Как составить уравнения кирхгофа для цепи с источником тока

В
электрических схемах, содержащих
ветвей с источниками тока, число
неизвестных токов равно,
поэтому для определения токов в ветвях,
необходимо составить систему уравнений

из
уравнений.
По
первому закону Кирхгофа количество
уравнений будет прежним ().
По второму закону Кирхгофа необходимо
составитьуравнений.

При
формировании графа схемы, ветви с
источниками тока представляются ветвями
связи, поэтому эти ветви входят только
в один контур. Уравнения по второму
закону Кирхгофа для определения токов
в ветвях, составляются для контуров, не
содержащих источники тока.

Пример
2.3.
Рекомендуемый
порядок расчета, рассмотрим на конкретном
примере электрической цепи, представленной
на рисунке 2.7, параметры которой равны:
J_k3
=
3 А, Е₂
=
50 В, Е₅
=
60 В, r₁
= 5 Ом, r₂
= 10 Ом, r₃
=
8 Ом, r₄
=
8 Ом, r₅
= 10 Ом, r₆
= 5 Ом.

1.
Осуществляем предварительный анализ
схемы.

1.1.
Количество ветвей –
,
количество узлов –,
количество ветвей, содержащих источник
тока.

Рисунок
2.7 – Электрическая цепь постоянного
тока

1.2.
Вычерчиваем граф схемы, в котором
выделяем ветви дерева и ветви связи. В
третью ветвь включен источник тока,
поэтому ток в ветви, содержащей источник
тока, равен току источника тока:
.
Неизвестных токов.

Для
данной схемы граф имеет вид, представленный
на рисунке 2.8.

Ветвями
дерева приняты ветви 4,5,6.
Ветви связи (1,2,3)
обозначены на схеме пунктирными линиями.

Рисунок
2.8 – Граф исходной электрической цепи

1.3.
Используя граф схемы, формируем
независимые (главные) контуры. При
формировании первого независимого
контура используем 1-ю
ветвь связи, дополненную 4
и 5
ветвями дерева. Соответственно, второй
главный контур состоит из ветви связи
2,
дополненной 4
и 6
ветвями дерева; третий главный контур
состоит из ветви связи 3,
дополненной 5
и 6
ветвями дерева. Положительное направление
обхода контура принимаем совпадающим
с направлением тока в ветви связи (рис.
2.7. и рис.2.8.).

2.
Составляем уравнения по законам Кирхгофа.

1. По
   первому закону Кирхгофа:

(1
узел)
;

(2
узел) = >
;

(3
узел)

.

2.2.
По второму закону Кирхгофа составляем
уравнения для I
и II
контуров, которые не содержат источник
тока:

(I
контур);

(II
контур).

3.
Подставляем числовые значения в
полученную систему уравнений:

Решая
данную систему уравнений, определяем
токи в ветвях:

А,

А,

А,

А,А.

4.
Определяем напряжение на зажимах
источника тока. С этой целью составляем
уравнение по второму закону Кирхгофа
для III
контура:

.

Тогда
.
Подставляя числовые значения рассчитанных
токов, получим:

В.

5.
Проверяем решение системы уравнений,
составив баланс мощностей.

5.1.
Мощность источников:

Вт,

Вт,

Вт.

Суммарная
мощность источников:

Вт.

5.2.
Мощность приемников:

Вт,

Вт,

Вт,

Вт,

Вт,

Вт.

Суммарная
мощность приемников:

Вт.

5.3.
Из сравнения генерируемой мощности
источниками и потребляемой мощности
приемниками, следует, что погрешность
вычислений
и непревышает
0,5%.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

При свертке
параллельных ветвей эквивалентное сопротивление всегда меньше наименьшего из
сворачиваемых.

Если
параллельно соединены n одинаковых сопротивлений
(Рис. 3.3), эквивалентное сопротивление в n
раз меньше сопротивления любой из ветвей.

Рис. 3.3

Если на
участке цепи параллельно соединены лишь два элемента (Рис. 3.4),
выражение (3.2) упрощается. В этом случае эквивалентное сопротивление можно
определить как отношение произведения двух сопротивлений к их сумме:

Рис. 3.4

4. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

К основным
законам электрических цепей относятся закон Ома и законы Кирхгофа.

Закон Ома

Если в ветви
не содержится ЭДС, к ней применим уже известный закон Ома для пассивного участка
цепи (1.1). Его можно сформулировать и следующим образом. Ток в ветви, не содержащей
ЭДС, равен падению напряжения в ветви, деленному на сопротивление ветви (Рис. 4.1):

Рис. 4.1

Закон Ома для
ветви, содержащей ЭДС, позволяет найти ток этой ветви по известной разности
потенциалов на концах ветви. Ток в ветви, содержащей ЭДС, равен дроби,
знаменатель которой – это сопротивление ветви. В числителе дроби – напряжение
на концах ветви плюс алгебраическая сумма ЭДС, заключенных между концами ветви.
С плюсом берутся напряжения и ЭДС, направление которых совпадает с направлением
тока, с минусом – противоположные.

В частности,
ток в ветви, изображенной на Рис. 4.2, равен:

.

Рис. 4.2

Первый закон
Кирхгофа

В любом узле
цепи алгебраическая сумма токов равна нулю. При этом, токи, направленные к
узлу, принято считать положительными, токи, направленные от узла, принято считать
отрицательными (Рис. 4.3).

Рис. 4.3

По первому
закону Кирхгофа можно написать столько уравнений, сколько узлов содержит схема.
Но не все они будут независимыми. Если схема содержит  узлов,
независимыми будут  уравнений. Оставшееся
уравнение будет являться следствием всех предыдущих.

Второй закон
Кирхгофа

В любом
замкнутом контуре цепи алгебраическая сумма напряжений равна алгебраической
сумме ЭДС, включенных в контур.

При этом, положительными
считаются те напряжения и ЭДС, которые совпадают с направлением обхода контура,
отрицательными считаются напряжения и ЭДС, которые противоположны направлению
обхода контура. Направление обхода контура можно выбирать произвольно.

Алгоритм
составления уравнения по второму закону Кирхгофа для замкнутого контура цепи

Для заданного
контура (Рис. 4.4 а) уравнение по второму закону Кирхгофа
составляется в следующем порядке:

Рис. 4.4 а

1. Задается направление токов в
   ветвях (Рис. 4.4 б).

Рис. 4.4 б

1. Выбирается направление обхода
   контура (Рис. 4.4 в).

Рис. 4.4 в

1. Записывается уравнение, в левой
   части которого – сумма падений напряжений на сопротивлениях ветвей. В
   правой части – сумма ЭДС контура.

Примечание:
Падение напряжения на сопротивлении ветви записывается в соответствии с
известным уже законом Ома (1.1):

Применение
второго закона Кирхгофа для незамкнутого участка цепи

Второй закон
Кирхгофа справедлив только для замкнутого контура. При этом, любой незамкнутый
участок цепи можно дополнить до замкнутого контура с помощью напряжения в разрыве
незамкнутого участка.

Пример 4.1:

Незамкнутый
участок цепи abcd изображен на Рис. 4.5
а.

Рис. 4.8

Если схема
содержит  ветвей и  узлов,
число независимых контуров равно

.

Схема на Рис. 4.8 б
содержит три независимых контура.

5. СИСТЕМА
УРАВНЕНИЙ ПО ЗАКОНАМ КИРХГОФА ДЛЯ РАСЧЕТА ТОКОВ ЦЕПИ

Законы
Кирхгофа можно использовать для расчета токов в ветвях цепи. Главное требование
при этом – получение системы независимых уравнений, в которой число неизвестных
равно количеству токов, подлежащих определению.

Алгоритм
составления системы уравнений по законам Кирхгофа

Уважаемый посетитель!

Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).

Ссылка на скачивание — внизу страницы.

Мы уже писали про закон Ома, а также параллельное и последовательное соединение проводников. Но это были цветочки. Сегодня разберемся с задачами посложнее: посмотрим, как решаются задачи на правила Кирхгофа.

Не забывайте подписаться на наш телеграм-канал: там вас ждут актуальные новости сферы образования, полезные лайфхаки и скидки для студентов.

Задачи на правило Кирхгофа с решением

Как решать задачи по правилу Кирхгофа? Прежде, чем приступать к решению задач, обязательно изучите теорию. Также мы подготовили для вас универсальную памятку по решению физических задач.

Задача №1 на эквивалентные преобразования соединений проводников.

Условие

Решение

Кроме основных формул для последовательного и параллельного соединения проводников, существуют формулы для преобразования звезды резисторов в эквивалентный треугольник и наоборот. Треугольник резисторов R2 R3 R4 можно преобразовать в эквивалентную звезду RB RB RD по формулам:

Преобразованная схема будет выглядеть следующим образом:

Ответ: см. выше.

Правила Кирхгофа применяются для сложных цепей(например, для цепей с несколькими источниками питания), когда эквивалентные преобразования не приносят результата.

Задача №2 на первое правило (закон) Кирхгофа

Условие

Необходимо составить уравнения по первому закону Кирхгофа для следующей цепи:

Решение

В данной цепи 4 узла. По первому закону составляем 3 уравнения (на 1 уравнение меньше, чем количества узлов):

Ответ: см. выше.

Для решения задач на правила Кирхгофа необходимо уметь решать системы линейных уравнений. Для решения сложных систем удобно использовать специальные программы: MathCad, MatLab и т.д.

Далее для наглядности рассмотрим задачу с более простой схемой.

Задача №3 на правила Кирхгофа

Условие

Два источника питания E1=2В и E2=1В соединены по схеме, показанной на рисунке. Сопротивление R=5 Ом. Внутреннее сопротивление источников одинаково и равно r1=r2=1 Ом. Определить силу тока, который проходит через сопротивление.

Решение

По первому закону Кирхгофа сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю (токи обозначим произвольно):

Выберем направление обхода верхнего контура против часовой стрелки. По второму закону Кирхгофа, сумма падений напряжений в контуре равна сумме ЭДС:

Запишем то же самое для второго контура, обходя его по часовой стрелке:

Объединим уравнения с неизвестными токами в систему:

Чтобы решить систему, выразим силу тока I1 из второго уравнения, а силу тока I2 – из третьего:

Первое уравнение теперь можно записать в виде:

Выражая искомый ток и подставляя значения из условия, получаем:

Ответ: 1,5 А.

Задача №4 на правила Кирхгофа

Условие

Дана схема электрической цепи. Необходимо:

• обозначить сопротивления, над каждой ветвью указать свой ток и источники ЭДС;
• указать на схеме направления токов и ЭДС;
• составить уравнения по первому и второму закону Кирхгофа.

Решение

Приведем схему, обозначив сопротивления, ЭДС и токи:

В схеме 7 токов и 4 узла. Необходимо составить 4 – 1 = 3 уравнения по первому закону Кирхгофа и 7 – 3 = 4 уравнения по второму закону Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа:

Второй закон Кирхгофа (выбранные контуры К1, К2, К3, К4 указаны на рисунке):

Ответ: см. выше.

Задача №5 на правила Кирхнофа

Условие

Определить все токи в ветвях, составив систему уравнений по законам Кирхгофа.

Параметры цепи: E1 = 40 В, E2 = 50 В, E3 = 60 В, R01 = 0,1 Ом, R02 = 0,3 Ом, R03 = 0,2 Ом, R1 = 4,4 Ом, R2 = 4,7 Ом, R3 = 4,6 Ом, R4 = 5,2 Ом, R5 = 7,6 Ом.

Решение

Направления токов в ветвях цепи и направления обхода контуров указаны на схеме. Цепь содержит 3 узла и 3 независимых контура. Таким образом, для расчета токов в ветвях необходимо составить два уравнения по первому закону Кирхгофа и три по второму:

Подставим числовые значения и решим систему уравнений:

Ответ: I1=10,68 А; I2=8,388 А; I3=7,192 А; I4=4,9 А; I5=2,292 А.

Вопросы на правила Кирхгофа

Вопрос 1. Сформулируйте первый закон Кирхгофа.

Ответ. Первый закон Кирхгофа связан с сохранением заряда и формулируется следующим образом:

Для любого узла электрической цепи алгебраическая сумма токов ветвей, подключенных к данному узлу, равна нулю.

Первое правило Кирхгофа является следствием закона сохранения электрического заряда, согласно которому ни в какой точке заряды не могут безгранично накапливаться: количество электричества, притекающее к данной точке за определенный промежуток времени, должно быть равно количеству электричества, оттекающему от неё.                                              

Вопрос 2. Как следует выбирать направления токов в ветвях электрической цепи?

Ответ. Направления токов во всех ветвях электрической цепи задаются произвольно до составления уравнений. Токи, входящие в узел, принято считать положительными, а выходящие из узла – отрицательными.

Вопрос 3. Как формулируется второй закон Кирхгофа?

Ответ. Второй закон Кирхгофа связан с законом сохранения энергии и формулируется следующим образом:

Алгебраическая сумма всех ЭДС контура электрической цепи равна алгебраической сумме напряжений и алгебраической сумме падений напряжений на всех его участках.
 

Вопрос 4.  Что следует учитывать при составлении уравнений второго закона Кирхгофа для цепи и ее конкретного контура.

Ответ. Перед составлением уравнений второго закона Кирхгофа для цепи необходимо произвольно выбрать направления токов во всех ветвях цепи и определить направление обхода контура.

При составлении уравнения для конкретного контура учитываются:

• токи, входящие в узлы принимаются положительными;
• ЭДС источников принимаются положительными, если 
• направления их действия (стрелка) совпадает с выбранным направлением обхода (независимо от направления тока в них);
• падения напряжений в ветвях (IkRk) принимаются положительными, если положительное направление тока совпадает с выбранным направлением обхода;
• напряжения Uk, включенные в контур, принимаются положительными, если эти напряжения создают ток, направленный также как и направление обхода (направление напряжения, определяемое стрелкой, совпадает с направлением обхода).

Вопрос 5. Что такое эквивалентные преобразования последовательного и параллельного соединения пассивных элементов?

Ответ. Задачей эквивалентного преобразования последовательного и параллельного соединения пассивных элементов, является последовательное упрощение исходной схемы и нахождение эквивалентного сопротивления схемы.

Нужна помощь в решении задач и других студенческих заданий? Профессиональный сервис помощи учащимся окажет оперативную помощь с выполнением любой работы.

Содержание:

1. Законы Кирхгофа
2. Порядок составления уравнений но законам Кирхгофа
3. Пример задачи с решением 3.2.

Законы Кирхгофа

Уравнения, описывающие поведение электрической цепи, составляют на основе законов Кирхгофа. Они определяют связь между токами и напряжениями элементов, образующих цепь. Уравнения, составленные согласно этим законам, называют уравнениями Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа определяет баланс токов в узлах электрической цепи.

Он формулируется следующим образом:

Алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в узле электрической цепи, равна нулю:

В уравнении (3.1) токи, направленные от узла, записывают с положительным знаком. Токи, направленные к узлу, записывают со знаком минус.

Система уравнений по первому закону Кирхгофа, записанная для всех узлов цепи, линейно зависима. В этом легко убедиться, сложив все уравнения. Поскольку ток каждой ветви входит в два уравнения с разными знаками, сумма тождественно равна нулю. Поэтому число независимых уравнений по первому закону Кирхгофа равно , где — число узлов цепи.

Второй закон Кирхгофа устанавливает баланс напряжений в контуре цепи:

Алгебраическая сумма напряжений ветвей в контуре равна нулю:

Если напряжение ветви совпадает с направлением обхода контура, то напряжению приписывают знак плюс, если же нет — знак минус. Перенесем напряжения источников напряжения, равные ЭДС этих источников, в правую часть. Уравнение (3.2) примет вид

В соответствии с последним равенством алгебраическая сумма напряжений ветвей в контуре электрической цепи равна алгебраической сумме ЭДС источников.

Число независимых уравнений, записанных по второму закону Кирхгофа, равно числу независимых контуров. Число таких контуров определяется формулой , где — число ветвей.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Порядок составления уравнений но законам Кирхгофа

1. Необходимо сначала выбрать положительные направления токов и напряжений ветвей. Положительное направление тока показывают стрелкой на выводе элемента. Положительное направление напряжения показывают стрелкой, расположенной рядом с элементом. Полярности напряжений резисторов выбирают согласованными с направлениями токов. Направления токов источников напряжения выбирают совпадающими с направлениями ЭДС.

2. Записываем уравнения по первому закону Кирхгофа для узлов.

3. Выбираем направления обхода контуров и записываем уравнения по законам Кирхгофа. Сопротивление проводника, соединяющего элементы, очень мало по сравнению с сопротивлением резистора и игнорируется. Ячейки внутренней цепи удобно выбирать в качестве независимых цепей. Можно воспользоваться и другим способом: выбрать по порядку контуры, так, чтобы каждый следующий контур содержал, по меньшей мере, одну ветвь, не входящую в предыдущие контуры.

4. Решаем полученную систему уравнений и определяем токи и напряжения цепи.

5. После определения токов и напряжений необходимо выполнить проверку. Для этого вычисленные значения переменных подставляют в одно из уравнений, составленных по законам Кирхгофа.

При составлении уравнений в качестве неизвестных рассматривают либо токи, либо напряжения резистивных элементов.

В первом случае уравнения цепи составляют относительно неизвестных токов резистивных элементов и напряжений на источниках тока. Напряжения на резистивных элементах, входящие в уравнения по второму закону Кирхгофа, выражают через токи по закону Ома. Такой способ составления уравнений называют токов ветвей.

Число совместно решаемых уравнений в методе токов ветвей можно сократить, если контуры выбирать так, чтобы они не включали источники тока. В этом случае неизвестными будут только токи резистивных элементов, и по второму закону Кирхгофа достаточно составить уравнений, где — количество источников тока.

Во втором случае уравнения цепи составляются относительно напряжений резистивных элементов и токов источников напряжения. Токи резисторов представляют произведением проводимости на напряжение на резисторе. Этот способ составления уравнений называют методом напряжений ветвей.

В дальнейшем для решения задач мы будем использовать в основном метод токов ветвей.

Пример 3.1. Записать уравнения Кирхгофа для цепи, показанной на рис. 3.1.

Решение. Сначала выберем направления токов резистивных элементов и пронумеруем узлы. Неизвестными являются токи резистивных элементов . Поэтому необходимо составить пять уравнений. Цепь содержит четыре узла; это означает, что по первому закону Кирхгофа можно составить три уравнения. Число уравнений по второму закону Кирхгофа равно двум.

Запишем уравнения по первому закону Кирхгофа для узлов 1, 2, 3. Контуры I и II выберем так, чтобы они не включали источник тока, иначе в системе уравнений появится дополнительная переменная — напряжение источника тока. Направления обхода контуров выберем совпадающими с направлением движения часовой стрелки. В результате получим систему из пяти уравнений с пятью неизвестными токами:

Узел 1: ;

Узел 2: ;

Узел З: ;

Контур I:

Контур II:

Для решения системы уравнений целесообразно использовать математические пакеты, например MathCAD или Matlab.

Напряжение на зажимах источника тока можно затем найти, записав уравнения для контуров, включающих или

Пример задачи с решением 3.2.

Рассчитать токи в цепи, изображенной на рис. 3.2. Номиналы элементов: ,

Решение. Сначала выберем направления токов резистивных элементов и пронумеруем узлы. В рассматриваемой схеме шесть неизвестных токов , следовательно, необходимо составить шесть независимых уравнений. Цепь содержит четыре узла; это означает, что по первому закону Кирхгофа можно составить три уравнения. Еще три уравнения составим по второму закону Кирхгофа. Наличие источника тока учитывалось при определении числа уравнений по второму закону Кирхгофа.

Составим уравнения по первому закону Кирхгофа для узлов 1, 2 и 3. Уравнения по второму закону Кирхгофа запишем для контуров I, II, III. Направление обхода контуров выбираем по часовой стрелке.

В результате получим систему из шести уравнений с шестью неизвестными токами:

В матричной форме записи:

Решением системы уравнений являются следующие значения токов:

Знак минус в численных значениях токов означает, что направление токов при заданных условиях выбрано навстречу истинному.