Рассмотрим, как составить уравнение прямой, проходящей через две точки, на примерах.
Пример 1.
Составить уравнение прямой, проходящей через точки A(-3; 9) и B(2;-1).
Решение:
1 способ — составим уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид y=kx+b. Подставив координаты точек A и B в уравнение прямой (x= -3 и y=9 — в первом случае, x=2 и y= -1 — во втором), получаем систему уравнений, из которой находим значения k и b:
Сложив почленно 1-е и 2-е уравнения, получим: -10=5k, откуда k= -2. Подставив во второе уравнение k= -2, найдём b: -1=2·(-2)+b, b=3.
Таким образом, y= -2x+3 — искомое уравнение.
2 способ — составим общее уравнение прямой.
Общее уравнение прямой имеет вид ax+by+c=0. Подставив координаты точек A и B в уравнение, получаем систему:
Поскольку количество неизвестных больше количества уравнений, система не разрешима. Но можно все переменные выразить через одну. Например, через b.
Умножив первое уравнение системы на -1 и сложив почленно со вторым:
получим: 5a-10b=0. Отсюда a=2b.
Подставим полученное выражение во второе уравнение: 2·2b -b+c=0; 3b+c=0; c= -3b.
Подставляем a=2b, c= -3b в уравнение ax+by+c=0:
2bx+by-3b=0. Осталось разделить обе части на b:
2x+y-3=0.
Общее уравнение прямой легко приводится к уравнению прямой с угловым коэффициентом:
y= -2x+3.
3 способ — составим уравнение прямой, проходящей через 2 точки.
Уравнение прямой, проходящей через две точки, имеет вид:
Подставим в это уравнение координаты точек A(-3; 9) и B(2;-1)
(то есть x1= -3, y1=9, x2=2, y2= -1):
и упростим:
По основному свойству пропорции
откуда 2x+y-3=0.
В школьном курсе чаще всего используется уравнение прямой с угловым коэффициентом. Но самый простой способ — вывести и использовать формулу уравнения прямой, проходящей через две точки.
Замечание.
Если при подстановке координат заданных точек один из знаменателей уравнения
окажется равным нулю, то искомое уравнение получается приравниваем к нулю соответствующего числителя.
Пример 2.
Составить уравнение прямой, проходящей через две точки C(5; -2) и D(7;-2).
Решение:
Подставляем в уравнение прямой, проходящей через 2 точки, координаты точек C и D:
Пример 3.
Составить уравнение прямой, проходящей через точки M (7; 3) и N (7; 11).
Решение:
Получить уравнение прямой, проходящей через две точки помогут созданные нами калькуляторы. Предлагаем найти каноническое и параметрическое уравнение прямой, а также уравнение прямой с угловым коэффициентом как на плоскости, так и в пространстве.
Прямая — это бесконечная линия, по которой проходит кратчайший путь между любыми двумя её точками.
Уравнения прямой, проходящей через две точки могут быть следующих видов:
- каноническое уравнение,
- параметрическое уравнение,
- общее уравнение прямой,
- уравнение прямой с угловым коэффициентом,
- уравнение прямой в полярных координатах и другие.
Для получения уравнений введите координаты двух точек прямой. Онлайн-калькулятор найдет уравнения и выдаст результат с подробным решением.
Каноническое уравнение прямой на плоскости
{dfrac{x-x_a}{x_b-x_a} = dfrac{y-y_a}{y_b-y_a}}
xa и ya — координаты первой точки A,
xb и yb — координаты второй точки B
Параметрическое уравнение прямой на плоскости
{begin{cases} x=l cdot t + x_a \ y=m cdot t + y_a end{cases}}
xa, ya — координаты точки, лежащей на прямой,
{l;m} — координаты направляющего вектора прямой,
t — произвольный параметр, аналогичный параметру в векторно-параметрическом уравнении.
Каноническое уравнение прямой в пространстве
{dfrac{x-x_a}{x_b-x_a} = dfrac{y-y_a}{y_b-y_a} = dfrac{z-z_a}{z_b-z_a}}
xa, ya и za — координаты первой точки A,
xb, yb и zb — координаты второй точки B
Параметрическое уравнение прямой в пространстве
{ begin{cases} x=l cdot t + x_a \ y=m cdot t + y_a \ z=n cdot t + z_a end{cases} }
xa, ya и za — координаты точки, лежащей на прямой,
{l;m;n} — координаты направляющего вектора прямой,
t — произвольный параметр, аналогичный параметру в векторно-параметрическом уравнении.
Пример нахождения уравнения прямой, проходящей через две точки
Найдем уравнения прямой, проходящей через точки A(1,2) и B(3,8).
Каноническое уравнение прямой
Каноническое уравнение прямой, проходящей через две точки имеет вид {dfrac{x-x_a}{x_b-x_a} = dfrac{y-y_a}{y_b-y_a}}
Подставим в формулу координаты точек A и B: {dfrac{x-1}{3-1} = dfrac{y-2}{8-2}}
Получаем каноническое уравнение прямой: {dfrac{x-1}{2} = dfrac{y-2}{4}}
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Из канонического уравнения получаем уравнение прямой с угловым коэффициентом: {y=3x-1}
Параметрическое уравнение прямой
Параметрическое уравнение прямой имеет вид:
{ begin{cases} x=l cdot t + x_a \ y=m cdot t + y_a end{cases} }
где {x_a, y_b} — координаты точки, лежащей на прямой, {{l;m}} — координаты направляющего вектора прямой, t — произвольный параметр, аналогичный параметру в векторно-параметрическом уравнении. В качестве координат используем координаты точки {A(x_a, y_b)}.
Найдем координаты направляющего вектора:
overline{AB} = {x_b — x_a; y_b — y_a} = {3-1; 8-2} = {2; 6}
Получаем параметрическое уравнение:
begin{cases} x=2 t + 1 \ y=6 t + 2 end{cases}
Используем калькулятор для проверки полученного ответа.
Общее уравнение прямой: описание, примеры, решение задач
Данная статья продолжает тему уравнения прямой на плоскости: рассмотрим такой вид уравнения, как общее уравнение прямой. Зададим теорему и приведем ее доказательство; разберемся, что такое неполное общее уравнение прямой и как осуществлять переходы от общего уравнения к другим типам уравнений прямой. Всю теорию закрепим иллюстрациями и решением практических задач.
Общее уравнение прямой: основные сведения
Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат O x y .
Любое уравнение первой степени, имеющее вид A x + B y + C = 0 , где А , В , С – некоторые действительные числа ( А и В не равны одновременно нулю) определяет прямую линию в прямоугольной системе координат на плоскости. В свою очередь, любая прямая в прямоугольной системе координат на плоскости определяется уравнением, имеющим вид A x + B y + C = 0 при некотором наборе значений А , В , С .
указанная теорема состоит из двух пунктов, докажем каждый из них.
- Докажем, что уравнение A x + B y + C = 0 определяет на плоскости прямую.
Пусть существует некоторая точка М 0 ( x 0 , y 0 ) , координаты которой отвечают уравнению A x + B y + C = 0 . Таким образом: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Вычтем из левой и правой частей уравнений A x + B y + C = 0 левую и правую части уравнения A x 0 + B y 0 + C = 0 , получим новое уравнение, имеющее вид A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0 . Оно эквивалентно A x + B y + C = 0 .
Полученное уравнение A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0 является необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов n → = ( A , B ) и M 0 M → = ( x — x 0 , y — y 0 ) . Таким образом, множество точек M ( x , y ) задает в прямоугольной системе координат прямую линию, перпендикулярную направлению вектора n → = ( A , B ) . Можем предположить, что это не так, но тогда бы векторы n → = ( A , B ) и M 0 M → = ( x — x 0 , y — y 0 ) не являлись бы перпендикулярными, и равенство A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0 не было бы верным.
Следовательно, уравнение A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0 определяет некоторую прямую в прямоугольной системе координат на плоскости, а значит и эквивалентное ему уравнение A x + B y + C = 0 определяет ту же прямую. Так мы доказали первую часть теоремы.
- Приведем доказательство, что любую прямую в прямоугольной системе координат на плоскости можно задать уравнением первой степени A x + B y + C = 0 .
Зададим в прямоугольной системе координат на плоскости прямую a ; точку M 0 ( x 0 , y 0 ) , через которую проходит эта прямая, а также нормальный вектор этой прямой n → = ( A , B ) .
Пусть также существует некоторая точка M ( x , y ) – плавающая точка прямой. В таком случае, векторы n → = ( A , B ) и M 0 M → = ( x — x 0 , y — y 0 ) являются перпендикулярными друг другу, и их скалярное произведение есть нуль:
n → , M 0 M → = A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0
Перепишем уравнение A x + B y — A x 0 — B y 0 = 0 , определим C : C = — A x 0 — B y 0 и в конечном результате получим уравнение A x + B y + C = 0 .
Так, мы доказали и вторую часть теоремы, и доказали всю теорему в целом.
Уравнение, имеющее вид A x + B y + C = 0 – это общее уравнение прямой на плоскости в прямоугольной системе координат O x y .
Опираясь на доказанную теорему, мы можем сделать вывод, что заданные на плоскости в фиксированной прямоугольной системе координат прямая линия и ее общее уравнение неразрывно связаны. Иначе говоря, исходной прямой соответствует ее общее уравнение; общему уравнению прямой соответствует заданная прямая.
Из доказательства теоремы также следует, что коэффициенты А и В при переменных x и y являются координатами нормального вектора прямой, которая задана общим уравнением прямой A x + B y + C = 0 .
Рассмотрим конкретный пример общего уравнения прямой.
Пусть задано уравнение 2 x + 3 y — 2 = 0 , которому соответствует прямая линия в заданной прямоугольной системе координат. Нормальный вектор этой прямой – это вектор n → = ( 2 , 3 ) . Изобразим заданную прямую линию на чертеже.
Также можно утверждать и следующее: прямая, которую мы видим на чертеже, определяется общим уравнением 2 x + 3 y — 2 = 0 , поскольку координаты всех точек заданной прямой отвечают этому уравнению.
Мы можем получить уравнение λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 , умножив обе части общего уравнения прямой на число λ , не равное нулю. Полученное уравнение является эквивалентом исходного общего уравнения, следовательно, будет описывать ту же прямую на плоскости.
Неполное уравнение общей прямой
Полное общее уравнение прямой – такое общее уравнение прямой A x + B y + C = 0 , в котором числа А , В , С отличны от нуля. В ином случае уравнение является неполным.
Разберем все вариации неполного общего уравнения прямой.
- Когда А = 0 , В ≠ 0 , С ≠ 0 , общее уравнение принимает вид B y + C = 0 . Такое неполное общее уравнение задает в прямоугольной системе координат O x y прямую, которая параллельна оси O x , поскольку при любом действительном значении x переменная y примет значение — C B . Иначе говоря, общее уравнение прямой A x + B y + C = 0 , когда А = 0 , В ≠ 0 , задает геометрическое место точек ( x , y ) , координаты которых равны одному и тому же числу — C B .
- Если А = 0 , В ≠ 0 , С = 0 , общее уравнение принимает вид y = 0 . Такое неполное уравнение определяет ось абсцисс O x .
- Когда А ≠ 0 , В = 0 , С ≠ 0 , получаем неполное общее уравнение A x + С = 0 , задающее прямую, параллельную оси ординат.
- Пусть А ≠ 0 , В = 0 , С = 0 , тогда неполное общее уравнение примет вид x = 0 , и это есть уравнение координатной прямой O y .
- Наконец, при А ≠ 0 , В ≠ 0 , С = 0 , неполное общее уравнение принимает вид A x + B y = 0 . И это уравнение описывает прямую, которая проходит через начало координат. В самом деле, пара чисел ( 0 , 0 ) отвечает равенству A x + B y = 0 , поскольку А · 0 + В · 0 = 0 .
Графически проиллюстрируем все вышеуказанные виды неполного общего уравнения прямой.
Известно, что заданная прямая параллельна оси ординат и проходит через точку 2 7 , — 11 . Необходимо записать общее уравнение заданной прямой.
Решение
Прямая, параллельная оси ординат, задается уравнением вида A x + C = 0 , в котором А ≠ 0 . Также условием заданы координаты точки, через которую проходит прямая, и координаты этой точки отвечают условиям неполного общего уравнения A x + C = 0 , т.е. верно равенство:
Из него возможно определить C , если придать A какое-то ненулевое значение, к примеру, A = 7 . В таком случае получим: 7 · 2 7 + C = 0 ⇔ C = — 2 . Нам известны оба коэффициента A и C , подставим их в уравнение A x + C = 0 и получим требуемое уравнение прямой: 7 x — 2 = 0
Ответ: 7 x — 2 = 0
На чертеже изображена прямая, необходимо записать ее уравнение.
Решение
Приведенный чертеж позволяет нам легко взять исходные данные для решения задачи. Мы видим на чертеже, что заданная прямая параллельна оси O x и проходит через точку ( 0 , 3 ) .
Прямую, которая параллельна очи абсцисс, определяет неполное общее уравнение B y + С = 0 . Найдем значения B и C . Координаты точки ( 0 , 3 ) , поскольку через нее проходит заданная прямая, будут удовлетворять уравнению прямой B y + С = 0 , тогда справедливым является равенство: В · 3 + С = 0 . Зададим для В какое-то значение, отличное от нуля. Допустим, В = 1 , в таком случае из равенства В · 3 + С = 0 можем найти С : С = — 3 . Используем известные значения В и С , получаем требуемое уравнение прямой: y — 3 = 0 .
Ответ: y — 3 = 0 .
Общее уравнение прямой, проходящей через заданную точку плоскости
Пусть заданная прямая проходит через точку М 0 ( x 0 , y 0 ) , тогда ее координаты отвечают общему уравнению прямой, т.е. верно равенство: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Отнимем левую и правую части этого уравнения от левой и правой части общего полного уравнения прямой. Получим: A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) + C = 0 , это уравнение эквивалентно исходному общему, проходит через точку М 0 ( x 0 , y 0 ) и имеет нормальный вектор n → = ( A , B ) .
Результат, который мы получили, дает возможность записывать общее уравнение прямой при известных координатах нормального вектора прямой и координатах некой точки этой прямой.
Даны точка М 0 ( — 3 , 4 ) , через которую проходит прямая, и нормальный вектор этой прямой n → = ( 1 , — 2 ) . Необходимо записать уравнение заданной прямой.
Решение
Исходные условия позволяют нам получить необходимые данные для составления уравнения: А = 1 , В = — 2 , x 0 = — 3 , y 0 = 4 . Тогда:
A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0 ⇔ 1 · ( x — ( — 3 ) ) — 2 · y ( y — 4 ) = 0 ⇔ ⇔ x — 2 y + 22 = 0
Задачу можно было решить иначе. Общее уравнение прямой имеет вид A x + B y + C = 0 . Заданный нормальный вектор позволяет получить значения коэффициентов A и B , тогда:
A x + B y + C = 0 ⇔ 1 · x — 2 · y + C = 0 ⇔ x — 2 · y + C = 0
Теперь найдем значение С, используя заданную условием задачи точку М 0 ( — 3 , 4 ) , через которую проходит прямая. Координаты этой точки отвечают уравнению x — 2 · y + C = 0 , т.е. — 3 — 2 · 4 + С = 0 . Отсюда С = 11 . Требуемое уравнение прямой принимает вид: x — 2 · y + 11 = 0 .
Ответ: x — 2 · y + 11 = 0 .
Задана прямая 2 3 x — y — 1 2 = 0 и точка М 0 , лежащая на этой прямой. Известна лишь абсцисса этой точки, и она равна — 3 . Необходимо определить ординату заданной точки.
Решение
Зададим обозначение координат точки М 0 как x 0 и y 0 . В исходных данных указано, что x 0 = — 3 . Поскольку точка принадлежит заданной прямой, значит ее координаты отвечают общему уравнению этой прямой. Тогда верным будет равенство:
2 3 x 0 — y 0 — 1 2 = 0
Определяем y 0 : 2 3 · ( — 3 ) — y 0 — 1 2 = 0 ⇔ — 5 2 — y 0 = 0 ⇔ y 0 = — 5 2
Ответ: — 5 2
Переход от общего уравнения прямой к прочим видам уравнений прямой и обратно
Как мы знаем, существует несколько видов уравнения одной и той же прямой на плоскости. Выбор вида уравнения зависит от условий задачи; возможно выбирать тот, который более удобен для ее решения. Здесь очень пригодится навык преобразования уравнения одного вида в уравнение другого вида.
Для начала рассмотрим переход от общего уравнения вида A x + B y + C = 0 к каноническому уравнению x — x 1 a x = y — y 1 a y .
Если А ≠ 0 , тогда переносим слагаемое B y в правую часть общего уравнения. В левой части выносим A за скобки. В итоге получаем: A x + C A = — B y .
Это равенство возможно записать как пропорцию: x + C A — B = y A .
В случае, если В ≠ 0 , оставляем в левой части общегь уравнения только слагаемое A x , прочие переносим в правую часть, получаем: A x = — B y — C . Выносим – В за скобки, тогда: A x = — B y + C B .
Перепишем равенство в виде пропорции: x — B = y + C B A .
Конечно, заучивать полученные формулы нет необходимости. Достаточно знать алгоритм действий при переходе от общего уравнения к каноническому.
Задано общее уравнение прямой 3 y — 4 = 0 . Необходимо преобразовать его в каноническое уравнение.
Решение
Запишем исходное уравнение как 3 y — 4 = 0 . Далее действуем по алгоритму: в левой части остаётся слагаемое 0 x ; а в правой части выносим — 3 за скобки; получаем: 0 x = — 3 y — 4 3 .
Запишем полученное равенство как пропорцию: x — 3 = y — 4 3 0 . Так, мы получили уравнение канонического вида.
Ответ: x — 3 = y — 4 3 0 .
Чтобы преобразовать общее уравнение прямой в параметрические, сначала осуществляют переход к каноническому виду, а затем переход от канонического уравнения прямой к параметрическим уравнениям.
Прямая задана уравнением 2 x — 5 y — 1 = 0 . Запишите параметрические уравнения этой прямой.
Решение
Осуществим переход от общего уравнения к каноническому:
2 x — 5 y — 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2
Теперь примем обе части полученного канонического уравнения равными λ , тогда:
x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 · λ y = — 1 5 + 2 · λ , λ ∈ R
Ответ: x = 5 · λ y = — 1 5 + 2 · λ , λ ∈ R
Общее уравнение можно преобразовать в уравнение прямой с угловым коэффициентом y = k · x + b , но только тогда, когда В ≠ 0 . Для перехода в левой части оставляем слагаемое B y , остальные переносятся в правую. Получим: B y = — A x — C . Разделим обе части полученного равенство на B , отличное от нуля: y = — A B x — C B .
Задано общее уравнение прямой: 2 x + 7 y = 0 . Необходимо преобразовать то уравнение в уравнение с угловым коэффициентом.
Решение
Произведем нужные действия по алгоритму:
2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y — 2 x ⇔ y = — 2 7 x
Ответ: y = — 2 7 x .
Из общего уравнения прямой достаточно просто получить уравнение в отрезках вида x a + y b = 1 . Чтобы осуществить такой переход, перенесем число C в правую часть равенства, разделим обе части полученного равенства на – С и, наконец, перенесем в знаменатели коэффициенты при переменных x и y :
A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = — C ⇔ ⇔ A — C x + B — C y = 1 ⇔ x — C A + y — C B = 1
Необходимо преобразовать общее уравнение прямой x — 7 y + 1 2 = 0 в уравнение прямой в отрезках.
Решение
Перенесем 1 2 в правую часть: x — 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x — 7 y = — 1 2 .
Разделим на -1/2 обе части равенства: x — 7 y = — 1 2 ⇔ 1 — 1 2 x — 7 — 1 2 y = 1 .
Преобразуем далее в необходимый вид: 1 — 1 2 x — 7 — 1 2 y = 1 ⇔ x — 1 2 + y 1 14 = 1 .
Ответ: x — 1 2 + y 1 14 = 1 .
В общем, несложно производится и обратный переход: от прочих видов уравнения к общему.
Уравнение прямой в отрезках и уравнение с угловым коэффициентом легко преобразовать в общее, просто собрав все слагаемые в левой части равенства:
x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y — 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y — k x — b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0
Каноническое уравнение преобразуется к общему по следующей схеме:
x — x 1 a x = y — y 1 a y ⇔ a y · ( x — x 1 ) = a x ( y — y 1 ) ⇔ ⇔ a y x — a x y — a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0
Для перехода от параметрических сначала осуществляется переход к каноническому, а затем – к общему:
x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x — x 1 a x = y — y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0
Заданы параметрические уравнения прямой x = — 1 + 2 · λ y = 4 . Необходимо записать общее уравнение этой прямой.
Решение
Осуществим переход от параметрических уравнений к каноническому:
x = — 1 + 2 · λ y = 4 ⇔ x = — 1 + 2 · λ y = 4 + 0 · λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y — 4 0 ⇔ x + 1 2 = y — 4 0
Перейдем от канонического к общему:
x + 1 2 = y — 4 0 ⇔ 0 · ( x + 1 ) = 2 ( y — 4 ) ⇔ y — 4 = 0
Ответ: y — 4 = 0
Задано уравнение прямой в отрезках x 3 + y 1 2 = 1 . Необходимо осуществить переход к общему виду уравнения.
Решение:
Просто перепишем уравнение в необходимом виде:
x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y — 1 = 0
Ответ: 1 3 x + 2 y — 1 = 0 .
Составление общего уравнения прямой
Выше мы говорили о том, что общее уравнение возможно записать при известных координатах нормального вектора и координатах точки, через которую проходит прямая. Такая прямая определяется уравнением A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0 . Там же мы разобрали соответствующий пример.
Сейчас рассмотрим более сложные примеры, в которых для начала необходимо определить координаты нормального вектора.
Задана прямая, параллельная прямой 2 x — 3 y + 3 3 = 0 . Также известна точка M 0 ( 4 , 1 ) , через которую проходит заданная прямая. Необходимо записать уравнение заданной прямой.
Решение
Исходные условия говорят нам о том, что прямые параллельны, тогда, как нормальный вектор прямой, уравнение которой требуется записать, возьмем направляющий вектор прямой n → = ( 2 , — 3 ) : 2 x — 3 y + 3 3 = 0 . Теперь нам известны все необходимые данные, чтобы составить общее уравнение прямой:
A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0 ⇔ 2 ( x — 4 ) — 3 ( y — 1 ) = 0 ⇔ 2 x — 3 y — 5 = 0
Ответ: 2 x — 3 y — 5 = 0 .
Заданная прямая проходит через начало координат перпендикулярно прямой x — 2 3 = y + 4 5 . Необходимо составить общее уравнение заданной прямой.
Решение
Нормальный вектором заданной прямой будет направляющий вектор прямой x — 2 3 = y + 4 5 .
Тогда n → = ( 3 , 5 ) . Прямая проходит через начало координат, т.е. через точку О ( 0 , 0 ) . Составим общее уравнение заданной прямой:
A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0 ⇔ 3 ( x — 0 ) + 5 ( y — 0 ) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0
Прямая линия. Уравнение прямой.
Свойства прямой в евклидовой геометрии.
Через любую точку можно провести бесконечно много прямых.
Через любые две несовпадающие точки можно провести единственную прямую.
Две несовпадающие прямые на плоскости или пересекаются в единственной точке, или являются
параллельными (следует из предыдущего).
В трёхмерном пространстве существуют три варианта взаимного расположения двух прямых:
- прямые пересекаются;
- прямые параллельны;
- прямые скрещиваются.
Прямая линия — алгебраическая кривая первого порядка: в декартовой системе координат прямая линия
задается на плоскости уравнением первой степени (линейное уравнение).
Общее уравнение прямой.
Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка
причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим
уравнением прямой. В зависимости от значений постоянных А, В и С возможны следующие частные случаи:
• C = 0, А ≠0, В ≠ 0 – прямая проходит через начало координат
• А = 0, В ≠0, С ≠0 — прямая параллельна оси Ох
• В = 0, А ≠0, С ≠ 0 – прямая параллельна оси Оу
• В = С = 0, А ≠0 – прямая совпадает с осью Оу
• А = С = 0, В ≠0 – прямая совпадает с осью Ох
Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных
Уравнение прямой по точке и вектору нормали.
Определение. В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В)
перпендикулярен прямой , заданной уравнением
Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1, 2) перпендикулярно вектору (3, -1).
Решение. Составим при А = 3 и В = -1 уравнение прямой: 3х – у + С = 0. Для нахождения коэффициента С
подставим в полученное выражение координаты заданной точки А. Получаем: 3 – 2 + C = 0, следовательно
С = -1. Итого: искомое уравнение: 3х – у – 1 = 0.
Уравнение прямой, проходящей через две точки.
Пусть в пространстве заданы две точки M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) и M2 ( x 2, y 2 , z 2 ), тогда уравнение прямой,
проходящей через эти точки:
Если какой-либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель. На
плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается:
Дробь = k называется угловым коэффициентом прямой.
Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 2) и В(3, 4).
Решение. Применяя записанную выше формулу, получаем:
Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту.
Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду:
и обозначить , то полученное уравнение называется
уравнением прямой с угловым коэффициентом k.
Уравнение прямой по точке и направляющему вектору.
По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение прямой через вектор нормали можно ввести задание
прямой через точку и направляющий вектор прямой.
Определение. Каждый ненулевой вектор (α1, α2), компоненты которого удовлетворяют условию
Аα1 + Вα2 = 0 называется направляющим вектором прямой.
Пример. Найти уравнение прямой с направляющим вектором (1, -1) и проходящей через точку А(1, 2).
Решение. Уравнение искомой прямой будем искать в виде: Ax + By + C = 0. В соответствии с определением,
коэффициенты должны удовлетворять условиям:
1 * A + (-1) * B = 0, т.е. А = В.
Тогда уравнение прямой имеет вид: Ax + Ay + C = 0, или x + y + C / A = 0.
при х = 1, у = 2 получаем С/ A = -3, т.е. искомое уравнение:
Уравнение прямой в отрезках.
Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С≠0, то, разделив на –С, получим:
или , где
Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения
прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу.
Пример. Задано общее уравнение прямой х – у + 1 = 0. Найти уравнение этой прямой в отрезках.
С = 1, , а = -1, b = 1.
Нормальное уравнение прямой.
Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число , которое называется
нормирующем множителем, то получим
xcosφ + ysinφ — p = 0 – нормальное уравнение прямой.
Составить уравнение прямой, проходящей через две точки
Рассмотрим, как составить уравнение прямой, проходящей через две точки, на примерах.
Составить уравнение прямой, проходящей через точки A(-3; 9) и B(2;-1).
1 способ — составим уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид y=kx+b. Подставив координаты точек A и B в уравнение прямой (x= -3 и y=9 — в первом случае, x=2 и y= -1 — во втором), получаем систему уравнений, из которой находим значения k и b:
Сложив почленно 1-е и 2-е уравнения, получим: -10=5k, откуда k= -2. Подставив во второе уравнение k= -2, найдём b: -1=2·(-2)+b, b=3.
Таким образом, y= -2x+3 — искомое уравнение.
2 способ — составим общее уравнение прямой.
Общее уравнение прямой имеет вид ax+by+c=0. Подставив координаты точек A и B в уравнение, получаем систему:
Поскольку количество неизвестных больше количества уравнений, система не разрешима. Но можно все переменные выразить через одну. Например, через b.
Умножив первое уравнение системы на -1 и сложив почленно со вторым:
получим: 5a-10b=0. Отсюда a=2b.
Подставим полученное выражение во второе уравнение: 2·2b -b+c=0; 3b+c=0; c= -3b.
Подставляем a=2b, c= -3b в уравнение ax+by+c=0:
2bx+by-3b=0. Осталось разделить обе части на b:
Общее уравнение прямой легко приводится к уравнению прямой с угловым коэффициентом:
3 способ — составим уравнение прямой, проходящей через 2 точки.
Уравнение прямой, проходящей через две точки, имеет вид:
Подставим в это уравнение координаты точек A(-3; 9) и B(2;-1)
В школьном курсе чаще всего используется уравнение прямой с угловым коэффициентом. Но самый простой способ — вывести и использовать формулу уравнения прямой, проходящей через две точки.
Если при подстановке координат заданных точек один из знаменателей уравнения
окажется равным нулю, то искомое уравнение получается приравниваем к нулю соответствующего числителя.
Составить уравнение прямой, проходящей через две точки C(5; -2) и D(7;-2).
Подставляем в уравнение прямой, проходящей через 2 точки, координаты точек C и D:
Составить уравнение прямой, проходящей через точки M (7; 3) и N (7; 11).
http://www.calc.ru/Uravneniye-Pryamoy.html
Получить уравнение прямой по двум точкам бывает необходимо, когда мы решаем задачи, связанные с анализом различных фигур на плоскости. В этом случае бывает полезно знать уравнение прямой, проходящей через две точки. Например, составляя такое уравнение мы уже знаем – как проходит прямая, с какие углом наклона к осям координат и можем рассчитать расположение прямой по отношению к другим прямым или к фигурам.
Составляем уравнение прямой по двум точкам
Итак, пусть нам даны две точки и . Наша прямая проходит через две эти точки, давайте получим уравнение этой прямой. Уравнение пучка прямых, проходящих через точку с координатами имеет вид:
То есть если прямая проходит через две точки и она – одна из этого пучка прямых, проходящих через точку и эта прямая имеет определенный коэффициент . Значит, координаты точки должны удовлетворять уравнению (1), то есть
.
Находим из (2) :
и подставим в уравнение (1):
.
Преобразовывая уравнение (3) получим:
Это и есть уравнение прямой, проходящей через две точки и .
Примечание: если точки и лежат на прямой, которая параллельна оси или оси , то уравнение прямой будет иметь вид или соответственно.
Зная координаты любых двух точек прямой, мы всегда сможем определить угловой коэффициент прямой:
Геометрический вывод уравнения прямой
Действительно, давайте нарисуем прямую в системе координат и отметим на прямой две точки и , координаты которых известны и и отметим на этой прямой произвольную точку .
Из подобия треугольников и находим:
Из рисунка видно, что:
,
Таким образом, получаем уравнение прямой по двум точкам:
Задача
Составим уравнение прямой, проходящей через две точки и .
Решение: Имеем , , , . Подставим эти значения в уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:
Умножим левую и правую части уравнения на 5, получим:
– получившееся уравнение прямой.
Давайте сделаем проверку – если мы все решили правильно, то при подстановке координат точек и мы получим верное равенство. Итак, подставим сначала координаты точки :
Теперь координаты точки :
Значит, уравнение прямой мы нашли верно.
Ответ:
Условие прохождения прямой через три заданные точки
Если нам в задаче нужно убедиться, что три точки с заданными координатами лежат на одной прямой, можно рассуждать так:
- Если две точки с заданными координатами образуют прямую, то их координаты удовлетворяют уравнению прямой, проходящей через две точки.
- Если третья точка также лежит на этой прямой, то и ее координаты будут удовлетворять этому уравнению.
Таким образом, если нам даны три точки , и , лежащие на одной прямой, то их координаты будут удовлетворять условию:
Теперь вы легко сможете составить уравнение прямой по двум точкам, а также найти угловой коэффициент прямой и проверить – принадлежит ли третья точка этой прямой.
2.2.4. Как составить уравнение прямой по двум точкам?
Уравнение прямой, которая проходит через точки , можно составить по формуле:
На самом деле это разновидность уравнения , и вот почему: если известны две точки , то вектор будет направляющим вектором данной прямой, а отыскивается он по элементарной формуле .
Примечание: точки можно поменять местами: . Такое решение будет равноценным.
Задача 65
Составить уравнение прямой по двум точкам .
Решение: используем формулу:
Причёсываем знаменатели:
и перетасовываем колоду:
Именно сейчас удобно избавиться от дробных чисел. В данном случае следует умножить обе части на 6:
Раскрываем скобки и доводим уравнение до ума:
Ответ:
Проверка очевидна – координаты исходных точек должны удовлетворять полученному уравнению:
1) Подставим координаты точки :
– верное равенство.
2) Подставим координаты точки :
– верное равенство.
Вывод: уравнение прямой составлено правильно.
Если хотя бы одна из точек не удовлетворяет уравнению, ищите ошибку.
Стоит отметить, что это как раз тот случай, где графическая проверка затруднительна, поскольку построить прямую , и посмотреть, принадлежат ли ей точки , не так-то просто.
Отмечу ещё пару технических моментов решения. В данной задаче несколько выгоднее воспользоваться «зеркальной» формулой и по тем же точкам составить уравнение:
Таки дробей поменьше. Если хотите, можете довести решение до конца, в результате должно получиться то же самое уравнение.
Второй момент состоит в том, чтобы посмотреть на итоговый ответ и прикинуть, а нельзя ли его ещё упростить? Так, если получилось уравнение , то его целесообразно сократить на двойку: – это уравнение будет задавать ту же самую прямую (подумайте, почему).
Получив ответ в Задаче 65, я на всякий случай мысленно проверил, не делятся ли ВСЕ коэффициенты уравнения на 2, 3 или 7. Хотя, чаще всего подобные сокращения осуществляются ещё по ходу решения.
Задача 66
Составить уравнение прямой, проходящей через точки .
Это пример для самостоятельного решения, который как раз позволит лучше понять и отработать технику вычислений.
Аналогично предыдущему параграфу, если в формуле один из знаменателей (координата направляющего вектора) обращается в ноль, то переписываем её в виде . И снова заметьте, как неуклюже и запутанно она стала выглядеть. Не вижу особого смысла приводить практические примеры, поскольку такую задачу мы уже фактически прорешали (см. Задачи 63-64).
2.2.5. Нормальный вектор прямой
2.2.3. Как найти направляющий вектор по общему уравнению прямой?
| Оглавление |
Автор: Aлeксaндр Eмeлин