Для плоской системы нагружения, при определении опорных реакций и внутренних силовых факторов исходя из условия равновесия системы, можно составить только три уравнения статики.
Ранее были показаны примеры составления уравнений равновесия для пространственной и плоской систем сил.
При плоском поперечном изгибе можно записать только два уравнения. Это частный случай плоского нагружения. В этом случае все силы приложенные к балке расположены нормально к ее оси, т. е. не дают проекций на ось балки.
В результате имеем следующие уравнения статики:
- Сумма проекций всех сил на вертикальную ось равна нулю
- Сумма моментов относительно любой точки системы тоже равна нулю.
Эти уравнения являются уравнениями равновесия рассматриваемой балки находящейся под действием комплекса нагрузок.
Рассмотрим пример плоского поперечного изгиба, когда все внешние силы имеют исключительно вертикальное направление.
Уравнения статики
Сумма проекций всех сил на ось Y:
Здесь силы и нагрузки записаны в соответствии с правилом знаков для проекций сил.
Равнодействующая распределенной нагрузки определяется произведением ее интенсивности на длину.
Проекции сил на ось Z в данном случае равны нулю:
Сумма моментов всех нагрузок, например, относительно точки A:
Правило знаков для моментов.
Дополнительные материалы
- Порядок определения момента от распределенной нагрузки.
- Правила знаков при составлении уравнений статики для систем находящихся в равновесии.
Совместное решение системы полученных уравнений позволяет определить величину и направление двух неизвестных усилий.
Уравнения равновесия >
Примеры решения задач >
Краткая теория >
Сохранить или поделиться с друзьями
Вы находитесь тут:
На нашем сайте Вы можете получить решение задач и онлайн помощь
Подробнее
Решение задач и лекции по технической механике, теормеху и сопромату
Лекция
№ 35.
Расчет статически неопределимых балок.
Способ сравнения деформаций.
Общие
понятия и метод расчета.
До
сих пор мы рассматривали только статически
определимые балки, у которых три опорные
реакции определялись из условий
равновесия. Очень часто, по условиям
работы конструкции, оказывается
необходимым увеличить число опорных
закреплений; тогда мы получаем так
называемую статически неопределимую
балку.
Рис.1.
Схемы статически неопределимых балок
Например,
для уменьшения пролета балки АВ
на двух опорах (Рис.1, а)
можно поставить опору еще посредине, а
для уменьшения деформаций балки,
защемленной одним концом (Рис.1, б), можно
подпереть ее свободный конец.
Для
подбора сечения таких балок, так же как
и в рассмотренных ранее задачах,
необходимо построить обычным порядком
эпюры изгибающих моментов и поперечных
сил, а стало быть, определить опорные
реакции.
Во
всех подобных случаях число опорных
реакций, которые могут возникнуть,
превышает число уравнений статики,
например, для балок рис.2. Соответственно:
четыре, четыре и пять опорных реакций.
Рис.2.
Механизм появления дополнительных
связей
Поэтому
необходимо составить дополнительные
уравнения, выражающие условия совместности
деформаций,
которые вместе с обычными уравнениями
равновесия и дадут возможность определить
все опорные реакции.
Определим
опорные реакции и построим эпюру моментов
для балки, находящейся под действием
равномерно распределенной нагрузки q
рис.3. Сначала изобразим все реакции,
которые по устройству опор могут
возникнуть в этой балке. Таких реакций
может быть на опоре А
три: вертикальная А,
горизонтальная
и
опорный момент
,
на опоре В
возможно появление лишь одной реакции
В.
Таким образом, число опорных реакций
на одну больше, чем уравнений статики.
Одна
из реакций является добавочной, как
говорят, «лишней» неизвестной. Этот
термин прочно укоренился в технической
литературе; между тем, принять его можно
лишь условно.
Рис.3.
Исходная расчетная схема статически
неопределимой балки.
Действительно,
добавочная реакция и соответствующее
ей добавочное опорное закрепление
являются «лишними» только с точки зрения
необходимости этих закреплений для
равновесия балки как жесткого целого.
С точки же зрения инженера добавленное
закрепление во многих случаях не только
не является лишним, а наоборот, позволяет
осуществить такую конструкцию, которая
без него была бы невозможна. Поэтому мы
будем пользоваться термином «лишняя
опорная реакция», «лишняя неизвестная»
лишь условно.
Составим
все уравнения статики для нашей балки,
приравнивая нулю сумму проекций всех
сил на направление оси балки, на
перпендикуляр к ней, и сумму моментов
относительно точки А.
Получим систему:
,
Из
первого уравнения сразу определяется
опорная реакция
Для
определения трех других остаются лишь
два уравнения.
За
лишнюю реакцию можно взять любую из
этих трех: попробуем взять реакцию опоры
В.
В таком случае мы должны считать, что
рассматриваемая балка получилась из
статически определимой балки АВ,
защемленной концом А,
у которой потом поставили добавочную
опору в точке В.
Эта статически
определимая балка, которая получается
из статически неопределимой при удалении
добавочного, лишнего опорного закрепления,
называется основной системой. Выбрав
какую-либо из реакций за лишнюю
неизвестную, мы тем самым выбираем
основную систему.
Попробуем
теперь превратить основную систему без
опоры В
в систему, полностью совпадающую с
заданной статически неопределимой
балкой (Рис.3).
Рис.4.
Эквивалентная система
Для
этого загрузим ее сплошной нагрузкой
q
и в точке В
приложим лишнюю реакцию В
(Рис.4).
Однако
этого мало: в балке, представленной на
рис.4, точка В
может перемещаться по вертикали под
действием нагрузок q
и В;
между тем, в нашей статически неопределимой
балке точка В
не имеет этой возможности, она должна
совпадать с опорным шарниром. Поэтому,
чтобы привести к окончательному
совпадению, надо к последней добавить
условие, что прогиб точки В
основной
системы
под действием нагрузок q
и В
должен быть равен нулю:
Это
и будет добавочное уравнение, определяющее
реакцию В;
оно является условием совместности
деформаций в рассматриваемом случае:
конец В
балки не отрывается от опоры.
Решение
этого добавочного уравнения возможно
несколькими способами.
Способ
сравнения деформаций.
Выполняя
решение уравнения
,
названного уравнением совместности
деформаций, можно рассуждать следующим
образом.
Прогиб
точки В
основной системы под действием нагрузок
q
и В
складывается из двух прогибов: одного
,
вызванного лишь нагрузкой q,
и другого
,
вызванного реакцией В.
Таким образом,
|
|
(1) |
Остается
вычислить эти прогибы. Для этого загрузим
основную систему одной нагрузкой q
(рис.4, а).
Рис.4.
Расчет прогиба от исходной нагрузки —
а) и реакции — б)
Тогда
прогиб точки В
будет равен:
При
нагружении основной системы реакцией
В
(Рис.4,б)
имеем:
Подставляя
эти значения прогибов в уравнение (1),
получаем:
Отсюда
В
этом способе мы сначала даем возможность
основной системе деформироваться под
действием внешней нагрузки q,
а затем подбираем такую силу В,
которая бы вернула точку В
обратно. Таким образом, мы подбираем
величину неизвестной дополнительной
реакции В
с тем расчетом, чтобы уравнять прогибы
от нагрузки q
и силы В.
Этот способ и называют способом
сравнения деформаций.
Рис.5.
Эпюры поперечных сил и внутренних
изгибающих моментов.
Подставляя
значение лишней реакции В
в
уравнения статики, получаем
Выражение
изгибающего момента получаем, рассматривая
правую часть балки (Рис.4) и подставляя
значение В:
Поперечная
сила Q
выражается формулой
Эпюры
моментов и поперечных сил изображены
на рис.5. Сечение с наибольшим положительным
моментом соответствует абсциссе
,
определяемой равенством
т.е.
Отсюда
соответствующая ордината эпюры моментов,
равна:
Привет! В этой статье предлагаю поговорить о реакциях опор, еще известных как опорные реакции. Для успешного освоения курса – «сопротивление материалов», каждый студент должен уметь определять реакции опор, чему учат еще в рамках дисциплины — «теоретическая механика». Но для тех, кто проспал механику на первом курсе, я подготовил данную статью, чтобы каждый желающий мог приобрести навыки по расчету опорных реакций.
Так как этот урок для чайников, я многие моменты буду упрощать и рассказывать только самое основное, чтобы написанное здесь, было понятно даже самому неподготовленному студенту — заочнику.
В рамках статьи рассмотрим 4 примера: двухопорная балка, загруженная посередине пролёта сосредоточенной силой, такая же балка, но загруженная распределённой нагрузкой, консольная балка и плоская рама.
Что такое реакция опоры?
Чтобы лучше понять, что такое реакция опоры (опорная реакция), давай рассмотрим следующий пример — балку (стержень) лежащую на опорах:
На балку давит нагрузка – сила, в свою очередь, балка давит на опоры. И чтобы балка лежала на опорах (никуда не проваливалась), опоры выполняют свою основную функцию — удерживают балку. А чтобы удерживать балку, опоры должны компенсировать тот вес, с которым балка давит на них. Соответственно, действие опор можно представить в виде некоторых сил, так называемых — реакций опор.
Для балки, и нагрузка, и реакции опор, будут являться внешними силами, которые нужно обязательно учитывать при расчёте балки. А чтобы учесть опорные реакции, сначала нужно научиться определять их, чем, собственно, и займёмся на этом уроке.
Виды связей и их реакции
Связи – это способы закрепления элементов конструкций. Опоры, которые я уже показывал ранее – это тоже связи.
В этой статье будем рассматривать три вида связей: жёсткая заделка, шарнирно-подвижная и шарнирно-неподвижная опора.
Жёсткая заделка
Жёсткая заделка — это один из вариантов закрепления элементов конструкций. Этот тип связи препятствует любым перемещениям, тем самым для плоской задачи, может возникать три реакции: вертикальная (RA), горизонтальная (HA) и момент (MA).
Шарнирно-подвижная и шарнирно-неподвижная опора
В этой статье будем работать с двумя типами опор: шарнирно-подвижной и шарнирно-неподвижной.
В шарнирно-неподвижной опоре возникает две реакции: вертикальная и горизонтальная. Так как опора препятствует перемещению в этих двух направлениях. В шарнирно-подвижной опоре возникает только вертикальная реакция.
Однако, видов связей и их условных обозначений достаточно много, но в рамках этой статьи их все рассматривать не будем. Так как, изученные ранее виды связей, являются основными и практически всегда, при решении задач по сопромату, ты будешь сталкиваться именно с ними.
Что такое момент силы?
Также необходимо разобраться с понятием момент силы.
Момент силы — это произведение силы на плечо. Где плечо — это кратчайшее расстояние от точки до силы, то есть перпендикуляр.
Проиллюстрирую написанное:
Правило знаков для моментов
Также для моментов, нужно задаться каким-то правилом знаков. Я в своих уроках буду придерживаться такого правила:
- если сила относительно точки стремится повернуть ПРОТИВ часовой стрелки, то момент положительный;
- если она стремится повернуть ПО часовой стрелке, то момент отрицательный.
Всю подготовительную информацию дал, теперь будем рассматривать конкретные примеры. И начнём с простейшей расчётной схемы балки.
Определение реакций для двухопорной балки
Возьмём балку, загруженную посередине сосредоточенной силой и опирающейся на шарнирно-неподвижную и шарнирно-подвижную опору:
Введём систему координат: направим ось x вдоль балки, а ось y вертикально. Обозначим реакции в опорах как HA, RA и RB:
Для тех, кто пришёл сюда, ещё будучи на этапе изучения теоретической механики, а я знаю, таких будет много, важно отметить, что в сопромате не принято указывать знаки векторов над силами.
В термехе же, в обязательном порядке, преподаватель от тебя настойчиво будет требовать указывать знак вектора над всеми силами, вот так:
Условия равновесия системы
Чтобы найти все реакции, нужно составить и решить три уравнения — уравнения равновесия:
Данные уравнения являются условиями равновесия системы. А так как мы предполагаем, что опоры обеспечивают это состояние равновесия (удерживают балку). То составив и решив уравнения равновесия — найдём значения опорных реакций.
Первое уравнение называется уравнением проекций — суммой проекций всех сил на координатную ось, которая должна быть равна нулю. Два других уравнения называются уравнениями моментов — суммами моментов всех сил относительно точек, которые должны быть равны нулю.
Уравнения равновесия
Как видишь, чтобы научиться находить реакции опор, главное — научиться правильно составлять уравнения равновесия.
Уравнение проекций
Запишем первое уравнение — уравнение проекций для оси x.
В уравнении будут участвовать только те силы, которые параллельны оси x. Такая сила у нас только одна — HA. Так как HA направлена против положительного направления оси x, в уравнение её нужно записать с минусом:
Тогда HA будет равна:
Поздравляю, первая реакция найдена!
Уравнения моментов
А теперь самое интересное…запишем уравнение моментов, относительно точки A, с учётом ранее рассмотренного правила знаков для моментов.
Так как сила F поворачивает ПО часовой стрелке, записываем её со знаком «МИНУС» и умножаем на плечо.
Так как сила RB поворачивает ПРОТИВ часовой стрелки, пишем её со знаком «ПЛЮС» и умножаем на плечо. И, наконец, всё это приравниваем к нулю:
Из полученного уравнения выражаем реакцию RB:
Вторая реакция найдена! Третья реакция находится аналогично, но только теперь уравнение моментов записываем относительно другой точки:
Проверка правильности найденных опорных реакций
Чем хороши задачи на определение реакций, так это тем, что правильность расчёта реакций легко проверить. Для этого достаточно составить дополнительное уравнение равновесия, подставить все численные значения и если сумма проекций сил или сумма моментов будет равна нулю, то и реакции, значит, найдены — верно, а если нет, то ищем ошибку.
Составим дополнительное уравнение проекций для оси y и подставим все численные значения:
Как видишь, реакции опор найдены правильно.
Определение реакций опор для балки с распределенной нагрузкой
Теперь рассмотрим балку, загруженную распределенной нагрузкой:
Перед тем как посчитать реакции опор, распределенную нагрузку нужно «свернуть» до сосредоточенной силы. Если умножить интенсивность q на длину участка, на которой действует нагрузка, получим силу Q. Сила Q будет находиться ровно посередине балки, как и сила F в нашем первом примере:
Подробно комментировать нахождение реакций в опорах здесь, не буду. Просто приведу решение:
Расчёт реакций для консольной балки
Давай рассмотрим теперь пример с жёсткой заделкой – консольную балку. Заодно посмотрим, как учесть силу, приложенную под углом (α = 30°).
Силу, направленную под определённым углом, нужно разложить на две составляющие – горизонтальную и вертикальную. А их значения найти из силового треугольника:
Покажем реакции в заделке и выполним расчёт:
Для этой задачи выгоднее использовать другую форму условий равновесия:
А выгодна она тем, что из каждого записанного уравнения будем сразу находить реакцию:
Не пугайся отрицательного значения реакции! Это значит, что при указании реакции, мы не угадали с её направлением. Расчёт же показал, что MA, направлена не по часовой стрелке, а против.
В теоретической механике, когда реакции получают с «минусом» обычно не заморачиваются и не меняют их направление на схеме, так и оставляют в ответе отрицательное значение, оговаривая, что да реакция найдена, но с учётом знака, на самом деле направлена в другую сторону. Потому что найденные реакции в задачах на статику, являются конечной точкой расчёта.
У нас же, в сопромате после нахождения опорных реакций, всё только начинается. Найдя реакции, мы всего лишь находим ВСЕ силы действующие на элемент конструкции, а дальше по сценарию стоит задача определить внутренние усилия, возникающие в этом элементе, расчёты на прочность и т. д. Поэтому на схеме, обязательно следует указывать истинное направление реакций. Чтобы потом, когда будут рассчитываться внутренние усилия ничего не напутать со знаками.
Если получили отрицательное значение, нужно отразить это на схеме:
С учётом изменений на схеме реакция будет равна:
Сделаем проверку, составив уравнение равновесие, ещё не использованное – сумму моментов относительно, скажем, точки B, которая, при правильном расчёте, конечно, должна быть равна нулю:
Если не менять направление реакции, то в проверочном уравнении нужно учесть этот «минус»:
Можешь посмотреть еще один пример, с похожей схемой, для закрепления материала, так сказать.
Реакции опор для плоской рамы
Теперь предлагаю выполнить расчёт плоской рамы. Для примера возьмём расчётную схему, загруженную всевозможными видами нагрузок:
Проводим ряд действий с расчетной схемой рамы:
- заменяем опоры на реакции;
- сворачиваем распределенную нагрузку до сосредоточенной силы;
- вводим систему координат x и y.
Выполняем расчёт реакций опор:
Меняем направление реакции RA:
В итоге получили следующие реакции в опорах рамы:
Осталось проверить наши расчеты! Для этого предлагаю записать уравнение моментов, относительно точки B. И если, эта сумма будет равна нулю, то расчет выполнен верно:
Как видим, расчет реакций выполнен правильно!