Как составить уравнение прямой проходящей через точку параллельно данной прямой - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Как составить уравнение прямой параллельной данной прямой и проходящей через данную точку?

Пусть y = k₁x+b₁ — данная прямая. С учётом условия параллельности прямых уравнение прямой, параллельной данной, имеет вид y = k₁x+b₂.

Так как эта прямая проходит через точку M(x_o; y_o), то её координаты удовлетворяют уравнению прямой. Подставив в уравнение x_o и y_o, мы найдем b:

y_o= k₁∙x_o+ b₂, откуда b₂= y_o— k₁∙x_o.

Примеры.

1) Составить уравнение прямой, которая проходит через точку A(4;21) и параллельна прямой y=3x-8.

Решение:

Так как угловые коэффициенты у параллельных прямых равны, то k₂=k₁=3 и уравнение прямой, параллельной прямой y=3x-8, имеет вид y=3x+b. Так как искомая прямая проходит через точку A(4;21), подставляем в уравнение прямой координаты A (x=4; y=21):

21=3·4+b, откуда находим b: b= 21-12= 9.

Итак, уравнение прямой, параллельной прямой y=3x-8, проходящей через точку A(4;21) — y=3x+9.

Ответ: y=3x+9.

2) Написать уравнение прямой, параллельной прямой x=5, проходящей через точку B(-3; 5).

Решение:

Так как прямая x=5 параллельна оси Oy, то и параллельная ей прямая также параллельна Oy, а значит, уравнение этой прямой имеет вид x=a.

Так как эта прямая проходит через точку B(-3; 5), то её абсцисса удовлетворяет уравнению прямой: a= -3.

Итак, уравнение прямой, параллельной прямой x=5 и проходящей через точку B(-3; 5) — x= -3.

Ответ: x= -3.

3) Написать уравнение прямой, параллельной прямой y= -11, проходящей через точку K(2; 4).

Решение:

Так как прямая y= -11 параллельна оси Ox, то и параллельная ей прямая также параллельна оси Ox. Поэтому уравнение прямой имеет вид y=b.

Поскольку эта прямая проходит через точку K(2; 4), то её ордината удовлетворяет уравнению прямой: b=4.

Уравнение прямой, параллельной прямой y= -11 и проходящей через точку K(2; 4) — y=4.

Ответ: y=4.

Источник

Пусть прямая, проходящая через точку K₁(x₁;y₁) и параллельная прямой y=kx+b, записывается в виде уравнения:

y-y₁=k·(x-x₁)

Это уравнение называется уравнением прямой, проходящей через данную точку K₁(x₁;y₁) параллельно данной прямой y=kx+b

Пример 1
Составить уравнение прямой, проходящей через точку M(-3;4) и параллельно прямой

4x-7y+1=0

Решение
Данную прямую можно представить уравнением y=4/7x+1/7 (здесь k=4/7). Уравнение искомой прямой есть

Решение представим на графике

Пример 2
Составить уравнение прямой, проходящей через точку (-3;4) и параллельно прямой
5x+6=0
Решение

Здесь A=5, B=0, получаем 5(x+3)=0, т.е. x+2=0. В этом случае формула неприменима.

32021

Источник

2.5.2. Как найти прямую, параллельную данной?

За незнание этой простейшей задачи сурово наказывает Соловей-Разбойник.

Задача 75

Прямая задана уравнением . Составить уравнение параллельной прямой, которая

проходит через точку .

Решение: обозначим неизвестную прямую буквой . Что о ней

сказано в условии? Прямая проходит через точку . А если прямые параллельны, то очевидно, что направляющий вектор прямой «цэ» подойдёт и для

построения прямой «дэ».

Вытаскиваем направляющий вектор из уравнения :

Уравнение искомой прямой составим по точке и направляющему вектору :

Ответ:

Геометрия задачи выглядит незатейливо:

Аналитическая же проверка состоит в следующих шагах:

1) Проверяем, что у прямых один и тот же направляющий вектор (если

уравнения не упрощены должным образом, то векторы будут коллинеарны). Да что тут векторы?! – посмотрим на коэффициенты:
– параллельность прямых понятна без всякого чертежа!

2) Проверяем, удовлетворяет ли точка полученному уравнению . И это тоже устный пункт!

Примеры для самостоятельного решения сегодня будут творческими. Потому что вам ещё придётся тягаться с Бабой-Ягой, а она, знаете, любительница

всяких загадок.

Задача 76

Составить уравнение прямой, проходящей через точку , параллельную прямой , если

Существует рациональный и не очень рациональный способ решения. Самый короткий путь в конце книги.

С параллельными прямыми немного поработали и к ним ещё вернёмся. Случай совпадающих прямых малоинтересен, поэтому перейдём к задаче, которая

хорошо знакома вам из школьной программы:

2.5.3. Как найти точку пересечения прямых?

2.5.1. Взаимное расположение двух прямых

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин

Источник

3.1. Канонические
уравнения прямой.

Пусть в системе
координат Oxyz
дана прямая, которая проходит через
точку

(см. рис.18).Обозначим через
вектор, параллельный данной прямой.
Векторназываетсянаправляющим
вектором прямой.
Возьмем на прямой точку и рассмотрим вектор
Векторыколлинеарны, следовательно, их
соответствующие координаты пропорциональны:

(3.3.1)

Эти уравнения
называются каноническими
уравнениями прямой.

Пример: Написать
уравнения прямой, проходящей через
точку M(1,
2, –1) параллельно вектору

Решение:
Вектор
является направляющим вектором искомой
прямой. Применяя формулы (3.1.1), получим:

Это канонические
уравнения прямой.

Замечание:
Обращение в нуль одного из знаменателей
означает обращение в нуль соответствующего
числителя, то есть y
– 2 = 0; y
= 2. Данная прямая лежит в плоскости y
= 2, параллельной плоскости Oxz.

3.2.
Параметрические
уравнения прямой.

Пусть прямая
задана каноническими уравнениями

Обозначим тогдаВеличина t
называется параметром и может принимать
любые значения:
.

Выразим x,
y
и z
через t
:

(3.2.1)

Полученные уравнения
называются параметрическими
уравнениями прямой.

Пример 1:
Составить
параметрические уравнения прямой,
проходящей через точку M
(1, 2, –1) параллельно вектору

Решение:
Канонические уравнения этой прямой
получены в примере пункта 3.1:

Для нахождения
параметрических уравнений прямой
применим вывод формул (3.2.1):

Итак,
— параметрические уравнения данной
прямой.

Ответ:

Пример 2.
Составить
параметрические уравнения прямой,
проходящей через точку M
(–1, 0, 1) параллельно вектору
гдеA
(2, 1, –1), B
(–1, 3, 2).

Решение:
Вектор является направляющим
вектором искомой прямой.

Найдем вектор .

= (–3; 2; 3). По формулам
(3.2.1) запишем уравнения прямой:

— это искомые
параметрические уравнения прямой.

3.3. Уравнения
прямой, проходящей через две заданные
точки.

Через две заданные
точки в пространстве проходит единственная
прямая (см. рис.20). Пусть даны точки
Векторможно принять за направляющий вектор
данной прямой. Тогда уравнения прямой
находим
по формулам (3.1.1):).

(3.3.1)

Пример 1.
Составить канонические и параметрические
уравнения прямой, проходящей через
точки

Решение:

Применяем
формулу (3.3.1)

Получили канонические
уравнения прямой. Для получения
параметрических уравнений применим
вывод формул (3.2.1). Получим

— это параметрические
уравнения прямой.

Пример 2.
Составить канонические и параметрические
уравнения прямой, проходящей через
точки

Решение:

По формулам
(3.3.1) получим:

Это канонические
уравнения.

Переходим к
параметрическим уравнениям:

— параметрические
уравнения.

Полученная прямая
параллельна оси oz
(см. рис.21).

3.4. Прямая как
линия пересечения двух плоскостей.

Пусть в
пространстве даны две плоскости

Если эти плоскости
не совпадают и не параллельны, то они
пересекаются по прямой:

Эта система двух
линейных уравнений задает прямую как
линию пересечения двух плоскостей. От
уравнений (3.4.1) можно перейти к каноническим
уравнениям (3.1.1) или параметрическим
уравнениям (3.2.1). Для этого необходимо
найти точку
лежащую на прямой, и направляющий векторКоординаты точкиполучим из системы (3.4.1), придав одной
из координат произвольное значение
(например,z
= 0). За направляющий вектор
можно взять векторное произведение
векторовто есть

Пример 1.
Составить
канонические уравнения прямой

Решение: Пусть
z
= 0. Решим систему

Сложив эти уравнения,
получим: 3x
+ 6 = 0
x
= –2. Подставим найденное значение x
= –2 в первое уравнение системы и получим:
–2 + y
+ 1 = 0
y
= 1.

Итак, точка
лежит на искомой прямой.

Для нахождения
направляющего вектора прямой запишем
нормальные векторы плоскостей:
и найдем их векторное произведение:

Уравнения прямой
находим по формулам (3.1.1):

Ответ: .

Другой способ:
Канонические и параметрические
уравнения прямой (3.4.1) легко получить,
найдя две различные точки на прямой из
системы (3.4.1), а затем применив формулы
(3.3.1) и вывод формул (3.2.1).

Пример 2.
Составить канонические и параметрические
уравнения прямой

Решение:
Пусть y
= 0. Тогда система примет вид:

Сложив уравнения,
получим: 2x
+ 4 = 0; x
= –2. Подставим x
= –2 во второе уравнение системы и
получим: –2 –z
+1 = 0
z
= –1. Итак, нашли точку

Для нахождения
второй точки положим x
= 0. Будем иметь:

То есть

Далее применяем
формулы (3.3.1):

Получили канонические
уравнения прямой.

Составим
параметрические уравнения прямой:

Ответ:

; .

3.5. Взаимное
расположение двух прямых в пространстве.

Пусть прямые
заданы уравнениями:

;: .

Под углом между
этими прямыми понимают угол между их
направляющими векторами
(см. рис.22). Этот уголнаходим по формуле из векторной алгебры:

или

(3.5.1)

Если прямые перпендикулярны
(),то
Следовательно,

(3.5.2)

Это условие
перпендикулярности двух прямых в
пространстве.

Если прямые
параллельны (),то их направляющие
векторы коллинеарны (),
то есть

(3.5.3)

Это условие
параллельности двух прямых в пространстве.

Пример 1. Найти
угол между прямыми:

а).
и

б). и

Решение:
а). Запишем направляющий вектор прямой
Найдем направляющий векторвторой прямой. Для этого находим
нормальные векторыплоскостей, входящих в систему

Затем найдем их векторное произведение: