Как составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин?
Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.
Следовательно, для составления уравнения высоты треугольника нужно:
- Найти уравнение стороны треугольника.
- Составить уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину треугольника.
Пример.
Дано: ΔABC, A(-7;2), B(5;-3), C(1;8).
Написать уравнения высот треугольника.
Решение:
1) Составим уравнение стороны BC треугольника ABC.
Прямая y=kx+b проходит через точки B(5;-3), C(1;8), значит, координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой. Подставив координаты B и C в уравнение прямой, составляем систему уравнений и решаем её:
Таким образом, уравнение прямой BC —
Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной BC,
Значит, уравнение высоты, проведённой к стороне BC, имеет вид
Поскольку эта прямая проходит через точку A(-7;2), подставляем координаты точки в уравнение и находим b:
Итак, уравнение высоты, проведённой к стороне BC:
2) Составим уравнение стороны AB треугольника ABC. A(-7;2), B(5;-3):
Уравнение прямой AB:
Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой
Значит уравнение перпендикулярной AB прямой имеет вид y=2,5x+b. Подставляем в это уравнение координаты точки C(1;8): 8=2,5·1+b, откуда b=5,5.
Получили уравнение высоты, проведённой из точки C к стороне BC: y=2,5x+5,5.
3) Составим уравнение стороны AC треугольника ABC. A(-7;2), C(1;8):
Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AC,
Таким образом, уравнение перпендикулярной AC прямой имеет вид
Подставив в него координаты точки B(5;-3), найдём b:
Итак, уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B:
Уравнение высоты треугольника
Как составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин?
Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.
Следовательно, для составления уравнения высоты треугольника нужно:
- Найти уравнение стороны треугольника.
- Составить уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину треугольника.
Дано: ΔABC, A(-7;2), B(5;-3), C(1;8).
Написать уравнения высот треугольника.
1) Составим уравнение стороны BC треугольника ABC.
Прямая y=kx+b проходит через точки B(5;-3), C(1;8), значит, координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой. Подставив координаты B и C в уравнение прямой, составляем систему уравнений и решаем её:
Таким образом, уравнение прямой BC —
Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной BC,
Значит, уравнение высоты, проведённой к стороне BC, имеет вид
Поскольку эта прямая проходит через точку A(-7;2), подставляем координаты точки в уравнение и находим b:
Итак, уравнение высоты, проведённой к стороне BC:
2) Составим уравнение стороны AB треугольника ABC. A(-7;2), B(5;-3):
Уравнение прямой AB:
Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой
Значит уравнение перпендикулярной AB прямой имеет вид y=2,5x+b. Подставляем в это уравнение координаты точки C(1;8): 8=2,5·1+b, откуда b=5,5.
Получили уравнение высоты, проведённой из точки C к стороне BC: y=2,5x+5,5.
3) Составим уравнение стороны AC треугольника ABC. A(-7;2), C(1;8):
Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AC,
Таким образом, уравнение перпендикулярной AC прямой имеет вид
Подставив в него координаты точки B(5;-3), найдём b:
Итак, уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B:
Высота треугольника онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора можно найти высоту треугольника. Для нахождения высоты треугольника введите известные элементы треугольника и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть смотрите ниже.
Открыть онлайн калькулятор
Высота треугольника. Определение
Определение 1. Отрезок, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника.
Высота треугольника может содержаться внутри треугольника (Рис.1), совпадать со стороной треугольника (при прямоугольном треугольнике высота совпадает с катетом (Рис.2) ), проходить вне треугольника (при тупоугольном треугольнике(Рис.3)).
Теорема о пересечении высот треугольника
Теорема 1. Все три высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.
Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник ABC (Рис.4). Докажем, что высоты ( small AA_1 ,) ( small BB_1 ,) ( small CC_1 ) пересекаются в одной точке. Из каждой вершины треугольника проведем прямую, параллельно противоположной стороне. Получим треугольник ( small A_2B_2C_2. ) Покажем, что точки ( small A, B, C ) являются серединами сторон треугольника ( small A_2B_2C_2. ) ( small AB=A_2C ) так как они являются противоположными сторонами параллелограмма ( small ABA_2C. ) ( small AB=CB_2 ) так как они являются противоположными сторонами параллелограмма ( small ABCB_2. ) Тогда ( small CB_2=CA_2, ) то есть точка ( small C ) является серединой стороны ( small A_2B_2 ) треугольника ( small A_2B_2C_2. ) Аналогично доказывается, что точки ( small A ) и ( small B ) являются серединами сторон ( small B_2C_2 ) и ( small A_2C_2, ) соответственно.
Далее из ( small AA_1⊥BC ) следует, что ( small AA_1⊥B_2C_2 ) поскольку ( small BC ǁ B_2C_2 ). Аналогично, ( small BB_1⊥A_2C_2, ) ( small CC_1⊥A_2B_2. ) Получили, что ( small AA_1,) ( small BB_1, ) ( small CC_1) являются серединными перпендикулярами сторон ( small B_2C_2, ) ( small A_2C_2, ) ( small A_2B_2, ) соответственно. Но серединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке (см. статью Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника). Следовательно высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке.
Точка пересечения высот треугольника называется ортоцентром.
Высота треугольника по основанию и площади
Пусть известны сторона треугольника и площадь. Найти высоту треугольника, отпущенная на известную сторону (Рис.5).
Решение. Площадь треугольника по основанию и высоте вычисляется из формулы:
.
. | (1) |
Пример 1. Сторона треугольника равна ( small a=5 ) а площадь ( small S=7. ) Найти высоту треугольника.
Применим формулу (1). Подставляя значения ( small a ) и ( small S ) в (1), получим:
Ответ:
Высота треугольника по трем сторонам
Формула площади треугольника по трем сторонам имеет следующий вид (см. статью на странице Площадь треугольника онлайн):
(2) |
где ( small a, b, c ) стороны треугольника а полупериод ( small p ) вычисляется из формулы:
(3) |
Высота треугольника, отпущенная на сторону ( small a) вычисляется из формулы (1). Подставляя (2) в (1), получим формулу вычисления высоты треугольника по трем сторонам:
. | (4) |
Пример 2. Известны стороны треугольника: ( small a=5, ) ( small b= 4, ) ( small c=7. ) Найти высоту треугольника, отпущенная на сторону ( small a. )
Решение: Найдем, сначала полупериод ( small p ) треугольника из формулы (3):
Подставляя значения ( small a , b, c ) и ( small p ) в (4), получим:
Ответ:
Высота треугольника по двум сторонам и радиусу описанной окружности
Рассмотрим треугольник на рисунке 6. Из теоремы синусов имеем:
(5) |
(6) |
Далее, из теоремы синусов имеем:
(7) |
Подставляя (6) в (7), получим:
(8) |
Отметим, что радиус описанной окружности должен удовлетворять следующему неравенству:
(small max (b,c) ≤2R Пример 3. Известны стороны треугольника: ( small b=7, ) ( small c= 3 ) и радиус описанной окружности ( small R=4. ) Найти высоту треугольника, отпущенная на сторону ( small a. )
Решение: Проверим сначала условие (9):
(small max (7,3) ≤2 cdot 4 Ответ: ( small 2frac<5><8>. )
Высота треугольника по стороне и прилежащему к ней углу
Найдем высоту ( small h_a ) треугольника на рисунке 7. Из теоремы синусов имеем:
( small frac<large h_a><large sin angle B>=frac<large c><large sin 90°>, )
( small h_a=c cdot sin angle B. ) | (11) |
Пример 4. Известны сторона ( small c=12 ) треугольника и прилежащий угол ( small angle B=30°. ) Найти высоту треугольника, отпущенная на сторону ( small a. )
Решение: Для нахождения высоты треугольника подставим значения ( small c=12 ) и ( small angle B=30° ) в (11). Имеем:
Уравнение высоты треугольника по координатам формула
Как составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин?
Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.
Следовательно, для составления уравнения высоты треугольника нужно:
- Найти уравнение стороны треугольника.
- Составить уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину треугольника.
Дано: ΔABC, A(-7;2), B(5;-3), C(1;8).
Написать уравнения высот треугольника.
1) Составим уравнение стороны BC треугольника ABC.
Прямая y=kx+b проходит через точки B(5;-3), C(1;8), значит, координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой. Подставив координаты B и C в уравнение прямой, составляем систему уравнений и решаем её:
Таким образом, уравнение прямой BC —
Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной BC,
Значит, уравнение высоты, проведённой к стороне BC, имеет вид
Поскольку эта прямая проходит через точку A(-7;2), подставляем координаты точки в уравнение и находим b:
Итак, уравнение высоты, проведённой к стороне BC:
2) Составим уравнение стороны AB треугольника ABC. A(-7;2), B(5;-3):
Уравнение прямой AB:
Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой
Значит уравнение перпендикулярной AB прямой имеет вид y=2,5x+b. Подставляем в это уравнение координаты точки C(1;8): 8=2,5·1+b, откуда b=5,5.
Получили уравнение высоты, проведённой из точки C к стороне BC: y=2,5x+5,5.
3) Составим уравнение стороны AC треугольника ABC. A(-7;2), C(1;8):
Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AC,
Таким образом, уравнение перпендикулярной AC прямой имеет вид
Подставив в него координаты точки B(5;-3), найдём b:
Итак, уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B:
Даны координаты вершин треугольника .
1) Вычислить длину стороны .
2) Составить уравнение линии .
3) Составить уравнение высоты, проведенной из вершины А, и найти ее длину.
4) Найти точку пересечения медиан.
5) Найти косинус внутреннего угла при вершине В.
6) Найти координаты точки М, расположенной симметрично точке А, относительно прямой ВС.
А
1. Длина стороны ВС равна модулю вектора .
; .
2. Уравнение прямой ВС: ; ; .
3. Уравнение высоты АК запишем как уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору :
. Длину высоты АК можно найти как расстояние от точки А до прямой ВС: .
4. Найдем координаты точки N – середины стороны ВС:
; ; .
Точка пересечения медиан О делит каждую медиану на отрезки в отношении .
Используем формулы деления отрезка в данном отношении :
.
5. Косинус угла при вершине В найдем как косинус угла между векторами и ;
.
6. Точка М, симметричная точке А относительно прямой ВС, расположена на прямой АК, перпендикулярной к прямой ВС, на таком же расстоянии от прямой, как и точка А. Координаты точки К найдем как решения системы Систему решим по формулам Крамера:
.
Точка К является серединой отрезка АМ.
.
Контрольные варианты к задаче 2
Даны координаты вершин треугольника АВС. Требуется:
1) вычислить длину стороны ВС;
2) составить уравнение линии ВС;
3) составить уравнение высоты, проведенной из вершины А;
4) вычислить длину высоты, проведенной из вершины А;
5) найти точку пересечения медиан;
6) вычислить внутренний угол при вершине В;
7) найти координаты точки М, расположенной симметрично точке А относительно прямой ВС.
1. | . | 2. | . |
3. | . | 4. | . |
5. | . | 6. | . |
7. | . | 8. | . |
9. | . | 10. | . |
11. | . | 12. | . |
13. | . | 14. | . |
15. | . | 16. | . |
17. | . | 18. | . |
19. | . | 20. | . |
21. | . | 22. | . |
23. | . | 24. | . |
25. | . | 26. | . |
27. | . | 28. | . |
29. | . | 30. | . |
Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:
Лучшие изречения: Учись учиться, не учась! 10637 – | 8008 – или читать все.
Вы можете заказать решение работы
по адресу , вместо бульдога ставьте @
Нужны сторона AB, высота CD, медиана AE и площадь. Координаты вершин А(-8;-3) В(4;-12) С(8;10)
Уравнение прямой, проходящей через две точки (x1,y1) и (x2,y2), описывается уравнением:
Для прямой AB:
(x+8)·(-9)-(y+3)·12 = 0
-9x-72-12y-36 = 0
9x+12y+108 = 0
3x + 4y + 36 = 0
Для отыскания уравнения высоты CD найдем сначала уравнение прямой, которая ей перпендикулярна. Это прямая AB (уравнение у нас есть). Выразим y через x явно:
y = -(3/4)x-9
Если прямая задана уравнением y = kx+b, то перпендикулярная ей прямая будет иметь вид y = (-1/k)x + d. Поэтому искомая высота имеет уравнение:
y = (4/3)x + d. Постоянную d найдем из условия, что высота проходит через точку С.
10 = (32/3) + d,
d = -2/3
Таким образом, уравнение высоты CD: y = (4/3)x – 2/3, или, что то же, 4x-3y-2 = 0
Медиана AE проходит через две точки – точку А и середину отрезка BC. Найдем координаты середины BC по формуле:
X = (x1+x2)/2, Y = (y1+y2)/2. Искомые координаты: XE = 6, YE = -1
Теперь ищем уравнение прямой, идущей через две точки: A(-8;-3) и E(6;-1) по указанному выше уравнению.
(x+8)·2-(y+3)·14 = 0
x+8-7y-21 = 0
x-7y-13 = 0
Это уравнение медианы AE.
Площадь треугольника, заданного на плоскости координатами вершин (x1,y1) (x2,y2) (x3,y3) определяется выражением:
S = (1/2)·|(x3-x1)·(y2-y1) – (y3-y1)·(x2-x1)|
S = (1/2)·|16·(-9)-13·12| = 300/2 = 150 (кв. ед.)
http://matworld.ru/geometry/vysota-treugolnika.php
http://4apple.org/uravnenie-vysoty-treugolnika-po-koordinatam/
Решить треугольник Онлайн по координатам
Данный онлайн-сервис вычисляет (показываются промежуточные расчёты) следующие параметры треугольника:
1) длины и уравнения сторон, медиан, средних линий, высот, серединных перпендикуляров, биссектрис;
2) система линейных неравенств, определяющих треугольник;
2) уравнения прямых, проходящих через вершины параллельно противолежащим сторонам;
3) внутренние углы по теореме косинусов;
4) площадь треугольника;
5) точка пересечения медиан (центроид) и точки пересечения медиан со сторонами;
10) параметры вписанной и описанной окружностей и их уравнения.
Внимание! Этот сервис не работает в браузере IE (Internet Explorer).
Запишите координаты вершин треугольника и нажмите кнопку.
Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
8
Даны вершины
треугольника.
Найти:
-
длину стороны ВС;
-
уравнение высоты ВС;
-
уравнение высоты, проведённой из вершины
А; -
длину высоты, проведённой из вершины
А; -
угол В.
Сделать чертёж.
Дано: А(-8;3), В(4;-2), С(7;2).
РЕШЕНИЕ
-
Длину стороны ВС находим по формуле
.
По условию имеем В(4;-2), С(7;2).
-
Найдём уравнение стороны ВС. Найдём
уравнение прямой, на которой лежит
сторона ВС. Используем уравнение прямой,
проходящей через две точки
,
полагая
-
Найдём уравнение высоты, проведённой
из вершины А. При составлении уравнения
прямой, на которой лежит высота
треугольника, воспользуемся формулой
и условием перпендикулярности двух
прямых
:
Определим угловой коэффициент прямой
ВС. Для этого разрешим уравнение стороны
ВС относительно у:
Следовательно, высота, проведённая из
точки А, имеет угловой коэффициент
Тогда, уравнение высоты, опущенной из
вершины А(-8;3) на сторону ВС:
-
Найдём длину высоты, проведённой из
вершины А. Она равна расстоянию от точки
А(-8;3) до прямой ВС заданной уравнением
.
По формуле
вычисляем расстояние от точки А до
прямой ВС, полагая
-
Найдём угол В. Угол В равен углу между
прямыми ВС и АВ и может быть найден с
помощью формулы
.
Угловой коэффициент прямо ВС известен
и равен
.
Найдём угловой коэффициент прямой АВ
по формуле:
Тогда получаем,
И угол равен
Выполним чертёж. В прямоугольной
декартовой системе координат хОу строим
исходные точки и получаем треугольник
АВС. Затем из вершины А опустим
перпендикуляр на сторону ВС, получим
АК.
18
Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4.
Найти:
-
координаты вектора
и длину ребра
; -
угол между рёбрами
и
; -
площадь грани
; -
объём пирамиды;
-
уравнение плоскости
; -
уравнение прямой
; -
угол между ребром
и гранью
; -
уравнение высоты, опущенной из вершины
на грань
;
Сделать чертёж.
Дано: А1(7;2;2), А2(5;7;7), А3(5;3;1),
А4(2;3;7).
РЕШЕНИЕ
-
Вектор
равен
Длину ребра
можно найти как расстояние между двумя
точками
и
,
оно равно
Получаем
-
Угол между рёбрами
и
найдём как угол между векторами
и
.
Вектор
Таким образом, имеем два вектора
и
,
угол между ними найдём по формуле:
Скалярное произведение двух векторов
в числителе дроби находили как сумму
произведений одноимённых координат
(проекций).
-
Площадь грани
равна половине площади параллелограмма,
построенного на векторах, как на
сторонах. И площадь треугольника
можно вычислить через векторное
произведение
Координаты вектора
или
Векторное произведение вычислим через
определитель 3-го порядка, разложив его
по элементам первой строки:
Модуль векторного произведения
-
Объём треугольной пирамиды А1А2А3А4
можно рассматривать как одну шестую
часть объёма параллелепипеда, построенного
на векторах
,
и
как на рёбрах:
Смешанное произведение трёх векторов
равно
-
Уравнение плоскости
имеет вид
или для нашей задачи
Разложим определитель по элементам
первой строки:
-
Уравнения прямой
найдём в канонической форме, для этого
воспользуемся уравнением прямой,
проходящей через две заданные точки
и
:
,
-
Углом ψ между ребром
и гранью
будет острый угол между прямой
и её проекцией на плоскость
.
Для нахождения угла ψ воспользуемся
формулой
Канонические уравнения прямой
получим как:
Отсюда l=5; m=1;
n=-5, где l,
m, n –
координаты направляющего вектора прямой
:
;
Уравнение плоскости
было получено в пункте 5:
Отсюда А=5; В=7; С=-4, где А, В, С – координаты
нормального вектора плоскости
:
Тогда получаем
-
Уравнения высоты, опущенной из вершины
на грань
.
Канонические уравнения прямой, проходящей
через точку
,
имеют вид
,
где l, m, n
– координаты направляющего вектора
прямой.
Так как высота перпендикулярна плоскости
,
то из условия перпендикулярности прямой
и плоскости
координаты направляющего вектора
прямой, перпендикулярной плоскости
можно заменить координатами нормального
вектора плоскости l=A=5;
m=B=7; n=C=-4.
Окончательно получим
Выполним чертёж пирамиды как пересечения
плоскостей её граней:
Грань А1А2А4:
Грань А1А2А3:
Грань А1А3А4:
Грань А2А3А4:
28
Составить уравнение и построить линию,
каждая точка которой равноотстоит от
оси ординат и от окружности
РЕШЕНИЕ
В системе координат хОу строим ось
ординат х=0 и окружность
Пусть точка М(х; у) – произвольная точка
искомого геометрического места точек.
Опустим перпендикуляры на ось ординат
и на окружность.
Тогда расстояние от произвольной точки
М(х; у) до оси ординат
–
абсцисса точки М(х; у), а расстояние от
точки М(х; у) до окружности
.
Приравнивая эти расстояния и снимая
знак модуля, получаем
Получили уравнение параболы, строим
верхнюю часть окружности и параболы,
так как чертёж симметричный:
Соседние файлы в папке Приборостроителям
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Пример 1:
Построить треугольник, вершины которого находятся в точках А (2; 4), В (-3; 2), С (-3; -4). Найти:
1) уравнения сторон треугольника АВС;
2) координаты точки пересечения медиан;
3) длину и уравнение высоты, опущенной из вершины А;
4) площадь треугольника.
Решение от преподавателя:
Уравнение, прямой проходящей через две точки
1) Уравнения сторон треугольника АВС
2) Координаты точки пересечения медиан
Медиана – отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Координаты т. E как середины отрезка ВС.
Уравнение АЕ
Координаты т. К как середины отрезка АВ.
Уравнение СК
3) Длина и уравнение высоты, опущенной из вершины А
Расстояние от точки до прямой
Уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно другой прямой
Уравнение AN
4) Площадь треугольника
Длина ВС
Пример 2:
Решение от преподавателя:
Пример 3:
По координатам вершин треугольника ABC найти:
- периметр треугольника;
- уравнения сторон AB и BC;
- уравнение высоты AD; угол ABC;
- площадь треугольника.
Сделать чертеж.
А(1; 2); В (–1; 2); С(3; 0).
Решение от преподавателя:
Пример 4:
Даны координаты вершин треугольникаА, В, С.
Требуется найти:
1) уравнение и длину стороны ВС;
2) уравнение и длину высоты, проведённой из вершиныА;
3) уравнение медианы, проведённой из вершиныА;
4) площадь треугольника.
Сделать чертёж.
А(4;-3), B(-2;-1), C(3;-2).
Решение от преподавателя:
Пример 5:
Решение от преподавателя:
1)
2)
3) Находим координаты точки М – середины стороны ВС:
Определяем длину медианы АМ:
4) Составляем уравнение медианы – прямой АМ:
5) Если ВН – высота, проведенная из вершины В к стороне АС, то, поскольку ВН проходит через точку В перпендикулярно вектору , то составляем уравнение высоты по формуле , где (a,b) – координаты вектора перпендикулярного искомой прямой, – координаты точки, принадлежащей этой прямой. Находим координаты вектора АС:
и подставляем в формулу, ,
6) Длину высоты ВН находим как расстояние от точки В до прямой АС:
7) Площадь треугольника АВС:
Находим угол ВАС треугольника:
9) Составляем уравнение прямой, проходящей через т.А параллельно ВС:
Ответ:
Пример 6:
Решение от преподавателя:
- Уравнение прямой
Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1) и A2(x2; y2), представляется уравнениями:
Уравнение прямой AB
Каноническое уравнение прямой:
или
или
y = -3/7x + 16/7 или 7y + 3x — 16 = 0 - Обозначим середину стороны AB буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.
M(3;1)
Уравнение медианы CM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана CМ проходит через точки C(-8;2) и М(3;1), поэтому:
Каноническое уравнение прямой:
или
или
y = -1/11x + 14/11 или 11y + x — 14 = 0 - Уравнение высоты через вершину C
Прямая, проходящая через точку N0(x0;y0) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями:
Найдем уравнение высоты через вершину C
y = 7/3x + 62/3 или 3y -7x — 62 = 0 - уравнение параллельной прямой AB, проходящей через точку (-8,2)
Уравнение прямой AB: y = -3/7x + 16/7
Уравнение KN параллельно AB находится по формуле:
y — y0 = k(x — x0)
Подставляя x0 = -8, k = -3/7, y0 = 2 получим:
y-2 = -3/7(x-(-8))
или
y = -3/7x — 10/7 или 7y + 3x +10 = 0
Пример 7:
Даны координаты вершин треугольника: A(1,1), B(4,13), C(10,5).
Решение от преподавателя:
4) Уравнение высоты через вершину C
Прямая, проходящая через точку N0(x0;y0) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями:
Найдем уравнение высоты через вершину C
y = -1/4x + 15/2 или 4y +x -30 = 0
Данное уравнение можно найти и другим способом. Для этого найдем угловой коэффициент k1 прямой AB.
Уравнение AB: y = 4x -3, т.е. k1 = 4
Найдем угловой коэффициент k перпендикуляра из условия перпендикулярности двух прямых: k1*k = -1.
Подставляя вместо k1 угловой коэффициент данной прямой, получим:
4k = -1, откуда k = -1/4
Так как перпендикуляр проходит через точку C(10,5) и имеет k = -1/4,то будем искать его уравнение в виде: y-y0 = k(x-x0).
Подставляя x0 = 10, k = -1/4, y0 = 5 получим:
y-5 = -1/4(x-10)
или
y = -1/4x + 15/2 или 4y + x — 30 = 0
Найдем точку пересечения с прямой AB:
Имеем систему из двух уравнений:
y -4x +3 = 0
4y + x — 30 = 0
Из первого уравнения выражаем y и подставим во второе уравнение.
Получаем:
x = 42/17
y = 117/17
D(42/17;117/17)
Длина высоты треугольника, проведенной из вершины C
Расстояние d от точки M1(x1;y1) до прямой Ax + By + С = 0 равно абсолютному значению величины:
Найдем расстояние между точкой C(10;5) и прямой AB (y -4x +3 = 0)
5,7) Уравнение медианы треугольника
Обозначим середину стороны BC буквой Е. Тогда координаты точки Е найдем по формулам деления отрезка пополам.
Е(7;9)
Уравнение медианы AЕ найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки A(1;1) иЕ(7;9), поэтому:
Каноническое уравнение прямой:
или
или
y = 4/3x -1/3 или 3y -4x +1 = 0
Найдем длину медианы.
Расстояние между двумя точками выражается через координаты формулой:
6) CD—диаметр окружности. Центр окружности точка О лежит в середине отрезка CD
Уравнение окружности (x-x0)2+(y-y0)2=r2
(x-106/17)2+(y-101/17)2=256/17
Уравнение прямой, параллельной CD, проходящей через точку A
Так как прямая проходит через точку А(1,1) и имеет k = -1/4, ( так как уравнение CD:y = -1/4x + 15/2 или 4y + x — 30 = 0 ),
то будем искать уравнение в виде: y-y0 = k(x-x0).
Подставляя x0 = 1, k = -1/4, y0 = 1получим:
y-1 = -1/4(x-1)
или
y = -1/4x + ¼+1 или 4y + x — 5 = 0
Пример 8:
Решение от преподавателя:
Точка D – середина стороны АВ , ее координаты равны полусумме координат А и В. Получим D(1, -1)
Пример 9:
Даны координаты вершин треугольника АВС: А (3,-2), В (-5,-4), С (-1,6).
Найдите: 1) уравнения сторон треугольника АВ, ВС и АС;
2) периметр (сумму длин) треугольника;
3) уравнение высоты СН;
4) расстояние d от точки С до прямой АВ;
5) сделайте чертеж.
Решение от преподавателя:
Решение.
1) уравнения сторон треугольника АВ, ВС и АС
Уравнение, прямой проходящей через две точки
2) периметр (сумму длин) треугольника
Расстояние между двумя точками
3) уравнение высоты СН
Уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно другой прямой
4) расстояние d от точки С до прямой АВ
Расстояние от точки до прямой
Пример 10:
Даны вершины A (x1; y1), B (x2; y2), C (x3; y3) треугольника.
Найти: 1) уравнение стороны AB;
2) уравнение медианы, проведенной из вершины C;
3) уравнение высоты, проведенной из вершины C ;
4) уравнение прямой, проходящей через вершину C параллельно стороне AB .
A (6; 0), B (2; − 6), C (−3; −9).
Решение от преподавателя:
Пример 11:
Решение от преподавателя:
Пример 12:
Дан треугольник с координатами вершин найти:
а) длину стороны AB;
б) косинус угла ABC;
в) площадь треугольника ABC (через векторное произведение);
Решение от преподавателя:
Пример 13:
Решение от преподавателя:
Даны координаты вершин треугольника: A(6,0), B(2,-6), C(-3,-9).
1) Уравнение прямой
Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1) и A2(x2; y2), представляется уравнениями:
Уравнение прямой AB
Каноническое уравнение прямой:
или
или
y = 3/2x -9 или 2y -3x +18 = 0
2) Уравнение медианы треугольника
Обозначим середину стороны AB буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.
M(4;-3)
Уравнение медианы CM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана CМ проходит через точки C(-3;-9) и М(4;-3), поэтому:
Каноническое уравнение прямой:
или
или
y = 6/7x -45/7 или 7y -6x +45 = 0
3) Уравнение высоты через вершину C
Прямая, проходящая через точку N0(x0;y0) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями:
Найдем уравнение высоты через вершину C
y = -2/3x -11 или 3y +2x + 33 = 0
4) Уравнение прямой, параллельной AB, проходящей через С(-3,-9)
Уравнение прямой AB: 2y -3x +18 = 0
Уравнение СN параллельно AB находится по формуле:
Или 2y -3x +9 = 0
Пример 14:
Даны вершины треугольника А(8,1), В(0,3), С(-2,-3). Напишите уравнения стороны AB, медианы AD, высоты BE.
Решение от преподавателя:
Даны координаты вершин треугольника: A(8,1), B(0,3), C(-2,-3).
1) Уравнение прямой (АВ)
Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1) и A2(x2; y2), представляется уравнениями:
Уравнение прямой AB
или
или
4y + x — 12 = 0
2)Уравнение медианы (АD)
Обозначим середину стороны BC буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.
M(-1;0)
Уравнение медианы AM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана AМ проходит через точки A(8;1) и М(-1;0), поэтому:
или
или
y = 1/9x + 1/9 или 9y -x — 1 = 0
3) Уравнение высоты через вершину B
Найдем уравнение высоты через вершину B
Для этого найдем угловой коэффициент k1 прямой AC.
Уравнение прямой AC
уравнение прямой, проходящей через 2 точки:
или
или
y = 2/5x -11/5 т.е. k1 = 2/5
Найдем угловой коэффициент k перпендикуляра из условия перпендикулярности двух прямых: k1*k = -1.
Подставляя вместо k1 угловой коэффициент данной прямой, получим:
2/5k = -1, откуда k = -5/2
Так как перпендикуляр проходит через точку B(0,3) и имеет k = -5/2,то будем искать его уравнение в виде: y-y0 = k(x-x0).
Подставляя x0 = 0, k = -5/2, y0 = 3 получим:
y-3 = -5/2(x-0)
или
y = -5/2x + 3 или 2y + 5x — 6 = 0 — уравнение (ВЕ)
Пример 15:
Дан треугольник АВС. Найти:
а) величину угла А;
б) уравнение стороны АС;
в) уравнение высоты и медианы, опущенных из вершины В.
Сделать чертеж.
А(-1,2); В(1,3); С(3,-4).
Решение от преподавателя:
Пример 16:
Треугольник задан вершинами А(-6; -2); В(4; 8); С(2; -8). Найти:
а) уравнение прямой BN, параллельной стороне АС;
б) уравнение медианы CD;
в) уравнение высоты АЕ;
Решение от преподавателя:
а) уравнение прямой BN, параллельной стороне АС;
Уравнение прямой AC:
Каноническое уравнение прямой:
или
или
y = -3/4x -13/2 или 4y + 3x +26 = 0
Уравнение BN параллельно AC находится по формуле:
y — y0 = k(x — x0)
Подставляя x0 = 4, k = -3/4, y0 = 8 получим:
y-8 = -3/4(x-4)
или
y = -3/4x + 11 или 4y + 3x — 44 = 0
б) уравнение медианы CD;
Обозначим середину стороны AB буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.
M(-1;3)
Уравнение медианы CM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана CМ проходит через точки C(2;-8) и М(-1;3), поэтому:
Каноническое уравнение прямой:
или
или
y = -11/3x -2/3 или 3y + 11x +2 = 0
в) уравнение высоты АЕ;
Прямая, проходящая через точку Е0(x0;y0) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями:
Найдем уравнение высоты через вершину A
y = -1/8x — 11/4 или 8y +x + 22 = 0
Пример 17:
A(1, 2), В(5, 8), С(11, 3).
Решение от преподавателя:
Пример 18:
В ∆ABC вершины имеют координаты точки А (-3;4), точки В (-4;-3), точки С (8;1).
Составить уравнения стороны (AB), высоты (ВК) и медианы (CМ).
Решение от преподавателя:
Уравнение прямой AB
Каноническое уравнение прямой:
или
или
x +4 = 0 или x = -4
Уравнение прямой AC
Каноническое уравнение прямой:
или
или
y = -1/4x + 3 или 4y + x — 12 = 0
Найдем уравнение высоты через вершину B
y = 4x + 13 или y -4x — 13 = 0
Уравнение медианы CM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана CМ проходит через точки C(8;1) и М(-4;1/2), поэтому:
Каноническое уравнение прямой:
или
или
y = 1/24x + 2/3 или 24y -x — 16 = 0
Пример 19:
Дан треугольник ABC с координатами вершин A(-5;-3; 2), B(-2;-6;-3) и C(-2; 2;-1).
Найти:
а) длину стороны АВ;
б) косинус угла ABC;
в) площадь треугольника АВС (через векторное произведение).