Как составить уравнение высоты если даны стороны треугольника

Как составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин?

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.

Следовательно, для составления уравнения высоты треугольника нужно:

1. Найти уравнение стороны треугольника.
2. Составить уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину треугольника.

Пример.

Дано: ΔABC, A(-7;2), B(5;-3), C(1;8).

Написать уравнения высот треугольника.

Решение:

1) Составим уравнение стороны BC треугольника ABC.

Прямая y=kx+b проходит через точки B(5;-3), C(1;8), значит, координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой. Подставив координаты B и C в уравнение прямой, составляем систему уравнений и решаем её:

   

Таким образом, уравнение прямой BC —

   

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной BC,

   

Значит, уравнение высоты, проведённой к стороне BC, имеет вид

   

Поскольку эта прямая проходит через точку A(-7;2), подставляем координаты точки в уравнение и находим b:

   

Итак, уравнение высоты, проведённой к стороне BC:

   

2) Составим уравнение стороны AB треугольника ABC. A(-7;2), B(5;-3):

   

Уравнение прямой AB:

   

Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой

   

Значит уравнение перпендикулярной AB прямой имеет вид y=2,5x+b. Подставляем в это уравнение координаты точки C(1;8): 8=2,5·1+b, откуда b=5,5.
Получили уравнение высоты, проведённой из точки C к стороне BC: y=2,5x+5,5.
3) Составим уравнение стороны AC треугольника ABC. A(-7;2), C(1;8):

   

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AC,

   

Таким образом, уравнение перпендикулярной AC прямой имеет вид

   

Подставив в него координаты точки B(5;-3), найдём b:

   

Итак, уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B:

   

Уравнение высоты треугольника

Как составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин?

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.

Следовательно, для составления уравнения высоты треугольника нужно:

1. Найти уравнение стороны треугольника.
2. Составить уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину треугольника.

Дано: ΔABC, A(-7;2), B(5;-3), C(1;8).

Написать уравнения высот треугольника.

1) Составим уравнение стороны BC треугольника ABC.

Прямая y=kx+b проходит через точки B(5;-3), C(1;8), значит, координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой. Подставив координаты B и C в уравнение прямой, составляем систему уравнений и решаем её:

Таким образом, уравнение прямой BC —

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной BC,

Значит, уравнение высоты, проведённой к стороне BC, имеет вид

Поскольку эта прямая проходит через точку A(-7;2), подставляем координаты точки в уравнение и находим b:

Итак, уравнение высоты, проведённой к стороне BC:

2) Составим уравнение стороны AB треугольника ABC. A(-7;2), B(5;-3):

Уравнение прямой AB:

Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой

Значит уравнение перпендикулярной AB прямой имеет вид y=2,5x+b. Подставляем в это уравнение координаты точки C(1;8): 8=2,5·1+b, откуда b=5,5.
Получили уравнение высоты, проведённой из точки C к стороне BC: y=2,5x+5,5.
3) Составим уравнение стороны AC треугольника ABC. A(-7;2), C(1;8):

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AC,

Таким образом, уравнение перпендикулярной AC прямой имеет вид

Подставив в него координаты точки B(5;-3), найдём b:

Итак, уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B:

Высота треугольника онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти высоту треугольника. Для нахождения высоты треугольника введите известные элементы треугольника и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть смотрите ниже.

Открыть онлайн калькулятор

Высота треугольника. Определение

Определение 1. Отрезок, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника.

Высота треугольника может содержаться внутри треугольника (Рис.1), совпадать со стороной треугольника (при прямоугольном треугольнике высота совпадает с катетом (Рис.2) ), проходить вне треугольника (при тупоугольном треугольнике(Рис.3)).

Теорема о пересечении высот треугольника

Теорема 1. Все три высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник ABC (Рис.4). Докажем, что высоты ( small AA_1 ,) ( small BB_1 ,) ( small CC_1 ) пересекаются в одной точке. Из каждой вершины треугольника проведем прямую, параллельно противоположной стороне. Получим треугольник ( small A_2B_2C_2. ) Покажем, что точки ( small A, B, C ) являются серединами сторон треугольника ( small A_2B_2C_2. ) ( small AB=A_2C ) так как они являются противоположными сторонами параллелограмма ( small ABA_2C. ) ( small AB=CB_2 ) так как они являются противоположными сторонами параллелограмма ( small ABCB_2. ) Тогда ( small CB_2=CA_2, ) то есть точка ( small C ) является серединой стороны ( small A_2B_2 ) треугольника ( small A_2B_2C_2. ) Аналогично доказывается, что точки ( small A ) и ( small B ) являются серединами сторон ( small B_2C_2 ) и ( small A_2C_2, ) соответственно.

Далее из ( small AA_1⊥BC ) следует, что ( small AA_1⊥B_2C_2 ) поскольку ( small BC ǁ B_2C_2 ). Аналогично, ( small BB_1⊥A_2C_2, ) ( small CC_1⊥A_2B_2. ) Получили, что ( small AA_1,) ( small BB_1, ) ( small CC_1) являются серединными перпендикулярами сторон ( small B_2C_2, ) ( small A_2C_2, ) ( small A_2B_2, ) соответственно. Но серединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке (см. статью Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника). Следовательно высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке.

Точка пересечения высот треугольника называется ортоцентром.

Высота треугольника по основанию и площади

Пусть известны сторона треугольника и площадь. Найти высоту треугольника, отпущенная на известную сторону (Рис.5).

Решение. Площадь треугольника по основанию и высоте вычисляется из формулы:

.

.

(1)

Пример 1. Сторона треугольника равна ( small a=5 ) а площадь ( small S=7. ) Найти высоту треугольника.

Применим формулу (1). Подставляя значения ( small a ) и ( small S ) в (1), получим:

Ответ:

Высота треугольника по трем сторонам

Формула площади треугольника по трем сторонам имеет следующий вид (см. статью на странице Площадь треугольника онлайн):

(2)

где ( small a, b, c ) стороны треугольника а полупериод ( small p ) вычисляется из формулы:

(3)

Высота треугольника, отпущенная на сторону ( small a) вычисляется из формулы (1). Подставляя (2) в (1), получим формулу вычисления высоты треугольника по трем сторонам:

.

(4)

Пример 2. Известны стороны треугольника: ( small a=5, ) ( small b= 4, ) ( small c=7. ) Найти высоту треугольника, отпущенная на сторону ( small a. )

Решение: Найдем, сначала полупериод ( small p ) треугольника из формулы (3):

Подставляя значения ( small a , b, c ) и ( small p ) в (4), получим:

Ответ:

Высота треугольника по двум сторонам и радиусу описанной окружности

Рассмотрим треугольник на рисунке 6. Из теоремы синусов имеем:

(5)

(6)

Далее, из теоремы синусов имеем:

(7)

Подставляя (6) в (7), получим:

(8)

Отметим, что радиус описанной окружности должен удовлетворять следующему неравенству:

(small max (b,c) ≤2R Пример 3. Известны стороны треугольника: ( small b=7, ) ( small c= 3 ) и радиус описанной окружности ( small R=4. ) Найти высоту треугольника, отпущенная на сторону ( small a. )

Решение: Проверим сначала условие (9):

(small max (7,3) ≤2 cdot 4 Ответ: ( small 2frac<5><8>. )

Высота треугольника по стороне и прилежащему к ней углу

Найдем высоту ( small h_a ) треугольника на рисунке 7. Из теоремы синусов имеем:

( small frac<large h_a><large sin angle B>=frac<large c><large sin 90°>, )

( small h_a=c cdot sin angle B. )

(11)

Пример 4. Известны сторона ( small c=12 ) треугольника и прилежащий угол ( small angle B=30°. ) Найти высоту треугольника, отпущенная на сторону ( small a. )

Решение: Для нахождения высоты треугольника подставим значения ( small c=12 ) и ( small angle B=30° ) в (11). Имеем:

Уравнение высоты треугольника по координатам формула

Как составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин?

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.

Следовательно, для составления уравнения высоты треугольника нужно:

1. Найти уравнение стороны треугольника.
2. Составить уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину треугольника.

Дано: ΔABC, A(-7;2), B(5;-3), C(1;8).

Написать уравнения высот треугольника.

1) Составим уравнение стороны BC треугольника ABC.

Прямая y=kx+b проходит через точки B(5;-3), C(1;8), значит, координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой. Подставив координаты B и C в уравнение прямой, составляем систему уравнений и решаем её:

Таким образом, уравнение прямой BC —

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной BC,

Значит, уравнение высоты, проведённой к стороне BC, имеет вид

Поскольку эта прямая проходит через точку A(-7;2), подставляем координаты точки в уравнение и находим b:

Итак, уравнение высоты, проведённой к стороне BC:

2) Составим уравнение стороны AB треугольника ABC. A(-7;2), B(5;-3):

Уравнение прямой AB:

Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой

Значит уравнение перпендикулярной AB прямой имеет вид y=2,5x+b. Подставляем в это уравнение координаты точки C(1;8): 8=2,5·1+b, откуда b=5,5.
Получили уравнение высоты, проведённой из точки C к стороне BC: y=2,5x+5,5.
3) Составим уравнение стороны AC треугольника ABC. A(-7;2), C(1;8):

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AC,

Таким образом, уравнение перпендикулярной AC прямой имеет вид

Подставив в него координаты точки B(5;-3), найдём b:

Итак, уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B:

Даны координаты вершин треугольника .

1) Вычислить длину стороны .

2) Составить уравнение линии .

3) Составить уравнение высоты, проведенной из вершины А, и найти ее длину.

4) Найти точку пересечения медиан.

5) Найти косинус внутреннего угла при вершине В.

6) Найти координаты точки М, расположенной симметрично точке А, относительно прямой ВС.

А

1. Длина стороны ВС равна модулю вектора .

; .

2. Уравнение прямой ВС: ; ; .

3. Уравнение высоты АК запишем как уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору :

. Длину высоты АК можно найти как расстояние от точки А до прямой ВС: .

4. Найдем координаты точки N – середины стороны ВС:

; ; .

Точка пересечения медиан О делит каждую медиану на отрезки в отношении .

Используем формулы деления отрезка в данном отношении :

.

5. Косинус угла при вершине В найдем как косинус угла между векторами и ;

.

6. Точка М, симметричная точке А относительно прямой ВС, расположена на прямой АК, перпендикулярной к прямой ВС, на таком же расстоянии от прямой, как и точка А. Координаты точки К найдем как решения системы Систему решим по формулам Крамера:

.

Точка К является серединой отрезка АМ.

.

Контрольные варианты к задаче 2

Даны координаты вершин треугольника АВС. Требуется:

1) вычислить длину стороны ВС;

2) составить уравнение линии ВС;

3) составить уравнение высоты, проведенной из вершины А;

4) вычислить длину высоты, проведенной из вершины А;

5) найти точку пересечения медиан;

6) вычислить внутренний угол при вершине В;

7) найти координаты точки М, расположенной симметрично точке А относительно прямой ВС.

1.	.	2.	.
3.	.	4.	.
5.	.	6.	.
7.	.	8.	.
9.	.	10.	.
11.	.	12.	.
13.	.	14.	.
15.	.	16.	.
17.	.	18.	.
19.	.	20.	.
21.	.	22.	.
23.	.	24.	.
25.	.	26.	.
27.	.	28.	.
29.	.	30.	.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Учись учиться, не учась! 10637 – | 8008 – или читать все.

Вы можете заказать решение работы
по адресу , вместо бульдога ставьте @

Нужны сторона AB, высота CD, медиана AE и площадь. Координаты вершин А(-8;-3) В(4;-12) С(8;10)

Уравнение прямой, проходящей через две точки (x1,y1) и (x2,y2), описывается уравнением:

Для прямой AB:
(x+8)·(-9)-(y+3)·12 = 0
-9x-72-12y-36 = 0
9x+12y+108 = 0
3x + 4y + 36 = 0

Для отыскания уравнения высоты CD найдем сначала уравнение прямой, которая ей перпендикулярна. Это прямая AB (уравнение у нас есть). Выразим y через x явно:
y = -(3/4)x-9

Если прямая задана уравнением y = kx+b, то перпендикулярная ей прямая будет иметь вид y = (-1/k)x + d. Поэтому искомая высота имеет уравнение:

y = (4/3)x + d. Постоянную d найдем из условия, что высота проходит через точку С.

10 = (32/3) + d,
d = -2/3

Таким образом, уравнение высоты CD: y = (4/3)x – 2/3, или, что то же, 4x-3y-2 = 0

Медиана AE проходит через две точки – точку А и середину отрезка BC. Найдем координаты середины BC по формуле:
X = (x1+x2)/2, Y = (y1+y2)/2. Искомые координаты: X_E = 6, Y_E = -1

Теперь ищем уравнение прямой, идущей через две точки: A(-8;-3) и E(6;-1) по указанному выше уравнению.

(x+8)·2-(y+3)·14 = 0
x+8-7y-21 = 0
x-7y-13 = 0

Это уравнение медианы AE.

Площадь треугольника, заданного на плоскости координатами вершин (x1,y1) (x2,y2) (x3,y3) определяется выражением:

S = (1/2)·|(x3-x1)·(y2-y1) – (y3-y1)·(x2-x1)|
S = (1/2)·|16·(-9)-13·12| = 300/2 = 150 (кв. ед.)

Решить треугольник Онлайн по координатам

Данный онлайн-сервис вычисляет (показываются промежуточные расчёты) следующие параметры треугольника:

1) длины и уравнения сторон, медиан, средних линий, высот, серединных перпендикуляров, биссектрис;

2) система линейных неравенств, определяющих треугольник;

2) уравнения прямых, проходящих через вершины параллельно противолежащим сторонам;

3) внутренние углы по теореме косинусов;

4) площадь треугольника;

5) точка пересечения медиан (центроид) и точки пересечения медиан со сторонами;

10) параметры вписанной и описанной окружностей и их уравнения.

Внимание! Этот сервис не работает в браузере IE (Internet Explorer).

Запишите координаты вершин треугольника и нажмите кнопку.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Уравнение высоты треугольника

Как составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин?

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.

Следовательно, для составления уравнения высоты треугольника нужно:

1. Найти уравнение стороны треугольника.
2. Составить уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину треугольника.

Дано: ΔABC, A(-7;2), B(5;-3), C(1;8).

Написать уравнения высот треугольника.

1) Составим уравнение стороны BC треугольника ABC.

Прямая y=kx+b проходит через точки B(5;-3), C(1;8), значит, координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой. Подставив координаты B и C в уравнение прямой, составляем систему уравнений и решаем её:

Таким образом, уравнение прямой BC —

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной BC,

Значит, уравнение высоты, проведённой к стороне BC, имеет вид

Поскольку эта прямая проходит через точку A(-7;2), подставляем координаты точки в уравнение и находим b:

Итак, уравнение высоты, проведённой к стороне BC:

2) Составим уравнение стороны AB треугольника ABC. A(-7;2), B(5;-3):

Уравнение прямой AB:

Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой

Значит уравнение перпендикулярной AB прямой имеет вид y=2,5x+b. Подставляем в это уравнение координаты точки C(1;8): 8=2,5·1+b, откуда b=5,5.
Получили уравнение высоты, проведённой из точки C к стороне BC: y=2,5x+5,5.
3) Составим уравнение стороны AC треугольника ABC. A(-7;2), C(1;8):

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AC,

Таким образом, уравнение перпендикулярной AC прямой имеет вид

Подставив в него координаты точки B(5;-3), найдём b:

Итак, уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B:

Уравнение высоты треугольника по координатам его вершин

Чтобы составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин нужно:

1. Составить уравнение прямой, на которой лежит высота треугольника:

Так как высота треугольника – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону, то угловые коэффициенты перпендикулярных прямых связаны записанной выше пропорцией.

Уравнение высоты треугольника по координатам его вершин

Составить уравнение высоты треугольника. Пример

Дан треугольник АВС. Вершины треугольника имеют следующие координаты:

На сторону АС опущена высота ВН.

Составить уравнение высоты ВН.

Пример на составление уравнения высоты треугольника

Шаг 1

Составим уравнение прямой, проходящей через точки А и С.

Для этого воспользуемся уравнением прямой с угловым коэффициентом:

Подставим в это уравнение координаты точек А и С:

Уравнение стороны АС имеет вид:

Составить уравнение высоты треугольника. Шаг 1

Шаг 2

Так как прямые АС и ВН перпендикулярны, то, зная угловой коэффициент прямой АС, можем составить уравнение прямой ВН с угловым коэффициентом.

Итак, угловой коэффициент АС равен:

Отсюда, угловой коэффициент ВН будет равен:

Теперь можем записать уравнение высоты ВН:

Точка В(2,4) лежит на прямой ВН, значит, ее координаты удовлетворяют уравнению прямой ВН:

Таким образом, уравнение высоты ВН имеет вид:

Составить уравнение высоты треугольника. Шаг 2

Уравнение прямой с угловым коэффициентом: теория, примеры, решение задач

Продолжение темы уравнение прямой на плоскости основывается на изучении прямой линии из уроков алгебры. Данная статья дает обобщенную информацию по теме уравнения прямой с угловым коэффициентом. Рассмотрим определения, получим само уравнение, выявим связь с другими видами уравнений. Все будет рассмотрено на примерах решений задач.

Угол наклона прямой и угловой коэффициент прямой

Перед записью такого уравнения необходимо дать определение угла наклона прямой к оси О х с их угловым коэффициентом. Допустим, что задана декартова система координат О х на плоскости.

Угол наклона прямой к оси О х , расположенный в декартовой системе координат О х у на плоскости, это угол, который отсчитывается от положительного направления О х к прямой против часовой стрелки.

Когда прямая параллельна О х или происходит совпадение в ней, угол наклона равен 0 . Тогда угол наклона заданной прямой α определен на промежутке [ 0 , π ) .

Угловой коэффициент прямой – это тангенс угла наклона заданной прямой.

Стандартное обозначение буквой k . Из определения получим, что k = t g α . Когда прямая параллельна Ох, говорят, что угловой коэффициент не существует, так как он обращается в бесконечность.

Угловой коэффициент положительный, когда график функции возрастает и наоборот. На рисунке показаны различные вариации расположения прямого угла относительно системы координат со значением коэффициента.

Для нахождения данного угла необходимо применить определение об угловом коэффициенте и произвести вычисление тангенса угла наклона в плоскости.

Посчитать угловой коэффициент прямой при угле наклона равном 120 ° .

Из условия имеем, что α = 120 ° . По определению необходимо вычислить угловой коэффициент. Найдем его из формулы k = t g α = 120 = — 3 .

Если известен угловой коэффициент, а необходимо найти угол наклона к оси абсцисс, тогда следует учитывать значение углового коэффициента. Если k > 0 , тогда угол прямой острый и находится по формуле α = a r c t g k . Если k 0 , тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α = π — a r c t g k .

Определить угол наклона заданной прямой к О х при угловом коэффициенте равном 3 .

Из условия имеем, что угловой коэффициент положительный, а это значит, что угол наклона к О х меньше 90 градусов. Вычисления производятся по формуле α = a r c t g k = a r c t g 3 .

Ответ: α = a r c t g 3 .

Найти угол наклона прямой к оси О х , если угловой коэффициент = — 1 3 .

Если принять за обозначение углового коэффициента букву k , тогда α является углом наклона к заданной прямой по положительному направлению О х . Отсюда k = — 1 3 0 , тогда необходимо применить формулу α = π — a r c t g k При подстановке получим выражение:

α = π — a r c t g — 1 3 = π — a r c t g 1 3 = π — π 6 = 5 π 6 .

Ответ: 5 π 6 .

Уравнение с угловым коэффициентом

Уравнение вида y = k · x + b , где k является угловым коэффициентом, а b некоторым действительным числом, называют уравнением прямой с угловым коэффициентом. Уравнение характерно для любой прямой, непараллельной оси О у .

Если подробно рассмотреть прямую на плоскости в фиксированной системе координат, которая задана уравнением с угловым коэффициентом, который имеет вид y = k · x + b . В данном случае значит, что уравнению соответствуют координаты любой точки прямой. Если подставить координаты точки М , M 1 ( x 1 , y 1 ) , в уравнение y = k · x + b , тогда в этом случае прямая будет проходить через эту точку, иначе точка не принадлежит прямой.

Задана прямая с угловым коэффициентом y = 1 3 x — 1 . Вычислить, принадлежат ли точки M 1 ( 3 , 0 ) и M 2 ( 2 , — 2 ) заданной прямой.

Необходимо подставить координаты точки M 1 ( 3 , 0 ) в заданное уравнение, тогда получим 0 = 1 3 · 3 — 1 ⇔ 0 = 0 . Равенство верно, значит точка принадлежит прямой.

Если подставим координаты точки M 2 ( 2 , — 2 ) , тогда получим неверное равенство вида — 2 = 1 3 · 2 — 1 ⇔ — 2 = — 1 3 . Можно сделать вывод, что точка М 2 не принадлежит прямой.

Ответ: М 1 принадлежит прямой, а М 2 нет.

Известно, что прямая определена уравнением y = k · x + b , проходящим через M 1 ( 0 , b ) , при подстановке получили равенство вида b = k · 0 + b ⇔ b = b . Отсюда можно сделать вывод, что уравнение прямой с угловым коэффициентом y = k · x + b на плоскости определяет прямую, которая проходит через точку 0 , b . Она образует угол α с положительным направлением оси О х , где k = t g α .

Рассмотрим на примере прямую, определенную при помощи углового коэффициента, заданного по виду y = 3 · x — 1 . Получим, что прямая пройдет через точку с координатой 0 , — 1 с наклоном в α = a r c t g 3 = π 3 радиан по положительному направлению оси О х . Отсюда видно, что коэффициент равен 3 .

Уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку

Необходимо решить задачу, где необходимо получить уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом, проходящим через точку M 1 ( x 1 , y 1 ) .

Равенство y 1 = k · x + b можно считать справедливым, так как прямая проходит через точку M 1 ( x 1 , y 1 ) . Чтобы убрать число b, необходимо из левой и правой частей вычесть уравнение с угловым коэффициентом. Из этого следует, что y — y 1 = k · ( x — x 1 ) . Данное равенство называют уравнением прямой с заданным угловым коэффициентом k, проходящая через координаты точки M 1 ( x 1 , y 1 ) .

Составьте уравнение прямой, проходящей через точку М 1 с координатами ( 4 , — 1 ) , с угловым коэффициентом равным — 2 .

Решение

По условию имеем, что x 1 = 4 , y 1 = — 1 , k = — 2 . Отсюда уравнение прямой запишется таким образом y — y 1 = k · ( x — x 1 ) ⇔ y — ( — 1 ) = — 2 · ( x — 4 ) ⇔ y = — 2 x + 7 .

Ответ: y = — 2 x + 7 .

Написать уравнение прямой с угловым коэффициентом, которое проходит через точку М 1 с координатами ( 3 , 5 ) , параллельную прямой y = 2 x — 2 .

По условию имеем, что параллельные прямые имеют совпадающие углы наклона, отсюда значит, что угловые коэффициенты являются равными. Чтобы найти угловой коэффициент из данного уравнения, необходимо вспомнить его основную формулу y = 2 x — 2 , отсюда следует, что k = 2 . Составляем уравнение с угловым коэффициентом и получаем:

y — y 1 = k · ( x — x 1 ) ⇔ y — 5 = 2 · ( x — 3 ) ⇔ y = 2 x — 1

Переход от уравнения прямой с угловым коэффициентом к другим видам уравнений прямой и обратно

Такое уравнение не всегда применимо для решения задач, так как имеет не совсем удобную запись. Для этого необходимо представлять в другом виде. Например, уравнение вида y = k · x + b не позволяет записать координаты направляющего вектора прямой или координаты нормального вектора. Для этого нужно научиться представлять уравнениями другого вида.

Можем получить каноническое уравнение прямой на плоскости, используя уравнение прямой с угловым коэффициентом. Получаем x — x 1 a x = y — y 1 a y . Необходимо слагаемое b перенести в левую часть и поделить на выражение полученного неравенства. Тогда получим уравнение вида y = k · x + b ⇔ y — b = k · x ⇔ k · x k = y — b k ⇔ x 1 = y — b k .

Уравнение прямой с угловым коэффициентом стало каноническим уравнением данной прямой.

Привести уравнение прямой с угловым коэффициентом y = — 3 x + 12 к каноническому виду.

Вычислим и представим в виде канонического уравнения прямой. Получим уравнение вида:

y = — 3 x + 12 ⇔ — 3 x = y — 12 ⇔ — 3 x — 3 = y — 12 — 3 ⇔ x 1 = y — 12 — 3

Ответ: x 1 = y — 12 — 3 .

Общее уравнение прямой проще всего получить из y = k · x + b , но для этого необходимо произвести преобразования: y = k · x + b ⇔ k · x — y + b = 0 . Производится переход из общего уравнения прямой к уравнениям другого вида.

Дано уравнение прямой вида y = 1 7 x — 2 . Выяснить, является ли вектор с координатами a → = ( — 1 , 7 ) нормальным вектором прямой?

Для решения необходимо перейти к другому виду данного уравнения, для этого запишем:

y = 1 7 x — 2 ⇔ 1 7 x — y — 2 = 0

Коэффициенты перед переменными являются координатами нормального вектора прямой. Запишем это так n → = 1 7 , — 1 , отсюда 1 7 x — y — 2 = 0 . Понятно, что вектор a → = ( — 1 , 7 ) коллинеарен вектору n → = 1 7 , — 1 , так как имеем справедливое соотношение a → = — 7 · n → . Отсюда следует, что исходный вектор a → = — 1 , 7 — нормальный вектор прямой 1 7 x — y — 2 = 0 , значит, считается нормальным вектором для прямой y = 1 7 x — 2 .

Решим задачу обратную данной.

Необходимо перейти от общего вида уравнения A x + B y + C = 0 , где B ≠ 0 , к уравнению с угловым коэффициентом. для этого решаем уравнение относительно у. Получим A x + B y + C = 0 ⇔ — A B · x — C B .

Результат и является уравннием с угловым коэффициентом, который равняется — A B .

Задано уравнение прямой вида 2 3 x — 4 y + 1 = 0 . Получить уравнение данной прямой с угловым коэффициентом.

Исходя из условия, необходимо решить относительно у, тогда получим уравнение вида:

2 3 x — 4 y + 1 = 0 ⇔ 4 y = 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 4 · 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 6 x + 1 4 .

Ответ: y = 1 6 x + 1 4 .

Аналогичным образом решается уравнение вида x a + y b = 1 , которое называют уравнение прямой в отрезках, или каноническое вида x — x 1 a x = y — y 1 a y . Нужно решить его относительно у, только тогда получим уравнение с угловым коэффициентом:

x a + y b = 1 ⇔ y b = 1 — x a ⇔ y = — b a · x + b .

Каноническое уравнение можно привести к виду с угловым коэффициентом. Для этого:

x — x 1 a x = y — y 1 a y ⇔ a y · ( x — x 1 ) = a x · ( y — y 1 ) ⇔ ⇔ a x · y = a y · x — a y · x 1 + a x · y 1 ⇔ y = a y a x · x — a y a x · x 1 + y 1

Имеется прямая, заданная уравнением x 2 + y — 3 = 1 . Привести к виду уравнения с угловым коэффициентом.

Исходя из условия, необходимо преобразовать, тогда получим уравнение вида _formula_. Обе части уравнения следует умножить на — 3 для того, чтобы получить необходимо уравнение с угловым коэффициентом. Преобразуя, получим:

y — 3 = 1 — x 2 ⇔ — 3 · y — 3 = — 3 · 1 — x 2 ⇔ y = 3 2 x — 3 .

Ответ: y = 3 2 x — 3 .

Уравнение прямой вида x — 2 2 = y + 1 5 привести к виду с угловым коэффициентом.

Необходимо выражение x — 2 2 = y + 1 5 вычислить как пропорцию. Получим, что 5 · ( x — 2 ) = 2 · ( y + 1 ) . Теперь необходимо полностью его разрешить, для этого:

5 · ( x — 2 ) = 2 · ( y + 1 ) ⇔ 5 x — 10 = 2 y + 2 ⇔ 2 y = 5 x — 12 ⇔ y = 5 2 x

Ответ: y = 5 2 x — 6 .

Для решения таких заданий следует приводит параметрические уравнения прямой вида x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ к каноническому уравнению прямой, только после этого можно переходить к уравнению с угловым коэффициентом.

Найти угловой коэффициент прямой, если она задана параметрическими уравнениями x = λ y = — 1 + 2 · λ .

Необходимо выполнить переход от параметрического вида к угловому коэффициенту. Для этого найдем каноническое уравнение из заданного параметрического:

x = λ y = — 1 + 2 · λ ⇔ λ = x λ = y + 1 2 ⇔ x 1 = y + 1 2 .

Теперь необходимо разрешить данное равенство относительно y , чтобы получить уравнение прямой с угловым коэффициентом. для этого запишем таким образом:

x 1 = y + 1 2 ⇔ 2 · x = 1 · ( y + 1 ) ⇔ y = 2 x — 1

Отсюда следует, что угловой коэффициент прямой равен 2 . Это записывается как k = 2 .



2.9. Типовая задача с треугольником

Многие помнят из школы признаки равенства треугольников, признаки подобия треугольников и мучительное заучивание доказательств теорем. Как в

сердцАх сказал один мой одноклассник, «не понимаю, на### доказывать равенство треугольников, если и так видно, что они одинаковые». Мы тоже не

будем ничего доказывать, поскольку аналитическая геометрия рассматривает треугольник совсем с другой стороны.

Типовая задача, как правило, формулируется так: Даны три вершины треугольника. Требуется найти… много чего требуется

найти…. Повезёт, если будет пункта 3-4, но чаще всего их 5-6 и даже больше. И вам повезло – разберём всё! Или почти всё:

Задача 95

Даны вершины треугольника . Требуется:

1) составить уравнения сторон  и найти их угловые коэффициенты;
2) найти длину стороны ;
3) найти ;
4) составить прямой , проходящей через точку  параллельно прямой ;
5) составить уравнение высоты и найти её длину;
6) вычислить площадь треугольника ;
7) составить уравнение медианы ;
найти точку пересечения .
и для особо опасных энтузиастов:
9) найти уравнение биссектрисы ;
10) найти центр тяжести  треугольника;
11) составить систему линейных неравенств, определяющих треугольник.

С чего начать решение? Начать целесообразно с выполнения чертежа. По условию этого можно не делать, но для самоконтроля и

самопроверки всегда строим чертёж на черновике, не устану это рекомендовать:

Ещё раз напоминаю, что самый выгодный масштаб 1 единица = 1

см (2 тетрадные клетки). Всё хорошо видно, и расстояния удобно измерять линейкой.

Вперёд без страха и сомнений:

1) Составим уравнения сторон  и найдём их угловые

коэффициенты.
Поскольку известны вершины треугольника, то уравнения каждой стороны составим по двум

точкам.

Составим уравнение стороны  по точкам :

Для проверки мысленно либо на черновике подставляем координаты каждой точки в полученное уравнение.

Теперь

найдём угловой коэффициент. Для этого перепишем общее уравнение в виде уравнения с угловым коэффициентом:

Таким образом, угловой коэффициент:

Самостоятельно разбираемся со сторонами  и сверяемся, что

получилось:

2) Найдём длину стороны .  Используем соответствующую формулу для точек :

Сторону легко измерить обычной линейкой, хотя это не сильно строгая проверка

3) Найдём . Это Задача 31, повторим:

Используем формулу .
Найдём векторы:

Таким образом:
, и сам угол:
, ну что же, похоже на правду, желающие могут приложить транспортир, у кого

он есть.

Внимание! При выполнении этого пункта лучше не использовать формулы ориентированного угла

между прямыми, так как они всегда дают острый угол.

4) Составим уравнение прямой , проходящей через точку  параллельно прямой . Это стандартная задача, и мы ленимся отработать её вновь!

Из общего уравнения прямой  вытащим направляющий вектор .

Составим уравнение прямой  по точке  и направляющему вектору :

5) Составим уравнение высоты и найдём её длину.
Первую часть задания мы тоже решали:

Из уравнения стороны  снимаем вектор нормали . Уравнение высоты

 составим по точке  и направляющему вектору :

Обратите внимание, что координаты точки  нам не известны.

Иногда уравнение высоты находят из соотношения угловых коэффициентов перпендикулярных прямых: . В данном случае , тогда: . Уравнение высоты  составим по точке  и угловому коэффициенту :

Длину высоты можно найти двумя способами.

Существует окольный путь:

а) находим  – точку

пересечения высоты и стороны ;

б) находим длину отрезка  по двум

известным точкам.

Но зачем? – ведь есть удобная формула расстояния от точки  до прямой :

6) Вычислим площадь треугольника. Используем «школьную» формулу:

7) Уравнение медианы  составим в два шага:

а) Найдём точку  – середину стороны . Используем формулы координат середины отрезка.

Известны концы , и тогда середина:

б) Уравнение медианы  составим по точкам :

 – для проверки подставим координаты точек .

Найдём точку пересечения  высоты и медианы:
      в

Первое уравнение умножили на 5, складываем их почленно:
 – подставим в первое уравнение:

9) Биссектриса делит угол пополам:

Из свойств биссектрисы внутреннего угла следует соотношение длин следующих отрезков:

Длины сторон уже найдены в предыдущих пунктах: .

Таким образом, . Координаты точки  найдём по формулам деления отрезка в данном отношении. Да,

параметр «лямбда» получился просто сказочным, ну а кому сейчас легко? Точки  известны и понеслась нелёгкая:

Примечание: на последнем шаге я умножил числитель и знаменатель на сопряжённое выражение  – чтобы использовать формулу  и

избавиться от иррациональности в знаменателе.

Разбираемся со второй координатой:

аким образом:  

И предчувствие вас не обмануло, уравнение биссектрисы  составим по точкам  по формуле :

обратите внимание на технику упрощений:

Проверил, всё сходится. На практике, конечно, вычисления почти всегда будут проще. Никого не хотел запугать, так уж получилось =)

10) Найдём центр тяжести треугольника.

Но сначала поймём, что такое центр тяжести плоской фигуры. Мысленно вырежьте из тонкого однородного картона любую фигуру. …Почему-то фигура зайца

в голову пришла. Так вот: если слегка насадить данную фигуру центром тяжести (какой же я изверг =)) на вертикально расположенную иголку, то

теоретически фигура не должна свалиться.

Центром тяжести треугольника является точка пересечения его медиан. В треугольнике три медианы и пересекаются они в одной точке.

Из пункта 7 нам уже известна одна из медиан: .  Как решить задачу?

Напрашивается очевидный алгоритм: можно найти уравнение второй медианы (любой из двух оставшихся) и точку пересечения этих медиан. Но есть путь

короче! Нужно только знать полезное свойство:

Точка пересечения медиан делит каждую из медиан в

отношении , считая от вершины треугольника. Поэтому справедливо

отношение
Нам известны концы отрезка – точки  и .
По формулам деления отрезка в данном отношении:

Таким образом, центр тяжести треугольника:
И заключительный пункт задачи, для освоения которого нужно уметь решать недавно разобранные линейные

неравенства:

11) Составим систему линейных неравенств, определяющих треугольник.

Для удобства я перепишу найденные уравнения сторон:

Рассмотрим прямую . Треугольник лежит в полуплоскости, где находится

вершина . Составим вспомогательный многочлен  и вычислим его значение в точке : . Поскольку сторона  принадлежит треугольнику, то неравенство будет нестрогим:

Внимание! Если вам не понятен этот алгоритм, то обратитесь к

Задаче 90.

Рассмотрим прямую . Треугольник расположен ниже данной прямой, поэтому

очевидно неравенство .

И, наконец, для  составим многочлен , в который подставим координаты точки : .
Таким образом, получаем третье неравенство: .

Итак, треугольник  определяется следующей системой линейных

неравенств:

Готово.

Какой можно сделать вывод?

Многие задачи аналитической геометрии прозрачны и просты,
главное, не допустить вычислительных ошибок.

Следует отметить, что по настоящему трудные задачи в аналитической геометрии встречаются редко, и вы справитесь практически с любой из них!

Главное, придерживаться методики решения и проявить маломальское упорство.

Ну что, может ещё задачку? Да ладно, не надо стесняться, я же по глазам вижу, что хотите =) 

Но сейчас на очереди другая увлекательная тема, продолжаем изучать геометрию плоскости:

3.1. Алгебраическая линия и её порядок

2.8. Как научиться решать задачи по геометрии?

| Оглавление |



Автор: Aлeксaндр Eмeлин