Как составить верное числовое равенство

Числовые равенства

Чтобы получить запись, называемую числовым равенством, надо два числовых выражения соединить знаком равенства (=).

Пример:

Представленный пример является верным числовым равенством, но числовое равенство может быть неверным:

Давайте разберем свойства числовых равенств.

1. Если числовое равенство верно, то прибавив к обеим частям этого равенства одно и тоже число мы получим верное числовое равенство.

Например:

Проверим равенство

(12 + 3) = (9 + 6)

12 + 3 = 15 и 9 + 6 = 15

Равенство верно, теперь проверим свойство

(12 + 3) + (5 – 2) = (9 + 6) + (5 – 2)

15 + (5 – 2) = 15 + (5 – 2)

18 = 18

В обоих случаях равенства верны

То же самое произойдет, если мы вычтем одно и то же числовое выражение из обеих частей верного числового равенства.

Проверим это свойство на предыдущем примере заменив действие сложение на вычитание:

(12 + 3) – (5 – 2) = (9 + 6) – (5 – 2)

15 + (5 – 2) = 15 + (5 – 2)

12 = 12

Как мы видим равенство верно.

1. Если числовое равенство верно, то умножив обе части этого равенства на одно и тоже числовое выражение мы получим верное числовое равенство.

Проверим и это свойство:

(75 – 3) = (15 + 57)

75 – 3 = 72 и 15 + 57 = 72 это равенство верно

(75 – 3) · (10 – 2) = (15 + 57) · (10 – 2)

72 · (10 – 2) = 72 · 8 = 576

576 = 576

Свойство доказано.

1. Если числовое равенство верно, то разделив обе части этого равенства на одно и тоже числовое выражение мы получим верное числовое равенство. Правда, это выражение справедливо только если числовое выражение не равно нулю, так как на ноль делить нельзя.

Проверим это свойство:

(12 + 3) : (5 – 2) = (9 + 6) : (5 – 2)

15 : 3 = 15 : 3

5 = 5

Что и требовалось доказать.

Числовые неравенства

Если одно числовое выражение не равно другому, то сравним оба выражения поставим между ними знак сравнения – больше (>) или меньше (<). Мы получим числовое неравенство.

(3 · 4) < (3 · 6)

(10 + 25)

Числовые неравенства также могут быть верными и неверными:

(25 – 5) : 5 > 10 – это неравенство неверно

(25 – 5) : 5 < 10 – это неравенство верно

Спасибо, что Вы с нами!

Понравилась статья — поделитесь с друзьями:

Оставляйте пожалуйста комментарии в форме ниже

Числовые равенства

Чтобы получить запись, называемую числовым равенством, надо два числовых выражения соединить знаком равенства (=).

Представленный пример является верным числовым равенством, но числовое равенство может быть неверным:

Давайте разберем свойства числовых равенств.

1. Если числовое равенство верно, то прибавивк обеим частям этого равенства одно и тоже число мы получим верное числовое равенство .

(12 + 3) = (9 + 6)

12 + 3 = 15 и 9 + 6 = 15

Равенство верно, теперь проверим свойство

(12 + 3) + (5 – 2) = (9 + 6) + (5 – 2)

15 + (5 – 2) = 15 + (5 – 2)

18 = 18

В обоих случаях равенства верны

То же самое произойдет, если мы вычтем одно и то же числовое выражение из обеих частей верного числового равенства .

Проверим это свойство на предыдущем примере заменив действие сложение на вычитание:

(12 + 3) – (5 – 2) = (9 + 6) – (5 – 2)

15 + (5 – 2) = 15 + (5 – 2)

12 = 12

Как мы видим равенство верно.

1. Если числовое равенство верно, то умножив обе части этого равенства на одно и тоже числовое выражение мы получим верное числовое равенство .

Проверим и это свойство:

(75 – 3) = (15 + 57)

75 – 3 = 72 и 15 + 57 = 72 это равенство верно

(75 – 3) · (10 – 2) = (15 + 57) · (10 – 2)

72 · (10 – 2) = 72 · 8 = 576

576 = 576

1. Если числовое равенство верно, то разделивобе части этого равенства на одно и тоже числовое выражение мы получим верное числовое равенство . Правда, это выражение справедливо только если числовое выражение не равно нулю, так как на ноль делить нельзя .

Проверим это свойство:

(12 + 3) : (5 – 2) = (9 + 6) : (5 – 2)

15 : 3 = 15 : 3

5 = 5

Что и требовалось доказать.

Числовые неравенства

Если одно числовое выражение не равно другому, то сравним оба выражения поставим между ними знак сравнения – больше (>) или меньше (<) . Мы получим числовое неравенство .

Что означают понятия «равенство» и «неравенство» в математике? Приведите примеры. Запись, в которой используется знак «равно» (=), который стоит между математическими объектами, называется «равенством». Такой знак может разделять два числа, несколько чисел или выражения. Правая и левая части выражений, стоящие перед и после знака «=», всегда имеют одно и то же значение. Примеры: 5 ∙ 4 = 20; 3 + 6 = 9; 21 : 7 = 3. Бывают случаи, когда выражения имеют совершенно разные значения, в этом случае знак «равно» между ними не ставится. Имеется специальный знак, которым можно отметить, что выражения отличаются между собой: «≠». Примеры: 15 ≠ 20 — 2; 14 ≠ 6 + 4; 2 ∙ 5 ≠ 12. Неравенство — это понятие, которое связано со сравнением двух математических объектов, но составляются они с использованием знаков «≠», «>» (больше) и «<« (меньше). Обычно значения справа и слева от этих знаков имеют разные числовые значения. Примеры: 8 < 10; 3 ∙ 4 > 2 ∙ 5; 81 : 9 < 7 ∙ 8. автор вопроса выбрал этот ответ лучшим Annag­ne [103K] 3 года назад  Понятие равенства или неравенства в математике происходит от сравнения либо чисел, либо выражений. Знак равенства обозначается двумя параллельными прямыми одинаковой длины «=», причём применяться в математике этот знак стал только с конца 16 века, а до этого момента он обозначался в буквенном выражении. Пример равенства : 7=7 или 2+6=8 или a+b=b+a . Неравенство обозначается знаками больше и меньше. Как правило, и само понятие, и знак равенства легко понимается и запоминается, а вот со знаками больше и меньше у многих детей возникают сложности в запоминании и я, в своё время, не была исключением. Помню, как нас учили запоминать эти знаки в советской школе : если подставить птичку к знаку с право и её клювик открыт — значит это знак больше, а если закрыт — то знак меньше. Например : Читаем мы слева на право и данные примеры звучат так : четыре больше единицы; два меньше шести. Правда, в математике есть и ещё понятия верное и неверное, и относятся они как к равенству, так и к неравенству. wildc­at [140K] 4 года назад  Равенство — это когда что-то равно другому. Когда мы имеем по пять пальцев на каждой руке, но два глаза, по одному носу. В математике равенство обозначается двумя короткими параллельными полосками: =. Они означают, что без разницы куда идти и что брать, везде все одинаково. 5=5, 6=6, 7=7. Пять пальцев на одной руке равны пяти пальцам на другой и так было всегда. А вот неравенство, это отсутствие совпадения. Это если у тебя пять пальцев на руке, а у Егора четыре, потому что он был дурак и один палец ему оторвало. Получается, что у тебя пальцев больше: 5>4 Это знак «больше». Он находится над буквой Ю на клавиатуре и чтобы его извлечь следует использовать английский алфавит. Рядом и знак меньше: <, и тоже доступен он в английской раскладке. 4<5 и это действительно так. Попробуйте поднять четыре килограмма, а потом возьмите пять. Чувствуете разницу? Autho­r [788K] 5 лет назад  Для данного употребляется знак равно (и ещё его именуют знаком равенства), какой имеет вид =. Пример При записи различных равенств вносят равные объекты, а также между ними и ставят знак =. К примеру сказать, запись равных чисел 6 и 6 будет начертано следующим образом 6=6, и ее можно прочесть как «шесть равно шести» А если письменно нам потребуется отметить неравенство 2 объектов, тогда применяется знак не равно ≠. Знак представляет собой просто перечеркнутый знак равно. Например, запись 3+5≠7. Можно прочесть так: «Сумма тройки и пятерки не равна семи». Еще используются знаки «<«, «>». Меньше, больше. Когда мы говорим про числовое равенство, мы используем знак «=». При этом одно числовое выражение, которые стоит справа, равно числовому выражению, которое находится слева. Числовые равенства обладают несколькими свойствами: Свойство рефлексивности. Например: х=х; 2=2. Свойство симметричности. Например: 3+1=2+2, тогда 2+2=3+1. Свойство транзитивности. Например: х=у, у=z, тогда х=z. Также, если мы проделываем с обоими частями равенства некие одинаковые манипуляции, то равенство не меняет. Например, умножение, сложение (кроме манипуляций с 0), деление и вычитание. 3+1=2+2. Прибавляем к каждой из частей еще 1. И получаем 3+1+1=2+2+1. 5=5. Равенство не нарушено. 3+1=2+2. Умножаем на 2 обе части. 2(3+1)=2(2+2), 6+2=4+4, 8=8. Равенство не нарушено. Когда мы говорим про числовые неравенства, то подразумеваем, что она часть выражения больше или меньше другой. Тогда знак равенства не используется, берутся знаки «<» или «>», «≤» или «≥». Они также обладают рядом свойств. И могут быть верными и неверными. Например: 3+5>6 — это верное неравенство; 3+5<6 — это неверное неравенство. Равенство или неравенство — вытекает из сравнения чисел или выражений. Что то одинаковое при сравнении можно назвать равенством. Например 2+5 будет 7 и 3+4 даст в сумме 7 эти два выражения 2+5 и 3+4 между собой равны и записать можно так: 2+5=3+4 Неравенством, соответственно будет выражение, в котором сумма в правой части будет отличаться от суммы в левой части выражения. Например: 2+6 не равно 3+4, а больше по значению. Неравенство записывают знаками больше или меньше или перечеркнутым знаком равенства. Maria Muzja [66K] 5 лет назад  Эти понятия (равенство/неравенст­во) в математике, очень взаимосвязаны между собой. Равенство — это понятие, которое проходят еще в начальной школе, и под этим термином, надо понимать «высказывание», к которому можно применить знак «=», что-то равное и идентичное. Бывают и числовые равенства. Бываеют равенства неверные и верные. А «неравенство» — это такое математическое утверждение, показывающее, на сколько одно число, отличается от другого. Dilya­ra K [5K] 5 лет назад  Равенством называют такие математические выражения, когда значения слева и справа от знака «=» равны. Равенство, примеры: 18 — 6*2 = 6 23 — (13 + 3) = 7 Если значения слева и справа различны, то вместо знака равенства ставятся знаки неравенства «<«, «>», в зависимости от того, какая сторона неравенства больше. Неравенство, примеры: 7 — 9 < 5 17 > 21 — 19 [поль­зоват­ель забло­киров­ан] [3.9K] 5 лет назад  В алгебре существует понятие «математическое выражение». Если совсем просто это, набор всевозможных математических действий и преобразований. Результатом «выражения» является его значение. Если значения двух выражений одинаковы, значит присутствует «равенство», если значения отличаются, это «неравенство» Алиса в Стран­е [364K] 4 года назад  Равенство в математике — это математическое выражение, между частями которого стоит знак «ровно». Например: 7 + 5 = 12 lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5 Неравенство же это когда в математическом выражении между его частями стоит не знак «равно», а знак «меньше» или знак «больше». Например: 4 — 2 < 5 4 (х – 2)∙(х + 2) > 0. Иногда между частями выражения ставится вот такой вот знак (перечеркнутый знак «равно»: ≠, тогда это выражение тоже можно назвать неравенством: 20 + 5 ≠ 19 √ n(х) ≠ √ m(х) isa-isa [73.9K] 4 года назад  «Равенством» в математике называются примеры, в которых между числами или произведениями чисел стоит знак «равно» =. Например: 2х2=4, либо 2х2=1+3, это верное равенство. Бывают неверные равенства, когда пример решен неверно. Неравенство, это когда между числами стоят знаки больше или меньше. Как же как и равенства, неравенства бывают неверными. 31-26 < 7 2х2 < 5 100 > 68-7 Знаете ответ?

Понятие равенства, знак равенства, связанные определения

Материал статьи позволит ознакомиться с математической трактовкой понятия равенства. Порассуждаем на тему сути равенства; рассмотрим его виды и способы его записи; запишем свойства равенства и проиллюстрируем теорию примерами.

Что такое равенство

Само понятие равенства тесно переплетено с понятием сравнения, когда мы сопоставляем свойства и признаки, чтобы выявить схожие черты. Процесс сравнения требует наличия двух объектов, которые и сравниваются между собой. Данные рассуждения наводят на мысль, что понятие равенства не может иметь место, когда нет хотя бы двух объектов, чтобы было что сравнивать. При этом, конечно, может быть взято большее количество объектов: три и более, однако, в конечном, счете, мы так или иначе придем к сравнению пар, собранных из заданных объектов.

Смысл понятия «равенство» в обобщенном толковании отлично определяется словом «одинаковые». О двух одинаковых объектах можно говорить – «равные». Например, квадраты   и . А вот объекты, которые хоть по какому-то признаку отличаются друг от другу, назовем неравными.

Говоря о равенстве, мы можем иметь в виду как объекты в целом, так и их отдельные свойства или признаки. Объекты являются равными в целом, когда одинаковы по всем характеристикам. Например, когда мы привели в пример равенство квадратов, имели в виду их равенство по всем присущим им свойствам: форме, размеру, цвету. Также объекты могут и не быть равными в целом, но обладать одинаковыми отдельными признаками. Например:  и . Указанные объекты равны по форме (оба – круги), но различны (неравны) по цвету и размеру.

Таким образом, необходимо заранее понимать, равенство какого рода мы имеем в виду.

Запись равенств, знак равно

Чтобы произвести запись равенства, используют знак равно (или знак равенства), обозначаемый как =.Такое обозначение является общепринятым.

Составляя равенство, равные объекты размещают рядом, записывая между ними знак равно. К примеру, равенство чисел 5 и 5 запишем как 5=5. Или, допустим, нам необходимо записать равенство периметра треугольника АВС 6 метрам: PАВС=6 м.

Определение 1

Равенство – запись, в которой использован знак равно, разделяющий два математических объекта (или числа, или выражения и т.п.).

Когда возникает необходимость письменно обозначить неравенство объектов, используют знак не равно, обозначаемый как ≠, т.е. по сути зачеркнутый знак равно.

Верные и неверные равенства

Составленные равенства могут соответствовать сути понятия равенства, а могут и противоречить ему. По этому признаку все равенства классифицируют на верные равенства и неверные равенства. Приведем примеры.

Составим равенство 7=7. Числа 7 и 7, конечно, являются равными, а потому 7=7 – верное равенство. Равенство 7=2, в свою очередь, является неверным, поскольку числа 7 и 2 не равны.

Свойства равенств

Запишем три основных свойства равенств:

Определение 2

• свойство рефлексивности, гласящее, что объект равен самому себе;
• свойство симметричности: если первый объект равен второму, то второй равен первому;
• свойство транзитивности: когда первый объект равен второму, а второй – третьему, тогда первый равен третьему.

Буквенно сформулированные свойства запишем так:

• a=a;
• если a=b, то b=a;
• если a=b и b=c, то a=c.

Отметим особенную пользу второго и третьего свойств равенств – свойств симметричности и транзитивности – они дают возможность утверждать равенство трех и более объектов через их попарное равенство.

Двойные, тройные и т.д. равенства

Совместно со стандартной записью равенства, пример которой мы приводили выше, также часто составляются так называемые двойные равенства, тройные равенства и т.д. Подобные записи представляют собой как бы цепочку равенств. К примеру, запись 

2+2+2=4+2=6 — двойное равенство, а |AB|=|BC|=|CD|=|DE|=|EF| — пример четвертного равенства.

При помощи таких цепочек равенств оптимально составлять равенство трех и более объектов. Такие записи по своему смыслу являются обозначением равенства любых двух объектов, составляющих исходную цепочку равенств.

Например, записанное выше двойное равенство 2+2+2=4+2=6 обозначает равенства: 2+2+2=4+2, и 4+2=6, и 2+2+2=6, а в силу свойства симметричности равенств и 4+2=2+2+2, и 6=4+2, и 6=2+2+2.

Составляя подобные цепочки, удобно записывать последовательность решения примеров и задач: такое решение становится наглядным и отражает все промежуточные этапы вычислений.

Решение задач
от 1 дня / от 150 р.
Курсовая работа
от 5 дней / от 1800 р.

Реферат
от 1 дня / от 700 р.

Числовые равенства, свойства числовых равенств

После получения общих сведений о равенствах в математике переходим к более узким темам. Материал этой статьи даст представление о свойствах числовых равенств.

Что такое числовое равенство

Первый раз мы сталкиваемся с числовыми равенствами еще в начальной школе, когда происходит знакомство с числами и понятием «столько же». Т.е. самые примитивные числовые равенства это: 2=2, 5=5 и т.д. И на том уровне изучения мы называли их просто равенствами, без уточнения «числовые», и закладывали в них количественный или порядковый смысл (который несут натуральные числа). Например, равенство 2=2 будет соответствовать изображению, на котором – два цветка и на каждом сидит по две шмеля. Или, к примеру, две очереди, где вторыми по порядку стоят Вася и Ваня.

По мере появления знаний об арифметических действиях числовые равенства становятся сложнее: 5+7=12; 6-1=5; 2·1=2; 21:7=3 и т.п. Затем начинают встречаться равенства, в записи которых участвуют числовые выражения разного рода. Например, (2+2)+5=2+(5+2); 4·(4−(1+2))+12:4−1=4·1+3−1 и т.п. Дальше мы знакомимся с прочими видами чисел, и числовые равенства приобретают все более и более интересный и разнообразный вид.

Определение 1

Числовое равенство – это равенство, обе части которого состоят из чисел и/или числовых выражений.

Свойства числовых равенств

Сложно переоценить значимость свойств числовых равенств в математике: они являются опорой многому, определяют принцип работы с числовыми равенствами, методы решений, правила работы с формулами и многое другое.Очевидно, что существует необходимость детального изучения свойств числовых равенств.

Свойства числовых равенств абсолютно согласованы с тем, как определяются действия с числами, а также с определением равных чисел через разность: число a равно числу bтолько в тех случаях, когда разность a−b есть нуль. Далее в описании каждого свойства мы проследим эту связь.

Основные свойства числовых равенств

Изучать свойства числовых равенств начнем с трех базовых свойств, которые присущи всем равенствам. Перечислим основные свойства числовых равенств:

• свойство рефлексивности: a=a;
• свойство симметричности: если a=b, то b=a;
• свойство транзитивности: если a=b и b=c, то a=c,где a, b и c – произвольные числа.

Определение 2

Свойство рефлексивности обозначает факт равенства числа самому себе: к примеру, 6=6, −3=−3,  437=437 и т.п.

Доказательство 1

Нетрудно продемонстрировать справедливость равенства

a−a=0для любого числа a: разность a−a можно записать как сумму a+(−a), а свойство сложения чисел дает нам возможность утверждать, что любому числу a соответствует единственное противоположное число −a, и сумма их есть нуль.

Определение 3

Согласно свойству симметричности числовых равенств: если число a равно числу b,
то число b равно числу a. К примеру, 43=64, тогда 64=43.

Доказательство 2

Обосновать данное свойство можно через разность чисел. Условию a=b соответствует равенство a−b=0. Докажем, что b−a=0.

Запишем разность b−aв виде −(a−b), опираясь на правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак минус. Новая запись выражения равна -0, а число, противоположное нулю, это нуль. Таким образом, 

b−a=0, следовательно: b=a.

Определение 4

Свойство транзитивности числовых равенств гласит, что два числа равны друг другу в случае их одновременного равенства третьему числу. К примеру, если 81=9 и 9=32, то  81=32.

Свойству транзитивности также отвечает определение равных чисел через разность и свойства действий с числами. Равенствам a=b и b=c соответствуют равенства a−b=0 и b−c=0.

Доказательство 3

Докажем справедливость равенства a−c=0, из чего последует равенство чисел a и c. Посколькусложение числа с нулем не меняет само число, то a−c  запишем в виде a+0−c. Вместо нуля подставим сумму противоположных чисел −b и b, тогда крайнее выражение станет таким: a+(−b+b)−c. Выполним группировку слагаемых: (a−b)+(b−c). Разности в скобках равны нулю, тогда и сумма 

(a−b)+(b−c) есть нуль. Это доказывает, что, когда a−b=0 и b−c=0, верно равенство a−c=0, откуда a=c.

Прочие важные свойства числовых равенств

Основные свойства числовых равенств, рассмотренные выше, являются базисом для ряда дополнительных свойств, довольно ценных в разрезе практики. Перечислим их:

Определение 5

Прибавив к (или убавив от) обеим частям числового равенства, являющегося верным, одно и то же число, получим верное числовое равенство. Запишем буквенно: если a=b, где a и b – некоторые числа, то a+c=b+c  при любом c.

Доказательство 4

В качестве обоснования запишем разность (a+c)−(b+c).
Это выражение легко преобразуется в вид (a−b)+(c−c).
Из a=b по условию следует, что a−b=0 и c−c=0, тогда (a−b)+(c−c)=0+0=0. Это доказывает, что (a+c)−(b+c)=0, следовательно, 

a+c=b+c;

Определение 6

Если обе части верного числового равенства перемножить с любым числом или разделить на число, не равное нулю, тогда получим верное числовое равенство.
Запишем буквенно: когда a=b, то a·c=b·c при любом числе c. Если c≠0, тогда и a:c=b:c.

Доказательство 5

Равенство верно: a·c−b·c=(a−b)·c=0·c=0, и из него следует равенство произведений a·c и b·c. А деление на отличное от нуля число c возможно записать как умножение на обратное число 1c;

Определение 7

При  a и b, отличных от нуля и равных между собой, обратные им числа также равны. 
Запишем: когда a≠0, b≠0 и a=b, то 1a=1b. Крайнее равенство нетрудно доказать: с этой целью разделим обе части равенства a=b на число, равное произведению a·b и не равное нулю.

Укажем еще на пару свойств, которые позволяют осуществлять сложение и умножение соответствующих частей верных числовых равенств:

Определение 8

При почленном сложении верных числовых равенств получается верное равенство. Запись этого свойства такова: если a=b и c=d, то a+c=b+d для любых чисел a, b, c и d.

Доказательство 6

Обосновать это полезное свойство возможно, опираясь на указанные ранее свойства. Мы знаем, что к обеим частям верного равенства возможно прибавить любое число.
К равенству a=bприбавим число c, а к равенству c=d — число b, итогом станут  верные числовые равенства: a+c=b+c и c+b=d+b. Крайнее запишем в виде: b+c=b+d. Из равенств a+c=b+c и b+c=b+d согласно свойству транзитивности следует равенство a+c=b+d. Что и нужно было доказать.

Необходимо уточнить, что почленно можно сложить не только два верных числовых равенства, но и  три, и более;

Определение 7

Наконец, опишем такое свойство:  почленное перемножение двух верных числовых равенств дает верное равенство. Запишем при помощи букв: если a=b и c=d, то a·c=b·d.

Доказательство 7

Доказательство этого свойства подобно доказательству предыдущего. Умножим обе части равенства на любое число, умножим a=b на c, а c=d на b, получим верные числовые равенства a·c=b·c и c·b=d·b. Крайнее запишем как b·c=b·d. Свойство транзитивности дает возможность из равенства a·c=b·c и b·c=b·d вывести равенство a·c=b·d, которое нам необходимо было доказать.

И вновь уточним, что данное свойство применимо для двух, трех и более числовых равенств.
Так, можно записать: если a=b, то an=bn для любых чисел a и b, и любого натурального числа n.

Завершим данную статью, собрав для наглядности все рассмотренные свойства:

a=a.

Если a=b, то b=a.

Если a=bи b=c, то a=c.

Если a=b, то a+c=b+c.

Если a=b, то a·c=b·c.

Если a=bи с≠0, то a:c=b:c.

Если a=b, a=b, a≠0 и b≠0, то 1a=1b.

Если a=b и c=d, то a·c=b·d.

Если a=b, то an=bn.

Решение задач
от 1 дня / от 150 р.
Курсовая работа
от 5 дней / от 1800 р.
Реферат
от 1 дня / от 700 р.

035. Равенства. Тождества. Уравнения

Равенство – это два выражения, между которыми стоит знак «=» (равно). Например, – это равенство, где – это левая часть равенства, – это правая часть равенства.

Свойства равенств:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) .

Равенства бывают: Числовые или С переменными.

Числовое равенство может быть Верным или Неверным.

Например, 1) ; – это верные числовые равенства; ; – это неверные числовые равенства.

2)  – это равенство с переменными. Переменные и в этом равенстве могут принимать различные числовые значения. Если а , то – это верное числовое равенство. Если а , то – это неверное числовое равенство.

Тождество – это равенство с переменными, которое будет верным числовым равенством при любых значениях переменных.

Например, ; ; , если ; , если – это тождества.

Уравнение – это равенство с переменными, которое будет верным числовым равенством при определенных значениях переменных.

Так, – это уравнение с одной переменной ,
Где и – это алгебраические выражения; – это переменная или неизвестная.

Например, – это уравнение с одной перемен-ной ; – это уравнение с двумя переменными и .

Корень (решение) уравнения – это такое значение переменной, при котором уравнение будет верным числовым равенством.

Решить уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Пример 1. Решите уравнение .

Решение. Выполним тождественные преобразования: . Это уравнение имеет один единственный корень . Только если уравнение будет верным числовым равенством: , или .

Ответ. .

Пример 2. Найдите корни уравнения .

Решение. .

– это множество корней уравнения.

Ответ. .

Пример 3. Найдите корни уравнения .

Решение. , следовательно, это уравнение не имеет действительных корней (не имеет решений в области действительных чисел).

Ответ. Æ.

Пример 4. Найдите решение уравнения .

Решение. Уравнение имеет бесчисленное множество корней (решений). Любое неотрицательное число – это решение данного уравнения.

Ответ. .

Область определения Уравнения (или область допустимых значений уравнения (ОДЗ или )) – это множество значений переменной , при которых имеют смысл (определены) левая и правая части уравнения.

Чтобы найти ОДЗ уравнения , нужно найти пересечение множеств, на которых определены заданные алгебраические выражения и .

Пример 5. Найдите область допустимых значений уравнения .

Решение. Найдем ОДЗ левой и правой части уравнения.

ОДЗ левой части уравнения – это все действительные числа, кроме :

.

ОДЗ правой части уравнения – это все положительные числа :

.

ОДЗ уравнения – это пересечение множеств и :

Ответ. .

Два уравнения и называются Равносильными (эквивалентными), если множества их корней (решений) совпадают: ( – это знак эквивалентности (равносильности)).

Например, 1) уравнения и – эквивалент-ны, т. к. эти уравнения имеют корень: ;

2) уравнения и не равносильны, т. к. уравнение имеет только один корень: , а уравнение имеет два корня: ; .

Рассмотрим некоторые эквивалентные преобразования, которые удобно использовать при решении уравнений.

Таблица 4. 1 – Эквивалентные преобразования уравнений

№	Действия	Примеры
1.	Замена левой части уравнения на правую часть или правой части на левую
2.	Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую с противоположным знаком
3.	Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же число, не равное нулю
4.	Вычитание или прибавление одного и того же числа к обеим частям уравнения
5.	Вычитание или прибавление одного и того же алгебраического выражения к обеим частям уравнения. При этом области определения полученного и данного уравнения должны совпадать

В процессе решения уравнений при помощи эквивалентных преобразований, необходимо:

1) найти область допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения;

2) проверить, принадлежат ли полученные значения ОДЗ исходного уравнения.

Пример 6. Решите уравнение .

Решение. Найдем ОДЗ уравнения: . Преобразуем уравнение, для этого перенесем все члены уравнения в левую часть. Получим уравнение . Корни этого уравнения: ; . Но корень не принадлежит области допустимых значений (ОДЗ). Поэтому – это посторонний корень, который не нужно рассматривать. Решением уравнения будет .

Ответ. .

Уравнения бывают различных видов. Приведем примеры некоторых уравнений:

ü линейные: ;

ü квадратные: ;

ü рациональные (высших степеней):

;

ü иррациональные: ;

ü с модулем: ;

ü логарифмические: ;

ü показательные: ;

ü тригонометрические: и другие.

< Предыдущая		Следующая >

Предварительное исчисление по алгебре

. Как решить неравенства, в которых обе стороны не равны нулю и в которых используются абсолютные значения и дроби?

Ответ Особо Лайма показывает более простой способ, который работает в вашем конкретном случае, но общий метод, который работает всегда (но в некоторых конкретных случаях, в том числе и в этом, этот метод будет дольше выполнять) — решить отдельно в интервалы, где выражения абсолютного значения могут быть записаны без использования абсолютных значений.

Обратите внимание, что $|x-2|$ равно $-(x-2)$, когда $x-2 leq 0$, и $|x-2|$ равно $(x-2)$, когда $ x-2 geq 0.$ Это просто определение абсолютного значения (т. е. $|u|$ равно $-u$, когда $u leq 0$, и $|u|$ равно $u$, когда $u geq 0$; теперь перепишем это, заменив $u$ на $x-2).$ Таким образом, немного упрощая, мы имеем $|x-2|$, равный $-x+2$, когда $x leq 2$ и равный в $x-2$, когда $x geq 2.$ То есть версия $|x-2|$ с неабсолютным значением изменяет свою форму при $x=2.$

Таким же образом не -абсолютная версия $|2x + 8|$ изменяет свою форму, где $2x + 8 = 0,$ или $x = -4.$ Для $x leq -4$ мы имеем $|2x + 8| = -2x — 8$ и для $x geq -4$ имеем $|2x + 8| = 2x + 8. $

Объединяя результаты двух последних абзацев, мы видим, что все дробное выражение, с которым вы имеете дело, имеет три различных формы выражения в трех интервалах, которые определяются точками $x = 2$ и $x = -4 ,$ места, где внутренности хотя бы одного из выражений абсолютного значения равны нулю.

Заменить $|x-2|$ на $(-x+2)$ и заменить $|2x + 8|$ на $(-2x — 8). $

$$frac{(-x + 2) ) + 3}{4 — (-2x — 8)} ; geq; -5$$

$$frac{-x + 5}{2x + 12} ; geq; -5$$

Решите это обычным способом, а затем включите ТОЛЬКО те полученные значения, которые ТАКЖЕ удовлетворяют $x leq -4.$

Замените $|x-2|$ на $(-x+2)$ и замените $| 2x + 8|$ с $(2x + 8).$

$$frac{(-x + 2) +3}{4 — (2x+8)} ; geq; -5$$

$$frac{-x + 5}{-2x — 4} ; geq; -5$$

Решите это обычным способом, а затем включите ТОЛЬКО те значения, которые вы получили, которые ТАКЖЕ удовлетворяют $-4 leq x leq 2.$

Замените $|x-2|$ на $(x-2 )$ и замените $|2x + 8|$ на $(2x + 8).$

$$frac{(x — 2) + 3}{4 — (2x + 8)} ; geq; -5$$

$$frac{x + 1}{-2x — 4} ; geq; -5$$

Решите это обычным способом, а затем включите ТОЛЬКО те полученные значения, которые ТАКЖЕ удовлетворяют $x geq 2.$

три интервала.

Хотя это кажется довольно длинным, один и тот же метод работает как для уравнений, так и для неравенств, а также когда используются экспоненциальные и/или логарифмические и/или тригонометрические функции (и другие возможности). Просто разделите числовую строку на интервалы таким образом, чтобы в каждом интервале вы могли заменить ВСЕ выражения абсолютного значения внутренней частью выражения абсолютного значения или отрицательным значением внутренней части выражения абсолютного значения, в зависимости от ситуации. 92 leq frac{1}{4}$$

$$-frac{1}{2} leq x leq frac{1}{2}$$

В случае A мы можем использовать только те значения, указанные выше, которые также удовлетворяют $-frac{1}{sqrt 2} < x < frac{1}{sqrt 2}.$ Поскольку $frac{1}{sqrt 2}$ составляет приблизительно 0,707$ (все, что нам нужно знать, это то, что это больше $frac{1}{2}$, чтобы сделать следующий вывод, и это можно увидеть, сравнив квадраты $frac{1}{ sqrt 2}$ и $frac{1}{2},$ или наблюдая, какой из знаменателей $2$ и $sqrt 2$ больше), это означает, что все эти значения подходят для включения в подслучай A. , Следовательно, значения $x$, которые мы получаем из подслучая A, удовлетворяют $-frac{1}{2} leq x leq frac{1}{2}. $ 92 geq frac{3}{4}$$

$$x leq -frac{sqrt 3}{2} ;; text{ИЛИ} ;; x geq frac{sqrt 3}{2}$$

Поскольку мы находимся в подслучай B, мы можем использовать только те значения выше, которые также удовлетворяют $x leq -frac{1}{sqrt 2}$ ИЛИ $x geq frac{1}{sqrt 2}.$ Так как $frac{1}{sqrt 2} < frac{sqrt 3}{2}$ (это можно увидеть, возведение в квадрат каждой из этих положительных дробей), и, следовательно, $-frac{sqrt 3}{2} < -frac{1}{sqrt 2},$ следует, что все значения $x$, которые мы получили из Подслучай B подходит для включения в подслучай B. Чтобы убедиться в этом, поможет провести числовую прямую, пометив следующие точки в порядке слева направо: $-frac{sqrt 3}{2}, ;$ $-frac{1}{sqrt 2},;$ $0,;$ $frac{1}{sqrt 2},;$ $frac{sqrt 3}{2} .$

Следовательно, значения $x$, которые мы получаем при объединении подслучая A и подслучая B, равны $-frac{1}{2} leq x leq frac{1}{2}$ вместе с $x leq -frac{sqrt 3}{2}$ вместе с $x geq frac{sqrt 3}{2}. $

Таким образом, значения $x$, которые мы получаем в случае 1, равны объединенные значения $x$ (только что перечисленные), которые ТАКЖЕ удовлетворяют $-1 leq x leq 1$ (исходное условие, с которого мы начали для случая 1). Это дает $-frac{1}{2}leq x leq frac{1}{2}$ вместе с $-1 leq x leq -frac{sqrt 3}{2}$ вместе с $frac{sqrt 3}{2} leq x leq 1.$ 92 — 1), право| ;; экв;; 1$$

$$слева | 1 , право| ; экв;; 1$$

Так как это верно для всех значений $x,$, мы не получаем никаких ограничений на $x$ в Случае 2, и, таким образом, значения $x$ из Случая 2 являются просто ограничением Случая 2, а именно $x leq -1$ OR $x geq 1.$

Объединение всех значений $x$, полученных в случае 1, со значениями, полученными в случае 2, дает $x leq -frac{sqrt 3}{2} $ OR $-frac{1}{2} leq x leq frac{1}{2}$ OR $x geq frac{sqrt 3}{2}.$ См. этот график для визуализации в чем дело. 92 — 1| geq frac{1}{2}$ после определения координат некоторых подходящих точек на вашем графике.

Решение уравнений и неравенств | Техасский шлюз

Давайте начнемРешение уравнений с одной переменной: часть 1Решение уравнений с одной переменной: часть 2Преобразование линейных уравненийПреобразование линейных неравенствСловарный запас Занятие в журнале

Стандарты TEKS и ожидания учащихся , с техникой и без нее, линейные уравнения и оценить обоснованность их решений. Студент должен:

А(5)(А) решать линейные уравнения с одной переменной, в том числе такие, для которых необходимо применение дистрибутивного свойства и для которых переменные включены с обеих сторон

А(5)(Б) решать линейные неравенства с одной переменной, в том числе те, для которых необходимо применение распределительного свойства и для которых переменные включены с обеих сторон

Ресурс Цель(и)

Учащийся будет использовать различные методы для решения уравнений и неравенства с переменными с обеих сторон.

Основные вопросы

Как можно использовать алгебраические плитки для решения уравнений и неравенств?

Какие шаги используются для алгебраического решения уравнений и неравенств?

Как уравнение или неравенство можно записать в стандартной форме?

Словарь

• Уравнение
• Неравенство
• Стандартная форма
• Переменная
• Нулевые пары

Чтобы решить уравнения, вы должны изолировать переменную. Нулевые пары и обратные операции могут использоваться для устранения констант в уравнении.

В приведенном ниже примере показано, как решать уравнения с использованием моделей и алгебраических шагов.

Чтобы попрактиковаться в решении двухэтапных уравнений, щелкните изображение ниже, чтобы открыть интерактивный инструмент. Следуйте указаниям «Обратная связь» под рабочим ковриком, чтобы построить модель с плитками алгебры и решить уравнение.

Некоторые уравнения могут быть более сложными, и для их решения требуется несколько шагов. Акроним « D на C все M e A после M idnight» можно использовать, чтобы помочь вам запомнить этапы решения уравнений. 

Пример 1

Решение для x в следующем уравнении: 2 x — 4 = x + 5.

Шаг 1 : Переместите все вар. уравнения путем вычитания 90 172 x 90 173 из обеих частей.

2 х — 4 = х + 5
— x          — x
x — 4 = 5

Шаг 2 : Добавьте 4 к обеим частям уравнения.

x — 4 = 5
+4 +4
x = 9

Пример 2

Решай для x в следующем уравнении: 3 x + х +2).

Шаг 1 : Распределите 2 на ( x + 2) путем умножения на 2.

3 x + 15 — 9 = 2( x + 2)
3 x + 15 — 9 = 2 x + 4

. 15 — 9 = 6).

3 x + 6 = 2 x + 4

Шаг 3 : Переместите все переменные в одну часть уравнения, вычитая 2 x из обеих сторон.

3 x + 6 = 2 x + 4
-2 x         -2 x
x + 6 = 4

Шаг 4 : Вычтите 6 с обеих сторон.

x + 6 = 4
     -6   -6
x = -2

Мы собираемся научиться преобразовывать уравнение или неравенство в эквивалентное уравнение или неравенство. Это включает перестановку значений неравенства или уравнения с использованием обратных операций. Давайте исследуем различные способы преобразования линейных уравнений из одного представления в другое.

Самое распространенное преобразование линейного уравнения, которое вам нужно знать, это как взять уравнение в стандартной форме (A x + B y = C) и переписать его в форме пересечения наклона ( y = m x + b), или наоборот. Это преобразование важно, потому что две разные формы быстро раскрывают разные типы информации.

В таблице ниже представлена ​​важная информация для каждой формы.

Форма линейного уравнения	Важная информация	Где вы увидите эту форму
Форма пересечения уклонов у = м х + б	Уклон м. Координата y точки пересечения y равна b.	Задачи, включающие начальную точку (b) и скорость изменения.
Стандартная форма А х + В у = С	Координата x точки пересечения x — C/A. y -координата пересечения y — C/B.	Задачи, включающие комбинацию кратных x и y.

Для преобразования стандартной формы в форму с пересечением наклона обычно требуется два шага.

Шаг 1 . Добавьте или вычтите член размером 90 172 x 90 173 с обеих сторон.

Шаг 2 . Разделите все члены на коэффициент y .

Пример 1

Преобразуйте уравнение в форму: 2y + 3x = 12 0003

Для преобразования из формы пересечения наклона в стандартную форму обычно требуется не более четырех шагов.

Шаг 1 . Добавьте или вычтите член размером 90 172 x 90 173 с обеих сторон.

Шаг 2 . Если коэффициент x отрицательный (термин A), умножьте все члены на -1.

Шаг 3 . Если есть дробь, умножьте все члены на знаменатель, чтобы исключить дроби.

Шаг 4 . Если есть десятичная дробь, умножьте все члены на степень 10, чтобы исключить десятичные дроби.

Пример 2

Преобразуйте уравнение в стандартный вид: -y = 94(34x-y = 9)3x-4y=36

Проверьте свое понимание, выполнив следующие подсказки.

Линейные неравенства могут быть преобразованы аналогично линейным равенствам. Этот первый пример показывает, как преобразовать неравенство.

Пример 1

Как еще можно записать следующее неравенство?

3 x + 2 y ≥ 6

Чтобы записать неравенство по-другому, мы должны убедиться, что значения решений остаются прежними.

Мы можем переписать неравенство, решив для y ИЛИ мы можем переписать неравенство, решив для x . Попробуем оба.

При работе с неравенствами важно помнить, что символ неравенства должен переворачиваться (переворачиваться) при умножении или делении на отрицательное число.

Посмотрите следующее видео о решении уравнений и неравенств и отвечайте на подсказки, когда они появляются. Когда вы закончите просмотр, выполните следующие шаги, чтобы преобразовать уравнение из стандартной формы в форму с пересечением наклона.

• Печать
• Поделиться

Решение неравенств с использованием всех 4 основных операций (видео и практика)

TranscriptPractice

Здравствуйте! Добро пожаловать в это видео о решении неравенств. В этом видео мы обсудим:

• Что такое неравенство и
• Как решать неравенства с помощью сложения, вычитания, умножения и деления

При решении уравнений у вас есть два выражения, которые равны между собой. Когда мы смотрим на неравенств , мы видим два выражения, которые «неравны» или неравны друг другу, как следует из названия. Это означает, что одно уравнение будет больше другого. Четыре основных неравенства: меньше, больше, меньше или равно и больше или равно.

Less than
Less than or equal to	≤
Greater than	>
Greater than or equal to	≥

When Решая неравенства, вы выполняете все те же шаги, что и при решении уравнения, за исключением специального правила, когда речь идет об умножении и делении. Основное отличие состоит в том, что вместо знака равенства между двумя выражениями вы будете писать один из четырех символов неравенства.

Давайте сначала рассмотрим неравенство с помощью сложения.

x + 7 больше или равно 4

x + 7 ≥ 4

Если мы находим x отдельно, мы хотим избавиться от этой 7 рядом с ним, поэтому мы вычитаем 7 из обеих частей.

x + 7 – 7 ≥ 4 – 7

Это дает нам ответ

x больше или равно отрицательному числу 3

x ≥ -3

Это так просто!

Теперь я хочу, чтобы вы сами попробовали вычитание.

х минус 3 меньше 9

х – 3 12

Чтобы получить х сам по себе, нам нужно разделить обе части на минус 4.

Помните, так как мы делим на -4, мы должны инвертировать знак неравенства! Итак, x меньше отрицательного числа 3.

x -3. Итак, давайте попробуем подставить 2, так как 2 больше отрицательного числа 3. Если мы подставим 2 вместо х, мы получим отрицательное 4, умноженное на 2 больше 12. Отрицательное число 8 больше 12.

-4(2) > 12
-8 > 12

Но мы знаем, что это неправда. Отрицательное 8 не больше 12,

Теперь вернемся к нашему правильному ответу: x меньше отрицательного числа 3. Отрицательное значение 20 меньше отрицательного значения 3, так что давайте подставим это в наше уравнение, чтобы проверить, работает ли оно.

Отрицательное 4 раза отрицательное 20 больше 12
80 больше 12

-4(-20) > 12
80 > 12

Верно! 80 больше 12. Так что просто помните, когда вы умножаете или делите на отрицательное число, вы ДОЛЖНЫ перевернуть знак. В противном случае ваше неравенство не будет верным.

Что, если бы у нас было это неравенство?

x/3 ≤ 2
x больше 3 меньше или равно 2

Для этого неравенства нам нужно умножить обе части на 3. При этом мы меняем знак? Нет, нам не нужно, так как мы умножаем на положительное число.

Итак, мы умножаем обе стороны на 3, тогда мы получаем, что x меньше или равно 6.
x ≤ 6

Я хочу, чтобы вы попробовали еще один вариант самостоятельно. Для этого мы собираемся объединить все, чему мы научились, так что это будет выглядеть немного сложнее, но вы справитесь. Просто применяйте каждый шаг, о котором мы говорили до сих пор.

2x плюс 3 больше или равно x минус 7
2x + 3 ≥ x – 7

Приостановите это видео и решите это неравенство самостоятельно, а затем посмотрите, совпадает ли ваш ответ с моим.

Думаешь, у тебя получилось? Посмотрим!

Во-первых, я собираюсь добавить 7 к обеим частям моего уравнения.

Это дает нам 2x плюс 10 больше или равно x
2x + 10 ≥ x

Теперь мне нужно вычесть 2x с обеих сторон.

10 больше или равно отрицательному значению x 10 ≥ -x

Наконец, мне нужно разделить на минус 1 и перевернуть знак.

Итак, наш окончательный ответ отрицательный. 10 меньше или равно x

-10 ≤ x

Теперь обратите внимание на это неравенство: вы могли бы вычесть x и вычесть 3 из обеих частей. Это даст вам тот же ответ, и вы сможете избежать деления на минус. Иногда есть несколько способов решить неравенство или уравнение, поэтому ищите способы немного облегчить себе жизнь.

Надеюсь, это видео о решении неравенств было полезным. Спасибо за просмотр и удачной учебы!

Знаки больше и меньше | Таблицы умножения

Вопрос №1:

 
Решите следующее неравенство для x :
(4+x)

}{x>frac)1{x>frac)1

(x)

(x)

(x>frac{1}{4})

Показать ответ

Ответ:

Чтобы решить это неравенство, помните, что нам нужно получить x с одной стороны, как и в случае с обычными уравнениями. Сначала переместите 4 вправо, вычитая 4 с обеих сторон.
(4-4+x)  
Упрощая, у нас остается:
(x)  
Теперь мы переместим этот отрицательный x в левую часть, добавив его к обеим сторонам.
(x+x) (2x)  
Наконец, мы разделим на 2 обе части, чтобы получить решение. Неравенство (4+x)

Скрыть ответ

Вопрос №2:

 
Решите следующее неравенство для x :
(frac{x}{4}geq3)

(xgeq12)

3 (xgeq4)

(xleq12)

(xleq3)

Показать ответ

Ответ:

Чтобы увидеть это, нам просто нужно обе части умножить на 4. Это уберет знаменатель слева и оставит нам x :
(4timesfrac{x}{4}geq3times4)

Упростить:
(xgeq12)

Скрыть ответ

Вопрос № 3:

 
Решите следующее неравенство, чтобы определить, какие значения x ему удовлетворяют (frac 9019×1 +2}{7} > 2-x)

(x>5)

(x>frac{3}{2})

(x)

(x )

Показать Ответ

Ответ:

Чтобы начать решать это неравенство, удалим знаменатель слева, умножив обе части на 7.
(7timesfrac{x+2}{7}>(2-x)times7)

Обратите внимание, что мы не изменили знак неравенства. Это потому, что мы умножили на положительное число. Приведенное выше выражение упрощается до:
(x+2>14-7x)

Отсюда мы переместим 2 вправо с вычитанием, а (7x) влево сложением.
(х+2-2>14-7х-2)
(х>12-7х)
(х+7х>12-7х+7х)
(8х>12)

Наконец, мы делим обе части на 8, чтобы получить x , и мы видим, что осталось (x>128), что упрощается до (x>32).

Скрыть ответ

Вопрос №4:

 
Решите следующее неравенство для x .
(-4x+2geq6)

(xleq-1)

(xgeq-1)

(xleq2)

(xgeq2 )

Показать Ответ

Ответ:

Давайте начнем работать над этой задачей, вычитая 2 из обеих сторон.
(-4x+2-2geq6-2)
(-4xgeq4)

Теперь, чтобы выделить x и найти решение, нам нужно обе части разделить на -4. Помните, что деление на минус меняет знак неравенства! Это относится и к умножению на минусы.
(frac{-4x}{-4}geqfrac{4}{-4})
(xleq-1)

Скрыть ответ

Вопрос №5:

Решите следующее неравенство для x .
(-frac{1}{4}x+3>-4)

(x)

(x)

(x>34)

(x>21)

Показать ответ

Ответ:

Сначала переместите 3 в правую часть неравенства, вычитая 3 из обеих частей.
(-frac{1}{4}x+3-3)>(-4-3)
(-frac{1}{4}x)>(-7)

Теперь мы получим x , умножив обе части на -4. Это сократит дробь в левой части. Это приведет к тому, что знак неравенства перевернется, и после упрощения мы останемся с нашим решением.