Как составить уравнения сторон квадрата если даны уравнения

Условие

Решение

Написать комментарий

Задача 34286 Пусть прямая l1(4x–y+1=0) одна из.

Условие

Пусть прямая l1(4x–y+1=0) одна из сторон квадрата, а точка M(1;2) его вершина. Составить уравнение остальных сторон квадрата

Решение

Расстояние d от точки M(1;2) до прямой 4х-у+1=0
это длина стороны квадрата

Уравнение прямой 4x-y+1=0 можно записать
y=4x+1
k=4
k=tg α ;
Значит прямая c угловым коэффициентом 4 — это диагональ прямоугольника, размеры 1 × 4 ( длина 1, высота 4: tgα=4/1)

Параллельная ей прямая проходит через точку М
k=4
y=4x+m
Чтобы найти m подставляем координаты точки M
2=4*1+m
m=-2

Перпендикулярная ей прямая имеет угловой k=-1/4
(потому что произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно (-1))

Чтобы найти b подставляем координаты точки M
2=(-1/4)*1+b
b=2 целых 1/4

[b]y=(-1/4)x + 2 целых 1/4⇒ 4y+x-9=0[/b]

Третья сторона имеет угловой коэффициент k=(-1/4) и находится на расстоянии 3/sqrt(17) от точки M (1;2)

9-4n=-3 или 9-4n=3
n=3 или n=3/2
[b]4y+x-12 =0[/b] или [b]4y+x-6=0[/b]

О т в е т. [b]y=4x-2[/b]; [b]4y+x-9=0[/b]; [b]4y+x-12 =0[/b] (или [b] 4y+x-6=0[/b])

Составить уравнение трех сторон квадрата, если известно, что четвертой стороной является отрезок прямой 4x + 3y — 12 = 0, концы которого лежат на осях координат?

Геометрия | 10 — 11 классы

Составить уравнение трех сторон квадрата, если известно, что четвертой стороной является отрезок прямой 4x + 3y — 12 = 0, концы которого лежат на осях координат.

1) Найдем точки пересечения прямой 4х + 3у — 12 = 0 с координатными осями

х = 0 тогда у = 4 А(0 ; 4)

у = 0 тогда х = 3 В(3 ; 0)

2) Прямые перпендикулярные данной имеют вид 3х — 4у + с = 0

нормальные векторывзаимно перпендикулярных прямых ортогональны

нормальный вектор данной прямой(4 ; 3)

нормальный вектор ортогональных прямых (3 ; — 4)

Скалярное произведение в самом деле даст 0

Чтобы найти с подставим координаты точек

3·0 — 4·4 + с = 0 ⇒ с = 16

3х — 4у + 16 = 0 уравнение прямой, перпендикулярной прямой 4х + 3у — 12 = 0 и проходящей через точку А

3·3 — 4·0 + с = 0 ⇒ с = — 9

3х — 4у — 9 = 0 уравнение прямой, перпендикулярной прямой 4х + 3у — 12 = 0 и проходящей через точку В

Сторона квадрата АВ = 5 ( египетский треугольник)

Отложим на прямой 3х — 4у — 9 = 0 отрезок BD = 5

Координаты этойточки удобнее всего считать по клеточкам

Уравнение прямой DС, параллельной АВ :

Чтобы найти m подставим координаты точки D

4·7 + 3·3 + m = 0 ⇒ m = — 37

4x + 3y — 37 = 0 — уравнение прямой DC

Отложим на прямой 3х — 4у + 16 = 0 отрезок AC = 5

Координаты этойточки удобнее всего считать по клеточкам

Уравнение прямой D₁С, параллельной АВ :

Чтобы найти m подставим координаты точки D₁

4·( — 4) + 3·1 + m = 0 ⇒ m = 13

4x + 3y + 13 = 0 — уравнение прямой DC.

Диагонали ромба, равны 10 см и 4 см, лежат на осях координат?

Диагонали ромба, равны 10 см и 4 см, лежат на осях координат.

Напишите уравнения прямых, проходящих через стороны ромба.

Три стороны параллелограмма равны?

Три стороны параллелограмма равны.

Докажите, что отрезок с концами в серединах противоположных сторон параллелограмма равен четверти его периметра.

Постройте квадрат, все вершины которого лежат на сторонах данного треугольника?

Постройте квадрат, все вершины которого лежат на сторонах данного треугольника.

Сторона квадрата длиной 6см лежит на оси абцисс?

Сторона квадрата длиной 6см лежит на оси абцисс.

Начало координат середина этой стороны найдите координаты вершин квадрата рассмотрите два случая 1)квадрат лежит в верхней полуплоскости 2)квадрат лежит в нижней полуплоскости относительно оси х.

Сторона квадрата длинной 6 см лежит на оси абсцисс?

Сторона квадрата длинной 6 см лежит на оси абсцисс.

Начало координат — середина этой стороны.

Найдите координаты вершин квадрата.

Рассмотрите два случая : 1)квадрат лежит в верхний полуплоскости 2)квадрат лежит в нижней полуплоскости относительно оси x.

В квадрат со стороной 12 вписана окружность?

В квадрат со стороной 12 вписана окружность.

Отрезок MN с концами на сторонах AB и AD касается этой окружности.

Известно, что MN = 5.

Найдите площадь треугольника AMN.

Вершины А и В трапеции АВСД лежат в плоскости , а вершины С и Д не лежат в этой плоскости?

Вершины А и В трапеции АВСД лежат в плоскости , а вершины С и Д не лежат в этой плоскости.

Как расположена прямая СД относительно плоскости , если отрезок АВ является :

а) основанием трапеции

б)боковой стороной трапеции.

Помогите срочно?

Начало координат расположено в центре квадрата со стороной 2а.

Каковы координаты вершин квадрата если : 1) стороны квадрата параллельны осям координат.

2) Диагонали квадрата лежат на осях координат.

Доуажите что если прямые на которых лежат одна диогональ м одна средняя линия (отрезок соединяющий середины противоположных сторон) четырехугольника являются его осями симметрии то четыркхугольник явл?

Доуажите что если прямые на которых лежат одна диогональ м одна средняя линия (отрезок соединяющий середины противоположных сторон) четырехугольника являются его осями симметрии то четыркхугольник является квадратом.

Три стороны параллелограмма равны?

Три стороны параллелограмма равны.

Докажите, что отрезок с концами в серединах противоположных сторон параллограмма равен четверти его периметра.

Вы открыли страницу вопроса Составить уравнение трех сторон квадрата, если известно, что четвертой стороной является отрезок прямой 4x + 3y — 12 = 0, концы которого лежат на осях координат?. Он относится к категории Геометрия. Уровень сложности вопроса – для учащихся 10 — 11 классов. Удобный и простой интерфейс сайта поможет найти максимально исчерпывающие ответы по интересующей теме. Чтобы получить наиболее развернутый ответ, можно просмотреть другие, похожие вопросы в категории Геометрия, воспользовавшись поисковой системой, или ознакомиться с ответами других пользователей. Для расширения границ поиска создайте новый вопрос, используя ключевые слова. Введите его в строку, нажав кнопку вверху.

Там все просто тр. Аов — прямоуг. (свойство биссектрис) угол аво — 30 градусов значит ав равно 2 ао = 16.

∠1 и ∠3 — вертикальные, значит ∠1 = ∠3 = 115°. ∠1 и ∠2 — смежные, значит ∠2 = 180° — 115° = 65°. ∠2 и ∠4 — вертикальные, значит ∠2 = ∠4 = 65°.

Вроде как А P. S если хочешь быстро ответить на этот вопрос нарисуй 2 треугольника (одинаковые) И просто сравни).

Ответ это творена из 7 класса.

S = 1 / 2 * sin abc * ab * bc = 8 * 25 * 3 / 10 = 5 * 4 * 3 = 60cm ^ 2.

У параллелограмма противоположные стороны равны и параллельны АВ = СД = 8 ВС = АД Р = 2АВ + 2ВС ВС = АД = х 2х + 2 * 8 = 50 х = 17 Треугольник АВК — равнобедренный так как углы при основании равны — накрест лежащие углы при параллельных прямых, ( бис..

1. AC ^ 2 = AB ^ 2 + BC ^ 2 — 2 * AB * BC * COS B AC ^ 2 = 25 + 9 — 2 * 5 * 3 * ( — 1 / 2) = 49 AC = 7 2. Угол K = 180 — 35 — 25 = 120 Треугольник MNK — тупоугольный 3. Вот тут я не понял. В условии написано найти BC, а снизу написано, что BC = 3.

Аспирантский реферат

Пример . Как расположены на плоскости точки, координаты которых удовлетворяют условиям (x-3) 2 + (y-3) 2 y?

Решение. Первое неравенство системы определяет внутренность круга, не включая границу, т.е. окружность с центром в точке (3,3) и радиуса . Второе неравенство задает полуплоскость, определяемую прямой, уравнение которой x = y, причем, так как неравенство строгое, точки самой прямой не принадлежат полуплоскости, а все точки ниже этой прямой принадлежат полуплоскости. Поскольку мы ищем точки, удовлетворяющие обоим неравенствам, то искомая область — внутренность полукруга.

Пример. Вычислить длину стороны квадрата, вписанного в эллипс, уравнение которого x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1.

Решение. Пусть М(с, с) — вершина квадрата, лежащая в первой четверти. Тогда сторона квадрата будет равна 2 с . Т.к. точка М принадлежит эллипсу, ее координаты удовлетворяют уравнению эллипса c 2 /a 2 + c 2 /b 2 = 1, откуда
c = ab/ ; значит, сторона квадрата — 2ab/ .

Пример. Зная уравнение асимптот гиперболы y = ± 0,5 x и одну из ее точек М(12, 3 ), составить уравнение гиперболы. Свойства степенных рядов. Ряды Тейлора и Маклорена

Решение. Запишем каноническое уравнение гиперболы: x 2 /a 2 — y 2 /b 2 = 1. Асимптоты гиперболы задаются уравнениями y = ± 0,5 x, значит, b/a = 1/2, откуда a=2b. Поскольку М — точка гиперболы, то ее координаты удовлетворяют уравнению гиперболы, т.е. 144/a 2 — 27/b 2 = 1. Учитывая, что a = 2b, найдем b: b 2 =9 Þ b=3 и a=6. Тогда уравнение гиперболы — x 2 /36 — y 2 /9 = 1.

Пример. Вычислить длину стороны правильного треугольника ABC, вписанного в параболу с параметром р , предполагая, что точка А совпадает с вершиной параболы. Определённый интеграл

Решение. Каноническое уравнение параболы с параметром р имеет вид y 2 = 2рx, вершина ее совпадает с началом координат, и парабола симметрична относительно оси абсцисс. Так как прямая AB образует с осью Ox угол в 30 o , то уравнение прямой имеет вид: y = x. большим количеством графиков

Следовательно, мы можем найти координаты точки B, решая систему уравнений y 2 =2рx, y = x, откуда x = 6р, y = 2 р. Значит, расстояние между точками A(0,0) и B(6р,2 р) равно 4 р.

Уравнение квадрата в декартовой системе координат.

Проанализируем расположение квадрата на координатной плоскости.

В общем случае уравнение квадрата в декартовой (прямоугольной) системе координат принимает вид:

где точка О`(a;b) – точка пересечения диагоналей квадрата;

d – длина диагонали квадрата.

В частном случае, когда точка О(0;0) — начала координат, является одновременно и точкой пересечения диагоналей квадрата, уравнение квадрата принимает вид:

где d– длина диагонали квадрата.

Задача 34286 Пусть прямая l1(4x–y+1=0) одна из.

Условие

Пусть прямая l1(4x–y+1=0) одна из сторон квадрата, а точка M(1;2) его вершина. Составить уравнение остальных сторон квадрата

Решение

Расстояние d от точки M(1;2) до прямой 4х-у+1=0
это длина стороны квадрата

Уравнение прямой 4x-y+1=0 можно записать
y=4x+1
k=4
k=tg α ;
Значит прямая c угловым коэффициентом 4 — это диагональ прямоугольника, размеры 1 × 4 ( длина 1, высота 4: tgα=4/1)

Параллельная ей прямая проходит через точку М
k=4
y=4x+m
Чтобы найти m подставляем координаты точки M
2=4*1+m
m=-2

Перпендикулярная ей прямая имеет угловой k=-1/4
(потому что произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно (-1))

Чтобы найти b подставляем координаты точки M
2=(-1/4)*1+b
b=2 целых 1/4

[b]y=(-1/4)x + 2 целых 1/4⇒ 4y+x-9=0[/b]

Третья сторона имеет угловой коэффициент k=(-1/4) и находится на расстоянии 3/sqrt(17) от точки M (1;2)

9-4n=-3 или 9-4n=3
n=3 или n=3/2
[b]4y+x-12 =0[/b] или [b]4y+x-6=0[/b]

О т в е т. [b]y=4x-2[/b]; [b]4y+x-9=0[/b]; [b]4y+x-12 =0[/b] (или [b] 4y+x-6=0[/b])

Квадрат. Онлайн калькулятор

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти сторону, периметр, диагональ квадрата, радиус вписанной в квадрат окружности, радиус описанной вокруг квадрата окружности и т.д.. Для нахождения незвестных элементов, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Определение 1. Квадрат − это четырехугольник, у которого все углы равны и все стороны равны (Рис.1):

Можно дать и другие определение квадрата.

Определение 2. Квадрат − это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Определение 3. Квадрат − это ромб, у которого все углы прямые (или равны).

Свойства квадрата

• Длины всех сторон квадрата равны.
• Все углы квадрата прямые.
• Диагонали квадрата равны.
• Диагонали пересекаются под прямым углом.
• Диагонали квадрата являются биссектрисами углов.
• Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам.

Изложеннные свойства изображены на рисунках ниже:

Диагональ квадрата

Определение 4. Диагональю квадрата называется отрезок, соединяющий несмежные вершины квадрата.

На рисунке 2 изображен диагональ d, который является отрезком, соединяющим несмежные вершины A и C. У квадрата две диагонали.

Для вычисления длины диагонали воспользуемся теоремой Пифагора:

.

(1)

Из равенства (1) найдем d:

.

(2)

Пример 1. Сторона квадрата равна a=53. Найти диагональ квадрата.

Решение. Для нахождения диагонали квадрата воспользуемся формулой (2). Подставляя a=53 в (2), получим:

Ответ:

Окружность, вписанная в квадрат

Определение 5. Окружность называется вписанной в квадрат, если все стороны касаются этого квадрата (Рис.3):

Формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата

Из рисунка 3 видно, что диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата. Следовательно, формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата имеет вид:

(3)

Пример 2. Сторона квадрата равна a=21. Найти радиус вписанной окружности.

Решение. Для нахождения радиуса списанной окружности воспользуемся формулой (3). Подставляя a=21 в (3), получим:

Ответ:

Формула вычисления сторон квадрата через радиус вписанной окружности

Из формулы (3) найдем a. Получим формулу вычисления стороны квадрата через радиус вписанной окружности:

(4)

Пример 3. Радиус вписанной в квадрат окружности равен r=12. Найти сторону квадрата.

Решение. Для нахождения стороны квадраиа воспользуемся формулой (4). Подставляя r=12 в (4), получим:

Ответ:

Окружность, описанная около квадрата

Определение 6. Окружность называется описанной около квадрата, если все вершины квадрата находятся на этой окружности (Рис.4):

Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата

Выведем формулу вычисления радиуса окружности, описанной около квадрата через сторону квадрата.

Обозначим через a сторону квадрата, а через R − радиус описанной около квадрата окружности. Проведем диагональ BD (Рис.4). Треугольник ABD является прямоугольным треугольником. Тогда из теоремы Пифагора имеем:

(5)

Из формулы (5) найдем R:

(6)

или, умножая числитель и знаменатель на , получим:

.

(7)

Пример 4. Сторона квадрата равна a=4.5. Найти радиус окружности, описанной вокруг квадрата.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной вокруг квадрата воспользуемся формулой (7). Подставляя a=4.5 в (7), получим:

Ответ:

Формула стороны квадрата через радиус описанной около квадрата окружности

Выведем формулу вычисления стороны квадрата, через радиус описанной около квадрата окружности.

Из формулы (1) выразим a через R:

.

(8)

Пример 5. Радиус описанной вокруг квадрата окружности равен Найти сторону квадрата.

Решение. Для нахождения стороны квадрата воспользуемся формулой (8). Подставляя в (8), получим:

Ответ:

Периметр квадрата

Периметр квадрата − это сумма всех его сторон. Обозначается периметр латинской буквой P.

Поскольку стороны квадрата равны, то периметр квадрата вычисляется формулой:

(9)

где − сторона квадрата.

Пример 6. Сторона квадрата равен . Найти периметр квадрата.

Решение. Для нахождения периметра квадрата воспользуемся формулой (9). Подставляя в (9), получим:

Ответ:

Признаки квадрата

Признак 1. Если в четырехугольнике все стороны равны и один из углов четырехугольника прямой, то этот четырехугольник является квадратом.

Доказательство. По условию, в четырехугольнике противоположные стороны равны, то этот четырехугольник праллелограмм (признак 2 статьи Параллелограмм). В параллелограмме противоположные углы равны. Следовательно напротив прямого угла находится прямой угол. Тогда сумма остальных двух углов равна: 360°-90°-90°=180°, но поскольку они также являются противоположными углами, то они также равны и каждый из них равен 90°. Получили, что все углы четырехугольника прямые и, по определению 1, этот четырехугольник является квадратом.

Признак 2. Если в четырехугольнике диагонали равны, перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник является квадратом (Рис.5).

Доказательство. Пусть в четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O и пусть

(10)

Так как AD и BC перпендикулярны, то

Из (10) и (11) следует, что треугольники OAB, OBD, ODC, OCA равны (по двум сторонам и углу между ними (см. статью на странице Треугольники. Признаки равенства треугольников)). Тогда

(12)

Эти реугольники также равнобедренные. Тогда

Из (13) следует, что

(14)

Равенства (12) и (14) показывают, что четырехугольник ABCD является квадратом (определение 1).

Составить уравнение сторон квадрата

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

---

---

---

---

---

---

---