Как составить уравнение прямой перпендикулярной данной прямой и проходящей через данную точку?
Пусть y=k1x+b1 — данная прямая. С учётом условия перпендикулярности прямых уравнение прямой, перпендикулярной данной, имеет вид
Если эта прямая проходит через точку M(xo; yo), то её координаты удовлетворяют уравнению прямой. Подставив в уравнение xo и yo, мы найдем b.
Примеры.
1) Написать уравнение прямой, проходящей через точку A(-10;3), перпендикулярной прямой y=5x-11.
Решение:
Так как прямые перпендикулярны, если их угловые коэффициенты обратны по абсолютной величине и противоположны по знаку, то
Значит уравнение прямой, перпендикулярной прямой y=5x-11, имеет вид
Так как прямая проходит через точку A(-10;3), то координаты A удовлетворяют уравнению прямой:
откуда b=1.
Итак, уравнение прямой, перпендикулярной прямой y=5x-11 и проходящей через точку A(-10;3)
Ответ: y= -0,2x+1.
2) Написать уравнение прямой, перпендикулярной прямой x= -2, проходящей через точку M(-5;9).
Решение:
Прямая x= -2 перпендикулярна оси абсцисс. Значит, прямая, уравнение которой мы ищем, параллельна оси абсцисс, то есть ищем уравнение прямой в виде y=b.
Так как искомая прямая проходит через точку M(-5;9), то координаты M удовлетворяют уравнению прямой: y=9.
Ответ: y=9.
3) Написать уравнение прямой, перпендикулярной прямой y=4, проходящей через точку F(7;-5).
Решение:
Прямая y=4 перпендикулярна оси ординат. Следовательно, прямая, уравнение которой мы ищем, параллельна оси ординат, а значит, её уравнение имеет вид x=a.
Так как эта прямая проходит через точку F(7;-5), то координаты F удовлетворяют уравнению прямой: x=7.
Ответ: x=7.
-
1
Simplify the equation of the line. If you are given the equation of a line and one common point and asked to find a line that runs perpendicular to it, it is important that you first convert the equation into the format. To do this, you want to get the by itself.[3]
-
2
Calculate the opposite reciprocal of the slope. When a line is perpendicular to another line, the slope will be the negative opposite of the original line. This is called the opposite reciprocal. The lines cross each other at a right angle, so the slopes must be opposite. Two perpendicular slopes multiplied together will always equal .[4]
Advertisement
-
3
Plug the point into the slope equation to find the y-intercept. Now that you have the slope of the perpendicular line, you can plug the value of the slope and the point you were given into a slope equation. This will give you the value of the y-intercept. Using the y-intercept, you can move on to complete the slope equation.[5]
-
4
Solve the equation for the y-intercept. Once you have your values entered into the slope equation, it is time to isolate , or the y-intercept. To isolate , you must move all other numbers from one side of the equation. After you solve for the y-intercept, you will know all of the numbers needed to write the equation of the perpendicular line.[6]
-
5
Advertisement
-
1
Understand the coordinates you were given. If you are given three coordinates from two perpendicular lines, they cannot all be used for the same equations. The first two coordinates will be used for one line, and the third will be used once you begin calculating the equation of the perpendicular line. The goal is finding two perpendicular equations.[8]
-
2
-
3
-
4
Simplify the equation to solve for . Once you have your chosen point and slope plugged into the equation, it is time to simplify. This will give you the equation of one line. After you know the equation of this line, you will be able to figure out the equation of the line that runs perpendicular to it.[11]
-
5
Find the slope of the perpendicular line using the opposite reciprocal. A line perpendicular to another line will always have an opposite slope. If the slope of the original line is a positive whole number, then the slope of the perpendicular line will be a negative fraction. Two perpendicular slopes multiplied together will always equal .[12]
-
6
Advertisement
Ask a Question
200 characters left
Include your email address to get a message when this question is answered.
Submit
Advertisement
About This Article
Thanks to all authors for creating a page that has been read 70,426 times.
Did this article help you?
210
-3), M5(3; -1), M6(-2; 1) лежат
на прямой и какие на ней не лежат.
P2, P3, P4, P5 расположены
на прямой ; их абсциссы соответственно равны
числам 4; 0; 2; -2; -6. Определить ординаты этих точек.
Q2, Q3, Q4, Q5 расположены
на прямой ; их ординаты соответственно равны
числам 1; 0; 2; -1, 3. Определить абсциссы этих точек.
пересечения прямой с координатными
осями и построить эту прямую на чертеже.
пересечения двух прямых , .
треугольника АВС даны соответственно
уравнениями , , . Определить
координаты его вершин.
сторон параллелограмма , и уравнение одной из
его диагоналей .
Определить координаты вершин
этого параллелограмма.
треугольника лежат на прямых , , . Вычислить его площадь S.
треугольника S=8, две его вершины суть точки А(1; -2),
В(2; 3), а третья вершина С лежит на прямой . Определить координаты вершины С.
треугольника S=1,5, две его вершины суть точки А(2;
-3), В(3; -2), центр масс этого треугольника лежит на
прямой .
Определить координаты третьей
вершины С.
уравнение прямой и построить прямую на чертеже,
зная ее угловой коэффициент k и отрезок b,
отсекаемый ею на оси Oy:
коэффициент k и отрезок b, отсекаемый на оси Oy, для
каждой из прямых:
прямой:
данной прямой;
данной прямой.
проходящей через точку М0(2; 1):
прямой;
данной прямой.
сторон прямоугольника , и одна из его вершин
А(2; -3). Составить уравнения двух других сторон
этого прямоугольника.
сторон прямоугольника , и уравнение одной из
его диагоналей .
Найти вершины прямоугольника.
точке Р(-5; 13) относительно прямой .
симметричную точке Р(-5; 13) относительно прямой .
следующих случаев составить уравнение прямой,
параллельной двум данным прямым и проходящей
посередине между ними:
коэффициент k прямой, проходящей через две данные
точки:
-5), M2(3; 2);
уравнения прямых, проходящих через вершины
треугольника A(5; -4), B(-1; 3), C(-3; -2) параллельно
противоположным сторонам.
сторон треугольника M1(2; 1), M2(5;
3), M3(3; -4). Составить
уравнение его сторон.
Q(-1; 0). Составить уравнение прямой, проходящей
через точку Q перпендикулярно к отрезку .
уравнение прямой, если точка P(2; 3) служит
основанием перпендикуляра, опущенного из начала
координат на эту прямую.
треугольника M1(2; 1), M2(-1; -1),
M3(3; 2). Составить уравнения
его высот.
треугольника даны уравнениями , , . Определить точку пересечения его
высот.
треугольника A(1; -1), B(-2; 1), C(3; 5). Составить
уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины
А на медиану, проведенную из вершины В.
треугольника A(2; -2), B(3; -5), C(5; 7). Составить
уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины
С на биссектрису внутреннего угла при вершине А.
уравнения сторон и медиан треугольника с
вершинами A(3; 2), B(5; -2), C(1; 0).
прямая. Определить точки пересечения этой прямой
с осями координат.
Доказать,
что условие, при котором три точки M1(x1,
y1), M2(x2, y2), M3(x3,
y3) лежат на одной прямой,
может быть записано в следующем виде:
Доказать,
что уравнение прямой, проходящей через две
данные точки M1(x1, y1),
M2(x2, y2), может
быть записано в следующем виде:
последовательные вершины выпуклого
четырехугольника A(-3; 1), B(3; 9), C(7; 6), D(-2; -6).
Определить точку пересечения его диагоналей.
вершины A(-3; -1), B(2; 2) параллелограмма ABCD и точка Q(3;
0) пересечения его диагоналей. Составить
уравнения сторон этого параллелограмма.
сторон прямоугольника , и уравнение его
диагонали . Составить уравнения остальных
сторон и второй диагонали этого прямоугольника.
треугольника A(1; -2), B(5; 4), C(-2; 0). Составить
уравнения биссектрис его внутреннего и внешнего
углов при вершине А.
уравнение прямой, проходящей через точку P(3; 5) на
одинаковых расстояниях от точек A(-7; 3) и B(11; -15).
точки P(-8; 12) на прямую, проходящую через точки A(2;
-3), B(-5; 1).
-9) относительно прямой,
проходящей через точки А(3; -4), B(-1; -2).
найти такую точку P, чтобы сумма ее расстояний до
точек M(1; 2), N(3; 4) была наименьшей.
найти такую точку P, чтобы сумма ее расстояний до
точек M(-3; 2), N(2; 5) была наибольшей.
расстояний которой до точек A(-7; 1), B(-5; 5) была бы
наименьшей.
расстояний которой до точек A(4; 1), B(0; 4) была бы
наибольшей.
проходящей через точку M0(2; 1) под углом 450 к данной прямой.
является вершиной квадрата, диагональ которого
лежит на прямой . Составить
уравнения сторон и второй диагонали этого
квадрата.
противоположные вершины квадрата A(-1; 3), C(6; 2).
Составить уравнения его сторон.
центром квадрата, одна из сторон которого лежит
на прямой . Составить уравнения
прямых, на которых лежат остальные стороны этого
квадрата.
Ox направлен луч света. Известно, что . Дойдя
до оси Ox, луч от нее отразился. Составить
уравнения прямых, на которых лежат падающий и
отраженный лучи.
по прямой , луч от нее отразился.
Составить уравнение прямой, на которой лежит
отраженный луч.
сторон треугольника , , . Доказать, что этот треугольник
равнобедренный. Решить задачу при помощи
сравнения углов треугольника.
уравнение прямой, проходящей через точку M1(x1; y1) параллельно
прямой , может быть записано в виде .
уравнение прямой, проходящей через точку М1(2: -3) параллельно
прямой:
условие перпендикулярности прямых ; может быть записано
в следующем виде: .
из следующих пар прямых перпендикулярны. Решить
задачу, не вычисляя угловых коэффициентов данных
прямых.
Доказать,
что формула для определения угла между
прямыми , может
быть записана в следующей форме:
задачу, не вычисляя угловых коэффициентов данных
прямых.
треугольника M1(-10; 2), M2(6; 4);
его высоты пересекаются в точке
N(5; 2). Определить координаты третьей вершины M3.
-1), B(5; 7) треугольника ABC и точка N(4; -1) пересечения
его высот. Составить уравнения сторон этого
треугольника.
даны: уравнение стороны АВ: , уравнения
высот АМ: и BN: . Составить уравнения двух
других сторон и третьей высоты этого
треугольника.
уравнения сторон треугольника АВС, если даны
одна из его вершина А(1; 3) и уравнения двух медиан , .
уравнения сторон треугольника, сли даны одна из
его вершин B(-4; -5) и уравнения двух высот , .
уравнения сторон треугольника, зная одну из его
вершин A(4; -1) и уравнения двух биссектрис , .
уравнения сторон треугольника, зная одну из его
вершин B(2; 6), а также уравнения высоты и
биссектрисы , проведенных из одной вершины.
уравнения сторон треугольника, зная одну его
вершину B(2; -1), а также уравнения высоты и биссектрисы , проведенных из
различных вершин.
уравнения сторон треугольника, зная одну его
вершину C(4; -1), а также уравнения высоты и медианы , проведенной из
одной вершины.
уравнения сторон треугольника, зная одну его
вершину B(2; -7), а также уравнения высоты и медианы , проведенных из
различных вершин.
уравнения сторон треугольника, зная одну его
вершину C(4; 3), а также уравнения биссектрисы и медианы , проведенных из
одной вершины.
уравнения сторон треугольника, зная одну его
вершину A(3; -1), а также уравнения биссектрисы и медианы , проведенных из
различных вершин.
уравнение прямой, которая проходит черезначало
координат и вместе с прямыми , образует
треугольник с площадью, равной 1,5.
проходящих через точку P(3; 0), найти такую, отрезок
которой, заключенный между прямыми , , делится в точке Р
пополам.
проведены всевозможные прямые. Доказать, что
отрезок каждой из них, заключенный между прямыми , , делится
в точке Р пополам.
проведены всевозможные прямые. Доказать, что
среди них нет прямой, отрезок которой,
заключенный между прямыми , , делился бы в точке Р
пополам.
уравнение прямой, проходящей через начало
координат, зная, что длина ее отрезка,
заключенного между прямыми , , равна .
уравнение прямой, проходящей через точку С(-5; 4),
зная, что длина ее отрезка, заключенного между
прямыми , , равна 5.
2.5.4. Как найти прямую, перпендикулярную данной?
В отличие от предыдущих задач п. 2.5, рассмотренные ниже схемы работают лишь в декартовой системе
координат (но не в общем аффинном случае):
Задача 79
Прямая задана уравнением в декартовой системе координат. Составить
уравнение перпендикулярной прямой , проходящей через точку .
Решение: по условию известна точка ( – значок принадлежности), и нам неплохо бы найти направляющий вектор прямой . Так как прямые перпендикулярны, то фокус прост: из уравнения «снимаем» вектор нормали: , который и будет направляющим вектором прямой .
Уравнение прямой составим по точке и направляющему вектору :
Ответ:
Развернём геометрический этюд:
И аналитическая проверка решения:
1) Из уравнений , вытаскиваем направляющие векторы и с помощью скалярного произведения приходим к выводу, что прямые действительно
перпендикулярны:
.
Кстати, можно использовать векторы нормали, это даже проще.
2) Проверяем, удовлетворяет ли точка полученному уравнению
Оба пункта легко выполнить устно!
Самостоятельно:
Задача 80
Найти точку пересечения перпендикулярных прямых , если известно уравнение в декартовой системе координат и точка .
В задаче несколько действий, поэтому решение удобно оформить по пунктам.
И наше увлекательное путешествие продолжается:
2.5.5. Как вычислить расстояние от точки до прямой?
2.5.3. Как найти точку пересечения прямых?
| Оглавление |
Автор: Aлeксaндр Eмeлин
Skip to content
1.Пусть прямая, проходит через точку T1(x1;y1) и перпендикулярно прямой y=kx+b, тогда её можно представить уравнением (уравнение прямой перпендикулярной данной прямой):
Это и есть уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно к прямой.
2. Если прямая проходит через ту же точку T1(x1;y1) и перпендикулярно прямой, но только записанной в виде Ax+By+C = 0, то уравнение можно представить как:
A (y − y1) − B (x − x1 ) = 0
Пример 1
Составить уравнение прямой, проходящей через точку L(1;-2) и перпендикулярно прямой
4x-3y-1 = 0 (на рисунке прямая, обозначенная красным цветом)
Решение
Данную прямую можно представить уравнением y = 4/3x-1/3 (здесь a = 4/3). Уравнение искомой прямой есть
Пример 2
Составить уравнение прямой, проходящей через точку M(-1;-2) и перпендикулярной к прямой 3y+2=0
Решение
Здесь A=0, B=3, получаем 3(x+1)=0, т.е. x+1=0. В этом случае формула неприменима.
23237