Методика
обучения младших школьников решению уравнений.
Содержание:
1.
Понятие «уравнение». Виды уравнений.
Способы решения уравнений…2
2.
Методика обучения младших школьников
решению уравнений на основе УМК «Школа России» Моро М. И…………………………………9
3.
Методика обучения младших школьников
решению уравнений на основе УМК «Гармония» Истомина Н.Б…………………………………22
4.
Методика обучения младших школьников
решению уравнений на основе УМК «Школа 2000» Петерсон Л.Г……………………………….27
5.
Сравнительный анализ……………………………………………………36
1. Понятие
«уравнение». Виды уравнений.
Способы решения уравнений
Изначально введению понятия уравнения в начальном курсе математики предшествует
знакомство школьников с такими важнейшими математическими понятиями,
подводящими к понятию уравнения, как:
выражение,
равенство, неравенство. Дадим определения данным понятиям.
Последовательность
букв и чисел, соединенных знаками действий, называют математическим
выражением.
Следует
отличать математическое выражение от равенства и неравенства.
Например:
7
— 5; 3 + 2 — математическое выражение.
64:8
+ 2; 64:(16- 
— математические выражения.
а+
6; 5х — математические выражения.
3апись
вида 3 +4 = 7 не является математическим выражением, это числовое равенство.
3апись
вида а>7, 3 <5 – это неравенства.
Среди
математических выражений выделяют числовые и буквенные
выражения.
Математическое
выражение, содержащее только числа и знаки
арифметических
действий, называют числовым выражением. Выполнив
все
указанные арифметические действия, получаем значение числового
выражения.
Буквенное
выражение наряду с числами содержит переменные, обозначенные буквами. Для
вычисления значений буквенных выражений заданные значения переменных поочередно
подставляются в выражения и производят вычисления.
Два
математических выражения, соединенные знаком < (меньше), >
(больше)
называют неравенством. Они также бывают числовыми и
буквенными.
Два
математических выражения, соединенные знаком = (равно), называют равенством.
Соответственно выделяют числовые и буквенные равенства. Среди буквенных
равенств выделяют тождества и уравнения.
С
одной стороны, равенство, содержащее переменную, называют
уравнением
с одной неизвестной.
С
другой стороны, уравнение с одной переменной рассматривают как
предикат
вида f(x)=g(x), где f(x) и g(x)- выражения с переменной.
Решить уравнение — значит найти такое значение
переменной, при котором равенство будет верным. Это число называют корнем
уравнения.
Например,
х+7=15 является уравнением.
В
начальном курсе математики решение уравнения можно находить разными способами:
Ø способом
подбора;
Ø с
опорой на графическую схему (целое и части);
Ø с
использованием взаимосвязи компонентов арифметических действий;
Ø основываясь
на свойствах числовых равенств;
Раскроем более подробно выделенные способы решения уравнений.
1)
Способ подбора.
Этот способ используется нередко на пропедевтическом этапе обучения решению
уравнений, а также при решении простейших уравнений. Он основан на осознанном
подборе корня уравнения. Ученик ориентируется на числа и выполняемую операцию и
осуществляет интуитивно подбор наиболее подходящего числа. При этом он знает,
что подобранное им число он должен проверить, т.е. подставить его и выяснить, верное
или неверное числовое равенство при этом получится.
Например,
решая уравнение x+3=6, ученик пробует подставить
вместо
x число 1, потом 2 и, наконец, 3. Даже если ученик смог сразу дать
правильный
ответ, он должен еще «доказать» его правильность, подставив
найденное
число в уравнение вместо х.
2)
Решение уравнений на основе соотношения между частью и целым
(графическая
схема).
Уравнения на сложение и вычитание с фигурами, отрезками, графическая модель
уравнения рассматриваются в программе Л. Г. Петерсон и в системе развивающего
обучения Эльконина-Давыдова.
Например,
уравнение x+3=6 в этом случае может быть представлено
в
виде схемы.
Составляя
подобные схемы, учащиеся на основе практических предметных действий выводят и
усваивают правила:
Ø целое
равно сумме частей
Ø чтобы
найти часть, надо из целого вычесть другую часть.
Взаимосвязь
между частью и целым является затем для учащихся тем удобным и надежным
инструментом, который позволяет им легко решать
уравнения
с неизвестным слагаемым, уменьшаемым, вычитаемым.
3)Решение
уравнений на основе зависимости между компонентами действий.
Данный способ наиболее распространен в практике начальной школы.
Решение
уравнения основывается на знаниях определенных правил нахождения того или иного
компонента арифметического действия.
Например,
в решении того же уравнения x+3=6 младший школьник
руководствуется
взаимосвязями между компонентами операции сложения
чисел:
чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое.
Таким образом, он находит решение х=6-3, х=3.
4)
Способ решения уравнений, основанный на знании свойств числовых
равенств.
Данный способ чаще всего используется в учебнике при решении
сложных
уравнений, в том числе с неизвестными в обеих частях уравнения.
При
решении уравнения x+3=6 ученик будет руководствоваться
свойством
числовых равенств «если к обеим частям прибавить или вычесть
одно
и тоже число, то равенство остается верным»
х+3-3=6-3,
х=3.
Этапы
обучения детей решению задач с помощью уравнений.
1
этап: подготовительный
—
обучение составлению выражений, содержащих неизвестное, в соответствии с
текстом задания.
а)
Если неизвестное число умножить на 32, то получится 1524.
х
· 32 = 1524
х
= 1524 : 32
х
= 47
32
·47 = 1524
б)
Если вычесть из 4020 неизвестное число, то получится 3036.
4020
– х = 3036
х
= 4020 – 3036
х
= 984
4020
– 3036 = 984
в)
К какому числу надо прибавить частное чисел 240 и 3, чтобы получить 500?
а
+ 240 : 3 = 500
а
+ 80 = 500
а
= 500 – 80
а
= 420
420
+ 240 : 3 = 500
2
этап: решение простых задач с помощью уравнений.
В
классе 14 мальчиков и несколько девочек. Всего в классе 27 человек. Сколько
девочек в классе?
х
+ 14 = 27; х = 27 – 14; х = 13.
3
этап: использование уравнений при решении
составных задач.
В
книге 54 страницы. Алёша читал книгу в течение трёх дней, по 10 страниц
ежедневно. Сколько страниц ему осталось прочитать?
х
+ 10 · 3 = 54; х + 30 = 54; х = 54 – 30; х = 24.
В
курсе алгебры выделяют различные виды уравнений:
1.
Линейные уравнения,
2.
Квадратные уравнения,
3.
Уравнения высших степеней,
4.
Иррациональные уравнения,
5.
Дробно-рациональные уравнения,
6.
Тригонометрические уравнения,
7.
Показательные уравнения
8.
Логарифмические уравнения
9.
Дифференциальные уравнения и т.д.
В начальном курсе математике из всего этого списка дети знакомятся
с
линейными уравнениями, при этом данный термин «линейные уравнения»
не
вводится.
В НКМ выделяют простейшие и составные уравнения. Простейшие уравнения – это
уравнения, в которых только одно арифметическое
действие.
Составные уравнения содержат два и более арифметических
действия.
Например, уравнения вида х+5=7, х-5=7, х:5=7, х×5=15 являются
простыми.
Примерами составных уравнений являются х+5=7+5, 2×(х-5) = 12,
3х-5=16
и т.д.
На начальном этапе происходит знакомство учащихся с простейшими
уравнениями
на сложение и вычитание, затем с простейшими уравнениями
на
умножение и деление, только после этого учащиеся учатся решать составные
уравнения.
В заключении отметим, что усвоение младшими школьниками
основных
понятий темы «Уравнения» и овладение детьми способами их
решения
в начальном курсе математики должно создать прочную основу для
дальнейшего
обучения решению уравнений в среднем звене.
2. Методика
обучения младших школьников решению уравнений на основе УМК «Школа России» Моро
М. И.
Уравнение — это равенство, содержащее букву,
значение которой надо найти.
Корень уравнения — это значение буквы, при котором из
уравнения получается верное числовое равенство.
Решить уравнение — значит найти все его корни или
убедиться, что корней нет.
Способы
решения уравнений:
·
подбор (его применение на первых этапах
является необходимым для того, чтобы учащиеся усвоили суть решения уравнения);
·
на основе знания зависимости между
компонентами и результатом арифметического действия.
Задачи
реализации темы:
Формирование у
учащихся понятия «уравнение»:
·
умения решать усложненные уравнения
разными способами
·
умения решать задачи способом составления
уравнений
·
умения решать простые уравнения разными
способами
Результаты
освоения раздела учащимися:
Знать
— Названия компонентов и результатов действий, правила нахождения слагаемого,
вычитаемого, множителя, делимого, делителя
Уметь
— Решать простые и усложнённые уравнения на основе нахождения неизвестного
компонента; решать задачи способом составления таких уравнений.
Изучение
темы по классам:
1
класс — Подготовительный этап
2
класс — Знакомство с уравнением и
овладение способом его решения
3
класс — Составление уравнений по данному
условию и вопросу, закрепление названий компонентов арифметических действий
4
класс — Решение уравнений. Решение задач
способом составления уравнений.
1класс. Подготовительный этап.
1
классе изучаются: Сравнение чисел, равенство, неравенство.
Знаки
> (больше), < (меньше),= (равно).
Сравнение
чисел
На
примере графической и символической моделях ребята изучают знаки больше и
меньше.
М1М ч 1, стр. 27
М1М, ч1, стр.46
Пропедевтика
темы «Уравнение» представлена заданиями с «окошечками».
М1М, ч1, стр.47
М1М, ч1, стр.51
2 класс. Знакомство с уравнением и
овладение способом его решения
На
втором этапе учащиеся знакомятся с понятиями «уравнение» и
«корень
уравнения».
М2М, ч2, стр. 80
На
этом этапе учащиеся должны научиться распознавать среди
математических
записей уравнения и уметь находить из предложенных чисел его корни или
осуществлять поиск корня уравнения подбором.
М2М, ч2, стр. 80
М2М, ч2, стр. 81
Далее
на протяжении нескольких уроков дети учатся решать уравнения
с
неизвестным слагаемым, уменьшаемым, вычитаемым вида:
4+х=28
18-х=3
х+5=9
х-10=8
Названия
компонентов арифметических действий были введены в
речевую
практику учащихся и использовались для чтения равенств и
выражений.
Решение уравнений данного вида основано на двух подходах:
·
взаимосвязей компонентов операций сложения
и вычитания.
·
взаимосвязей целого и его частей.
Первый подход. Детям вводятся и отрабатываются правила
нахождения
неизвестного компонента в уравнениях. Уравнения решаются на
основе
взаимосвязи этих компонентов.
М2М, ч1, стр.84
М2М, ч1, стр.86
М2М, ч1, стр.87
Второй подход. Детям вводится понятия целого и его частей.
Уравнения
решаются на основе взаимосвязи между частью и целым. При
изучении
данной темы дети должны научиться находить в уравнениях
компоненты,
соответствующие целому (сумма, уменьшаемое), и компоненты, соответствующие его
частям (слагаемое, уменьшаемое, разность). При решении уравнений детям нужно
будет вспомнить лишь два известных правила:
·
Целое равно сумме частей.
·
Чтобы найти часть, надо из целого вычесть
другую часть.
На
данном этапе можно предлагать учащимся задания следующего вида:
Задание
1. Составление и решение уравнений с помощью моделичисла.
Решите
уравнение:
Х
+ Δ : : = ΔΔΔ : :
Х
= ΔΔ
Замените
модели числами и запишите уравнение и его решение:
Х
+ 14 = 34
Х
= 20
Задание
2. Уравнения с буквами.
Как
из волка получить вола?
ВОЛК
– Х = ВОЛ
Х
= ВОЛК – ВОЛ
Х
= К
Как
из слова ВОРОН получить ВОРОНЕЖ?
ВОРОН
+Х=ВОРОНЕЖ
Х=
ВОРОНЕЖ –ВОРОН
Х=ЕЖ
Задание
3. Выполни проверку и найди ошибку.
Х
+ 8 = 16
Х=
16 + 8
Х
= 24
Дети
решают: 24 + 8 = 16
32
≠ 16
Правильное
решение: Х=16-8, Х=8.
Задание
4. Составь уравнения с переменной Х и числами 4, 10 и реши их. Дети составляют
решают уравнения вида:
Х
+ 4 = 10; 10 – Х = 4; Х – 10 = 4 и т.п.
Задание
5. Из данных уравнений выбери и реши только те, где Х находится сложением.
Х
+16 = 20; Х -18 = 30; 29 – Х = 19
Задание
6. Рассмотри решение уравнения и вставь соответствующий знак.
Х
? 12 = 23,
Х
= 23 – 12.
Следующий
этап – решение уравнений вида:
а
∙ Х = в; Х ∙а=в; а : Х = в; Х : а = в.
В
основе решения уравнений этого вида также выделяют два подхода:
·
уравнения решаются также на основе
взаимосвязи между компонентами действий умножения и деления;
·
уравнения решаются также на основе
взаимосвязи между площадью прямоугольника и его сторонами.
Для
отработки и совершенствования умений и навыков решения уравнений на умножение и
деление можно использовать следующие упражнения.
Задание
1. Выполни проверку и найди ошибку.
Х
: 2 = 4
Х
= 4 : 2
Х
= 2
Дети
решают: 2 : 2 = 4
1
≠ 4
Правильное
решение: Х=4 ∙2, Х=8.
Задание
2. Составь уравнения с переменной Х и числами 3, 12 и реши их.
Дети
составляют: 12 : Х = 3; 3 ∙ Х = 12 и т.п.
Задание
3. Изданных уравнений реши те, которые решаются делением.
Х
∙ 2 = 6; Х : 4 = 16; 12 : Х = 4
Задание
4 . Рассмотри решение уравнений и вставь соответствующий знак в запись
уравнения.
Х
? 6 = 24
Х
= 24 : 6
Задание
5. Составь и реши уравнение:
Какое
число надо умножить на пять, чтобы получилось 25?
Какое
число надо разделить на 6, чтобы получить 2?
Задание
6. Реши уравнения:
Х
∙ 3 = 15; Х : 4 = 5; 16 : Х = 2
Какое
уравнение лишнее на твой взгляд? Объясни свой выбор.
Дети
объясняют:
–
первое уравнение на операцию умножения, Х находим делением, неизвестен первый
множитель;
–
второе уравнение на операцию деления, Х находим умножением,
неизвестно
делимое;
–
третье уравнение на операцию деления, нам неизвестен делитель,
находим
делением и т.п.
Последний этап при работе с уравнениями в начальной школе – знакомство учащихся
с составными уравнениями. Решение таких уравнений строится на качественном
анализе выражения, стоящего в левой и правой части уравнения: какие действия
указаны в выражении, какое действие
выполняется
последним, как читается запись этого выражения, какому
компоненту
этого действия принадлежит неизвестное число и т.п. К этому
времени
учащиеся должны твердо овладеть следующими умениями:
–
решение простых уравнений,
–
анализ решений уравнений по компонентам действий,
–
чтение записи выражений в два – три действия,
–
порядок выполнения действий в выражениях со скобками и без них.
На
данном этапе дети должны понимать, что в записи уравнений в качестве
неизвестного числа могут использоваться различные буквы латинского алфавита,
например: К + 14 =2 3; Р – 30 = 18; Z : 9 = 6 и т.п.
Запись
решения уравнений сопровождается словесным описанием
выполняемых
действий. Для выработки правильной математической речи и
навыков
решения первых уравнений данного вида необходимо использовать таблицы с
образцами решений. Но так как дети уже с 1– го класса знакомы с записью
различных алгоритмов, то можно использовать только алгоритм решения уравнений,
по которому дети и анализируют уравнения.
Алгоритм
решения составного уравнения:
1.
ЧТЕНИЕ УРАВНЕНИЯ
2.
НАХОДИМ ПОСЛЕДНЕЕ ДЕЙСТВИЕ
3.
ОПРЕДЕЛЯЕМ НЕИЗВЕСТНЫЙ КОМПОНЕНТ
4.
НАХОДИМ НЕИЗВЕСТНЫЙ КОМПОНЕНТ ПО ПРАВИЛУ
5.
УПРОЩАЕМ УРАВНЕНИЕ
6.
НАШЛИ КОРЕНЬ УРАВНЕНИЯ? ЕСЛИ НЕТ, ТО ВЕРНУТЬСЯ К
ШАГУ
2. ЕСЛИ ДА, ТО ИДИ В КОНЕЦ.
7.
ПРОВЕРКА
8.
ЗАПИСЬ ОТВЕТА
3 класс. Составление уравнений по данному
условию и вопросу, закрепление названий компонентов арифметических действий.
Дети
3го класса решают уравнения с неизвестным слагаемым.
М3М, ч.1, стр. 7
Учатся
решать уравнения, в котором неизвестным является уменьшаемое
М3М, ч.1, стр. 8
Учатся
решать уравнения, в котором неизвестным является вычитаемое.
М3М, ч.1, стр. 9
Решают
задачи с помощью уравнений.
М3М, ч.1, стр. 16
4 класс. Решение уравнений. Решение задач
способом составления уравнений.
Последний
этап в начальной школе по решению уравнений, в котором дети также продолжают
решать задачи этим способом.
М4М, ч2, стр. 4.
М4М, ч2, стр. 6.
В
конце учебник есть материал для повторения и закрепления.
М4М, ч2, стр. 117.
3. Методика
обучения младших школьников решению уравнений на основе УМК «Гармония» Истомина
Н.Б.
Так
же как и по программе Моро М. И., детей 1го класса сначала знакомят с темой
«Неравенства»
М1И, ч1, стр. 76
Даются
упражнения по данной теме.
М1И, ч1, стр. 77
Понятие
«уравнение», правила и упражнения вводятся в 4 классе во 2 части учебника.
М4И, ч2, стр. 73
М4И, ч2, стр. 73
М4И, ч2, стр. 73
М4И, ч2, стр. 75
Решение
задач с помощью уравнений.
М4И, ч2, стр. 76
Решение
уравнений с умножением и делением.
М4И, ч2, стр. 84
Правило
решения уравнения с буквой.
М4И, ч2, стр. 88
Истомина
уделила большое вниманием задачам с решением уравнений.
М4И, ч2, стр. 91 — 92
М4И,
ч2, стр. 93 — 94
4. Методика
обучения младших школьников решению уравнений на основе УМК «Школа 2000» Петерсон
Л.Г.
Решение
уравнений в курсе Л.Г.Петерсон вводятся в 1 класс 3 части. Понятие детям
вводят через яркие картинки.
М1П, ч3, стр. 20
Решаются уравнения на сложение и вычитание (а + х = b, х
— а = b, а — х = b) с неизвестным слагаемым, уменьшаемым и вычитаемым на
основе взаимосвязи между частью и целым. Для решения этих уравнений
применяют правила:
— Целое равно сумме частей.
— Чтобы найти часть надо из целого вычесть другую часть.
М1П, ч3, стр. 24
М1П, ч3, стр. 24
М1П, ч3, стр. 22
М1П, ч3, стр. 20
Так
же при помощи уравнений решаются задачи.
М1П, ч3, стр. 21
М1П, ч3, стр. 25
М1П, ч3, стр. 26
Во 2 классе
(ч.2, урок 1) рассматриваются уравнения нового вида с умножением и делением (а
• х = b, х : а = b, а : х = b).
Для решения уравнений данного вида нельзя использовать правила о
части и целом, так как второй множитель (х • 4 = 12) — это не часть, а количество
равных частей, на которое разбито целое.
В 3 классе (часть
2, урок 27) дается определение уравнения и корня уравнения; показывается
решение уравнений на основе правил нахождения неизвестных компонентов действий:
Если в равенство, содержащее переменную, подставить какое-нибудь
число, то может получиться верное или неверное высказывание.
Уравнением называют
равенство, содержащее переменную, значение которой надо найти.
Значение переменной, при котором из уравнения получается верное равенство,
называют корнем уравнения.
Решить уравнение — значит найти все его корни (или убедиться, что
их нет).
М3П, ч2, стр. 77
М3П, ч2, стр. 78
Упражнения
на решение уравнений.
М3П, ч2, стр. 78
Примеры
задач на уравнения.
М3П, ч2, стр. 80
Решение
уравнений со скобками.
М3П, ч2, стр. 83
И
сразу упражнения для закрепления навыка.
М3П, ч2, стр. 83
В 4 классе уравнения встречаются при решении неравенст.
М4П, ч1, стр. 1
Сравнительный
анализ:
Все три программы между собой схожи: плавное введение в тему «Уравнение»
начинается уже с 1го класса, но не на прямую, а через косвенные темы (н.,
неравества). Авторы большое внимание уделили этому разделу: подробнее всего
раскрывает тему уравнений Моро, но у Истоминой больше упражнений для
практического закрепления. У Петерсон мало теории, но достаточное количество
упражнений для практики.
Методика
преподавания математики Петерсон отличается от традиционных программ. Обычно
учитель объясняет тему, демонстрирует решение, дети копируют способ решения,
применяют в заданиях, пишут контрольную и идут дальше.
А
у Петерсон ребёнок должен докопаться до решения сам. Так он учится справляться
с трудностями и не ориентироваться на готовые шаблоны, а активизировать мозг.
Когда додумался до ответа сам, уже не забудешь. Ориентация на понимание, а не
зазубривание.
Учебник
М.И. Моро и др. (УМК «Школа России»)
1.
Равенство, неравенство.
2.
Выражение. Порядок действий. Уравнение.
Решение уравнения способом подбора.
3.
Решение уравнения на основе связей между
компонентам и результатом действия.
4.
Решение уравнений на все группы действий.
Учебник
Н.Б. Истоминой (УМК «Гармония»)
1.
Неравенство. Выражение. Равенство.
2.
Скобки. Порядок выполнения действий.
3.
Правила выполнения действий в выражениях.
4.
Уравнения. Способы решения уравнений
(простых и усложненных). Решение задач способом составления уравнений.
Учебник
Л. Г. Петерсон (УМК «Школа 2000)
1.
Равенство, неравенство.
2.
Уравнение. Решение уравнения.
3.
Решение задач способом составления
уравнений.
Департамент науки и образования Пермского края
Из опыта работы по теме:
«Уравнения в курсе математики средней школы»
(В помощь начинающему учителю)
Выполнила:
Четина Таисия Филипповна
учитель математики
МОУ «СОШ № 64» города Перми
СОДЕРЖАНИЕ
I Введение………………………………………………………………..3
II основная часть………………………………………………………5
1. Уравнения в курсе математики (5-6 класс)……………5
1.1 Нахождение неизвестных компонентов……………………..…..5
1.2 Раскрытие скобок и приведение подобных……………………..8
1.3 Простейшие уравнения с модулем………………………….……9
1.4 Произведение множителей, равное нулю……………………….9
1.5 Решение задач на составление уравнения………………………9
1.6 Пропорции…………………………………………………………11
2. Уравнения в курсе алгебры (7-9 класс)…………………12
2.1 Линейные уравнения с одной переменной……………………..12
2.2 Разложение на множители………………………………………14
2.3 Линейные уравнения с двумя переменными……………………15
2.4 Системы линейных уравнений………………………………….17
2.5 Квадратные уравнения…………………………………………..21
2.6 Дробно рациональные уравнения………………………………26
2.7 Биквадратные уравнения………………………………………..27
3. УРАВНЕНИЯ В КУРСЕ АЛГЕБРЫ И НАЧАЛ АНАЛИЗА……….29
3.1 Тригонометрические уравнения ………………………………..29
3.2 Уравнения с модулем……………………………………………32
3.3 Показательные уравнения……………………………………….34
3.4 Логарифмические уравнения……………………………………35
3.5 Иррациональные уравнения……………………………………..38
3.6 Уравнения с параметром…………………………………………39
111. ЗАКЛЮЧЕНИЕ…………………………………………………………43
IV. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ…………………….45
V.ПРИЛОЖЕНИЕ……………………………………………………………46
I ВВЕДЕНИЕ
Уравнение – одно из важнейших понятий математики. В большинстве практических и научных задач, где какую-то величину нельзя непосредственно измерить или вычислить по готовой формуле, удается составить соотношение (или несколько соотношений), которым оно удовлетворяет. Так получают уравнения (или систему уравнений для определения неизвестной величины). Развитие методов решения уравнений, начиная с зарождения математики как науки, долгое время было основным предметом изучения алгебры. Привычная нам буквенная запись уравнений сложилась в XVI веке; традиция обозначать неизвестные последними буквами латинского алфавита x, y, z и т.д., а известные величины (параметры) – первыми а, b, с и т.д. идет от французского ученого Р. Декарта.
Как научить детей решать уравнения? Этот вопрос волнует практически всех учителей-математиков и естественников в силу огромной значимости метода уравнений, как для самого курса математики, так и для его практических приложений. Умение решать уравнения настолько важно, что для его формирования нужно привлекать все средства, в том числе и правила, и примеры, и житейские образы. Вооруженные различными приемами, учащиеся всегда смогут помочь себе сами, с какими бы трудностями они ни встретились.
В течении более чем 30 лет педагогической работы, я убедилась в том, что к теме «Уравнения» нужен «особый» подход, исходя из возрастных и психологических особенностей учащихся; их уровня подготовленности.
Я преподаю математику во всех классах средней и старшей школы, в классах общеобразовательных и классах 7-вида. Поэтому я считаю возможным поделиться своим опытом преподавания темы «Уравнения» с учителями, испытывающими затруднения в методике преподавания этой темы и начинающими учителями.
В своей работе тему «Уравнения» я рассматриваю в развитии, от простейших до трансцендентных. Еще в начальной школе учащиеся знакомятся с компонентами арифметических действий и учатся находить неизвестные компоненты по известным. В основной школе вводятся основные понятия и термины; в центре внимания – овладение алгоритмами решения основных видов рациональных уравнений. На старшей ступени обучения расширяется класс изучаемых уравнений в связи с введением новых видов функций; развиваются представления об общих приемах решения уравнений.
Выделим следующие этапы процесса обобщения приемов решения уравнений:
-решение простейших уравнений данного вида;
-анализ действий, необходимых для их решения ;
-вывод алгоритма решения и запоминание его;
-решение несложных уравнений данного вида, не являющихся простейшими;
-анализ действий, необходимых для их решения;
-формулировка частного приема решения;
-применение полученного частного приема по образцу
-работа по описанным этапам для следующих видов уравнений согласно программе.
Учитель руководит всем процессом обобщения, его деятельность направлена на создание ситуаций для реализации этой схемы в процессе поэтапного формирования приемов: подбор упражнений и вопросов для диагностики и контроля, помощь учащимся в осознании состава приема решения уравнения, его формулировки, отработки и применения.
Одной из основных целей, которые ставит перед собой учитель математики, является научить учащихся решать уравнения и впоследствии применять эти навыки при сдаче ЕГЭ и в дальнейшей учебе.
I I. Уравнения в курсе математики
(5-6 класс)
Тема «Уравнение» проходит красной нитью в курсе математики с 1 класса по 11 класс. Именно поэтому данной теме уделяю особое внимание уже с 5 класса. Здесь акцентирую внимание на определении уравнения, корней уравнения, понятии «решить уравнение».
Уравнением называется равенство с переменной.
Корнем уравнения называется значение переменной, обращающее данное уравнение в верное числовое равенство.
Решить уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что их нет.
1.1 В 5 классе рассматриваются уравнения вида а+х=в, а-х=в, х-а=в, ах=в, а:х=в, х:а=в, где а и в – это некоторые числа, х – переменная.
При этом учащиеся решают уравнения, пользуясь правилами нахождения неизвестных компонентов: слагаемого, уменьшаемого, вычитаемого, множителя, делимого, делителя, известных ученикам из курса математики начальной школы. Здесь учу детей делать неформальную проверку корней уравнения. Уместно сразу же научить детей решать задачи с помощью уравнения, правильно оформлять условие задачи, ее решение. Рассмотрим, например, такую задачу: « В вазе лежали сливы. Утром в нее добавили еще 20 слив, после чего в ней стало 38 слив. Сколько слив было в вазе?»
Записываем условие:
Было — ? слив.
Добавили – 20 слив.
Стало – 38 слив.
Записываем решение задачи:
Пусть было х слив, тогда после добавления 20 слив стало (х+20) слив. Известно, что стало 38 слив. Составим и решим уравнение:
х+20=38
х=38-20
х=18 ; 18 слив было.
При этом пользуемся правилом нахождения неизвестного слагаемого.
Ответ: 18 слив.
При решении аналогичных задач отрабатываю алгоритм решения: Пусть…., тогда….. Известно, что….
Составим и решим уравнение.
Дети легко запоминают этот алгоритм и, пользуясь им, быстрее, а главное, обдуманно, решают задачи.
Детям, которые забывают правила нахождения неизвестных компонентов, можно помочь вспомнить правило или, лучше сказать, изобрести нужное правило, если приучить их придумывать простой числовой пример в тех случаях, когда возникают сомнения в том, какое действие надо вспомнить для решения уравнения. Этот способ полезно рассказать подробно, оформив его в виде правила из трех пунктов.
Рассмотрим это для решения уравнения:
119:х=17
Придумав пример на такое же действие, как и в уравнении, но с числами, которые не больше 10 (6:2=3).
Запишите пример точно над уравнением так, чтобы знаки действий и знаки равенства располагались друг над другом.
Выделите в примере число, стоящее над неизвестным в уравнении, и определите действия, которыми можно найти это выделенное число, пользуясь другими числами примера. Тем же действием следует найти и неизвестное в уравнении.
6:2=3 → 2=6:3
199:х=17 → х=119:17
После изучения распределительного закона умножения рассматриваем уравнения вида ах+вх+с=d, где а, в, с, d – некоторые числа, х – переменная, уравнение вида (ахвх)∙с=d, (ахвх):с=d и т.д., сводящиеся к рассмотренным ранее.
При решении уравнений вида (ах+в):с=d, часто пользуются образом клубочка, который необходимо размотать. Для этого надо сначала найти конец нити, то есть определить «последнее» действие в одной из частей уравнения, и потом, ухватившись за эту нить, сделать в другой части «все наоборот», подобно тому, как мы поступаем, перематывая нить с одной катушки на другую.
Например, дано уравнение вида (ах+b):с=d. В левой части сначала х умножаем на а, потом прибавляем в и делим на с. Значит «последнее» действие в левой части – деление на с. Тогда первым действием в правой части должно быть умножение на с. Имеем ах+b=d∙с. Разматываем клубочек дальше. Теперь «последним» действием в левой части должно быть вычитание: ах=dс – b. Осталось в левой части действие умножение, а в правой оно заменяется делением. Итак, х=(d∙с-b):а.
При изучении темы «Проценты» обращаю внимание на то, что процент – это сотая часть числа, а часть числа находится действием умножения. Здесь рассматривают 2 типа задач:
а) нахождение числа по его проценту:
Задача 1. В соревнованиях по легкой атлетике приняло участие 20 девочек, что составило 40% всех участников. Сколько спортсменов участвовало в соревнованиях?
Запишем условие:
Всего – 100% — 7 чел. 40% =0,4
Девочек – 40% — 20 чел.
Пусть всего х спортсменов участвовало в соревнованиях, тогда 0,4х было девочек. Известно, что девочек было 20 человек. Составим уравнение:
0,4х=20,
х=20:0,4,
х=200:4,
х=50; 50 спортсменов было всего.
Ответ: 50 спортсменов.
б) нахождение процентов от числа:
Задача 2. Туристы должны были пройти 220 км. В первый день надо пройти 33 км. Сколько процентов пути надо пройти туристам в первый день?
Всего: 100% — 220 км.
1 день: ? % — 33 км.
Пусть х% пройдено в 1 день. 1% составляет 220:100=2,2 (км), тогда х% составляют 2,2х км. Известно, что это равно 33 км.
Составим уравнение:
2,2х=33,
х=33:2,2,
х=330:22,
х=15; 15% пройдено в первый день.
Ответ: 15% пути.
Эти задачи решаем и по действиям.
К концу 5 класса ученики достаточно быстро оформляют условие задачи, ее решение, грамотно записывают ответ, сводя при этом задачу к решению уравнения.
1.2 В 6 классе после введения отрицательных чисел уравнения решаются с использованием нескольких тем: раскрытием скобок, переносом слагаемых из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, приведением подобных, а также делением или умножением обеих частей уравнения на одно и то же, отличное от нуля, число.
Пример: 5(х+2)-11=3(х-4),
5х+10-11=3х-12,
5х-3х=-12-10+11,
2х=-11,
х=-5,5
Ответ: х=-5,5
Нужно отметить, что не все уравнения имеют решения.
7(х-1)+3х=5(2х+3), 5(х-4)+28=4(х+2)+х,
7х-7+3х=10х+15, 5х-20+28=4х+8+х,
7х+3х-10х=15+7, 5х-4х-х=8+20-28,
0х=22, 0х=0,
х — любое
Ответ: нет корней. Ответ: х — любое число.
1.3 После изучения темы «Модуль» мы встречаемся с решением уравнений, содержащих неизвестную под знаком модуля.
Например: а) |х|=5 б) |х|=0 в) |х|=-10
х1=5, х2=-5 х=0 Ǿ
Ответ: 5 Ответ: 0 Ответ: Ǿ
Считаю, что здесь же уместно рассмотреть уравнения, содержащие под знаком модуля выражения с неизвестной.
Например:
а) |х-5|=3 б) |3х-7|=0 в) |4х+15|=-4
х-5=3 или х-5=-3 3х-7=0 Ǿ
х=8 х=2 3х=7 Ответ: Ǿ
Ответ: 2;8 х =
Ответ:
1.4 Целесообразно уже с 6 класса научить учеников решать уравнения вида (ахb)(схd)=0, то есть когда произведение нескольких множителей равно нулю. При этом пользуемся правилом: «Произведение двух или более множителей равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю». О том, что другие множители при этом не теряют смысла, еще не упоминаю, так как считаю, что это еще нецелесообразно.
Пример: у(15у-24)(3у-0,9)=0
у=0 или 15у-24=0 или 3у-0,9=0
15у=24 3у=0,9
у=24:15 у=0,9:3
у=1,6 у=0,3
Ответ: 0; 1,6; 0,3.
1.5 В конце 6 класса встречаются задачи, решаемые с помощью уравнения, когда условие задачи удобно оформить в виде таблицы. Покажем это на примере следующей задачи: «В одной корзине было в 3 раза меньше яблок, чем в другой. Когда в первую корзину добавили еще 25 яблок, а из второй взяли 15 яблок, то в обеих корзинах стало поровну. Сколько яблок было в каждой корзине первоначально?
|
1 корзина |
х (яблок) |
(х+25) (яблок) /поровну (3х-15) (яблок) |
Пусть х (яблок) было в корзине 1, тогда 3х (яблок) было во 2 корзине. Стало в 1 корзине (х+25) яблок, а во 2 корзине – (3х-15) яблок. Известно, что яблок стало в обеих корзинах поровну.
Составим уравнение: х+25=3х-15,
х-3х=-15-25,
-2х=-40,
х=-40:(-2),
х=20; 20 яблок было в 1 корзине,
20∙3=60 яблок было во 2 корзине.
Ответ: 20 яблок и 60 яблок.
Думается, что здесь, кстати, будет следующая задача: «Скажи мне, знаменитый Пифагор, сколько учеников посещают твою школу и слушают твои беседы?».
— Вот сколько, — отвечает Пифагор, — половина изучает математику, четверть – природу, седьмая часть проводит время в размышлении, и, кроме того, есть еще 3 женщины.
Сколько учеников у Пифагора?
Пусть х учеников у Пифагора, тогда (1/2)х учеников изучает математику, (1/4)х учеников изучает природу, (1/7)х учеников проводит время в размышлении. Известно, что есть еще 3 женщины. Составим уравнение:
Ответ: 28 учеников.
1.6 При изучении темы «Пропорции» мы снова встречаемся с решениями уравнений. Пропорцией называется равенство отношений, которые можно записать а : в = с : d или .
Для пропорции справедливы следующие утверждения:
— Произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов, a ∙ d = b ∙ c.
— Крайние члены пропорции можно поменять местами, т.е. .
— Средние члены пропорции можно поменять местами, т.е. .
С помощью пропорций решают различные задачи. Например:
Из 2000 зерен пшеницы взошло 1800 зерен. Чему равен процент всхожести семян?
2000 зерен составляют 100%,
1800 зерен составляют х %.
Составляем и решим пропорцию: 2000:1800=100:х
2000∙х=1800∙100
х=1800∙100:2000
х=90; 90%- процент всхожести.
Ответ: 90%.
I I Уравнения в курсе алгебры
(7-9 класс)
Таким образом, к 7 классу у учащихся формируются навыки решения рассмотренных уравнений и задач.
2.1 В 7 классе вводится понятие «линейное уравнение с одной переменной». Им называется уравнение вида ах=b, где х – переменная, а и b – некоторые числа.
Исследуется вопрос о количестве корней уравнения. С учащимися в процессе обсуждения этого вопроса заполняется таблица.
Решение линейного уравнения с одной переменной:
|
х=в:а |
0х=b Ǿ |
0х=0 х – любое число |
Делаем вывод, что линейное уравнение с одной переменной может не иметь корней, иметь один корень или иметь бесконечное множество корней.
Показываем, что решение всех ранее рассмотренных уравнений сводится к решению линейного уравнения с одной переменной. Здесь же вводится понятие равносильных уравнений.
Для решения задач с помощью уравнений сопоставляются полученные результаты с условием задачи, отбрасываются посторонние корни, если таковые появились, ученики осмысленно подходят к решению задачи. Это видно на примере такой задачи: «Можно ли расположить 158 книг на трех полках так, чтобы на 1 полке было на 8 книг меньше, чем на 2, и на 5 книг больше, чем на 3».
1 полка — ?, на 8 книг меньше, на 5 книг больше
2 полка — ? книг. 158 книг
3 полка — ? книг.
Пусть х книг на 1 полке, тогда (х+8) книг на 2 полке и (х-5) книг на 3 полке. Известно, что всего 158 книг. Оформим эти условия в таблицу:
Составим уравнение:
х+х+8+х-5=158,
3х+3=158,
3х=155,
х=51,2/3.
По смыслу задачи х – натуральное число, а корень уравнения – дробное число. Значит, расставить книги таким образом невозможно.
Ответ: такая расстановка книг невозможна.
Учащиеся в своей работе используют алгоритм решения задач с помощью уравнения:
Обозначим неизвестную величину переменной;
Выразим через нее другие величины;
Найдем зависимость между ними и на основании этой зависимости составим уравнение;
Решим уравнение;
Найдем ответ на вопрос задачи;
Проверим правильность решения задачи;
Запишем ответ.
При изучении темы «Многочлены» рассматриваем следующие уравнения.
8-5х(х-7)=1-5х2, 2) 0,5(2у-1)-(0,5-0,2у)+1=0,
8-5х2+35х=1-5х2, у-0,5-0,5+0,2у+1=0,
-5х2+35х+5х2=1-8, 1,2у=0,
35х=-7. у=0
х=-0,2 Ответ: у=0.
Ответ: х=-0,2.
3) При решении этого уравнения обе его части домножим на Н.О. К. (9;6)=18. Оформляем решение.
Таким образом:
2(2х-10)-3(х+5)=36,
4х-2-3х-15=36,
х=36+17,
х=53.
Ответ: х=53.
2.2 Впервые решаем неполные квадратные уравнения, пока можно и не называть их так, а только показать способы решения их с помощью разложения на множители.
Приемы разложения на множители:
-вынесение общего множителя за скобки;
-способ группировки;
-использование формул сокращенного умножения.
Иногда добавляются искусственные приемы: представление одного из слагаемых в виде некоторой суммы.
Например, рассмотрим следующие уравнения:
х-10х2=0,
х(1-10х)=0,
х=0 или 1-10х=0
х=0,1
Ответ: 0; 0,1.
(х-5)2-4х2=0,
(х-5х-2х)(х-5+2х)=0,
(-х-5)(3х-5)=0,
-х-5=0 или 3х-5=0
х=-5 х=5/3
Ответ: -5; 5/3.
3) (6х-1)(6х+1)-4х(9х+2)=-1, 4) 81х2+4=0
36х2-1-36х2-8х=-1, 81х2=-4
-8х=0 Ǿ
х=0 Ответ: Ǿ
Ответ: 0.
Как видно, в рассмотренных уравнениях используются формулы сокращенного умножения. Обращаю внимание, что, кроме линейных уравнений, существуют квадратные и кубические уравнения, которые легко решаются при знании всех ранее изученных способов решения уравнений.
Например, решим уравнение:
х3-х=0, 2) 5х4-20х2=0
х(х2-1)=0, 5х2(х2-4)=0
х(х-1)(х+1)=0 5х2(х-2)(х+2)=0
х=0 или х-1=0 или х+1=0 х2=0 или х-2=0 или х+2=0
х=1 х=-1 х=0 х=2 х=-2
Ответ: 0; 1 Ответ: 0; 2.
3) х3-2х2-х+2=0 4) 2а3+3а2=2а+3
(х3-2х2)-(х-2)=0 а2(2а+3)-(2а+3)=0
х2(х-2)-(х-2)=0 (2а+3)(а2-1)=0
(х-2)( х2-1)=0 (2а+3)(а-1)(а+1)=0
(х-2)(х-1)(х+1)=0 2а+3=0 или а-1=0 или а+1=0
х-2=0 или х-1=0 или х+1=0 а=-1,5 а=1 а=-1
х=2 х=1 х=-1 Ответ: -1,5; 1.
Ответ: 2; 1.
2.3 Вслед за линейными уравнениями с одной переменной рассматривается линейное уравнение с двумя переменными.
Линейным уравнением с 2 переменными называется уравнение вида ах+bу=с, где а, b, с – некоторые числа, х и у – переменные.
Решением уравнения с 2 переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство. Показываю, что с помощью свойств уравнений можно решить такое уравнение, выразив одну переменную через другую. При этом можно найти бесконечное множество решений такого уравнения. Рассмотрим уравнение:
5у-2х=1,
5у=1+2х,
у=0,2+0,4х
если х=10, то у=0,2+0,4∙10=4,2
если х=5, то у=0,2+0,4∙5=2,2
Ответ: (10; 4,2), (5;2,2),…-решения уравнения.
Обычно при изучении этой темы предлагаются задачи на:
определение, является ли данная пара чисел решением уравнения;
составление линейного уравнения, если известно какое-нибудь решение этого уравнения;
нахождение определенного количества решений.
Впервые в 7 классе мы встречаемся с графиком линейного уравнения с 2 переменными. Им называется множество всех точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения. Так как ученики к этому моменту уже знакомы с линейной функцией и ее графиком, то достаточно в таком уравнении выразить переменную «у» через переменную «х» и показать равносильность исходного и полученного уравнений. Далее делаем вывод, что графиком линейного уравнения с переменными х и у; в котором коэффициент при «у» не равен нулю, является прямая.
Рассматриваем частные случаи уравнения ах+bу=с, делаем выводы:
Если а=0, b≠0, то графиком является прямая у=с/b, параллельная оси Ох.
2) Если b=0, а≠0, то графиком является прямая х=с/а, параллельная оси Оу.
3) Если а=0, b=0 и с=0, то любая пара чисел (х,у) является решением уравнения, а графиком является вся координатная плоскость.
Если а=0, b=0, а с≠0, то уравнение не имеет решений и его график не содержит ни одной точки.
Здесь уместно вспомнить все о графике линейной функции и применить все эти знания при работе с графиком уравнения. Считаю, что здесь надо обратить внимание на различие графика функции уравнения, так как в дальнейшем ученики путают эти понятия и делают ошибки при работе с ними.
2.4 После этого можно создать проблемную ситуацию, решение которой приведет к системе двух линейных уравнений с двумя переменными.
Задача: Сумма двух чисел равна 60, а разность равна 10. Найти эти числа. Пусть х – первое число, у – второе число. Известно, что их сумма равна 60, то есть х+у=60, а разность равна 10, то есть х-у=10. Для решения задачи найдем такие числа х и у, которые удовлетворяют каждому уравнению одновременно, то есть надо найти общее решение этих уравнений. Говорят, что надо решить систему уравнений:
х+у=60,
х-у=10
Пара значений (35,25) служит решением каждого уравнения, так как 35+25=60 и 35-25=10 – верные равенства.
Эта пара чисел является одновременно решением системы, а одновременно – и решением задачи.
Решение системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство.
Решить систему уравнений – это значит найти все ее решения или доказать, что решений нет.
Показываю, что существуют различные способы решения системы:
Графический способ – с использованием графиков уравнений.
При этом записываем с учениками алгоритм графического способа решения системы:
выразить в каждом уравнении системы переменную «у» через переменную «х»;
в одной системе координат построить графики уравнений системы;
найти точку пересечения графиков и в ответе записать ее координаты.
Из курса геометрии вспоминаем различные случаи взаимного расположения двух прямых на плоскости: 2 прямые могут
а) совпадать, то есть иметь бесконечное множество общих точек,
б) пересекаться, то есть иметь одну общую точку,
в) быть параллельными, то есть не иметь общих точек вообще.
Исходя из этого делаем с учениками вывод о том, что система 2х линейных уравнений с 2 переменными может иметь единственное решение, не иметь решений, иметь бесконечное множество решений. Уместно полученные результаты оформить в таблицу.
Решение системы линейных уравнений с 2 переменными
у=k1х+b1,
у=k2х+b2,
|
k1≠ k2 |
k1= k2, b1≠ b2 |
k1= k2, b1= b2 |
|
Система имеет одно решение |
Система не имеет решений |
Система имеет бесконечное множество решений |
Напоминаю, что k есть угловой коэффициент прямой, и от него зависит положение прямой в координатной плоскости.
Кроме графического способа решения систем существуют алгебраические. К ним относится способ подстановки:
2х+у=12,
7х-2у=31
Выразим из 1 уравнения «у» через «х»:
у=12-2х
подставим полученное значение «у» во 2 уравнение системы:
7х-2(12-2х)=31
решим полученное уравнение с 1 переменной:
7х-24+4х=31
11х=31+24
11х=55
х=5
подставим в равенстве у=12-2х вместо х число 6, получим:
у=12-2∙5
у=2
пара (5;2) есть решение данной системы.
Ответ: (5;2)
Записываем алгоритм решения систем способом подстановки:
выразить из какого-нибудь уравнения системы одну переменную через другую;
подставить полученное выражение вместо этой переменной во второе уравнение системы;
решить полученное уравнение с 1 переменной;
найти соответствующее значение второй переменной;
записать в ответе полученную пару чисел, учитывая, что на первом месте ставится переменная, стоящая в алфавите впереди другой.
Например, (а;b), (m;n), (р;q), (х;у) и т.д.
3. Следующий способ решения систем – способ сложения.
При решении системы этим способом мы переходим от данной системы к равносильной ей системе. Рассмотрим систему(1):
х-6у=17,
5х+6у=13;
Замечаем, что в данной системе коэффициенты –6 и 6 при у являются противоположными числами. Сложим почленно левые и правые части уравнений и получим уравнение с 1 переменной: 6х=30. Заменив на это уравнение одно из уравнений системы, (обычно это бывает то уравнение, которое имеет большие коэффициенты), получим систему (2):
х-6у=17,
6х=30;
Эта система равносильна данной.
Решим эту систему следующим х способом:
х-6у=17, 5-6у=17, -6у=12, у=-2,
х=5 х=5 х=5 х=5
Пара (5;-2) — решение 2 системы, а значит, и данной системы.
Ответ: (5;-2).
Рассмотрим еще системы:
2) 3х+2у=5,
-5х+2у=45;
Замечаем, что в этой системе коэффициенты при «у» равны. Вычтем почленно из 1 уравнения 2, получим: 8х=-40.
Заменим 2 уравнение системы на полученное, получим новую систему:
3х+2у=5, которая равносильна данной. Решим ее:
8х=-40
3х+2у=5, -15+2у=5, 2у=20, у=10,
8х=-5; х=-5; х=-5; х=-5.
Ответ: (5;-10).
5х+11у=8, ∙(-2) -10х-22у=-16,
10х-7у=74 10х-7у=74
-29у=58
5х+11у=8, <=> 5х-22=8, <=> 5х=30, <=> х=6,
-29у=58; у=-2; у=-2; у=-2.
Ответ: (6;-2).
7а+4b=90, ∙3 <=> + 21а+12b=270,
5а-6b=20; ∙2 10а-12b=40;
31а=310
5а-6b=20, <=> 5а-6b=20, <=> -6b=-30, <=> b=5,
31а=310; а=10; а=10; а=10.
Ответ: (10;5).
Записываем с учащимися алгоритм решения системы двух линейных уравнений способом сложения:
умножить почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами;
сложить почленно левые и правые части полученных уравнений системы;
решить полученное уравнение с 1 переменной;
найти соответствующее значение второй переменной;
записать в ответе полученную пару чисел.
При решении задач с помощью систем уравнений поступаем таким образом: обозначаем некоторые неизвестные числа буквами и, используя условие задачи, составляем систему уравнений, решаем эту систему, истолковываем результат в соответствии с условием задачи.
1.5 В курсе алгебры 8 класса мы встречаемся с квадратными уравнениями.
Квадратным называется уравнение вида ах2+bх+с=0, где х – переменная, а, b, с – некоторые числа (а≠0).
Если в данном уравнении хотя бы один из коэффициентов в или с равен нулю, то такое уравнение называется неполным квадратным уравнением. Исследуем все возможные случаи для неполного квадратного уравнения и выводы оформляем в таблицу. Решение неполного квадратного уравнения:
|
х1,2= а и с разного знака |
х=0 или ах+b=0 |
х =0 |
Рассматриваем на конкретных примерах все 3 случая:
6х2-24=0, 2) 3х2-16х=0, 3) –8х2=0,
6х2=24, х(3х-16)=0, х2=0,
х2=4, х1=0 или 3х-16=0 х=0
х1,2=2 х2=
Ответ: 2 Ответ: 0; Ответ: 0
После решения неполных квадратных уравнений показываю учащимся, как решаются квадратные уравнения выделением квадратного трехчлена, представленного в виде квадрата двучлена. Для успешного усвоения этой темы необходимо повторить с учащимися формулы сокращенного умножения. Рассмотрим следующие уравнения:
х2+8х+16=0, 2) х2+8х+12=0,
(х+4)2=0, (х2+8х+16)-16+12=0,
х+4=0, (х+4)2-4=0;
х=-4. 1 способ: ((х+4)-2)((х+4)+2)=0
Ответ: -4. (х+2)(х+6)=0
х+2=0 или х+6=0
х1=-2 или х2=-6
2 способ: (х+4)2=4
х+2=±2
1) х+4=2 или 2) х+4=-2
х=-2 х=-6
Ответ: -2;-6.
3) х2-6х+12=0, 4) х2-10х+19=0,
(х2-6х+9)-9+12=0, (х2-10х+25)-25+19=0
(х-3)2+3=0, (х-5)2=6,
х-5=±,
х=5,
Ответ: х=5- или х=5+
Ответ: 5.
Далее показываю на конкретных примерах, что решать квадратное уравнение выделением квадрата двучлена не всегда бывает рационально, а поэтому появляется необходимость найти формулу, дающую возможность решить любое уравнение вида ах2+bх+с=0, где а0. Поделим обе части уравнения на а, получим: , выделим квадрат двучлена:
; , т.е.
или .
Выражение b2-4ас договорились называть дискриминантом и обозначать буквой D, то есть D=b2-4ас. Так как D оказался под корнем четной кратности, то от его знака зависит существование корней исходного квадратного уравнения.
Рассмотрим все возможные случаи и оформим полученные результаты в таблицу. Решение квадратного уравнения ах2+bх+с=0:
Таким образом, делаем вывод, что квадратное уравнение может иметь не более двух корней.
Считаю необходимым доказать формулу корней квадратного уравнения для случая, когда b – четное число и когда а=1, то есть уравнение является приведенным.
Пусть b – четное число, то есть b=2к, тогда уравнение примет вид ах2+2кх+с=0, тогда D=4к2-4ас=4(к2-ас).
Если D0, то х1,2=.
В этом случае к2-ас=D1, поэтому проще вычислять не D, а D1, получаем следующие формулы:
D1=к2-ас; , если D1>0 и х =, если D1=0.
Пусть а=1, то есть получим приведенное уравнение, х2+рх+q=0.
Тогда D=р2-4q, и х1,2= , если D0 и х =, если D=0
Многие задачи в физике, технике, математике решаются с помощью квадратных уравнений. Вновь повторяем, что к решению задачи надо подходить осмысленно и сопоставлять ответ с условием задачи. Еще раз обращаю внимание на рациональное решение квадратных уравнений. Часто многие квадратные уравнения можно решить устно, применяя теорему Виета и следствия из нее.
Теорема Виета: 1. Если квадратное уравнение ах2+bх+с=0 имеет корни, то их сумма х1+х2=-b/а, а произведение х1х2=с/а, и наоборот.
2. Если приведенное квадратное уравнение х2+рх+q=0 имеет корни, то х1+х2=-р, х1х2=q, и наоборот.
Следствия из теоремы Виета:
10. Если а+b+с=0, то х1=1, х2=с/а.
Доказательство:
b= -(а+с); -b=а+с;
D=b2-4ас=(-(а+с))2-4ас=а2+2ас+с2-4ас=а2-2ас+с2=(а-с)20;
х1,2= (-bD)/2а=(а+с(а-с))/2а;
х1=(а+с+а-с)/2а=1;
х2=(а+с-а+с)/2а=с/а.
Например: 2х2+51х-53=0;
2+51+(-53)=0;
х1=1; х2=-53/2;
20. Если а-b+с=0, то х1=1, х2=-с/а.
Доказательство аналогично.
При изучении теоремы Виета в 8 классе и при повторении в 11 классе ученики с удовольствием слушают знаменитое стихотворение:
По праву достойна в стихах быть воспета
О свойствах корней теорема Виета.
Что лучше, скажи, постоянства такого:
Умножишь ты корни – и дробь уж готова?
В числителе с, в знаменателе а,
И сумма корней тоже дроби равна.
Хоть с минусом дробь, что за беда!
В числителе в, в знаменателе а.
Однако, этот способ становится уже практически неприменимым, если уравнение имеет дробные корни: не так просто подобрать два числа, сумма которых равна -, а произведение . Для преодоления возникающей трудности используется известный прием, позволяющий свести задачу к нахождению целых корней вспомогательного уравнения.
Используемый прием состоит в следующем. Пусть требуется решить квадратное уравнение ах2+вх+с=0. Умножив обе части данного уравнения на а, перепишем его в виде (ах)2+в(ах)+ас=0, ах=у. В полученном уравнении
у2+ву+ас=0, у1+у2=-в, т.е. у1+у2=(х1+х2)а, а у1∙у2=ас, т.е. у1у2=(х1х2)а2. Теперь видно, что для решения исходного уравнения ах2+вх+с=0 достаточно решить вспомогательное квадратное уравнение у2+ву+ас=0 и его корни разделить на а.
Для практического применения этого приема сформулируем его как инструкцию: «перебросить» коэффициент в свободный член, найти корни нового уравнения и разделить их на а. Покажем это на конкретном примере:
1) 6х2+х-15=0,
Запишем вспомогательное уравнение у2+у-90=0.Это уравнение имеет корни у1=-10 и у2=9. Следовательно, исходное уравнение имеет корни х1= и х2=. Ответ: .
2) 12х2+13х+3=0,
у2+13у+36=0,
у1=-4 и у2=-9
х1= и х2=.
Ответ:
2.6 В 8 классе мы впервые встречаемся с дробно-рациональными уравнениями. Ими называются уравнения, левая и правая части которых являются рациональными выражениями.
Рациональное уравнение, в котором левая и правая части являются целыми выражениями, называется целым рациональным уравнением.
Рациональное уравнение, в котором левая и правая части являются дробными выражениями, называется дробно-рациональным уравнением.
Объясняю решение таких уравнений на следующем примере:
ОДЗ: (у+2)(у2-2у+4)≠0
у≠-2
3у2-6у+12-4у-8=2, 3у2-10у+2=0,
D1=25-3∙2=19
Ответ:
Затем записываем алгоритм решения дробно-рациональных уравнений:
найди общий знаменатель всех дробей;
заменить данное уравнение целым, умножая обе его части на общий знаменатель.
3. решить полученное целое уравнение.
4. исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.
Так же, как и в предыдущих классах применяем уравнения при решении задач, тождественных преобразований выражений, еще раз показываем, что уравнения есть средство для решения более сложных задач.
Начало 9 класса посвящено изучению квадратичной функции. При рассмотрении квадратного трехчлена вспоминаем выделение квадрата двучлена, а затем учимся разлагать квадратный трехчлен на множители по формуле ax2+bx+c=a(x-x1) (x-x2), где x1 и x2 – корни данного квадратного трехчлена. При этом пользуемся решением квадратного уравнения. Полученные знания затем используем при решении неравенств методом интервалов. С помощью квадратного уравнения учимся решать уравнения 3,4 и т.д. степеней. При этом используем метод введения новой переменной:
(x2-5x+4) (x2-5x+6)=120,
Пусть x2-5x+4=y, тогда x2-5x+6=y+2
Получим уравнение y(y+2)=120,
у2+2у-120=0. По Т.Виета y1=10, у2=12
Делаем обратную замену:
Если у=10, то х2-5х+4=10, х2-5х-6=0, по теореме Виета х1=6. х2=-1
Если у=-12, то х2-5х+4=-12, х2-5х+16=0, но это уравнение корней не имеет.
Ответ: х=6;х=-1
2.7 Биквадратные уравнения – это уравнения вида ax4+bx2+c=0 (а≠0), которое является квадратным относительно х2. Решаем это уравнение, делая замену.
Например, 5х4-8х2+3=0.
Пусть х2=у, причем у0, тогда получим уравнение 5у2-8у+3=0. По следствию из теоремы Виета получаем у1=1, у2=3/5. Делаем обратную замену: 1) х2=1 2) х2=0,6
х1,2=1 х3,4=
Ответ: 1,
Расширяется понятие системы уравнений с двумя неизвестными, так как в системе присутствуют уравнения не только линейные. Однако, способы решения этих систем те же: а) графический; б) подстановка; в) сложение.
На новый виток по уровню сложности “поднимаются” задания, “растут” и ученики, расширившие за 5 лет свои познания об уравнениях, системах уравнений, способах их решений и применении своих знаний при решении других задач, в том числе, и на других предметах.
I I I Уравнения в курсе алгебры и начал анализа (10-11 класс).
3.1 В начале 10 класса мы встречаемся с тригонометрическими уравнениями .
Уравнения вида sinx=a, cosx=a, tgx=a, ctgx=a называются тригонометрическими уравнениями.
Решение этих уравнений в удобном виде позволяют записывать рассмотренные функции у=arcsinх, у=arccosх, у=arctgх, у=arcctgх. В результате решения тригонометрических уравнений выделяем общий и частный случаи, которые оформляем в таблицу.
При решении тригонометрических уравнений делаем следующие выводы, что проверка найденных решений необходима, если:
1) в процессе решения произошло расширение области определения уравнения в результате некоторых преобразований (освобождение от знаменателя, сокращение дроби, приведение подобных членов);
2) в процессе решения уравнения использовалось возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень;
3) при решении применялись тригонометрические тождества, левая и правая части которых имеют одинаковые области определения.
При решении уравнений используем следующие методы: 1) разложение на множители; 2) введение новых переменных.
В результате разложения на множители решение заданного уравнения сводится к решению совокупности уравнений. Это, в свою очередь, означает, что после решения всех уравнений совокупности найденные семейства (множества) решений следует объединить. Объединяя семейства решений, иногда добиваются более компактной записи ответа. Объединение решений всегда удобно выполнить с помощью единичной окружности, на которую наносят семейства решений совокупности уравнений.
|
уравнение |
в общем виде |
а=-1 |
а=0 |
а=1 |
|
sinx=a, а1 |
х=(-1)кarcsinа+k, kєN |
х=-/2+2n |
х=n |
х=/2+2n |
|
cosx=a, а1 |
х=arccosа+2n, nєN |
х=+2n |
х=/2+n |
х=2n |
|
tgx=a, |
х=arctgа+n, nєN |
х=-/4+n |
х=n |
х=/4+n |
|
ctgx=a |
х=arcctgа+n, nєN |
х=3/4+n |
х=/2+n |
х=/4+n |
При решении уравнений методом введения новых переменных следует помнить, что важную роль играет выбор функции, через которую выражаются остальные функции. Обращаю внимание, что при одном выборе такой функции получается иррациональное уравнение, а при другом рациональное. Показываю некоторые правила, облегчающие выбор подстановки: 1) если cosx входит в уравнение лишь в четных степенях, то, заменяя всюду cos2x на 1-sin2x, получим рациональное уравнение относительно sinx. 2) если sinx входит в уравнение лишь в четных степенях, то, заменяя sin2x на 1- cos2x, получим рациональное уравнение относительно cosx .
— 2cos2x+5sinx=4.
После замены cos2x на 1-sin2х получим квадратное уравнение 2sin2x-5sinx+2=0. а это уравнение равносильно объединению уравнений:
<=>
Ответ:
Уделяю особое внимание однородным уравнениям.
Однородным тригонометрическим уравнением первой степени называется уравнение вида аsinx +bcosx =0.
Однородным тригонометрическим уравнением второй степени называется уравнение вида аsin2x +bsinx cosx +сcos2x =0.
Показываю, что такие уравнения решаются следующим образом:
1) показываем, что значения х, при которых cosx=0, не является решениями этих уравнений;
2) делим обе части уравнения на cosx≠0 в 1-ом случае и на cos2x≠0 во втором случае;
3) в результате получим такие рациональные уравнения:
аtgx +b=0 и аtg2x +btgx+с=0;
эти уравнения решаются заменой у=tgx.
Кроме того, полезно познакомить учащихся с подстановкой, позволяющей свести к рациональному любое уравнение вида R(cosx; sinx)=0.
Эта подстановка U= tgx/2.
Если x≠ +2n, где nєZ, то , .
Эта подстановка называется универсальной. Но после этой подстановки необходимо проверять, не являются ли числа вида х=+2n, где nєZ, решениями данного уравнения.
— sinx+7cosx=5. На примере этого уравнения показываю, что уравнения можно решать различными способами.
1 способ Решим его с помощью универсальной подстановки.
, решив это уравнение, находим
Теперь нужно решить объединение двух уравнений:
Проверка показывает, что значение х =π+2πm не удовлетворяет уравнению.
2способ Разделим обе части уравнения на , получим
Так как то существует такое значение α, что , где -вспомогательный угол. Теперь уравнение можно переписать следующим образом:
, откуда
Так как то окончательно получаем решение уравнения:
3 способ Используем формулы двойного угла:
sin2x=2sinx∙cosx, cos2x=cos2x-sin2x, а так же sin2x+cos2x=1.
Получим однородное уравнение: .
Делим обе части уравнения на 2cos2≠0. И решаем получившееся квадратное уравнение: И опять получаем объединение двух уравнений
Ответ: .
2.2 Имея в старших классах 6 часов в неделю, я включаю в учебный план тему «Функции и их графики». В разделе «Линейная функция» рассматриваются уравнения с модулем. При решении уравнений, содержащих переменную под знаком модуля, применяются чаще всего следующие методы:
-раскрытие модуля по определению;
-возведение обеих частей уравнения в квадрат;
-метод разбиения на промежутки.
По определению:
Решим несколько уравнений.
1. │2х-3│=х+1. Это уравнение равносильно объединению двух систем:
Ответ: х=4, х=2/3.
2. │2х-3│ =х-2. Применим для решения второй способ.
Ясно, что если х-2<0, то уравнение не имеет корней, так как │2х-3│≥0. В случае, когда х-2≥0, обе части уравнения неотрицательны и поэтому, возводя обе части в квадрат и освобождаясь таким образом от модуля, получим следующую систему: или А эта система решений не имеет. Ответ: корней нет.
3. │3-х│-│х+2│=5. В данном случае более предпочтительным является метод разбиения на промежутки.
Нанесем на числовую прямую значения х, при которых 3-х=0 и х+2=0, т. е. х=3 и х=-2. -2 3
Числовая прямая при этом разобьется на промежутки (-∞;-2), [-2;3], (3;∞). Решим уравнение на каждом из этих промежутков.
или
Решением первой системы является промежуток (-∞;-2), из второй системы х=-2, а третья система не имеет решения. Объединяя решения трех систем, получаем решение уравнения.
Ответ: (-∞;-2]
3.3 В 11 классе при рассмотрении темы “Показательная и логарифмическая функции” после знакомства учащихся со свойствами этих функций учу решать показательные и логарифмические уравнения.
При решении показательных уравнений удобно использовать два основных метода:
переход от уравнения аf(х)=аg(х) к уравнению f(х)=g(х).
Введение новых переменных. Иногда применяются искусственные приемы.
Например, решим уравнение:
1) <=>х2-2х=3х-6 <=> х2-5х+6=0
Ответ: 2;3 по теореме Виета х1=2, х2=3.
2) , , ,
-х=-2х+3,
х=3
Ответ: 3
По основному логарифмическому тождеству получим уравнение, равносильное данному:
Ответ:
51+2х+61+х=30+150х,
5∙52х +6∙6х=30+6х ∙25х,
5∙25х+6∙6х-6х∙25х-30=0, 5∙25х+6∙6х-6х∙25х-5∙6=0,
5(25х-6)+6х(6—25х)=0,
(25х-6)(5-6х)=0,
Ответ: 2log56, log65.
5). 4х+2х+1-24=0,
22х+2∙2х-24=0. Пусть у=2х, причем, у>0, получим уравнение:
у2+2у-24=0. По теореме Виета у1=-6, у2=4.
у1=-6 – посторонний корень, значит, у=4.
Делаем обратную замену
2х=4, отсюда х=2.
Ответ: 2.
6) 27х-2∙9-9=0,
(3х)3-2∙ (3х)2-9=0. Пусть у=3х, причем у>0, получим уравнение:
у3-у2-9=0.
Так как все его коэффициенты – целые числа, то целые корни этого уравнения являются делителями числа -9. Находим, что у=3, тогда у3-у2-9=(у-3)(у2+у+3)=0,
, у=3, делаем обратную замену 3х=3, т.е. х=1.
Ответ: х=1.
7). 6∙32х-13∙6х+6∙22х=0 6х=3х∙2х,
6∙32х-13∙2х∙3х+6∙22х=0, так как 6х≠0, то поделим обе части уравнения на 6х, получим:
Пусть (3/2)х=у, причем у>0, получим уравнение:
6у-13+6∙1/у=0 ∙у≠0,
6у2-13y+6=0, где у=3/2 и у=2/3.
Делаем обратную замену:
(3/2)х=2/3, 2) (3/2)х=3/2,
х=-1 х=1
Ответ: 1.
3.4 При решении логарифмических уравнений во многих случаях используем свойства логарифма произведения, частного, степени, корня. При этом необходимо помнить и об области определения логарифмической функции.
Рассматриваем с учениками уравнения вида logаf(x)=logаg(x) и уравнения, сводящиеся к этому виду. Такие уравнения удобно решать следующим образом:
Решить уравнение f(x)= g(x), являющееся следствием данного уравнения, и выполнить проверку полученных корней.
3 основных метода:
а) метод потенцирования, то есть переход от уравнения logаf(x)=logаg(x) к уравнению следствию f(x)= g(x);
б) метод введения новых переменных;
в) метод логарифмирования, то есть переход от уравнения f(x)=g(x) к уравнению logаf(x)=logаg(x).
Рассмотрим решение таких уравнений на примерах:
log3(7-2х)= log3(х2-3х-5)
,<=> то есть х1=-3.
Ответ: х=-3.
2) lg(х+4)+lg(2х+3)=lg(1-2х)
lg(х+4)(2х+3)=lg(1-2х)
Ответ: -1.
lg(х/10)= lgх –1, значит, получим уравнение: lg2х+lgх+1=, причем, lgх≠1, то есть х≠10.
Пусть у=lgх, получим у2+у+1=, у3+у2+у-у2-у-1=7, у3=8, у=2.
Делаем обратную замену: lgх=2, х=100.
Ответ: 100.
Обращаю внимание учеников, что встречаются логарифмические уравнения вида logа(х)f(x)=logа(х)g(x) и уравнения, сводящиеся к этому виду. При решении таких уравнений можно пользоваться теми же методами. Обращаю внимание, что к ОДЗ уравнения добавляются два условия: а(х)>0, а(х)≠1.
Тогда:
Рассмотрим уравнения:
logх+4(x2-1)=logх+4(5-х)
Ответ: х=2.
2)
ОДЗ: х>0, х≠10, х≠5
1-logх5+1- logх10=0,
2- logх50=0,
logх50=2,
х2=50, х1,2=5. Кроме того, при х=1 получаем верное равенство.
Ответ: х1=5, х2=1.
В школьном курсе математики иррациональные уравнения встречаются очень часто. Поэтому при подготовке к выпускным экзаменам обращаю внимание на этот вид уравнений.
Иррациональными называются уравнения, в которых переменная стоит под знаком корня или под знаком операции возведения в дробную степень. Основные методы их решения: 1) метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень; 2) метод введения новых переменных. Иногда применяются некоторые искусственные приемы. Обращаю внимание на то, что при решении могут появиться посторонние корни за счет того, что при возведении обеих частей данного уравнения в четную степень, мы получаем уравнение, которое не равносильно данному.
Рассмотрим решение этих уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень:
1 ОДЗ
1 способ: ;
;
8х2+16х-24=961-186х+9х2;
х2-202х+985=0;
D1=9216, х1,2=101964
х1=5, х2=197 – посторонний корень.
Ответ: х=5.
2 способ: подбором получаем, что х=5, далее замечаем, что функция у= возрастает, а функция у=6- убывает на их области определения, значит, если они имеют общую точку, то она – единственная, то есть других корней у исходного уравнения нет.
Ответ: х=5.
Покажем решения уравнений методом введения новых переменных на таких примерах:
х2+3-=1,5(х+4);
х2+3-6-1,5х-=0;
2х2-6-3х-2=0;
2х2-3х+2-2-8=0;
Пусть =у, причем, у≥0, тогда получим у2-2у-3=0. По теореме Виета: у1=-2, у2=4.
у=-2 – посторонний корень, то есть у=4.
Делаем обратную замену: =4, 2х2-3х+2=16,
Заменим его уравнением t2-3t-28=0, t1=-4, t2=7, тогда х1=-4/2=-2, х2=7/2=3,5.
Ответ: х=-2; х=3,5.
Системы показательных, логарифмических, иррациональных уравнений решаются с помощью рассмотренных ранее методов.
3.6 Так как на ЕГЭ часто встречаются задания с параметрами, то на спецкурсе я рассматриваю тему « Уравнения с параметрами».
Пусть дано равенство с переменными х и а: f(x)=0. Если ставится задача для каждого действительного значения а решить это уравнение относительно х, то уравнение f(х)=0 называется уравнением с переменой х и параметром а. Решить уравнение с параметром а – это значит для каждого значения а найти значение х, удовлетворяющее этому уравнению.
— Линейные уравнения и приводимые к ним.
(а2-9)х=а2+2а-3.
Уравнение имеет смысл при любых значениях параметра. Запишем уравнение в виде: (а-3)(а+3)х=(а+3)(а-1)
Если а=-3, то уравнение примет вид: 0∙х=0. Отсюда следует, что хR, т.е. решением уравнения является любое действительное число.
Если а≠-3, то уравнение примет вид : (а-3)х=а-1, т.е. х=.
Если а=3, то имеем 0∙х=2. Уравнение решения не имеет.
Если а≠3, то уравнение имеет корень х=.
Ответ: а=-3,хR; а=3, хØ; а≠-3;а≠3,х=
— Квадратные уравнения и приводимые к ним.
(а-5)х2+3ах-(а-5)=0
Если а=5 ,то имеем линейное уравнение 15х=0, т .е. х=0.
Если а≠5, то имеем квадратное уравнение, D=9а2+4(а-5)2>0 для любых а.
И тогда уравнение имеет корни:
Ответ: а=5,х=0; а≠5, х=
— Иррациональные уравнения.
Корень этого уравнения должен удовлетворять условиям: (1) х2+ах-2а≥0,
(2) х+1≥0.
Возводим в квадрат обе части уравнения: х2+ах-2а=(х+1)2. Как видно, любой корень этого уравнения удовлетворяет условию (1), так как (х+1)2≥0. Следовательно, с учетом условия (2) имеем: т.е. .
Если а=2, то 0∙х=5, т.е. хR. Если а≠2, то При каких же а выполнено? Решаем это неравенство: (3а-1)(а-2)≥0, а≠2,
т.е. (а-2)(а-⅓)≥0 + ⅓ – 2 + а
Следовательно, а≤-⅓ и а>2.
Ответ: а≤⅓ и а>2 х= ⅓<а≤2, хØ.
—Показательные уравнения.
ах+1=b3-х. По определению показательной функции а>0, b>0.
Если а=1, b=1, то хR. Если а=1, b≠1, то b3-х=1, значит х=3.
Если а≠1, b=1, то ах+1=1, значит х=-1.
Пусть а≠1 и b≠1. Тогда прологарифмируем данное равенство по основанию а:
х+1=(3-х)∙logab. т.е. (1+logab)x=3logab-1.
Если 1+logab=0, т.е. b=1/a (b≠1), то имеем 0∙х=-4, т.е. хØ.
Если 1+logab≠0, т.е. b≠1/a (b≠1), то х=
Ответ: хR при а=b=1; х=-1 при а≠1, b=1, а>0 х=3 при а=1, b≠1, b>0; х= при
— Логарифмические уравнения.
logax2+2loga(x+2)=1
ОДЗ: а>0, а≠1, х>-2, х≠0, т.е. х.
Преобразуем данное уравнение: logax2+loga(x+2)2=logaa. Отсюда х2(х+2)2=a, т.е. │х│(х+2)=.
Если -2<х<0, то уравнение примет вид –х(х+2)= т.е. х2+2х+=0. Отсюда
при , т.е. 0<а<1. Оба корня лежат в промежутке (-2;0).
Если х>0, то уравнение принимает вид х(х+2)=, т.е. х2+2х-=0. Отсюда
. Корень . Корень при условии, что а>0.
Ответ: при 0<а<1 ;
при а>1.
— Тригонометрические уравнения.
tg│x-2│=a
ОДЗ: cos│x-2│≠0. т.е. │x-2│≠ т.е.
Решаем исходное уравнение: │х-2│=arctga+πn, n€Z.
Так как │х-2│>0, то arctga+πn≥0.
Если а≥0, то n=0,1,2,3,… Если а<0, то n=1,2,3,4,…
Из │х-2│=arctga+πn следует, что х=2±(arctga+πn). Найденное решение входит в ОДЗ.
Ответ: х=2±(arctga+πn). n=0,1,2,3,… при a≥0;
х=2±(arctga+πn). n=1,2,3,… при a≥0.
I I I ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В данной работе были рассмотрены различные виды уравнений из школьного курса математики. Из всего вышесказанного можно сделать вывод, что основными общими методами, используемыми при решении уравнений любого вида являются следующие:
а) замена уравнения h(f(x))=h(g(x)) уравнением f(x)=g(x).
Данный метод применяется:
при решении показательных уравнений, когда переходим от уравнения аf(x)= аg(x) (а>0, а≠1) к уравнению f(x)=g(x).
при решении иррациональных уравнений, когда переходили от уравнения
к уравнению f(x)=g(x).
при решении логарифмических уравнений, когда переходили от уравнения logaf(x)= logag(x) к уравнению f(x)=g(x).
Этот метод можно применять только в том случае, когда у=h(x) – монотонная функция, которая каждое свое значение принимает по одному разу.
Если у=h(x) – немонотонная функция, то указанный метод применять нельзя, поскольку возможна потеря корней.
б) метод разложения на множители:
Суть этого метода заключается в следующем: уравнение f(x)∙g(x)∙h(x)=0 можно заменить совокупностью уравнений:
f(x)=0, g(x)=0, h(x)=0.
Решив уравнение этой совокупности, нужно взять те их корни, которые принадлежат области определения исходного уравнения, а остальные отбросить как посторонние.
в) метод введения новой переменной:
Суть метода проста: если уравнение f(x)=0 удалось преобразовать к виду p(g(x))=0, то нужно ввести новую переменную u=g(x), решить уравнение p(u)=0, а затем решить совокупность уравнений:
g(x)=u1; g(x)=u2;… g(x)=un, где u1, u2,… un – корни уравнения p(u)=0.
Умение удачно ввести новую переменную приходит с опытом. Удачный выбор новой переменной делает структуру уравнения более прозрачной. Новая переменная иногда очевидна, иногда несколько завуалирована, но “ощущается”, а иногда проявляется лишь в процессе преобразований. Следует помнить, что, решая уравнение, не нужно торопиться начинать преобразования, сначала надо подумать, нельзя ли записать уравнение проще, введя новую переменную. Если же ввели новую переменную, то следует решить полученное уравнение относительно новой переменной до конца, то есть до проверки корней (если это необходимо), и только потом возвратиться к исходной переменной.
г) функционально-графический метод:
Идея графического метода решения уравнения f(x)=g(x) проста и понятна: нужно построить графики функций у= f(x), у=g(x) и найти точки их пересечения – корнями уравнения служат абсциссы этих точек. Этот метод позволяет определить число корней уравнения, угадать значение корня, найти приближенные, а иногда и точные значения корней. В некоторых случаях построение графиков функций можно заменить опорой на какие-либо свойства функции. Если, например, одна из функций у=f(x), у=g(x) возрастает, а другая убывает, то уравнение f(x)=g(x) либо не имеет корней, либо имеет один корень.
В результате изучения курса математики учащиеся должны:
— понимать, что уравнения – это математический аппарат решения разнообразных задач из математики, смежных областей знаний, практики;
— правильно употреблять термины «уравнение», «система», «корень уравнения», «решение системы», понимать их в тексте, в речи учителя, понимать формулировку задачи «решить уравнение, систему»;
— решать линейные, квадратные уравнения и простейшие рациональные уравнения, сводящиеся к ним, системы уравнений с двумя переменными;
— решать текстовые задачи с помощью составления уравнений.
IV СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов и др. Математика/Учебник для 5 кл. общеобразовательных учреждений, 6-е издание. М.: Мнемозина, 1998.
Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов и др. Математика/Учебник для 6 кл. общеобразовательных учреждений, 5-е издание. М.: Мнемозина, 1997.
А.Г. Мордкович. Алгебра и начала анализа/Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений, 2-е издание. М.: Мнемозина, 2001.
Алгебра и начала анализа/Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений, 8-е издание. Под редакцией А.Н. Колмогорова М.: Просвещение, 1998.
Алгебра/Учебник для 7 кл. средней школы. Под редакцией С.А. Теляковского. М.: Просвещение, 1989.
Алгебра/Учебник для 8 кл. средней школы. Под редакцией С.А. Теляковского. М.: Просвещение, 1994.
Алгебра/Учебник для 9 кл. средней школы. Под редакцией С.А. Теляковского. М.: Просвещение, 1997.
Программы общеобразовательных учреждений/Математика. М.: Просвещение, 1994.
Г.П. Бурдина. Размотай математический клубочек. // Математика в школе. 1992. № 2-3. Стр. 28.
М.Н. Зенина. Эта разноликая теорема Виета. // Математика в школе. 1992. № 2-3. Стр. 29.
В.Н. Литвиненко, А.Г. Мордкович / Практикум по элементарной математике. Москва: Просвещение, 1991.
Д.Т.Письменный / Готовимся к экзамену по математике. Москва: Айрис,1996.
V ПРИЛОЖЕНИЕ № 1
ТЕСТ К ЗАЧЕТУ ПО ТЕМЕ «ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА».
1.Решить уравнение: .
а) –2 б) 3 в) 6 г) нет верного ответа
2.Решить уравнение:
а) 6 б) 1 в) –1 г)-6
3.Решить уравнение: .
а)1,5 б)-3 в)-3/4 г)-8/9
4.Решить уравнение:
а)1 б)-1 в)3 г)
5.При каких значениях х значения выражений и х+1 равны.
а)-2 б)2 в)1 г) нет верного ответа
6.При каких значениях х значения выражений х+2 и равны.
а) 3 б)-3 в)-1 г)1
7.Найдите наибольший корень уравнения:
а)-5 б)5 в)4 г)-4
8.Найдите наименьший корень уравнения:
а)6 б)-6 в)3 г)-3
9.Решите неравенство:
а)(-∞;0) б)(1;∞ ) в)(-∞ ;0| г) [0;1]
10Решите неравенство:
а)(-3;3) б)(3;∞) в)(-∞;-3) (3;∞) г) нет верного ответа
11.Решите уравнение: 3 2х+1 +3х-4=0
а)-1 б)1 в)0 г)1/3
12.Решите уравнение: -8 3 х-1 – 9х=0
а)-1 б)1 в) 3/2 г) нет верного ответа
ПРИЛОЖЕНИЕ № 2
Презентация по теме «Уравнения в курсе средней школы».
ПРИЛОЖЕНИЕ № 3 Самостоятельная работа «Решение простейших тригонометрических уравнений»
1 вариант 3 вариант
1. sin3x= 1. sin4x=
2. sin=1 2. sin
3. cosx= 3. cosx=-1
4. cos2x=- 4. cos2x=1
5. cos=1 5. cos
6. cos=0 6. cos
7. tg4x=-1 7. tg3x=-
8. tg 8. tg=0
9. tg 9. tg
2 вариант 4 вариант
1. sin4x= 1. sin3x=-1
2. sin=1 2. sin=1
3. cosx= 3. cosx=
4. cos3x= 4. cos3x=0
5. cos=1 5. cos=-1
6. cos=0 6. cos
7. tg2x=-1 7. tg2x=-
8. tg 8. tg
9. tg 9. tg
Ответы (проверяются с помощью перфокарты).
1) 19)
2) 20)
3) 21)
4) 22)
5) 23)
6) 24)
7) 25)
26)
9) 27)
10) 28)
11) 29)
12) 30)
13) πк 31)
14) 32)
15) 33)
16) 34)
17) 35)
18) 36) , где к
Решение простых линейных уравнений
О чем эта статья:
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Понятие уравнения
Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.
Например, возьмем выражение 2 + 4 = 6. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 6 = 6.
Уравнением можно назвать выражение 2 + x = 6, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.
Корень уравнения — то самое число, которое при подстановке на место неизвестной уравнивает выражения справа и слева.
Решить уравнение значит найти все возможные корни или убедиться, что их нет.
Решить уравнение с двумя, тремя и более переменными — это два, три и более значения переменных, которые обращают данное выражение в верное числовое равенство.
Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.
Какие бывают виды уравнений
Уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные.
Особенность преобразований алгебраических уравнений в том, что в левой части должен остаться многочлен от неизвестных, а в правой — нуль.
| Линейное уравнение выглядит так | ах + b = 0, где a и b — действительные числа.
Что поможет в решении:
|
|---|---|
| Квадратное уравнение выглядит так: | ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0. |
Числовой коэффициент — число, которое стоит при неизвестной переменной.
Кроме линейных и квадратных есть и другие виды уравнений, с которыми мы познакомимся в следующий раз:
Онлайн-курсы по математике за 7 класс помогут закрепить новые знания на практике с талантливым преподавателем.
Как решать простые уравнения
Чтобы научиться решать простые линейные уравнения, нужно запомнить формулу и два основных правила.
1. Правило переноса. При переносе из одной части в другую, член уравнения меняет свой знак на противоположный.
Для примера рассмотрим простейшее уравнение: x+3=5
Начнем с того, что в каждом уравнении есть левая и правая часть.
Перенесем 3 из левой части в правую и меняем знак на противоположный.
Можно проверить: 2 + 3 = 5. Все верно. Корень равен 2.
Решим еще один пример: 6x = 5x + 10.
Перенесем 5x из правой части в левую. Знак меняем на противоположный, то есть на минус.
Приведем подобные и завершим решение.
2. Правило деления. В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число. Это может ускорить процесс решения. Главное — быть внимательным, чтобы не допустить глупых ошибок.
Применим правило при решении примера: 4x=8.
При неизвестной х стоит числовой коэффициент — 4. Их объединяет действие — умножение.
Чтобы решить уравнение, нужно сделать так, чтобы при неизвестной x стояла единица.
Разделим каждую часть на 4. Как это выглядит:
Теперь сократим дроби, которые у нас получились и завершим решение линейного уравнения:
Рассмотрим пример, когда неизвестная переменная стоит со знаком минус: −4x = 12
-
Разделим обе части на −4, чтобы коэффициент при неизвестной стал равен единице.
−4x = 12 | : (−4)
x = −3
Если знак минус стоит перед скобками, и по ходу вычислений его убрали — важно не забыть поменять знаки внутри скобок на противоположные. Этот простой факт позволит не допустить обидные ошибки, особенно в старших классах.
Напомним, что не у каждого линейного уравнения есть решение — иногда корней просто нет. Изредка среди корней может оказаться ноль — ничего страшного, это не значит, что ход решения оказался неправильным. Ноль — такое же число, как и остальные.
Способов решения линейных уравнений немного, нужно запомнить только один алгоритм, который будет эффективен для любой задачки.
| Алгоритм решения простого линейного уравнения |
|---|
|
Чтобы быстрее запомнить ход решения и формулу линейного уравнения, скачайте или распечатайте алгоритм — храните его в телефоне, учебнике или на рабочем столе.
Примеры линейных уравнений
Теперь мы знаем, как решать линейные уравнения. Осталось попрактиковаться на задачках, чтобы чувствовать себя увереннее на контрольных. Давайте решать вместе!
Пример 1. Как правильно решить уравнение: 6х + 1 = 19.
-
Перенести 1 из левой части в правую со знаком минус.
Разделить обе части на множитель, стоящий перед переменной х, то есть на 6.
Пример 2. Как решить уравнение: 5(х − 3) + 2 = 3 (х − 4) + 2х − 1.
5х − 15 + 2 = 3х − 12 + 2х − 1
Сгруппировать в левой части члены с неизвестными, а в правой — свободные члены. Не забываем при переносе из одной части уравнения в другую поменять знаки на противоположные у переносимых членов.
5х − 3х − 2х = −12 − 1 + 15 − 2
Приведем подобные члены.
Ответ: х — любое число.
Пример 3. Решить: 4х = 1/8.
-
Разделим обе части уравнения на множитель стоящий перед переменной х, то есть на 4.
Пример 4. Решить: 4(х + 2) = 6 − 7х.
- 4х + 8 = 6 − 7х
- 4х + 7х = 6 − 8
- 11х = −2
- х = −2 : 11
- х = −2/11
Ответ: −2/11 или −(0,18). О десятичных дробях можно почитать в другой нашей статье.
Пример 5. Решить:
- 3(3х — 4) = 4 · 7х + 24
- 9х — 12 = 28х + 24
- 9х — 28х = 24 + 12
- -19х = 36
- х = 36 : (-19)
- х = — 36/19
Пример 6. Как решить линейное уравнение: х + 7 = х + 4.
5х — 15 + 2 = 3х — 2 + 2х — 1
Сгруппировать в левой части неизвестные члены, в правой — свободные члены:
Приведем подобные члены.
Ответ: нет решений.
Пример 7. Решить: 2(х + 3) = 5 − 7х.
Решение задач с помощью уравнений
Тема урока: § 6. Решение задач с помощью уравнений. Приведены все необходимые и достаточные сведения для решения текстовых задач с помощью составления уравнений.
Введение
В школьной математике есть целый кладезь текстовых задач, которые решаются универсальным методом построения уравнения (модели) исходя из условия.
Сам факт того, что огромное количество самых разнообразных задач поддаются решению с помощью составления линейного уравнения, говорит нам, что метод решений является действительно универсальным.
Обычно условия задач удается перевести на математический язык. Полученное уравнение — это следствие перевода нашего условия с русского языка на язык алгебры. Зачастую фактической стороной повествования задачи является описание реальной ситуации, какого либо процесса, события.
Чтобы получить ответ — уравнение нужно решить, полученный корень уравнения будет являться решением, разумеется необходимо еще проверить, не является ли результат противоречивым относительно условия.
Алгоритм решения текстовых задач с помощью уравнений
Для решения задачи с помощью уравнения делают следующие действия:
- Обозначают некоторое неизвестное буквой и, пользуясь условием, составляют уравнение.
- Решают уравнение.
- Истолковывают результат.
Примеры решений
Задача 1.
В мешке было в 3 раза меньше монет, чем в сундуке. После того как из мешка переложили 24 монеты, в сундуке их стало в 7 раз больше, чем в мешке. Сколько было монет в мешке и сколько в сундуке?
Пусть $x$ — количество монет в мешке, а значит в сундуке: $3x$ монет. После того, как из мешка переложили $24$ монеты, в сундуке стало: $3x+24$, а в мешке $x-24$. И если в сундуке их стало в $7$ раз больше чем в мешке, то имеем: $3x+24=7(x-24)$.
Ну вот мы и составили уравнение (математическую модель), осталось решить уравнение относительно $x$ и записать ответ.
Решим полученное уравнение: $3x+24=7(x-24)$. Легко увидеть, что уравнение является линейным (узнать как решаются линейные уравнения можно тут.)
Раскроем скобки в правой части уравнения: $3x+24=7x-7cdot 24$. Перенесём все слагаемые содержащие переменную в правую часть, а всё что не содержит $x$ в левую, получим: $24+7cdot 24=7x-3x$. После упрощения получили $192=4x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при неизвестном, т.е на $4$, тогда получим $x=48$.
Осталось истолковать ответ.
За переменную $x$ мы обозначали количество монет в мешке, значит в сундуке в три раза больше т.е $3x$.
Монет в мешке: $48$
Монет в сундуке: $48cdot 3=144$
Задача 2.
Купили 3600 кг муки и высыпали её в три мешка. В первый мешок муки вошло в 3 раза больше, чем во второй, а в третий мешок насыпали 800 кг муки. Сколько муки насыпали в первый и сколько во второй мешок?
Пусть в первый мешок насыпали $3x$ кг муки, тогда во второй мешок насыпали $x$ кг. Если сложим количество кг в каждом мешке, то получим $3600$ кг муки. Имеем: $3x+x+800=3600$, решим уравнение классическим методом.
Все слагаемые содержащие $x$ оставим слева, а всё остальное перенесём в правую часть равенства: $3x+x=3600-800$, упростим обе части; $4x=2800$ поделим обе части равенства на $4$ и получим ответ: $x=700$.
Ответ.
За переменную $x$ мы обозначали количество муки во втором мешке, по условию в первом в три раза больше.
Муки в первом мешке: $700cdot 3=2100$ кг.
Муки во втором мешке: $700$ кг.
Задача 3.
В первом мешке в 4 раза больше картофеля, чем во втором. После того, как из одного мешка взяли 40 кг картофеля, а во второй насыпали ещё 5 кг, в обоих мешках картофеля стало поровну. Сколько килограммов картофеля было во втором мешке.
Пусть во втором мешке $x$ кг картофеля, тогда в первом мешке $4x$ кг. Из первого взяли $40$ кг, тогда в первом стало: $4x-40$. Во второй мешок насыпали $5$ кг и теперь в нём: $x+5$ кг картошки. Нам известно, что после этих изменений количество картофеля в мешках стало поровну, запишем это с помощью линейного уравнения:
Решим это линейное уравнение. Все слагаемые содержащие переменную перенесём влево, а свободные члены вправо и получим:
Избавимся от коэффициента при неизвестном и получим ответ:
Ответ.
За переменную $x$ мы обозначали количество кг картошки во втором мешке, по условию в первом в четыре раза больше.
Картошки в первом мешке: $15cdot 4=60$ кг.
Картошки во втором мешке: $15$ кг.
Задача 4.
По шоссе едут две машины с одной и той же скоростью. Если первая увеличит скорость на 20 км/ч, а вторая уменьшит скорость на 20 км/ч, то первая за 2 часа пройдёт то же самое расстояние, что и вторая за 4 часа. Найдите первоначальную скорость машин.
Пусть машины едут со скоростью $v$ км/ч, тогда после ускорения первой машины её скорость стала: $v+20$ км/ч, а скорость второй машины после замедления стала: $v-20$ км/ч. Нам известно по условию, что после изменения скоростей машин, первая проходит за два часа ровно столько, сколько вторая за четыре, тогда имеем:
По известной нам формуле $S=vt$ ($S$ — расстояние, $v$ — скорость, $t$ — время)
Сократим обе части равенства на $2$, тогда получим: $v+20=2(v-20)$. Раскроем скобки в правой части уравнения и сгруппируем все переменные в правой части равенства.
Ответ.
В качестве неизвестной величины в задаче мы взяли $v$ (первоначальную скорость машин).
Первоначальная скорость машин: $v=60$ км/ч.
Задача 5.
В первую бригаду привезли раствора цемента на 50 кг меньше, чем во вторую. Каждый час работы первая бригада расходовала 150 кг раствора, а вторая – 200кг. Через 3 ч работы в первой бригаде осталось раствора в 1,5 раза больше, чем во второй. Сколько раствора привезли в каждую бригаду?
Пусть во вторую бригаду привезли $x$ кг раствора цемента, тогда в первую бригаду привезли $x-50$ кг. Через 3 часа работы у первой бригады осталось $x-50-3cdot 150$ кг цемента, а у второй $x-3cdot 200$ кг.
По условию известно, что через 3 часа работы в первой бригаде осталось в 1,5 раза больше цемента, чем во второй, тогда имеем:
$$x-50-3cdot 150=1,5(x-3cdot 200)$$
Осталось решить данное уравнение относительно $x$ и истолковать ответ.
Упростим и раскроем скобки в правой части, тогда получим:
Если вам неудобно работать с десятичными дробями, то вы всегда можете их переводить в рациональный вид: $1,5=frac<15><10>=frac<3><2>$.
Запишем с учётом перевода дробей и упростим:
Перенесём слагаемые содержащие переменную в правую сторону, а всё остальное в левую:
Домножим обе части на 2 и получим ответ:
Ответ.
В качестве переменной в задаче мы взяли $x$ (кол-во кг цемента который привезли во вторую бригаду), по условию в первую привезли на 50 кг меньше, а значит $x-50$
Кол-во цемента в первой бригаде: $800-50=750$ кг.
Кол-во цемента во второй бригаде: $800$ кг.
Задачи для самостоятельного решения
По контракту работникам причитается 48 франков за каждый отработанный день, а за каждый неотработанный день с них вычитается по 12 франков. Через 30 дней выяснилось, что работникам ничего не причитается. Сколько дней они отработали в течение этих 30 дней?
Пусть работники отработали $n$ дней, тогда $30-n$ дней они не отработали.
В итоге мы понимаем, что за $n$ рабочих дней они зарабатывают $48n$ франков и с них вычитается за $30-n$ не отработанных дней по $12(30-n)$ франков. Тогда ясно, что: $48n-12(30-n)=0$
Ответ: Рабочие отработали 6 дней.
Кирпич весит фунт и полкирпича. Сколько фунтов весит кирпич?
Пусть целый кирпич весит весит $k$ фунтов, тогда имеем:
1 фунт и половина кирпича = целый кирпич.
Бутылка с пробкой стоит 10 копеек, причем бутылка на 9 копеек дороже пробки. Сколько стоит бутылка без пробки?
Пусть бутылка стоит $b$ копеек, а пробка $p$ копеек, тогда:
$b+p=10$ и $b=p+9$, подставив значение $b$ в первое равенство — получим:
Т.е пробка стоит пол копейки, тогда бутылка $9,5$ копеек.
Ответ: 9,5 копеек стоит бутыка без пробки.
На свитер, шапку и шарф израсходовали 555 г шерсти, причем на шапку ушло в 5 раз меньше шерсти, чем на свитер, и на 5 г больше, чем на шарф. Сколько шерсти израсходовали на каждое изделие?
Пусть на свитер потратили $5x$ г шерсти, тогда на шапку ушло $x$ г и на шарф потребовалось $x-5$ г, имеем:
Ответ: На шапку ушло $80$ г, на свитер $5cdot 80=400$ г, на шарф $80-5=75$ г.
Три пионерских звена собрали для школьной библиотеки 65 книг. Первое звено собрало на 10 книг меньше, чем второе, а третье — 30% того числа книг, которое собрали первое и второе звено вместе. Сколько книг собрало каждое звено?
Пусть второе звено собрало $x$ книг, тогда первое собрало $x-10$ книг, а третье $0,3(2x-10)$, имеем:
$$2x-10+0,3cdot 2x-0,3cdot 10=65$$
$$2x+0,3cdot 2x=65+10+0,3cdot 10$$
Ответ: Первое звено собрало $30-10=20$ книг, второе $30$ книг, третье $0,3(60-10)=15$ книг.
Общие сведения об уравнениях
Уравнения — одна из сложных тем для усвоения, но при этом они являются достаточно мощным инструментом для решения большинства задач.
С помощью уравнений описываются различные процессы, протекающие в природе. Уравнения широко применяются в других науках: в экономике, физике, биологии и химии.
В данном уроке мы попробуем понять суть простейших уравнений, научимся выражать неизвестные и решим несколько уравнений. По мере усвоения новых материалов, уравнения будут усложняться, поэтому понять основы очень важно.
Что такое уравнение?
Уравнение — это равенство, содержащее в себе переменную, значение которой требуется найти. Это значение должно быть таким, чтобы при его подстановке в исходное уравнение получалось верное числовое равенство.
Например выражение 3 + 2 = 5 является равенством. При вычислении левой части получается верное числовое равенство 5 = 5 .
А вот равенство 3 + x = 5 является уравнением, поскольку содержит в себе переменную x , значение которой можно найти. Значение должно быть таким, чтобы при подстановке этого значения в исходное уравнение, получилось верное числовое равенство.
Другими словами, мы должны найти такое значение, при котором знак равенства оправдал бы свое местоположение — левая часть должна быть равна правой части.
Уравнение 3 + x = 5 является элементарным. Значение переменной x равно числу 2. При любом другом значении равенство соблюдáться не будет
Говорят, что число 2 является корнем или решением уравнения 3 + x = 5
Корень или решение уравнения — это значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.
Корней может быть несколько или не быть совсем. Решить уравнение означает найти его корни или доказать, что корней нет.
Переменную, входящую в уравнение, иначе называют неизвестным. Вы вправе называть как вам удобнее. Это синонимы.
Примечание. Словосочетание «решить уравнение» говорит самó за себя. Решить уравнение означает «уравнять» равенство — сделать его сбалансированным, чтобы левая часть равнялась правой части.
Выразить одно через другое
Изучение уравнений по традиции начинается с того, чтобы научиться выражать одно число, входящее в равенство, через ряд других. Давайте не будем нарушать эту традицию и поступим также.
Рассмотрим следующее выражение:
Данное выражение является суммой чисел 8 и 2. Значение данного выражения равно 10
Получили равенство. Теперь можно выразить любое число из этого равенства через другие числа, входящие в это же равенство. К примеру, выразим число 2.
Чтобы выразить число 2, нужно задать вопрос: «что нужно сделать с числами 10 и 8, чтобы получить число 2». Понятно, что для получения числа 2, нужно из числа 10 вычесть число 8.
Так и делаем. Записываем число 2 и через знак равенства говорим, что для получения этого числа 2 мы из числа 10 вычли число 8:
Мы выразили число 2 из равенства 8 + 2 = 10 . Как видно из примера, ничего сложного в этом нет.
При решении уравнений, в частности при выражении одного числа через другие, знак равенства удобно заменять на слово «есть». Делать это нужно мысленно, а не в самом выражении.
Так, выражая число 2 из равенства 8 + 2 = 10 мы получили равенство 2 = 10 − 8 . Данное равенство можно прочесть так:
2 есть 10 − 8
То есть знак = заменен на слово «есть». Более того, равенство 2 = 10 − 8 можно перевести с математического языка на полноценный человеческий язык. Тогда его можно будет прочитать следующим образом:
Число 2 есть разность числа 10 и числа 8
Число 2 есть разница между числом 10 и числом 8.
Но мы ограничимся лишь заменой знака равенства на слово «есть», и то будем делать это не всегда. Элементарные выражения можно понимать и без перевода математического языка на язык человеческий.
Вернём получившееся равенство 2 = 10 − 8 в первоначальное состояние:
Выразим в этот раз число 8. Что нужно сделать с остальными числами, чтобы получить число 8? Верно, нужно из числа 10 вычесть число 2
Вернем получившееся равенство 8 = 10 − 2 в первоначальное состояние:
В этот раз выразим число 10. Но оказывается, что десятку выражать не нужно, поскольку она уже выражена. Достаточно поменять местами левую и правую часть, тогда получится то, что нам нужно:
Пример 2. Рассмотрим равенство 8 − 2 = 6
Выразим из этого равенства число 8. Чтобы выразить число 8 остальные два числа нужно сложить:
Вернем получившееся равенство 8 = 6 + 2 в первоначальное состояние:
Выразим из этого равенства число 2. Чтобы выразить число 2, нужно из 8 вычесть 6
Пример 3. Рассмотрим равенство 3 × 2 = 6
Выразим число 3. Чтобы выразить число 3, нужно 6 разделить 2
Вернем получившееся равенство в первоначальное состояние:
Выразим из этого равенства число 2. Чтобы выразить число 2, нужно 6 разделить 3
Пример 4. Рассмотрим равенство
Выразим из этого равенства число 15. Чтобы выразить число 15, нужно перемножить числа 3 и 5
Вернем получившееся равенство 15 = 3 × 5 в первоначальное состояние:
Выразим из этого равенства число 5. Чтобы выразить число 5, нужно 15 разделить 3
Правила нахождения неизвестных
Рассмотрим несколько правил нахождения неизвестных. Возможно, они вам знакомы, но не мешает повторить их ещё раз. В дальнейшем их можно будет забыть, поскольку мы научимся решать уравнения, не применяя эти правила.
Вернемся к первому примеру, который мы рассматривали в предыдущей теме, где в равенстве 8 + 2 = 10 требовалось выразить число 2.
В равенстве 8 + 2 = 10 числа 8 и 2 являются слагаемыми, а число 10 — суммой.
Чтобы выразить число 2, мы поступили следующим образом:
То есть из суммы 10 вычли слагаемое 8.
Теперь представим, что в равенстве 8 + 2 = 10 вместо числа 2 располагается переменная x
В этом случае равенство 8 + 2 = 10 превращается в уравнение 8 + x = 10 , а переменная x берет на себя роль так называемого неизвестного слагаемого
Наша задача найти это неизвестное слагаемое, то есть решить уравнение 8 + x = 10 . Для нахождения неизвестного слагаемого предусмотрено следующее правило:
Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.
Что мы в принципе и сделали, когда выражали двойку в равенстве 8 + 2 = 10 . Чтобы выразить слагаемое 2, мы из суммы 10 вычли другое слагаемое 8
А сейчас, чтобы найти неизвестное слагаемое x , мы должны из суммы 10 вычесть известное слагаемое 8:
Если вычислить правую часть получившегося равенства, то можно узнать чему равна переменная x
Мы решили уравнение. Значение переменной x равно 2 . Для проверки значение переменной x отправляют в исходное уравнение 8 + x = 10 и подставляют вместо x. Так желательно поступать с любым решённым уравнением, поскольку нельзя быть точно уверенным, что уравнение решено правильно:
В результате получается верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.
Это же правило действовало бы в случае, если неизвестным слагаемым было бы первое число 8.
В этом уравнении x — это неизвестное слагаемое, 2 — известное слагаемое, 10 — сумма. Чтобы найти неизвестное слагаемое x , нужно из суммы 10 вычесть известное слагаемое 2
Вернемся ко второму примеру из предыдущей темы, где в равенстве 8 − 2 = 6 требовалось выразить число 8.
В равенстве 8 − 2 = 6 число 8 это уменьшаемое, число 2 — вычитаемое, число 6 — разность
Чтобы выразить число 8, мы поступили следующим образом:
То есть сложили разность 6 и вычитаемое 2.
Теперь представим, что в равенстве 8 − 2 = 6 вместо числа 8 располагается переменная x
В этом случае переменная x берет на себя роль так называемого неизвестного уменьшаемого
Для нахождения неизвестного уменьшаемого предусмотрено следующее правило:
Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.
Что мы и сделали, когда выражали число 8 в равенстве 8 − 2 = 6 . Чтобы выразить уменьшаемое 8, мы к разности 6 прибавили вычитаемое 2.
А сейчас, чтобы найти неизвестное уменьшаемое x , мы должны к разности 6 прибавить вычитаемое 2
Если вычислить правую часть, то можно узнать чему равна переменная x
Теперь представим, что в равенстве 8 − 2 = 6 вместо числа 2 располагается переменная x
В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного вычитаемого
Для нахождения неизвестного вычитаемого предусмотрено следующее правило:
Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.
Что мы и сделали, когда выражали число 2 в равенстве 8 − 2 = 6. Чтобы выразить число 2, мы из уменьшаемого 8 вычли разность 6.
А сейчас, чтобы найти неизвестное вычитаемое x, нужно опять же из уменьшаемого 8 вычесть разность 6
Вычисляем правую часть и находим значение x
Вернемся к третьему примеру из предыдущей темы, где в равенстве 3 × 2 = 6 мы пробовали выразить число 3.
В равенстве 3 × 2 = 6 число 3 — это множимое, число 2 — множитель, число 6 — произведение
Чтобы выразить число 3 мы поступили следующим образом:
То есть разделили произведение 6 на множитель 2.
Теперь представим, что в равенстве 3 × 2 = 6 вместо числа 3 располагается переменная x
В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного множимого.
Для нахождения неизвестного множимого предусмотрено следующее правило:
Чтобы найти неизвестное множимое, нужно произведение разделить на множитель.
Что мы и сделали, когда выражали число 3 из равенства 3 × 2 = 6 . Произведение 6 мы разделили на множитель 2.
А сейчас для нахождения неизвестного множимого x , нужно произведение 6 разделить на множитель 2.
Вычисление правой части позволяет нам найти значение переменной x
Это же правило применимо в случае, если переменная x располагается вместо множителя, а не множимого. Представим, что в равенстве 3 × 2 = 6 вместо числа 2 располагается переменная x .
В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного множителя. Для нахождения неизвестного множителя предусмотрено такое же, что и для нахождения неизвестного множимого, а именно деление произведения на известный множитель:
Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на множимое.
Что мы и сделали, когда выражали число 2 из равенства 3 × 2 = 6 . Тогда для получения числа 2 мы разделили произведение 6 на множимое 3.
А сейчас для нахождения неизвестного множителя x мы разделили произведение 6 на множимое 3.
Вычисление правой части равенства позволяет узнать чему равно x
Множимое и множитель вместе называют сомножителями. Поскольку правила нахождения множимого и множителя совпадают, мы можем сформулировать общее правило нахождения неизвестного сомножителя:
Чтобы найти неизвестный сомножитель, нужно произведение разделить на известный сомножитель.
Например, решим уравнение 9 × x = 18 . Переменная x является неизвестным сомножителем. Чтобы найти этот неизвестный сомножитель, нужно произведение 18 разделить на известный сомножитель 9
Отсюда .
Решим уравнение x × 3 = 27 . Переменная x является неизвестным сомножителем. Чтобы найти этот неизвестный сомножитель, нужно произведение 27 разделить на известный сомножитель 3
Отсюда .
Вернемся к четвертому примеру из предыдущей темы, где в равенстве требовалось выразить число 15. В этом равенстве число 15 — это делимое, число 5 — делитель, число 3 — частное.
Чтобы выразить число 15 мы поступили следующим образом:
То есть умножили частное 3 на делитель 5.
Теперь представим, что в равенстве вместо числа 15 располагается переменная x
В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного делимого.
Для нахождения неизвестного делимого предусмотрено следующее правило:
Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель.
Что мы и сделали, когда выражали число 15 из равенства . Чтобы выразить число 15, мы умножили частное 3 на делитель 5.
А сейчас, чтобы найти неизвестное делимое x , нужно частное 3 умножить на делитель 5
Вычислим правую часть получившегося равенства. Так мы узнаем чему равна переменная x .
Теперь представим, что в равенстве вместо числа 5 располагается переменная x .
В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного делителя.
Для нахождения неизвестного делителя предусмотрено следующее правило:
Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное.
Что мы и сделали, когда выражали число 5 из равенства . Чтобы выразить число 5, мы разделили делимое 15 на частное 3.
А сейчас, чтобы найти неизвестный делитель x , нужно делимое 15 разделить на частное 3
Вычислим правую часть получившегося равенства. Так мы узнаем чему равна переменная x .
Итак, для нахождения неизвестных мы изучили следующие правила:
- Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое;
- Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое;
- Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность;
- Чтобы найти неизвестное множимое, нужно произведение разделить на множитель;
- Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на множимое;
- Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель;
- Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное.
Компоненты
Компонентами мы будем называть числа и переменные, входящие в равенство
Так, компонентами сложения являются слагаемые и сумма
Компонентами вычитания являются уменьшаемое, вычитаемое и разность
Компонентами умножения являются множимое, множитель и произведение
Компонентами деления являются делимое, делитель и частное
В зависимости от того, с какими компонентами мы будем иметь дело, будут применяться соответствующие правила нахождения неизвестных. Эти правила мы изучили в предыдущей теме. При решении уравнений желательно знать эти правило наизусть.
Пример 1. Найти корень уравнения 45 + x = 60
45 — слагаемое, x — неизвестное слагаемое, 60 — сумма. Имеем дело с компонентами сложения. Вспоминаем, что для нахождения неизвестного слагаемого, нужно из суммы вычесть известное слагаемое:
Вычислим правую часть, получим значение x равное 15
Значит корень уравнения 45 + x = 60 равен 15.
Чаще всего неизвестное слагаемое необходимо привести к виду при котором его можно было бы выразить.
Пример 2. Решить уравнение
Здесь в отличие от предыдущего примера, неизвестное слагаемое нельзя выразить сразу, поскольку оно содержит коэффициент 2. Наша задача привести это уравнение к виду при котором можно было бы выразить x
В данном примере мы имеем дело с компонентами сложения — слагаемыми и суммой. 2x — это первое слагаемое, 4 — второе слагаемое, 8 — сумма.
При этом слагаемое 2x содержит переменную x . После нахождения значения переменной x слагаемое 2x примет другой вид. Поэтому слагаемое 2x можно полностью принять за неизвестное слагаемое:
Теперь применяем правило нахождения неизвестного слагаемого. Вычитаем из суммы известное слагаемое:
Вычислим правую часть получившегося уравнения:
Мы получили новое уравнение . Теперь мы имеем дело с компонентами умножения: множимым, множителем и произведением. 2 — множимое, x — множитель, 4 — произведение
При этом переменная x является не просто множителем, а неизвестным множителем
Чтобы найти этот неизвестный множитель, нужно произведение разделить на множимое:
Вычислим правую часть, получим значение переменной x
Для проверки найденный корень отправим в исходное уравнение и подставим вместо x
Получили верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.
Пример 3. Решить уравнение 3x + 9x + 16x = 56
Cразу выразить неизвестное x нельзя. Сначала нужно привести данное уравнение к виду при котором его можно было бы выразить.
Приведем подобные слагаемые в левой части данного уравнения:
Имеем дело с компонентами умножения. 28 — множимое, x — множитель, 56 — произведение. При этом x является неизвестным множителем. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на множимое:
Отсюда x равен 2
Равносильные уравнения
В предыдущем примере при решении уравнения 3x + 9x + 16x = 56 , мы привели подобные слагаемые в левой части уравнения. В результате получили новое уравнение 28x = 56 . Старое уравнение 3x + 9x + 16x = 56 и получившееся новое уравнение 28x = 56 называют равносильными уравнениями, поскольку их корни совпадают.
Уравнения называют равносильными, если их корни совпадают.
Проверим это. Для уравнения 3x + 9x + 16x = 56 мы нашли корень равный 2 . Подставим этот корень сначала в уравнение 3x + 9x + 16x = 56 , а затем в уравнение 28x = 56 , которое получилось в результате приведения подобных слагаемых в левой части предыдущего уравнения. Мы должны получить верные числовые равенства
Согласно порядку действий, в первую очередь выполняется умножение:
Подставим корень 2 во второе уравнение 28x = 56
Видим, что у обоих уравнений корни совпадают. Значит уравнения 3x + 9x + 16x = 56 и 28x = 56 действительно являются равносильными.
Для решения уравнения 3x + 9x + 16x = 56 мы воспользовались одним из тождественных преобразований — приведением подобных слагаемых. Правильное тождественное преобразование уравнения позволило нам получить равносильное уравнение 28x = 56 , которое проще решать.
Из тождественных преобразований на данный момент мы умеем только сокращать дроби, приводить подобные слагаемые, выносить общий множитель за скобки, а также раскрывать скобки. Существуют и другие преобразования, которые следует знать. Но для общего представления о тождественных преобразованиях уравнений, изученных нами тем вполне хватает.
Рассмотрим некоторые преобразования, которые позволяют получить равносильное уравнение
Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то получится уравнение равносильное данному.
Если из обеих частей уравнения вычесть одно и то же число, то получится уравнение равносильное данному.
Другими словами, корень уравнения не изменится, если к обеим частям данного уравнения прибавить (или вычесть из обеих частей) одно и то же число.
Пример 1. Решить уравнение
Вычтем из обеих частей уравнения число 10
Приведем подобные слагаемые в обеих частях:
Получили уравнение 5x = 10 . Имеем дело с компонентами умножения. Чтобы найти неизвестный сомножитель x , нужно произведение 10 разделить на известный сомножитель 5.
Отсюда .
Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение 2
Получили верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.
Решая уравнение мы вычли из обеих частей уравнения число 10 . В результате получили равносильное уравнение . Корень этого уравнения, как и уравнения так же равен 2
Пример 2. Решить уравнение 4(x + 3) = 16
Раскроем скобки в левой части равенства:
Вычтем из обеих частей уравнения число 12
Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:
В левой части останется 4x , а в правой части число 4
Получили уравнение 4x = 4 . Имеем дело с компонентами умножения. Чтобы найти неизвестный сомножитель x , нужно произведение 4 разделить на известный сомножитель 4
Отсюда
Вернемся к исходному уравнению 4(x + 3) = 16 и подставим вместо x найденное значение 1
Получили верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.
Решая уравнение 4(x + 3) = 16 мы вычли из обеих частей уравнения число 12 . В результате получили равносильное уравнение 4x = 4 . Корень этого уравнения, как и уравнения 4(x + 3) = 16 так же равен 1
Пример 3. Решить уравнение
Раскроем скобки в левой части равенства:
Прибавим к обеим частям уравнения число 8
Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:
В левой части останется 2x , а в правой части число 9
В получившемся уравнении 2x = 9 выразим неизвестное слагаемое x
Отсюда
Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение 4,5
Получили верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.
Решая уравнение мы прибавили к обеим частям уравнения число 8. В результате получили равносильное уравнение . Корень этого уравнения, как и уравнения так же равен 4,5
Следующее правило, которое позволяет получить равносильное уравнение, выглядит следующим образом
Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение равносильное данному.
То есть корень уравнения не изменится, если мы перенесем слагаемое из одной части уравнения в другую, изменив его знак. Это свойство является одним из важных и одним из часто используемых при решении уравнений.
Рассмотрим следующее уравнение:
Корень данного уравнения равен 2. Подставим вместо x этот корень и проверим получается ли верное числовое равенство
Получается верное равенство. Значит число 2 действительно является корнем уравнения .
Теперь попробуем поэкспериментировать со слагаемыми этого уравнения, перенося их из одной части в другую, изменяя знаки.
Например, слагаемое 3x располагается в левой части равенства. Перенесём его в правую часть, изменив знак на противоположный:
Получилось уравнение 12 = 9x − 3x . Приведем подобные слагаемые в правой части данного уравнения:
Имеем дело с компонентами умножения. Переменная x является неизвестным сомножителем. Найдём этот известный сомножитель:
Отсюда x = 2 . Как видим, корень уравнения не изменился. Значит уравнения 12 + 3x = 9x и 12 = 9x − 3x являются равносильными.
На самом деле данное преобразование является упрощенным методом предыдущего преобразования, где к обеим частям уравнения прибавлялось (или вычиталось) одно и то же число.
Мы сказали, что в уравнении 12 + 3x = 9x слагаемое 3x было перенесено в правую часть, изменив знак. В реальности же происходило следующее: из обеих частей уравнения вычли слагаемое 3x
Затем в левой части были приведены подобные слагаемые и получено уравнение 12 = 9x − 3x. Затем опять были приведены подобные слагаемые, но уже в правой части, и получено уравнение 12 = 6x.
Но так называемый «перенос» более удобен для подобных уравнений, поэтому он и получил такое широкое распространение. Решая уравнения, мы часто будем пользоваться именно этим преобразованием.
Равносильными также являются уравнения 12 + 3x = 9x и 3x − 9x = −12 . В этот раз в уравнении 12 + 3x = 9x слагаемое 12 было перенесено в правую часть, а слагаемое 9x в левую. Не следует забывать, что знаки этих слагаемых были изменены во время переноса
Следующее правило, которое позволяет получить равносильное уравнение, выглядит следующим образом:
Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получится уравнение равносильное данному.
Другими словами, корни уравнения не изменятся, если обе его части умножить или разделить на одно и то же число. Это действие часто применяется тогда, когда нужно решить уравнение содержащее дробные выражения.
Сначала рассмотрим примеры, в которых обе части уравнения будут умножаться на одно и то же число.
Пример 1. Решить уравнение
При решении уравнений, содержащих дробные выражения, сначала принято упростить это уравнение.
В данном случае мы имеем дело именно с таким уравнением. В целях упрощения данного уравнения обе его части можно умножить на 8:
Мы помним, что для умножения дроби на число, нужно числитель данной дроби умножить на это число. У нас имеются две дроби и каждая из них умножается на число 8. Наша задача умножить числители дробей на это число 8
Теперь происходит самое интересное. В числителях и знаменателях обеих дробей содержится множитель 8, который можно сократить на 8. Это позволит нам избавиться от дробного выражения:
В результате останется простейшее уравнение
Ну и нетрудно догадаться, что корень этого уравнения равен 4
Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение 4
Получается верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.
При решении данного уравнения мы умножили обе его части на 8. В результате получили уравнение . Корень этого уравнения, как и уравнения равен 4. Значит эти уравнения равносильны.
Множитель на который умножаются обе части уравнения принято записывать перед частью уравнения, а не после неё. Так, решая уравнение , мы умножили обе части на множитель 8 и получили следующую запись:
От этого корень уравнения не изменился, но если бы мы сделали это находясь в школе, то нам сделали бы замечание, поскольку в алгебре множитель принято записывать перед тем выражением, с которым он перемножается. Поэтому умножение обеих частей уравнения на множитель 8 желательно переписать следующим образом:
Пример 2. Решить уравнение
Умнóжим обе части уравнения на 15
В левой части множители 15 можно сократить на 15, а в правой части множители 15 и 5 можно сократить на 5
Перепишем то, что у нас осталось:
Раскроем скобки в правой части уравнения:
Перенесем слагаемое x из левой части уравнения в правую часть, изменив знак. А слагаемое 15 из правой части уравнения перенесем в левую часть, опять же изменив знак:
Приведем подобные слагаемые в обеих частях, получим
Имеем дело с компонентами умножения. Переменная x является неизвестным сомножителем. Найдём этот известный сомножитель:
Отсюда
Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение 5
Получается верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно. При решении данного уравнения мы умножили обе го части на 15 . Далее выполняя тождественные преобразования, мы получили уравнение 10 = 2x . Корень этого уравнения, как и уравнения равен 5 . Значит эти уравнения равносильны.
Пример 3. Решить уравнение
Умнóжим обе части уравнения на 3
В левой части можно сократить две тройки, а правая часть будет равна 18
Останется простейшее уравнение . Имеем дело с компонентами умножения. Переменная x является неизвестным сомножителем. Найдём этот известный сомножитель:
Отсюда
Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение 9
Получается верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.
Пример 4. Решить уравнение
Умнóжим обе части уравнения на 6
В левой части уравнения раскроем скобки. В правой части множитель 6 можно поднять в числитель:
Сократим в обеих частях уравнениях то, что можно сократить:
Перепишем то, что у нас осталось:
Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
Воспользуемся переносом слагаемых. Слагаемые, содержащие неизвестное x , сгруппируем в левой части уравнения, а слагаемые свободные от неизвестных — в правой:
Приведем подобные слагаемые в обеих частях:
Теперь найдем значение переменной x . Для этого разделим произведение 28 на известный сомножитель 7
Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение 4
Получилось верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.
Пример 5. Решить уравнение
Раскроем скобки в обеих частях уравнения там, где это можно:
Умнóжим обе части уравнения на 15
Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
Сократим в обеих частях уравнения, то что можно сократить:
Перепишем то, что у нас осталось:
Раскроем скобки там, где это можно:
Воспользуемся переносом слагаемых. Слагаемые, содержащие неизвестное, сгруппируем в левой части уравнения, а слагаемые, свободные от неизвестных — в правой. Не забываем, что во время переноса, слагаемые меняют свои знаки на противоположные:
Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:
Найдём значение x
В получившемся ответе можно выделить целую часть:
Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение
Получается довольно громоздкое выражение. Воспользуемся переменными. Левую часть равенства занесем в переменную A , а правую часть равенства в переменную B
Наша задача состоит в том, чтобы убедиться равна ли левая часть правой. Другими словами, доказать равенство A = B
Найдем значение выражения, находящегося в переменной А.
Значение переменной А равно . Теперь найдем значение переменной B . То есть значение правой части нашего равенства. Если и оно равно , то уравнение будет решено верно
Видим, что значение переменной B , как и значение переменной A равно . Это значит, что левая часть равна правой части. Отсюда делаем вывод, что уравнение решено правильно.
Теперь попробуем не умножать обе части уравнения на одно и то же число, а делить.
Рассмотрим уравнение 30x + 14x + 14 = 70x − 40x + 42 . Решим его обычным методом: слагаемые, содержащие неизвестные, сгруппируем в левой части уравнения, а слагаемые, свободные от неизвестных — в правой. Далее выполняя известные тождественные преобразования, найдем значение x
Подставим найденное значение 2 вместо x в исходное уравнение:
Теперь попробуем разделить все слагаемые уравнения 30x + 14x + 14 = 70x − 40x + 42 на какое-нибудь число. Замечаем, что все слагаемые этого уравнения имеют общий множитель 2. На него и разделим каждое слагаемое:
Выполним сокращение в каждом слагаемом:
Перепишем то, что у нас осталось:
Решим это уравнение, пользуясь известными тождественными преобразованиями:
Получили корень 2 . Значит уравнения 15x + 7x + 7 = 35x − 20x + 21 и 30x + 14x + 14 = 70x − 40x + 42 равносильны.
Деление обеих частей уравнения на одно и то же число позволяет освобождать неизвестное от коэффициента. В предыдущем примере когда мы получили уравнение 7x = 14 , нам потребовалось разделить произведение 14 на известный сомножитель 7. Но если бы мы в левой части освободили неизвестное от коэффициента 7, корень нашелся бы сразу. Для этого достаточно было разделить обе части на 7
Этим методом мы тоже будем пользоваться часто.
Умножение на минус единицу
Если обе части уравнения умножить на минус единицу, то получится уравнение равносильное данному.
Это правило следует из того, что от умножения (или деления) обеих частей уравнения на одно и то же число, корень данного уравнения не меняется. А значит корень не поменяется если обе его части умножить на −1 .
Данное правило позволяет поменять знаки всех компонентов, входящих в уравнение. Для чего это нужно? Опять же, чтобы получить равносильное уравнение, которое проще решать.
Рассмотрим уравнение . Чему равен корень этого уравнения?
Прибавим к обеим частям уравнения число 5
Приведем подобные слагаемые:
А теперь вспомним про коэффициент буквенного выражения. Что же представляет собой левая часть уравнения . Это есть произведение минус единицы и переменной x
То есть минус, стоящий перед переменной x, относится не к самой переменной x , а к единице, которую мы не видим, поскольку коэффициент 1 принято не записывать. Это означает, что уравнение на самом деле выглядит следующим образом:
Имеем дело с компонентами умножения. Чтобы найти х , нужно произведение −5 разделить на известный сомножитель −1 .
или разделить обе части уравнения на −1 , что еще проще
Итак, корень уравнения равен 5 . Для проверки подставим его в исходное уравнение. Не забываем, что в исходном уравнении минус стоящий перед переменной x относится к невидимой единице
Получилось верное числовое равенство. Значит уравнение решено верно.
Теперь попробуем умножить обе части уравнения на минус единицу:
После раскрытия скобок в левой части образуется выражение , а правая часть будет равна 10
Корень этого уравнения, как и уравнения равен 5
Значит уравнения и равносильны.
Пример 2. Решить уравнение
В данном уравнении все компоненты являются отрицательными. С положительными компонентами работать удобнее, чем с отрицательными, поэтому поменяем знаки всех компонентов, входящих в уравнение . Для этого умнóжим обе части данного уравнения на −1 .
Понятно, что от умножения на −1 любое число поменяет свой знак на противоположный. Поэтому саму процедуру умножения на −1 и раскрытие скобок подробно не расписывают, а сразу записывают компоненты уравнения с противоположными знаками.
Так, умножение уравнения на −1 можно записать подробно следующим образом:
либо можно просто поменять знаки всех компонентов:
Получится то же самое, но разница будет в том, что мы сэкономим себе время.
Итак, умножив обе части уравнения на −1 , мы получили уравнение . Решим данное уравнение. Из обеих частей вычтем число 4 и разделим обе части на 3
Когда корень найден, переменную обычно записывают в левой части, а её значение в правой, что мы и сделали.
Пример 3. Решить уравнение
Умнóжим обе части уравнения на −1 . Тогда все компоненты поменяют свои знаки на противоположные:
Из обеих частей получившегося уравнения вычтем 2x и приведем подобные слагаемые:
Прибавим к обеим частям уравнения единицу и приведем подобные слагаемые:
Приравнивание к нулю
Недавно мы узнали, что если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение равносильное данному.
А что будет если перенести из одной части в другую не одно слагаемое, а все слагаемые? Верно, в той части откуда забрали все слагаемые останется ноль. Иными словами, не останется ничего.
В качестве примера рассмотрим уравнение . Решим данное уравнение, как обычно — слагаемые, содержащие неизвестные сгруппируем в одной части, а числовые слагаемые, свободные от неизвестных оставим в другой. Далее выполняя известные тождественные преобразования, найдем значение переменной x
Теперь попробуем решить это же уравнение, приравняв все его компоненты к нулю. Для этого перенесем все слагаемые из правой части в левую, изменив знаки:
Приведем подобные слагаемые в левой части:
Прибавим к обеим частям 77 , и разделим обе части на 7
Альтернатива правилам нахождения неизвестных
Очевидно, что зная о тождественных преобразованиях уравнений, можно не заучивать наизусть правила нахождения неизвестных.
К примеру, для нахождения неизвестного в уравнении мы произведение 10 делили на известный сомножитель 2
Но если в уравнении обе части разделить на 2 корень найдется сразу. В левой части уравнения в числителе множитель 2 и в знаменателе множитель 2 сократятся на 2. А правая часть будет равна 5
Уравнения вида мы решали выражая неизвестное слагаемое:
Но можно воспользоваться тождественными преобразованиями, которые мы сегодня изучили. В уравнении слагаемое 4 можно перенести в правую часть, изменив знак:
Далее разделить обе части на 2
В левой части уравнения сократятся две двойки. Правая часть будет равна 2. Отсюда .
Либо можно было из обеих частей уравнения вычесть 4. Тогда получилось бы следующее:
В случае с уравнениями вида удобнее делить произведение на известный сомножитель. Сравним оба решения:
Первое решение намного короче и аккуратнее. Второе решение можно значительно укоротить, если выполнить деление в уме.
Тем не менее, необходимо знать оба метода, и только затем использовать тот, который больше нравится.
Когда корней несколько
Уравнение может иметь несколько корней. Например уравнение x(x + 9) = 0 имеет два корня: 0 и −9 .
В уравнении x(x + 9) = 0 нужно было найти такое значение x при котором левая часть была бы равна нулю. В левой части этого уравнения содержатся выражения x и (x + 9) , которые являются сомножителями. Из законов умножения мы знаем, что произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю (или первый сомножитель или второй).
То есть в уравнении x(x + 9) = 0 равенство будет достигаться, если x будет равен нулю или (x + 9) будет равно нулю.
Приравняв к нулю оба этих выражения, мы сможем найти корни уравнения x(x + 9) = 0 . Первый корень, как видно из примера, нашелся сразу. Для нахождения второго корня нужно решить элементарное уравнение x + 9 = 0 . Несложно догадаться, что корень этого уравнения равен −9 . Проверка показывает, что корень верный:
Пример 2. Решить уравнение
Данное уравнение имеет два корня: 1 и 2. Левая часть уравнения является произведение выражений (x − 1) и (x − 2) . А произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю (или сомножитель (x − 1) или сомножитель (x − 2) ).
Найдем такое x при котором выражения (x − 1) или (x − 2) обращаются в нули:
Подставляем по-очереди найденные значения в исходное уравнение и убеждаемся, что при этих значениях левая часть равняется нулю:
Когда корней бесконечно много
Уравнение может иметь бесконечно много корней. То есть подставив в такое уравнение любое число, мы получим верное числовое равенство.
Пример 1. Решить уравнение
Корнем данного уравнения является любое число. Если раскрыть скобки в левой части уравнения и привести подобные слагаемые, то получится равенство 14 = 14 . Это равенство будет получаться при любом x
Пример 2. Решить уравнение
Корнем данного уравнения является любое число. Если раскрыть скобки в левой части уравнения, то получится равенство 10x + 12 = 10x + 12. Это равенство будет получаться при любом x
Когда корней нет
Случается и так, что уравнение вовсе не имеет решений, то есть не имеет корней. Например уравнение не имеет корней, поскольку при любом значении x , левая часть уравнения не будет равна правой части. Например, пусть . Тогда уравнение примет следующий вид
Пусть
Пример 2. Решить уравнение
Раскроем скобки в левой части равенства:
Приведем подобные слагаемые:
Видим, что левая часть не равна правой части. И так будет при любом значении y . Например, пусть y = 3 .
Буквенные уравнения
Уравнение может содержать не только числа с переменными, но и буквы.
Например, формула нахождения скорости является буквенным уравнением:
Данное уравнение описывает скорость движения тела при равноускоренном движении.
Полезным навыком является умение выразить любой компонент, входящий в буквенное уравнение. Например, чтобы из уравнения определить расстояние, нужно выразить переменную s .
Умнóжим обе части уравнения на t
В правой части переменные t сократим на t и перепишем то, что у нас осталось:
В получившемся уравнении левую и правую часть поменяем местами:
У нас получилась формула нахождения расстояния, которую мы изучали ранее.
Попробуем из уравнения определить время. Для этого нужно выразить переменную t .
Умнóжим обе части уравнения на t
В правой части переменные t сократим на t и перепишем то, что у нас осталось:
В получившемся уравнении v × t = s обе части разделим на v
В левой части переменные v сократим на v и перепишем то, что у нас осталось:
У нас получилась формула определения времени, которую мы изучали ранее.
Предположим, что скорость поезда равна 50 км/ч
А расстояние равно 100 км
Тогда буквенное уравнение примет следующий вид
Из этого уравнения можно найти время. Для этого нужно суметь выразить переменную t . Можно воспользоваться правилом нахождения неизвестного делителя, разделив делимое на частное и таким образом определить значение переменной t
либо можно воспользоваться тождественными преобразованиями. Сначала умножить обе части уравнения на t
Затем разделить обе части на 50
Пример 2. Дано буквенное уравнение . Выразите из данного уравнения x
Вычтем из обеих частей уравнения a
Разделим обе части уравнения на b
Теперь, если нам попадется уравнение вида a + bx = c , то у нас будет готовое решение. Достаточно будет подставить в него нужные значения. Те значения, которые будут подставляться вместо букв a, b, c принято называть параметрами. А уравнения вида a + bx = c называют уравнением с параметрами. В зависимости от параметров, корень будет меняться.
Решим уравнение 2 + 4x = 10 . Оно похоже на буквенное уравнение a + bx = c . Вместо того, чтобы выполнять тождественные преобразования, мы можем воспользоваться готовым решением. Сравним оба решения:
Видим, что второе решение намного проще и короче.
Для готового решения необходимо сделать небольшое замечание. Параметр b не должен быть равным нулю (b ≠ 0) , поскольку деление на ноль на допускается.
Пример 3. Дано буквенное уравнение . Выразите из данного уравнения x
Раскроем скобки в обеих частях уравнения
Воспользуемся переносом слагаемых. Параметры, содержащие переменную x , сгруппируем в левой части уравнения, а параметры свободные от этой переменной — в правой.
В левой части вынесем за скобки множитель x
Разделим обе части на выражение a − b
В левой части числитель и знаменатель можно сократить на a − b . Так окончательно выразится переменная x
Теперь, если нам попадется уравнение вида a(x − c) = b(x + d) , то у нас будет готовое решение. Достаточно будет подставить в него нужные значения.
Допустим нам дано уравнение 4(x − 3) = 2(x + 4) . Оно похоже на уравнение a(x − c) = b(x + d) . Решим его двумя способами: при помощи тождественных преобразований и при помощи готового решения:
Для удобства вытащим из уравнения 4(x − 3) = 2(x + 4) значения параметров a, b, c, d . Это позволит нам не ошибиться при подстановке:
Как и в прошлом примере знаменатель здесь не должен быть равным нулю (a − b ≠ 0) . Если нам встретится уравнение вида a(x − c) = b(x + d) в котором параметры a и b будут одинаковыми, мы сможем не решая его сказать, что у данного уравнения корней нет, поскольку разность одинаковых чисел равна нулю.
Например, уравнение 2(x − 3) = 2(x + 4) является уравнением вида a(x − c) = b(x + d) . В уравнении 2(x − 3) = 2(x + 4) параметры a и b одинаковые. Если мы начнём его решать, то придем к тому, что левая часть не будет равна правой части:
Пример 4. Дано буквенное уравнение . Выразите из данного уравнения x
Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:
Умнóжим обе части на a
В левой части x вынесем за скобки
Разделим обе части на выражение (1 − a)
Линейные уравнения с одним неизвестным
Рассмотренные в данном уроке уравнения называют линейными уравнениями первой степени с одним неизвестным.
Если уравнение дано в первой степени, не содержит деления на неизвестное, а также не содержит корней из неизвестного, то его можно назвать линейным. Мы еще не изучали степени и корни, поэтому чтобы не усложнять себе жизнь, слово «линейный» будем понимать как «простой».
Большинство уравнений, решенных в данном уроке, в конечном итоге сводились к простейшему уравнению, в котором нужно было произведение разделить на известный сомножитель. Таковым к примеру является уравнение 2 (x + 3) = 16 . Давайте решим его.
Раскроем скобки в левой части уравнения, получим 2 x + 6 = 16. Перенесем слагаемое 6 в правую часть, изменив знак. Тогда получим 2 x = 16 − 6. Вычислим правую часть, получим 2x = 10. Чтобы найти x , разделим произведение 10 на известный сомножитель 2. Отсюда x = 5.
Уравнение 2 (x + 3) = 16 является линейным. Оно свелось к уравнению 2x = 10 , для нахождения корня которого потребовалось разделить произведение на известный сомножитель. Такое простейшее уравнение называют линейным уравнением первой степени с одним неизвестным в каноническом виде. Слово «канонический» является синонимом слов «простейший» или «нормальный».
Линейное уравнение первой степени с одним неизвестным в каноническом виде называют уравнение вида ax = b.
Полученное нами уравнение 2x = 10 является линейным уравнением первой степени с одним неизвестным в каноническом виде. У этого уравнения первая степень, одно неизвестное, оно не содержит деления на неизвестное и не содержит корней из неизвестного, и представлено оно в каноническом виде, то есть в простейшем виде при котором легко можно определить значение x . Вместо параметров a и b в нашем уравнении содержатся числа 2 и 10. Но подобное уравнение может содержать и другие числа: положительные, отрицательные или равные нулю.
Если в линейном уравнении a = 0 и b = 0 , то уравнение имеет бесконечно много корней. Действительно, если a равно нулю и b равно нулю, то линейное уравнение ax = b примет вид 0x = 0 . При любом значении x левая часть будет равна правой части.
Если в линейном уравнении a = 0 и b ≠ 0 , то уравнение корней не имеет. Действительно, если a равно нулю и b равно какому-нибудь числу, не равному нулю, скажем числу 5, то уравнение ax = b примет вид 0x = 5 . Левая часть будет равна нулю, а правая часть пяти. А ноль не равен пяти.
Если в линейном уравнении a ≠ 0 , и b равно любому числу, то уравнение имеет один корень. Он определяется делением параметра b на параметр a
Действительно, если a равно какому-нибудь числу, не равному нулю, скажем числу 3 , и b равно какому-нибудь числу, скажем числу 6 , то уравнение примет вид .
Отсюда .
Существует и другая форма записи линейного уравнения первой степени с одним неизвестным. Выглядит она следующим образом: ax − b = 0 . Это то же самое уравнение, что и ax = b , но параметр b перенесен в левую часть с противоположным знаком. Такие уравнение мы тоже решали в данном уроке. Например, уравнение 7x − 77 = 0 . Уравнение вида ax − b = 0 называют линейным уравнением первой степени с одним неизвестным в общем виде.
В будущем после изучения рациональных выражений, мы рассмотрим такие понятия, как посторонние корни и потеря корней. А пока рассмотренного в данном уроке будет достаточным.
http://reshu.su/algebra/06/
«Овладение основами логического и алгоритмического мышления, пространственного воображения и математической речи, измерения, пересчета, прикидки и оценки, наглядного представления данных и процессов, записи и выполнения алгоритмов» — из ФГОС НОО Предметные результаты освоения основной образовательной программы начального общего образования.
Уже в начальной школе дети должны овладеть элементами логических действий (сравнения, классификации, обобщения, анализа и др.). Поэтому одной из важнейших задач, стоящих перед учителем начальных классов, является развитие основ логического мышления, которая позволила бы детям строить умозаключения, приводить доказательства, высказывания, логически связанные между собой, делать выводы, обосновывая свои суждения, и, в конечном итоге, самостоятельно приобретать знания. Математика именно тот предмет, где можно в большой степени это реализовывать.
В этой статье хочу рассмотреть уравнение как один из видов упражнений, направленных на развитие логического мышления, и использования алгоритмов при его решении.
Уравнения в начальных классах рассматриваются как верные равенства. Решение его сводится к отыскиванию того значения буквы (неизвестного числа), при котором данное выражение имеет указанное значение. Решить уравнение — значит найти число (значение переменной), при котором равенство будет верным.
В первую очередь, уравнения — очень мощный и наиболее универсальный инструмент для решения вычислительных задач. Самых разных.
- В школе, как правило, работают с текстовыми задачами. Это задачи на движение, на работу, на проценты и многие-многие другие. Однако применение уравнений не ограничивается одними лишь школьными задачками.
- Без умения составлять и решать уравнения не решить ни одной сколь-нибудь серьёзной научной задачи — физической, инженерной ли экономической. Например, рассчитать, куда попадёт ракета. Или ответить на вопрос, выдержит или не выдержит нагрузку какая-нибудь ответственная конструкция (лифт, мост…). Или спрогнозировать погоду, рост (или падение) цен или доходов…
- В повседневной жизни без решения уравнений тоже не обойтись. Например, если вы строите дом, то вычисляете расстояния и углы. Если покупаете квартиру в ипотеку, подсчитываете размер кредита так, чтобы он вписался в Ваш бюджет. Или выбрать самую выгодную банковскую карту, просчитать литры краски для ремонта, уложить асфальт… Чаще всего в повседневной жизни встречаются задачи оптимизации: проехать за минимальные время, получить наибольший доход от своих вложений, закупиться материалами по наименьшей цене и т.п.
В общем, уравнение — ключевая фигура в решении самых разнообразных вычислительных задач.
Во-вторых, знания, умения и навыки, приобретенные школьниками при решении уравнений в начальной школе, помогут им в изучении математических дисциплин в старших классах и будут способствовать скорейшему усвоению нового материала. Обучение решению уравнений способствует развитию мышления у школьников, которое так необходимо не только при изучении стереометрии и геометрии в целом, но и в обыденной жизни.
В-третьих, можно так же отметить, что обучение навыкам решения уравнений в начальной школе является своевременным и необходимым, так как именно в этом возрасте учащиеся лучше усваивают полученную от преподавателя информацию и с раннего возраста начинают понимать основные принципы и методики решения более сложных задач.
Методика изучения уравнений
I. Подготовительный
Изучать уравнения дети начинают уже с первого класса, используя в помощь различные фигуры или предметы.
Следующие действия, к которым переходят учащиеся, связаны с нахождением числа в «окошке».
Подготовительные упражнения:
1. Какие записи верны?
- 3 + 5 = 8
- 7 + 2 = 10
- 10 — 4 = 5
Как изменить результат, чтобы записи стали верными?
2. Почитай выражение: 15 — в. Найди значение выражения, если в = 3, 4, 10, 11, 16.
3. Среди чисел, записанных справа, подчеркните то число, при подстановке которого в окошко, получится верное равенство.
- 3+ ___ = 9 4, 5, 6, 7
- ___ — 2 = 4 1, 2, 3, 4, 5, 6
В процессе выполнения таких упражнений дети привыкают к мысли, что неизвестным может быть не только сумма или разность, но и одно из слагаемых/уменьшаемое/вычитаемое.
На этом этапе я объясняю детям, что такое часть и целое. Кстати эти понятия помогут в решении не только уравнений, но и задач. Давайте более подробно остановимся на том, как же объяснить ребёнку, что такое часть и целое. Нам важно чтобы ребёнок понимал часть не только как отдельный кусок чего-то целого, но и в значении множества и подмножества. Сами эти термины будут использоваться только в 4-5 классе, но осознать суть этих понятий вполне способен и первоклассник, если объяснять на конкретных, доступных примерах, используя действия с предметами.
Сделать это очень просто.
Например, положите перед ребёнком 4 кружка красного цвета и 3 кружка синего цвета. Кружки должны быть одинакового размера и отличаться только цветом. Это обязательное условие. Предметы должны отличаться только одним признаком. Спросите, как можно назвать все эти фигуры. Всё это кружки. Чем они отличаются? Разложи кружки на группы. Какие группы у тебя получились?
Все кружки — это целое. Целое можно разделить на части. На какие части ты разделил все кружки? (На красные кружки и синие кружки). Назови что здесь целое, а что часть — это главный вопрос упражнения.
Возьмите одинаковые по размеру кружки 3-х цветов и повторите упражнение. Затем возьмите кружки одного цвета двух или трёх размеров и повторите задание. Помните, что основная цель подобных упражнений — чёткое понимание ребёнком таких понятий как целое и части. Предметы для выполнения таких заданий должны быть самые разнообразные: пуговицы одинакового размера, но разные по цвету или по форме, причём, обязательно должны быть группы полностью одинаковых пуговиц. Чайные, десертные и столовые ложки, блюдца, тарелки и чашки — посуда и так далее. Попутно при выполнении этих упражнений закрепите классификацию предметов и повторите слова-обобщения и дифференциацию предметов (одежда и обувь, мебель и бытовые приборы, пассажирский и грузовой транспорт, овощи, фрукты и ягоды и т.д.).
Нужно будет научить ребёнка отвечать на вопросы:
- Как, одним словом можно все эти предметы правильно назвать?
- На какие части можно разделить эти предметы?
- Как назовём целое? Как назовём часть? Или что здесь целое, а что часть?
Как только вы заметите, что ребёнок свободно различает и называет целое и части, начинайте при помощи тех же предметов складывать части и вычитать часть из целого. Теперь основной целью обучения является понимание, и запоминание двух основных правил, на основе которых можно решать любые задачи и уравнения на сложение и вычитание.
Следует объяснить и выучить формулу этих правил:
- Чтобы найти целое необходимо все эти части сложить: Ц = Ч + Ч
- Чтобы найти часть, нужно из целого вычесть другую (известную) часть Ч = Ц — Ч
- Немного подробнее о том, как это сделать, объясню на примере с кружками красного и синего цвета. Назови что здесь целое, а что часть? Что нужно сделать, чтобы на столе остались только красные кружки? (Убрать синие кружки).
Запомни правило: Чтобы найти одну часть, нужно из целого вычесть другую (известную) часть. Что нужно сделать, чтобы на столе были все кружки? (Сложить вместе красные и синие кружки).
Запомни правило: Чтобы найти целое число, необходимо все части сложить.
Начиная с подготовительного этапа, я в своей работе использую алгоритмы решения уравнений. Алгоритм — это набор понятных и точных инструкций, описывающих порядок действий исполнителя для достижения результата. Алгоритм решения уравнений помогает учащимся быстро и правильно находить корень уравнения. Схематичные алгоритмы в Приложение 2.
II. Введение понятия «уравнение»
Знакомство с уравнением происходит при решении задачи с отвлеченными числами. Например, к неизвестному числу прибавили 3 и получили 8; найти неизвестное число. По данным задачи составляется пример с неизвестным числом ( ___ + 3 =8). Затем учитель поясняет, что в математике принято обозначать неизвестное число латинскими буквами (н-р, Х (икс)). Предлагается записать пример с заменой неизвестного буквой. Ставиться цель научиться решать такие примеры. Решение основывается на знании состава числа и использовании наглядных пособий (кружки к примеру). Аналогично еще несколько примеров. После чего учитель поясняет, что такие примеры называются уравнениями и, что найти неизвестное число — значит решить уравнение. Определение уравнения и корня уравнения не дается в начальных классах.
III. Формирование умения решать уравнения
Способы решения уравнений
1. Способ подбора. Подбирается подходящее значение неизвестного числа из заданных значений, либо произвольного множества чисел. При подстановке данного числа в уравнение, оно должно превращать его в верное равенство. При подборе необходимо обращать внимание на то, с какого числа целесообразно начинать подбор. Подбор неизвестного числа может осуществляться с использованием числового ряда, по таблице сложения, с опорой на состав числа, в том числе на десятичный.
Накопленный опыт у школьников при решении уравнений позволяет им сократить количество подборов, что способствует углублению осознанности.
Виды заданий:
36+х+х+х=35.
Очевидно, что неизвестное м. принимать только нулевое значение.
78-х-х=76.
Очевидно, что х = 1, поскольку 78-1-1=76. математических выражений: «Найди уравнение среди предложенных записей:
х+5=6, х-2, 9=х+2, 3+2=5».
2. Способ, опирающийся на взаимосвязь компонентов действий. Используются правила взаимосвязи компонентов действий. Трудность использования данных правил заключается в том, что многие дети путают правила взаимосвязи компонентов действий и названия компонентов (необходимо знать 6 правил и название 10 компонентов).
Виды заданий:
9+х=14. Неизвестно слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое. Значит х = 14-9, х=5.
7-х=2. Неизвестно вычитаемое. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность. Значит х=7-2, х=5.
Для решения уравнений данным способом в первое время в своей практике использую алгоритм-помощник для решения уравнений. (Приложение 1)
Особо хочется отметить пункт «проверка»:
- подставь найденное значение неизвестного в уравнение.
- вычисли значение левой части уравнения.
- сравни значение левой и правой части уравнения.
При проверке уравнения следует показать учащимся, что результат, полученный в левой части уравнения, нужно сравнить со значением в правой части. Необходимо добиться осознанного выполнения проверки.
Для уравнений со скобками вида (6+х)-5=38 используется правило взаимосвязи компонентов действий. Левую часть уравнения рассматривают сначала как разность, считая выражение в скобках единым неизвестным компонентом. Этот единый неизвестный компонент — уменьшаемое. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое и т.д.
Ряд альтернативных учебников математики для начальных классов практикуют знакомство детей с более сложными уравнениями (Аргинская, Петерсон), для решения которых правила взаимосвязи компонентов действий рекомендуется применять многократно.
IV. Формирование умения решать задачи с помощью уравнений
Процесс решения текстовой задачи с помощью уравнений состоит из следующих этапов:
- Восприятие текста задачи и первичный анализ ее содержания.
- Поиск решения:
- выделение неизвестных чисел;
- выбор неизвестного, которое целесообразно обозначить буквой;
- переформулировка текста задачи с принятыми обозначениями;
- запись полученного текста.
- Составление уравнения, его решение, проверка, перевод найденного значения переменной на язык текста задачи.
- Проверка решения задачи любым известным способом.
- Формулирование ответа на вопрос задачи.
Общеобразовательная школа выступает в качестве того учреждения, которое самым непосредственным образом отвечает за качество человеческой истории.
Каждое поколение людей предъявляет свои требования к школе. Раньше первостепенной задачей считалось вооружение учащихся глубокими знаниями, умениями и навыками. Сегодня задачи общеобразовательной школы иные. Обучение в школе не столько вооружает знаниями, умениями, навыками. На первый план выходит формирование универсальных учебных действий, обеспечивающих школьникам умение учиться, способность в массе информации отобрать нужное, саморазвиваться и самосовершенствоваться. Используя алгоритм, дети легко определяются с выбором действия, чей компонент нужно найти. В процессе алгоритмического решения необходимо выбрать нужный алгоритм, что требует конкретных знаний, переноса знаний в новую ситуацию, что учит думать.