Как составить вектор по двум точкам - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Если Вы хотите связаться со мной, имеете вопросы, предложения или хотите помочь развивать сайт OnlineMSchool пишите мне support@onlinemschool.com

Источник

1.5.1. Как найти вектор по двум точкам?

Задача 1

Даны две точки плоскости и . Найти координаты вектора

Решение: по соответствующей формуле:

Как вариант, можно использовать следующую запись:

Эстеты решат и так:

Лично я привык к первой версии записи.

Ответ:

По условию не требовалось строить чертежа (что характерно для задач аналитической геометрии), но в целях пояснения

важного момента, не поленюсь:

И момент здесь таков:
в чём различие между координатами точек и координатами векторов?

Координаты точек – это обычные координаты в прямоугольной системе координат (единичные векторы тут

вообще ни при чём). Откладывать точки на координатной плоскости, думаю, все умеют ещё с 5-6 класса. Каждая точка обладает

строгим местом на плоскости, и перемещать их куда-либо нельзя.

Координаты же вектора – это его разложение по базису , в данном случае . Любой вектор является свободным, поэтому при желании мы легко можем переобозначить

его через и отложить от какой-нибудь другой точки

плоскости. Следует отметить, что для векторов можно вообще не строить оси, прямоугольную систему координат, нужен лишь базис,

в данном случае ортонормированный базис плоскости .
Записи координат точек и координат

вектора формально одинаковы, но смысл

координат абсолютно разный, и вам следует хорошо понимать эту разницу. Данное отличие, разумеется, справедливо и

для пространства.

Дамы и господа, набиваем руку:

Задача 2

а) Даны точки и . Найти векторы и .
б) Даны точки и . Найти векторы и .
в) Даны точки и . Найти векторы и .
г) Даны точки . Найти векторы .

Пожалуй, достаточно…. Не пропускаем! Решаем письменно и «от руки»! Чертежи делать не нужно (коль скоро, не требовалось).

Решения и ответы в конце книги.

Для проверки вычислений удобно использовать Геометрический калькулятор, приложенные к данному

курсу. Дабы избежать нелепых ошибок а-ля «2 + 2 = 5». А подобные «затмения» бывают. Даже у профессоров. Отвлёкся – и

студентка сбежала

1.5.2. Как найти длину отрезка?

1.4. Координаты вектора на плоскости и в пространстве

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин

Источник

Онлайн калькулятор. Координаты вектора по двум точкам.

Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто найти значение координат вектора по двум точкам (зная его начальную и конечную точку) для плоских и пространственных задач.

Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на определение координат вектора по двум точкам и закрепить пройденый материал.

Калькулятор для вычисления координат вектора по двум точкам

Инструкция использования калькулятора для вычисления координат вектора по двум точкам

Ввод даных в калькулятор для вычисления координат вектора по двум точкам

В онлайн калькулятор можно вводить числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Дополнительные возможности калькулятора для вычисления координат вектора по двум точкам

Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши «влево» и «вправо» на клавиатуре.

Теория. Координаты вектора по двум точкам

Например, вектор AB , заданный в пространстве координатами точек A(A _x , A _y , A _z ) и B(B _x , B _y , B _z ) можно найти использовав формулу:

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Как построить вектор по точкам

Онлайн калькулятор. Координаты вектора по двум точкам.

Калькулятор для вычисления координат вектора по двум точкам

Инструкция использования калькулятора для вычисления координат вектора по двум точкам

Ввод даных в калькулятор для вычисления координат вектора по двум точкам

В онлайн калькулятор можно вводить числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Дополнительные возможности калькулятора для вычисления координат вектора по двум точкам

Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши «влево» и «вправо» на клавиатуре.

Теория. Координаты вектора по двум точкам

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Как найти вектор по точкам

Формула

Примеры нахождения координат вектора по точкам

Задание. Даны точки $A(4;-1)$ и $B(2;1)$. Найти координаты векторов $overline$ и $overline $

Для вектора точка $B$ является началом, а точка $A$ — концом. Тогда координаты вектора $overline $ равны

Задание. Даны три точки в пространстве точки $A(1;-2;0,5)$, $B(3;2;1,5)$ и $C(0;-1;1)$. Найти координаты векторов $overline$, $overline$, $overline $

Для вектора $overline $ точка $B$ является началом, а точка $C$ — концом. Его координаты равны

Нахождение координат вектора через координаты точек

Отложим от начала координат единичные векторы, то есть векторы, длины которых равны единице. Направление вектора i → должно совпадать с осью O x , а направление вектора j → с осью O y .

Векторы i → и j → называют координатными векторами.

Координатные векторы неколлинеарны. Поэтому любой вектор p → можно разложить по векторам p → = x i → + y j → . Коэффициенты x и y определяются единственным образом. Коэффициенты разложения вектора p → по координатным векторам называются координатами вектора p → в данной системе координат.

Координаты вектора записываются в фигурных скобках p → x ; y . На рисунке вектор O A → имеет координаты 2 ; 1 , а вектор b → имеет координаты 3 ; — 2 . Нулевой вектор представляется в виде 0 → 0 ; 0 .

Если векторы a → и b → равны, то и y 1 = y 2 . Запишем это так: a → = x 1 i → + y 1 j → = b → = x 2 i → + y 2 j → , значит x 1 = x 2 , y 1 = y 2 .

Таким образом, координаты равных векторов соответственно равны.

Если точка координат не совпадает с его началом системы координат, тогда рассмотрим задачу. Пусть в декартовой системе координат на O x y заданы координаты точек начала и конца A B → : A x a , y a , B x b , y b . Найти координаты заданного вектора.

Изобразим координатную ось.

Из формулы сложения векторов имеем O A → + A B → = O B → , где O – начало координат. Отсюда следует, что A B → = O B → — O A → .

O A → и O B → – это радиус-векторы заданных точек А и В, значит координаты точек имеют значения O A → = x a , y a , O B → = x b , y b .

По правилу операций над векторами найдем A B → = O B → — O A → = x b — x a , y b — y a .

Нахождение в трехмерном пространстве проходит по такому же принципу, только для трех точек.

Для нахождения координат вектора, необходимо найти разность его точек конца и начала.

Найти координаты O A → и A B → при значении координат точек A ( 2 , — 3 ) , B ( — 4 , — 1 ) .

Для начала определяется радиус-вектор точки A . O A → = ( 2 , — 3 ) . Чтобы найти A B → , нужно вычесть значение координат точек начала из координат точек конца.

Получаем: A B → = ( — 4 — 2 , — 1 — ( — 3 ) ) = ( — 6 , 2 ) .

Ответ: O A → = ( 2 , — 3 ) , A B → = ( — 6 , — 2 ) .

Задано трехмерное пространство с точкой A = ( 3 , 5 , 7 ) , A B → = ( 2 , 0 , — 2 ) . Найти координаты конца A B → .

Подставляем координаты точки A : A B → = ( x b — 3 , y b — 5 , z b — 7 ) .

По условию известно, что A B → = ( 2 , 0 , — 2 ) .

Известно, что равенство векторов справедливо тогда, когда координаты равны соответственно. Составим систему уравнений: x b — 3 = 2 y b — 5 = 0 z b — 7 = — 2

Отсюда следует, что координаты точки B A B → равны: x b = 5 y b = 5 z b = 5

Ответ: B ( 5 , 5 , 5 ) .

Нахождение координат вектора через координаты точек

Векторы i → и j → называют координатными векторами.

Таким образом, координаты равных векторов соответственно равны.

Изобразим координатную ось.

По правилу операций над векторами найдем A B → = O B → — O A → = x b — x a , y b — y a .

Нахождение в трехмерном пространстве проходит по такому же принципу, только для трех точек.

Для нахождения координат вектора, необходимо найти разность его точек конца и начала.

Найти координаты O A → и A B → при значении координат точек A ( 2 , — 3 ) , B ( — 4 , — 1 ) .

Получаем: A B → = ( — 4 — 2 , — 1 — ( — 3 ) ) = ( — 6 , 2 ) .

Ответ: O A → = ( 2 , — 3 ) , A B → = ( — 6 , — 2 ) .

Задано трехмерное пространство с точкой A = ( 3 , 5 , 7 ) , A B → = ( 2 , 0 , — 2 ) . Найти координаты конца A B → .

Подставляем координаты точки A : A B → = ( x b — 3 , y b — 5 , z b — 7 ) .

По условию известно, что A B → = ( 2 , 0 , — 2 ) .

Отсюда следует, что координаты точки B A B → равны: x b = 5 y b = 5 z b = 5

Ответ: B ( 5 , 5 , 5 ) .

источники:

http://b4.cooksy.ru/articles/kak-postroit-vektor-po-tochkam

http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/vektory/nahozhdenie_kordinat_vectora/

Источник

Простейшие задачи Как найти вектор по двум точкам?

Если
даны две точки плоскости
и
,
то вектор
имеет
следующие координаты:

Если
даны две точки пространства
и
,
то вектор
имеет
следующие координаты:

То
есть, из
координат конца вектора нужно
вычесть соответствующие координаты начала
вектора.

Пример

Даны
две точки плоскости
и
.
Найти координаты вектора

Решение: по
соответствующей формуле:

Как
вариант, можно было использовать
следующую запись:

Можно
и так:

Обязательно
нужно понимать различие
между координатами точек и координатами
векторов:

Координаты
точек –
это обычные координаты в прямоугольной
системе координат. Каждая точка обладает
строгим местом на плоскости, и перемещать
их куда-либо нельзя.

Координаты
же вектора –
это его разложение по базису
,
в данном случае
.
Любой вектор является свободным, поэтому
при необходимости мы легко можем отложить
его от какой-нибудь другой точки
плоскости. Интересно, что для векторов
можно вообще не строить оси, прямоугольную
систему координат, нужен лишь базис, в
данном случае ортонормированный базис
плоскости
.

Записи
координат точек и координат векторов
вроде бы схожи:
,
а смысл
координат абсолютно разный,
и следует хорошо понимать эту разницу.

Пример

Даны
точки
.
Найти векторы
.

Как найти длину отрезка?

Если
даны две точки плоскости
и
,
то длину отрезка
можно
вычислить по формуле

Если
даны две точки пространства
и
,
то длину отрезка
можно
вычислить по формуле

Примечание: Формулы
останутся корректными, если переставить
местами соответствующие координаты:
и
,
но более стандартен первый вариант

Пример

Даны
точки
и
.
Найти длину отрезка
.

Ответ:

Если
дан вектор плоскости
,
то его длина вычисляется по формуле
.

Если
дан вектор пространства
,
то его длина вычисляется по формуле
.

Пример

Даны
точки
и
.
Найти длину вектора
.

Решение: Сначала
найдём вектор
:

По
формуле
вычислим
длину вектора:

Ответ:

Пример

а)
Даны точки
и
.
Найти длину вектора
.

б)
Даны векторы
,
,
и
.
Найти их длины.

а) Решение: найдём
вектор
:

Вычислим
длину вектора:

Ответ:

б) Решение:

Вычислим
длины векторов:

Действия с векторами в координатах

1) Правило
сложения векторов.
Рассмотрим два вектора плоскости
и
.
Для того, чтобы сложить векторы,
необходимо сложить
их соответствующие координаты:
.

Частный
случай – формула разности векторов:
.

Аналогичное
правило справедливо для суммы любого
количества векторов, например, найдём
сумму трёх векторов:

Если
речь идёт о векторах в пространстве, то
всё точно так же, только добавится
дополнительная координата. Если даны
векторы
,
то их суммой является вектор
.

2) Правило
умножения вектора на число.
Для того чтобы вектор
умножить
на число
,
необходимо каждую координату данного
вектора умножить на число
:

Для
пространственного вектора
правило
такое же:

Пример

Даны
векторы
и
.
Найти
и

Решение: Для
действий с векторами справедлив обычный
алгебраический приоритет: сначала
умножаем, потом складываем:

Ответ:

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Заказать задачи по любым предметам можно здесь от 10 минут

Координаты вектора по двум точкам

Чтобы найти координаты вектора по двум точкам нужно найти разность между координатами конца и начала вектора. Пусть даны две точки $ A(x_1;y_1) $ и $ B(x_2;y_2) $Вектор $ overline{AB} $ для плоской задачи можно найти по формуле: $$ overline{AB} = (x_2-x_1; y_2-y_1) $$

В случае, если точки расположены в пространстве $ A(x_1;y_1;z_1) $ и $ B(x_2;y_2;z_2) $, то координаты вектора $ overline{AB} $ расчитываются по формуле: $$ overline{AB} = (x_2-x_1; y_2-y_1; z_2-z_1) $$

Следует обратить внимание, что координаты вычисляются именно с помощью вычитания начальной точки из конечной, но не наоборот. То есть векторы $ overline{AB} $ и $ overline{BA} $ имеют разные координаты: $$ overline{AB} neq overline{BA} $$

Пример 1

Даны точки $ A(2;1;-3) $ и $ B(1;0;2) $. Найти координаты векторов $ overline{AB} $ и $ overline{BA} $

Решение

Как найти координаты вектора по двум точкам? Согласну правилу нужно из конечной точки вычесть начальную. Так как вектор $ overline{AB} $ имеет начало в точке $ A $, а конец в $ B $, то получаем:

$$ overline{AB} = (1-2;0-1;2-(-3)) = (-1; -1; 5) $$

Теперь посмотрим на вектор $ overline{BA} $, в котором начало в точке $ B $, а конец в $ A $. Поэтому имеем:

$$ overline{BA} = (2-1;1-0;-3-2)=(1;1;-5) $$

Как видим, векторые разные, и координаты их тоже отличаются.

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ overline{AB} = (-1;-1;5) $$ $$ overline{BA} = (1;1;-5) $$

Источник