Как составить уравнения знать точка

Как составить уравнение касательной к графику функции

Задания, связанные с нахождением уравнения касательной, часто вызывают трудности у учеников старших классов. Подобные задачи встречаются и на ЕГЭ по математике. Они могут иметь различную формулировку. К примеру, школьникам предлагают определить тангенс угла наклона касательной или написать, чему будет равна производная в какой-либо конкретной точке. Для решения всех подобных заданий нужно придерживаться простой последовательности действий, которая будет подробно рассмотрена ниже.

Как составлять уравнение касательной в заданной точке

При написании уравнения будем использовать следующие обозначения:

  • x0 — заданная в условии точка, принадлежащая функции, через которую проводится касательная;
  • f(x) — исходная функция;
  • f'(x) — производная от функции;
  • k — угловой коэффициент.

Перед написанием уравнения следует проверить существование функции в заданной точке касания, является ли она непрерывной и дифференцируемой в ней. Например, гипербола f(x) = 14 / (x + 11) прерывается в x = –11, а g(x) = |8x + 9|, хоть и является непрерывной на всей числовой прямой, в x = 0 не является дифференцируемой.

Алгоритм написания уравнения

После проверки можно приступать к нахождению уравнения. Разберем несложную задачу, в которой нужно найти касательную к f(x) = 3x³ – 6x² + 2x – 1 в x0 = 1. Для этого будем следовать данному алгоритму:

  1. Вычислим f(x0). Для этого просто подставим значение 1 в функцию: f(1) = 3·1³ – 6·1² + 2·1 – 1 = –2.
  2. Теперь необходимо записать производную: f'(x) = 9x² – 12x + 2.
  3. Подсчитаем значение производной в x0: f'(1) = 9·1² – 12·1 + 2 = –1.
  4. Необходимо подставить все найденные выше значения в общую формулу: y = f(x0) + f'(x0)(x – x0). После этого получаем: y = –2 + (–1)·(x – 1) = –x – 1.

В результате приобретает вид: y = –x – 1. Изобразим графики исходной функции и касательной в x0 = 1.

Рассмотрим уравнение более подробно. Как уже было сказано ранее, в общем виде оно имеет вид y = kx + b. В задачах, встречающихся на ЕГЭ, часто нужно рассчитать угловой коэффициент, тангенс угла наклона или же определить, чему будет равна производная в точке касания. Их роль выполняет k — коэффициент, находящийся перед x. Для полученного в примере уравнения k = –1.

Рассмотрим некоторые виды заданий, для решения которых необходимо уметь выписывать касательную к функции в конкретной точке.

Задачи на написание уравнения касательной

Различают несколько типов задач на уравнение касательной в определенной точке. Самый первый и простой тип уже был разобран при написании алгоритма решения подобных заданий. В них необходимо выписать уравнение или коэффициент k. Условием определяется исходная функция и точка касания.

Ко второму типу относятся задачи, в которых известно k, но неизвестно, где происходит касание. Как правило, в их формулировках указывается, что касательная будет проходить параллельна по отношению к оси абсцисс (тогда подразумеваем k = 0), или к какой-либо линейной функции (тогда угловой коэффициент касательной совпадает с коэффициентом k линейной функции). Рассмотрим, как нужно рассуждать, решая такие задания.

Записать уравнение касательной для параболы f(x) = 2x² – 3, если известно, что она будет параллельна y = –8x + 2.

  • Поскольку касательная параллельна заданной прямой, можно сделать вывод, что угол их наклона совпадает. Запишем, что k = f'(x0) = –8.
  • Возьмем от функции производную: f'(x) = 4x.
  • Определим точку касания. Для этого приравняем производную к числу k: 4x = –8. Решим уравнение и найдем x0 = –2.
  • Вычислим, чему будет равна функция в этой точке: f(–2) = 2·(–2)² – 3 = –11.
  • Теперь мы располагаем всеми необходимыми данными для записи уравнения. Подставим их в формулу для нахождения уравнения: y = –11 + (–8)(x – (–2)) = –8x – 27.

В третьем типе заданий в условии задается функция и точка, которая не принадлежит ее графику, но лежит на ее касательной.

Написать уравнение касательной к кубической функции g(x) = 2x³, если известно, что она проходит через точку Q(0;–0,5).

  • Поскольку точка принадлежит касательной, подставим ее координаты в общий вид уравнения: –0,5 = g(x0) + g'(x0)(– x0).
  • Запишем производную: g'(x) = 6x².
  • Очевидно, что g(x0) = 2·(x0)³, a g'(x0) = 6·(x0)². Подставим в общий вид: –0,5 = 2·.(x0)³ + 6·(x0)²(– x0). Решим уравнение, и из него определим абсциссу точки касания: x0 = 0,5.
  • Подсчитываем значение функции в точке: g(0,5) = 2·0,5³ = 0,25.
  • Вычисляем производную в точке касания: g'(0,5) = 6·0,5² =1,5.
  • В заключение записываем готовое уравнение, подставив в него рассчитанные данные: y = 0,25 + 1,5(x – 0,5) = 1,5x – 0,5.

Часто встречаются различные графические задачи, не требующие подробного решения. Пример такого задания приведен ниже.

Показан график функции, которая определена на участке [–7;7]. Необходимо выяснить, сколько точек существует на промежутке [–4;6], в которых касательная к изображенной функции будет параллельна y = –66.

Будем рассуждать так. Прямая y = –66 проходит параллельно оси абсцисс. Это значит, что ее угловой коэффициент, а также значение производной в точке, где произошло касание, и угол наклона касательной будут нулевыми. Это возможно лишь в точках экстремума. Подсчитать их количество не составит труда: 4 максимума и 3 минимума, т. е. 7 точек. Однако –5 не входит в промежуток, заданный условием. Поэтому окончательным ответом будет число 6.

Видео

Закрепить это тему вам поможет видео.

Как составить уравнения знать точка

Неверно введено число.

Точки должны быть разными.

Уравнение прямой по двум точкам

Введите координаты точек:

Количество знаков после разделителя дроби в числах:

Общее уравнение прямой:

Теория

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки (x1,y1) и (x2,y2), имеет вид:

или в общем виде

Т.е. получили общее уравнение прямой линии на плоскости в декартовых координатах:

Практика. Решение задач. Часть 1. Уравнения прямой

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Мы изучили новые инструменты – координаты и действия с векторами в координатах, операцию скалярного умножения векторов. Этот урок мы посвятим решению задач и потренируемся применять эти новые инструменты на практике.

источники:

http://www.math.by/geometry/eqline.html

http://interneturok.ru/lesson/geometry/9-klass/effektivnye-kursy/praktika-reshenie-zadach-chast-1-uravneniya-pryamoy

Источник

Получить уравнение прямой по двум точкам бывает необходимо, когда мы решаем задачи, связанные с анализом различных фигур на плоскости. В этом случае бывает полезно знать уравнение прямой, проходящей через две точки. Например, составляя такое уравнение мы уже знаем – как проходит прямая, с какие углом наклона к осям координат и можем рассчитать расположение прямой по отношению к другим прямым или к фигурам.

Составляем уравнение прямой по двум точкам

Итак, пусть нам даны две точки A(x_1, y_1) и B(x_2, y_2). Наша прямая проходит через две эти точки, давайте получим уравнение этой прямой. Уравнение пучка прямых, проходящих через точку с координатами A(x_1, y_1) имеет вид:

    [y-y_1=k(x-x_1) eqno (1)]

То есть если прямая проходит через две точки A и B она – одна из этого пучка прямых, проходящих через точку A и эта прямая имеет определенный коэффициент k. Значит, координаты точки B должны удовлетворять уравнению (1), то есть

    [y_2-y_1=k(x_2-x_1) eqno (2)]

.

Находим из (2) k:

    [k=frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}]

и подставим в уравнение (1):

    [y-y_1=frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1) eqno (3)]

.

Преобразовывая уравнение (3) получим:

    [frac{y-y_1}{y_2-y_1}=frac{x-x_1}{x_2-x_1}]

Это и есть уравнение прямой, проходящей через две точки A(x_1, y_1) и B(x_2, y_2).

Примечание: если точки A и B лежат на прямой, которая параллельна оси Ox (y_2-y_1=0) или оси Oy x_2-x_1=0, то уравнение прямой будет иметь вид y=y_1 или x=x_1 соответственно.

Зная координаты любых двух точек прямой, мы всегда сможем определить угловой коэффициент прямой:

    [k=frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}]

Геометрический вывод уравнения прямой

Действительно, давайте нарисуем прямую в системе координат xOy и отметим на прямой две точки A и B, координаты которых известны A(x_1, y_1) и B(x_2, y_2) и отметим на этой прямой произвольную точку M(x,y).

К выводу уравнения прямой через две дочки

Из подобия треугольников AMD и ABC находим:

    [frac{DM}{CB}=frac{AD}{AC}]

Из рисунка видно, что:

    [DM=y-y_1]

    [CB=y_2-y_1]

    [AD=x-x_1]

    [AC=x_2-x_1]

,

Таким образом, получаем уравнение прямой по двум точкам:

    [frac{y-y_1}{y_2-y_1}=frac{x-x_1}{x_2-x_1}]

Задача

Составим уравнение прямой, проходящей через две точки A(1,2) и B(3,7).

Решение: Имеем x_1=1, x_2=3, y_1=2, y_2=7. Подставим эти значения в уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:

    [frac{y-2}{7-2}=frac{x-1}{3-1}]

    [frac{y-2}{5}=frac{x-1}{2}]

Умножим левую и правую части уравнения на 5, получим:

y-2=frac{5x-5}{2}

y=2+2,5x-2,5

y=2,5x-0,5 – получившееся уравнение прямой.

Давайте сделаем проверку – если мы все решили правильно, то при подстановке координат точек A и B мы получим верное равенство. Итак, подставим сначала координаты точки A:

y_1=2,5x_1-0,5

2=2,5 cdot 1-0,5

2=2

Теперь координаты точки B:

y_2=2,5x_2-0,5

7=2,5 cdot 3-0,5

7=7

Значит, уравнение прямой мы нашли верно.

Ответ: y=2,5x-0,5

Условие прохождения прямой через три заданные точки

Если нам в задаче нужно убедиться, что три точки с заданными координатами лежат на одной прямой, можно рассуждать так:

  1. Если две точки с заданными координатами образуют прямую, то их координаты удовлетворяют уравнению прямой, проходящей через две точки.
  2. Если третья точка также лежит на этой прямой, то и ее координаты будут удовлетворять этому уравнению.

Таким образом, если нам даны три точки A(x_1, y_1), B(x_2, y_2) и C(x_3, y_3), лежащие на одной прямой, то их координаты будут удовлетворять условию:

    [frac{y_3-y_1}{y_2-y_1}=frac{x_3-x_1}{x_2-x_1}]

Теперь вы легко сможете составить уравнение прямой по двум точкам, а также найти угловой коэффициент прямой и проверить – принадлежит ли третья точка этой прямой.

Источник

Прямая имеет несколько видов задающих ее уравнений. Рассмотрим некоторые из них и разберем примеры.

Здесь будет калькулятор

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

y=kx+by=kx+b,

где kk — угловой коэффициент, а bb — свободный коэффициент.

Уравнения данного вида составляются следующим образом по формуле:

y−y0=k(x−x0)y-y_0=k(x-x_0),

где (x0;y0)(x_0; y_0) — координаты любой точки, лежащей на данной прямой.

Задача 1

Составить уравнение прямой, если координаты точки, принадлежащей данной прямой, таковы: x0=1,y0=2x_0=1, y_0=2. Угловой коэффициент принять равным 11.

Решение

Подставляем значения в формулу:

y−y0=k(x−x0)y-y_0=k(x-x_0)

y−2=1⋅(x−1)y-2=1cdot(x-1)

Приводим подобные слагаемые:

y=x+1y=x+1

Ответ

y=x+1y=x+1

Общее уравнение прямой

Для приведения прямой к такому виду из предыдущего вида достаточно просто перенести все слагаемые в одну часть. Возьмем уравнение прямой из предыдущей задачи y=x+1y=x+1. Тогда общее уравнение этой прямой запишется в виде:

y−x−1=0y-x-1=0

Уравнение прямой по двум точкам

Если в задаче даны координаты двух точек и необходимо составить уравнение прямой, то это делается при помощи такой формулы:

Уравнение прямой по двум точкам

x−x2x1−x2=y−y2y1−y2frac{x-x_2}{x_1-x_2}=frac{y-y_2}{y_1-y_2},

где (x1;y1),(x2;y2)(x_1; y_1), (x_2; y_2) — координаты двух точек, через которые проходит данная прямая.

Задача 2

Найти уравнение прямой, если координаты точек имеют значения: (2;3)(2;3) и (4;−1)(4;-1).

Решение

x1=2x_1=2
y1=3y_1=3
x2=4x_2=4
y2=−1y_2=-1

x−x2x1−x2=y−y2y1−y2frac{x-x_2}{x_1-x_2}=frac{y-y_2}{y_1-y_2}

x−42−4=y−(−1)3−(−1)frac{x-4}{2-4}=frac{y-(-1)}{3-(-1)}

x−4−2=y+14frac{x-4}{-2}=frac{y+1}{4}

x−4=−y−12x-4=frac{-y-1}{2}

y+1=2⋅(4−x)y+1=2cdot(4-x)

y=8−2x−1y=8-2x-1

y=−2x+7y=-2x+7

Ответ

y=−2x+7y=-2x+7

Уравнение прямой при помощи точки и вектора нормали

Уравнение прямой по точке и нормали

(x−x0)⋅n1+(y−y0)⋅n2=0(x-x_0)cdot n_1+(y-y_0)cdot n_2=0,

где (x0;y0)(x_0; y_0) — координаты точки, лежащей на данной прямой, а (n1;n2)(n_1; n_2) — координаты вектора нормали к этой прямой.

Задача 3

Составить уравнение прямой, если координаты нормального вектора — (1;−5)(1;-5), а точка, через которую проходит данная прямая имеет координаты (7;8)(7;8).

Решение

x0=7x_0=7
y0=8y_0=8
n1=1n_1=1
n2=−5n_2=-5

(x−x0)⋅n1+(y−y0)⋅n2=0(x-x_0)cdot n_1+(y-y_0)cdot n_2=0,

(x−7)⋅1+(y−8)⋅(−5)=0(x-7)cdot 1+(y-8)cdot (-5)=0,

x−7+40−5y=0x-7+40-5y=0

x−5y=−40+7x-5y=-40+7

x−5y=−33x-5y=-33

5y=x+335y=x+33

y=x5+335y=frac{x}{5}+frac{33}{5}

Проверка

Чтобы проверить правильность решения, достаточно подставить координаты точки в данное уравнение и, если оно будет верным, то задача решена верно.

8=75+3358=frac{7}{5}+frac{33}{5}

8=88=8 — верно, ответ правильный.

Ответ

y=x5+335y=frac{x}{5}+frac{33}{5}

Прямая в пространстве

Уравнение прямой, заданной в пространстве имеет такой вид:

Уравнение прямой в пространстве

x−x0ν1=y−y0ν2=z−z0ν3frac{x-x_0}{nu_1}=frac{y-y_0}{nu_2}=frac{z-z_0}{nu_3},

где (x0;y0;z0)(x_0;y_0;z_0) — координаты точки, через которую проходит прямая, а (ν1,ν2,ν3)(nu_1,nu_2,nu_3) — координаты напрявляющего вектора данной прямой.

Задача 4

Написать уравнение прямой по заданной точке (1;5;−23)(1;5;-23) и вектору направления (3;11;7)(3;11;7).

Решение

x0=1x_0=1
y0=5y_0=5
z0=−23z_0=-23
ν1=3nu_1=3
ν2=11nu_2=11
ν3=7nu_3=7

x−x0ν1=y−y0ν2=z−z0ν3frac{x-x_0}{nu_1}=frac{y-y_0}{nu_2}=frac{z-z_0}{nu_3}

x−13=y−511=z−(−23)7frac{x-1}{3}=frac{y-5}{11}=frac{z-(-23)}{7}

Проверка

Проверим, удовлетворяет ли это уравнение прямой точке (x0;y0;z0)(x_0;y_0;z_0). Для этого подставим в него координаты этой точки:

1−13=5−511=−23−(−23)7frac{1-1}{3}=frac{5-5}{11}=frac{-23-(-23)}{7} — верно, значит ответ правильный.

Такой вид уравнения прямой называется каноническим.

Ответ

x−13=y−511=z−(−23)7frac{x-1}{3}=frac{y-5}{11}=frac{z-(-23)}{7}

Тест по теме “Составление уравнения прямой”

Источник

Перейти к содержанию

Вывести уравнение прямой по координатам двух точек

Просмотров 23.3к. Обновлено 26 октября 2021

Общее уравнение прямой имеет вид y = kx + b. Для какой-то конкретной прямой в уравнении коэффициенты k и b заменяются на числа, например, y = 4x — 2. Задача сводится именно к нахождению этих коэффициентов.

Так как координаты точки это значения x и y, то мы имеем два уравнения. Пусть, например, координаты точки А(3;2), а координаты B(-1;-1). Получаем уравнения:
2 = k*3 + b,
-1 = k*(-1) + b.
Решая полученную систему уравнений находим значения k и b:
b = 2 — 3k
-1 = -k + 2 — 3k
4k = 3
k = 3/4 = 0.75
b = 2 — 3 * 0.75 = 2 — 2.25 = -0.25
Таким образом, получается уравнение конкретной прямой, проходящей через указанные точки: y = 0.75x — 0.25.

Вывод общих выражений для вычисления b и k:
| y1 = kx1 + b
| y2 = kx2 + b
b = y2 — kx2
y1 = kx1 + y2 — kx2
k = (y1 — y2) / (x1 — x2)

Алгоритм решения данной задаче на языке программирования будет таков:

  1. Получить значения координат первой точки и присвоить их переменным, например x1 и y1.
  2. Получить значения координат (x2, y2) второй точки.
  3. Вычислить значение k по формуле k = (y1 — y2) / (x1 — x2).
  4. Вычислить значение b по формуле b = y2 — k * x2.
  5. Вывести на экран полученное уравнение.

Pascal

уравнение прямой по двум точкам паскаль



var	

	x1,y1,x2,y2: real;

	k, b: real;

 
begin

	write('A(x1;y1): '); readln(x1, y1);

	write('B(x2;y2): '); readln(x2, y2);

 
	k := (y1 - y2) / (x1 - x2);

	b := y2 - k * x2;

 
	writeln('y = ',k:0:2,'x + ',b:0:2);

end.





A(x1;y1): 

1.2

5.6

B(x2;y2): 

-3.45 8.2

y = -0.56x + 6.27

Язык Си



#include 

 
main() {

    float x1, y1, x2, y2, k, b;

 
    printf("A(x1;y1): ");

    scanf("%f%f", &x1,&y1);

    printf("A(x2;y2): ");

    scanf("%f%f", &x2,&y2);

 
    k = (y1 - y2) / (x1 - x2);

	b = y2 - k * x2;

 
    printf("Уравнение прямой: y = %.2fx + %.2fn", k, b);

}





A(x1;y1): 5.67 -1.45

A(x2;y2): -3.12 4.00

Уравнение прямой: y = -0.62x + 2.07

Python

уравнение прямой по двум точкам python
уравнение прямой по двум точкам python



print("Координаты точки A(x1;y1):")

x1 = float(input("tx1 = "))

y1 = float(input("ty1 = "))

 
print("Координаты точки B(x2;y2):")

x2 = float(input("tx2 = "))

y2 = float(input("ty2 = "))

 
print("Уравнение прямой, проходящей через эти точки:")

k = (y1 - y2) / (x1 - x2)

b = y2 - k*x2

print(" y = %.2f*x + %.2f" % (k, b))





Координаты точки A(x1;y1):

	x1 = 4.3

	y1 = -1.2

Координаты точки B(x2;y2):

	x2 = -8.5

	y2 = 4

Уравнение прямой, проходящей через эти точки:

 y = -0.41*x + 0.55

КуМир



алг уравнение_прямой

нач

  вещ x1, y1, x2, y2, k, b

  вывод "Координаты точки A(x1;y1): "

  ввод x1, y1

  вывод "Координаты точки B(x2;y2): "

  ввод x2, y2

  k := (y1 - y2) / (x1 - x2)

  b := y2 - k * x2

  вывод "Уравнение прямой: y = " + вещ_в_лит(k) + "x + " + вещ_в_лит(b)

кон







Координаты точки A(x1;y1): 4 9

Координаты точки B(x2;y2): -1 -3

Уравнение прямой: y = 2.4x + -0.6

Basic-256



input "x1 = ", x1

input "y1 = ", y1

input "x2 = ", x2

input "y2 = ", y2

 
k = (y1 - y2) / (x1 - x2)

b = y2 - k * x2

 
decimal 2

print "y = " + k + "x + " + b 





x1 = 7.45

y1 = -1

x2 = -3.4

y2 = 3

y = -0.37x + 1.75

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Дети аутисты как найти подход к
  • Как найти высоту если известна длина треугольника
  • Брандмауэр windows не удалось изменить некоторые параметры 0x80070422 как исправить
  • Как исправить дистальный прикус у подростка
  • Как правильно составить декларацию на возврат налога за медицинские услуги