Как составить уравнение прямой проходящей через точку если угловой коэффициент

В декартовых координатах каждая прямая
определяется уравнением первой степени
и, обратно, каждое уравнение первой
степени определяет прямую.

Уравнение
вида

 (1)

называется
общим уравнением прямой.

Угол ,
определяемый, как показано на рис.,
называется углом наклона прямой к оси
Ох. Тангенс угла наклона прямой к оси
Ох называется угловым коэффициентом
прямой; его обычно обозначают буквой
k:

Уравнение  называется
уравнением прямой с угловым коэффициентом;
k — угловой коэффициент, b — величина
отрезка, который отсекает прямая на оси
Оу, считая от начала координат.

Если
прямая задана общим уравнением

,

то
ее угловой коэффициент определяется
по формуле

.

Уравнение  является
уравнением прямой, которая проходит
через точку  (, )
и имеет угловой коэффициент k.

Если
прямая проходит через точки (, ), (, ),
то ее угловой коэффициент определяется
по формуле

.

Уравнение

является
уравнением прямой, проходящей через
две точки (, )
и (, ).

Если
известны угловые коэффициенты  и  двух
прямых, то один из углов  между
этими прямыми определяется по формуле

.

Признаком
параллельности двух прямых является
равенство их угловых коэффициентов:.

Признаком
перпендикулярности двух прямых является
соотношение
,
или .

Иначе говоря, угловые коэффициенты
перпендикулярных прямых обратны по
абсолютной величине и противоположны
по знаку.

4.Общее уравнение прямой

Уравнение

Ах+Ву+С=0

(где А, В, Смогут иметь любые
значения, лишь бы коэффициентыА,
Вне были нулями оба сразу)
представляетпрямую
линию. Всякую прямую можно
представить уравнением этого вида.
Поэтому его называютобщим уравнением
прямой.

Если А=0, то есть уравнение не
содержитх, то оно представляет
прямую,параллельную
оси ОХ.

Если В=0, то есть уравнение не
содержиту, то оно представляет
прямую,параллельную
оси ОY.

Когла Вне равно нулю, то общее
уравнение прямой можноразрешить
относительно ординаты у,
тогда оно преобразуется к виду

y=ax+b

(где a=-A/B; b=-C/B).

Аналогично, при Аотличным от
нуля общее уравнение прямой можно
разрешить относительнох.

Если С=0, то есть общее уравнение
прямой не содержит свободного члена,
то оно представляет прямую, проходящую
через начало координат

5. Уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом

Уравнение прямой, проходящей
через данную точку A(x₁, y₁)
в данном направлении, определяемом
угловым коэффициентом k,

y — y₁ = k(x — x₁).     (1)

Это уравнение определяет
пучок прямых, проходящих через
точку A(x₁, y₁),
которая называется центром пучка.

6. уравнение прямой,
проходящей через две данные точки.

. Уравнение
прямой, проходящей через две точки: A(x₁, y₁)
и B(x₂, y₂),
записывается так:

     (2)

Угловой коэффициент прямой, проходящей
через две данные точки, определяется
по формуле

     (3)

7.
Уравнение прямой в отрезках

Если в общем уравнении
прямой  ,
то разделив (1) на  ,
получаем уравнение прямой в отрезках

,

где  ,  .
Прямая пересекает ось   в
точке  ,
ось   в
точке  .

8.
Формула: Угол между прямыми на плоскости

Уголα между
двумя прямыми, заданными
уравнениями: y=k₁x+b₁ (первая
прямая) и y=k₂x+b₂ (вторая
прямая), может быть вычислен по формуле
(угол отсчитывается от 1^й прямой
ко 2^й против
часовой стрелки):

tg(α)=(k2-k1)/(1+k1k2)

9. Взаимное
расположение двух прямых на плоскости.

  Пусть сейчас
оба уравнения прямых
записаны в общем виде.

Теорема. Пусть

    и 

– общие уравнения двух
прямых на координатной плоскости
Оху. Тогда

1) если ,
то прямые  и  совпадают;

2) если ,
то прямые   и 

    параллельные;

3) если ,
то прямые пересекаются.

   Доказательство.
Условие  равносильно
коллинеарности нормальных векторов данных
прямых:

.
Поэтому, если ,
то  и прямыепересекаются.

   Если же ,
то , ,  иуравнение прямой  принимает
вид:

 или ,
т.е. прямые совпадают.
Заметим, что коэффициент пропорциональности ,
иначе все коэффициенты общего уравнения были
бы равны нулю, что невозможно.

   Если же прямые не
совпадают и не пересекаются, то остается
случай ,
т.е. прямые параллельны.

Теорема доказана.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Прямая имеет несколько видов задающих ее уравнений. Рассмотрим некоторые из них и разберем примеры.

Здесь будет калькулятор

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

y=kx+by=kx+b,

где kk — угловой коэффициент, а bb — свободный коэффициент.

Уравнения данного вида составляются следующим образом по формуле:

y−y0=k(x−x0)y-y_0=k(x-x_0),

где (x0;y0)(x_0; y_0) — координаты любой точки, лежащей на данной прямой.

Задача 1

Составить уравнение прямой, если координаты точки, принадлежащей данной прямой, таковы: x0=1,y0=2x_0=1, y_0=2. Угловой коэффициент принять равным 11.

Решение

Подставляем значения в формулу:

y−y0=k(x−x0)y-y_0=k(x-x_0)

y−2=1⋅(x−1)y-2=1cdot(x-1)

Приводим подобные слагаемые:

y=x+1y=x+1

Ответ

y=x+1y=x+1

Общее уравнение прямой

Для приведения прямой к такому виду из предыдущего вида достаточно просто перенести все слагаемые в одну часть. Возьмем уравнение прямой из предыдущей задачи y=x+1y=x+1. Тогда общее уравнение этой прямой запишется в виде:

y−x−1=0y-x-1=0

Уравнение прямой по двум точкам

Если в задаче даны координаты двух точек и необходимо составить уравнение прямой, то это делается при помощи такой формулы:

Уравнение прямой по двум точкам

x−x2x1−x2=y−y2y1−y2frac{x-x_2}{x_1-x_2}=frac{y-y_2}{y_1-y_2},

где (x1;y1),(x2;y2)(x_1; y_1), (x_2; y_2) — координаты двух точек, через которые проходит данная прямая.

Задача 2

Найти уравнение прямой, если координаты точек имеют значения: (2;3)(2;3) и (4;−1)(4;-1).

Решение

x1=2x_1=2
y1=3y_1=3
x2=4x_2=4
y2=−1y_2=-1

x−x2x1−x2=y−y2y1−y2frac{x-x_2}{x_1-x_2}=frac{y-y_2}{y_1-y_2}

x−42−4=y−(−1)3−(−1)frac{x-4}{2-4}=frac{y-(-1)}{3-(-1)}

x−4−2=y+14frac{x-4}{-2}=frac{y+1}{4}

x−4=−y−12x-4=frac{-y-1}{2}

y+1=2⋅(4−x)y+1=2cdot(4-x)

y=8−2x−1y=8-2x-1

y=−2x+7y=-2x+7

Ответ

y=−2x+7y=-2x+7

Уравнение прямой при помощи точки и вектора нормали

Уравнение прямой по точке и нормали

(x−x0)⋅n1+(y−y0)⋅n2=0(x-x_0)cdot n_1+(y-y_0)cdot n_2=0,

где (x0;y0)(x_0; y_0) — координаты точки, лежащей на данной прямой, а (n1;n2)(n_1; n_2) — координаты вектора нормали к этой прямой.

Задача 3

Составить уравнение прямой, если координаты нормального вектора — (1;−5)(1;-5), а точка, через которую проходит данная прямая имеет координаты (7;8)(7;8).

Решение

x0=7x_0=7
y0=8y_0=8
n1=1n_1=1
n2=−5n_2=-5

(x−x0)⋅n1+(y−y0)⋅n2=0(x-x_0)cdot n_1+(y-y_0)cdot n_2=0,

(x−7)⋅1+(y−8)⋅(−5)=0(x-7)cdot 1+(y-8)cdot (-5)=0,

x−7+40−5y=0x-7+40-5y=0

x−5y=−40+7x-5y=-40+7

x−5y=−33x-5y=-33

5y=x+335y=x+33

y=x5+335y=frac{x}{5}+frac{33}{5}

Проверка

Чтобы проверить правильность решения, достаточно подставить координаты точки в данное уравнение и, если оно будет верным, то задача решена верно.

8=75+3358=frac{7}{5}+frac{33}{5}

8=88=8 — верно, ответ правильный.

Ответ

y=x5+335y=frac{x}{5}+frac{33}{5}

Прямая в пространстве

Уравнение прямой, заданной в пространстве имеет такой вид:

Уравнение прямой в пространстве

x−x0ν1=y−y0ν2=z−z0ν3frac{x-x_0}{nu_1}=frac{y-y_0}{nu_2}=frac{z-z_0}{nu_3},

где (x0;y0;z0)(x_0;y_0;z_0) — координаты точки, через которую проходит прямая, а (ν1,ν2,ν3)(nu_1,nu_2,nu_3) — координаты напрявляющего вектора данной прямой.

Задача 4

Написать уравнение прямой по заданной точке (1;5;−23)(1;5;-23) и вектору направления (3;11;7)(3;11;7).

Решение

x0=1x_0=1
y0=5y_0=5
z0=−23z_0=-23
ν1=3nu_1=3
ν2=11nu_2=11
ν3=7nu_3=7

x−x0ν1=y−y0ν2=z−z0ν3frac{x-x_0}{nu_1}=frac{y-y_0}{nu_2}=frac{z-z_0}{nu_3}

x−13=y−511=z−(−23)7frac{x-1}{3}=frac{y-5}{11}=frac{z-(-23)}{7}

Проверка

Проверим, удовлетворяет ли это уравнение прямой точке (x0;y0;z0)(x_0;y_0;z_0). Для этого подставим в него координаты этой точки:

1−13=5−511=−23−(−23)7frac{1-1}{3}=frac{5-5}{11}=frac{-23-(-23)}{7} — верно, значит ответ правильный.

Такой вид уравнения прямой называется каноническим.

Ответ

x−13=y−511=z−(−23)7frac{x-1}{3}=frac{y-5}{11}=frac{z-(-23)}{7}

Тест по теме “Составление уравнения прямой”



2.1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Прямая – это одна из простейших геометрических фигур. Она бесконечна:

и обозначается маленькими латинскими буквами , как вариант,
с подстрочным индексом, например, . Также прямую можно обозначить двумя различными точками, которые ей принадлежат, например, .

Прямую часто задают уравнением, и начнём мы опять со школьного материала. Всем известное «школьное» уравнение   называется уравнением прямой с угловым коэффициентом . Вспомним геометрический смысл данного коэффициента и то,  как его значение влияет на расположение прямой:

Угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла (см. Приложение Тригонометрия) между положительным направлением оси  и данной прямой: . Чтобы не загромождать чертёж, я нарисовал углы только для двух прямых:

Это «красная» прямая  с коэффициентом . Согласно вышесказанному,  (угол «альфа» обозначен зелёной дугой). Для «синей» прямой  с  справедливо равенство  (угол «бета» обозначен коричневой дугой).

Если известен тангенс угла, то при необходимости легко найти и сам угол с помощью обратной функции – арктангенса. Так, для «черной»  прямой  тангенс угла наклона равен , а сам угол наклона составляет:
 радиан или 45 градусов, что хорошо видно по чертежу. Значения углов можно находить по Таблице или с помощью Калькулятора (Приложения в помощь).

Таким образом, угловой коэффициент  характеризует степень наклона прямой к оси абсцисс. При этом возможны следующие случаи:

1) Если угловой коэффициент отрицателен: , то линия, грубо говоря, идёт «сверху вниз». Примеры – «синяя» и «малиновая» прямые на чертеже.

2) Если угловой коэффициент положителен: , то линия идёт «снизу вверх». Примеры – «чёрная» и «красная» прямые на чертеже.

3) Если угловой коэффициент равен нулю: , то уравнение  принимает вид , и соответствующая прямая параллельна оси . Пример – «жёлтая» прямая. Неформальный смысл уравнения: «игрек» ВСЕГДА (при любом «икс») равен «бэ».

4) Для семейства прямых , параллельных оси   (на чертеже нет примера, кроме самой оси ), угловой коэффициент не определён. В данной ситуации , а тангенса угла 90 градусов не существует. Неформальный смысл уравнения: «икс» ВСЕГДА (при любом «игрек») равен «цэ».

Чем больше угловой коэффициент по модулю, тем круче идёт график прямой.

Рассмотрим прямые  и . Здесь , поэтому прямая  имеет более крутой наклон. Напоминаю, что модуль позволяет не учитывать знак, нас интересуют только абсолютные значения угловых коэффициентов.
В свою очередь, прямая  более крутА, чем прямые .

Обратно: чем меньше угловой коэффициент по модулю, тем прямая является более пологой. Так, для прямых  справедливо неравенство , таким образом, прямая  более пологая.

Зачем эта информация? Продлить ваши мучения. Знания вышеперечисленных фактов позволяет немедленно увидеть свои ошибки, в частности, ошибки при построении графиков – когда на чертеже получилось явно «что-то не то». Желательно, чтобы вам сразу было понятно, что прямая  весьма крутА и идёт «снизу вверх», а прямая  – очень полога, близко прижата к оси  и идёт «сверху вниз».

Сомневался, напоминать ли, но на всякий пожарный: как построить прямую, если известно её уравнение?

Для того чтобы построить прямую, нужно знать две её точки (любые). Их легко найти из уравнения. Рассмотрим, например, уравнение  и выберем произвольное значение «икс», удобно взять , тогда: , и первая точка найдена: . Теперь выбираем другое значение , например,  и находим  – точка . Отмечаем точки на чертеже и аккуратно проводим линию по линейке.

Ах да, чуть не забыл: прямая вида  называется прямой пропорциональностью. Она проходит через начало координат, и для её построения достаточно найти одну точку. На чертеже выше изображены две таких прямых + ось .

Как составить уравнение прямой с угловым коэффициентом?

Если известна точка , принадлежащая некоторой прямой, и угловой коэффициент  этой прямой, то уравнение данной прямой выражается формулой:

Задача 59

Составить уравнение прямой с угловым коэффициентом , если известно, что точка  принадлежит данной прямой.

Решение: уравнение составим по формуле . В данном случае:

Ответ:

Проверка выполняется элементарно. Во-первых, смотрим на полученное уравнение  и убеждаемся, что наш угловой коэффициент  на своём месте. Во-вторых, координаты точки  должны удовлетворять данному уравнению. Подставим их в уравнение:

 – получено верное равенство, значит, точка  удовлетворяет полученному уравнению.

Вывод: уравнение найдено правильно.

Более хитрая задачка для самостоятельного решения:

Задача 60

Составить уравнение прямой, если известна её точка , а угол наклона к положительному направлению оси  составляет .

Ну что же, прозвенел «последний звонок», отгремел выпускной бал (как это быстро у меня происходит ), и за воротами родной школы нас поджидает, собственно, аналитическая геометрия:

2.2.1. Общее уравнение и направляющий вектор прямой

1.10.3. Как вычислить объём треугольной пирамиды?

| Оглавление |



Автор: Aлeксaндр Eмeлин