Как составить уравнение прямой проходящей через две точки на плоскости

Получить уравнение прямой по двум точкам бывает необходимо, когда мы решаем задачи, связанные с анализом различных фигур на плоскости. В этом случае бывает полезно знать уравнение прямой, проходящей через две точки. Например, составляя такое уравнение мы уже знаем – как проходит прямая, с какие углом наклона к осям координат и можем рассчитать расположение прямой по отношению к другим прямым или к фигурам.

Составляем уравнение прямой по двум точкам

Итак, пусть нам даны две точки и . Наша прямая проходит через две эти точки, давайте получим уравнение этой прямой. Уравнение пучка прямых, проходящих через точку с координатами имеет вид:

   

То есть если прямая проходит через две точки и она – одна из этого пучка прямых, проходящих через точку и эта прямая имеет определенный коэффициент . Значит, координаты точки должны удовлетворять уравнению (1), то есть

   

.

Находим из (2) :

   

и подставим в уравнение (1):

   

.

Преобразовывая уравнение (3) получим:

   

Это и есть уравнение прямой, проходящей через две точки и .

Примечание: если точки и лежат на прямой, которая параллельна оси или оси , то уравнение прямой будет иметь вид или соответственно.

Зная координаты любых двух точек прямой, мы всегда сможем определить угловой коэффициент прямой:

   

Геометрический вывод уравнения прямой

Действительно, давайте нарисуем прямую в системе координат и отметим на прямой две точки и , координаты которых известны и и отметим на этой прямой произвольную точку .

Из подобия треугольников и находим:

   

Из рисунка видно, что:

   

   

   

   

,

Таким образом, получаем уравнение прямой по двум точкам:

   

Задача

Составим уравнение прямой, проходящей через две точки и .

Решение: Имеем , , , . Подставим эти значения в уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:

   

   

Умножим левую и правую части уравнения на 5, получим:

– получившееся уравнение прямой.

Давайте сделаем проверку – если мы все решили правильно, то при подстановке координат точек и мы получим верное равенство. Итак, подставим сначала координаты точки :

Теперь координаты точки :

Значит, уравнение прямой мы нашли верно.

Ответ:

Условие прохождения прямой через три заданные точки

Если нам в задаче нужно убедиться, что три точки с заданными координатами лежат на одной прямой, можно рассуждать так:

1. Если две точки с заданными координатами образуют прямую, то их координаты удовлетворяют уравнению прямой, проходящей через две точки.
2. Если третья точка также лежит на этой прямой, то и ее координаты будут удовлетворять этому уравнению.

Таким образом, если нам даны три точки , и , лежащие на одной прямой, то их координаты будут удовлетворять условию:

   

Теперь вы легко сможете составить уравнение прямой по двум точкам, а также найти угловой коэффициент прямой и проверить – принадлежит ли третья точка этой прямой.

В этой статье мы рассмотрим концепцию уравнения прямой прямой. Мы попытаемся понять общее уравнение прямой, формулу прямой, способ нахождения уравнения прямой и откроем для себя другие интересные аспекты этого. Попробуйте свои силы в решении нескольких интересных примеров и вопросов для лучшего понимания концепции.

Для того чтобы освоить описанные приемы, необходимо много практиковаться, чтобы они стали привычными.

После прочтения информации по этой теме вы должны уметь:

• находить уравнение прямой прямой, учитывая ее наклон и пересечение с осью y;
• находить уравнение прямой, учитывая ее наклон и одну точку, лежащую на ней;
• найти уравнение прямой, учитывая две точки, лежащие на ней;
• дать уравнение прямой в любой из форм y = mx + c или ax + by + c = 0

Уравнения прямых могут принимать различные формы в зависимости от фактов, которые мы знаем о прямых. Итак, для начала предположим, что у нас есть прямая линия содержащая точки из следующего списка.

На прямой есть еще много точек, но уже достаточно, чтобы увидеть закономерность. Если мы возьмем любое значение x и прибавим 2, мы получим соответствующее значение y: 0 + 2 = 2, 1 + 2 = 3, 2 + 2 = 4, и так далее. Между координатами x и y любой точки на прямой существует фиксированная зависимость, и уравнение y = x + 2 всегда верно для точек на прямой. Мы можем обозначить прямую, используя это уравнение.

Уравнение прямой, проходящей через начало координат с заданным коэффициентом

Предположим, что у нас есть прямая с уравнением y = x. Тогда для каждой точки на прямой координата y должна быть равна координате x. Таким образом, прямая будет содержать точки из следующего списка.

Мы можем найти коэффициент прямой, используя формулу для нахождения коэффициента:

[ m=frac{y 2-y 1}{x 2-x 1} ]

Далее следует подставить первые два набора значений из таблицы. Получаем:

[ m=frac{1-0}{1-0}=1 ]

Таким образом, коэффициент этой прямой равен 1.

А как насчет уравнения y = 2x? Оно также представляет собой прямую линию, и для всех точек на y в два раза больше соответствующего значения x. Таким образом, линия будет содержать точки из следующем списке.

Если мы вычислим коэффициент прямой y = 2x, используя первые два набора значений в таблице, то получим:

[ m=frac{2-0}{1-0}=2 ]

Таким образом, коэффициент этой прямой равен 2.

Теперь возьмем уравнение y = 3x. Оно также представляет собой прямую линию, и для всех точек на прямой. Каждая точка y в три раза больше соответствующего значения x. Таким образом, линия будет содержать точки из следующего списка.

Если мы вычислим коэффициент прямой y = 3x, используя первые два набора значений в таблице, мы получим:

[ m=frac{3-0}{1-0}=3 ]

Следовательно, коэффициент этой прямой равен 3.

Мы можем начать видеть здесь закономерность. Все эти прямые имеют уравнения, где y равно некоторому числу, умноженному на x. И в каждом случае линия проходит через начало координат, а коэффициент прямой равен m.

Таким образом, если бы у нас была прямая с уравнением y = 13x, то мы бы указали, что коэффициент прямой будет равен 13. Аналогично, если бы у нас была прямая с уравнением y = -2x, то коэффициент будет равен -2. Таким образом, в общем случае уравнение y = mx представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат с коэффициентом m.

Пересечение прямой y

Рассмотрим прямую линию с уравнением y = 2x + 1. Это уравнение имеет несколько иную форму в отличие от тех, которые мы видели ранее. Чтобы нарисовать график прямой, мы должны вычислить некоторые значения.

Обратите внимание, что при x = 0 значение y равно 1. Значит, эта прямая пересекает ось y в точке y = 1.

А как насчет прямой y = 2x + 4? Мы снова можем вычислить некоторые значения.

Эта линия пересекает ось y в точке y = 4.

А как насчет прямой y = 2x — 1? Мы снова можем вычислить некоторые значения.

Эта линия пересекает ось y в точке y = — 1.

Общее уравнение прямой — y = mx + c, где m — коэффициент, а y = c — значение на оси у, при через которое проходим прямая.

Это число c является пересечением с осью y.

Иногда нам задают уравнение прямой в другой форме. Предположим, у нас есть уравнение 3y — 2x = 6. Как показать, что оно представляет собой прямую линию, и найти ее коэффициент и значение точки пересечения с осью y?

Мы можем использовать алгебраическую перестановку, чтобы получить уравнение в виде y = mx + c:

3y — 2x = 6,

3y = 2x + 6,

[y=frac{2}{3} x+2]

Теперь уравнение находится в стандартной форме, и мы видим, что коэффициент равен [frac{2}{3}], а значение точки пересечения с осью y равно 2.

Мы также можем работать в обратном направлении. Предположим, мы знаем, что прямая имеет коэффициент [frac{1}{5}] и имеет вертикальное пересечение в точке y = 1. Каким будет ее уравнение?

Чтобы найти уравнение, достаточно подставить нужные значения в общую формулу y = mx + c.

Здесь m равно [frac{1}{5}], а c — 1, поэтому уравнение равно y  =[frac{1}{5}]x + 1. Если мы хотим убрать дробь, мы можем также привести уравнение к виду 5y = x + 5, или 5y — x — 5 = 0.

Уравнение прямой прямой с заданным коэффициентом, проходящее через заданную точку на оси у

Предположим, что мы хотим найти уравнение прямой с коэффициентом [frac{1}{3}], которое проходит через точку (1, 2). Здесь, хотя мы знаем коэффициент, мы не знаем значение точки пересечения с осью у, оно равно c.

Начнем с общего уравнения прямой y = mx + c.

Мы знаем, что коэффициент равен [frac{1}{3}], именно поэтому мы можем сразу подставить это значение на место m. Это дает: [y=frac{1}{3} x+c]

Теперь мы используем тот факт, что прямая проходит через (1, 2). Это означает, что когда x = 1, y должно быть равна 2. Подставляя эти значения, находим:

[2=frac{1}{3}(1)+c]

так что

[c=2-frac{1}{3}=frac{5}{3}]

Таким образом, уравнение прямой имеет вид:

[y=frac{1}{3} x+frac{5}{3}]

Мы можем вывести общую формулу для задач такого типа, используя тот же метод. Мы возьмем общую прямую с коэффициентом m, проходящую через фиксированную точку [mathrm{A}left(x_{1}, y_{1}right)].

Начнем с общего уравнения прямой y = mx + c. Теперь мы используем тот факт, что прямая проходит через точку [mathrm{A}left(x_{1}, y_{1}right)]. Это означает, что при x = [x_{1}],  y должно быть [y_{1}]. Подставляя эти значения, находим:

[y_{1}=m x_{1}+c]

так что

[mathrm{c}=y_{1}-mathrm{m} x_{1}]

Таким образом, уравнение прямой имеет вид y = mx + [y_{1}-mathrm{m} x_{1}].

Мы можем записать его в альтернативной форме

[mathrm{y}-y_{1}=mathrm{m}left(mathrm{x}-x_{1}right)]

Тогда это прямая с уклоном m, проходящая через точку [left(x_{1}, y_{1}right)]. Таким образом, эта общая форма полезна, если вы знаете коэффициент и одну точку на прямой.

Например, мы знаем, что прямая имеет коэффициент -2 и проходит через точку (-3, 2).

Мы можем воспользоваться формулой [y-y_{1}=mleft(x-x_{1}right)] и сразу подставить значения:

y — 2 = -2(x — (-3))

y — 2 = -2(x + 3)

y — 2 = -2x — 6

y = -2x — 4 .

---

Упражнение 1

Найдите уравнение описанных ниже прямых (приведите уравнение в виде y = mx + c):

(1) коэффициент 3, проходящей через (1, 4);

(2) коэффициент -2, проходящей через (2, 0);

(3) коэффициент [frac{2}{5}], проходящий через (5, -1);

(4) коэффициент 0, проходящий через (-1, 2);

(5) коэффициент -1, проходящий через (1, -1).

Уравнение прямой проходящей через две заданные точки

Что нужно сделать, если мы хотим найти уравнение прямой, проходящей через две точки (-1, 2) и (2, 4)?

Здесь мы не знаем коэффициент прямой, поэтому кажется, что мы не можем использовать ни одну из формул, которые мы знаем на данный момент. Но мы знаем две точки на прямой, и поэтому можем использовать их для определения коэффициента.

Следует просто использовать формулу [mathrm{m}=frac{left(y_{2}-y_{1}right)}{left(x_{2}-x_{1}right)}].

Получаем: [m=frac{4-2}{2-(-1)}=frac{2}{3}].

Таким образом, коэффициент прямой равен [frac{2}{3}].

Нам известны две точки на прямой, поэтому мы можем использовать одну из них в формуле y — y1 = m(x — x1). Если мы возьмем точку (2, 4), то получим:

y — 4 = [frac{2}{3}](x — 2)

3y — 12 = 2x — 4

3y = 2x + 8

[y=frac{2}{3} x+frac{8}{3}]

Как и в предыдущих случаях, будет полезно найти общую формулу, которую можно использовать для примеров такого рода.

Итак, предположим, что общая прямая проходит через две точки [mathrm{A}left(x_{1}, y_{1}right) text { и } mathrm{B}left(x_{2}, y_{2}right)]. Пусть общая точка на прямой будет P(x, y).

Теперь мы знаем, что коэффициент AP должен быть таким же, как коэффициент AB, так как все три точки лежат на одной прямой. Но коэффициент AP равен:

[mathrm{mAP}=frac{left(y_{2}-y_{1}right)}{left(x_{2}-x_{1}right)}]

тогда как коэффициент AB равен:

[mathrm{mAB}=frac{left(y_{2}-y_{1}right)}{left(x_{2}-x_{1}right)}]

Тогда mAP = mAB, поэтому мы имеем:

[ frac{left(y-y_{1}right)}{left(mathrm{x}-mathrm{x}_{1}right)}=frac{left(y_{2}-y_{1}right)}{left(mathrm{x}_{2}-mathrm{x}_{1}right)} ]

Эта формула довольно сложна, но ее легче запомнить, если все члены с участием y находятся на одной стороне, а все члены с участием x — на другой. Если мы будем преобразовывать эту формулу, сначала мы сможем получить:

[mathrm{y}-y_{1}=mathrm{x}-mathrm{x}_{1} frac{left(y_{2}-y_{1}right)}{left(mathrm{x}_{2}-mathrm{x}_{1}right)}]

а затем

[frac{left(y-y_{1}right)}{left(y_{2}-y_{1}right)}=frac{left(x-x_{1}right)}{left(x_{2}-x_{1}right)}]

Запомнить эту формулу вам поможет замечание, что закономерность в левой части, с участием y, такая же, как и с участием x в правой части.

Теперь мы можем использовать эту формулу для решения примеров. Предположим, что мы хотим найти уравнение прямой, проходящей через две точки (1, -2) и (-3, 0).

Попробуем подставить в формулу и решить:

[frac{(y-(-2))}{(0-(-2))}=frac{(x-1)}{(-3-1)}]

[frac{y+2}{2}=frac{x-1}{-4}]

[ y+2=frac{x-1}{-2} ]

[ y+2=-frac{1}{2}(x-1) ]

-2y — 4 = x — 1

-2y = x + 3

[ y=-frac{1}{2} x-frac{1}{2} ]

Таким образом, прямая имеет коэффициент — [frac{1}{2}], а значение и точку пересечения с осью [y-frac{1}{2}].

Мы также можем преобразовать уравнение, чтобы получить 2y = -x — 3, или 2y + x + 3 = 0.

Упражнение 2

Найдите уравнение описанных ниже прямых (приведите уравнение в виде y = mx + c):

(1) проходящей через (4, 6) и (8, 26),

(2) проходящей через (1, 1) и (4, -8),

(3) проходящий через (3, 4) и (5, 4),

(4) проходящий через (0, 2) и (4, 0),

(5) проходящий через (-2, 3) и (2, -5).

Общее уравнение прямой прямой

Существует еще одна форма уравнения прямой, которая иногда бывает необходима. Это уравнение: ax + by + c = 0 .

Мы уже писали уравнения в этой форме для некоторых наших примеров. Мы можем увидеть некоторые особые случаи этого уравнения, установив либо a, либо b равными нулю.

Если a = 0, то получаются прямые с общим уравнением by + c = 0, то есть y = [-frac{c}{b}].

Эти прямые горизонтальны, то есть параллельны оси x.

Если b = 0, то получаются две прямые с общим уравнением ax + c = 0, следовательно есть x = [frac{c}{a}].

Эти прямые вертикальны, то есть параллельны оси y. Уравнение вертикальной прямой не может быть записано в виде y = mx + c. Уравнение ax + by + c = 0 является наиболее общим уравнением для прямой и может использоваться там, где другие формы уравнения не подходят.

Упражнение 3

Найдите уравнение описанных ниже прямых (приведите уравнение в виде

ax + by + c = 0, где a, b и c — целые числа и a > 0):

(1) прямая из упражнения 2 (2)

(2) прямая в упражнении 2 (5)

(3) прямая в упражнении 3 (3)

(4) прямая в упражнении 4 (2)

(5) прямая в упражнении 4 (4)

(6) прямая в упражнении 4 (5)

(7)прямая , проходящая через (3, -2) и (3, 2)

(8) вертикальная прямая, проходящая через точку (0,  [frac{2}{3}]).

---

Упражнение 1

(1) y = 3x + 1,

(2) y = -2x + 4,

(3) y =x — 3,

(4) y = 2,

(5) y = — x.

Упражнение 2

(1) y = 5x — 14,

(2) y = -3x + 4,

(3) y = 4,

(4) y = —x + 2,

(5) y = -2x — 1.

Упражнение 3

(1) 2x + y + 1 = 0,

(2) 3x + 4y — 2 = 0,

(3) 2x — 5y — 15 = 0,

(4) 3x + y — 4 = 0,

(5) x + 2y — 4 = 0,

(6) 2x + y + 1 = 0,

(7) x — 3 = 0,

(8) x = 0.

Уравнение прямой, проходящей через две точки

Пусть
прямая проходит через точки М₁
(х₁;
у₁)
и М₂
(х₂;
у₂).
Уравнение прямой, проходящей через
точку М₁,
имеет вид у— у₁
= k
(х — х₁),
(10.6)

где
k
— пока неизвестный коэффициент.

Так
как прямая проходит через точку М₂(х₂
у₂),
то координаты этой точки должны
удовлетворять уравнению (10.6): у₂—у₁
= k
(х₂—х₁).

Отсюда
находим
Подставляя найденное значениеk
в уравнение (10.6), получим уравнение
прямой, проходящей через точки М₁
и М₂:

Предполагается,
что в этом уравнении х₁
≠ х₂,
у₁
≠ у₂

Если
х₁
= х₂,
то прямая, проходящая через точки М₁
(х₁
,у_I)
и М₂
(х₂,у₂)
параллельна оси ординат. Ее уравнение
имеет вид х
= х₁.

Если
у₂
= у_I,
то уравнение прямой может быть записано
в виде у = у₁,
прямая М₁
М₂
параллельна оси абсцисс.

Уравнение прямой в отрезках

Пусть
прямая пересекает ось Ох в точке М₁(а;0),
а ось Оу – в точке М₂(0;b).
Уравнение примет вид:
т.е..
Это уравнение называетсяуравнением
прямой в отрезках, т.к. числа а и b
указывают, какие отрезки отсекает прямая
на осях координат.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору

Найдем
уравнение прямой, проходящей через
заданную точку Мо (х_О;
у_о)
перпендикулярно данному ненулевому
вектор n = (А; В).

Возьмем
на прямой произвольную точку М(х; у) и
рассмотрим вектор М₀М
(х — х₀;
у — у_о)
(см. рис.1). Поскольку векторы n и М_оМ
перпендикулярны, то их скалярное
произведение равно нулю: то есть

А(х
— хо) + В(у — уо) = 0.
(10.8)

Уравнение
(10.8) называется уравнением
прямой, проходящей через заданную точку
перпендикулярно заданному вектору.

Вектор
n= (А; В), перпендикулярный прямой,
называется нормальным нормальным
вектором этой прямой.

Уравнение
(10.8) можно переписать в виде Ах
+ Ву + С =0,
(10.9)

где
А и В координаты нормального вектора,
С = —Ах_о
— Ву_о
— свободный член. Уравнение (10.9) есть
общее уравнение прямой
(см. рис.2).

Рис.1
Рис.2

Канонические уравнения прямой

,

Где
— координаты точки, через которую проходит
прямая, а— направляющий вектор.

Кривые второго порядка Окружность

Окружностью
называется множество всех точек
плоскости, равноотстоящих от данной
точки, которая называется центром.

Каноническое
уравнение круга радиуса R с
центром в точке
:

В частности, если
центр кола совпадает с началом координат,
то уравнение будет иметь вид:

Эллипс

Эллипсом
называется множество точек плоскости,
сумма расстояний от каждой из которых
до двух заданных точек и,
которые называются фокусами, есть
величина постоянная,
большая чем расстояние между фокусами.

x

Каноническое уравнение эллипса,
фокусы которого лежат на оси Ох, а начало
координат посредине между фокусами
имеет видгдеa длина большой полуоси; b– длина
малой полуоси (рис. 2).

Зависимость
между параметрами эллипса
ивыражается соотношением:

(4)

Эксцентриситетом
эллипса называется отношение
межфокусного расстояния 2с к
большой оси 2а:

Директрисами
эллипса называются прямые, параллельные
оси Оу, которые находятся от этой оси
на расстоянии.
Уравнения директрис:.

Если в уравнении
эллипса
,
тогда фокусы эллипса находятся на оси
Оу.

Итак,

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Уравнение прямой на плоскости

Уравнение прямой в пространстве