Как составить уравнение потребительской функции

Функция потребления – это уравнение, которое показывает, как личные потребительские расходы изменяются в ответ на изменения располагаемого дохода, богатства, процентной ставки и так далее.

Как правило, потребление равно совокупному значению автономного потребления и произведения предельной склонности к потреблению и располагаемого дохода.

Потребление является самой большой составляющей валового внутреннего продукта (ВВП) страны. Оно включает в себя некоммерческие расходы, которые люди несут на конечные товары и услуги, такие как продукты питания, одежда, образование, развлечения, мебель, автомобили, компьютеры и тому подобные.

Наиболее популярной функцией потребления является кейнсианская функция потребления, которая показывает, что потребление (C) зависит от автономных расходов (c0), предельной склонности к потреблению (MPC) и располагаемого дохода (YD).

C = C₀ + MPC × Y_D

C₀ – это константа, представляющая автономное потребление, то есть потребление, существующее даже при нулевом уровне дохода. Даже если у людей нет текущего дохода, они тратят на еду и одежду из сбережений или занимая деньги.

Предельная склонность к потреблению (англ. marginal propensity to consume, MPC) – это процент от каждой дополнительной денежной единицы, потребляемой людьми.

Например, если потребитель тратит 60 долларов из любого 100-долларового дохода, его предельная склонность к потреблению равна 0,6.

Располагаемый доход (Y_D) равен чистому доходу, доступному потребителям для расходов после уплаты налогов. Он равен Y × (1 – t), где t – налоговая ставка.

Подставляя определение располагаемого дохода в приведенное выше уравнение, мы получаем расширенную версию функции потребления:

C = C₀ + MPC × Y × (1 – t)

График и пример

Давайте рассмотрим Марка, который должен тратить 500 долларов каждый месяц на еду и одежду. Если его предельная склонность к потреблению равна 0.7, а налоговая ставка – 0.3, мы можем записать его функцию потребления следующим образом:

C = $500 + 0.7 × Y × (1 – 0.3)

Если мы построим график функции потребления выше, то получим прямую линию, которая обычно считается хорошим приближением реальности.

Наклон потребления равен предельной склонности к потреблению.

Средняя склонность к потреблению (APC)

Средняя склонность к потреблению, отношение общего потребления к общему располагаемому доходу, может быть рассчитана путем деления потребления на общий доход следующим образом:

APC = C / Y_D = C₀ / Y_D + MPC × (Y_D / Y_D) = C₀ / Y_D + MPC

В случае Марка кривая средней склонности к потреблению (APC) уменьшается с увеличением общего дохода. Он равен 2,13, когда располагаемый доход составляет 350 долларов, и падает до 0,84, когда располагаемый доход составляет 3500 долларов.

Хотя базовая кейнсианская функция потребления полезна для анализа широкого диапазона задач, некоторые экономисты предложили уточнения к функции потребления.

Эти уточнения основаны на предположении, что потребители учитывают свои будущие доходы и процентную ставку при определении уровня потребления сегодня.

Две важные альтернативные функции потребления основаны на (a) гипотезе жизненного цикла и (b) гипотезе постоянного дохода.

Гипотеза жизненного цикла утверждает, что потребление является функцией как богатства, так и дохода.

Гипотеза постоянного дохода, с другой стороны, постулирует, что люди основывают свое решение о потреблении только на доходе, который они разумно ожидают сохранить в будущем, а не на каком-либо временном разовом доходе.

Задача потребительского выбора

Назначение сервиса . Сервис предназначен для нахождения функции спроса с помощью функции Лагранжа: L(X,λ) = U(X) + λ(D — P*X)
где множитель Лагранжа λ является оптимальной оценкой дохода.

Находятся предельные полезные эффекты (предельные полезности) соответствующих потребительских благ:

• Решение онлайн
• Видеоинструкция

Свойства целевой функции потребления

1. Функция U(X) является возрастающей функцией всех своих аргументов, т.е. увеличение потребления любого блага при неизменном уровне потребления всех других благ увеличивает значение данной функции. Поэтому более удаленная от начала координат кривая безразличия соответствует большему значению целевой функции потребления, а сам процесс максимизации этой функции на некотором ограниченном множестве допустимых векторов У можно интерпретировать как нахождение допустимой точки, принадлежащей кривой безразличия, максимально удаленной от начала координат;
2. Кривые безразличия не могут пересекаться, т.е. через одну точку пространства благ (товаров, услуг) можно провести только одну поверхность безразличия. В противном случае один и тот же набор благ одновременно соответствовал бы нескольким разным уровням материального благосостояния;
3. Кривые безразличия имеют отрицательный наклон к каждой оси координат, при этом абсолютный наклон кривых уменьшается при движении в положительном направлении по каждой оси, т.е. кривые безразличия являются выпуклыми кривыми.

Пример №1 . Пусть для двух товаров целевая функция потребления имеет вид U(X) = x₁x₂ 3 , вектор цен равен Р = (3; 6); величина дохода равна Z. Так как в данном случае предельные полезности имеют вид:

Пример №2 . Найдите функции спроса и оптимальный потребительский набор при ценах первого и второго блага соответственно 4 и 6 ден. ед. и доходе потребителя 100 ден.ед., если функция предпочтений потребителя u(x₁,x₂)=2(10-x₁) 2 +3(20-x₂) 2 → min.

Б. Примеры решения задач

Задача 2.1.Функция полезности . Определите функцию предельной полезности.

Решение. Предельная полезность – это полезность каждой дополнительной единицы потребляемого блага:

,

где – общая полезность;

Q – количество потребляемого блага.

.

Задача 2.2.Потребитель располагает доходом в размере 31 ден. ед., делает выбор между тремя товарами А, Б, и В, цены на которые равны соответственно Р_а = 1 ден. ед., Р_б = 3 ден. ед., Р_в = 2 ден. ед.

В таблице 2.1 представлены общие полезности трех товаров. Определите, сколько каждого товара необходимо купить потребителю, чтобы максимизировать свою полезность.

Т а б л и ц а 2.1 – Общие полезности товаров А, Б, и В

Порции товара, шт.	TUА	TUБ	TUВ
1-я
2-я
3-я
4-я
5-я
6-я
7-я

Решение. Потребитель будет максимизировать свою полезность при условии:

(2.1)

где MU – предельная полезность товара;

Рассчитаем предельные полезности трёх товаров, используя формулу 2.2, полученные результаты сведём в таблицу 2.2:

(2.2)

Т а б л и ц а 2.2 – Предельная полезность товаров А, Б и В

Порции товара, шт.	МUА	МUБ	МUВ
1-я
2-я
3-я
4-я
5-я
6-я
7-я

Определим взвешенные предельные полезности, то есть полезности, приходящиеся на 1 ден. ед., затраченную на единицу каждой порции товара ( ):

Т а б л и ц а 2.3 – Взвешенные предельные полезности товаров А, Б и В

Порции товара, шт.	МUА/PA	МUБ/PБ	МUВ/PВ
1-я
2-я
3-я
4-я
5-я
6-я
7-я

Если бы выбор потребителя не был ограничен размерами его дохода, то потребление бы осуществлялось следующим образом (в скобках указаны единицы товара, потребление которых бы осуществлялось одновременно, так как взвешенные предельные полезности этих товаров равны):

Потребление = А + (А + Б) + (А + Б + В) + В + (А + В) + (А + Б) +

+ (Б + В) + (А + Б + В) + (А + Б + В) + (Б + В) = 7А + 7Б + 7В.

Однако потребитель ограничен доходом в размере 31 ден. ед.

Следовательно, он купит набор товаров 6А + 5Б + 5В, так как при этом выборе он тратит весь свой доход и максимизирует общую полезность (выполняется равенство взвешенных предельных полезностей, формула (2.1). Рассчитаем общую полезность максимизирующего набора:

TU(6А) + TU (5Б) + TU (5В) = 41 + 87 + 56 = 184.

Это максимальная полезность, которую мог получить потребитель, ограниченный доходом в 31 ден. ед. Любое другое перераспределение средств принесло бы ему меньшую общую полезность, то есть в меньшей степени удовлетворило его потребности.

Например, если бы потребитель потратил весь свой доход на набор 7А + 4Б + 6В, то суммарная полезность его составила бы 43 + 78 + 60 = 181, что меньше максимизирующего 184.

Вывод: потратив на набор 6А + 5Б + 5В весь свой доход, потребитель наилучшим образом удовлетворит свои потребности.

Задача 2.3.Доход потребителя составляет I = 360 ден. ед. и целиком тратиться на два товара: А и B. Цена товара P_А = 40 ден. ед., цена товара P_B = 30 ден. ед. Выполните задания:

1) постройте бюджетную линию на основании данных задачи;

2) постройте бюджетную линию при условии, что доход увеличился до 480 ден. ед.

1 Уравнение бюджетной линии

, (2.3)

где I – доход потребителя;

Подставим данные задачи в формулу (2.3):

Отложим по горизонтальной оси количество товара Q_А, а по вертикальной – количество товара Q_B (рисунок 2.1):

Все точки бюджетной линии I₁ показывают наборы товаров А и B, на которые потребитель полностью тратит свой доход.

Рисунок 2.1 – Бюджетные линии потребителя

2 Если доход потребителя увеличится до 480 ден. ед., то уравнение линии бюджетных ограничений:

Возросшему уровню дохода на рисунке 2.1 соответствует линия бюджетных ограничений I₂ более удалённая от начала координат.

Задача 2.4.На рисунке 2.2 изображена линия бюджетных ограничений I₁, соответствующая доходу 100 ден. ед. Выполните задания:

1) найдите цену товара А и B;

2) определите функцию линии бюджетных ограничений;

3) определите, как изменится бюджетная линия, если цена товара А уменьшится в два раза.

Рисунок 2.2 – Бюджетная линия потребителя

Решение. Линия бюджетных ограничений – это прямая, где все точки показывают различные комбинации товарного набора, на который израсходован весь доход целиком.

1 Рассмотрим точку пересечения бюджетной линии и горизонтальной оси (см. рисунок 2.2), в этой точке весь доход израсходован на 25 шт. товара А, так как количество товара Q_B = 0. Следовательно, цена товара

2 Подставляя цены товаров и уровень дохода потребителя в формулу (2.3), получим:

3 Если цена товара А уменьшится в два раза, то есть Р_А = 2 ден. ед. за шт., то потребитель на свой доход 100 ден. ед. сможет купить 50 шт. товара А, следовательно, линия бюджетных ограничений примет вид I₂ (рисунок 2.3):

Рисунок 2.3 – Смещение бюджетной линии при изменении цены товара А

Задача 2.5.Доход потребителя составляет 200 ден. ед. Потребительский набор состоит из картофеля и молока. Стоимость картофеля P_к = 10 ден. ед. за 1 кг, а молока Р_м = 20 ден. ед. за 1 л. Предпочтения потребителя описываются следующей функцией полезности:

.

Цена картофеля увеличилась до Р_к1 = 20 ден. ед. за 1 кг.

Определите, какой должен быть доход потребителя, чтобы уровень его удовлетворения остался прежним. Какое количество картофеля и молока при этом он будет потреблять.

Решение. Кривая безразличия – это линия, все точки которой показывают наборы двух товаров, которые обладают одинаковой суммарной полезностью для потребителя.

Если функция полезности потребителя имеет вид

а располагаемый доход – формула (2.3), тогда оптимальный объём потребляемых благ можно определить по формулам:

(2.4)

Подставляя исходные данные в формулу (2.4), получим:

Увеличение цены на картофель до 20 ден. ед. за 1 кг, сместит линию бюджетных ограничений с I₁ до I₂ (рисунок 2.4).

Рисунок 2.4 – Изменение равновесия потребителя

Линия бюджетных ограничений I₂ не имеет точек касания с кривой безразличия U, следовательно, потребителю при цене картофеля 20 ден. ед. за 1 кг уровень удовлетворения U недоступен. Для определения оптимального набора, который позволит потребителю обеспечить удовлетворение своих потребностей на прежнем уровне, необходимо линию I₂ сместить параллельно до точки касания с кривой безразличия U.

На рисунке 2.4 искомому уровню дохода соответствует I₃, а положению максимизации полезности – точка E₂. В этой точке потребитель обеспечивает себе прежний уровень потребления, следовательно,

.

Для определения параметров нового равновесия, решим систему уравнений, используя формулы (2.3), (2.4):

При уровне дохода I₃ = 282,8 будет потребляться 7 кг картофеля и 7 литров молока.

Задача 2.6. Постройте кривую «доход – потребление» для потребителя с функцией полезности:

Известно, что Р_А = 15 ден. ед., Р_B = 30 ден. ед.

Решение. Кривая «доход – потребление» характеризует изменение максимизирующего полезность набора товаров A и B по мере роста дохода.

Исходя из условия задачи, некомпенсированный спрос на благо A и B имеет следующий вид см. формулу (2.4):

Уравнение линии бюджетных ограничений см. формулу (2.3):

Изменяя значение параметра располагаемого дохода потребителя I, построим кривую «доход – потребление», на основании полученных значений из следующих соотношений (см. рисунок 2.5):

Рисунок 2.5 – Кривая «доход – потребление»

Задача 2.7. Постройте кривую «цена – потребление» товара А для потребителя с функцией полезности:

Известно, что P_B = 10 ден. ед., располагаемый доход I = 100 ден. ед.

Решение. Кривая «цена – потребление» показывает, как изменяется количество потребления товара А от его цены, при постоянном доходе и неизменности цен других товаров.

Исходя из условия задачи, некомпенсированный спрос на товар А и B описывается следующей функцией (см. задачу 2.6):

На основании зависимости Q_A(P_A) построим кривую «цена – потребление» по точкам, последовательно изменяя цену на благо A, например P₁ = 50, P₂ = 20, P₃ = 10 ден. ед. (порядок выбора цены на первое благо не имеет значения).

Изобразим ситуацию графически (рисунок 2.6).

Рисунок 2.6 – Кривая «цена – потребление»

В. Тесты

1 Полезность – это:

а) основная цель потребления;

б) свойство экономических благ удовлетворять потребности;

в) конечная цель производства;

г) количественная мера потребности.

2 Понятие «предельная полезность» означает:

а) максимальную полезность всех составляющих частей потребляемого блага;

б) максимальную полезность при покупке каждой дополнительной единицы блага;

в) полезность дополнительной единицы блага;

г) минимальные издержки на производство дополнительной единицы блага.

3 Если общая полезность при употреблении 3-го стакана сока возросла с 35 до 40, то предельная полезность будет равна:

4 Какой ряд значений общей полезности иллюстрирует закон убывающей предельной полезности:

а) 400, 200, 150, 100, 50, 20;

б) 400, 450, 500, 600;

в) 150, 100, 60, 30, 10, 5;

г) 150, 200, 240, 270, 290.

5 Кривая безразличия – это линия, точки которой отражают:

а) равные товарные наборы двух благ, обладающие одинаковой полезностью для потребителя;

б) разные наборы факторов производства, позволяющие произвести одинаковый объём производства;

в) разные товарные наборы двух благ, обладающие одинаковой полезностью для потребителя;

г) объём спроса на одно благо в зависимости от спроса на другое благо.

6 Отрицательный наклон кривой безразличия объясняется:

а) эластичностью спроса;

б)законом убывающей предельной полезности;

в) предельной нормой замещения;

г) законом убывающей предельной производительности.

Функция потребления: понятие, график, пример

Функция потребления — это уравнение, которое показывает, как личные потребительские расходы изменяются в ответ на изменения располагаемого дохода, богатства, процентной ставки и так далее.

Как правило, потребление равно совокупному значению автономного потребления и произведения предельной склонности к потреблению и располагаемого дохода.

Потребление является самой большой составляющей валового внутреннего продукта (ВВП) страны. Оно включает в себя некоммерческие расходы, которые люди несут на конечные товары и услуги, такие как продукты питания, одежда, образование, развлечения, мебель, автомобили, компьютеры и тому подобные.

Наиболее популярной функцией потребления является кейнсианская функция потребления, которая показывает, что потребление (C) зависит от автономных расходов (c0), предельной склонности к потреблению (MPC) и располагаемого дохода (YD).

C = C₀ + MPC × Y_D

C₀ — это константа, представляющая автономное потребление, то есть потребление, существующее даже при нулевом уровне дохода. Даже если у людей нет текущего дохода, они тратят на еду и одежду из сбережений или занимая деньги.

Предельная склонность к потреблению (англ. marginal propensity to consume, MPC) — это процент от каждой дополнительной денежной единицы, потребляемой людьми.

Например, если потребитель тратит 60 долларов из любого 100-долларового дохода, его предельная склонность к потреблению равна 0,6.

Располагаемый доход (Y_D) равен чистому доходу, доступному потребителям для расходов после уплаты налогов. Он равен Y × (1 — t), где t — налоговая ставка.

Подставляя определение располагаемого дохода в приведенное выше уравнение, мы получаем расширенную версию функции потребления:

C = C₀ + MPC × Y × (1 – t)

График и пример

Давайте рассмотрим Марка, который должен тратить 500 долларов каждый месяц на еду и одежду. Если его предельная склонность к потреблению равна 0.7, а налоговая ставка – 0.3, мы можем записать его функцию потребления следующим образом:

C = $500 + 0.7 × Y × (1 – 0.3)

Если мы построим график функции потребления выше, то получим прямую линию, которая обычно считается хорошим приближением реальности.

Наклон потребления равен предельной склонности к потреблению.

Средняя склонность к потреблению (APC)

Средняя склонность к потреблению, отношение общего потребления к общему располагаемому доходу, может быть рассчитана путем деления потребления на общий доход следующим образом:

APC = C / Y_D = C₀ / Y_D + MPC × (Y_D / Y_D) = C₀ / Y_D + MPC

В случае Марка кривая средней склонности к потреблению (APC) уменьшается с увеличением общего дохода. Он равен 2,13, когда располагаемый доход составляет 350 долларов, и падает до 0,84, когда располагаемый доход составляет 3500 долларов.

Хотя базовая кейнсианская функция потребления полезна для анализа широкого диапазона задач, некоторые экономисты предложили уточнения к функции потребления.

Эти уточнения основаны на предположении, что потребители учитывают свои будущие доходы и процентную ставку при определении уровня потребления сегодня.

Две важные альтернативные функции потребления основаны на (a) гипотезе жизненного цикла и (b) гипотезе постоянного дохода.

Гипотеза жизненного цикла утверждает, что потребление является функцией как богатства, так и дохода.

Гипотеза постоянного дохода, с другой стороны, постулирует, что люди основывают свое решение о потреблении только на доходе, который они разумно ожидают сохранить в будущем, а не на каком-либо временном разовом доходе.

График функции потребления

Как строится
график функции потребления на сои
ординат?

Мы откладываем
желаемые расходы на потребление, в нашем
случаи желаемые расходы “С” – это весь
совокупный спрос, а величина выпуска
или дохода или реального ВВП (Y)
– это величина абсциз. Если бы расходы
в точности соответствовали доходам, то
это отражалось бы в прямой под углом 45
⁰С. Но реально такого совпадения
не происходит потому что только часть
доходов расходуется на потребление
т.е. МРС <1, значит появиться отклонение.
Поэтому наклон функции потребления
будет смещён (на величину 0,8 из предыдущего
примера).

Жизнь в долг,
доходы которые мы недодали (долги перед
обществом). Существует понятие автономное
потребление. Потребление которое
независимо от уровня дохода называется
автономным потреблением.

График функции сбережения

Графические
функции сбережения показывает зависимость
сбережений от размера дохода. Алгебраическую
линию сбережения можно представить по
формуле:

_

-С+MPSY

Наклон
сбережения “S” определяется
предельной склонностью к сбережению и
в нашем случаи это величина (0,2 в предыдущем
примере).

Допустим был
доход 700 д.е., тогда при нашем потреблении
(0,8 и предыдущая склонность к сбережению
0,2).

У нас сбережения
составят:

-100+(7000,2)=40
д.е.

Кейнсианская
модель построена на допущении о
фиксированных ценах.

Условия
Кейнса:

1. Совокупный
   спрос определяет уровень экономической
   активности

2. Заработная
   плата и цены не обладают совершенной
   гибкостью.

3. Процентная
   ставка не уравнивает объём инвестиций
   и сбережений.

4. Полная
   занятость не достигается в экономике
   автоматически и это даёт основание
   государственного вмешательства в
   экономические процессы.

График
макроэкономического равновесия (Модель
АД-AS).

Y^*-потенциал
ВВП

На графике
представлены три возможных ситуации
макроэкономического равновесия т.е.
такого состояния экономики, когда весь
произведённый национальный продукт
полностью реализован.

Тогда точка
“Е1” – это равновесие при неполной
занятости без повышения уровня цен,
т.е. без инфляции.

Точка “Е2”
– это равновесие при небольшом повышении
уровня цен и состоянии близком к полной
занятости.

Точка “Е3”
– это равновесие в условиях полной
занятости с получением потенциального
ВВП, но с инфляцией, уровень цен растёт.

Инвестиции
и сбережения.

Компонентом
планируемых совокупных расходов являются
инвестиции.
Кейнсианская теория подчёркивает, что
уровень инвестиции и уровень сбережений
– это разные процессы.

Инвестиции в масштабах страны определяют
процесс расширенного воспроизводства
[строительство новых предприятий –
создание новых мест, будет зависеть от
инвестирования].

Сбережения – это
располагаемый доход за вычетом расходов
на личное потребление.

Сбережение – это
то, что вычли из дохода на потребление.

В классической
модели потребление – это остаток от
суммы из которой были вычтены сбережения,
потом то что может пойти на потребление.

Проблема
заключается в том что:

Сбережения
осуществляются одними хозяйствующими
агентами, а инвестиции могут осуществляться
совсем другими группами лиц т.е. доходы
приносят все, но одни сберегают, другие
расходуют на что-то другое беря из общего
дохода.

От таких
факторов зависят планируемые инвестиции:

1. От ожидаемой
   нормы дохода предполагаемого
   капиталовложений.

2. От уровня
   процентной ставки, т.е. если процентная
   ставка возрастает, то спрос на инвестиции
   небольшой.

3. От уровня
   налогообложения

4. От темпов
   инфляционного обесценивания денег.

Известно, что
инвестиции это функция ставки процента.

Инвестиции

I=I(r)

Причём функция
убывающая:

Чем выше
уровень процентной ставки, тем ниже
уровень инвестиций.

По классической
теории инвестиции тоже функции ставки
процента.

Равновесие
между инвестициями и сбережениями
определяются гибкостью процентной
ставки (сбережения тоже зависят от
процентной ставки).

По Кейнсу в
отличии от классической теории сбережение
– это функция дохода, а не процентной
ставки. Тогда инвестиции являются
функцией процентной ставки, а сбережения
функцией дохода. Кейнс ещё раз подчеркивает
этим, что инвестиции и сбережения это
процессы которые определяются разными
факторами.

Тогда важнейшие
макроэкономические пропорции отражающие
взаимодействие инвестиций, сбережений
и дохода можно представить в виде
уравнения:

Y=C+I

Т.е.
национализированный доход – это сумма
расходов на потребление и инвестиции,
но с учётом что “C” –
функция дохода.

С=C(Y)

,
тогда Y=C+S

но S
также является функцией дохода.

И если
предположить, что

Y=C+I=Y=C+S

где, Y=C+I
– это сумма расходов и инвестиций

Y=C+S
– это национальный доход который может
быть представлен, как сумма доходов и
сбережений (получается один и тот же
национальный доход).

Автономные
инвестиции. Кейнсианский крест.

Автономные
инвестиции определяются как инвестиции
независящие от уровня дохода и составляющие
при любом уровне некоторую постоянную
величину.

В условиях депрессивной экономики
уровень предельной склонности к
потреблению по Кейнсу невысок. Спрос
не достигает эффективного спроса.

Эффективный спрос
– это совокупный спрос соответствующий
совокупному предложению.

Возможность равновесия может наступить
в условиях неполной занятости, которую
предлагал Кейнс.

Графически можно представить иллюстрацию
благотворной роли государственных
расходов и стимулирующих инвестиций в
частном секторе.

Кейнсианский крест

Где, G
– государственные расходы

NX
– экспорт

Линия планируемых расходов пересечёт
линию 45 ⁰С в точке “Е” этой точке
соответствует объём дохода Y₀.

Если государство
будет осуществлять автономные расходы
“G”, то линия совокупных
расходов поднимется до точки “Е₁”,
если прибавиться чистый экспорт (расходы
на него) мы попадём в точку “Е₂”.
В итоге каждое добавление какого либо
элемента автономных расходов будет
сдвигать вверх линию совокупных расходов
и тогда совокупный спрос (АД) может быть
представлен следующей формулой:

_ _ _ ___

АД=С+МРС(Y)+I+G+NX

Наращивание
любого из компонентов автономных
расходов ведёт к росту национального
дохода и способствует достижению полной
занятости.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #