Как составить векторную диаграмму при

Векторные диаграммы и комплексное представление

Векторные диаграммы можно считать вариантом (и иллюстрацией) представления колебаний в виде комплексных чисел. При таком сопоставлении ось Ox соответствует оси действительных чисел, а ось Oy — оси чисто мнимых чисел (положительный единичный вектор вдоль которой есть мнимая единица).

Тогда вектор длиной A, вращающийся в комплексной плоскости с постоянной угловой скоростью ω с начальным углом φ0 запишется как комплексное число, а его действительная часть — есть гармоническое колебание с циклической частотой ω и начальной фазой φ0.

Хотя, как видно уже из вышесказанного, векторные диаграммы и комплексное представление колебаний теснейшим образом связаны и по сути представляют собой варианты или разные стороны одного и того же метода, они, тем не менее, обладают своими особенностями и могут применяться и по отдельности.

• Метод векторных диаграмм может излагаться отдельно в курсах электротехники или элементарной физики, если по тем или иным причинам (обычно связанным с умеренным уровнем математической подготовки учащихся и недостатком времени) надо избежать использования комплексных чисел (в явном виде) вообще.

• Метод комплексного представления (который при необходимости или желании может включать и графическое представление, что, правда, совершенно не обязательно и иногда излишне) вообще говоря более мощен, т.к. естественно включает в себя, например, составление и решение систем уравнений любой сложности, в то время как метод векторных диаграмм в чистом виде всё же ограничен задачами, подразумевающим суммирование, которое можно изобразить на одном чертеже.

• Однако метод векторных диаграмм (в чистом виде или в качестве графической составляющей метода комплексного представления) — более нагляден, а значит в некоторых случаях потенциально более надежен (позволяет до некоторой степени избежать грубых случайных ошибок, которые могут встречаться при абстрактных алгебраических вычислениях) и позволяет в некоторых случаях достичь в каком-то смысле более глубокого понимания задачи.

Разновидности векторных диаграмм

Для корректного отображения переменных величин, которые определяют функциональность радиотехнических устройств, хорошо подходит векторная графика. Подразумевается соответствующее изменение основных параметров сигнала по стандартной синусоидальной (косинусоидальной) кривой. Для наглядного представления процесса гармоническое колебание представляют, как проекцию вектора на координатную ось.

С применением типовых формул несложно рассчитать длину, которая получится равной амплитуде в определенный момент времени. Угол наклона будет показывать фазу. Суммарные влияния и соответствующие изменения векторов подчиняются обычным правилам геометрии.

Различают качественные и точные диаграммы. Первые применяют для учета взаимных связей. Они помогают сделать предварительную оценку либо используются для полноценной замены вычислений. Другие создают с учетом полученных результатов, которые определяют размеры и направленность отдельных векторов.

Круговая диаграмма

Допустим, что надо изучить изменение параметров тока в цепи при разных значениях сопротивления резистора в диапазоне от нуля до бесконечности. В этой схеме напряжение на выходе (U) будет равно сумме значений (UR и UL) на каждом из элементов. Индуктивный характер второй величины подразумевает перпендикулярное взаимное расположение, что хорошо видно на части рисунка б). Образованные треугольники отлично вписываются в сегмент окружности 180 градусов. Эта кривая соответствует всем возможным точкам, через которые проходит конец вектора UR при соответствующем изменении электрического сопротивления. Вторая диаграмма в) демонстрирует отставание тока по фазе на угол 90°.

Линейная диаграмма

Здесь изображен двухполюсный элемент с активной и реактивной составляющими проводимости (G и jB, соответственно). Аналогичными параметрами обладает классический колебательный контур, созданный с применением параллельной схемы. Отмеченные выше параметры можно изобразить векторами, которые расположены постоянно под углом 90°. Изменение реактивной компоненты сопровождается перемещением вектора тока (I1…I3). Образованная линия располагается перпендикулярно U и на расстоянии Ia от нулевой точки оси координат.

Примеры применения

Механика; гармонический осциллятор

• Гармонический осциллятор в механике и гармонический осциллятор любой природы формально представляют точную аналогию, поэтому рассмотрим их в одном параграфе на примере механического гармонического осциллятора.
• Применение векторных диаграмм в механике сводится в основном к случаю гармонического осциллятора (в том числе имеется в виду и случай осциллятора с линейной по скорости силой трения); впрочем, векторные диаграммы могут быть до некоторой степени полезны и для исследования нескольких осцилляторов в том числе и в пределе бесконечного их количества (для колебаний или волн в распределенных системах).
• С современной точки зрения применение векторных диаграмм к гармоническому осциллятору представляет скорее только исторический и педагогический интерес, однако тем не менее в принципе они здесь вполне применимы.
• В механике применение векторных диаграмм (обычно подразумевается их применение к одномерному осциллятору) имеет ту особенность, что добавляющаяся вторая координата для превращения колебаний во вращение может иметь не только чисто формальный абстрактный смысл, но для одномерной механической системы такого сорта может быть указана механическая же двумерная система, для которой векторная диаграмма первой реализуется как вполне реальное двумерное механическое движение, и все векторы реально двумерны (а после проецирования всех их и движения точки двумерной системы на одну ось, мы получаем мгновенные значения соответствующих величин – в том числе положения – для соответствующей одномерной системы); таким образом, для механической одномерной системы возможна не только формальная математическая, но и реальная механическая модель, переводящая колебательное одномерное движение во вращательное движение в двумерном пространстве, реализующая в себе векторную диаграмму для одномерной системы.

Разберем два основных случая простого применения векторных диаграмм в механике (как замечено выше, также применимых к гармоническому осциллятору не только механической, но любой природы): осциллятор без затухания и без внешней силы и осциллятор с (линейным) затуханием (вязкостью), и внешней вынуждающей силой.

Векторная диаграмма – это удобный инструмент представления синусоидальных функций времени, коими являются, к примеру, напряжения и токи электрической цепи переменного тока.

Рассмотрим, например, произвольный ток, представленный в виде синусоидальной функции

i(t) = 10 sin(ωt + 30°).

Данный синусоидальный сигнал можно представить в виде комплексной величины

I = 10∠30°.

Для формирования комплексного числа используются модуль и фаза синусоидального сигнала.

Для построения векторных диаграмм сперва составляют уравнения по законам Кирхгофа для рассматриваемой электрической цепи.

Рассмотрим электрическую цепь, представленную на рис. 1, и нарисуем для неё векторную диаграмму напряжений. Обозначим падение напряжение на элементах.

Последовательное соединение элементов цепи

Составим уравнение для данной цепи по второму закону Кирхгофа:

UR + UL + UC = E.

По закону Ома падение напряжений на элементах определяется по следующим выражениям:

UR = I ∙ R,

UL = I ∙ jXL,

UC = −I ∙ jXC.

Для построения векторной диаграммы необходимо отобразить приведённые в уравнении слагаемые на комплексной плоскости. Обычно вектора токов и напряжений отображаются в своих масштабах: отдельно для напряжений и отдельно для токов.

Из курса математики известно, что j = 1∠90°, −j = 1∠−90°. Отсюда при построении векторной диаграммы умножение какого-либо вектора на мнимую единицу j приводит к повороту этого вектора на 90 градусов против часовой стрелки, а умножение на −j приводит к повороту этого вектора на 90 градусов по часовой стрелке.

При построении векторной диаграммы напряжений на комплексной плоскости сперва отобразим вектор тока I, после чего относительного него будем отображать вектора падений напряжений (рис. 2) с учётом приведённых выше соотношений для мнимой единицы.

Падение напряжения на резисторе UR совпадает по направлению с током I (т.к. UR = I ∙ R, а R – чисто действительная величина или, простыми словами, нет умножения на мнимую единицу). Падение напряжения на индуктивном сопротивлении опережает вектор тока на 90° (т.к. UL = I ∙ jXL, а умножение на j приводит повороту этого вектора на 90° против часовой стрелки). Падение напряжения на ёмкостном сопротивлении отстаёт от вектора тока на 90° (т.к. UC = −I ∙ jXC, а умножение на −j приводит повороту этого вектора на 90° по часовой стрелке).

Векторная диаграмма напряжений при последовательном соединении элементов цепи

Следует обратить внимание, что на одной векторной диаграмме изображают только векторы тех величин, у которых частота совпадает!

Рассмотрим электрическую цепь, представленную на рис. 3, и нарисуем для неё векторную диаграмму токов. Обозначим направление токов в ветвях.

Параллельное соединение элементов цепи

Составим уравнение для данной цепи по первому закону Кирхгофа:

I­­ – IR – IL – IC = 0,

откуда

I­­ = IR + IL + IC.

Определим по закону Ома токи в ветвях по следующим выражениям, учитывая, что 1 / j = −j:

IR = E / R,

IL = E / (jXL) = −j ∙ E / XL,

IC = E / (−jXC) = j ∙ E / XC,

Для построения векторной диаграммы необходимо отобразить приведённые в уравнении слагаемые на комплексной плоскости.

При построении векторной диаграммы токов на комплексной плоскости сперва отобразим вектор ЭДС E, после чего относительного него будем отображать вектора токов токов (рис. 4) с учётом приведённых выше соотношений для мнимой единицы.

Ток в резисторе IR совпадает по направлению с ЭДС E (т.к. IR = E / R, а R – чисто действительная величина или, простыми словами, нет умножения на мнимую единицу). Ток в индуктивном сопротивлении отстаёт от вектора ЭДС на 90° (т.к. IL = −j ∙ E / XL, а умножение на −j приводит повороту этого вектора на 90° по часовой стрелки). Ток в ёмкостном сопротивлении опережает вектор ЭДС на 90° (т.к. IC = j ∙ E / XC, а умножение на j приводит повороту этого вектора на 90° против часовой стрелки). Результирующий вектор тока определяется после геометрического сложения всех векторов по правилу параллелограмма.

Векторная диаграмма токов при параллельном соединении элементов цепи

Для произвольной цепи алгоритм построения векторных диаграмм аналогичен вышеизложенному с учётом протекаемых в ветвях токов и прикладываемых напряжений.

Обращаем ваше внимание, что на сайте представлен инструмент для построения векторных диаграмм онлайн для трёхфазных цепей.

Свободные гармонические колебания без затухания

Продолжая изучение темы на примерах механических процессов, можно отметить возможность построения двухмерной схемы. Скорость в этом случае на оси Х отображается так же, как и в одномерном варианте. Однако здесь можно учесть дополнительно фактор ускорения, которое направляют под углом 90° к предыдущему вектору.

Гармонический осциллятор с затуханием и внешней вынуждающей силой

В этом случае также можно воспользоваться для изучения взаимного влияния дополнительных факторов векторной графикой. Как и в предыдущем примере, скорость и другие величины представляют в двухмерном виде. Чтобы правильно моделировать процесс, проверяют суммарное воздействие внешних сил. Его направляют к центру системы (точке равновесия). С применением геометрических формул вычисляют амплитуду механических колебаний после начального воздействия с учетом коэффициента затухания и других значимых факторов.

Расчет электрических цепей

Векторную графику применяют для сравнительно несложных цепей, которые созданы из набора элементов линейной категории: конденсаторы, резисторы, катушки индуктивности. Для более сложных схем пользуются методикой расчета «Комплексных амплитуд», в которой реактивные компоненты определяют с помощью импедансов.

Векторная диаграмма в данном случае выполняет функцию вспомогательного чертежа, который упрощает решение геометрических задач. Для катушек и конденсаторов, чтобы не пользоваться комплексным исчислением, вводят специальный термин – реактивное сопротивление. При синусоидальном токе изменение напряжения на индуктивном элементе описывается формулой U=-L*w*I0sin(w*t+f0).

Несложно увидеть подобие с классическим законом Ома. Однако в данном примере изменяется фаза. По этому параметру на конденсаторе напряжение отстает от тока на 90°. В индуктивности – обратное распределение. Эти особенности учитывают при размещении векторов на рисунке. В формуле учитывается частота, которая оказывает влияние на величину этого элемента.

Дифракция

Для этого случая пользуются тем же отображением отдельных синусоид в виде векторов, как и в предыдущем примере. Суммарное значение также вписывается в окружность.

Как построить векторную диаграмму токов и напряжений

Расчеты в цепях с синусоидальными напряжениями и токами упрощаются, если вместо синусоид оперировать с их изображениями — вращающимися векторами (рис. 1).

Проекция конца вектора на ось координат совершает синусоидальные колебания : каждое мгновенное значение тока, соответствующее моменту времени  и фазовому углу , можно рассматривать как проекцию на ось ординат вектора, повернувшегося на фазовый угол относительно оси абсцисс.

Если что-то непонятно — вы всегда можете написать мне в WhatsApp и я вам помогу!

Таким образом, синусоидальная функция условно представляется вектором, длина которого определяется максимальным или действующим ее значением, а направление — ее начальной фазой; положительная начальная фаза откладывается от горизонтальной оси в сторону вращения векторов (против часовой стрелки). Векторы токов и напряжений, вращаясь с одной и той же

угловой скоростью , неподвижны относительно друг друга. Условное изображение синусоидально изменяющихся во времени токов и напряжении при помощи векторов позволило записать в векторной форме первый и второй законы Кирхгофа.

Алгебраическому суммированию синусоид, т.е. суммированию их мгновенных значений, соответствуют геометрические действия над изображающими их векторами. Применение в этой форме законов Кирхгофа даст возможность путем построения векторных диаграмм достаточно просто и наглядно рассчитывать электрические цепи. Приступая к графическому расчету пеней переменного тока, следует помнить, что физические процессы на участках цепи с сопротивлением, индуктивностью, емкостью весьма различны.

Соответственно вектор тока и вектор напряжения имеют одно направление.

В индуктивном элементе ток отстает от напряжения на и соответственно располагаются векторы (рис.3). Закон Ома для участка цепи только с индуктивными сопротивлением записывается .

В емкостном элементе в активном сопротивлении ток и напряжение совпадают по фазе (рис.2), ток опережает напряжение на ( расположение вектора напряжения и тока показано на рис.4); закон Ома для участка цепи только с емкостным сопротивлением записывается
или .

Построение ВД напряжений и токов

В качестве примера построения ВД рассмотрим последовательную цепочку из сопротивления R, индуктивности L и конденсатора C. Схема приведена на рисунке ниже.

Напряжения на элементах схемы — UR, UL, UC. Ток в цепи — i.

Напряжение на выходе U = UR + UL + UC.

Пускай в цепи протекает синусоидальный ток с частотой ω и с нулевым сдвигом фазы. Для ненулевого сдвига фазы ВД просто повернётся на этот начальный угол, а общий её вид не изменится. Амплитуды напряжений на каждом элементе в форме закона Ома:

|U|R = R* |i|

|U|L = 1/ωC*|i|

|U|С = ωL* |i|

Соответствующие этим амплитудам длины векторов наносятся на ВД. При этом каждый вектор наносится с учетом своего фазового сдвига. Суммарный вектор оказался равен U = UR + UL + UC, но это теперь доказано геометрически на диаграмме.

Модуль суммарного вектора равен длине гипотенузы в прямоугольном треугольнике со сторонами |U|R, (|U|L – |U|С). Воспользовавшись теоремой Пифагора, можно вычислить |U|:

|U|2 = UR2 + (UL – UC)2

Применив формулы, указанные выше, получим:

|U|2 = (i0 * R)2 + (i0 * ωL – i0/ ωC)2

Можно вынести за скобки i0 (амплитуда тока — длина вектора i), тогда:

|U|2 = i02 * (R2 + (ωL – 1/ ωC)2

Пользуясь последней формулой, можно вычислять амплитуду синусоидального напряжения. Полученные формулы справедливы для случая обратной задачи, когда требуется найти ток в цепи с известным источником напряжения.

Алгоритм создания лучевой векторной диаграммы в Excel

Чтобы упростить наш урок, давайте предположим, что мы говорим об отношениях не между четырнадцатью как на графике, а пока только с 4-ма людьми по имени Антон, Алиса, Борис и Белла.

Наша матрица уровня отношений и связей между ними выглядит следующим образом:

• 0 значит отсутствие отношений;
• 1 означает слабые отношения (например: Антон и Алиса просто знают друг друга);
• 2 означает крепкие отношения (например, Борис и Алиса друзья).

Как можно геометрически смоделировать визуализацию этих исходных данных? Если бы мы нарисовали отношения между этими четырьмя людьми (Антон, Алиса, Борис и Белла), это схематически выглядело бы так:

2 критерия, которые нам нужно определить:

1. Расположение точек (где печатаются имена людей).
2. Линии (начальная и конечная точка соединения линий).

Определение и построение точек

Сначала нам нужно построить наши точки таким образом, чтобы промежуток между каждой точкой был одинаковым. Это создаст сбалансированный график.

Какая геометрическая фигура максимально удовлетворяет нашу потребность в таких равных промежутках? Конечно же круг!

Вы можете возразить, что на готовой модели диаграммы нет фигуры круга. Да действительно нет –вот так. Нам не нужно рисовать круг. Нам просто нужно построить точки вокруг него.

Таким образом, у нас есть 4 заинтересованные стороны, нам нужно 4 точки:

1. Если у нас 12 заинтересованных сторон, нам нужно 12 точек.
2. Если у нас есть 20, нам нужно 20 точек.

Предполагая, что источником нашего круга является (x, y), радиус – это r, а тета – 360, деленная на количество нужных нам точек. Первая точка (x1, y1) на окружности будет в этой позиции:

• x1 = x + r * COS (тета);
• y1 = y + r * SIN (тета).

Как только все точки рассчитаны и подключены к XY-диаграмме (точечная диаграмма), давайте двигаться дальше.

Построение линий на лучевой диаграмме

Допустим, у нас в сети есть n человек. Это означает, что каждый человек может иметь максимум n-1 отношений.

Таким образом, общее количество возможных линий на нашем графике равно n * (n-1) / 2.

Нам нужно разделить его на 2, как будто A знает B, тогда B тоже знает A. Но нам нужно нарисовать только 1 линию.

Шаблон лучевой диаграммы для анализа сетевого графика настроен для работы с 20 людьми. Его можно скачать в конце статьи и использовать как готовый аналитический инструмент визуализации данных связей. Это означает, что максимальное количество строк, которое мы можем иметь, будет равно 190.

Каждая строка требует добавления отдельной серии на график. Это означает, что нам нужно добавить 190 серий данных только для 20 человек. И это удовлетворяет только одному типу линии (пунктирная или толстая). Если нам нужны разные линии в зависимости от типа отношений, нам нужно добавить еще 190 серий.

Это больно и смешно одновременно. К счастью, выход есть!

Мы можем использовать гораздо меньшее количество серий и по-прежнему строить один и тот же график.

Допустим, у нас есть 4 человека – A,B,C и D. Ради простоты, давайте предположим, что координаты этих 4-х участников следующие:

• А – (0,0);
• B – (0,1);
• С – (1,1);
• Д – (1,0).

И скажем, A имеет отношения с B, C и D.

Это означает, что нам нужно нарисовать 3 линии, от A до B, от A до C и A до D.

Теперь, вместо того, чтобы поставить 3 серии для диаграммы, что если мы поставим одну длинную серию, которая выглядит следующим образом:

(0,0), (0,1), (0,0), (1,1), (0,0), (1,0)

Это означает, что мы просто рисуем одну длинную линию от A до B, от A до C, от A до D. Договорились, что это не прямая линия, но точечные диаграммы Excel могут нарисовать любую линию, если вы предоставите ей набор координат.

Таким образом, вместо 190 рядов данных для диаграммы нам просто нужно 20 рядов.

На последнем графике мы имеем 40 + 2 + 1 ряд данных. Это потому что:

• 20 линий для слабых отношений (пунктирные линии);
• 20 линий для прочных отношений (толстые линии);
• 1 строка для выделения синим цветом слабых отношений выделенного участника;
• 1 строка для выделения зеленым цветом сильных отношений выделенного участника;
• 1 комплект без линий, а просто точек для подписей данных на графике.

Как сгенерировать все 20 серий данных:

Это требует следующей логики:

• Предполагая, что нам нужны линии для отношений человека n.
• Точка этого человека будет (Xn, Yn) и уже рассчитана ранее (в точках на графике вокруг круга).
• Нам нужно всего 40 строк данных.
• Каждая нечетная строка будет иметь (Xn, Yn).
• Для каждого четного ряда:

• разделите номер строки на 2, чтобы получить номер человека (скажем, m
• (Xn, Yn), если нет отношений между n и m
• (Xm, Ym), если есть отношения.

Нам нужны формулы MOD и INDEX для выражения этой логики в Excel.

Как только все координаты линии будут рассчитаны, добавьте их к нашему точечному графику как новые ряды используя инструмент из дополнительного меню: «РАБОТА С ДИАГРАММАМИ»-«КОНСТРУКТОР»-«Выбрать данные» в окне «Выбор источника данных» используйте кнопку «Добавить» для добавления всех 43-х рядов.

Реализовывать создание такой лучевой диаграммы связей будем в 3 этапа:

1. Подготовка исходных данных.
2. Обработка данных.
3. Визуализация.

Подготовка данных для лучевой диаграммы

Как уже упоминалось выше данный шаблон будет обладать возможностью визуального построения связей до 20-ти участников (компаний, филиалов, контрагентов и т.п.). На листе книги шаблона «Данные» предоставленная таблица для заполнения входящих значений. Например, заполним ее для 14-ти участников рынка:

На этом же листе создадим дополнительную таблицу, которая представляет собой матрицу связей всех возможных участников, сгенерированную формулой:

С подготовкой данных мы закончили переходим к обработке.

Как вычислить сумму векторов?

Вектора и матрицы в электронной таблице хранятся в виде массивов.

Известно, что сумма векторов – это вектор, координаты которого равны суммам соответствующих координат исходных векторов:

Для вычисления суммы векторов нужно выполнить следующую последовательность действий:

– В диапазоны ячеек одинаковой размерности ввести значения числовых элементов каждого вектора.

– Выделить диапазон ячеек для вычисляемого результата такой же размерности, что и исходные векторы.

– Ввести в выделенный диапазон формулу перемножения диапазонов

– = Адрес_Вектора_1 + Адрес_Адрес_Вектора_2

– Нажать комбинацию клавиш [Ctrl] + [Shift] +[Enter].

Пример.

Даны два вектора:

Требуется вычислить сумму этих векторов.

Решение:

– В ячейки диапазона А2:A4 введем значения координат вектора a1, а в ячейки диапазона С2:С4 – координаты вектора a2.

– Выделим ячейки диапазона, в которых будет вычисляться результирующий вектор С (E2:E4) и введем в выделенный диапазон формулу:

=A2:A4+C2:C4

– Нажмем комбинацию клавиш [Ctrl] + [Shift] +[Enter]. В ячейках диапазона E2:E4 будут вычислены соответствующие координаты результирующего вектора.

Сложение и вычитание векторов

Главным достоинством векторных — это возможность простого сложения и вычитания двух величин. Например: требуется сложить, два тока, заданных уравнениями

Сложим два заданных тока i1 и i2 по известному правилу сложения векторов (рис. 12.12, а). Для этого изобразим токи в виде векторов из общего начала 0. Результирующий вектор найдем как диагональ параллелограмма, построенного на слагаемых векторах:

Im = Im1 + Im2

Сложение векторов, особенно трех и более, удобнее вести в таком порядке: один вектор остается на месте, другие переносятся параллель
но самим себе так, чтобы начало последующего вектора совпало с концом предыдущего.

Вектор Im, проведенный из начала первого вектора в конец последнего, представляет собой сумму всех векторов (рис. 12.12, б).

Вычитание одного вектора из другого выполняют сложением прямого вектора (уменьшаемого) и обратного (вычитаемого) (рис. 12.13):

При сложении синусоидальных величин в отдельных случаях можно применить аналитическое решение: применительно к рис. 12.12, а — по теореме косинусов; к рис. 12.14, а — сложение модулей векторов; б — вычитание модулей векторов, в — по теореме Пифагора.

Заключение

Векторные диаграммы сложны в понимании при расчете сложных цепей, с большим количеством сопротивлений и индуктивностью. Также, при расчете стоит учитывать тип соединения всех элементов, симметрию цепи и основные ее значения.

Построение векторных диаграмм

Наверняка при решении задач по электротехнике многие сталкивались с некоторыми сложностями в построении векторных диаграмм. Начнем с определения векторной диаграммы.

Векторная диаграмма — это изображение синусоидально изменяющихся величин в виде векторов на плоскости.

Векторные диаграммы применяют потому, что сложение и вычитание синусоидальных величин, неизбежные при расчете цепей переменного тока, наиболее просто выполняются в  векторной форме. Кроме того векторные диаграммы отличаются простотой и наглядностью.

Построение векторной диаграммы выполняется в прямоугольной плоскости. Чтобы построить диаграмму нужно провести вектор длиною равный амплитудному значению искомой величины, под углом сдвига относительно другой величины. Возможно, вы не сразу поймете смысл сказанного, для этого нужно изучить пример.

В качестве примера рассмотрим построение векторной диаграммы для цепи, состоящей из последовательно подключенных конденсатора, резистора и катушки. Напряжение на катушке U_L=15 В, напряжение на конденсаторе U_C=20 В, напряжение на резисторе U_R=10 В, ток в цепи I=3 А. Требуется найти общее напряжение.

Катушка носит индуктивный характер, а значит, в ней напряжение опережает ток по фазе на 90°.

Конденсатор носит емкостной характер, значит, ток в нем опережает по фазе напряжение на 90°.

Резистор обладает только активным сопротивлением, и напряжение в нем совпадает по фазе с током.

Итак, для начала отложим вектор тока в масштабе. Масштаб для тока у нас будет 1 А/см. 

Теперь отложим вектор напряжения на катушке, масштаб для напряжения возьмем 5 В/см, получается, что нужно отложить шесть клеток вверх, так как напряжение в катушке опережает ток. Для наглядности обозначим синим цветом.

Далее мы будем откладывать вектор активного сопротивления, так как напряжение в одной фазе с током, то мы его откладываем из конца вектора U_L параллельно вектору тока I. Обозначим его красным цветом.

Следующим шагом отложим вектор напряжения на конденсаторе, так как оно запаздывает на 90°, мы его отложим вертикально вниз, из конца вектора U_R. Обозначим желтым цветом.

И последним этапом мы отложим вектор общего напряжения, из начала координат в конец вектора U_C и обозначим его зеленым цветом. 

Общее напряжение получилось равным 2,23 В, причем характер цепи емкостной, так как напряжение отстает от тока.

Аналогичным образом выполняется построение векторной диаграммы токов.

Читайте также последовательная RLС-цепь 

Просмотров: 87108

Как построить векторную диаграмму токов и напряжений

Расчеты в цепях с синусоидальными напряжениями и токами упрощаются, если вместо синусоид оперировать с их изображениями — вращающимися векторами (рис. 1).

Проекция конца вектора на ось координат совершает синусоидальные колебания : каждое мгновенное значение тока, соответствующее моменту времени и фазовому углу , можно рассматривать как проекцию на ось ординат вектора, повернувшегося на фазовый угол относительно оси абсцисс.

Если что-то непонятно — вы всегда можете написать мне в WhatsApp и я вам помогу!

Таким образом, синусоидальная функция условно представляется вектором, длина которого определяется максимальным или действующим ее значением, а направление — ее начальной фазой; положительная начальная фаза откладывается от горизонтальной оси в сторону вращения векторов (против часовой стрелки). Векторы токов и напряжений, вращаясь с одной и той же

угловой скоростью ,. неподвижны относительно друг друга. Условное изображение синусоидально изменяющихся во времени токов и напряжении при помощи векторов позволило записать в векторной форме первый и второй законы Кирхгофа.

Алгебраическому суммированию синусоид, т.е. суммированию их мгновенных значений, соответствуют геометрические действия над изображающими их векторами. Применение в этой форме законов Кирхгофа даст возможность путем построения векторных диаграмм достаточно просто и наглядно рассчитывать электрические цепи. Приступая к графическому расчету пеней переменного тока, следует помнить, что физические процессы на участках цепи с сопротивлением, индуктивностью, емкостью весьма различны.

Соответственно вектор тока и вектор напряжения имеют одно направление.

В индуктивном элементе ток отстает от напряжения на и соответственно располагаются векторы (рис.3). Закон Ома для участка цепи только с индуктивными сопротивлением записывается .

В емкостном элементе в активном сопротивлении ток и напряжение совпадают по фазе (рис.2), ток опережает напряжение на ( расположение вектора напряжения и тока показано на рис.4); закон Ома для участка цепи только с емкостным сопротивлением записывается или .

Рассмотрим расчет разветвленных электрических цепей с помощью векторных диаграмм.

Графоаналитический метод расчета

К оглавлению…

Графоаналитический метод расчета — это совокупность графического метода и метода пропорционального пересчета. Метод основан на том, что в линейной цепи токи пропорциональны напряжениям, векторная диаграмма напряжений и токов, рассчитанная и построенная для одного значения питающего цепь напряжения, сохранит свой вид при изменении величины этого напряжения, на диаграмме при этом изменятся лишь масштабы напряжений и токов.

Пример №1.

Для цепи (рис.5) известны параметры

Требуется определить действующее значение токов ветвей, напряжений на участках цепи, начальные фазы токов и напряжений.

Построение векторной диаграммы начинается с наиболее удаленного источника элемента цепи, как говорят, с «конца» схемы. Принимаем масштабы для тока и для напряжения . Задаем значение тока в ветви , определяем и строим на диаграмме напряжения на участках ветви .

Падение напряжения на емкостном сопротивлении равно по величине и отстает по фазе от тока на 90° (вектор на диаграмме).

Падение напряжения на по величине равно и совпадает по фазе с током . Вектор напряжения ориентируем на диаграмме относительно тока . Сумма векторов и определяет напряжение на участке . Из диаграммы но масштабу определяем величину напряжения . Далее используем закон Ома для участка цепи с сопротивлением , находим ток , так как то .

Для узла уравнение по первому закону Кирхгофа запишется .

Определив величину тока , построим вектор , приняв за начало построения коней вектора тока . Вектор тока строится под углом к вектору напряжения — в сторону отставания, так как ток — ток через индуктивный элемент, он оттает от напряжения на . Сумма векторов токов и дает вектор — ток в общей ветви цепи, он равен (взят в масштабе с диаграммы).

Запишем и графически решим уравнение по второму закону Кирхгофа для контура .

Перейдем к построению этого уравнения. Примем конец вектора за начало построения вектора напряжения — падение напряжения на индуктивном сопротивлении. Вектор этого напряжения опережает по фазе ток на , строим его.

Принимаем конец вектора за начало построения вектора напряжения на активном сопротивлении. Величина напряжения , вектор напряжения совпадает по фазе с током , строим его параллельно вектору тока . Принимаем конец вектора за начало построения вектора — напряжения на емкостном сопротивлении , вектор отстает на от вектора тока .

Если теперь соединим начало координат (точку с концом вектора (точка «а» диаграммы напряжений), получим вектор приложенного к цепи напряжения , равный 15В (с масштаба напряжений). Если напряжение, приложенное к цепи имеет другую величину, например, 90 В. то в силу линейности законов Кирхгофа все токи и падения напряжения увеличатся в раз, где , но взаимное расположение вектором на диаграмме не изменится.

Входное напряжение имеет начальную фазу , учтем что и построим ось отсчета углов начальных фаз. К вектору напряжения проведем луч из начала построения (точка под углом , луч будет осью отсчета углов начальных фаз всех токов и напряжений.

Пользуясь векторной диаграммой, можно записать мгновенные значения всех рассчитанных величин. Например, ток во второй ветви:

Напряжение участка и т.д.

Построенная в такой последовательности векторная диаграмма напряжений носит название топографической.

Топографическая диаграмма

Топографические диаграммы представляют собой диаграммы комплексных потенциалов, причем каждой точке схемы соответствует определенная точка на топографической диаграмме.

Топографическая диаграмма позволяет измерить величину и начальную фазу напряжения любого участка цепи, не участвующею в расчете. Например,

В действующее значение напряжения между точками и схемы и начальная фаза . тогда

Рассмотрим пример построения топографической диаграммы на комплексной плоскости.

Пример №2.

Дана цепь (рис.7), её параметры:

Комплексным методом рассчитаем токи цепи:

Строим на векторной плоскости диаграмму токов в масштабе (рис.8). Для построения топографической диаграммы напряжений принимаем потенциал узла равным нулю, .

Тогда точка будет находиться в начале координат комплексной плоскости. Вычислим комплексы напряжении на каждом из элементов цепи, обходя из точки цепь против направления тока . При таком направлении обхода напряжение на сопротивлении

Строим вектор на комплексной плоскости (рис.8).

Из точки под углом к действительной полуоси +1 откладываем модуль в масштабе . Вершина построенного вектора соответствует точке . Стрелку вектора следует направить к точке т.е противоположно направлению стрелки напряжения на схеме цепи, топографической диаграмме вектор должен опережать но фазе вектор тока на 90°. Находим напряжение на сопротивлении :

По полученному выражению из точки строим вектор Вершиной вектора является точка .

Контроль построения: вектор должен совпадать по фазе с вектором тока .Теперь находим напряжение на индуктивности :

Из точки строим вектор . Вершиной построенного вектора является точка .

Контроль построения: вектор должен опережать по фазе вектор тока на . Переходя по контуру в выбранном направлении, находим последовательно положение точек на комплексной плоскости. Вектор, соединяющий начало координат и точку . представляет собой ЭДС источника .

Пользуясь топографической диаграммой, легко определить напряжения между любыми точками цепи. Например, комплекс напряжения определяется вектором, соединяющим точки и и направленным к точке (показан на рис.8 пунктиром). Измеряя на диаграмме модуль и начальную фазу вектора находим .

ПримсрЗ. Рассмотрим расчет цепи на рис.7 графоаналитическим методом

Зададимся условным значением тока , пусть . В масштабе строим значение тока , полагая, что точка находится в начале координат. Выбранному условному значению тока однозначно соответствуют условные значения всех остальных токов и напряжений в цепи. Эти напряжения и токи снабжаем меткой «штрих». Находим напряжение

В масштабе строим вектор напряжения , совпадающий по фазе с вектором тока ( рис.9).

Вычислив напряжение , строим вектор напряжения , опережающий по фазе вектор тока на 90′. Соединив точки и , получаем вектор . Измеряя линейкой его длину с учетом масштаба напряжений, находим . По закону Ома находим ток

Из конца вектора тока строим вектор тока , опережающий по фазе вектор напряжения на . Векторно суммируя токи и находим ток . Измеряя линейкой длину вектора тока находим . Зная токи вычисляем напряжения .

Рис.9

Из точки строим вектор напряжения , отстающего но фазе от тока на и вектор напряжения совпадающего по фазе с током . Чтобы определить токи и для участка цепи, построим дополнительную векторную диаграмму . Пусть

Тогда

С учетом фазовых соотношений между током и напряжениями строим диаграмму (рис. 10). Измеряя длину вектора , с учетом масштаба напряжений находим его величину . Тогда величина тока определяется следующим образом .

Построив вектор и суммируя векторы токов и , из диаграммы на рис. 10 находим .

Чтобы привести диаграмму на рис.10 в соответствие с найденными ранее значениями тока , находим коэффициент пересчета

Умножая длины всех векторов на рис.10 на коэффициент и сохраняя неизменными фазовые углы, получим векторную диаграмму участка , соответствующую току .

Измеряем угол на диаграмме рис.10:

Под углом по отношению к вектору на рис.9 из точки строим вектор . Найдем теперь напряжение :

Поскольку напряжение , опережает по фазе ток на 90°. то вектор строится так, как показано на Рис.9. Соединяя точки и получаем вектор . Измеряя его длину находим

Векторная диаграмма на рис.9 является также и топографической диаграммой. ЭДС превышает ЭДС в раз:

Поскольку рассчитываемая цепь линейна, то напряжения и токи, вызываемые ЭДС , превышают условные напряжения и токи также в = 3.4 раза.

Таким образом

Чтобы измерить начальные фазы токов и напряжений, следует на рис.9 выбрать такую систему координат, в которой ЭДС имеет соответствующую заданию начальную фазу. Так как , то поместив начало координат в точку , действительную полуось совмещаем с направлением ЭДС , а полуось строим ортогонально оси 4 1, как показано на рис.9.

Рассмотрим пример построения векторной диаграммы по известным токам и напряжениям (действующие значения напряжений и токов получены экспериментально). В этом случае при помощи векторной диаграммы можно решить обратную задачу расчета цепи: но токам и напряжениям цепи определить эквивалентные параметры двухполюсников, составляющих цепь.

Пример №3.

Дана цепь (рис.11), известны показания измерительных приборов. Найдем параметры двухполюсника, эквивалентного данной схеме.

Для данной схемы можно составить три уравнения по законам Кирхгофа:

Решим эти уравнения графически. Построение диаграммы следует начать с построения вектора , для этой ветви известно взаимное расположение вектора тока и напряжения, участок с активным сопротивлением. В масштабе токов в произвольном направлении строится вектор . Так как — падение напряжения па активном элементе, оно совпадает но направлению с вектором тока , в масштабе напряжений , строим этот вектор. Ток в ветви с индуктивной катушкой отстает от напряжений , на некоторый угол , который неизвестен.

Используя показания амперметров и , решаем графически первый закон Кирхгофа (1) методом засечек: из конца вектора тока делаем засечку радиусом, равным величине тока в сторону отставания от напряжения , а из начала построения т.О вектора делаем засечку радиусом, равным току . Получаем векторную диаграмму токов заданной схемы. Из построения теперь можно определить — угол сдвига по фазе между током и напряжением на катушке.

Далее достраивается диаграмма напряжений: напряжения и известны. падение напряжения на емкости отстает от вектора тока ветви на 90°, строим его из конца вектора , — падение напряжения на активном элементе совпадает с током ветви, строим из конца в направлении, параллельном току .

Замыкающий вектор на диаграмме напряжений соединяет начало построения и конец вектора , определяет в масштабе напряжение на входе схемы, он равен .

Теперь с помощью треугольников напряжений (сопротивлений), токов (проводимостсй), построенных для какого-либо участка цепи или для всей цепи можно найти сопротивления, проводимости и параметры двухполюсника.

Определим эквивалентные параметры всей цени заданной схемы (см. рис.11) . Сначала строится треугольник напряжений : из конца вектора опускается перпендикуляр па направление вектора тока и определяется активная и реактивная составляющие напряжения — . С учетом масштаба .

Векторная диаграмма сложной электрической цепи

Векторная диаграмма для сложной электрической цепи может быть построена только после расчета этой цепи; строится она на комплексной плоскости по известным комплексам токов всех ветвей и комплексам напряжений на каждом элементе цепи. Пример 5. Заданы источники энергии, сопротивления схемы

В результате расчета определены токи в ветвях:

и падения напряжений на каждом элементе схемы:

Для построения векторной диаграммы составим уравнение по первому и второму законам Кирхгофа в общем виде и в численном выражении:

— напряжение на участке с источником тока.

Приступим к построению уравнения (4). В выбранном масштабе токов на комплексной плоскости (Рис.14) строим ток , из его конца — ток . Соединяем начало координат с концом вектора тока , получим вектор тока (построение можно вести по модулю комплекса тока и аргументу, можно строить действительные и мнимые составляющие токов).

Построена векторная диаграмма токов, отображающая уравнение (4). Для узла 2 графически решаем уравнение (5); из начала координат строим комплекс тока , к току прибавляя ток источника тока J, сумма этих токов по уравнению (5) равна сумме комплексов токов и , из начала координат строим ток , из его конца — ток . Получаем замкнутый многоугольник. Гак как по 1 закону Кирхгофа независимых уравнений может быть составлено два, ограничиваемся построенными на диаграмме двумя уравнениями.

• Перейдем к построению двух независимых уравнений второго закона Кирхгофа (7 и 8).

Из начала координат строим комплекс напряжения — напряжение на участке с активным сопротивлением совпадает по направлению с током . Из конца строим — напряжение на емкости (это паление напряжения отстает от тока на 90°), сумма этих комплексов напряжений равна комплексу ЭДС , действующей в цепи — соединяем начало построения т. О с концом комплекса напряжения .

Комплекс ЭДС был задан действительным числом , так мы и получили на диаграмме: вектор напряжения направлен по действительной оси.

Для контура 1-3-2-1 строится комплекс напряжения . Вектор из конца строим напряжение —, замыкающим вектором будет напряжение — (алгебраическая сумма комплексов напряжений в этом контуре равна 0). Используя векторную диаграмму, моно графически определить напряжение источника тока , обозначим его . Для контура 1-3--2-1 уравнение но второму закону Кирхгофа . На диаграмме вычтем из комплекса напряжение , получим ..

Возможно эти дополнительные страницы вам будут полезны:

• Предмет электротехника
• Решение задач по электротехнике
• Помощь по электротехнике
• Заказать работу по электротехнике
• Контрольная работа по электротехнике

При исследовании электрических цепей и моделировании часто пользуются векторными диаграммами токов и напряжений. Под векторной диаграммой понимается совокупность векторов, изображающих синусоидальные функции времени [1].

Воспользуйтесь программой онлайн-расчёта электрических цепей. Программа позволяет рассчитывать электрические цепи по закону Ома, по законам Кирхгофа, по методам контурных токов, узловых потенциалов и эквивалентного генератора, а также рассчитывать эквивалентное сопротивление цепи относительно источника питания.

• Представление синусоидальных функций в виде комплексных чисел
• Закон Ома в комплексной форме
• Векторная диаграмма при последовательном соединении элементов
• Векторная диаграмма при параллельном соединении элементов

Представление синусоидальных функций в виде комплексных чисел

Векторная диаграмма – это удобный инструмент представления синусоидальных функций времени, коими являются, к примеру, напряжения и токи электрической цепи переменного тока.

Рассмотрим, например, произвольный ток, представленный в виде синусоидальной функции

$$ i(t) = 10 sin(omega t + 30 degree). $$

Данный синусоидальный сигнал можно представить в виде комплексной величины

$$ underline{I} = 10 angle 30 degree. $$

Для формирования комплексного числа используются модуль и фаза синусоидального сигнала.

Закон Ома в комплексной форме

Известно [1], что напряжение $ underline{U} $ на сопротивлении $ underline{Z} $ связано с током $ underline{I} $, протекающим через это сопротивление, согласно закону Ома:

$$ underline{U} = underline{Z} cdot underline{I}. $$

Кроме того, известны соотношения, определяющие активное сопротивление резистора, индуктивное сопротивление катушки и ёмкостное сопротивление конденсатора:

$$ underline{Z}_{R} = R, $$

$$ underline{Z}_{L} = jX_{L}, $$

$$ underline{Z}_{L} = -jX_{C}, $$

где $ X_{L} = omega L $, $ X_{C} = frac{1}{omega C} $, $ R $ – сопротивление резистора, $ L $ – индуктивность катушки, $ C $ – ёмкость конденсатора, $ omega = 2 pi f $ – циклическая частота, $ f $ – частота сети,  $ j $ – мнимая единица.

Векторная диаграмма при последовательном соединении элементов

Для построения векторных диаграмм сперва составляют уравнения по законам Кирхгофа для рассматриваемой электрической цепи.

Рассмотрим электрическую цепь, представленную на рис. 1, и нарисуем для неё векторную диаграмму напряжений. Обозначим падение напряжение на элементах.

Рис. 1. Последовательное соединение элементов цепи

Составим уравнение для данной цепи по второму закону Кирхгофа:

$$ underline{U}_{R} + underline{U}_{L} + underline{U}_{C} = underline{E}. $$

По закону Ома падение напряжений на элементах определяется по следующим выражениям:

$$ underline{U}_{R} = underline{I} cdot R, $$

$$ underline{U}_{L} = underline{I} cdot jX_{L}, $$

$$ underline{U}_{C} = -underline{I} cdot jX_{C}. $$

Для построения векторной диаграммы необходимо отобразить приведённые в уравнении слагаемые на комплексной плоскости. Обычно вектора токов и напряжений отображаются в своих масштабах: отдельно для напряжений и отдельно для токов.

Из курса математики известно, что $ j = 1 angle 90 degree $, $ -j = 1 angle -90 degree $. Отсюда при построении векторной диаграммы умножение какого-либо вектора на мнимую единицу $ j $ приводит к повороту этого вектора на 90° против часовой стрелки, а умножение на $ -j $ приводит к повороту этого вектора на 90° по часовой стрелке.

При построении векторной диаграммы напряжений на комплексной плоскости сперва отобразим вектор тока $ underline{I} $, после чего относительного него будем отображать вектора падений напряжений (рис. 2) с учётом приведённых выше соотношений для мнимой единицы.

Падение напряжения на резисторе $ underline{U}_{R} $ совпадает по направлению с током $ underline{I} $ (т.к. $ underline{U}_{R} = underline{I} cdot R $, а $ R $ – чисто действительная величина или, простыми словами, нет умножения на мнимую единицу). Падение напряжения на индуктивном сопротивлении опережает вектор тока на 90° (т.к. $ underline{U}_{L} = underline{I} cdot jX_{L} $, а умножение на $ j $ приводит повороту этого вектора на 90° против часовой стрелки). Падение напряжения на ёмкостном сопротивлении отстаёт от вектора тока на 90° (т.к. $ underline{U}_{C} = -underline{I} cdot jX_{C} $, а умножение на $ -j $ приводит повороту этого вектора на 90° по часовой стрелке).

Рис. 2. Векторная диаграмма напряжений при последовательном соединении элементов цепи

Следует обратить внимание, что на одной векторной диаграмме изображают только векторы тех величин, у которых частота совпадает!

Векторная диаграмма при параллельном соединении элементов

Рассмотрим электрическую цепь, представленную на рис. 3, и нарисуем для неё векторную диаграмму токов. Обозначим направление токов в ветвях.

Рис. 3. Параллельное соединение элементов цепи

Составим уравнение для данной цепи по первому закону Кирхгофа:

$$ underline{I}- underline{I}_{R}- underline{I}_{L}- underline{I}_{C} = 0, $$

откуда

$$ underline{I} = underline{I}_{R} + underline{I}_{L} + underline{I}_{C} = 0. $$

Определим по закону Ома токи в ветвях по следующим выражениям, учитывая, что $ frac{1}{j} = -j $:

$$ underline{I}_{R} = frac{underline{E}}{R}, $$

$$ underline{I}_{L} = frac{underline{E}}{jX_{L}} = -j frac{underline{E}}{X_{L}}, $$

$$ underline{I}_{C} = frac{underline{E}}{-jX_{C}} = j frac{underline{E}}{X_{C}}. $$

Для построения векторной диаграммы необходимо отобразить приведённые в уравнении слагаемые на комплексной плоскости.

При построении векторной диаграммы токов на комплексной плоскости сперва отобразим вектор ЭДС $ underline{E} $, после чего относительного него будем отображать вектора токов токов (рис. 4) с учётом приведённых выше соотношений для мнимой единицы.

Ток в резисторе I_R совпадает по направлению с ЭДС $ underline{E} $ (т.к. $ underline{I}_{R} = frac{underline{E}}{R} $, а $ R $ – чисто действительная величина или, простыми словами, нет умножения на мнимую единицу). Ток в индуктивном сопротивлении отстаёт от вектора ЭДС на 90° (т.к. $ underline{I}_{L} = -j frac{underline{E}}{X_{L}} $, а умножение на $ -j $ приводит повороту этого вектора на 90° по часовой стрелке). Ток в ёмкостном сопротивлении опережает вектор ЭДС на 90° (т.к. $ underline{I}_{C} = j frac{underline{E}}{X_{C}} $, а умножение на $ j $ приводит повороту этого вектора на 90° против часовой стрелки). Результирующий вектор тока определяется после геометрического сложения всех векторов по правилу параллелограмма.

Рис. 4. Векторная диаграмма токов при параллельном соединении элементов цепи

Для произвольной цепи алгоритм построения векторных диаграмм аналогичен вышеизложенному с учётом протекаемых в ветвях токов и прикладываемых напряжений.

Обращаем ваше внимание, что на сайте представлен инструмент для построения векторных диаграмм онлайн для трёхфазных цепей.

Список использованной литературы

1. Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей. Учебник для вузов. Изд. 4-е, переработанное. М., «Энергия», 1975.