Как составить уравнение стороны параллелограмма

Как составить уравнение двух сторон параллелограмма и его диагонали

Даны уравнения двух сторон параллелограмма 8х+3у+1=0, 2х+у-1=0 и уравнение одной из его диагоналей 3х+2у+3=0. Определить координаты вершин этого параллелограмма.

Выразим у:

Мы видим, что в уравнениях сторон коэффициенты при х не равны, значит прямые, определяемые этими уравнениями, не параллельны. То есть пересекаются, образуя одну из вершин. Пусть это будет вершина А. И пусть первое уравнение – сторона АВ, второе – А D .

Для нахождения точки А приравняем эти два уравнения:

А(-2;5)

Мы видим, что уравнение 3х+2у+3=0 задает диагональ BD . Поэтому, приравняв сначала 1 и 3, а затем 2 и 3 уравнения, найдем соответственно точки D и В.

Итак В (1;-3) D (5;-9)

Как известно в параллелограмме противоположные стороны параллельны, то есть коэффициенты k при х равны. Поэтому для сторон ВС и CD остаются неизвестными только свободные члены d . Найдем их, подставив в уравнения прямых их известные точки D и В соответственно:

Теперь для нахождения точки С приравняем уравнения сторон BC и CD

С(8;-17)

Как составить уравнение двух сторон параллелограмма и его диагонали

Даны уравнения двух сторон параллелограмма x + 2y + 1 = 0 (AB), 2x + y — 3 = 0 (AD) и точка пересечения его диагоналей N(1, 2). Найти уравнения двух других сторон этого параллелограмма.

При решении, замечая, что данные стороны параллелограмма не параллельны, будем следовать такому плану:

1) Найдем координаты точки A пересечения данных сторон.

2) Зная координаты точек A и N, найдем координаты точки C, что мы легко сможем сделать по формуле определения координат середины отрезка.

3) Через найденную точку C проведем сначала прямую, параллельную AD, а потом прямую, параллельную AB.

4) Определим координаты точки A, как точки пересечения прямых AB и AD, и получим, что

5) Формулы для определения координат середины отрезка в данном случае запишутся так:

По этим формулам получим

Итак, точка .

6) Через точку C проведем прямую, параллельную AD, и получим, что уравнение стороны BC будет таким:

Задача 36074 Помогите, пожалуйста, решить. Даны.

Условие

Помогите, пожалуйста, решить. Даны уравнения двух смежных сторон параллелограмма х+у+5=0 и х-4у=0. Составить уравнения двух других сторон, если известна точка пересечения его диагоналей Р(2;-2).

Решение

Найдем точку пересечения смежных сторон
4y+y+5=0
5y=-5
y=-1
x=-4
А(-1;-4)
Р-середина диагонали АС
Значит, можем найти координаты точки С

Две другие стороны параллельны данным
Запишем данные уравнения в виде уравнений с угловым коэффициентом
x+y+5=0⇒y=-x-5
k=-1
Значит уравнение параллельной стороны имеет вид
y=-x+b
Для нахождения b подставляем координаты точки С:
8=-5+b
b=13
y=-x+13
[b]x+y-13=0[/b]

x-4y=0 ⇒ y=(1/4)x
Значит уравнение параллельной стороны имеет вид
y=y=(1/4)x+b

Для нахождения b подставляем координаты точки С:
8=(1/4)*(5)+b
b=8-(5/4)=27/4

Как составлять уравнение двух сторон параллелограмма

Даны уравнения двух сторон параллелограмма x + 2y + 1 = 0 (AB), 2x + y — 3 = 0 (AD) и точка пересечения его диагоналей N(1, 2). Найти уравнения двух других сторон этого параллелограмма.

При решении, замечая, что данные стороны параллелограмма не параллельны, будем следовать такому плану:

1) Найдем координаты точки A пересечения данных сторон.

2) Зная координаты точек A и N, найдем координаты точки C, что мы легко сможем сделать по формуле определения координат середины отрезка.

3) Через найденную точку C проведем сначала прямую, параллельную AD, а потом прямую, параллельную AB.

4) Определим координаты точки A, как точки пересечения прямых AB и AD, и получим, что

5) Формулы для определения координат середины отрезка в данном случае запишутся так:

По этим формулам получим

Итак, точка .

6) Через точку C проведем прямую, параллельную AD, и получим, что уравнение стороны BC будет таким:

Как составлять уравнение двух сторон параллелограмма

Даны уравнения двух сторон параллелограмма 8х+3у+1=0, 2х+у-1=0 и уравнение одной из его диагоналей 3х+2у+3=0. Определить координаты вершин этого параллелограмма.

Выразим у:

Мы видим, что в уравнениях сторон коэффициенты при х не равны, значит прямые, определяемые этими уравнениями, не параллельны. То есть пересекаются, образуя одну из вершин. Пусть это будет вершина А. И пусть первое уравнение – сторона АВ, второе – А D .

Для нахождения точки А приравняем эти два уравнения:

А(-2;5)

Мы видим, что уравнение 3х+2у+3=0 задает диагональ BD . Поэтому, приравняв сначала 1 и 3, а затем 2 и 3 уравнения, найдем соответственно точки D и В.

Итак В (1;-3) D (5;-9)

Как известно в параллелограмме противоположные стороны параллельны, то есть коэффициенты k при х равны. Поэтому для сторон ВС и CD остаются неизвестными только свободные члены d . Найдем их, подставив в уравнения прямых их известные точки D и В соответственно:

Теперь для нахождения точки С приравняем уравнения сторон BC и CD

С(8;-17)

8.1.3. Свойство углов и сторон параллелограмма

Задача 1. Один из углов параллелограмма равен 65°. Найти остальные углы параллелограмма.

∠C =∠A = 65° как противоположные углы параллелограмма.

∠А +∠В = 180° как углы, прилежащие к одной стороне параллелограмма.

∠В = 180° — ∠А = 180° — 65° = 115°.

∠D =∠B = 115° как противолежащие углы параллелограмма.

Ответ: ∠А =∠С = 65°; ∠В =∠D = 115°.

Задача 2. Сумма двух углов параллелограмма равна 220°. Найти углы параллелограмма.

Так как у параллелограмма имеется 2 равных острых угла и 2 равных тупых угла, то нам дана сумма двух тупых углов, т.е. ∠В +∠D = 220°. Тогда ∠В =∠D = 220°: 2 = 110°.

∠А +∠В = 180° как углы, прилежащие к одной стороне параллелограмма, поэтому ∠А = 180° — ∠В = 180° — 110° = 70°. Тогда ∠C =∠A = 70°.

Ответ: ∠А =∠С = 70°; ∠В =∠D = 110°.

Задача 3. Один из углов параллелограмма в 3 раза больше другого. Найти углы параллелограмма.

Пусть ∠А =х. Тогда ∠В = 3х. Зная, что сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной его стороне равна 180°, составим уравнение.

х = 180 : 4;

Получаем: ∠А =х = 45°, а ∠В = 3х = 3 ∙ 45° = 135°.

Противолежащие углы параллелограмма равны, следовательно,

∠А =∠С = 45°; ∠В =∠D = 135°.

Ответ: ∠А =∠С = 45°; ∠В =∠D = 135°.

Задача 4. Докажите, что если у четырехугольника две стороны параллельны и равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Проведем диагональ BD и рассмотрим Δ ADB и Δ CBD.

AD = BC по условию. Сторона BD – общая. ∠1 = ∠2 как внутренние накрест лежащие при параллельных (по условию) прямых AD и BC и секущей BD. Следовательно, Δ ADB = Δ CBD по двум сторонам и углу между ними (1-й признак равенства треугольников). В равных треугольниках соответственные углы равны, значит, ∠3 =∠4. А эти углы являются внутренними накрест лежащими при прямых AB и CD и секущей BD. Отсюда следует параллельность прямых AB и CD. Таким образом, в данном четырехугольнике ABCD противолежащие стороны попарно параллельны, следовательно, по определению ABCD – параллелограмм, что и требовалось доказать.

Задача 5. Две стороны параллелограмма относятся как 2 : 5, а периметр равен 3,5 м. Найти стороны параллелограмма.

Периметр параллелограмма P_ABCD= 2 ∙ (AB + AD).

Обозначим одну часть через х. тогда AB = 2x, AD = 5x метров. Зная, что периметр параллелограмма равен 3,5 м, составим уравнение:

2 ∙ (2x + 5x) = 3,5;

2 ∙ 7x = 3,5;

x = 3,5 : 14;

Одна часть составляет 0,25 м. Тогда AB = 2 ∙ 0,25 = 0,5 м; AD = 5 ∙ 0,25 = 1,25 м.

Периметр параллелограмма P_ABCD= 2 ∙ (AB + AD) = 2 ∙ (0,25 + 1,25) = 2 ∙ 1,75 = 3,5 (м).

Так как противоположные стороны параллелограмма равны, то CD = AB = 0,25 м; BC = AD = 1,25 м.

Задача: Даны 2 смежные вершины паралелограмма А(-2.6), В(2,8). Диагонали пересекаются в точке М(2,2). Найти координаты 2 других вершин С и D и записать уравнения сторон в общем виде.

Мое решение: (-2+xC)/2=2 xC=6
(6+yC)/2=2 yC=2
C(6,2)

(2+xD)/2=2 xD=2
(8+yD)/2=2 yD=-4
D(2,-4)

Запишем уравнения сторон, используя формулу (x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1)
Уравнение для стороны BD
(x-2)/(2-2)=(y-8)/(-4-8)
y=8 НЕПРАВИЛЬНО?

Для АD
(x+2)/(2+2)=(y-6)/(-4-6)
5x +2y-2=0 ТУТ ВРОДЕ ВСЕ НОРМАЛЬНО

Для СD
(x-6)/(2-6)=(y+2)/(-4+2)
x-2y-8=0 НЕПРАВИЛЬНО?

Чертила этот паралелограмм, проверяла уравнения прямых, подставляя значения — 1 и 3 уравнения не правильные получаются.

Прошу, помогите разобраться чайнику!

210

Определить, какие из точек M₁(3; 1), M₂(2; 3), M₃(6; 3), M₄(-3;
-3), M₅(3; -1), M₆(-2; 1) лежат
на прямой и какие на ней не лежат. 211 Точки P₁,
P₂, P₃, P₄, P₅ расположены
на прямой ; их абсциссы соответственно равны
числам 4; 0; 2; -2; -6. Определить ординаты этих точек. 212 Точки Q₁,
Q₂, Q₃, Q₄, Q₅ расположены
на прямой ; их ординаты соответственно равны
числам 1; 0; 2; -1, 3. Определить абсциссы этих точек. 213 Определить точки
пересечения прямой с координатными
осями и построить эту прямую на чертеже. 214 Найти точку
пересечения двух прямых , . 215 Стороны АВ, ВС и АС
треугольника АВС даны соответственно
уравнениями , , . Определить
координаты его вершин. 216 Даны уравнения двух
сторон параллелограмма , и уравнение одной из
его диагоналей .
Определить координаты вершин
этого параллелограмма. 217 Стороны
треугольника лежат на прямых , , . Вычислить его площадь S. 218 Площадь
треугольника S=8, две его вершины суть точки А(1; -2),
В(2; 3), а третья вершина С лежит на прямой . Определить координаты вершины С. 219 Площадь
треугольника S=1,5, две его вершины суть точки А(2;
-3), В(3; -2), центр масс этого треугольника лежит на
прямой .
Определить координаты третьей
вершины С. 220 Составить
уравнение прямой и построить прямую на чертеже,
зная ее угловой коэффициент k и отрезок b,
отсекаемый ею на оси Oy: 220.1 k=2/3, b=3; 220.2 k=3, b=0; 220.3 k=0, b=-2; 220.4 k=-3/4, b=3; 220.5 k=-2, b=-5; 220.6 k=-1/3, b=2/3. 221 Определить угловой
коэффициент k и отрезок b, отсекаемый на оси Oy, для
каждой из прямых: 221.1 ; 221.2 ; 221.3 ; 221.4 ; 221.5 . 222 Дана прямая . Определить угловой коэффициент k
прямой: 222.1 Параллельной
данной прямой; 222.2 Перпендикулярно к
данной прямой. 223 Дана прямая . Составить уравнение прямой,
проходящей через точку М₀(2; 1): 223.1 Параллельно данной
прямой; 223.2 Перпендикулярно
данной прямой. 224 Даны уравнения двух
сторон прямоугольника , и одна из его вершин
А(2; -3). Составить уравнения двух других сторон
этого прямоугольника. 225 Даны уравнения двух
сторон прямоугольника , и уравнение одной из
его диагоналей .
Найти вершины прямоугольника. 226 Найти проекцию
точке Р(-5; 13) относительно прямой . 227 Найти точку Q,
симметричную точке Р(-5; 13) относительно прямой . 228 В каждом из
следующих случаев составить уравнение прямой,
параллельной двум данным прямым и проходящей
посередине между ними: 228.1 , ; 228.2 , ; 228.3 , ; 228.4 , ; 228.5 , . 229 Вычислить угловой
коэффициент k прямой, проходящей через две данные
точки: 229.1 M₁(2;
-5), M₂(3; 2); 229.2 P(-3, 1), Q(7; 8); 229.3 A(5; -3), B(-1; 6). 230 Составить
уравнения прямых, проходящих через вершины
треугольника A(5; -4), B(-1; 3), C(-3; -2) параллельно
противоположным сторонам. 231 Даны середины
сторон треугольника M₁(2; 1), M₂(5;
3), M₃(3; -4). Составить
уравнение его сторон. 232 Даны две точки P(2; 3),
Q(-1; 0). Составить уравнение прямой, проходящей
через точку Q перпендикулярно к отрезку . 233 Составить
уравнение прямой, если точка P(2; 3) служит
основанием перпендикуляра, опущенного из начала
координат на эту прямую. 234 Даны вершины
треугольника M₁(2; 1), M₂(-1; -1),
M₃(3; 2). Составить уравнения
его высот. 235 Стороны
треугольника даны уравнениями , , . Определить точку пересечения его
высот. 236 Даны вершины
треугольника A(1; -1), B(-2; 1), C(3; 5). Составить
уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины
А на медиану, проведенную из вершины В. 237 Даны вершины
треугольника A(2; -2), B(3; -5), C(5; 7). Составить
уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины
С на биссектрису внутреннего угла при вершине А. 238 Составить
уравнения сторон и медиан треугольника с
вершинами A(3; 2), B(5; -2), C(1; 0). 239 Через точки M₁(-1; 2), M₂(2; 3) проведена
прямая. Определить точки пересечения этой прямой
с осями координат. 240

Доказать,
что условие, при котором три точки M₁(x₁,
y₁), M₂(x₂, y₂), M₃(x₃,
y₃) лежат на одной прямой,
может быть записано в следующем виде:

241

Доказать,
что уравнение прямой, проходящей через две
данные точки M₁(x₁, y₁),
M₂(x₂, y₂), может
быть записано в следующем виде:

242 Даны
последовательные вершины выпуклого
четырехугольника A(-3; 1), B(3; 9), C(7; 6), D(-2; -6).
Определить точку пересечения его диагоналей. 243 Даны две смежные
вершины A(-3; -1), B(2; 2) параллелограмма ABCD и точка Q(3;
0) пересечения его диагоналей. Составить
уравнения сторон этого параллелограмма. 244 Даны уравнения двух
сторон прямоугольника , и уравнение его
диагонали . Составить уравнения остальных
сторон и второй диагонали этого прямоугольника. 245 Даны вершины
треугольника A(1; -2), B(5; 4), C(-2; 0). Составить
уравнения биссектрис его внутреннего и внешнего
углов при вершине А. 246 Составить
уравнение прямой, проходящей через точку P(3; 5) на
одинаковых расстояниях от точек A(-7; 3) и B(11; -15). 247 Найти проекцию
точки P(-8; 12) на прямую, проходящую через точки A(2;
-3), B(-5; 1). 248 Найти точку M₁, симметричную точке М₂(8;
-9) относительно прямой,
проходящей через точки А(3; -4), B(-1; -2). 249 На оси абсцисс
найти такую точку P, чтобы сумма ее расстояний до
точек M(1; 2), N(3; 4) была наименьшей. 250 На оси ординат
найти такую точку P, чтобы сумма ее расстояний до
точек M(-3; 2), N(2; 5) была наибольшей. 251 На прямой найти такую точку Р, сумма
расстояний которой до точек A(-7; 1), B(-5; 5) была бы
наименьшей. 252 На прямой найти такую точку Р, разность
расстояний которой до точек A(4; 1), B(0; 4) была бы
наибольшей. 253 Определить угол между двумя прямыми: 253.1 , ; 253.2 , ; 253.3 , ; 253.4 , . 254 Дана прямая . Составить уравнение прямой,
проходящей через точку M₀(2; 1) под углом 45⁰ к данной прямой. 255 Точка А(-4; 5)
является вершиной квадрата, диагональ которого
лежит на прямой . Составить
уравнения сторон и второй диагонали этого
квадрата. 256 Даны две
противоположные вершины квадрата A(-1; 3), C(6; 2).
Составить уравнения его сторон. 257 Точка E(1; -1) является
центром квадрата, одна из сторон которого лежит
на прямой . Составить уравнения
прямых, на которых лежат остальные стороны этого
квадрата. 258 Из точки M₀(-2; 3) под углом к оси
Ox направлен луч света. Известно, что . Дойдя
до оси Ox, луч от нее отразился. Составить
уравнения прямых, на которых лежат падающий и
отраженный лучи. 259 Луч света направлен
по прямой , луч от нее отразился.
Составить уравнение прямой, на которой лежит
отраженный луч. 260 Даны уравнения
сторон треугольника , , . Доказать, что этот треугольник
равнобедренный. Решить задачу при помощи
сравнения углов треугольника. 261 Доказатть, что
уравнение прямой, проходящей через точку M₁(x₁; y₁) параллельно
прямой , может быть записано в виде . 262 Составить
уравнение прямой, проходящей через точку М₁(2: -3) параллельно
прямой: 262.1 ; 262.2 ; 262.3 ; 262.4 ; 262.5 . 263 Доказать, что
условие перпендикулярности прямых ; может быть записано
в следующем виде: . 264 Установить, какие
из следующих пар прямых перпендикулярны. Решить
задачу, не вычисляя угловых коэффициентов данных
прямых. 264.1  , ; 264.2 , ; 264.3 , ; 264.4 , ; 264.5 , ; 264.6 , . 265

Доказать,
что формула для определения угла между
прямыми , может
быть записана в следующей форме:

266 Определить угол , образованный двумя прямыми. Решить
задачу, не вычисляя угловых коэффициентов данных
прямых. 266.1 , ; 266.2  , ; 266.3  , . 267 Даны две вершины
треугольника M₁(-10; 2), M₂(6; 4);
его высоты пересекаются в точке
N(5; 2). Определить координаты третьей вершины M₃. 268 Даны две вершины A(3;
-1), B(5; 7) треугольника ABC и точка N(4; -1) пересечения
его высот. Составить уравнения сторон этого
треугольника. 269 В треугольнике АВС
даны: уравнение стороны АВ: , уравнения
высот АМ: и BN: . Составить уравнения двух
других сторон и третьей высоты этого
треугольника. 270 Составить
уравнения сторон треугольника АВС, если даны
одна из его вершина А(1; 3) и уравнения двух медиан , . 271 Составить
уравнения сторон треугольника, сли даны одна из
его вершин B(-4; -5) и уравнения двух высот , . 272 Составить
уравнения сторон треугольника, зная одну из его
вершин A(4; -1) и уравнения двух биссектрис , . 273 Составить
уравнения сторон треугольника, зная одну из его
вершин B(2; 6), а также уравнения высоты и
биссектрисы , проведенных из одной вершины. 274 Составить
уравнения сторон треугольника, зная одну его
вершину B(2; -1), а также уравнения высоты и биссектрисы , проведенных из
различных вершин. 275 Составить
уравнения сторон треугольника, зная одну его
вершину C(4; -1), а также уравнения высоты и медианы , проведенной из
одной вершины. 276 Составить
уравнения сторон треугольника, зная одну его
вершину B(2; -7), а также уравнения высоты и медианы , проведенных из
различных вершин. 277 Составить
уравнения сторон треугольника, зная одну его
вершину C(4; 3), а также уравнения биссектрисы и медианы , проведенных из
одной вершины. 278 Составить
уравнения сторон треугольника, зная одну его
вершину A(3; -1), а также уравнения биссектрисы и медианы , проведенных из
различных вершин. 279 Составить
уравнение прямой, которая проходит черезначало
координат и вместе с прямыми , образует
треугольник с площадью, равной 1,5. 280 Среди прямых,
проходящих через точку P(3; 0), найти такую, отрезок
которой, заключенный между прямыми , , делится в точке Р
пополам. 281 Через точку Р(-3; -1)
проведены всевозможные прямые. Доказать, что
отрезок каждой из них, заключенный между прямыми , , делится
в точке Р пополам. 282 Через точку Р(0; 1)
проведены всевозможные прямые. Доказать, что
среди них нет прямой, отрезок которой,
заключенный между прямыми , , делился бы в точке Р
пополам. 283 Составить
уравнение прямой, проходящей через начало
координат, зная, что длина ее отрезка,
заключенного между прямыми , , равна . 284 Составить
уравнение прямой, проходящей через точку С(-5; 4),
зная, что длина ее отрезка, заключенного между
прямыми , , равна 5.

Сообщения без ответов | Активные темы

Похожие темы	Автор	Ответы	Просмотры	Последнее сообщение
Составить уравнения двух других сторон параллелограмма в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра	uhr	2	786	29 окт 2015, 15:52
Написать уравнения 2-х других сторон параллелограмма в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра	Oleg95	7	682	13 янв 2015, 09:25
Уравнения сторон параллелограмма в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра	av 5566	4	1303	25 июн 2017, 17:31
Даны уравнения сторон параллелограмма в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра	vader2010	4	738	08 ноя 2015, 19:04
Найти уравнения сторон параллелограмма в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра	lanvandance	3	495	05 ноя 2018, 18:17
уравнения двух сторон прямоугольника в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра	Okay	1	694	11 ноя 2013, 17:26
Даны уравнения двух сторон в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра	VadimPlokhikh	7	1862	31 янв 2014, 00:15
Составить уравнения сторон в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра	helpmeplzzz	1	399	11 янв 2015, 19:02
Даны уравнения двух сторон треугольника в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра	Nino	8	1040	07 ноя 2013, 07:59
Составить уравнения сторон треугольника в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра	PsiX	1	1277	24 окт 2015, 23:12

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4

Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения