x	52 %
Остальные

II. После того как отложили 3 самых малых (из них a белых, a = 1, 2, 3).

	Количество	%
Всего	x-3	100 %
Белые	0,5(x-3)	50 %
Остальные

На основе того, что количество белых уменьшилось на a грибов, составим уравнение.

0,52x—a = 0,5x-1,5;

x = 50a-75.

По условию 0x ≤75, следовательно

0 a-75 ≤ 70;

1,25 a ≤ 2,9.

Так как a число натуральное, то a = 2 и x = 25.

Ответ: 25.

Задача 8. В сосуд А налито некоторое количество кислоты, а в сосуд В такое же количество воды. Двумя кружками, емкостью 0,5 л каждая, одновременно набирают из сосудов содержимое и переливают из сосуда А в сосуд В, а из сосуда B в сосуд А. Затем эту операцию повторяют. Определить первоначальное количество жидкости в каждом из сосудов, если известно, что концентрация раствора кислоты в сосуде А после двух переливаний равна 90,5 %. Ответ: 10 л или 10/9 л.

Решение. I. После первого переливания.

	Сосуд А	Сосуд В
Всего	V	V
Кислота	V-0,5	0,5
Вода	0,5	V-0,5

II. После второго переливания.

Состав	Сосуд А	Сосуд В
Объем (л.)	%	Объем (л.)	%
Всего	V	100%	V	100%
Кислота	V-0,5 – 0,5∙(V-0,5)/V + 0,5∙0,5/V	90,5
Вода

Вылито кислоты из сосуда А

Налито кислоты из сосуда В

Составим пропорцию.

19V²-200V+100=0;

V₁=10; V₂=10/19.

Ответ: 10 л или 10/19 л.

Задача 9. На выпускных экзаменах по математике, физике и русскому языку все учащиеся получили только хорошие и отличные оценки, при этом, оценку 4 каждый получил не более одного раза. По русскому языку и математике оценку 5 получили 55 % учащихся, по математике и физике – 45 %, по русскому языку и физике – 30 %. Получившие 5 по всем предметам собираются поступать в МГУ, получившие 4 по русскому языку – в технические вузы, остальные в гуманитарные. Известно, что 20 % всех девушек и 11% всех юношей собираются поступать в МГУ, 33 % девушек собираются поступать в технические вузы. Сколько процентов юношей будет поступать в гуманитарные вузы?

Решение. Пусть x – общее количество учащихся, тогда

по русскому языку и математике оценку 5 получили: 0,55x,

по математике и физике: 0,45x,

по русскому языку и физике: 0,3x.

Сумма указанных значений составит: 0,55x + 0,45x + 0,3x = 1,3x.

Сумма получилась больше x из-за того, что отличники попали во все три списка, а не в один.

Следовательно отличников: (каждый отличник был два лишних раза в списке).

В МГУ собираются поступать 0,15x учащихся.

Т.о. число учащихся получивших четверки по предметам составит:

по физике: 0,4x,

по русскому языку: 0,3x,

по математике: 0,15x.

0,3x собираются поступать в технические вузы, x – 0,15x – 0,3x = 0,55x – в гуманитарные.

Пусть y, z – общее число девушек и юношей соответственно; t – доля юношей поступающих в технические вузы.

Тогда

Т.о. 27,6 % юношей поступают в технические вузы.

(100-27,6-11) % = 61,4 % юношей будет поступать в гуманитарные вузы.

Задача 10. Фермер получил кредит в банке под определенный процент годовых. Через год фермер в счет погашения кредита вернул в банк 75 % от всей суммы, которую он должен банку к этому времени, а еще рез год в счет полного погашения кредита он внес в банк сумму на 21% превышающую величину полученного кредита. Каков процент годовых по кредиту в данном банке?

Решение: Пусть А₀ – сумма кредита, р – процент годовых по кредиту. В конце первого года фермер должен банку рублей, а после частичной уплаты – рублей. К концу второго года фермер должен банку рублей, что по условию задачи составило 1,21А₀ рублей. Таким образом, получаем уравнение тогда , тогда р = 120 %.

Ответ: 120 % годовых по кредиту в данном банке.

Задача 11. Двое рабочих выполняют некоторую работу. Если первый рабочий проработает 2 часа, а затем они вместе будут работать 3 часа, то выполнят 75 % всей работы. Какие значения может принимать время выполнения всей работы двумя рабочими вместе? Ответ: (4; 20/3).

Решение. Примем объем всей работы, которую нужно выполнить за 1.

Пусть x, y ч. – время необходимое на выполнение всей работы соответственно 1-му и 2-му рабочим в отдельности.

Тогда 1/x, 1/y – производительность труда (часть всей работы, выполняемая за 1 ч.) соответственно 1-го и 2-го рабочих.

5/x, 3/y – часть всей работы, выполненная соответственно 1-м рабочим за 5 ч. и 2-м за 3 ч. Т.к. вместе за это время они выполнили 75% всей работы, то получим уравнение . Из полученного уравнения вытекают условия x 20/3, y 4.

– производительность труда при совместной работе обоих рабочих.

– время необходимое на выполнение всей работы при совместном труде рабочих.

,

,

– с учетом ранее указанного условия x 20/3 значение времени необходимого на выполнение всей работы при совместном труде 2-х рабочих принадлежит промежутку (4; 20/3).

Ответ: (4; 20/3).

1. Расстояние между городами A и B равно 60 км. Два поезда выходят одновременно: один из города A в B, другой из B в A. Пройдя 20 км, поезд, идущий из A в B, останавливается на полчаса, а затем через 4 мин, встречает поезд, идущий из B. Оба поезда прибывают к месту назначения одновременно. Найдите скорости поездов. Ответ: 60 км/ч; 40 км/ч

2. Два велосипедиста стартовали один за другим с интервалом в 2 мин. Второй велосипедист догнал первого на расстоянии 1 км от старта. Если бы проехав от старта 5 км, он повернул обратно, то встретился бы с первым велосипедистом через 20 мин после его старта. Найдите скорость второго велосипедиста. Ответ: 20 км/ч

3. Двое рабочих выполнили вместе некоторую работу за 12 ч. Если бы сначала первый рабочий сделал половину этой работы, а затем другой остальную часть, то вся работа была бы выполнена за 25 ч. За какое время мог бы выполнить эту работу каждый рабочий в отдельности? Ответ: 20 ч, 30 ч

4. Для прокладки траншеи выделены два экскаватора различных типов. Время, необходимое первому экскаватору для прокладки траншеи, на 3 ч меньше времени, необходимого второму экскаватору для прокладки этой траншеи. Сколько часов требуется каждому экскаватору для прокладки траншеи, если сумма этих часов в 144/35 раза больше времени, необходимого для прокладки траншеи при совместной работе? Ответ: 7,5 ч; 10,5 ч

5. Имелось два сплава меди с разным процентным содержанием меди в каждом. Затем их сплавили вместе, после чего содержание меди составило 36%. Число, выражающее в процентах содержание меди в первом сплаве, на 40 меньше числа, выражающего в процентах содержание меди во втором сплаве. Определить процентное содержание меди в каждом сплаве, если в первом сплаве меди было 6 кг, а во втором – 12 кг.

6. Имеется кусок сплава меди с оловом массой 12 кг, содержащий 45 % меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому сплаву, чтобы получившийся новый сплав содержал 40 % меди? Ответ: 1,5 кг

7. Свежие грибы содержат 90 % воды, а сухие 12 %. Сколько получится сухих грибов из 88 кг свежих? Ответ: 10 кг

8. Два сплава содержат два металла. В первом сплаве металлы находятся в отношении 1:2, а во втором – в отношении 3:2. В каком отношении нужно взять части этих сплавов, чтобы получился новый сплав с отношением металлов 8:7? Ответ: 1:3

9. Из 38 т сырья второго сорта, содержащего 25 % примесей, после переработки получается 30 т сырья первого сорта. Каков процент примесей в сырье первого сорта? Ответ: 5 %

10. Букинистический магазин продал книгу со скидкой 10 % с первоначально назначенной цены и получил при этом 8 % при6ым. Сколько процентов прибыли первоначально предполагал получить магазин? Ответ: 20 %

11. Имеется два раствора кислоты разной концентрации. Объём одного раствора – 4 литра, а другого – 6 литров. Если их слить вместе, то получится 35%-ный раствор кислоты. Если же слить равные объёмы этих растворов, то получится 36%-ный раствор кислоты. Сколько литров кислоты содержится в каждом из первоначальных растворов?1,64 л; 1,86 л

12. За 12 дней совместной работы Билл и Джек строят 7 домов. Если Билл повысит свою производительность на 100 %, то 6 дней совместной работы они построят 5 домов. Сколько домов построят они за 12 дней совместной работы, если Билл еще раз повысит свою производительность на 100 %? Ответ: 16

13. Монтёр сбежал по ленте движущегося эскалатора за 30 секунд. Второй раз он спустился по неподвижной ленте за 45 секунд. За сколько времени он спустился бы, стоя на ступеньке движущегося эскалатора? Ответ: 90 с

14. Бассейн заполняется водой через первую трубу на 5 часов быстрее, чем через вторую, и на 30 часов быстрее, чем через третью. Известно, что пропускная способность третьей трубы в 2,5 раза меньше пропускной способности первой трубы и на 40 м3/ч меньше пропускной способности второй трубы. Найдите пропускную способность первой и третьей труб. Ответ: 100 м³/ч; 40 м³/ч

15. Две точки, двигаясь по окружности в одном направлении, встречаются каждые 12 мин, причем первая обходит окружность на 10 с быстрее, чем вторая. Какую часть окружности проходит за 1 с каждая точка? Ответ:

16. В ателье поступило по одному куску черной, зеленой и синей ткани. Хотя зеленой ткани было на 9 м. меньше, чем черной, и на 6м больше, чем синей, стоимость кусков была одинаковой. Известно также, что стоимость 4,5 м. черной ткани равна стоимость 3 м. зеленой и 0,5 м. синей вместе. Сколько метров ткани было в каждом куске?

17. Автомобили «Рено» и «Крайслер» движутся по кольцевой дороге, часть которой проходит по городу. Скорость «Рено» в городе равна 2, а за пределами города равна . Скорость «Крайслера» в городе равна , а за пределами города равна 3. Автомобили одновременно въезжают в город. Через какое время один из них совершит обгон другого, если длина городского участка кольцевой дороги равна S? Ответ:

8